Praktični rad „Rješavanje sistema linearnih jednačina trećeg reda primjenom Cramerove metode. Cramerova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina V.S.

Odjeljak 3.3 pokazao je ograničenja koja nastaju kada se prate signali različite frekvencije korištenjem sistema drugog reda. Razmotrimo sada mogućnost ublažavanja nekih od ovih ograničenja uvođenjem drugog integratora u sistem. Ispostavilo se da je proces hvatanja za sistem trećeg reda manje stabilan nego za sistem drugog reda, ali uz pomoć drugog integratora moguće je proširiti opseg praćenja sistema koji je već uhvaćen u početnom trenutku. Funkcija prijenosa filter sada izgleda tako

a iz (3.1) slijedi:

Nakon zamjene, ovaj izraz se svodi na oblik

Dobijamo normalizaciju i uvođenje notacija

Konvencionalna metoda fazne ravni nije primjenjiva na diferencijalne jednadžbe trećeg reda zbog činjenice da u ovom slučaju postoje tri početna uslova koja odgovaraju tri varijable: faza, frekvencija i brzina promjene frekvencije (u mehaničkim sistemima - pomak, brzina i ubrzanje). U principu, trajektorije definisane jednačinom trećeg reda mogu biti predstavljene u trodimenzionalnom prostoru. Svaki pokušaj projektovanja ovih putanja za J skup početnih uslova na ravan doveo bi do tako zbunjujućeg dijagrama da bi bilo nemoguće iz njega izvući bilo kakve opšte zaključke.

S druge strane, ako se ograničimo na jedan skup početnih uslova, možemo dobiti projekciju putanje na ravan. Od posebnog značaja je sledeći skup početnih uslova: Drugim rečima, sistem je inicijalno zaključan tako da su greške frekvencije i faze nula kada se referentna frekvencija počne linearno menjati.

Lako je promijeniti strukturu analognog računarskog uređaja kako bi se prilagodio uvođenju drugog integratora.

Rice. 3.19. Projekcije trajektorija u faznom prostoru za petlju trećeg reda

(vidi skeniranje)

Na sl. Slika 3.19 prikazuje niz putanja projektovanih na ravan. U svim razmatranim slučajevima, dakle. U hipotetičkom trodimenzionalnom "faznom prostoru" trajektorije počinju u tački i završavaju na osi

Na sl. 3.19, a prikazuje ponašanje sistema drugog reda pod istim početnim uslovima. Konačna, ili stabilna, vrednost faze je ista kao što je prikazano u § 3.3. Uvođenje drugog integratora dovodi do smanjenja greške stacionarnog stanja na nulu, što je brže, to više. Kako se ona povećava, tako se smanjuje i najveća fazna greška, međutim, zbog smanjenja slabljenja sistema, što dovodi do povećanja srednje kvadratne greške faze (vidi sliku 3.19, b - 3.19, g). Konačno, kada sistem postane nestabilan.

Poboljšanje postignuto povećanjem reda sistema ilustrovano je na Sl. 3.20. Ovdje kao i prije, ali... U § 3.3 je pokazano da pri ovoj ili većoj brzini linearne promjene frekvencije, sistem ne može izvršiti praćenje. Rice. 3.20, ali potvrđuje ovu okolnost. S druge strane, čak i uz najmanji stepen uticaja drugog integratora, dobija se nulta stabilna fazna greška. Najveća trenutna vrijednost neusklađenosti faza se smanjuje kako koeficijent raste, ali kada se koeficijent povećava, sistem ponovo postaje nestabilan.

Slične karakteristike su vidljive na sl. 3.21-3.23, osim činjenice da kako se omjer povećava, potrebne su sve veće vrijednosti koeficijenta da bi se sistem održao u stanju zahvata. Na kraju, kako se omjer približava 2 ili na, potrebno je da bude oko 1/2. Ali sa Sl. 3.19, g - 3.23, h jasno je da je pri ovoj vrijednosti sistem nestabilan. Raspon vrijednosti koeficijenta pri kojem sistem ostaje u stanju hvatanja, u zavisnosti od omjera, prikazan je na Sl. 3.24-3.26 sa vrijednostima respektivno. Raspon dozvoljenih vrijednosti koeficijenta je zasjenjen. Vidi se da je linearnom promjenom frekvencije uvođenje sistema trećeg reda omogućilo proširenje raspona u kojem se postiže praćenje, otprilike

Rice. 3.20. Projekcije trajektorija u faznom prostoru za petlju trećeg reda

(vidi skeniranje)

Rice. 3.21. Projekcije trajektorija u faznom prostoru za petlju trećeg reda

(vidi skeniranje)

