1. Prave drugog reda na euklidskoj ravni.

2. Invarijante pravaca drugog reda.

3. Određivanje vrste pravih drugog reda iz invarijanti njene jednačine.

4. Uključene linije drugog reda afine ravni. Teorema jedinstvenosti.

5. Centri linija drugog reda.

6. Asimptote i prečnici linija drugog reda.

7. Svođenje jednadžbi linija drugog reda na najjednostavnije.

8. Glavni pravci i prečnici vodova drugog reda.

LISTA KORIŠTENE REFERENCE

1. Prave drugog reda u euklidskoj ravni.

definicija:

Euklidska ravan je prostor dimenzije 2,

(dvodimenzionalni realni prostor).

Prave drugog reda su linije preseka kružnog konusa sa ravnima koje ne prolaze kroz njegov vrh.

Ovi redovi se često nalaze u raznim pitanjima prirodnih nauka. Na primjer, kretanje materijalne tačke pod uticajem centralnog gravitacionog polja događa se duž jedne od ovih linija.

Ako rezna ravan siječe sve pravolinijske generatrise jedne šupljine konusa, tada će presjek proizvesti pravu koja se zove elipsa(Sl. 1.1, a). Ako rezna ravan siječe generatrisu obje šupljine konusa, tada će presjek proizvesti pravu koja se zove hiperbola(Sl. 1.1,6). I konačno, ako je rezna ravnina paralelna s jednom od generatrisa stošca (na 1,1, V- Ovo je generator AB), tada će sekcija proizvesti liniju tzv parabola. Rice. 1.1 daje vizuelni prikaz oblika dotičnih linija.

Slika 1.1

Opća jednačina linije drugog reda je sljedeća:

(1)

(1*)

Elipsa je skup tačaka na ravni za koje je zbir udaljenosti do dva fiksne tačke F 1 I F 2 ova ravan, nazvana fokusi, je konstantna vrijednost.

U ovom slučaju nije isključena podudarnost fokusa elipse. Očigledno ako se žarišta poklapaju, onda je elipsa kružnica.

Da bismo izveli kanonsku jednačinu elipse, biramo ishodište O kartezijanskog koordinatnog sistema u sredini segmenta F 1 F 2 , i sjekire Oh I Oh Usmjerimo ga kao što je prikazano na sl. 1.2 (ako trikovi F 1 I F 2 poklapaju, onda se O poklapa sa F 1 I F 2, i za osu Oh možete uzeti bilo koju osu koja prolazi O).

Neka je dužina segmenta F 1 F 2 F 1 I F 2 imaju koordinate (-s, 0) i (s, 0). Označimo sa 2a konstanta o kojoj se govori u definiciji elipse. Očigledno, 2a > 2c, tj. a > c ( Ako M- tačka elipse (vidi sliku 1.2), zatim | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 a , a pošto je zbir dviju strana M.F. 1 I M.F. 2 trougao M.F. 1 F 2 više treće strane F 1 F 2 = 2c, zatim 2a > 2c. Prirodno je isključiti slučaj 2a = 2c, pošto je tada tačka M nalazi se na segmentu F 1 F 2 a elipsa se degeneriše u segment. ).

Neka M- tačka ravni sa koordinatama (x, y)(Sl. 1.2). Označimo sa r 1 i r 2 udaljenosti od tačke M do bodova F 1 I F 2 respektivno. Prema definiciji elipse jednakost

r 1 + r 2 = 2a (1.1)

je neophodan i dovoljan uslov za lokaciju tačke M (x, y) na datoj elipsi.

Koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke, dobijamo

(1.2)

Iz (1.1) i (1.2) slijedi da odnos

(1.3)

predstavlja neophodan i dovoljan uslov za lokaciju tačke M sa koordinatama x i y na datoj elipsi. Stoga se relacija (1.3) može smatrati kao jednadžba elipse. Koristeći standardnu ​​metodu “uništavanja radikala” ova jednačina se svodi na oblik

(1.4) (1.5)

Pošto je jednačina (1.4) algebarski korolar jednadžba elipse (1.3), zatim koordinate x i y bilo koje tačke M elipsa će također zadovoljiti jednačinu (1.4). Budući da bi se tokom algebarskih transformacija povezanih s otklanjanjem radikala mogli pojaviti “dodatni korijeni”, moramo se pobrinuti da bilo koja točka M,čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.4), nalazi se na ovoj elipsi. Da bismo to učinili, očigledno je dovoljno dokazati da su vrijednosti r 1 i r 2 za svaku tačku zadovoljava relaciju (1.1). Pa neka koordinate X I at bodova M zadovoljavaju jednačinu (1.4). Zamjena vrijednosti u 2 od (1.4) do desnu stranu izraz (1.2) za r 1 nakon jednostavnih transformacija nalazimo da

, Onda .

Na potpuno isti način to nalazimo

. Dakle, za predmetnu tačku M , (1.6)

tj. r 1 + r 2 = 2a, i stoga se tačka M nalazi na elipsi. Jednačina (1.4) se zove kanonska jednadžba elipse. Količine A I b nazivaju se u skladu s tim velike i male poluose elipse(nazivi “veliki” i “mali” objašnjavaju se činjenicom da a>b).

Komentar. Ako su poluose elipse A I b su jednaki, onda je elipsa kružnica čiji je poluprečnik jednak R = a = b, a centar se poklapa sa ishodištem.

