Rješenje jednadžbi Gaussovom metodom. Gaussova metoda: opis algoritma za rješavanje sistema linearnih jednačina, primjeri, rješenja

27.09.2019 | Automobili

Još od početka 16.-18. stoljeća matematičari su počeli intenzivno proučavati funkcije, zahvaljujući kojima se toliko toga promijenilo u našim životima. Kompjuterska tehnologija bez ovog znanja jednostavno ne bi postojala. Za rješavanje složenih problema, linearnih jednadžbi i funkcija, kreirani su različiti koncepti, teoreme i tehnike rješavanja. Jedan od takvih univerzalnih i racionalnih načina i metoda rješavanja linearne jednačine a njihovi sistemi su postali Gausov metod. Matrice, njihov rang, determinante - sve se može izračunati bez upotrebe složenih operacija.

Šta je SLAU

U matematici postoji koncept SLAE - linearnog sistema algebarske jednačine. Šta ona predstavlja? Ovo je skup m jednačina sa potrebnim n nepoznatih, obično označenih kao x, y, z, ili x 1 , x 2 ... x n, ili drugim simbolima. Riješi Gaussovom metodom ovaj sistem- znači pronaći sve tražene nepoznanice. Ako sistem ima isti broj nepoznanica i jednačina, onda se zove sistem n-tog reda.

Najpopularnije metode za rješavanje SLAE

AT obrazovne institucije srednje škole izučavaju različite tehnike za rješavanje ovakvih sistema. Najčešće su to jednostavne jednadžbe koje se sastoje od dvije nepoznanice, dakle bilo koje postojeća metoda neće trebati dugo da se pronađu odgovori na njih. To može biti kao metoda zamjene, kada se iz jedne jednačine izvede druga jednačina i zamjenjuje u originalnu. Ili pojam po član oduzimanje i sabiranje. Ali Gaussova metoda se smatra najlakšom i najuniverzalnijom. Omogućava rješavanje jednačina sa bilo kojim brojem nepoznanica. Zašto se ova tehnika smatra racionalnom? Sve je jednostavno. Matrična metoda je dobra jer ne zahtijeva nekoliko puta prepisivanje nepotrebnih znakova u obliku nepoznatih, dovoljno je izvršiti aritmetičke operacije nad koeficijentima - i dobit ćete pouzdan rezultat.

Gdje se SLAE koriste u praksi?

Rješenje SLAE su tačke presjeka linija na grafovima funkcija. U našem kompjuterskom dobu visoke tehnologije, ljudi koji su blisko uključeni u razvoj igara i drugih programa moraju znati kako riješiti takve sisteme, šta oni predstavljaju i kako provjeriti ispravnost rezultirajućeg rezultata. Programeri najčešće razvijaju posebne kalkulatore linearne algebre, što uključuje sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda vam omogućava da izračunate sva postojeća rješenja. Koriste se i druge pojednostavljene formule i tehnike.

SLAE kriterij kompatibilnosti

Takav sistem se može riješiti samo ako je kompatibilan. Radi jasnoće, predstavljamo SLAE u obliku Ax=b. Ima rješenje ako je rang(A) jednak rang(A,b). U ovom slučaju, (A,b) je matrica proširenog oblika koja se može dobiti iz matrice A prepisivanjem sa slobodnim terminima. Ispostavilo se da je rješavanje linearnih jednadžbi Gaussovom metodom prilično jednostavno.

Možda neka notacija nije sasvim jasna, pa je potrebno sve razmotriti na primjeru. Recimo da postoji sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Sastoji se od samo dvije jednadžbe u kojima postoje 2 nepoznate. Sistem će imati rješenje samo ako je rang njegove matrice jednak rangu proširene matrice. Šta je čin? Ovo je broj nezavisnih linija sistema. U našem slučaju, rang matrice je 2. Matrica A će se sastojati od koeficijenata koji se nalaze u blizini nepoznanica, a koeficijenti iza znaka “=” će se takođe uklopiti u proširenu matricu.

Zašto se SLAE može predstaviti u matričnom obliku

Na osnovu kriterijuma kompatibilnosti prema dokazanoj Kronecker-Capelli teoremi, sistem linearnih algebarskih jednačina može se predstaviti u matričnom obliku. Koristeći Gaussovu kaskadnu metodu, možete riješiti matricu i dobiti jedini pouzdan odgovor za cijeli sistem. Ako je rang obične matrice jednak rangu njene proširene matrice, ali manji od broja nepoznatih, tada sistem ima beskonačan broj odgovora.

Matrične transformacije

Prije nego što pređemo na rješavanje matrica, potrebno je znati koje se radnje mogu izvršiti na njihovim elementima. Postoji nekoliko osnovnih transformacija:

Prepisivanjem sistema u matrični oblik i provođenjem njegovog rješenja moguće je pomnožiti sve elemente niza istim koeficijentom.
Da bi se matrica pretvorila u kanonski oblik, dva paralelna reda se mogu zamijeniti. Kanonski oblik podrazumijeva da svi elementi matrice koji se nalaze duž glavne dijagonale postaju jedinice, a preostali postaju nule.
Odgovarajući elementi paralelnih redova matrice mogu se dodati jedan drugom.