Rice. 3.22. Projekcije trajektorija u faznom prostoru za petlju trećeg reda

(vidi skeniranje)

Rice. 3.23. Projekcije trajektorija u faznom prostoru za petlju trećeg reda

(vidi skeniranje)

Rice. 3.24. Sistem trećeg reda hvata regiju stanja

Rice. 3.25. Sistem trećeg reda hvata regiju stanja

Rice. 3.26. Sistem trećeg reda zahvata region stanja

dvostruko više u poređenju sa sistemom drugog reda pri i čak i veće pri nižim vrijednostima

Teoretski je moguće objasniti oscilatornu prirodu promjene koeficijenta b kada su njegove vrijednosti oko ili više od 1/2. Diferencirajući jednadžbu (3.41), dobijamo

Gabriel Kramer – matematičar, tvorac istoimene metode rješavanja sistema linearne jednačine

Gabriel Cramer je poznati matematičar koji je rođen 31. jula 1704. godine. Još kao dijete Gabrijel je zadivio svojim intelektualnim sposobnostima, posebno u oblasti matematike. Kada je Kramer imao 20 godina, zaposlio se kao redovni nastavnik na Univerzitetu u Ženevi.

Putujući po Evropi, Gabriel je upoznao matematičara Johanna Bernoullija, koji mu je postao mentor. Samo zahvaljujući Johannu Kramer je napisao mnoge članke o geometriji, istoriji matematike i filozofije. A u slobodno vrijeme od posla sve više sam učio matematiku.

Konačno je došao dan kada je Cramer pronašao način na koji bi bilo moguće lako riješiti ne samo lake, već i složene sisteme linearnih jednačina.

Godine 1740. Cramer je objavio nekoliko radova u kojima je jasno predstavljeno rješenje kvadratnih matrica i opisan algoritam za pronalaženje inverzne matrice. Zatim je matematičar opisao pronalaženje linearnih jednačina različite složenosti, gdje se njegove formule mogu primijeniti. Zato se tema i zvala: “Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.”

Naučnik je umro u 48. godini (1752. godine). Imao je još mnogo planova, ali ih, nažalost, nikada nije realizovao.

Neka je dat sistem linearnih jednadžbi ovog oblika:

gdje su , , nepoznate varijable, numerički koeficijenti i slobodni termini.

Rješenja SLAE (sistema linearnih algebarskih jednadžbi) su one nepoznate vrijednosti za koje se sve jednačine datog sistema pretvaraju u identitete.

Ako sistem zapišemo u matričnom obliku, onda ćemo dobiti , gdje

U ovom glavna matrica pronađeni su elementi čiji su koeficijenti za nepoznate varijable,

Ovo je matrica stupaca slobodnih termina, ali postoji i matrica stupaca nepoznatih varijabli:

Nakon što se pronađu nepoznate varijable, matrica će biti rješenje sistema jednačina, a naša jednakost će se transformisati u identitet. . Ako pomnožite, onda . Ispada: .

Ako je matrica nesingularna, odnosno njena determinanta nije jednaka nuli, tada SLAE ima samo jedno jedinstveno rješenje, koje se nalazi pomoću Cramerove metode.

U pravilu, da biste riješili sisteme linearnih jednadžbi pomoću Cramerove metode, morate obratiti pažnju na dva svojstva na kojima se ova metoda zasniva:

1. Determinanta kvadratne matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg od reda (stupaca) i njihovih algebarskih komplemenata:

Ovdje – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, br.

2. Zbir proizvoda elemenata date matrice bilo kog reda ili bilo kojeg stupca algebarskim komplementama određenih elemenata drugog reda (kolone) jednak je nuli:

gdje je – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, br. .

Dakle, sada možemo pronaći prvu nepoznatu. Da biste to uradili, potrebno je pomnožiti obe strane prve jednačine sistema sa, delove druge jednačine sa, obe strane treće jednačine sa itd. To jest, svaka jednačina jednog sistema mora se pomnožiti sa određenim algebarski komplementi prvog stupca matrice:

Sada hajde da saberemo sve leve strane jednačine, grupišemo članove, uzimajući u obzir nepoznate varijable, i izjednačimo isti zbir sa zbirom desnih strana sistema jednačina:

Možemo se obratiti svojstvima gore opisanih determinanti i tada ćemo dobiti:

A prethodna jednakost već izgleda ovako:

Odatle dolazi.

Nalazimo slično. Da biste to učinili, trebate pomnožiti obje strane jednadžbe algebarskim dodacima, koji se nalaze u drugom stupcu matrice.

Sada treba da saberete sve jednačine sistema i grupišete pojmove za nepoznate varijable. Da biste to učinili, prisjetite se svojstava determinante:

odakle dolazi?

