Pokazalo se da su jednačine razlomci. Jednačine sa pravilima rješenja razlomaka

28.09.2019 | Kompjuteri

Jednačine koje sadrže varijablu u nazivniku mogu se riješiti na dva načina:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Koristeći osnovno svojstvo proporcije

Bez obzira na odabranu metodu, nakon pronalaženja korijena jednačine, potrebno je od pronađenih valjanih vrijednosti odabrati one koje ne pretvaraju imenilac u $0$.

1 način. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Primjer 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Rješenje:

1. Prenesimo razlomak s desne strane jednačine na lijevu

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Da biste to učinili ispravno, zapamtite da se prilikom premještanja elemenata u drugi dio jednačine znak ispred izraza mijenja u suprotan. To znači da ako je ispred razlomka na desnoj strani bio znak "+", onda će ispred njega na lijevoj strani biti znak "-". Tada na lijevoj strani dobijamo razliku od razlomci.

2. Zapazimo sada da razlomci imaju različite nazivnike, što znači da je za nadoknadu razlike potrebno razlomke dovesti na zajednički imenilac. Zajednički nazivnik će biti proizvod polinoma u nazivnicima originalnih razlomaka: $(2x-1)(x+3)$

Da bi se dobio identičan izraz, brojilac i nazivnik prvog razlomka moraju se pomnožiti sa polinomom $(x+3)$, a drugog sa polinomom $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Izvršimo transformaciju u brojniku prvog razlomka - množimo polinome. Podsjetimo da je za to potrebno prvi član prvog polinoma pomnožiti sa svakim članom drugog polinoma, zatim pomnožiti drugi član prvog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultate

\[\left(2x+3\desno)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Predstavimo slične pojmove u rezultirajućem izrazu

\[\left(2x+3\desno)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Izvršimo sličnu transformaciju u brojniku drugog razlomka - množimo polinome

$\left(x-5\desno)\left(2h-1\right)=h\cdot 2h-h\cdot 1-5\cdot 2h+5\cdot 1=(2h)^2-h-10h+ 5=(2x)^2-11x+5$

Tada će jednačina poprimiti oblik:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Sada razlomci imaju isti nazivnik, što znači da možete oduzimati. Podsjetimo da kada oduzimate razlomke s istim nazivnikom od brojnika prvog razlomka, morate oduzeti brojnik drugog razlomka, ostavljajući nazivnik isti

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Pretvorimo izraz u brojilac. Da biste otvorili zagrade ispred kojih stoji znak "-", morate promijeniti sve znakove ispred pojmova u zagradama u suprotne

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\desno)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Hajde da predstavimo slične pojmove

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\desno)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Tada će razlomak poprimiti oblik

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Razlomak je jednak $0$ ako mu je brojilac 0. Prema tome, izjednačavamo brojilac razlomka sa $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Riješimo linearnu jednačinu:

4. Probajmo korijenje. To znači da je potrebno provjeriti da li se nazivnici originalnih razlomaka pretvaraju u $0$ kada se pronađu korijeni.

Postavimo uslov da imenioci nisu jednaki $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

To znači da su sve varijabilne vrijednosti prihvatljive osim $-3$ i $0,5$.

Korijen koji smo pronašli je prihvatljiva vrijednost, što znači da se može sigurno smatrati korijenom jednadžbe. Ako pronađeni korijen nije valjana vrijednost, tada bi takav korijen bio van i, naravno, ne bi bio uključen u odgovor.

odgovor:$-0,2.$

Sada možemo kreirati algoritam za rješavanje jednadžbe koja sadrži varijablu u nazivniku

Algoritam za rješavanje jednadžbe koja sadrži varijablu u nazivniku

Premjestite sve elemente s desne strane jednačine na lijevu. Da bi se dobila identična jednačina, potrebno je sve predznake ispred izraza na desnoj strani promijeniti u suprotne

Ako na lijevoj strani dobijemo izraz s različitim nazivnicima, onda ih svodimo na zajednički koristeći osnovno svojstvo razlomka. Izvršite transformacije koristeći transformacije identiteta i dobijete konačni razlomak jednak $0$.

