Намерете точката симетрична, дадена по отношение на равнината. Прости задачи с директно в самолета

27.09.2019 | Документация

Директното в пространството винаги може да се определи като линия на пресичане на две нерелелни равнини. Ако уравнението на една равнина, уравнението на втората равнина, тогава директното уравнение се дава от формата

тук nekollynearin.
. Тези уравнения се наричат общи уравнения Директно в пространството.

Каноничните уравнения са директни

Всеки ненулев вектор, разположен на този пряк или успоредно с него се нарича водачът на това право.

Ако е известна точка
прави и неговия водач вектор
, тогава каноничните уравнения са формата:

. (9)

Параметричните уравнения са директни

Нека каноничните уравнения са дадени

Оттук получаваме параметрични уравнения директно:

(10)

Тези уравнения са удобни, когато се намират точките за пресичане на преките и равнината.

Уравнението е директно преминаване през две точки
и
той има формата:

Ъгълът между право

Ъгълът между право

равен на ъгъла между техните водещи вектори. Следователно, тя може да бъде изчислена с формула (4):

Състояние на паралелството Директно:

Състоянието перпендикулярност на самолетите:

Разстояние от разстояние от права

Пс uST DANA Точка
и прав

От канонични уравнения, пряко известни DOT
принадлежащи директно и неговия водач вектор
. Тогава разстоянието е точката
от права равна на височината на паралелеограма, вградена в вектора и
. Следователно,

Състоянието на пресичане на прякото

Две нерелешни прави линии

пресичайте тогава и само когато

Взаимно подреждане на прав и равнина.

Да се \u200b\u200bдаде право
и самолет. Ъгъл между тях могат да бъдат намерени по формулата

Задача 73. Напишете канонични уравнения

(11)

Решение. За да се запишат каноничните уравнения на прави (9), трябва да знаете всяка точка, принадлежаща към права линия, и директния вектор директно.

Намерете вектор паралелно дадено директно. Тъй като трябва да бъде перпендикулярно на нормалните векторни вектори, т.е.

,
T.

От общите уравнения директно имаме това
,
. Тогава

От точка
всяка точка е права, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравненията, които да бъдат насочени и един от тях може да бъде зададен например,
, Две други координати ще намерят от системата (11):

Следователно
.

Така каноничните уравнения на желаното директно имат формата:

или
.

Задача 74.

и
.

Решение. На канонични уравнения Първи правилни координати
принадлежащи към линията и координатите на водещия вектор
. От каноничните уравнения на второто право, координатите на точката също са известни.
и координати на водещия вектор
.

Разстоянието между паралелното право е равно на разстоянието на точката
от втория директ. Това разстояние се изчислява по формулата

Намерете координатите на вектора
.

Изчислете векторно изкуство
:

Задача 75. Намерете точка симетрична точка
свързани

Решение. Напишете уравнението на равнината, перпендикулярно на това директно и преминаване през точката . Като нормален вектор можете да вземете прав водач вектор. Тогава
. Следователно,

Намерете точка
точка на пресичане на тази директна и равнина P. За да направите това, напишете параметричните уравнения директно използване на уравнения (10), ние получаваме

Следователно,
.

Нека бъде
точка симетрична точка
по отношение на това директно. След това точка
средата на рязане
. Да намерите координатите на точката използване на формулите на средните сегментни координати:

,
,
.

Така,
.

Задача 76. Напишете уравнението на равнината, минаваща през прав
и

а) чрез точката
;

б) перпендикулярно на равнината.

Решение. Ние пишем общите уравнения на това директно. За да направите това, помислете за две равенства:

Това означава, че желаната равнина принадлежи на лъча на самолетите с формирането и нейното уравнение може да бъде записано във формата (8):

а) Намери
и от условието, че самолетът преминава през точката
Следователно координатите му трябва да задоволят уравнението на равнината. Заместваме координатите на точката
уравнението на самолета:

Намерена стойност
заместител на уравнението (12). Получаваме уравнението на желаната равнина:

б) Намери
и от състоянието, че желаната равнина е перпендикулярна на равнината. Вектор нормален на този самолет
, векторният нормален е желаната равнина (виж равното лъчение (12).