Sve ostale nepoznate varijable nalaze se na sličan način.

Ako odredimo:

tada se dobijaju formule, zahvaljujući kojima se Cramerovom metodom pronalaze nepoznate varijable:

Komentar.

Trivijalno rješenje za može postojati samo ako je sistem jednačina homogen. Zaista, ako su svi slobodni termini nula, onda su determinante nula, jer sadrže kolonu sa nula elemenata. Naravno, tada će formule , , dati

Cramerova metoda - teoreme

Prije rješavanja jednačine morate znati:

1. teorema otkazivanja;
2. teorema zamjene.

Teorema zamjene

Teorema

Zbir proizvoda algebarskih sabiranja bilo kojeg stupca (reda) proizvoljnim brojevima jednak je novoj determinanti, u kojoj ti brojevi zamjenjuju odgovarajuće elemente originalne determinante, koji odgovaraju ovim algebarskim dodacima.

Na primjer,

gdje su algebarski komplementi elemenata prvog stupca originalne determinante:

Teorema otkazivanja

Teorema

Zbir proizvoda elemenata jednog reda (kolone) algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) jednak je nuli.

Na primjer:

Algoritam za rješavanje jednačina korištenjem Cramerove metode

Cramerova metoda je jednostavan način rješavanja linearnih sistema algebarske jednačine. Ova opcija se odnosi isključivo na SLAE u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznatih, a determinanta je različita od nule.

Dakle, kada naučite sve faze, možete prijeći na algoritam za rješavanje jednačina korištenjem Cramerove metode. Zapišimo to redom:

Korak 1. Izračunajte glavnu determinantu matrice

i morate biti sigurni da je determinanta različita od nule (nije jednaka nuli).

Korak 2. Pronađite determinante

Ovo su determinante matrica koje su dobijene iz matrice zamjenom kolona slobodnim terminima.

Korak 3. Izračunajte nepoznate varijable

Sada se prisjetimo Cramerovih formula koje koristimo za izračunavanje korijena (nepoznate varijable):

Korak 4. Provjerite

Rješenje provjeravamo zamjenom u originalni SLAE. Apsolutno sve jednačine u sistemu moraju se transformisati u identitete. Također možete izračunati proizvod matrica. Ako je rezultirajuća matrica jednaka , tada je sistem ispravno riješen. Ako nije jednako, najvjerovatnije postoji greška u jednoj od jednačina.

Pogledajmo prvo sistem od dvije linearne jednačine, jer je jednostavniji i pomoći će vam da shvatite kako pravilno koristiti Cramerovo pravilo. Ako razumete jednostavne i kratke jednačine, onda možete rešiti složenije sisteme od tri jednačine sa tri nepoznate.

Između ostalog, postoje sistemi jednadžbi s dvije varijable koje se mogu riješiti isključivo zahvaljujući Cramerovom pravilu.

Dakle, dat nam je sistem od dvije linearne jednadžbe:

Prvo izračunamo glavnu determinantu (determinantu sistema):

To znači da ako , tada sistem ili ima mnogo rješenja, ili sistem nema rješenja. U ovom slučaju nema smisla koristiti Cramerovo pravilo, jer rješenja neće biti i morate zapamtiti Gaussovu metodu, uz pomoć koje se ovaj primjer rješava brzo i jednostavno.

Ako je , tada sistem ima samo jedno rješenje, ali za to je potrebno izračunati još dvije determinante i pronaći korijene sistema.

Često se u praksi kvalifikatori mogu odrediti ne samo , već i latinično pismo, što će takođe biti tačno.

Lako je pronaći korijene jednadžbe, jer je glavna stvar znati formule:

Pošto smo uspjeli riješiti sistem od dvije linearne jednačine, sada možemo riješiti bez ikakvih problema sistem od tri linearne jednačine, a za to razmatramo sistem:

Ovdje su algebarski komplementi elemenata prvi stupac. Prilikom rješavanja ne zaboravite na dodatne elemente. Dakle, u sistemu linearnih jednačina potrebno je pronaći tri nepoznate - sa ostalim poznatim elementima.

Kreirajmo determinantu sistema od koeficijenata nepoznatih:

Pomnožimo svaki član jednačine po član sa , , – algebarskim dopunama elemenata prvog stupca (koeficijenti od ) i saberimo sve tri jednačine. Dobijamo:

Prema teoremi ekspanzije, koeficijent at je jednak . Koeficijenti i bit će jednaki nuli prema teoremi poništavanja. Desni deo jednakost teoremom zamjene daje novu determinantu koja se naziva pomoćna i označava

Nakon ovoga možemo napisati jednakost:

Da bismo pronašli i množimo svaku od jednadžbi originalnog sistema u prvom slučaju, odnosno sa , u drugom - sa i dodaj. Nakon toga dobijamo:

Ako je , tada kao rezultat dobivamo Cramerove formule:

Postupak rješavanja homogenog sistema jednačina

Poseban slučaj su homogeni sistemi:

Među rješenjima homogenog sistema mogu postojati i nula rješenja i rješenja različita od nule.