Hiperbola je skup tačaka u ravni za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 I F 2 ove ravni, zvane fokusi, postoji konstantna vrijednost ( Trikovi F 1 I F 2 prirodno je hiperbole smatrati različitim, jer ako konstanta navedena u definiciji hiperbole nije jednaka nuli, onda ne postoji niti jedna tačka ravni ako se poklapaju F 1 I F 2 , koji bi zadovoljio zahtjeve za definiciju hiperbole. Ako je ova konstanta nula i F 1 poklapa se sa F 2 , tada bilo koja tačka na ravni zadovoljava zahtjeve za definiciju hiperbole. ).

Da bismo izveli kanonsku jednačinu hiperbole, biramo ishodište koordinata u sredini segmenta F 1 F 2 , i sjekire Oh I Oh Usmjerimo ga kao što je prikazano na sl. 1.2. Neka je dužina segmenta F 1 F 2 jednako 2s. Zatim u odabranom koordinatnom sistemu tačke F 1 I F 2 imaju koordinate (-s, 0) i (s, 0) Označimo sa 2 A konstanta o kojoj se govori u definiciji hiperbole. Očigledno 2a< 2с, т. е. a < с. Moramo biti sigurni da jednačina (1.9), dobijena algebarskim transformacijama jednačine (1.8), nije dobila nove korijene. Da biste to učinili, dovoljno je to dokazati za svaku tačku M, koordinate X I at koje zadovoljavaju jednačinu (1.9), vrijednosti r 1 i r 2 zadovoljavaju relaciju (1.7). Provodeći argumente slične onima koji su izneseni prilikom izvođenja formula (1.6), nalazimo sljedeće izraze za veličine koje nas zanimaju r 1 i r 2:

(1.11)

Dakle, za predmetnu tačku M imamo

, i stoga se nalazi na hiperboli.

Jednačina (1.9) se zove kanonska jednadžba hiperbole. Količine A I b nazivaju se stvarnim i imaginarnim, respektivno poluosi hiperbole.

Parabola je skup tačaka na ravni za koji je rastojanje do neke fiksne tačke F ova ravan je jednaka udaljenosti do neke fiksne prave linije, koja se takođe nalazi u ravni koja se razmatra.

Linije drugog reda.
Elipsa i njena kanonska jednadžba. Krug

Nakon temeljnog proučavanja prave linije u ravni Nastavljamo sa proučavanjem geometrije dvodimenzionalnog svijeta. Ulozi su udvostručeni i pozivam vas da posjetite slikovitu galeriju elipsa, hiperbola, parabola, koje su tipični predstavnici linije drugog reda. Ekskurzija je već počela, i to prva kratke informacije o cjelokupnoj izložbi na različitim katovima muzeja:

Pojam algebarske linije i njen red

Prava na ravni se zove algebarski, ako je u afini koordinatni sistem njegova jednadžba ima oblik , gdje je polinom koji se sastoji od članova oblika ( – realni broj, – nenegativni cijeli brojevi).

Kao što vidite, jednadžba algebarske linije ne sadrži sinuse, kosinuse, logaritme i druge funkcionalne beaumonde. Samo X i Y su unutra nenegativni cijeli brojevi stepeni.

Redosled jednaka maksimalnoj vrijednosti termina uključenih u njega.

Prema odgovarajućoj teoremi, koncept algebarske linije, kao ni njen red, ne zavise od izbora afini koordinatni sistem, stoga, radi lakšeg postojanja, pretpostavljamo da se svi kasniji proračuni odvijaju u Kartezijanske koordinate.

Opšta jednačina red drugog reda ima oblik , gdje – proizvoljni realni brojevi (Uobičajeno je da se piše sa faktorom dva), a koeficijenti nisu jednaki nuli u isto vrijeme.

Ako je , tada se jednadžba pojednostavljuje na , a ako koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli, onda je to tačno opšta jednačina “ravne” linije, što predstavlja linija prve narudžbe.

Mnogi su shvatili značenje novih pojmova, ali, ipak, da bismo 100% savladali gradivo, guramo prste u utičnicu. Da biste odredili redoslijed linija, potrebno je ponoviti svi uslovi njegove jednačine i pronađite za svaku od njih zbir stepeni dolazne varijable.

na primjer:

izraz sadrži “x” na 1. stepen;
izraz sadrži “Y” na 1. stepen;
U pojmu nema varijabli, tako da je zbir njihovih moći nula.

Sada hajde da shvatimo zašto jednačina definiše liniju drugo red:

izraz sadrži “x” na 2. stepen;
sabir ima zbir stepena varijabli: 1 + 1 = 2;
izraz sadrži “Y” na 2. stepen;
svi ostali uslovi - manje stepeni.

Maksimalna vrijednost: 2

Ako dodatno dodamo, recimo, našoj jednadžbi, onda će ona već odrediti linija trećeg reda. Očigledno, opći oblik jednadžbe trećeg reda sadrži "pun skup" pojmova, zbir stepena varijabli u kojem je jednak tri:
, pri čemu koeficijenti nisu jednaki nuli u isto vrijeme.

U slučaju da se doda jedan ili više odgovarajućih termina koji sadrže , onda ćemo već pričati o tome Linije 4. reda, itd.

Morat ćemo više puta susresti algebarske linije 3., 4. i višeg reda, posebno prilikom upoznavanja polarni koordinatni sistem.

Međutim, vratimo se općoj jednadžbi i prisjetimo se njenih najjednostavnijih školskih varijacija. Kao primjer, sugerira se parabola, čija se jednadžba lako može svesti opšti izgled, i hiperbolu s ekvivalentnom jednadžbom . Međutim, nije sve tako glatko...

Značajan nedostatak opće jednačine je to što gotovo uvijek nije jasno koju liniju definira. Čak i u najjednostavnijem slučaju, nećete odmah shvatiti da je ovo hiperbola. Takvi rasporedi su dobri samo na maskenbalima, pa se tipičan problem razmatra u toku analitičke geometrije dovodeći jednadžbu 2. reda u kanonski oblik.