Jordan-Gaussova metoda

Suština rješavanja sistema linearnih homogenih i nehomogene jednačine Gaussova metoda je da se postupno eliminišu nepoznanice. Recimo da imamo sistem od dvije jednačine u kojima postoje dvije nepoznanice. Da biste ih pronašli, morate provjeriti kompatibilnost sistema. Gausova jednačina se rješava vrlo jednostavno. Potrebno je u matričnom obliku ispisati koeficijente koji se nalaze u blizini svake nepoznate. Da biste riješili sistem, morate napisati proširenu matricu. Ako jedna od jednadžbi sadrži manji broj nepoznanica, onda se "0" mora staviti na mjesto elementa koji nedostaje. Na matricu se primjenjuju sve poznate metode transformacije: množenje, dijeljenje brojem, dodavanje odgovarajućih elemenata redova jedni drugima i drugo. Ispada da je u svakom redu potrebno ostaviti jednu varijablu sa vrijednošću "1", ostatak treba smanjiti na nulu. Za preciznije razumijevanje potrebno je razmotriti Gaussovu metodu s primjerima.

Jednostavan primjer rješavanja 2x2 sistema

Za početak, uzmimo jednostavan sistem algebarskih jednadžbi, u kojem će biti 2 nepoznate.

Prepišimo to u proširenu matricu.

Za rješavanje ovog sistema linearnih jednačina potrebne su samo dvije operacije. Moramo dovesti matricu u kanonski oblik tako da postoje jedinice duž glavne dijagonale. Dakle, prevođenjem iz matričnog oblika nazad u sistem, dobijamo jednačine: 1x+0y=b1 i 0x+1y=b2, gde su b1 i b2 odgovori dobijeni u procesu rešavanja.

Prvi korak u rješavanju proširene matrice bit će sljedeći: prvi red se mora pomnožiti sa -7 i odgovarajući elementi dodati u drugi red, respektivno, kako bismo se riješili jedne nepoznate u drugoj jednačini.
Kako rješenje jednadžbi Gaussovom metodom podrazumijeva dovođenje matrice u kanonski oblik, onda je potrebno uraditi iste operacije sa prvom jednačinom i ukloniti drugu varijablu. Da bismo to učinili, oduzimamo drugi red od prvog i dobivamo potreban odgovor - rješenje SLAE. Ili, kao što je prikazano na slici, drugi red pomnožimo sa faktorom -1 i dodamo elemente drugog reda u prvi red. Ovo je isto.

Kao što vidite, naš sistem je riješen Jordan-Gaussovom metodom. Prepisujemo ga u traženom obliku: x=-5, y=7.

Primjer rješavanja SLAE 3x3

Pretpostavimo da imamo složeniji sistem linearnih jednačina. Gaussova metoda omogućava izračunavanje odgovora čak i za naizgled najzbunjujući sistem. Stoga, kako biste dublje ušli u metodologiju izračuna, možete prijeći na više složen primjer sa tri nepoznate.

Kao iu prethodnom primjeru, prepisujemo sistem u obliku proširene matrice i počinjemo da ga dovodimo u kanonski oblik.

Da biste riješili ovaj sistem, morat ćete izvršiti mnogo više radnji nego u prethodnom primjeru.

Prvo morate napraviti u prvoj koloni jedan jedini element, a ostatak nule. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednačinu sa -1 i dodajte joj drugu jednačinu. Važno je zapamtiti da prvi red prepisujemo u izvornom obliku, a drugi - već u izmijenjenom obliku.
Zatim uklanjamo istu prvu nepoznatu iz treće jednačine. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente prvog reda sa -2 i dodamo ih trećem redu. Sada su prvi i drugi red prepisani u izvornom obliku, a treći - već s promjenama. Kao što vidite iz rezultata, prvu smo dobili na početku glavne dijagonale matrice, a ostale su nule. Još nekoliko radnji, i sistem jednačina Gaussovom metodom će biti pouzdano riješen.
Sada morate izvršiti operacije na drugim elementima redova. Treći i četvrti korak se mogu kombinovati u jedan. Moramo podijeliti drugu i treću liniju sa -1 da bismo se riješili negativnih na dijagonali. Treću liniju smo već doveli u traženu formu.
Zatim, kanonikaliziramo drugi red. Da bismo to učinili, pomnožimo elemente trećeg reda sa -3 i dodamo ih drugom redu matrice. Iz rezultata se vidi da je i druga linija svedena na formu koja nam je potrebna. Ostaje napraviti još nekoliko operacija i ukloniti koeficijente nepoznanica iz prvog reda.
Da biste napravili 0 od drugog elementa reda, trebate treći red pomnožiti sa -3 i dodati ga prvom redu.
Sljedeći odlučujući korak je dodavanje potrebnih elemenata drugog reda u prvi red. Tako dobijamo kanonski oblik matrice i, shodno tome, odgovor.