Два вектора са перпендикулярни, ако и само ако техният скаларен продукт е нула. Следователно,

Заменете намерената стойност
в равнинното лъчение (12). Получаваме уравнението на желаната равнина:

Задачи за саморешения

Задача 77. Да доведе до каноничен тип уравнение директно:

1)
2)

Задача 78. Напишете параметрични уравнения директно
, ако:

1)
,
; 2)
,
.

Задача 79.. Напишете уравнението на равнината, преминаваща през точката
перпендикулярно на директен

Задача 80. Напишете уравнения директна точка на преминаване
перпендикулярно на равнината.

Задача 81. Намерете ъгъла между права:

1)
и
;

2)
и

Задача 82. Докажете директния паралелизъм:

и
.

Задача 83. Докаже перпендикулярността на директното:

Задача 84. Изчислете точката на разстоянието
от права:

1)
; 2)
.

Задача 85. Изчислете разстоянието между паралелно право:

и
.

Задача 86.. В уравнения са директни
определя параметъра така че това директно се пресича с директно и да намери точката на тяхното пресичане.

Задача 87.. Покажете това правилно
паралелен план
и права
лежи в този самолет.

Задача 88.. Намерете точка симетрична точка по отношение на самолета
, ако:

1)
, ;

2)
, ;.

Задача 89. Напишете перпендикулярното уравнение, намалено от точката
на прав
.

Задача 90.. Намерете точка симетрична точка
свързани
.

Формулиране на проблема. Намерете координатите на точката, симетрична точка спрямо самолета.

Решение на плана.

1. Намерете директното уравнение, което е перпендикулярно на тази равнина и преминава през точката . Така директно перпендикулярно на определената равнина, векторът на равнината нормален може да се приема като негов водещ вектор, т.е.

Следователно прякото уравнение ще бъде

2. Намерете точка пресичанията са директни и самолети (виж задача 13).

3. точка е средата на сегмента, където точката е точкова симетрична точка , така

Задача 14.. Намерете точка, самолет на симетрична точка.

Уравнението е директно, което преминава през точката, перпендикулярна на определената равнина, ще бъде:

Намерете пряка и равнинна точка на пресичане.

От - точка на пресичане на права и равнина. Следователно средата на сегмента е

Тези. .

Еднакви координати на равнината. Преобразуване на афините в равнината.

Нека бъде М. х. и w.

М.(х., w.Аз (х., w., 1) в пространството (фиг. 8).

Аз (х., w.

Аз (х., w. hU.

(HX, Hy, H), H  0,

Коментар

х. (например, х.

Всъщност, броене х.

Коментар

Пример 1.

б.) В ъгъла (Фиг. 9).

1-ва стъпка.

2-ри стъпка. Завъртете ъгъла .

матрица на подходящото преобразуване.

3-та стъпка. Прехвърляне към вектор А (А, б)

матрица на подходящото преобразуване.

Пример 3.

 По ос абсциса и

1-ва стъпка.

матрица на подходящото преобразуване.

2-ри стъпка.

3-та стъпка.

накрая получаваме

Коментар

[R], [d], [m], [t],

Нека бъде М. - самолет с произволна точка с координати х. и w.изчислени спрямо дадена директна координатна система. Хомогенните координати на тази точка са всяка тройна от едно и също време неравномерно нула на числата x 1, x 2, x 3, свързани с определените номера X и в следните съотношения:

Когато решават компютърни графични задачи, обикновено се въвеждат хомогенни координати: произволна точка М.(х., w.) Самолетът се поставя в съответствие с точката Аз (х., w., 1) в пространството (фиг. 8).

Обърнете внимание, че произволна точка на права линия, свързваща произхода на координатите, точка 0 (0, 0, 0), с точка Аз (х., w., 1), може да бъде настроен от трите номера на формата (HX, HY, H).

Векторът с HX, HY координати, е прав линеен водещ вектор, свързващ 0 (0, 0, 0) и Аз (х., w.един). Тази права линия пресича равнината Z \u003d 1 в точката (x, y, 1), която уникално определя точката (x, y) на координатната равнина hU.