Teorema

Ako je determinanta homogenog sistema (3) različita od nule, onda takav sistem može imati samo jedno rješenje.

Zaista, pomoćne determinante, poput onih koje imaju nulti stupac i stoga iza Cramerovih formula

Teorema

Ako homogeni sistem ima rješenje različito od nule, onda je njegova determinanta nula

Zaista, neka se jedna od nepoznanica, na primjer, razlikuje od nule. Prema homogenosti, Jednakost (2) će biti zapisana: . Odakle to dolazi

Primjeri rješenja primjenom Cramerove metode

Pogledajmo rješenje koristeći Cramerovu metodu kao primjer i vidjet ćete da nema ništa komplicirano, ali budite krajnje oprezni, jer česte greške u znakovima dovode do pogrešnog odgovora.

Primjer 1

Zadatak

Rješenje

Prva stvar koju treba uraditi je izračunati determinantu matrice:

Kao što vidimo, dakle, prema Cramerovoj teoremi, sistem ima jedinstveno rješenje (sistem je konzistentan). Zatim morate izračunati pomoćne determinante. Da biste to učinili, zamijenite prvi stupac iz determinante stupcem slobodnih koeficijenata. Ispada:

Na sličan način nalazimo i preostale determinante:

I provjeravamo:

Odgovori

Primjer 2

Zadatak

Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu:

Rješenje

Pronalazimo determinante:

Odgovori

= = = = = =

Ispitivanje

Jednačina ima jedinstveno rješenje.

Odgovori

Primjer 3

Zadatak

Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu

Rješenje

Kao što razumijete, prvo ćemo pronaći glavnu odrednicu:

Kao što vidimo, glavna determinanta nije jednaka nuli i stoga sistem ima jedinstveno rješenje. Sada možemo izračunati preostale determinante:

Koristeći Cramerove formule nalazimo korijene jednadžbe:

Da biste bili sigurni da je rješenje ispravno, morate provjeriti:

Kao što vidimo, zamjenom riješenih korijena u jednačinu dobili smo isti odgovor kao na početku zadatka, koji ukazuje na ispravno rješenje jednačina.

Odgovori

Sistem jednačina ima jedinstveno rješenje: , , .

Postoje primjeri kada jednačina nema rješenja. Ovo može biti slučaj kada je determinanta sistema jednaka nuli, a determinante nepoznanica nisu jednake nuli. U ovom slučaju kažu da je sistem nekonzistentan, odnosno da nema rješenja. Pogledajmo na sljedećem primjeru kako se to može dogoditi.

Primjer 4

Zadatak

Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

Rješenje

Kao iu prethodnim primjerima, nalazimo glavnu determinantu sistema:

U ovom sistemu determinanta je jednaka nuli, odnosno sistem je nekonzistentan i određen ili nekonzistentan i nema rješenja. Da pojasnimo, moramo pronaći determinante za nepoznate kao što smo ranije radili:

Pronašli smo determinante nepoznatih i vidjeli da sve one nisu jednake nuli. Dakle, sistem je nekonzistentan i nema rješenja.

Odgovori

Sistem nema rješenja.

Često u zadacima o sistemima linearnih jednačina postoje jednačine u kojima nema identičnih slova, odnosno pored slova koja označavaju varijable, postoje i druga slova i ona označavaju neki realni broj. U praksi do takvih jednačina i sistema jednačina dovode problemi traženja opštih svojstava bilo koje pojave ili predmeta. Odnosno, jeste li izmislili bilo šta novi materijal ili uređaj, a da biste opisali njegova svojstva, koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj instance, potrebno je riješiti sistem linearnih jednačina, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje slova. Pogledajmo ovaj primjer.

Koristeći Cramerove formule, nalazimo:

Odgovori

I konačno, prelazimo na najsloženiji sistem jednačina sa četiri nepoznanice. Princip rješenja je isti kao u prethodnim primjerima, ali zbog velikog sistema može doći do zbunjivanja. Stoga, pogledajmo ovu jednačinu koristeći primjer.

U izvornoj odrednici, od elemenata drugog reda oduzeli smo elemente četvrtog reda, a od elemenata trećeg reda oduzeli elemente četvrtog reda koji su pomnoženi sa 2. Takođe smo oduzeli od elemenata četvrtog reda elementi prvog reda, pomnoženi sa dva. Transformacije početnih determinanti za prve tri nepoznate izvedene su po istoj shemi. Sada možete pronaći determinante za nepoznate:

Da bismo transformisali determinantu za četvrtu nepoznatu, oduzeli smo elemente četvrtog reda od elemenata prvog reda.