Koji je kanonski oblik jednačine?

Ovo je općeprihvaćeni standardni oblik jednadžbe, kada za nekoliko sekundi postane jasno koji geometrijski objekt definira. Osim toga, kanonski oblik je vrlo pogodan za rješavanje mnogih praktični zadaci. Tako, na primjer, prema kanonskoj jednadžbi "ravno" ravno, prvo, odmah je jasno da je ovo prava linija, a drugo, tačka koja joj pripada i vektor smjera su lako vidljivi.

Očigledno je da bilo koji Linija 1. reda je prava linija. Na drugom spratu nas više ne čeka stražar, već mnogo raznovrsnije društvo od devet kipova:

Klasifikacija linija drugog reda

Koristeći poseban skup akcija, svaka jednadžba linije drugog reda se svodi na jedan od sljedećih oblika:

(i pozitivni su realni brojevi)

1) – kanonska jednačina elipse;

2) – kanonska jednačina hiperbole;

3) – kanonska jednačina parabole;

4) – imaginarni elipsa;

5) – par linija koje se seku;

6) – par imaginarni linije koje se seku (sa jednom važećom tačkom preseka u početku);

7) – par paralelnih pravih;

8) – par imaginarni paralelne linije;

9) – par podudarnih linija.

Neki čitaoci mogu imati utisak da je lista nepotpuna. Na primjer, u tački br. 7, jednačina specificira par direktno, paralelno s osi, i postavlja se pitanje: gdje je jednadžba koja određuje prave paralelne s ordinatnom osom? Odgovor: to ne smatra se kanonskim. Prave linije predstavljaju isti standardni slučaj, rotiran za 90 stepeni, a dodatni unos u klasifikaciji je suvišan, jer ne donosi ništa suštinski novo.

Dakle, postoji devet i samo devet razne vrste linije 2. reda, ali se u praksi najčešće sreću elipsa, hiperbola i parabola.

Pogledajmo prvo elipsu. Kao i obično, fokusiram se na one tačke koje imaju velika vrijednost za rješavanje problema, a ako vam je potrebno detaljno izvođenje formula, dokazi teorema, pogledajte, na primjer, udžbenik Bazylev/Atanasyan ili Aleksandrov.

Elipsa i njena kanonska jednadžba

Pravopis... nemojte ponavljati greške nekih korisnika Yandexa koje zanima "kako napraviti elipsu", "razliku između elipse i ovala" i "ekscentričnost elipse".

Kanonska jednadžba elipse ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi, i . Kasnije ću formulirati samu definiciju elipse, ali za sada je vrijeme da se odmorimo od pričaonice i riješimo uobičajeni problem:

Kako napraviti elipsu?

Da, samo uzmi i nacrtaj. Zadatak se javlja često, a značajan dio učenika se ne snalazi pravilno sa crtežom:

Primjer 1

Konstruirajte elipsu zadanu jednadžbom

Rješenje: Prvo, dovedimo jednačinu u kanonski oblik:

Zašto donijeti? Jedna od prednosti kanonske jednadžbe je ta što vam omogućava da odmah odredite vrhove elipse, koji se nalaze na tačkama. Lako je vidjeti da koordinate svake od ovih tačaka zadovoljavaju jednačinu.

u ovom slučaju:


Segment pozvao glavna osovina elipsa;
segment – sporedna os;
broj pozvao poluglavna osovina elipsa;
broj – sporedna osa.
u našem primjeru: .

Da biste brzo zamislili kako određena elipsa izgleda, samo pogledajte vrijednosti "a" i "be" njene kanonske jednadžbe.

Sve je u redu, glatko i lijepo, ali postoji jedno upozorenje: crtež sam napravio pomoću programa. A crtež možete napraviti koristeći bilo koju aplikaciju. Međutim, u surovoj stvarnosti, na stolu je kockasti papir, a miševi plešu u krugovima na našim rukama. Ljudi sa umetničkim talentom, naravno, mogu da se svađaju, ali imate i miševe (iako manje). Nije uzalud čovječanstvo izmislilo ravnalo, šestar, kutomjer i druge jednostavne uređaje za crtanje.

Iz tog razloga, malo je vjerovatno da ćemo moći precizno nacrtati elipsu znajući samo vrhove. U redu je ako je elipsa mala, na primjer, s poluosama. Alternativno, možete smanjiti razmjer i, shodno tome, dimenzije crteža. Ali unutra opšti slučaj Vrlo je poželjno pronaći dodatne bodove.

Postoje dva pristupa konstruisanju elipse - geometrijski i algebarski. Ne volim konstrukciju pomoću šestara i ravnala jer algoritam nije najkraći i crtež je znatno zatrpan. U slučaju hitan slučaj, pogledajte udžbenik, ali u stvarnosti je mnogo racionalnije koristiti alate algebre. Iz jednačine elipse u nacrtu brzo izražavamo:

Jednačina se tada rastavlja na dvije funkcije:
– definira gornji luk elipse;
– definira donji luk elipse.

Elipsa definisana kanonskom jednačinom je simetrična u odnosu na koordinatne ose, kao i u odnosu na ishodište. I ovo je sjajno - simetrija je gotovo uvijek preteča besplatnih. Očigledno, dovoljno je pozabaviti se 1. koordinatnom četvrtinom, pa nam je potrebna funkcija . Potrebno je pronaći dodatne tačke sa apscisama . Dodirnite tri SMS poruke na kalkulatoru:

Naravno, također je lijepo da ako se napravi ozbiljna greška u proračunima, to će odmah postati jasno tokom izgradnje.

