Kako pronaći dužinu znajući tri koordinate tačaka. Pronalaženje koordinata sredine segmenta: primjeri, rješenja

27.09.2019 | Kompjuteri

Postoji čitava grupa zadataka (uključenih u ispitne vrste zadataka) povezanih sa koordinatnom ravninom. To su zadaci počevši od onih najelementarnijih koji se rješavaju usmeno (određivanje ordinate ili apscise date tačke, ili simetrične zadate tačke itd.), a završavajući zadacima koji zahtijevaju kvalitetno znanje, razumijevanje i dobre vještine (zadaci vezano za nagib prave linije).

Postepeno ćemo ih sve razmotriti. U ovom članku ćemo početi s osnovama. to jednostavni zadaci odrediti: apscisu i ordinatu tačke, dužinu segmenta, sredinu segmenta, sinus ili kosinus ugla nagiba prave linije.Većina ovih zadataka neće biti zanimljiva. Ali mislim da ih je potrebno navesti.

Stvar je u tome da ne idu svi u školu. Mnogi ljudi polože ispit 3-4 godine ili više nakon diplomiranja, a nejasno se sjećaju što su apscisa i ordinata. Analizirat ćemo i druge zadatke vezane za koordinatnu ravan, nemojte je propustiti, pretplatite se na ažuriranje bloga. Sada n malo teorije.

Nastavimo dalje koordinatna ravan tačka A sa koordinatama x=6, y=3.

Kažu da je apscisa tačke A šest, ordinata tačke A tri.

Jednostavnije rečeno, x-osa je apscisa, a y-osa je y-osa.

To jest, apscisa je tačka na x-osi u koju se projektuje tačka data na koordinatnoj ravni; Ordinata je tačka na y-osi u koju se projektuje navedena tačka.

Dužina segmenta na koordinatnoj ravni

Formula za određivanje dužine segmenta, ako su poznate koordinate njegovih krajeva:

Kao što vidite, dužina segmenta je dužina hipotenuze u pravokutnom trokutu sa katetama jednakim

X B - X A i Y B - Y A

* * *

Sredina reza. Njene koordinate.

Formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta:

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke je:

gdje je (x 1; y 1) i (x 2; y 2 ) koordinate datih tačaka.

Zamjenom vrijednosti koordinata u formulu, ona se svodi na oblik:

y = kx + b, gdje je k nagib prave

Ova informacija će nam trebati kada rješavamo drugu grupu problema vezanih za koordinatnu ravan. Biće članak o tome, nemojte ga propustiti!

Šta se još može dodati?

Ugao nagiba prave linije (ili segmenta) je ugao između ose oX i ove prave linije, u rasponu od 0 do 180 stepeni.

Razmotrimo zadatke.

Iz tačke (6;8) okomica se spušta na os y. Pronađite ordinatu osnove okomice.

Osnova okomice spuštene na y-osu imat će koordinate (0; 8). Ordinata je osam.

Odgovor: 8

Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) na y-osu.

Udaljenost od tačke A do y-ose jednaka je apscisi tačke A.

Odgovor: 6.

A(6;8) oko ose Ox.

Tačka simetrična tački A u odnosu na osu oX ima koordinate (6; - 8).

Ordinata je minus osam.

Odgovor: - 8

Pronađite ordinatu tačke simetrične tački A(6;8) u odnosu na porijeklo.

Tačka simetrična tački A u odnosu na ishodište ima koordinate (- 6; - 8).

Njegova ordinata je -8.

Odgovor: -8

Pronađite apscisu sredine odsječka prave koji spaja tačkeO(0;0) i A(6;8).

Da bi se riješio problem, potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta. Koordinate krajeva našeg segmenta su (0;0) i (6;8).

Računamo po formuli:

Dobio (3;4). Apscisa je tri.