Sada koristeći Cramerove formule morate pronaći:

Odgovori

Dakle, pronašli smo korijene sistema linearnih jednačina:

Hajde da sumiramo

Koristeći Cramerovu metodu, možete riješiti sisteme linearnih algebarskih jednadžbi ako determinanta nije jednaka nuli. Ova metoda vam omogućava da pronađete determinante matrica istog reda kao na zahvaljujući Cramerovim formulama kada trebate pronaći nepoznate varijable. Ako su svi slobodni termini nula, onda su njihove determinante nula, jer sadrže kolonu sa nula elemenata. I naravno, ako su determinante jednake nuli, bolje je sistem riješiti Gausovom metodom Cramer metode u Excelu iz 2007 (XLSX)

Cramerova metoda - teorema, primjeri rješenja ažurirano: 22. novembra 2019. od: Scientific Articles.Ru

Matrice. Akcije na matrice. Svojstva operacija nad matricama. Vrste matrica.

Matrice (i, shodno tome, matematički dio - matrična algebra) važni su u primijenjenoj matematici, jer omogućavaju da se značajan dio zapiše u prilično jednostavnom obliku matematički modeli objekata i procesa. Termin "matrica" ​​pojavio se 1850. godine. Matrice se prvi put spominju u drevne Kine, kasnije od strane arapskih matematičara.

Matrix A=A mn poziva se red m*n pravokutna tablica brojeva koja sadrži m - redova i n - kolona.

Matrični elementi aij, za koje se i=j nazivaju dijagonala i oblik glavna dijagonala.

Za kvadratnu matricu (m=n), glavnu dijagonalu čine elementi a 11, a 22,..., a nn.

Matrična jednakost.

A=B, ako matrica naređuje A I B su isti i a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Akcije na matrice.

1. Sabiranje matrice - operacija po elementima

Oduzimanje matrice - operacija po elementima

3. Proizvod matrice i broja je operacija po elementima

4. Množenje A*B matrice prema pravilu red u kolonu(broj stupaca matrice A mora biti jednak broju redova matrice B)

A mk *B kn =C mn i svaki element sa ij matrice Cmn jednak je zbiru proizvoda i-tog reda matrice A i odgovarajućih elemenata j-te kolone matrice B.

Pokažimo operaciju množenja matrice na primjeru:

6. Transponovanje matrice A. Transponovana matrica je označena sa A T ili A"

Redovi i kolone su zamijenjeni

Primjer

Svojstva operacija nad matricama

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Vrste matrica

1. Pravokutni: m I n- proizvoljnih pozitivnih cijelih brojeva

2. Kvadrat: m=n

3. Red matrice: m=1. Na primjer, (1 3 5 7) - u mnogim praktičnim problemima takva se matrica naziva vektor

4. Matrični stupac: n=1. Na primjer

5. Dijagonalna matrica: m=n I a ij =0, Ako i≠j. Na primjer

6. Matrica identiteta: m=n I

7. Nulta matrica: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Trouglasta matrica: svi elementi ispod glavne dijagonale su 0.

9. Kvadratna matrica: m=n I a ij =a ji(tj., jednaki elementi se nalaze na mjestima simetričnim u odnosu na glavnu dijagonalu), i stoga A"=A

Na primjer,

Inverzna matrica- takva matrica A−1, kada se pomnoži s kojim je originalna matrica A rezultira matricom identiteta E:

Kvadratna matrica je inverzibilna ako i samo ako je nesingularna, odnosno, njena determinanta nije jednaka nuli. Za nekvadratne matrice i singularne matrice ne postoje inverzne matrice. Međutim, moguće je generalizirati ovaj koncept i uvesti pseudoinverzne matrice, slične inverznim u mnogim svojstvima.

Primjeri rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina matrična metoda.

Pogledajmo matričnu metodu koristeći primjere. U nekim primjerima nećemo detaljno opisivati ​​proces izračunavanja determinanti matrica.

Primjer.

Korišćenjem inverzna matrica naći rješenje sistema linearnih jednačina

.

Rješenje.

U matričnom obliku, originalni sistem će biti napisan kao gdje . Izračunajmo determinantu glavne matrice i uvjerimo se da je različita od nule. U suprotnom, nećemo moći riješiti sistem matričnim metodom. Imamo , dakle, za matricu A može se naći inverzna matrica. Dakle, ako pronađemo inverznu matricu, onda definiramo željeno rješenje SLAE kao . Dakle, zadatak je sveden na konstruisanje inverzne matrice. Hajde da je nađemo.