Kao što vidite, rješenje jednadžbi Gaussovom metodom je prilično jednostavno.

Primjer rješavanja 4x4 sistema jednadžbi

Neki složeniji sistemi jednačina mogu se riješiti Gaussovom metodom korištenjem kompjuterskih programa. Potrebno je ubaciti koeficijente za nepoznate u postojeće prazne ćelije, a program će korak po korak izračunati traženi rezultat, detaljno opisujući svaku radnju.

Opisano u nastavku instrukcija korak po korak rješenja za ovaj primjer.

U prvom koraku se slobodni koeficijenti i brojevi za nepoznate unose u prazne ćelije. Tako dobijamo istu proširenu matricu koju pišemo rukom.

I izvode se sve potrebne aritmetičke operacije kako bi se proširena matrica dovela u kanonski oblik. Mora se shvatiti da odgovor na sistem jednačina nije uvijek cijeli brojevi. Ponekad rješenje može biti iz razlomaka.

Provjera ispravnosti rješenja

Jordan-Gaussova metoda omogućava provjeru ispravnosti rezultata. Da biste saznali da li su koeficijenti ispravno izračunati, potrebno je samo da zamenite rezultat u originalni sistem jednačina. Lijeva strana jednačine mora odgovarati desnoj strani koja se nalazi iza znaka jednakosti. Ako se odgovori ne poklapaju, onda morate ponovo izračunati sistem ili pokušati primijeniti neku drugu metodu rješavanja SLAE koja vam je poznata, kao što je zamjena ili oduzimanje po član i sabiranje. Uostalom, matematika je nauka koja ima ogroman broj različitih metoda rješavanja. Ali zapamtite: rezultat bi uvijek trebao biti isti, bez obzira na metodu rješenja koju ste koristili.

Gaussova metoda: najčešće greške u rješavanju SLAE

Tokom donošenja odluke linearni sistemi jednadžbi, najčešće se javljaju greške kao što je netačan prenos koeficijenata u matrični oblik. Postoje sistemi u kojima neke nepoznanice nedostaju u jednoj od jednadžbi, pa se, prenošenjem podataka u proširenu matricu, mogu izgubiti. Kao rezultat toga, prilikom rješavanja ovog sistema rezultat možda neće odgovarati stvarnom.

Još jedna od glavnih grešaka može biti netačno ispisivanje konačnog rezultata. Mora se jasno shvatiti da će prvi koeficijent odgovarati prvoj nepoznatoj iz sistema, drugi - drugoj, itd.

Gaussova metoda detaljno opisuje rješenje linearnih jednačina. Zahvaljujući njemu, lako je izvršiti potrebne operacije i pronaći pravi rezultat. Osim toga, ovo je univerzalni alat za pronalaženje pouzdanog odgovora na jednadžbe bilo koje složenosti. Možda se zato toliko često koristi u rješavanju SLAE.

Ovdje možete besplatno riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda online velike veličine u kompleksnim brojevima s vrlo detaljnim rješenjem. Naš kalkulator može online riješiti i uobičajeni definitivni i neodređeni sistem linearnih jednačina koristeći Gaussovu metodu, koja ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, u odgovoru ćete dobiti zavisnost nekih varijabli preko drugih, slobodnih. Također možete provjeriti kompatibilnost sistema jednačina na mreži koristeći Gaussovo rješenje.

O metodi

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina online metoda Gauss izvodi sljedeće korake.

Pišemo proširenu matricu.
U stvari, rješenje je podijeljeno na korake naprijed i nazad Gaussove metode. Direktno kretanje Gaussove metode naziva se redukcija matrice na stepenasti oblik. Obrnuti potez Gaussove metode je svođenje matrice na poseban stepenasti oblik. Ali u praksi je zgodnije odmah nulirati ono što je i iznad i ispod dotičnog elementa. Naš kalkulator koristi upravo ovaj pristup.
Važno je napomenuti da je kod rješavanja Gaussovom metodom prisustvo u matrici najmanje jednog nultog reda sa nenultim desna strana(kolona slobodnih članova) ukazuje na nekompatibilnost sistema. Rješenje linearnog sistema u ovom slučaju ne postoji.

Da biste bolje razumjeli kako Gaussov algoritam funkcionira na mreži, unesite bilo koji primjer, odaberite "vrlo detaljno rješenje i potražite njegovo rješenje na internetu.

Za dva sistema linearnih jednačina se kaže da su ekvivalentna ako je skup svih njihovih rješenja isti.

Elementarne transformacije sistema jednačina su:

Brisanje iz sistema trivijalnih jednačina, tj. oni za koje su svi koeficijenti jednaki nuli;

Množenje bilo koje jednačine brojem koji nije nula;

Dodavanje bilo kojoj i-toj jednačini bilo koje j-te jednačine, pomnoženo bilo kojim brojem.