Izjednačite brojilac sa $0$ i pronađite korijene rezultirajuće jednačine.

Uzmimo uzorke korijena, tj. pronađite važeće vrijednosti varijabli koje ne čine nazivnik $0$.

Metoda 2. Koristimo osnovno svojstvo proporcije

Glavno svojstvo proporcije je da je proizvod ekstremnih članova proporcije jednak proizvodu srednjih članova.

Primjer 2

Koristimo ovo svojstvo da riješimo ovaj zadatak

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Nađimo i izjednačimo proizvod ekstremnog i srednjeg člana proporcije.

$\left(2x+3\desno)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Nakon što smo riješili rezultirajuću jednadžbu, naći ćemo korijene originala

2. Nađimo prihvatljive vrijednosti varijable.

Iz prethodnog rješenja (metoda 1) već smo otkrili da su sve vrijednosti prihvatljive osim $-3$ i $0,5$.

Zatim, utvrdivši da je pronađeni korijen valjana vrijednost, saznali smo da će $-0,2$ biti korijen.

Najmanji zajednički nazivnik se koristi za pojednostavljenje zadata jednačina. Ova metoda se koristi kada ne možete napisati datu jednačinu s jednim racionalnim izrazom na svakoj strani jednačine (i koristite unakrsnu metodu množenja). Ova metoda se koristi kada vam je data racionalna jednadžba sa 3 ili više razlomaka (u slučaju dva razlomka, bolje je koristiti unakrsno množenje).

Pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka (ili najmanji zajednički višekratnik). NOZ je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim nazivnikom.

Ponekad je NPD očigledan broj. Na primjer, ako je data jednadžba: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, onda je očigledno da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 2 i 6 6.
Ako NCD nije očigledan, zapišite višekratnike najvećeg nazivnika i među njima pronađite onaj koji će biti višekratnik ostalih imenilaca. Često se NOD može naći jednostavnim množenjem dva nazivnika. Na primjer, ako je jednačina data x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada je NOS = 8*9 = 72.
Ako jedan ili više nazivnika sadrže varijablu, proces postaje nešto složeniji (ali ne i nemoguć). U ovom slučaju, NOC je izraz (koji sadrži varijablu) koji je podijeljen sa svakim nazivnikom. Na primjer, u jednačini 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), jer je ovaj izraz podijeljen sa svakim nazivnikom: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Pomnožite i brojilac i imenilac svakog razlomka brojem jednakim rezultatu dijeljenja NOC-a odgovarajućim nazivnikom svakog razlomka. Pošto množite i brojilac i imenilac istim brojem, efektivno množite razlomak sa 1 (na primjer, 2/2 = 1 ili 3/3 = 1).

Dakle, u našem primjeru, pomnožite x/3 sa 2/2 da biste dobili 2x/6, a 1/2 pomnožite sa 3/3 da biste dobili 3/6 (razlomak 3x +1/6 ne treba množiti jer imenilac je 6).
Postupite slično kada je varijabla u nazivniku. U našem drugom primjeru, NOZ = 3x(x-1), pa pomnožite 5/(x-1) sa (3x)/(3x) da dobijete 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x pomnožen sa 3(x-1)/3(x-1) i dobijate 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) pomnoženo sa (x-1)/(x-1) i dobijate 2(x-1)/3x(x-1).

Pronađite x. Sada kada ste sveli razlomke na zajednički nazivnik, možete se riješiti nazivnika. Da biste to učinili, pomnožite svaku stranu jednačine sa zajedničkim nazivnikom. Zatim riješite rezultirajuću jednačinu, odnosno pronađite "x". Da biste to učinili, izolirajte varijablu na jednoj strani jednačine.