Označite tačke na crtežu (crvena boja), simetrične tačke na preostalim lukovima ( plava) i pažljivo povežite cijelu kompaniju linijom:


Bolje je početnu skicu nacrtati vrlo tanko, a tek onda pritisnuti olovkom. Rezultat bi trebao biti sasvim pristojna elipsa. Usput, želite li znati koja je ova kriva?

Definicija elipse. Fokusi elipse i ekscentricitet elipse

Elipsa je poseban slučaj ovala. Riječ "oval" ne treba shvatiti u filistarskom smislu ("dijete je nacrtalo oval" itd.). Ovo je matematički termin koji ima detaljnu formulaciju. Svrha ove lekcije nije razmatranje teorije ovala i njihovih različitih tipova, kojima se praktički ne pridaje pažnja u standardnom kursu analitičke geometrije. I, u skladu sa aktuelnijim potrebama, odmah prelazimo na striktnu definiciju elipse:

Elipsa je skup svih tačaka ravni, zbir udaljenosti do svake od dvije date tačke, tzv. trikovi elipsa - je konstantna veličina, numerički jednaka dužini glavna osa ove elipse: .
Istovremeno, udaljenosti između fokusa su manje datu vrijednost: .

Sada će sve biti jasnije:

Zamislite da plava tačka "putuje" duž elipse. Dakle, bez obzira koju tačku elipse uzmemo, zbir dužina segmenata će uvijek biti isti:

Uvjerimo se da je u našem primjeru vrijednost sume zaista jednaka osam. Mentalno postavite tačku “hm” na desni vrh elipse, a zatim: , što je trebalo provjeriti.

Druga metoda crtanja zasniva se na definiciji elipse. Viša matematika je ponekad uzrok napetosti i stresa, pa je vrijeme za još jednu sesiju rasterećenja. Uzmite whatman papir ili veliki list kartona i pričvrstite ga na stol sa dva eksera. To će biti trikovi. Zavežite zeleni konac na izbočene glave noktiju i povucite ga do kraja olovkom. Olovka će završiti u određenoj tački koja pripada elipsi. Sada počnite crtati olovku duž lista papira, držeći zeleni konac zategnutim. Nastavite proces dok se ne vratite na početnu tačku... super... crtež može provjeriti doktor i učitelj =)

Kako pronaći fokuse elipse?

U gornjem primjeru prikazao sam "gotove" žarišne točke, a sada ćemo naučiti kako ih izvući iz dubina geometrije.

Ako je elipsa data kanonskom jednadžbom, tada njena žarišta imaju koordinate , gdje je ovo udaljenost od svakog fokusa do centra simetrije elipse.

Proračuni su jednostavniji parena repa:

! Specifične koordinate žarišta ne mogu se identificirati sa značenjem “tse”! Ponavljam da je to UDALJENOST od svakog fokusa do centra(koji u opštem slučaju ne mora da se nalazi tačno na početku).
I, stoga, rastojanje između žarišta takođe se ne može vezati za kanonski položaj elipse. Drugim riječima, elipsa se može pomjeriti na drugo mjesto i vrijednost će ostati nepromijenjena, dok će fokusi prirodno promijeniti svoje koordinate. Molimo razmotrite trenutno tokom daljeg proučavanja teme.

Ekscentričnost elipse i njeno geometrijsko značenje

Ekscentricitet elipse je omjer koji može uzeti vrijednosti unutar raspona.

u našem slučaju:

Hajde da saznamo kako oblik elipse zavisi od njenog ekscentriciteta. Za ovo popraviti lijevi i desni vrh elipse koja se razmatra, odnosno, vrijednost glavne poluose će ostati konstantna. Tada će formula ekscentriciteta poprimiti oblik: .

Počnimo približavati vrijednost ekscentriciteta jedinici. Ovo je moguće samo ako . šta to znači? ...zapamti trikove . To znači da će se žarišta elipse „razdvojiti“ duž ose apscise do bočnih vrhova. A pošto „zeleni segmenti nisu gumeni“, elipsa će se neizbežno početi spljoštavati, pretvarajući se u sve tanju i tanju kobasicu nanizanu na os.

dakle, što je vrijednost ekscentriciteta elipse bliža jedinici, to je elipsa izduženija.

Sada modelirajmo suprotan proces: žarišta elipse hodali jedno prema drugom, približavajući se centru. To znači da vrijednost “ce” postaje sve manja i, shodno tome, ekscentricitet teži nuli: .
U ovom slučaju, „zeleni segmenti“ će, naprotiv, „postati gužve“ i počeće da „guraju“ liniju elipse gore-dole.

dakle, što je vrijednost ekscentriciteta bliža nuli, to je elipsa sličnija... pogledajte granični slučaj kada se žarišta uspješno ponovo ujedine u izvorištu:

Krug je poseban slučaj elipse

Zaista, u slučaju jednakosti poluosi, kanonska jednadžba elipse poprima oblik , koji se refleksno transformira u jednadžbu kružnice sa centrom u početnom dijelu polumjera „a“, dobro poznatu iz škole.

U praksi se češće koristi notacija sa "govornim" slovom "er": . Radijus je dužina segmenta, pri čemu je svaka tačka kruga udaljena od centra za poluprečnik udaljenosti.

Imajte na umu da definicija elipse ostaje potpuno tačna: žarišta se poklapaju, a zbir dužina podudarnih segmenata za svaku tačku na kružnici je konstanta. Budući da je udaljenost između žarišta , Tada ekscentricitet bilo koje kružnice je nula.