Varijabla x i se naziva slobodnom ako ova varijabla nije dozvoljena, a ceo sistem jednačina je dozvoljen.

Teorema. Elementarne transformacije transformišu sistem jednačina u ekvivalentan.

Smisao Gaussove metode je transformacija originalnog sistema jednačina i dobijanje ekvivalentnog dozvoljenog ili ekvivalentnog nekonzistentnog sistema.

Dakle, Gaussova metoda se sastoji od sljedećih koraka:

Razmotrite prvu jednačinu. Odaberemo prvi koeficijent različit od nule i s njim podijelimo cijelu jednačinu. Dobijamo jednačinu u koju neka varijabla x i ulazi sa koeficijentom 1;
Oduzmimo ovu jednačinu od svih ostalih, množimo je brojevima tako da su koeficijenti za varijablu x i u preostalim jednačinama postavljeni na nulu. Dobijamo sistem koji je razriješen u odnosu na varijablu x i i ekvivalentan je originalnom;
Ako se pojave trivijalne jednadžbe (rijetko, ali se dešava; na primjer, 0 = 0), brišemo ih iz sistema. Kao rezultat, jednačine postaju jedna manje;
Prethodne korake ponavljamo ne više od n puta, gdje je n broj jednačina u sistemu. Svaki put biramo novu varijablu za “obradu”. Ako se pojave konfliktne jednačine (na primjer, 0 = 8), sistem je nekonzistentan.

Kao rezultat, nakon nekoliko koraka dobijamo ili dozvoljen sistem (moguće sa slobodnim varijablama) ili nekonzistentan. Dozvoljeni sistemi spadaju u dva slučaja:

Broj varijabli jednak je broju jednačina. Dakle, sistem je definisan;
Broj varijabli je veći od broja jednačina. Sakupljamo sve slobodne varijable sa desne strane - dobijamo formule za dozvoljene varijable. Ove formule su zapisane u odgovoru.

To je sve! Sistem linearnih jednačina je riješen! Ovo je prilično jednostavan algoritam, a da biste ga savladali, ne morate kontaktirati nastavnika matematike. Razmotrimo primjer:

Zadatak. Riješite sistem jednačina:

Opis koraka:

Prvu jednačinu oduzimamo od druge i treće - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Drugu jednačinu pomnožimo sa (−1), a treću podelimo sa (−3) - dobićemo dve jednačine u koje promenljiva x 2 ulazi sa koeficijentom 1;
Prvoj dodajemo drugu jednačinu, a trećoj oduzimamo. Uzmimo dozvoljenu varijablu x 2 ;
Konačno, oduzimamo treću jednačinu od prve - dobijamo dozvoljenu varijablu x 3 ;
Dobili smo ovlašteni sistem, zapisujemo odgovor.

Opšte rješenje zajedničkog sistema linearnih jednačina je novi sistem, što je ekvivalentno originalnom, u kojem su sve dozvoljene varijable izražene u terminima slobodnih.

Kada može biti potrebno zajednička odluka? Ako morate napraviti manje koraka od k (k je koliko jednačina ukupno). Međutim, razlozi zašto se proces završava u nekom koraku l< k , может быть две:

Nakon l -tog koraka dobijamo sistem koji ne sadrži jednačinu sa brojem (l + 1). U stvari, ovo je dobro, jer. riješeni sistem je ipak primljen - čak i nekoliko koraka ranije.
Nakon l -tog koraka dobija se jednačina u kojoj su svi koeficijenti varijabli jednaki nuli, a slobodni koeficijent različit od nule. Ovo je nekonzistentna jednačina, pa je sistem nedosljedan.

Važno je shvatiti da je pojava nekonzistentne jednačine Gaussovom metodom dovoljan razlog za nekonzistentnost. Istovremeno, napominjemo da kao rezultat l-tog koraka, trivijalne jednadžbe ne mogu ostati - sve se brišu direktno u procesu.

Opis koraka:

Oduzmite prvu jednačinu puta 4 od druge. I takođe dodajte prvu jednačinu trećoj - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Treću jednačinu, pomnoženu sa 2, oduzimamo od druge - dobijamo kontradiktornu jednačinu 0 = −5.

Dakle, sistem je nekonzistentan, jer je pronađena nekonzistentna jednačina.

Zadatak. Istražite kompatibilnost i pronađite generalno rješenje sistema:

Opis koraka:

Prvu jednačinu oduzimamo od druge (nakon množenja sa dva) i treće - dobijamo dozvoljenu varijablu x 1;
Oduzmite drugu jednačinu od treće. Pošto su svi koeficijenti u ovim jednačinama isti, treća jednačina postaje trivijalna. Istovremeno, množimo drugu jednačinu sa (−1);
Od prve jednačine oduzimamo drugu jednačinu - dobijamo dozvoljenu varijablu x 2. Cijeli sistem jednačina je sada također riješen;
Pošto su varijable x 3 i x 4 slobodne, pomeramo ih udesno da izrazimo dozvoljene varijable. Ovo je odgovor.