Inverzna matrica se može naći pomoću sljedeće formule:

, gdje je determinanta matrice A, je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice .

Koncept inverzne matrice postoji samo za kvadratne matrice, matrice “dva po dva”, “tri po tri” itd.

Polarne koordinate. U polarnom koordinatnom sistemu, položaj tačke M

M

PRAVOUGAONE KOORDINATE U PROSTORU

STRAIGHT

1. Opća jednačina prave linije. Bilo koja jednačina prvog stepena u odnosu na x i y, tj. jednačina oblika:

(1) Ax+Bu+C=0 pozvan. zajednice jednadžbom prave ( + ≠0), A, B, C - KONSTANTNI KOEFICIJENTI.

KRIVE DRUGOG REDOVANJA

1. Krug. Krug je skup tačaka u ravni, jednako udaljenih -

jednako udaljena od date tačke (centra). Ako je r polumjer kružnice, a tačka C (a; b) njegovo središte, onda jednadžba kružnice ima oblik:

Hiperbola. Hiperbola je skup tačaka na ravni, apsolut

veličina razlike u udaljenostima do dvije date tačke, koja se naziva fo-

komada, postoji konstantna vrijednost (označena je sa 2a), a ta konstanta je manja od udaljenosti između žarišta. Ako fokus hiperbole postavimo u tačke F1 (c; 0) i F2(- c; 0), dobićemo kanonsku jednačinu hiperbole

ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU

RAVNO I RAVNO

ravni, koja se naziva normalni vektor.

Površina drugog reda

Površina drugog reda- geometrijski lokus tačaka u trodimenzionalnom prostoru čije pravougaone koordinate zadovoljavaju jednačinu oblika

u kojoj je barem jedan od koeficijenata , , , , , različit od nule.

Vrste površina drugog reda

Cilindrične površine

Površina se zove cilindrična površina sa generatricom, ako za bilo koju tačku ove površine prava linija koja prolazi kroz ovu tačku paralelno sa generatricom u potpunosti pripada površini.

Teorema (o jednadžbi cilindrične površine).
Ako u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu površina ima jednačinu , onda je to cilindrična površina sa generatricom paralelnom sa osi.

Zove se kriva definisana jednadžbom u ravni vodič cilindrična površina.

Ako je smjer cilindrične površine zadan krivuljom drugog reda, tada se takva površina naziva cilindrična površina drugog reda .

eliptični cilindar:	Parabolički cilindar:	Hiperbolički cilindar:
Par odgovarajućih linija:	Par podudarnih ravni:	Par ravnina koje se seku:

Konične površine

Konusna površina.

Glavni članak:Konusna površina

Površina se zove konusna površina sa vrhom u tački, ako za bilo koju tačku ove površine prava linija koja prolazi kroz i u potpunosti pripada ovoj površini.

Funkcija se poziva homogeni poredak , ako je sljedeće tačno:

Teorema (o jednadžbi konusne površine).
Ako je u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu površina data jednačinom , gdje je homogena funkcija, tada je konusna površina sa vrhom u početku.

Ako je površina definirana funkcijom koja je homogeni algebarski polinom drugog reda, onda se naziva konusna površina drugog reda .

· Kanonska jednadžba konus drugog reda ima oblik:

Površine revolucije]

Površina se zove površina rotacije oko ose, ako za bilo koju tačku ove površine kružnica koja prolazi kroz ovu tačku u ravni sa središtem u i radijusom , u potpunosti pripada ovoj površini.

Teorema (o jednadžbi površine okretanja).
Ako je u nekom Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu površina data jednačinom, tada je površina rotacije oko ose.

elipsoid:	Hiperboloid od jednog lista:	Hiperboloid sa dva lista:	Eliptični paraboloid:

U slučaju , gore navedene površine su okretne površine.

Eliptični paraboloid

Jednačina eliptičkog paraboloida je

Ako je , tada je eliptični paraboloid površina okretanja formirana rotacijom parabole čiji parametar , oko vertikalne ose koja prolazi kroz vrh i fokus date parabole.

Presjek eliptičkog paraboloida s ravninom je elipsa.

Presjek eliptičkog paraboloida s ravninom ili je parabola.

Hiperbolički paraboloid]

Hiperbolički paraboloid.

Jednačina hiperboličkog paraboloida ima oblik

Presjek hiperboličkog paraboloida s ravninom je hiperbola.

Presjek hiperboličnog paraboloida s ravninom ili je parabola.

Zbog svoje geometrijske sličnosti, hiperbolički paraboloid se često naziva "sedlo".