Izgradnja kruga je jednostavna i brza, samo koristite kompas. Međutim, ponekad je potrebno saznati koordinate nekih njegovih tačaka, u ovom slučaju idemo poznatim putem - dovodimo jednadžbu do veselog Matanovog oblika:

– funkcija gornjeg polukruga;
– funkcija donjeg polukruga.

Nakon čega nalazimo tražene vrijednosti, razlikovati, integrisati i činite druge dobre stvari.

Članak je, naravno, samo za referencu, ali kako možete živjeti u svijetu bez ljubavi? Kreativni zadatak za samostalno rješavanje

Primjer 2

Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako je poznato jedno od njenih žarišta i male ose (centar je u ishodištu). Pronađite vrhove, dodatne tačke i nacrtajte liniju na crtežu. Izračunajte ekscentricitet.

Rješenje i crtež na kraju lekcije

Dodajmo akciju:

Rotirajte i paralelno prevedite elipsu

Vratimo se kanonskoj jednadžbi elipse, naime, stanju, čija misterija muči radoznale umove od prvog spominjanja ove krive. Pa smo pogledali elipsu , ali zar nije moguće u praksi ispuniti jednačinu ? Ipak, i ovdje se čini da je elipsa!

Ova vrsta jednadžbe je rijetka, ali se sreće. I zapravo definira elipsu. Hajde da demistifikujemo:

Kao rezultat konstrukcije, dobijena je naša izvorna elipsa, rotirana za 90 stepeni. to je, - Ovo nekanonski unos elipsa . Record!– jednačina ne definira nijednu drugu elipsu, jer na osi nema tačaka (fokusa) koje bi zadovoljile definiciju elipse.

Razmotrimo problem svođenja jednačine linije drugog reda na najjednostavniji (kanonski) oblik.

Podsjetimo da je algebarska prava drugog reda geometrijski lokus tačaka u ravni koji, u nekim afini sistem koordinate Ox_1x_2 se mogu specificirati jednačinom oblika p(x_1,x_2)=0, gdje je p(x_1,x_2) polinom drugog stepena dvije varijable Ox_1x_2. Potrebno je pronaći pravougaoni koordinatni sistem u kojem bi jednačina prave poprimila najjednostavniji oblik.

Rezultat rješavanja postavljenog problema je sljedeća glavna teorema (3.3)

Klasifikacija algebarskih linija drugog reda (Teorema 3.3)

Za bilo koju algebarsku liniju drugog reda postoji pravougaoni koordinatni sistem Oxy, u kojem jednačina te prave ima jedan od sljedećih devet kanonskih oblika:

Teorema 3.3 daje analitičke definicije linija drugog reda. Prema stavu 2 napomene 3.1, linije (1), (4), (5), (6), (7), (9) se nazivaju realne (realne), a linije (2), (3), ( 8) - imaginarni.

Izložimo dokaz teoreme, budući da on zapravo sadrži algoritam za rješavanje postavljenog problema.

Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je jednačina prave drugog reda data u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy. U suprotnom, možete ići iz nepravougaonog koordinatnog sistema Ox_1x_2 do pravougaonog Oxy, u kom slučaju će jednačina prave imati isti oblik i isti stepen prema teoremi 3.1 o invarijantnosti reda algebarske prave.

Neka je algebarska prava drugog reda u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy data jednadžbom

A_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,

u kojem je barem jedan od vodećih koeficijenata a_(11),a_(12),a_(22) razlikuje se od nule, tj. lijeva strana (3.34) je polinom dvije varijable x,y drugog stepena. Koeficijenti na prvim stepenima varijabli x i y, kao i njihov proizvod x\cdot y, uzimaju se da se jednostavno udvostruče radi pogodnosti daljih transformacija.

Da bi se jednačina (3.34) dovela u kanonski oblik, koriste se sljedeće transformacije pravokutnih koordinata:

– rotacija pod kutom \varphi

\begin(cases)x=x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\y=x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi;\end( slučajevi)

– paralelni prenos

\begin(slučajevi)x=x_0+x",\\y=y_0+y";\end(slučajevi)

– promjena smjera koordinatnih osa (refleksije u koordinatnim osa):

y-osa \begin(slučajevi)x=x",\\y=-y",\end(slučajevi) x-osa \begin(slučajevi)x=-x",\\y=y",\end(slučajevi) obe ose \begin(slučajevi)x=-x",\\y=-y";\end(slučajevi)

– preimenovanje koordinatnih osa (odraz u pravoj liniji y=x)

\begin(slučajevi)x=y",\\y=x",\end(slučajevi)

gdje su x,y i x",y" koordinate proizvoljne tačke u starom (Oxy) i novom O"x"y" koordinatnom sistemu, respektivno.

Osim transformacije koordinata, obje strane jednadžbe mogu se pomnožiti brojem različitom od nule.

Razmotrimo prvo posebne slučajeve kada jednačina (3.34) ima oblik:

\begin(poravnano) &\mathsf((I)\colon)~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\ &\mathsf((II)\colon)~ \lambda_2\cdot y ^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\ &\mathsf((III)\colon)~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2 +a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \end (poravnano)

Ove jednadžbe (također polinomi na lijevoj strani) nazivaju se reduciranim. Pokažimo da se gornje jednačine (I), (II), (III) svode na kanonske (1)–(9).