Dakle, sistem je zajednički i neodređen, jer postoje dvije dozvoljene varijable (x 1 i x 2) i dvije slobodne (x 3 i x 4).

U ovom članku metoda se razmatra kao način rješavanja sistema linearnih jednačina (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućava vam da upišete algoritam rješenja opšti pogled, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode možete raditi i sa onima koje imaju beskonačno mnogo rješenja. Ili ga uopšte nemaju.

Šta znači Gauss?

Prvo treba da zapišete naš sistem jednačina u To izgleda ovako. Sistem se uzima:

Koeficijenti su upisani u obliku tabele, a desno u posebnoj koloni - slobodni članovi. Stupac sa slobodnim članovima je odvojen radi praktičnosti.Matrica koja uključuje ovaj stupac naziva se proširena.

Nadalje, glavna matrica s koeficijentima mora se svesti na gornji trokutast oblik. Ovo je glavna tačka rješavanja sistema Gaussovom metodom. Jednostavno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati ovako, tako da u njenom donjem lijevom dijelu postoje samo nule:

Zatim, ako novu matricu ponovo napišete kao sistem jednačina, primijetit ćete da posljednji red već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje gornjom jednačinom, pronalazi se drugi korijen i tako dalje.

Ovo je opis rješenja Gaussovom metodom u najopštijim terminima. A šta se dešava ako sistem odjednom nema rešenje? Ili ih ima beskonačan broj? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente korištene u rješenju Gaussovom metodom.

Matrice, njihova svojstva

U matrici nema skrivenog značenja. To je samo zgodan način za snimanje podataka za kasnije operacije. Ni školarci ih se ne bi trebali bojati.

Matrica je uvijek pravokutna, jer je pogodnija. Čak i kod Gaussove metode, gdje se sve svodi na pravljenje trouglaste matrice, u unosu se pojavljuje pravougaonik, samo sa nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule se mogu izostaviti, ali se podrazumijevaju.

Matrica ima veličinu. Njegova "širina" je broj redova (m), njegova "dužina" je broj kolona (n). Zatim veličina matrice A (za njihovo označavanje obično se koriste velika slova) pisma) će biti označeno kao A m×n . Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen red. Prema tome, bilo koji element matrice A može se označiti brojem njegovog reda i stupca: a xy ; x - broj reda, promjene, y - broj kolone, promjene.

B nije glavna poenta rješenja. U principu, sve se operacije mogu izvoditi direktno sa samim jednadžbama, ali će se notacija pokazati mnogo glomaznijom i bit će mnogo lakše zabuniti se u njoj.

Odrednica

Matrica takođe ima determinantu. Ovo je veoma važna karakteristika. Sada se ne isplati saznati njegovo značenje, možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Najlakši način za pronalaženje determinante je dijagonala. Imaginarne dijagonale su nacrtane u matrici; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju rezultirajući proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom "plus", s nagibom ulijevo - sa znakom "minus".

Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravougaonu matricu možete učiniti sljedeće: odabrati najmanji od broja redova i broja stupaca (neka bude k), a zatim nasumično označiti k kolona i k redova u matrici. Elementi koji se nalaze na sjecištu odabranih stupaca i redova formirat će novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, onda se naziva bazni minor originalne pravokutne matrice.

Prije nego što pređemo na rješavanje sistema jednačina Gaussovom metodom, ne škodi izračunavanje determinante. Ako se pokaže da je nula, onda možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja, ili ih uopće nema. U ovako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.

Klasifikacija sistema

Postoji takva stvar kao što je rang matrice. Ovo je maksimalni red njene determinante koja nije nula (sjetimo se baznog minora, možemo reći da je rang matrice red baznog minora).

Prema tome kako stoje stvari sa rangom, SLAE se može podijeliti na:

Joint. At zajedničkih sistema, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom proširene (sa kolonom slobodnih članova). Takvi sistemi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, stoga se zglobni sistemi dodatno dijele na:
- siguran- ima jedinstveno rješenje. U određenim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih (ili broj kolona, što je ista stvar) su jednaki;
- neodređeno - sa beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica za takve sisteme je manji od broja nepoznatih.
Nekompatibilno. At u takvim sistemima, rangovi glavne i proširene matrice se ne poklapaju. Nekompatibilni sistemi nemaju rješenja.

Gaussova metoda je dobra po tome što omogućava da se dobije ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sistema (bez izračunavanja determinanti velikih matrica) ili opšte rešenje za sistem sa beskonačnim brojem rešenja tokom rešavanja.