По този начин между произволна точка с координати (X, Y) и множество тройни номера на формата

(HX, Hy, H), H  0,

комплект (взаимно недвусмислено) кореспонденция, която ви позволява да преброите номерата HX, Hy, H New NegiNates от тази точка.

Коментар

Единните координати, широко използвани в проективната геометрия, позволяват ефективно да се опишат така наречените имунитет елементи (по същество тези, които проектовата равнина се различава от обичайната евклидовата равнина). По-подробно за новите функции, предоставени от въведените хомогенни координати, се казва, че четвъртата част от тази глава се казва.

В проективната геометрия за хомогенни координати се прави следното наименование:

x: Y: 1, или по-общо, x 1: x 2: x 3

(Спомнете си, че със сигурност изисква номера X 1, X 2, X 3 едновременно, не се обръщат към нула).

Използването на хомогенни координати е удобно вече при решаването на най-простите задачи.

Обмислете например въпроси, свързани с промените в мащаба. Ако дисплейното устройство работи само с числа (или ако е необходимо да работи само с числа), след това за произволна стойност х. (например, х. \u003d 1) точка с хомогенни координати

невъзможно е да се представи. Въпреки това, с разумен избор на H, може да се постигне, че координатите на тази точка са цели числа. По-специално, с H \u003d 10 за разглеждания пример, който имаме

Помислете за друг случай. Така че резултатите от трансформацията не са довели до аритметично преливане, за точка с координати (8000 40000 1000), можете да вземете, например, h \u003d 0.001. В резултат на това получаваме (80 40 1).

Горните примери показват полезността на използването на хомогенни координати по време на изчисленията. Въпреки това, основната цел на въвеждането на хомогенни координати в компютърната графика е безспорното им удобство при прилагането на геометрични трансформации.

С помощта на тройки за хомогенни координати и матрици от трети поръчки може да се опише всякаква афинна трансформация.

Всъщност, броене х. \u003d 1, сравнете два записа: маркиран символ * и следното, matrix:

Лесно е да се види, че след преместването на изразите от дясната страна на последната връзка, получаваме и двете формули (*) и правилното числово равенство 1 \u003d 1.

Коментар

Понякога в литературата се използва друг запис - запис на колони:

Такъв запис е еквивалентен на горните записи върху линиите (и се получава от него с транспониране).

Елементи на произволна матрица афинна трансформация Не носят ясно изразено геометрично значение. Следователно, за да приложите това или това картографиране, тоест, намиране на елементите на съответната матрица съгласно дадено геометрично описание, са необходими специални техники. Обикновено изграждането на тази матрица в съответствие със сложността на разглеждания проблем и със специалните случаи, описани по-горе, са разделени на няколко етапа.

На всеки етап се търси матрица, съответстваща на един или друг от горните случаи А, В, В или G, които имат добре изразени геометрични свойства.

Пийте съответните матрици от трета поръчка.

А. Ротационна матрица (ротация)

Б. Разтягане матрица (дилатация)

V. Матрично отражение (отражение)

Матрица за превод (превод)

Помислете за примери за трансформации на афините.

Пример 1.

Изграждане на матрица около точката А (А,б.) В ъгъла (Фиг. 9).

1-ва стъпка. Трансфер до вектор - a (-a, -b) за комбиниране на центъра на въртене с началото на координатите;

матрица на подходящото преобразуване.

2-ри стъпка. Завъртете ъгъла .

матрица на подходящото преобразуване.

3-та стъпка. Прехвърляне към вектор А (А, б) Да върне центъра на въртене до предишната позиция;

матрица на подходящото преобразуване.

Съвпадение на матрицата в същия ред, както са написани:

В резултат на това получаваме желаната трансформация (в матричния запис) ще изглежда така:

Елементите на получената матрица (особено в последния ред) не са толкова лесни за запомняне. В същото време, всяка от трите променливи матрици върху геометричното описание на съответния дисплей е лесно изградена.

Пример 3.

Изграждане на разтягаща матрица с коефициенти на разтягане По ос абсциса и По оста на ординатата и с центъра в точка А (А, б).