Odgovor: 3

* Apscisa sredine segmenta može se odrediti bez izračunavanja po formuli konstruisanjem ovog segmenta na koordinatnoj ravni na listu u ćeliji. Ćelije će lako odrediti sredinu segmenta.

Pronađite apscisu sredine odsječka prave koji spaja tačke A(6;8) i B(–2;2).

Da bi se riješio problem, potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta. Koordinate krajeva našeg segmenta su (–2;2) i (6;8).

Računamo po formuli:

Dobio (2;5). Apscisa je dva.

Odgovor: 2

* Apscisa sredine segmenta može se odrediti bez izračunavanja po formuli konstruisanjem ovog segmenta na koordinatnoj ravni na listu u ćeliji.

Odrediti dužinu segmenta koji povezuje tačke (0;0) i (6;8).

Dužina segmenta na datim koordinatama njegovih krajeva izračunava se po formuli:

u našem slučaju imamo O(0;0) i A(6;8). znači,

* Redoslijed koordinata pri oduzimanju nije bitan. Možete oduzeti apscisu i ordinatu tačke A od apscise i ordinate tačke O:

Odgovor:10

Pronađite kosinus nagiba segmenta koji povezuje tačke O(0;0) i A(6;8), sa x-osom.

Ugao nagiba segmenta je ugao između ovog segmenta i x-ose.

Iz tačke A spuštamo okomicu na os x:

To jest, ugao nagiba segmenta je ugaoVRIin pravougaonog trougla AVO.

Kosinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu je

omjer susjednog kraka i hipotenuze

Treba pronaći hipotenuzuOA.

Prema Pitagorinoj teoremi:U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

Dakle, kosinus ugla nagiba je 0,6

Odgovor: 0.6

Iz tačke (6;8) okomita na osu apscise se spušta. Pronađite apscisu osnove okomice.

Kroz tačku (6; 8) povučena je prava linija, paralelna sa x-osi. Naći ordinatu njegove tačke preseka sa osom OU.

Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) prema x-osi.

Pronađite udaljenost od tačke A sa koordinatama (6;8) do ishodišta.

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije tačke ravni i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se odgovarajuće koordinate preurede: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Odluka: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Segment linije - to nije vektor, i ne možete ga nigdje pomjeriti, naravno. Osim toga, ako dovršite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom direktnim mjerenjem dužine segmenta.

Da, rešenje je kratko, ali postoji nekoliko važnih tačaka koje bih želeo da razjasnim:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: “jedinice”. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani problem:

obratite pažnju na važan tehnički trik – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje množitelja ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u formi neće biti greška – ali je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane nastavnika.

Evo i drugih uobičajenih slučajeva:

Često se dovoljno veliki broj dobije pod korijenom, na primjer. Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4:. Da, potpuno podijeliti, ovako: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . Na ovaj način: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno nije moguće. Pokušavam podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

zaključak: ako ispod korijena dobijemo potpuno neizdvojiv broj, tada pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Prilikom rješavanja raznih problema često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli niži rezultat i nepotrebne muke oko finaliziranja rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i drugih potencija:

Pravila za radnje sa stepenom in opšti pogled može se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je sve ili skoro sve već jasno iz navedenih primjera.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Dati bodovi i . Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Postoje tri glavna koordinatna sistema koja se koriste u geometriji, teorijskoj mehanici i drugim granama fizike: kartezijanski, polarni i sferni. U ovim koordinatnim sistemima cijela tačka ima tri koordinate. Poznavajući koordinate 2 tačke, moguće je odrediti udaljenost između ove dvije tačke.