Centralne površine

Ako centar površine drugog reda postoji i jedinstven je, tada se njegove koordinate mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:

Dakle, znak koji je dodijeljen minoru odgovarajućeg elementa determinante određen je sljedećom tablicom:

U gornjoj jednakosti koja izražava determinantu trećeg reda,

na desnoj strani je zbir proizvoda elemenata 1. reda determinante i njihovih algebarskih komplementa.

Teorema 1. Determinanta trećeg reda jednaka je zbiru proizvoda

elemente bilo kojeg njegovog reda ili stupca u njihove algebarske komplemente.

Ova teorema vam omogućava da izračunate vrijednost determinante, otkrivajući je prema

elemente bilo kojeg njegovog reda ili stupca.

Teorema 2. Zbir proizvoda elemenata bilo kojeg reda (kolone)

determinanta algebarskih komplemenata elemenata drugog reda (kolone) jednaka je nuli.

Svojstva determinanti.

1°. Odrednica se neće promijeniti ako se redovi determinante zamijene kolonom

tsami, a kolone su odgovarajući redovi.

2°. Zajednički faktor elemenata bilo kojeg reda (ili kolone) može

uzeti izvan znaka determinante.

3°. Ako su elementi jednog reda (kolone) determinante, respektivno

su jednaki elementima drugog reda (kolone), tada je determinanta jednaka nuli.

4°. Prilikom preuređivanja dva reda (kolone), determinanta mijenja predznak u

suprotno.

5°. Odrednica se neće promijeniti ako elementi istog reda (kolone)

dodati odgovarajuće elemente drugog reda (kolone), pomnožene istim brojem (teorema o linearnoj kombinaciji paralelnih nizova determinante).

Rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznanice.

pronađeno korištenjem Cramerovih formula

Pretpostavlja se da je D ≠0 (ako je D = 0, onda je originalni sistem ili nesiguran ili nekonzistentan).

Ako je sistem homogen, tj. ima oblik

a njegova determinanta nije nula, tada ima jedinstveno rješenje x = 0,

Ako je determinanta homogenog sistema jednaka nuli, onda se sistem redukuje

ili na dvije nezavisne jednačine (treća je njihova posljedica), ili na

jedna jednačina (druge dvije su njene posljedice). Prvi slučaj

javlja se kada među minorima determinante homogenog sistema postoji

barem jedan je različit od nule, a drugi je kada su svi minori ove determinante jednaki nuli. U oba slučaja homogeni sistem ima bezbroj rješenja.

Izračunajte determinantu trećeg reda

KOSTROMSKI FILIJAL VOJNOG UNIVERZITETA RCB ZAŠTITE

Odjel za automatizaciju upravljanja trupama

Samo za nastavnike

"odobravam"

Šef odjeljenja br.9

Pukovnik YAKOVLEV A.B.

"____"______________ 2004

Vanredni profesor A.I. SMIRNOVA

„KVALIFIKACIJE.

RJEŠENJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA"

PREDAVANJE br. 2 / 1

Razgovarano na sastanku odjeljenja br. 9

"____"___________ 2004

Protokol br.___________

Kostroma, 2004.

Uvod

1. Odrednice drugog i trećeg reda.

2. Svojstva determinanti. Teorema dekompozicije.

3. Cramerova teorema.

Zaključak

Književnost

1. V.E. Schneider et al. Kratki kurs Viša matematika, tom I, gl. 2, stav 1.

2. V.S. Ščipačev, Viša matematika, poglavlje 10, stav 2.

UVOD

Na predavanju se govori o determinantama drugog i trećeg reda i njihovim svojstvima. A također i Cramerov teorem, koji vam omogućava da rješavate sisteme linearnih jednadžbi koristeći determinante. Determinante se takođe koriste kasnije u temi "Vektorska algebra" prilikom računanja vektorski proizvod vektori.

1. studijsko pitanje DETERMINANTE DRUGE I TREĆE

ORDER

Razmotrite tabelu sa četiri broja u obliku

Brojevi u tabeli su označeni slovom sa dva indeksa. Prvi indeks označava broj reda, drugi broj kolone.

DEFINICIJA 1.Odrednica drugog reda pozvaoizrazvrsta:

(1)

Brojevi A 11, …, A 22 se nazivaju elementi determinante.

Dijagonala formirana elementima A 11 ; A 22 naziva se glavna, a dijagonala koju čine elementi A 12 ; A 21 - jedan pored drugog.

Dakle, determinanta drugog reda jednaka je razlici između proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale.

Imajte na umu da je odgovor broj.

PRIMJERI. Izračunati:

Sada razmotrite tabelu od devet brojeva, napisanu u tri reda i tri kolone:

DEFINICIJA 2. Odrednica trećeg reda nazvan izrazom forme:

Elementi A 11; A 22 ; A 33 – čine glavnu dijagonalu.