1-ва стъпка. Трансфер до вектор -A (-A -B), за да комбинирате центъра на разтягане с началото на координатите;

матрица на подходящото преобразуване.

2-ри стъпка. Разтягане по координатните оси с коефициенти  и , съответно; Реализационната матрица е

3-та стъпка. Прехвърляне към вектор А (a, b) за връщане на центъра на разтягане до предишната позиция; Матрицата на подходящото преобразуване -

Подравняване .matizals в същия ред

накрая получаваме

Коментар

Спорейки по подобен начин, това е, което нарушава предложената трансформация към стъпките, подкрепени от матрици[R], [d], [m], [t], можете да конструирате матрица на всяка афинна трансформация според геометричното му описание.

Изместването се осъществява чрез добавяне и мащабиране и въртене - умножение.

Мащабиране на трансформацията (дилатация) по отношение на началото на координатите изглежда:

или в матрична форма:

където Д.хД.y.- мащабни коефициенти на осите, и

- мащабиране матрица.

С D\u003e 1-разширение, при 0<=D<1- сжатие

Превърнете преобразуването Що се отнася до началото на координатите:

или в матрична форма:

където φ е ъгълът на въртене и

- Завъртете матрицата.

Коментар:Колоните и редиците на ротационната матрица са взаимно ортогонални единични вектори. Всъщност площадите на дължините на струните са равни на един:

cosφ · cosφ + sinφ · sinφ \u003d 1 и (-sinφ) · (-Sinφ) + cosφ · cosφ \u003d 1,

и скаларният продукт на реда вектори е

cosφ · (-sinφ) + sinφ · cosφ \u003d 0.

Тъй като скаларният продукт на векторите А. · Б. = |А.| ·| Б.| · COSψ, където | А.| - дължина вектор А., |Б.| - дължина вектор Б., и ψ - най-малкият положителен ъгъл между тях, след това от равенството 0 от скаларния продукт на две векторни струни 1 От това следва, че ъгълът между тях е 90 °.

Нека някои директно, дадени с линейно уравнение, и точката, посочена от нейните координати (x0, y0) и да не лежат на тази права линия. Необходимо е да се открие точка, която би била симетрична до тази точка по отношение на тази линия, т.е. би била съвпадаща с нея, ако равнината психически се наведе при налягането в тази права линия.

Инструкция

1. Ясно е, че и двете точки са определени и желателни - задължени да лежат на една права линия и това директно трябва да бъде перпендикулярно на това. Така първата част от проблема е, за да се открие директното уравнение, което би било перпендикулярно на някаква пряка линия и в същото време премина през тази точка.

2. Директният може да бъде зададен по два метода. Каноничното уравнение директно изглежда така: AX + BY + C \u003d 0, където A, B и C - константи. Също така, директното се оставя да определи използването на линейна функция: y \u003d kx + b, където k е ъглова фигура, b - преместване. Тези два метода са взаимозаменяеми и от каквато и да е причина да отидат в друга. Ако AX + BY + C \u003d 0, след това Y \u003d - (AX + C) / b. С други думи, в линейната функция y \u003d kx + b ъгъл K \u003d -a / b, и b \u003d -C / bfset. За да задачата е по-удобно да се спори на базата на каноничното уравнение, директно.

3. Ако две директни са перпендикулярни един на друг и уравнението на първия режим на права линия + с + С \u003d 0, тогава уравнението 2-та права трябва да изглежда като BX - AY + D \u003d 0, където D е постоянна. За да се открие определена стойност на D, е необходимо да се знае добавка, чрез коя точка е перпендикулярната права линия. В този случай, това е точка (x0, y0). D трябва да отговаря на равенството: BX0 - AY0 + D \u003d 0, т.е. d \u003d AY0 - BX0.

4. По-късно се открива перпендикулярното директно, необходимо е да се изчислят координатите на точката на нейното пресичане с това. За да направите това, е необходимо да се реши системата от линейни уравнения: AX + BY + C \u003d 0, BX - AY + AY0 - BX0 \u003d 0. Решението ще даде номера (X1, Y1), които служат като координати на точка на пресичане на директна.