Jednačina (I). Ako je u jednačini (I) slobodni član nula (a_0=0), tada dijeljenjem obje strane jednačine \lambda_2y^2=0 sa vodećim koeficijentom (\lambda_0\ne0) dobijamo y^2=0 - jednadžba dvije podudarne prave(9), koji sadrži x-osu y=0. Ako je slobodni član različit od nule a_0\ne0, tada dijelimo obje strane jednačine (I) vodećim koeficijentom (\lambda_2\ne0): y^2+\frac(a_0)(\lambda_2)=0. Ako je vrijednost negativna, označavamo je sa -b^2, gdje b=\sqrt(-\frac(a_0)(\lambda_2)), dobijamo y^2-b^2=0 - jednadžba para paralelnih pravih(7): y=b ili y=-b . Ako vrijednost \frac(a_0)(\lambda_2) pozitivan, a zatim ga označimo sa b^2, gdje b=\sqrt(\frac(a_0)(\lambda_2)), dobijamo y^2+b^2=0 - jednadžba para imaginarnih paralelnih pravih(8). Ova jednačina nema pravih rješenja, dakle koordinatna ravan nema tačaka koje odgovaraju ovoj jednačini. Međutim, na tom području kompleksni brojevi jednadžba y^2+b^2=0 ima dva konjugirana rješenja y=\pm ib, koja su ilustrovana isprekidanim linijama (vidi paragraf 8 teoreme 3.3).

Jednačina (II). Podijelite jednačinu sa vodećim koeficijentom (\lambda_2\ne0) i pomaknite linearni član na desnu stranu: y^2=-\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x. Ako je vrijednost negativna, onda označavanje p=-\frac(a_1)(\lambda_2)>0, dobijamo y^2=2px - jednadžba parabole(6). Ako vrijednost \frac(a_1)(\lambda_2) pozitivno, zatim promjenom smjera ose apscise, tj. Provodeći drugu transformaciju u (3.37), dobijamo jednačinu (y")^2=\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x" ili (y")^2=2px" , gdje p=\frac(a_1)(\lambda_2)>0. Ovo je jednadžba parabole u novom koordinatnom sistemu Ox"y".

Jednačina (III). Moguća su dva slučaja: ili su vodeći koeficijenti istog predznaka (eliptični slučaj), ili suprotnih predznaka (hiperbolički slučaj).

U eliptičnom slučaju (\lambda_1\lambda_2>0)

\mathsf((III))\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1

Znak je suprotan a_0, dakle, označava pozitivne količine i \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 - jednadžba elipse (1).

Ako je predznak vodećih koeficijenata \lambda_1,\lambda_2 poklapa se sa predznakom a_0, dakle, označavajući pozitivne vrijednosti \frac(a_0)(\lambda_1) I \frac(a_0)(\lambda_2) kroz a^2 i b^2 dobijamo -\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1~\Leftrightarrow~\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^ 2)(b^2)=-1 - jednadžba imaginarne elipse(2). Ova jednačina nema pravih rješenja. Međutim, on ima rješenja u domenu kompleksnih brojeva, koja su ilustrovana isprekidanom linijom (vidi paragraf 2 teoreme 3.3).

Možemo pretpostaviti da u jednadžbama elipse (realne ili imaginarne) koeficijenti zadovoljavaju nejednakost a\geqslant b , inače se to može postići preimenovanjem koordinatnih osa, tj. vršeći transformaciju (3.38) koordinatnog sistema.

Ako je slobodni član jednačine (III) jednak nuli (a_0=0), onda, označavajući pozitivne veličine \frac(1)(|\lambda_1|) I \frac(1)(|\lambda_2|) kroz a^2 i b^2 dobijamo \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=0 - jednadžba para imaginarnih linija koje se sijeku(3). Ovu jednačinu zadovoljava samo tačka sa koordinatama x=0 i y=0, tj. tačka O je ishodište. Međutim, u domenu kompleksnih brojeva, lijeva strana jednačine se može faktorizirati \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(y)(b)+i\,\frac(x)(a)\ desno)\!\!\lijevo(\frac(y)(b)-i\,\frac(x)(a)\desno), stoga jednačina ima konjugirana rješenja y=\pm i\,\frac(b)(a)\,x, koje su ilustrovane isprekidanim linijama koje se seku u početku (vidi paragraf 3 Teoreme 3.3).

U hiperboličkom slučaju (\lambda_1,\lambda_2<0) za a_0\ne0 pomjerimo slobodni član na desnu stranu i obje strane podijelimo sa -a_0\ne0 :

\mathsf((III))\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1.

Količine \frac(-a_0)(\lambda_1) I \frac(-a_0)(\lambda_2) imaju suprotne predznake. Bez gubitka općenitosti, pretpostavljamo da se znak \lambda_2 poklapa sa predznakom slobodnog člana a_0, tj. \frac(a_0)(\lambda_2)>0. U suprotnom, morate preimenovati koordinatne ose, tj. izvršiti transformaciju (3.38) koordinatnog sistema. Označavanje pozitivnih veličina \frac(-a_0)(\lambda_1) I \frac(a_0)(\lambda_2) kroz a^2 i b^2 dobijamo \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 - jednadžba hiperbole (4).

Neka je slobodni član u jednačini (III) nula (a_0=0). Tada možemo pretpostaviti da su \lambda_1>0 i \lambda_2<0 (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины \frac(1)(\lambda_1) I -\frac(1)(\lambda_2) kroz a^2 i b^2 dobijamo \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=0 - jednadžba para linija koje se seku(5). Jednačine pravih se nalaze faktoringom lijeve strane jednačine

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(x)(a)-\frac(y)(b)\desno)\ !\!\left(\frac(x)(a)+\frac(y)(b)\right)=0, odnosno y=\pm\frac(b)(a)\cdot x

Dakle, date jednačine (I), (II), (III) algebarske linije drugog reda se svode na jedan od kanonskih oblika (1)–(9) navedenih u teoremi 3.3.