Elementarne transformacije

Pre nego što pređete direktno na rešenje sistema, moguće ga je učiniti manje glomaznim i pogodnijim za proračune. To se postiže elementarnim transformacijama - tako da njihova implementacija ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice čiji je izvor bio upravo SLAE. Evo liste ovih transformacija:

Permutacija nizova. Očigledno je da ako promijenimo redoslijed jednačina u zapisu sistema, onda to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Posljedično, također je moguće zamijeniti redove u matrici ovog sistema, ne zaboravljajući, naravno, na kolonu slobodnih članova.
Množenje svih elemenata niza nekim faktorom. Veoma korisno! Pomoću njega možete smanjiti velike brojeve u matrici ili ukloniti nule. Skup rješenja, kao i obično, neće se mijenjati, a postat će prikladnije za izvođenje daljnjih operacija. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
Izbrišite redove sa proporcionalnim koeficijentima. Ovo djelimično proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili više reda u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se pri množenju / dijeljenju jednog od reda s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a možete ukloniti dodatne, ostavljajući samo jedan.
Uklanjanje nulte linije. Ako se u toku transformacije negdje dobije niz u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, jednaki nuli, onda se takav niz može nazvati nula i izbaciti iz matrice.
Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (u odgovarajućim kolonama), pomnoženo određenim koeficijentom. Najnejasnija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.

Dodavanje niza pomnoženog faktorom

Radi lakšeg razumijevanja, vrijedno je rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pretpostavimo da morate prvo dodati drugom, pomnoženo sa koeficijentom "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Zatim se u matrici drugi red zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba napomenuti da se faktor množenja može odabrati na način da, kao rezultat sabiranja dva niza, jedan od elemenata novog niza bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednačinu u sistemu, gdje će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, onda se operacija može ponoviti i dobiti jednačinu koja će već sadržavati dvije manje nepoznanice. A ako svaki put okrenemo nulu jedan koeficijent za sve redove koji su niži od originalnog, onda se možemo, poput koraka, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznatom. Ovo se zove rješavanje sistema korištenjem Gausove metode.

Uglavnom

Neka postoji sistem. Ima m jednačina i n nepoznatih korijena. Možete to zapisati ovako:

Glavna matrica je sastavljena od koeficijenata sistema. Stupac slobodnih članova se dodaje proširenoj matrici i odvaja prečkom radi praktičnosti.

prvi red matrice se množi sa koeficijentom k = (-a 21 / a 11);
prvi modificirani red i drugi red matrice se dodaju;
umjesto drugog reda u matricu se ubacuje rezultat dodavanja iz prethodnog stava;
sada je prvi koeficijent u novom drugom redu a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sada se izvodi ista serija transformacija, samo prvi i treći red su uključeni. Prema tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 se zamjenjuje sa 31 . Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u redovima jednak nuli. Sada moramo zaboraviti na red broj jedan i izvršiti isti algoritam počevši od drugog reda:

koeficijent k \u003d (-a 32 / a 22);
drugi modifikovani red se dodaje u "trenutni" red;
rezultat sabiranja se zamjenjuje u trećem, četvrtom i tako daljem redu, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
u redovima matrice, prva dva elementa su već jednaka nuli.

Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To znači da je algoritam posljednji put pokrenut samo za nižu jednačinu. Sada matrica izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. Donja linija sadrži jednakost a mn × x n = b m . Koeficijent i slobodni član su poznati, a korijen se izražava kroz njih: x n = b m /a mn. Dobijeni korijen se zamjenjuje u gornji red kako bi se pronašlo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . I tako dalje po analogiji: u svakom sljedećem redu nalazi se novi korijen, a kada ste dosegnuli "vrh" sistema, možete pronaći mnoga rješenja. To će biti jedini.

Kad nema rješenja

Ako su u jednom od redova matrice svi elementi, osim slobodnog člana, jednaki nuli, tada jednačina koja odgovara ovom redu izgleda kao 0 = b. Nema rješenja. A pošto je takva jednačina uključena u sistem, onda je skup rješenja cijelog sistema prazan, odnosno degeneriran.

Kada postoji beskonačan broj rješenja

Može se ispostaviti da u reduciranoj trokutastoj matrici nema reda sa jednim elementom - koeficijentom jednačine, i jednim - slobodnim članom. Postoje samo nizovi koji bi, kada se ponovo napišu, izgledali kao jednadžba sa dvije ili više varijabli. To znači da sistem ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, odgovor se može dati u obliku generalnog rješenja. Kako uraditi?

Sve varijable u matrici su podijeljene na osnovne i slobodne. Osnovni - to su oni koji stoje "na rubu" redova u stepenastoj matrici. Ostalo je besplatno. U opštem rešenju osnovne varijable su zapisane u terminima slobodnih.

Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje nazad u sistem jednačina. Zatim u posljednjem od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. Ovo se radi za svaku jednačinu sa jednom osnovnom varijablom. Zatim se u ostalim jednačinama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable, zamjenjuje dobijeni izraz za nju. Ako se kao rezultat toga ponovo pojavi izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, on se ponovo izražava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne zapiše kao izraz sa slobodnim varijablama. Ovo je opšte rešenje SLAE.