U našem primjeru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Možete dodati 2 razlomka sa istim nazivnikom, pa napišite jednačinu kao: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Pomnožite obje strane jednačine sa 6 i riješite se nazivnika: 2x+3 = 3x +1. Riješite i dobijete x = 2.
U našem drugom primjeru (sa varijablom u nazivniku), jednadžba izgleda ovako (nakon redukcije na zajednički nazivnik): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Množenjem obje strane jednadžbe sa N3, riješite se nazivnika i dobijete: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ili 15x = 3x - 3 + 2x -2, ili 15x = x - 5 Riješite i dobijete: x = -5/14.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina;
razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina;
razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli;
podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina korištenjem algoritma;
provjeravanje nivoa savladanosti teme izvođenjem testa.

razvojno:

razvijanje sposobnosti pravilnog operisanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja;
razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, poređenje i generalizacija;
razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanje na tome;
razvoj kritičkog mišljenja;
razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

podsticanje kognitivnog interesa za predmet;
negovanje nezavisnosti u donošenju odluka vaspitni zadaci;
negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

Jednačine u kojima su lijeva i desna strana frakcioni racionalni izrazi nazivaju se razlomačnim racionalnim jednadžbama. Šta mislite da ćemo danas učiti na času? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvorite svoje bilježnice i zapišite temu lekcije “Rješavanje razlomaka racionalnih jednačina”.

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Odgovorite na sljedeća pitanja:

Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)
Kako se zove jednačina broj 1? ( Linearno.) Rješenje linearne jednačine. (Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).
Kako se zove jednačina broj 3? ( Square.) Rješenja kvadratne jednačine. (Izolacija potpunog kvadrata pomoću formula koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)
Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)
Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)
Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula..)

3. Objašnjenje novog materijala.

Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovori: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednačinu broj 7 koristeći jednu od sljedećih metoda.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

Studenti se do sada nisu susreli s konceptom stranog korijena; zaista im je vrlo teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako niko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda nastavnik postavlja sugestivna pitanja.

Po čemu se jednačine br. 2 i 4 razlikuju od jednačina br. 5,6,7? ( U jednačinama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi sa promjenljivom.)
Šta je korijen jednačine? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita.)
Kako saznati da li je broj korijen jednadžbe? ( Provjeri.)

Prilikom testiranja neki učenici primjećuju da moraju podijeliti sa nulom. Oni zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni ove jednadžbe. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcionih racionalnih jednačina koji nam omogućava da eliminišemo ovu grešku? Da, ova metoda se temelji na uvjetu da je razlomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

Pomerite sve na lijevu stranu.
Smanjite razlomke na zajednički nazivnik.
Napravite sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.
Riješite jednačinu.
Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.
Zapišite odgovor.

Diskusija: kako formalizirati rješenje ako koristite osnovno svojstvo proporcije i množite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom. (Dodajte rješenju: isključite iz njegovih korijena one koji čine da zajednički imenilac nestane).

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600(b,c,i); br. 601(a,e,g). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.

b) 2 – strani koren. Odgovor: 3.

c) 2 – strani koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

Pročitajte pasus 25 iz udžbenika, analizirajte primjere 1-3.
Naučite algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.
Rešiti u sveskama br. 600 (a, d, e); br. 601(g,h).
Pokušajte riješiti broj 696(a) (opcionalno).

6. Izvršavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.

Rad se obavlja na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.

P) Da li je broj -3 korijen jednačine broj 6?

D) Riješi jednačinu br. 7.

Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:

“5” se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka.
"4" - 75%-89%
"3" - 50%-74%
“2” se daje učeniku koji je uradio manje od 50% zadatka.
Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 je opciono.

7. Refleksija.

Na samostalne radne listove napišite:

1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
2 – zanimljivo, ali nejasno;
3 – nije zanimljivo, ali razumljivo;
4 – nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sumiranje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali sa frakcionim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe Različiti putevi, testirali svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate svog samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, a kod kuće ćete imati priliku da učvrstite svoje znanje.

Koja je metoda rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija i racionalnija? Bez obzira na metodu rješavanja frakcionih racionalnih jednačina, čega treba da se setite? U čemu je "lukavost" razlomaka racionalnih jednačina?

Hvala svima, lekcija je gotova.