Trebaće ti

Kartezijanske, polarne i sferne koordinate krajeva segmenta

Uputstvo

1. Počnimo sa pravougaonim Kartezijanskim koordinatnim sistemom. Lokacija tačke u prostoru u ovom koordinatnom sistemu je određena pomoću koordinate x,y i z. Radijus vektor se povlači od početka koordinata do tačke. Projekcije ovog radijus vektora na koordinatne ose će biti koordinate Pretpostavimo da sada imate dvije tačke sa koordinate x1,y1,z1 i x2,y2 i z2 respektivno. Označite za r1 i r2, respektivno, vektor radijusa prve i 2. tačke. Očigledno, udaljenost između ove dvije tačke će biti jednaka modulu vektora r = r1-r2, gdje je (r1-r2) vektorska razlika. Koordinate vektora r, očigledno će biti sljedeće: x1- x2, y1-y2, z1-z2. Tada će modul vektora r ili udaljenost između dvije tačke biti: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2)) .

2. Razmotrimo sada polarni koordinatni sistem, u kojem će koordinata tačke biti data radijalnom koordinatom r (radijus vektor u ravni XY), ugaona koordinata? (ugao između vektora r i ose X) i koordinata z, slično kao z koordinata u kartezijanskom sistemu. Polarne koordinate tačke se mogu pretvoriti u kartezijanske na sledeći način: x = r*cos?, y = r*sin?, z = z. Zatim razmak između dvije tačke sa koordinate r1, ?1 ,z1 i r2, ?2, z2 će biti jednaki R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2) +((z1-z2)^2))

3. Sada razmotrite sferni koordinatni sistem. U njemu je lokacija tačke data sa tri koordinate r, ? i?. r je rastojanje od početka do tačke, ? i? su azimut i zenit uglovi, respektivno. Ugao? sličan uglu sa istom oznakom u polarnom koordinatnom sistemu, ha? je ugao između radijus vektora r i Z ose, sa 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с koordinate r1, ?1, ?1 i r2, ?2 i ?2 će biti jednaki R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Povezani video zapisi

segment nazovimo dio prave koji se sastoji od svih tačaka ove prave koje se nalaze između date dvije tačke - nazivaju se krajevi segmenta.

Razmotrimo prvi primjer. Neka je određeni segment u koordinatnoj ravni zadan sa dvije tačke. U ovom slučaju, njegovu dužinu možemo pronaći primjenom Pitagorine teoreme.

Dakle, u koordinatnom sistemu nacrtajte segment sa datim koordinatama njegovih krajeva(x1; y1) i (x2; y2) . na osovini X i Y ispustite okomite sa krajeva segmenta. Označite crvenom bojom segmente koji su projekcije iz originalnog segmenta na koordinatnu osu. Nakon toga prenosimo segmente projekcije paralelno sa krajevima segmenata. Dobijamo trougao (pravougaonik). Hipotenuza ovog trougla bit će sam segment AB, a njegovi kraci su prenesene projekcije.

Izračunajmo dužinu ovih projekcija. Dakle, na osi Y dužina projekcije je y2-y1 , i na osi X dužina projekcije je x2-x1 . Primijenimo Pitagorinu teoremu: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . U ovom slučaju |AB| je dužina segmenta.

Ako koristite ovu šemu za izračunavanje dužine segmenta, tada čak ni ne možete izgraditi segment. Sada izračunavamo dužinu segmenta sa koordinatama (1;3) i (2;5) . Primjenom Pitagorine teoreme dobijamo: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . A to znači da je dužina našeg segmenta jednaka 5:1/2 .

Razmotrite sljedeću metodu za pronalaženje dužine segmenta. Da bismo to učinili, moramo znati koordinate dvije tačke u nekom sistemu. Razmotrite ovu opciju koristeći dvodimenzionalni Dekartov koordinatni sistem.

Dakle, u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu date su koordinate ekstremnih tačaka segmenta. Ako kroz ove tačke povučemo prave linije, one moraju biti okomite na koordinatnu osu, tada ćemo dobiti pravokutni trokut. Originalni segment će biti hipotenuza rezultirajućeg trougla. Kraci trokuta formiraju segmente, njihova dužina je jednaka projekciji hipotenuze na koordinatne ose. Na osnovu Pitagorine teoreme zaključujemo: da biste pronašli dužinu datog segmenta, potrebno je pronaći dužine projekcija na dvije koordinatne ose.

