Rješenje jednačine x 1. Kako je riješen sistem jednačina? Metode rješavanja sistema jednačina

Jednačina s jednom nepoznatom, koja nakon otvaranja zagrada i svođenja sličnih članova, poprima oblik

ax + b = 0, gdje su a i b proizvoljni brojevi, se zove linearna jednačina sa jednom nepoznatom. Danas ćemo shvatiti kako riješiti ove linearne jednačine.

Na primjer, sve jednadžbe:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linearno.

Vrijednost nepoznate koja pretvara jednačinu u pravu jednakost naziva se odluka ili korijen jednačine .

Na primjer, ako u jednadžbi 3x + 7 \u003d 13 zamijenimo broj 2 umjesto nepoznatog x, tada ćemo dobiti tačnu jednakost 3 2 + 7 = 13. Dakle, vrijednost x = 2 je rješenje ili korijen jednačine.

A vrijednost x = 3 ne pretvara jednadžbu 3x + 7 = 13 u pravu jednakost, budući da je 3 2 + 7 ≠ 13. Dakle, vrijednost x = 3 nije rješenje ili korijen jednadžbe.

Rješenje bilo koje linearne jednadžbe svodi se na rješenje jednačina oblika

ax + b = 0.

Prenosimo slobodni član sa leve strane jednačine na desnu, dok menjamo predznak ispred b u suprotan, dobijamo

Ako je a ≠ 0, tada je x = – b/a .

Primjer 1 Riješite jednačinu 3x + 2 =11.

Prenosimo 2 s lijeve strane jednačine na desnu, dok mijenjamo predznak ispred 2 u suprotan, dobijamo
3x \u003d 11 - 2.

Onda uradimo oduzimanje
3x = 9.

Da biste pronašli x, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom, tj.
x = 9:3.

Dakle, vrijednost x = 3 je rješenje ili korijen jednadžbe.

Odgovor: x = 3.

Ako je a = 0 i b = 0, tada dobivamo jednadžbu 0x = 0. Ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, jer kada množimo bilo koji broj sa 0, dobivamo 0, ali b je također 0. Rješenje ove jednadžbe je bilo koji broj.

Primjer 2 Riješite jednačinu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Proširimo zagrade:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Evo sličnih članova:
0x = 0.

Odgovor: x je bilo koji broj.

Ako je a = 0 i b ≠ 0, tada dobijamo jednačinu 0x = - b. Ova jednadžba nema rješenja, jer množenjem bilo kojeg broja sa 0 dobijamo 0, ali b ≠ 0.

Primjer 3 Riješite jednačinu x + 8 = x + 5.

Grupirajmo pojmove koji sadrže nepoznate na lijevoj strani, a slobodne na desnoj strani:
x - x \u003d 5 - 8.

Evo sličnih članova:
0x = - 3.

Odgovor: nema rješenja.

On slika 1 prikazana je šema za rješavanje linearne jednačine

Hajde da sastavimo opštu šemu za rešavanje jednačina sa jednom promenljivom. Razmotrimo rješenje primjera 4.

Primjer 4 Hajde da riješimo jednačinu

1) Pomnožite sve članove jednačine najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, jednakim 12.

2) Nakon smanjenja dobijamo
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Da odvojite članove koji sadrže nepoznate i slobodne članove, otvorite zagrade:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Grupiramo u jednom dijelu pojmove koji sadrže nepoznate, au drugom - slobodne pojmove:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Evo sličnih članova:
- 22x = - 154.

6) Podijelimo sa - 22 , Dobijamo
x = 7.

Kao što vidite, korijen jednačine je sedam.

Općenito, takav jednadžbe se mogu riješiti na sljedeći način:

a) dovesti jednačinu u cjelobrojni oblik;

b) otvorene zagrade;

c) grupirati članove koji sadrže nepoznatu u jednom dijelu jednačine, a slobodne članove u drugom;

d) dovesti slične članove;

e) rešiti jednačinu oblika ah = b, koja je dobijena donošenjem sličnih članova.