Brojevi A 13; A 22 ; A 31 – formira bočnu dijagonalu.

Hajde da shematski opišemo kako se formiraju plus i minus članovi:

" + " " – "

Plus uključuje: proizvod elemenata na glavnoj dijagonali, preostala dva člana su proizvod elemenata koji se nalaze na vrhovima trokuta sa bazama paralelnim s glavnom dijagonalom.

Minus članovi se formiraju prema istoj shemi u odnosu na sekundarnu dijagonalu.

Ovo pravilo za izračunavanje determinante trećeg reda se zove

Pravilo T reugoljnikov.

PRIMJERI. Izračunajte koristeći pravilo trokuta:

KOMENTAR. Determinante se takođe nazivaju determinante.

2. studijsko pitanje SVOJSTVA DETERMINANTA.

TEOREMA EKSPANZIJE

Nekretnina 1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima.

.

Otkrivanjem obje determinante uvjeravamo se u valjanost jednakosti.

Svojstvo 1 uspostavlja jednakost redova i stupaca determinante. Stoga ćemo formulirati sva daljnja svojstva determinante i za redove i za stupce.

Nekretnina 2. Prilikom preuređivanja dva reda (ili stupca), determinanta mijenja svoj predznak u suprotan, zadržavajući svoju apsolutnu vrijednost.

.

Nekretnina 3. Zajednički faktor elemenata reda(ili kolona)može se uzeti kao determinantni znak.

.

Nekretnina 4. Ako determinanta ima dva identična reda (ili stupca), onda je jednaka nuli.

Ovo svojstvo se može dokazati direktnom provjerom, ili možete koristiti svojstvo 2.

Označimo determinantu sa D. Kada se dva identična prva i druga reda preurede, ona se neće promijeniti, ali prema drugom svojstvu mora promijeniti predznak, tj.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Svojstvo 5. Ako su svi elementi niza(ili kolona)su jednake nuli, tada je determinanta jednaka nuli.

Ovo svojstvo se može smatrati posebnim slučajem imovine 3 kada

Nekretnina 6. Ako elementi dvije linije(ili kolone)determinante su proporcionalne, tada je determinanta jednaka nuli.

.

Može se dokazati direktnom provjerom ili korištenjem svojstava 3 i 4.

Nekretnina 7. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (ili stupca) dodaju elementima reda (ili stupca), pomnoženim istim brojem.

.

Dokazano direktnom provjerom.

Upotreba ovih svojstava u nekim slučajevima može olakšati proces izračunavanja determinanti, posebno trećeg reda.

Za ono što slijedi trebat će nam koncepti mola i algebarskog komplementa. Razmotrimo ove koncepte da bismo definirali treći red.

DEFINICIJA 3. Minor datog elementa determinante trećeg reda naziva se determinanta drugog reda dobijena od datog elementa precrtavanjem reda i stupca na čijem presjeku se nalazi dati element.

Element minor Aij označeno sa Mij. Dakle za element A 11 maloljetnik

Dobiva se precrtavanjem prvog reda i prve kolone u odrednici trećeg reda.

DEFINICIJA 4. Algebarski komplement elementa determinante oni to zovu minor pomnožen sa(-1)k, Gdjek- zbir brojeva reda i kolone na čijem presjeku se nalazi ovaj element.

Algebarski komplement elementa Aij označeno sa Aij.

dakle, Aij =

.

Zapišimo algebarske sabirke za elemente A 11 i A 12.

. .

Korisno je zapamtiti pravilo: algebarski komplement elementa determinante jednak je njegovom predznakom plus, ako je zbir brojeva reda i stupaca u kojima se element pojavljuje čak, i sa znakom oduzeti, ako je ovaj iznos odd.

PRIMJER. Naći minore i algebarske komplemente za elemente prvog reda determinante:

Jasno je da se minori i algebarski komplementi mogu razlikovati samo po predznaku.

Razmotrimo bez dokaza jednu važnu teoremu - teorema ekspanzije determinante.

TEOREMA EKSPANZIJE

Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda ili stupca i njihovih algebarskih komplementa.

Koristeći ovu teoremu, zapisujemo proširenje determinante trećeg reda duž prvog reda.

.

U proširenom obliku:

.

Posljednja formula se može koristiti kao glavna pri izračunavanju determinante trećeg reda.

Teorema ekspanzije nam omogućava da svedemo izračunavanje determinante trećeg reda na izračunavanje tri determinante drugog reda.

Teorema dekompozicije pruža drugi način izračunavanja determinanti trećeg reda.

PRIMJERI. Izračunajte determinantu koristeći teorem o proširenju.