Ostaje da se pokaže da se opšta jednačina (3.34) može svesti na date pomoću transformacija pravougaonog koordinatnog sistema.

Pojednostavljenje opšte jednačine (3.34) se vrši u dve faze. U prvoj fazi se rotacijom koordinatnog sistema „uništava“ pojam sa proizvodom nepoznanica. Ako nema proizvoda nepoznanica (a_(12)=0), onda nema potrebe za rotacijom (u ovom slučaju idemo direktno na drugu fazu). U drugoj fazi, korištenjem paralelnog prijenosa, jedan ili oba člana prvog stepena se „uništavaju“. Kao rezultat dobijaju se sljedeće jednačine (I), (II), (III).

prva faza: transformacija jednadžbe prave drugog reda pri rotaciji pravokutnog koordinatnog sistema.

Ako je koeficijent a_(12)\ne0, rotiramo koordinatni sistem za ugao \varphi. Zamjenom izraza (3.35) u jednačinu (3.34) dobijamo:

\begin(sakupljeno) a_(11)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)^2+2a_(12)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)(x"\ sin\varphi+y"\cos\varphi)+a_(22)(x"\sin\varphi+y"\cos\varphi)^2+\\ +2a_1(x"\cos\varphi-y"\sin \varphi)+2a_2(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)+a_0=0. \end (okupljeno)

Dovodeći slične članove, dolazimo do jednačine oblika (3.34):

A"_(11)(x")^2+2a"_(12)x"y"+a"_(22)(y")^2+2a"_1x"+2a"_2y"+a"_0 =0,

\begin(aligned)a"_(11)&=a_(11)\cos^2\varphi+2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\sin^2\varphi;\\ a"_(12)&=-a_(11)\cos\varphi\sin\varphi+a_(12)(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_(22)\cos\varphi \sin\varphi;\\ a"_(22)&=a_(11)\sin^2\varphi-2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\cos^2\varphi; \\ a"_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a"_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi \quad a"_0=a_0. \end (poravnano)

Definirajmo ugao \varphi tako da je a"_(12)=0. Transformirajte izraz za a"_(12) pomicanjem na dvostruki ugao:

A"_(12)= -\frac(1)(2)\,a_(11)\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi+\frac(1)(2)\,a_(22)\ sin2\varphi= \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi.

Ugao \varphi mora zadovoljiti homogenu trigonometrijsku jednačinu \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi=0, što je ekvivalentno jednačini

\operatorname(ctg)2\varphi=\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12)),

pošto je a_(12)\ne 0 . Ova jednadžba ima beskonačan broj korijena

\varphi=\frac(1)(2)\operatorname(arcctg)\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12))+\frac(\pi)(2)\,n, \ quad n\in\mathbb(Z).

Odaberimo bilo koji od njih, na primjer, kut \varphi iz intervala 0<\varphi<\frac{\pi}{2} . Tada će pojam 2a"_(12)x"y" nestati u jednačini (3.39), pošto je a"_(12)=0.

Označavajući preostale vodeće koeficijente sa \lambda_1= a" i \lambda_2=a"_(22) , dobijamo jednačinu

\lambda_1\cdot(x")^2+\lambda_2\cdot(y")^2+2\cdot a"_1\cdot x"+2\cdot a"_2\cdot y"+a"_0=0.

Prema teoremi 3.1, jednačina (3.41) je jednačina drugog stepena (u transformaciji (3.35) je očuvan red prave), tj. barem jedan od vodećih koeficijenata \lambda_1 ili \lambda_2 je različit od nule. Nadalje ćemo pretpostaviti da koeficijent na (y")^2 nije jednak nuli (\lambda_2\ne0). U suprotnom (sa \lambda_2=0 i \lambda_1\ne0) koordinatni sistem treba rotirati za ugao \varphi+\frac(\pi)(2), što takođe zadovoljava uslov (3.40). Tada umjesto koordinata x",y" u (3.41) dobijamo y",-x" respektivno, tj. koeficijent koji nije nula \lambda_1 će biti na (y")^2.

druga faza: transformacija jednačine prave drugog reda sa paralelnom translacijom pravougaonog koordinatnog sistema.

Jednačina (3.41) se može pojednostaviti izolacijom savršenih kvadrata. Postoje dva slučaja za razmatranje: \lambda_1\ne0 ili \lambda_1=0 (prema pretpostavci \lambda_2\ne0 ), koji se nazivaju centralni (uključujući eliptičke i hiperboličke slučajeve) odnosno parabolični. Dalje se otkriva geometrijsko značenje ovih imena.

Centralna mala slova: \lambda_1\ne0 i \lambda_2\ne0 . Odabirom kompletnih kvadrata preko varijabli x",y", dobijamo

\begin(sakupljeno)\lambda_1\left[(x")^2+2\,\frac(a"_1)(\lambda_1)\,x"+(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1) )\desno)\^2\right]+ \lambda_2\left[(y")^2+2\,\frac{a"_2}{\lambda_2}\,y"+{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0~\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x"+\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0. \end{gathered} !}

Nakon zamjene varijabli

\left\(\begin(poravnano) x""&=x"+\frac(a"_1)(\lambda_1),\\ y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2) ,\end(poravnano)\desno.

dobijamo jednačinu

\lambda_1\,(x"")^2+\lambda_2\,(y"")^2+a""_0=0,

Gdje a""_0=-\lambda_1(\lijevo(\frac(a"_1)(\lambda_1)\desno)\^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0 !}.