Međutim, ova šema nije potrebna za svaku jednačinu. Prilikom rješavanja mnogih jednostavnijih jednadžbi treba poći ne od prve, već od druge ( Primjer. 2), treći ( Primjer. 13) pa čak i od pete faze, kao u primjeru 5.

Primjer 5 Riješite jednačinu 2x = 1/4.

Nalazimo nepoznati x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Razmotrimo rješenje nekih linearnih jednadžbi koje se susreću na glavnom državnom ispitu.

Primjer 6 Riješite jednačinu 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Odgovor: - 0,125

Primjer 7 Riješite jednadžbu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Odgovor: 2.3

Primjer 8 Riješite jednačinu

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Primjer 9 Pronađite f(6) ako je f (x + 2) = 3 7

Odluka

Pošto moramo pronaći f(6), a znamo f (x + 2),
onda je x + 2 = 6.

Mi odlučujemo linearna jednačina x + 2 = 6,
dobijamo x = 6 - 2, x = 4.

Ako je x = 4 onda
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Odgovor: 27.

Ako i dalje imate pitanja, postoji želja da se detaljnije bavite rješavanjem jednačina, prijavite se na moje lekcije u RASPORED. Biće mi drago da vam pomognem!

TutorOnline također preporučuje gledanje novog video tutorijala naše učiteljice Olge Aleksandrovne, koji će vam pomoći da razumijete i linearne jednačine i druge.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

U fazi pripreme za završno testiranje srednjoškolci treba da usavrše svoja znanja na temu „Eksponencijalne jednačine“. Iskustvo proteklih godina pokazuje da ovakvi zadaci kod školaraca izazivaju određene poteškoće. Stoga srednjoškolci, bez obzira na stepen pripremljenosti, trebaju pažljivo savladati teoriju, zapamtiti formule i razumjeti princip rješavanja ovakvih jednačina. Nakon što su naučili da se nose sa ovom vrstom zadataka, maturanti će moći da računaju na visoke rezultate prilikom polaganja ispita iz matematike.

Pripremite se za ispitno testiranje zajedno sa Školkovom!

Prilikom ponavljanja obrađenog gradiva mnogi učenici se suočavaju s problemom pronalaženja formula potrebnih za rješavanje jednačina. Školski udžbenik nije uvijek pri ruci, a odabir potrebnih informacija o nekoj temi na internetu traje dugo.

Obrazovni portal Shkolkovo poziva studente da koriste našu bazu znanja. U potpunosti implementiramo nova metoda priprema za završni test. Studirajući na našoj stranici, moći ćete prepoznati nedostatke u znanju i obratiti pažnju upravo na one zadatke koji uzrokuju najveće poteškoće.

Nastavnici "Školkova" prikupili su, sistematizovali i predstavili sav materijal potreban za uspešno polaganje ispita u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku.

Glavne definicije i formule su predstavljene u odjeljku "Teorijske reference".

Za bolju asimilaciju gradiva preporučujemo da uvježbate zadatke. Pogledajte primjere na ovoj stranici. eksponencijalne jednačine sa rješenjem za razumijevanje algoritma proračuna. Nakon toga nastavite sa zadacima u odjeljku "Katalozi". Možete početi s najjednostavnijim zadacima ili ići direktno na rješavanje složenih eksponencijalnih jednadžbi s nekoliko nepoznanica ili . Baza vježbi na našoj web stranici se stalno dopunjuje i ažurira.

One primjere s indikatorima koji su vam izazvali poteškoće možete dodati u "Favorite". Tako da ih možete brzo pronaći i razgovarati o rješenju s nastavnikom.

Da biste uspješno položili ispit, učite na portalu Shkolkovo svaki dan!

Online kalkulator razlomaka vam omogućava da izvodite jednostavne aritmetičke operacije sa razlomcima: zbrajanje razlomaka, oduzimanje razlomaka, množenje razlomaka, dijeljenje razlomaka. Da biste izvršili proračune, popunite polja koja odgovaraju brojiocima i nazivnicima dva razlomka.

Razlomak u matematici naziva se broj koji predstavlja dio jedinice ili nekoliko njenih dijelova.