5. Желаната точка трябва да лежи върху откритото право, а разстоянието до точката на пресичане трябва да бъде равно на разстоянието от точка на пресичане до точката (x0, y0). Координатите на точката, симетричната точка (x0, y0), са разрешени, по този начин се откриват, решават системата на уравнения: BX - AY + AY0 - BX0 \u003d 0,? ((X1 - X0) ^ 2 + (Y1 - Y0) \\ t ) ^ 2 \u003d? ((X - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2).

6. Но е по-лесно да се направи по-лесно. Ако точките (x0, y0) и (x, y) са на равни разстояния от точката (x1, y1) и всичките три точки лежат на една права линия, след това: x - x1 \u003d x1 - x0, y - y1 \u003d y1 - y0. landy, x \u003d 2 × 1 - x0, y \u003d 2y1 - y0. Заместване на тези стойности във второто уравнение на първата система и опростяване на израза, лесно е да се уверите, че дясната му част става същото ляво. Изключително разгледайте първото уравнение, няма смисъл, че се смята, че точките (x0, y0) и (x1, y1) са доволни от него, а точката (x, y) очевидно е на същото директно.

Задачата е да се намерят координатите на точката, която е симетрична за директната точка . Предлагам да изпълняваме сами действия, но аз обозначавам алгоритъма на разтвора с междинни резултати:

1) Намерете направо, което е перпендикулярно на права линия.

2) Намерете точката на пресичане на директно: .

И двете действия се разглобяват подробно в рамките на този урок.

3) Въпросът е среден на сегмента. Ние знаем координатите на средата и един от краищата. До координатни формули в средата на сегмента Намирам.

Тя няма да бъде излишно да се провери, че разстоянието е и 2.2 единици.

Трудностите тук могат да възникнат в изчисленията, но микрокалкулаторът помага в кулата, която ни позволява да разгледаме обикновените фракции. Многократно съветва, съветва и отново.

Как да намерим разстоянието между две паралелни права?

Пример 9.

Намерете разстоянието между два паралелни права

Това е друг пример за независимо решение. Ще ви кажа малко: има безкрайно много начини за решаване. Почти по полетите в края на урока, но по-добре се опитайте да познаете себе си, мисля, че вашият smelter успя да се разпръсне добре.

Ъгълът между две права

Нищо един ъгъл, след това Jamb:

В геометрията се приема по-малък ъгъл за ъгъла между два директни, от които автоматично следва, че не може да бъде тъп. На снимката ъгълът, маркиран с червена дъга, не се счита за ъгъл между пресичането. И се счита за такава "зелена" съседка или противоположно ориентирани "Малинов" ъгъл.

Ако директният е перпендикулярен, след това чрез ъгъла между тях можете да вземете някой от четирите ъгъла.

Каква е разликата между ъглите? Ориентация. Първо, тя е фундаментално важна за посоката на ъгъла на "превъртане". Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва с минус знак, например, ако.

Защо го казах? Изглежда възможно да се направи и обичайната концепция за ъгъла. Факт е, че във формулите, за които ще намерим ъгли, тя може лесно да бъде отрицателен резултат и това не трябва да ви изненада. Ъгълът с "минус" знак не е по-лош и има напълно конкретен геометричен смисъл. На чертежа за отрицателен ъгъл е необходимо да се уточни стрелката на нейната ориентация (по посока на часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две права? Има две работни формули:

Пример 10.

Намерете ъгъла между направо

Решение и Първо мода

Обмислете две прави линии, дадени от уравнения в обща форма:

Ако е изправен не перпендикулярноT. ориентиран Ъгълът между тях може да бъде изчислен по формулата:

Най-близкото внимание се обръща на знаменателя - точно това е скаларен продукт Директни вектори директно:

Ако, знаменателят на формулата се изтегля до нула, и векторите ще бъдат ортогонални и директни перпендикулярни. Ето защо се прави резервация за пропускливостта на директното в текста.