Instrukcije

Možda je najočiglednija stvar ovdje, naravno. Numerički razlomci ne predstavljaju nikakvu opasnost (razlomačke jednadžbe, gdje svi nazivnici sadrže samo brojeve, općenito će biti linearne), ali ako postoji varijabla u nazivniku, onda se to mora uzeti u obzir i zapisati. Prvo, to je da x, koji pretvara imenilac u 0, ne može biti, a općenito je potrebno posebno navesti činjenicu da x ne može biti jednako ovom broju. Čak i ako to uspijete pri zamjeni u brojilac, sve se savršeno konvergira i zadovoljava uvjete. Drugo, ne možemo pomnožiti nijednu stranu jednačine sa , što je jednako nuli.

Nakon toga, takva jednačina se svodi na pomicanje svih njenih članova na lijevu stranu tako da 0 ostaje na desnoj strani.

Neophodno je sve članove dovesti u zajednički imenilac, množeći, gde je potrebno, brojioce sa izrazima koji nedostaju.
Zatim rješavamo uobičajenu jednačinu zapisanu u brojiocu. Možemo izvaditi zajedničke faktore iz zagrada, koristiti skraćeno množenje, donijeti slične, izračunati korijene kvadratne jednadžbe preko diskriminanta itd.

Rezultat bi trebao biti faktorizacija u obliku proizvoda zagrada (x-(i-ti korijen)). Ovo također može uključivati polinome koji nemaju korijene, na primjer, kvadratni trinom s diskriminantom manjim od nule (ako, naravno, problem uključuje samo realne korijene, kao što je najčešće slučaj).
Imperativ je faktorizirati nazivnik i pronaći zagrade koje su već sadržane u brojniku. Ako nazivnik sadrži izraze poput (x-(broj)), onda je bolje ne množiti zagrade u njemu direktno kada se svodi na zajednički nazivnik, već ih ostaviti kao proizvod originalnih jednostavnih izraza.
Identične zagrade u brojniku i nazivniku mogu se skratiti tako što ćete prvo zapisati, kao što je gore navedeno, uslove na x.
Odgovor je napisan u vitičastim zagradama, kao skup x vrijednosti, ili jednostavno kao nabrajanje: x1=..., x2=..., itd.

Izvori:

Frakcionalne racionalne jednadžbe

Nešto bez čega ne možete u fizici, matematici, hemiji. Najmanje. Naučimo osnove njihovog rješavanja.

Instrukcije

Najopštija i najjednostavnija klasifikacija može se podijeliti prema broju varijabli koje sadrže i stupnjevima u kojima te varijable stoje.

Riješite jednadžbu sa svim njenim korijenima ili dokažite da ih nema.

Nijedna jednadžba nema više od P korijena, gdje je P maksimum date jednačine.

Ali neki od ovih korijena mogu se poklapati. Tako se, na primjer, jednadžba x^2+2*x+1=0, gdje je ^ ikona za eksponencijaciju, savija u kvadrat izraza (x+1), odnosno u proizvod dva identična zagrade, od kojih svaka daje x=- 1 kao rješenje.

Ako u jednadžbi postoji samo jedna nepoznata, to znači da ćete moći eksplicitno pronaći njene korijene (stvarne ili kompleksne).

Za to će vam najvjerovatnije trebati razne transformacije: skraćeno množenje, izračunavanje diskriminanta i korijena kvadratne jednačine, prijenos članova iz jednog dijela u drugi, svođenje na zajednički imenilac, množenje oba dijela jednačine istim izraz, kvadratom itd.

Transformacije koje ne utječu na korijene jednadžbe su identične. Koriste se za pojednostavljenje procesa rješavanja jednadžbe.

Također možete koristiti umjesto tradicionalnog analitičkog grafička metoda i napišite ovu jednačinu u obliku, a zatim izvršite njeno proučavanje.

Ako u jednadžbi postoji više nepoznatih, tada ćete moći izraziti samo jednu od njih u terminima druge, pokazujući na taj način skup rješenja. To su, na primjer, jednadžbe s parametrima u kojima postoji nepoznati x i parametar a. Riješiti parametarsku jednačinu znači za sve a izraziti x u terminima a, odnosno razmotriti sve moguće slučajeve.