Običan razlomak se piše kao dva broja, obično odvojena vodoravnom linijom, koja označava znak podjele. Broj iznad crte naziva se brojilac. Broj ispod crte naziva se imenilac. Imenitelj razlomka pokazuje broj jednakih dijelova na koje je podijeljena cjelina, a brojnik razlomka pokazuje broj ovih dijelova cjeline.

Razlomci su ispravni i pogrešni.

• Tačan razlomak je onaj čiji je brojilac manji od nazivnika.
• Nepravilan razlomak je kada je brojilac veći od nazivnika.

Mješoviti razlomak je razlomak napisan kao cijeli broj i pravi razlomak, a razumijeva se kao zbir ovog broja i razlomka. Prema tome, razlomak koji nema cijeli broj naziva se prosti razlomak. Svaki mješoviti razlomak može se pretvoriti u nepravilan prosti razlomak.

Da bi se mješoviti razlomak pretvorio u običan, potrebno je brojniku razlomka dodati umnožak cjelobrojnog dijela i nazivnika:

Kako pretvoriti običan razlomak u mješoviti

Da biste obični razlomak pretvorili u mješoviti, morate:

1. Podijelite brojilac razlomka sa nazivnikom
2. Rezultat dijeljenja će biti cijeli broj
3. Ostatak grane će biti brojilac

Kako pretvoriti obični razlomak u decimalu

Da biste razlomak pretvorili u decimalu, potrebno je podijeliti njegov brojnik sa nazivnikom.

Da bi preveo decimalni u običnom, potrebno je:

Kako pretvoriti razlomak u postotak

Da biste obični ili mješoviti razlomak pretvorili u postotak, trebate ga pretvoriti u decimalni razlomak i pomnožiti sa 100.

Kako pretvoriti procente u razlomke

Da biste procente pretvorili u razlomke, potrebno je iz postotaka dobiti decimalni razlomak (dijeleći sa 100), a zatim konvertirati rezultirajući decimalni razlomak u običan.

Sabiranje razlomaka

Algoritam za sabiranje dva razlomka je sljedeći:

1. Zbrojite razlomke dodavanjem njihovih brojioca.

Oduzimanje razlomaka

Algoritam radnji pri oduzimanju dva razlomka:

1. Pretvorite mješovite razlomke u obične (oslobodite se cijelog broja).
2. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik. Da biste to učinili, morate pomnožiti brojilac i nazivnik prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka, a brojnik i nazivnik drugog razlomka pomnožiti sa nazivnikom prvog razlomka.
3. Oduzmite jedan razlomak od drugog oduzimanjem brojioca drugog razlomka od brojnika prvog.
4. Pronađite najveći zajednički djelitelj (GCD) brojnika i nazivnika i smanjite razlomak dijeljenjem brojnika i nazivnika sa GCD.
5. Ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika, odaberite cijeli dio.

Množenje razlomaka

Algoritam radnji pri množenju dva razlomka:

1. Pretvorite mješovite razlomke u obične (oslobodite se cijelog broja).
2. Pronađite najveći zajednički djelitelj (GCD) brojnika i nazivnika i smanjite razlomak dijeljenjem brojnika i nazivnika sa GCD.
3. Ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika, odaberite cijeli dio.

Podjela razlomaka

Algoritam radnji pri dijeljenju dva razlomka:

1. Pretvorite mješovite razlomke u obične (oslobodite se cijelog broja).
2. Da biste podijelili razlomke, trebate pretvoriti drugi razlomak tako što ćete zamijeniti njegov brojnik i nazivnik, a zatim pomnožiti razlomke.
3. Pomnožite brojilac prvog razlomka sa brojicom drugog razlomka, a imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog.
4. Pronađite najveći zajednički djelitelj (GCD) brojnika i nazivnika i smanjite razlomak dijeljenjem brojnika i nazivnika sa GCD.
5. Ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika, odaberite cijeli dio.