Въз основа на гореизложеното, решението е удобно да подредите два стъпки:

1) Изчислете скаларния продукт на директните вектори на директно:

2) Ъгълът между директно ще бъде намерен по формулата:

Използвайки обратната функция, е лесно да се намери самия ъгъл. В същото време използваме странността на Artcangant (вж Графики и свойства на елементарните функции):

Отговор:

В отговор, посочете точната стойност, както и приблизителната стойност (за предпочитане в градуси, и в радиани), изчислени с помощта на калкулатора.

Е, минус, така минус, нищо ужасно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа отрицателна ориентация, защото по отношение на задачата, първият брой върви направо и "подмладяване" на ъгъла започна с него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да промените директните места, т.е. коефициентите вземат от второто уравнение и коефициентите вземат от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директно .

Няма да го почистя, аз самият избирам директно в поръчката, за да се окажа положителен. Толкова по-красива, но не повече.

За да проверите решението, можете да вземете превозното средство и да измервате ъгъла.

Метод на втория

Ако директно се дава от уравнения с ъглов коефициент и не перпендикулярноT. ориентиран Ъгълът между тях може да бъде намерен с формулата:

Състоянието на перпендикулярност на директното се изразява от равенство, откъдето, това е необходимо за много полезно взаимоотношение на ъглови коефициенти, перпендикулярно директно: което се използва в някои задачи.

Алгоритъмът на разтвора е подобен на предишния елемент. Но първо пренапишете нашата права в правилната форма:

По този начин, ъглови коефициенти:

1) Проверете дали директно е перпендикулярно:
Така прав не е перпендикулярно.

2) Ние използваме формулата:

Отговор:

Вторият начин е подходящ за използване, когато уравненията са директно определени с ъгловия коефициент. Трябва да се отбележи, че ако поне един направен паралел на оста на ординатата, формулата не е приложима като цяло, тъй като за такива директни ъглови коефициенти не са дефинирани (виж член Директно уравнение в равнината).

Има трето решение за решения. Идеята е да се изчисли ъгълът между направляващите вектори на директните вектори, използвайки формулата, разгледана в урока. Вектори на скаларния продукт:

Тук не говорим за ориентиран ъгъл, но "почти около въглищата", т.е. резултатът ще бъде умишлено положителен. Snag е, че може да се окаже глупав ъгъл (не е необходим). В този случай, той ще трябва да направи резерва, че ъгълът между директен е по-малък ъгъл и от радианския радиан (180 градуса) да приспадне получения арккосинус.

Тези, които желаят, могат да нарушат задачата на третия начин. Но все още препоръчвам да се придържате към първия подход с ориентиран ъгъл, поради причината, която е широко разпространена.

Пример 11.

Намерете ъгъла между право.

Това е пример за независимо решение. Опитайте се да го разрешите по два начина.

По някакъв начин застанаха приказката по пътя. Защото няма идиот на безсмъртния. Имам, и не миришех. За да бъда честен, помислих си, че статията ще бъде много по-дълга. Но все още вземете наскоро придобита шапка с очила и отидете да плувате в септемврийската вода Laservo. Перфектно облекчава умората и отрицателната енергия.

Ще се видим скоро!

И не забравяйте, никой не е отменил Бабу Яг \u003d)

Решения и отговори:

Пример 3:Решение : Намерете линеен водещ вектор :

Уравнение на желаната директна форма в точката и водещ вектор . Тъй като една от координатите на водещия вектор нула, уравнение Препишете във формата:

Отговор :

Пример 5:Решение :
1) уравнение директно съставляват две точки :

2) уравнение директно съставляват две точки :

3) Съответни коефициенти за променливи Не е пропорционално на: Така директно пресичане.
4) Намерете точка :

Забележка : Тук първото уравнение на системата се умножава по 5, след това от първото уравнение 2-то уравнение се подновява.
Отговор :

О, о-о-о ... добре, калай, сякаш го прочетете \u003d) обаче, тогава релаксацията ще помогне, особено след днес купих подходящи аксесоари. Ето защо ще продължа към първия раздел, надявам се, до края на статията запазвам енергичното подреждане на духа.

Взаимно местоположение на две прави линии

Случая, когато залата седи на хор. Могат да могат две прави линии:

1) съвпада;

2) да бъдат успоредни:;

3) или пресичане в една точка :.