Možete pronaći i osnovno rješenje sistema - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slučaj izračunajte vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskonačno mnogo konkretnih rješenja.

Rješenje sa konkretnim primjerima

Evo sistema jednačina.

Radi praktičnosti, bolje je odmah kreirati njegovu matricu

Poznato je da će pri rješavanju Gaussovom metodom jednačina koja odgovara prvom redu ostati nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada će se prvi elementi preostalih redova nakon operacija okrenuti na nulu. To znači da će u kompajliranoj matrici biti korisno staviti drugi umjesto prvog reda.

drugi red: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

treći red: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Sada, da ne bi došlo do zabune, potrebno je zapisati matricu sa međurezultatima transformacija.

Očigledno je da se takva matrica može učiniti pogodnijom za percepciju uz pomoć nekih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda množenjem svakog elementa sa "-1".

Također je vrijedno napomenuti da su u trećem redu svi elementi višestruki od tri. Zatim možete smanjiti niz za ovaj broj, množeći svaki element sa "-1/3" (minus - istovremeno da uklonite negativne vrijednosti).

Izgleda mnogo lepše. Sada moramo ostaviti na miru prvu liniju i raditi sa drugom i trećom. Zadatak je dodati drugi red trećem redu, pomnožen s takvim faktorom da element a 32 postane jednak nuli.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 razlomaka, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlučite hoćete li zaokružiti i prevesti u drugi oblik zapisa)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrica se ponovo upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kao što vidite, rezultirajuća matrica već ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne dalje transformacije sistema Gaussovom metodom. Ono što se ovdje može učiniti je ukloniti iz trećeg reda ukupni koeficijent "-1/7".

Sada je sve prelepo. Poenta je mala - ponovo napišite matricu u obliku sistema jednačina i izračunajte korijene

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam po kojem će se korijeni sada pronaći naziva se obrnuti potez u Gaussovom metodu. Jednačina (3) sadrži vrijednost z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

I prva jednadžba vam omogućava da pronađete x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Imamo pravo da takav sistem nazivamo zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno da ima jedinstveno rješenje. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer neodređenog sistema

Analizirana je varijanta rješavanja određenog sistema Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da je sistem neodređen, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sam oblik sistema je već alarmantan, jer je broj nepoznatih n = 5, a rang matrice sistema je već tačno manji od ovog broja, jer je broj redova m = 4, tj. najveći red kvadratne determinante je 4. To znači da postoji beskonačan broj rješenja i potrebno je tražiti njen opći oblik. Gaussova metoda za linearne jednačine to omogućava.

Prvo, kao i obično, kompajlira se proširena matrica.

Drugi red: koeficijent k = (-a 21 / a 11) = -3. U trećem redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ništa dirati, morate ostaviti kako jeste. Četvrti red: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Množenjem elemenata prvog reda svakim od njihovih koeficijenata naizmjence i dodavanjem željenih redova, dobivamo matricu sljedećeg oblika:

Kao što vidite, drugi, treći i četvrti red se sastoje od elemenata koji su međusobno proporcionalni. Drugi i četvrti su uglavnom isti, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a ostatak pomnožiti sa koeficijentom "-1" i dobiti red broj 3. I opet ostaviti jednu od dvije identične linije.

Ispostavilo se da je takva matrica. Sistem još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, a slobodno - sve ostalo.

Druga jednačina ima samo jednu osnovnu varijablu - x 2 . Dakle, odatle se može izraziti pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.

Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jednačinu.

Ispostavila se jednačina u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1. Uradimo s njim isto kao i sa x 2 .

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne, sada možete napisati odgovor u opštem obliku.

Također možete odrediti jedno od posebnih rješenja sistema. U takvim slučajevima, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekompatibilnog sistema

Najbrže je rješenje nekonzistentnih sistema jednačina Gaussovom metodom. Završava se čim se u jednoj od faza dobije jednačina koja nema rješenja. Odnosno, faza sa izračunavanjem korijena, koja je prilično duga i turobna, nestaje. Razmatra se sledeći sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obično, matrica se sastavlja:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na stepenasti oblik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, treći red sadrži jednačinu oblika

bez rješenja. Dakle, sistem je nekonzistentan, a odgovor je prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Ako odaberete metodu rješavanja SLAE na papiru olovkom, onda metoda koja je razmatrana u ovom članku izgleda najatraktivnije. U elementarnim transformacijama mnogo je teže doći do zabune nego što se to dešava ako morate ručno tražiti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, proračunske tablice, onda se ispostavlja da takvi programi već sadrže algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne i tako dalje. A ako ste sigurni da će mašina sama izračunati ove vrijednosti i da neće pogriješiti, svrsishodnije je koristiti matrična metoda ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava se računanjem determinanti i inverzne matrice.