Online kalkulatori i pretvarači:

Analiziraćemo dve vrste sistema rešavanja jednačina:

1. Rješenje sistema metodom zamjene.
2. Rješenje sistema po članu sabiranje (oduzimanje) jednačina sistema.

Da bi se riješio sistem jednačina metoda zamjene morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Mi izražavamo. Iz bilo koje jednačine izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Rezultirajuću vrijednost zamjenjujemo drugom jednačinom umjesto izražene varijable.
3. Rezultirajuću jednačinu rješavamo s jednom promjenljivom. Pronalazimo rješenje za sistem.

Riješiti sistem sabiranjem (oduzimanjem) član po član treba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti iste koeficijente.
2. Sabiramo ili oduzimamo jednačine, kao rezultat dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom.
3. Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu. Pronalazimo rješenje za sistem.

Rješenje sistema su tačke preseka grafova funkcije.

Razmotrimo detaljno rješenja sistema na primjerima.

Primjer #1:

Rešimo metodom zamene

Rješavanje sistema jednačina metodom zamjene

2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)

1. Express
Vidi se da u drugoj jednačini postoji varijabla x sa koeficijentom 1, pa se ispostavlja da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednačine.
x=3+10y

2. Nakon izražavanja, zamjenjujemo 3 + 10y u prvoj jednačini umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Rezultirajuću jednačinu rješavamo s jednom promjenljivom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorene zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rešenje sistema jednačina su tačke preseka grafova, stoga treba da nađemo x i y, jer se presečna tačka sastoji od x i y. Nađimo x, u prvom pasusu gde smo izrazili tu zamenimo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Uobičajeno je da se na prvom mjestu ispisuju tačke, pišemo varijabla x, a na drugom mjestu varijabla y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primjer #2:

Rešimo sabiranjem (oduzimanjem) član po član.

Rješavanje sistema jednačina metodom sabiranja

3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)

1. Odaberite varijablu, recimo da odaberemo x. U prvoj jednadžbi varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istim, za to imamo pravo pomnožiti jednačine ili podijeliti s bilo kojim brojem. Pomnožite prvu jednačinu sa 2, a drugu sa 3 da biste dobili ukupni omjer 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prve jednačine oduzmite drugu da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednačinu.
__6x-4y=2

5y=32 | :pet
y=6.4

3. Pronađite x. Zamjenjujemo pronađeno y u bilo kojoj od jednadžbi, recimo u prvoj jednačini.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6

Tačka presjeka će biti x=4,6; y=6.4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Želite li se besplatno pripremati za ispite? Tutor online besplatno. Bez šale.

da reši matematiku. Pronađite brzo rješenje matematičke jednačine u modu online. Web stranica www.site dozvoljava riješiti jednačinu skoro svaki dat algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna jednadžba online. Kada proučavate gotovo bilo koji dio matematike u različitim fazama, morate odlučiti jednačine online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala www.site rješavajte jednačine na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih jednačine online- je brzina i tačnost izdatog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednadžbe online, transcendentalne jednadžbe na mreži, kao i jednačine sa nepoznatim parametrima u modu online. Jednačine služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični zadaci. Uz pomoć matematičke jednačine moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. nepoznate količine jednačine može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi jednačine i riješiti primljeni zadatak u režimu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska jednačina, trigonometrijska jednačina ili jednačine koji sadrži transcendentalno lako vam nudi odlučiti online i dobiti pravi odgovor. Izučavajući prirodne nauke, neminovno se susreće sa potrebom rješavanje jednačina. U ovom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora biti primljen odmah u režimu online. Stoga, za rješavati matematičke jednačine na mreži preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješenja algebarske jednačine online, trigonometrijske jednačine online, kao i transcendentalne jednadžbe na mreži ili jednačine sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja korijena raznih matematičke jednačine resurs www.. Rješavanje jednačine online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješenje jednačine na web stranici www.site. Potrebno je pravilno napisati jednačinu i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo da uporedite odgovor sa vašim rješenjem jednadžbe. Provjera odgovora neće potrajati više od minute, dovoljno riješite jednačinu na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i na vrijeme ispraviti odgovor rješavanje jednačina na mreži da li algebarski, trigonometrijski, transcendentan ili jednačina sa nepoznatim parametrima.