Помощ за чайници : Моля, помнете математическия знак на кръстовището, той ще се срещне много често. Входът означава, че директът се пресича с права точка в точката.

Как да определим взаимното местоположение на две прави линии?

Да започнем от първия път:

След това две права линия съвпадат и само ако техните съответни коефициенти са пропорционални, т.е. има такъв номер "ламбда", който се извършва равенство

Разгледайте директните и направете три уравнения от съответните коефициенти :. От всяко уравнение следва, че следователно преките данни съвпадат.

Всъщност, ако всички коефициенти на уравнението Умножете до -1 (промени за промяна) и всички коефициенти на уравнение Намаляване 2, тогава ще бъде получено същото уравнение :.

Вторият случай е, когато е направо успоредно на:

Два права паралела и само ако техните коефициенти са пропорционални на променливите: , но.

Като пример, помислете за две права. Проверете пропорционалността на съответните коефициенти с променливи:

Въпреки това е съвсем очевидно.

И третия случай, когато линията се пресича:

Тогава се пресичат две прави линии и само ако техните коефициенти не са пропорционални на променливи, т.е. няма такова значение на "ламбда" да се извършва равни

Така че, за директно създаване на система:

От първото уравнение следва това, и от второто уравнение: това означава системата е непълна (Без решения). По този начин коефициентите с променливи не са пропорционални.

Заключение: направо пресичане

В практически задачи можете да използвате само схемата за решаване. Тя, между другото, напомня алгоритъма за проверка на вектори за колинеатността, които разглеждаме в урока Концепцията за линейни (без) зависимости на векторите. Основни вектори. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1.

Разберете взаимното местоположение на директното:

Решение Въз основа на изследването на директните вектори на директното:

а) от уравненията ще намерят директни вектори: .

Така че векторите не са колинеарни и прави пресечки.

Само в случай, поставете камък с указатели към кръстопътя:

Останалите скочи камъка и следвайте следващия, направо до безсмъртието на безсмъртния \u003d)

б) Ще намерим директни вектори директно:

Направо имат същия водещ вектор, това означава, че те са или успоредни, или съвпадат. Тук и определянето не е необходимо.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестни са пропорционални на това.

Разбираме дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Ние намираме директни вектори директно:

Изчислете детерминанта, съставен от координатите на данните на векторите:
Следователно, водещи вектори колинеар. Директно или успоредно или съвпадащо.

Съотношението на пропорционалността на "ламбда" не е трудно да се види директно от съотношението на колонеарните вектори. Въпреки това, тя може да бъде намерена чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега разберете дали равенството е вярно. И двата безплатни членове Zero, така:

Получената стойност отговаря на това уравнение (отговаря на всеки номер като цяло).

Така директно съвпада.

Отговор:

Много скоро ще научите (или вече сте научили) за решаване на разглежданата задача орално буквално за секунди. В това отношение не виждам причина да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да се стартира друга важна тухла в геометрична фондация:

Как да се изгради прав паралел с това?

За невежество от този най-прост проблем, бодлят на нощта е силно наказуем.

Пример 2.

Директно се дава от уравнението. Направете уравнението на паралелен директ, който преминава през точката.

Решение: Обозначава с неизвестно директно писмо. Какво е казано за нея в състоянието? Директното преминава през точката. И ако е очевидно, е очевидно, че директният водещ вектор "CE" е подходящ за изграждане на права линия "de".

Издърпайте водещия вектор от уравнението:

Отговор:

Примерната геометрия изглежда неудобно:

Аналитичната проверка се състои в следните стъпки:

1) Проверяваме, че един и същ водещ вектор (ако директното уравнение не е опростено правилно, векторите ще бъдат колинеарни).

2) проверяваме дали точката, получена уравнение, удовлетворява.

Аналитичната проверка в повечето случаи е лесна за извършване устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят паралелизма на директни без никакви рисунки.

Примери за независимо решение днес ще бъдат креативни. Защото все още трябва да вземете баба яга и тя, знаете, любовник на всякакви мистерии.

Пример 3.

Направете уравнението на директно преминаване през точка, успоредна на линията, ако

Има рационално и не много рационално решение. Най-краткият път е в края на урока.