Aplikacija

Budući da je Gausovo rješenje algoritam, a matrica je, u stvari, dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. Ali budući da se članak pozicionira kao vodič "za lutke", treba reći da je najlakše mjesto za postavljanje metode proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE unesen u tabelu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (možete dodati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrice (također uz određena ograničenja), pronalaženje inverzne i transponirane matrice i, što je najvažnije , izračunavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, mnogo je brže odrediti rang matrice i stoga utvrditi njenu kompatibilnost ili nedosljednost.

Obrazovna ustanova „Beloruska država

Poljoprivredna akademija"

Stolica višu matematiku

Smjernice

za proučavanje teme „Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih

Jednačine” studenata Računovodstvenog fakulteta dopisnog oblika obrazovanja (NISPO)

Gorki, 2013

Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina

Ekvivalentni sistemi jednačina

Dva sistema linearnih jednadžbi nazivaju se ekvivalentnima ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog. Proces rješavanja sistema linearnih jednačina sastoji se u njegovoj sukcesivnoj transformaciji u ekvivalentan sistem korištenjem tzv. elementarne transformacije , koji su:

1) permutacija bilo koje dve jednačine sistema;

2) množenje oba dela bilo koje jednačine sistema brojem koji nije nula;

3) dodavanje bilo kojoj jednačini druge jednačine, pomnožene bilo kojim brojem;

4) brisanje jednačine koja se sastoji od nula, tj. jednačine tipa.

Gaussova eliminacija

Razmotrite sistem m linearne jednačine sa n nepoznato:

Suština Gaussove metode ili metode sekvencijalno isključivanje nepoznato je kako slijedi.

Prvo, uz pomoć elementarnih transformacija, nepoznata se isključuje iz svih jednačina sistema, osim iz prve. Takve transformacije sistema se nazivaju Gausov korak eliminacije . Nepoznato se zove rješavanje varijable na prvom koraku transformacije. Koeficijent se zove faktor rezolucije , prva jednačina se zove rješavanje jednadžbe , i stupac koeficijenata at omogući kolonu .

Prilikom izvođenja jednog koraka Gaussove eliminacije, moraju se koristiti sljedeća pravila:

1) koeficijenti i slobodni član jednačine koja se rešava ostaju nepromenjeni;

2) koeficijenti kolone razlučivanja, koja se nalazi ispod koeficijenta razlučivanja, okreću se na nulu;

3) svi ostali koeficijenti i slobodni termini u prvom koraku se računaju po pravilu pravokutnika:

, gdje i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Slične transformacije izvodimo i na drugoj jednačini sistema. Ovo će dovesti do sistema u kojem će nepoznata biti isključena iz svih jednačina, osim u prve dvije. Kao rezultat ovakvih transformacija nad svakom od jednačina sistema (direktan tok Gaussove metode), originalni sistem se svodi na ekvivalentni stepenasti sistem jednog od sljedećih tipova.

Reverzna Gaussova metoda

Step sistem

ima trouglasti oblik i sve (i=1,2,…,n). Takav sistem ima jedinstveno rješenje. Nepoznate se određuju počevši od posljednje jednačine (obrnuto od Gaussove metode).

Sistem koraka ima formu

gdje , tj. broj sistemskih jednačina je manji ili jednak broju nepoznatih. Ovaj sistem nema rješenja, jer posljednja jednačina neće vrijediti ni za jednu vrijednost varijable.

Sistem stepenastog pogleda

ima beskonačan broj rješenja. Iz posljednje jednačine, nepoznato se izražava u terminima nepoznanica . Tada se, umjesto nepoznatog, njegov izraz u terminima nepoznatih zamjenjuje u pretposljednju jednačinu . Nastavljajući obrnuti tok Gaussove metode, nepoznanice može se izraziti u terminima nepoznatih . U ovom slučaju, nepoznato pozvao besplatno i može imati bilo koju vrijednost i nepoznatu osnovni.

Prilikom rješavanja sistema u praksi, zgodno je sve transformacije izvoditi ne sa sistemom jednačina, već sa proširenom matricom sistema, koja se sastoji od koeficijenata nepoznanica i stupca slobodnih članova.

Primjer 1. Riješite sistem jednačina

Odluka. Hajde da sastavimo proširenu matricu sistema i izvršimo elementarne transformacije:

U proširenoj matrici sistema, broj 3 (označen) je faktor rezolucije, prvi red je red rezolucije, a prvi stupac je kolona rezolucije. Prilikom prelaska na sljedeću matricu, red za razrješenje se ne mijenja, svi elementi kolone za razrješenje ispod elementa za razrješenje zamjenjuju se nulama. A svi ostali elementi matrice se preračunavaju prema pravilu četverougla. Umjesto elementa 4 u drugom redu pišemo , umjesto elementa -3 u drugom redu će biti napisano itd. Tako će se dobiti druga matrica. Ova matrica će imati razlučujući element broj 18 u drugom redu. Da bismo formirali sljedeću (treću matricu), ostavljamo drugi red nepromijenjen, upisujemo nulu u stupac ispod elementa za razrješenje i preračunavamo preostala dva elementa: umjesto broja 1, pišemo , a umjesto broja 16 pišemo .