Pronađite dužine projekcija (X i Y) originalni segment na koordinatne ose. Izračunavamo ih pronalaženjem razlike u koordinatama tačaka duž zasebne ose: X=X2-X1, Y=Y2-Y1 .

Izračunajte dužinu segmenta I , za ovo nalazimo kvadratni korijen:

A = √(X²+Y²) = √((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Ako se naš segment nalazi između tačaka čije koordinate 2;4 i 4;1 , tada je njegova dužina, respektivno, jednaka √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Ako dobro naoštrenom olovkom dodirnete list bilježnice, ostat će trag koji daje predstavu o poenti. (Sl. 3).

Na listu papira označavamo dve tačke A i B. Ove tačke se mogu povezati raznim linijama (sl. 4). A kako spojiti tačke A i B najkraćom linijom? To se može učiniti pomoću ravnala (sl. 5). Rezultirajuća linija se zove segment.

Tačka i linija - Primjeri geometrijski oblici.

Tačke A i B se nazivaju krajevi segmenta.

Postoji jedan segment čiji su krajevi tačke A i B. Dakle, segment se označava tako što se zapisuju tačke koje su njegovi krajevi. Na primjer, segment na slici 5 označen je na jedan od dva načina: AB ili BA. Pročitajte: "segment AB" ili "segment BA".

Slika 6 prikazuje tri segmenta. Dužina odsječka AB jednaka je 1 cm.Postavljena je tačno tri puta u segment MN, a tačno 4 puta u segment EF. Reći ćemo to dužina segmenta MN je 3 cm, a dužina segmenta EF je 4 cm.

Također je uobičajeno reći: "segment MN je 3 cm", "segment EF je 4 cm". Oni pišu: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Mjerili smo dužine segmenata MN i EF pojedinačni segment, čija je dužina 1 cm Za mjerenje segmenata, možete odabrati druge jedinice dužine, na primjer: 1 mm, 1 dm, 1 km. Na slici 7, dužina segmenta je 17 mm. Mjeri se jednim segmentom, čija je dužina 1 mm, pomoću ravnala s podjelama. Takođe, pomoću ravnala možete izgraditi (nacrtati) segment zadate dužine (vidi sl. 7).

općenito, izmjeriti segment znači izbrojati koliko jediničnih segmenata stane u njega.

Dužina segmenta ima sljedeće svojstvo.

Ako je tačka C označena na segmentu AB, onda je dužina segmenta AB jednaka zbiru dužina segmenata AC i CB(Sl. 8).

Oni pišu: AB = AC + CB.

Slika 9 prikazuje dva segmenta AB i CD. Ovi segmenti će se poklopiti kada se superponiraju.

Dva segmenta se nazivaju jednakima ako se poklapaju kada se preklapaju.

Dakle, segmenti AB i CD su jednaki. Oni pišu: AB = CD.

Jednaki segmenti imaju jednake dužine.

Od dva nejednaka segmenta, smatraćemo da je veći onaj sa većom dužinom. Na primjer, na slici 6, segment EF je veći od segmenta MN.

Dužina segmenta AB se naziva razdaljina između tačaka A i B.

Ako se nekoliko segmenata rasporedi kao što je prikazano na slici 10, onda će se dobiti geometrijska figura koja se zove slomljena linija. Imajte na umu da svi segmenti na slici 11 ne čine isprekidanu liniju. Smatra se da segmenti formiraju izlomljenu liniju ako se kraj prvog segmenta poklapa sa krajem drugog, a drugi kraj drugog segmenta poklapa se sa krajem trećeg itd.

Tačke A, B, C, D, E − vrhovi polilinije ABCDE, tačke A i E − prekinuta linija završava, a segmenti AB, BC, CD, DE su njegovi linkovi(vidi sliku 10).

Dužina isprekidane linije je zbir dužina svih njegovih karika.