С паралелно направо, те работеха малко и се върнаха към тях. Случаят с съвпадащи прави линии е по-интересен, така че обмислете задачата, която ви е позната от училищната програма:

Как да намерим точка на пресичане на две прави линии?

Ако е изправен се пресичат в точката, нейните координати са решение Системи за линейни уравнения

Как да намерим точката на пресичане на директна? Решаване на системата.

Ето ме геометричното значение на системата от две линейни уравнения с две неизвестни - Това са две пресичащи се (най-често) направо в самолета.

Пример 4.

Намерете точка на пресичане на директно

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да изтеглите данните директно и да научите точка на пресичане директно от чертежа:

Ето наша точка :. За да се провери, е необходимо да се заместят нейните координати във всяко уравнение директно, те трябва да излязат там и там. С други думи, координатите на точката са решаването на системата. Всъщност разгледахме графично решение системи за линейни уравнения С две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими против. Не, не е, че седмите грейдери решават, че фактът е, че правилният и точен чертеж ще отнеме време. В допълнение, някои директно изграждане не са толкова прости, а самата точка на пресичане може да бъде някъде в тридетерното царство извън листа за въздушен лист.

Следователно, точката на пресичане е по-целесъобразно да се търси аналитичен метод. Разрешаване на системата:

За да се реши системата, се използва методът на сглобяване на уравнения. За да изработите подходящите умения, посетете урока Как да решават системата на уравненията?

Отговор:

Проверка на тривиално - координатите на точката на пресичане трябва да отговарят на всяко уравнение на системата.

Пример 5.

Намерете точката на пресичане директно, ако се пресичат.

Това е пример за независимо решение. Задачата е удобна да се разбие на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) направете уравнението директно.
2) направете пряко уравнение.
3) Разберете взаимното местоположение на правите линии.
4) Ако директно пресичат, намерете точка на пресичане.

Разработването на алгоритъм за действия е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Stoptan и чифт обувки, както стигнахме до втория участък:

Перпендикулярни права. Разстояние от точка до права.
Ъгълът между право

Нека започнем с типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на това и сега колибата на любопитни крака ще се разгърне на 90 градуса:

Как да се изгради прав, перпендикулярно на това?

Пример 6.

Директно се дава от уравнението. Направете уравнението перпендикулярно на директното преминаване, преминало през точката.

Решение: При условията е известно, че. Би било хубаво да се намери водещ вектор право. Тъй като направо перпендикулярно фокус е просто:

От уравнението "премахване" на вектора на нормалното: което ще бъде директна линия.

Уравнението е директно да бъде на точката и водещ вектор:

Отговор:

Ще стартираме геометричен етюд:

M-да ... оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Проверка на аналитичното решение:

1) от уравненията издърпайте водещите вектори и с помощ вектори на скаларния продукт Ние заключаваме, че правите линии са наистина перпендикулярни :.

Между другото, можете да използвате нормални вектори, това е още по-лесно.

2) проверка дали точката на полученото уравнение удовлетворява .

Проверете отново, лесно се изпълнявайте устно.

Пример 7.

Намерете пресечната точка перпендикулярна директна, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример за независимо решение. В задачите няколко действия, така че решението е удобно да се постави в точки.

Нашето очарователно пътуване продължава:

Разстояние от точка до директно

Имаме пряка лента от река и нашата задача е да го достигнем най-краткия начин. Няма препятствия, а най-оптималният път ще се движи по перпендикулярно. Това означава, че разстоянието от точката до линията е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрия традиционно означава от гръцката буква "RO", например: - разстояние от точката "em" до прави "de".

Разстояние от точка до директно Формулата се изразява

Пример 8.

Намерете разстоянието от точка до Direct

Решение: Всичко, от което се нуждаете, тя внимателно замества номерата във формулата и извършва изчисление:

Отговор:

Извършете чертеж:

Намереното разстояние от точката до линията е точно дължината на червения сегмент. Ако направите рисунка на карираната хартия на 1 единица. \u003d 1 cm (2 клетки), тогава разстоянието може да бъде измерено чрез обикновен владетел.