Parabolički slučaj: \lambda_1=0 i \lambda_2\ne0 . Odabirom cijelog kvadrata u varijabli y" dobijamo

\begin(sakupljeno) \lambda_2\left[(y")^2+2\cdot\frac(a"_2)(\lambda_2)\cdot y"+(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2) )\desno)\^2\right]+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0.\end{gathered} !}

Ako je a"_1\ne0 , tada se posljednja jednadžba svodi na oblik

\lambda_2(\left(y"+ \frac(a"_2)(\lambda_2)\right)\^2+ 2\cdot a"_1\left=0. !}

Promjenom varijabli

\left\(\begin(aligned) x""&=x"+\frac(a"_0)(2a"_1)- \frac(\lambda_2)(2a"_1)(\left(\frac(a") _2)(\lambda_2)\desno)\^2,\\ y""&=y"+ \frac{a"_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right. !}

dobijamo gdje je a""_1=a"_1

\lambda_2\cdot(y"")^2+2\cdot a""_1\cdot x""=0,

Ako je a"_1=0, tada se jednačina (3.44) svodi na oblik gdje a""_0=-\lambda_2(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2) \desno)\^2+a"_0 !},

\lambda_2\cdot(y"")^2+a""_0,

\lijevo\(\begin(poravnano)x""&=x",\\y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2).\end(poravnano)\desno.

Promjene varijabli (3.42), (3.45), (3.48) odgovaraju paralelnom prijevodu koordinatnog sistema Ox"y" (vidi paragraf 1 "a" primjedbi 2.3).

Tako, koristeći paralelnu translaciju koordinatnog sistema Ox"y", dobijamo novi sistem koordinate O""x""y"" u kojima jednačina linije drugog reda ima oblik (3.43), ili (3.46), ili (3.47). Ove jednačine su redukovane (u obliku (III), (II) odnosno (I).

Dokazana je glavna teorema 3.3 o svođenju jednačine algebarske linije drugog reda na kanonski oblik.

Napomene 3.8

1. Koordinatni sistem u kojem jednačina algebarske prave drugog reda ima kanonski oblik naziva se kanonski. Kanonski koordinatni sistem je dvosmisleno definisan. Na primjer, promjenom smjera y-ose na suprotan, opet dobijamo kanonski koordinatni sistem, jer zamjena varijable y sa (-y) ne mijenja jednačine (1)–(9). Prema tome, orijentacija kanonskog koordinatnog sistema nije od fundamentalne važnosti, uvijek se može napraviti desnim promjenom smjera ordinatne ose, ako je potrebno.

2. Ranije je pokazano da se transformacije pravokutnih koordinatnih sistema na ravni svode na jednu od transformacija (2.9) ili (2.10):

\begin(cases) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi , \end(cases)\quad \begin(cases) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi+y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi- y"\cdot\cos\varphi.\end(slučajevi)

Stoga se zadatak dovođenja jednačine prave drugog reda u kanonski oblik svodi na pronalaženje početka O"(x_0,y_0) kanonskog koordinatnog sistema O"x"y" i ugla \varphi nagiba njegova apscisa ose O"x" na osu apscise Ox originalnog koordinatnog sistema Oxy .

3. U slučajevima (3), (5), (7), (8), (9) linije se nazivaju dekomponujućim, jer se odgovarajući polinomi drugog stepena rastavljaju u proizvod polinoma prvog stepena.

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!

Mali diskriminant 5 (§ 66) je pozitivan za elipsu (vidi Primer 1, § 66), negativan za hiperbolu i nula za parabolu.

Dokaz. Elipsa je predstavljena jednačinom. Ova jednačina ima mali diskriminant Prilikom transformacije koordinata, ona zadržava svoju vrijednost, a kada se obje strane jednačine pomnože sa bilo kojim brojem, diskriminanta se množi sa (§ 66, napomena). Dakle, diskriminanta elipse je pozitivna u bilo kojem koordinatnom sistemu. U slučaju hiperbole iu slučaju parabole, dokaz je sličan.

Prema tome, razlikuju se tri vrste linija drugog reda (i jednačina drugog stepena):

1. Eliptični tip, karakteriziran uslovom

Uključuje, pored realne elipse, i imaginarnu elipsu (§ 58, primjer 5) i par imaginarnih pravih koje se seku u realnoj tački (§ 58, primjer 4).

2. Hiperbolički tip, karakteriziran uslovom

Sadrži, pored hiperbole, i par pravih pravih koje se seku (§ 58, primer 1).

3. Parabolički tip, karakteriziran uslovom

Uključuje, pored parabole, par paralelnih (stvarnih ili imaginarnih) linija (mogu se poklapati).

Primjer 1: Jednačina

pripada paraboličnom tipu, pošto

Od velikog diskriminatora

nije jednak nuli, tada jednačina (1) predstavlja nedezintegracionu liniju, tj. parabolu (up. §§ 61-62, primjer 2).

Primjer 2: Jednačina

pripada hiperboličkom tipu, budući da

jer

tada jednačina (2) predstavlja par linija koje se seku. Njihove jednačine se mogu naći pomoću metode iz § 65.

Primjer 3: Jednačina

pripada eliptičnom tipu, pošto

Pošto

tada se linija ne razdvaja i, prema tome, predstavlja elipsu.

Komentar. Prave istog tipa geometrijski su povezane na sljedeći način: par imaginarnih linija koje se seku (tj. jedna realna tačka) je granični slučaj elipse „sažete u tačku“ (slika 88); par realnih linija koje se seku je granični slučaj hiperbole koja se približava svojim asimptotama (slika 89); par paralelnih pravih je granični slučaj parabole, u kojoj su os i jedan par tačaka simetričnih oko ose (slika 90) fiksne, a vrh se pomera u beskonačnost.