Ako jednadžba sadrži izvode ili diferencijale nepoznanica (vidi sliku), čestitamo, ovo diferencijalna jednadžba, a ovdje se ne može bez višu matematiku).

Izvori:

Transformacije identiteta

Za rješavanje problema sa u razlomcima, morate naučiti kako da radite aritmetiku s njima. Mogu biti decimale, ali najčešće se koriste prirodni razlomci sa brojnikom i nazivnikom. Tek nakon toga možemo preći na rješenja matematički problemi sa frakcijskim vrijednostima.

Trebaće ti

- kalkulator;
- poznavanje svojstava razlomaka;
- sposobnost izvođenja operacija sa razlomcima.

Instrukcije

Razlomak je oznaka za dijeljenje jednog broja drugim. Često se to ne može u potpunosti uraditi, zbog čega ova radnja ostaje nedovršena. Broj koji je djeljiv (pojavljuje se iznad ili ispred znaka razlomka) naziva se brojilac, a drugi broj (ispod ili iza znaka razlomka) naziva se imenilac. Ako je brojilac veći od nazivnika, razlomak se naziva nepravilan razlomak i iz njega se može odvojiti cijeli dio. Ako je brojnik manji od nazivnika, onda se takav razlomak naziva pravi, a njegov cijeli dio jednak je 0.

Zadaci dijele se u nekoliko tipova. Odredi kome od njih zadatak pripada. Najjednostavnija opcija je pronaći razlomak broja izraženog kao razlomak. Da biste riješili ovaj problem, samo pomnožite ovaj broj sa razlomkom. Na primjer, isporučeno je 8 tona krompira. U prvoj sedmici prodato je 3/4 ukupnog broja. Koliko je krompira ostalo? Da biste riješili ovaj problem, pomnožite broj 8 sa 3/4. Ispada 8∙3/4=6 t.

Ako treba da pronađete broj po njegovom dijelu, pomnožite poznati dio broja sa obrnutim razlomkom onog koji pokazuje koliki je udio ovog dijela u broju. Na primjer, njih 8 čini 1/3 ukupnog broja učenika. Koliko u ? Pošto je 8 ljudi dio koji predstavlja 1/3 od ukupnog broja, onda pronađite recipročni razlomak, koji je 3/1 ili samo 3. Zatim da se dobije broj učenika u odjeljenju 8∙3=24 učenika.

Kada trebate pronaći koji je dio broja jedan broj od drugog, podijelite broj koji predstavlja dio onim koji je cjelina. Na primjer, ako je udaljenost 300 km, a automobil je prešao 200 km, koliki će to biti dio ukupne udaljenosti? Dio putanje 200 podijelite s punim putem 300, nakon smanjenja razlomka dobijete rezultat. 200/300=2/3.

Da biste pronašli nepoznati razlomak broja kada postoji poznat, uzmite cijeli broj kao konvencionalnu jedinicu i oduzmite poznati razlomak od njega. Na primjer, ako je već prošlo 4/7 lekcije, ima li još vremena? Uzmite cijelu lekciju kao jedinicu i oduzmite 4/7 od nje. Dobijte 1-4/7=7/7-4/7=3/7.

"Rješavanje frakcionih racionalnih jednačina"

Ciljevi lekcije:

edukativni:

formiranje koncepta frakcionih racionalnih jednačina; razmotriti različite načine rješavanja frakcionih racionalnih jednačina; razmotriti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina, uključujući uslov da je razlomak jednak nuli; podučavati rješavanje frakcionih racionalnih jednačina korištenjem algoritma; provjeravanje nivoa savladanosti teme izvođenjem testa.

razvojno:

razvijanje sposobnosti pravilnog operisanja stečenim znanjem i logičkog mišljenja; razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, poređenje i generalizacija; razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, a ne zaustavljanje na tome; razvoj kritičkog mišljenja; razvoj istraživačkih vještina.

Obrazovanje:

podsticanje kognitivnog interesa za predmet; negovanje samostalnosti u rješavanju obrazovnih problema; negovanje volje i upornosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: lekcija - objašnjenje novog gradiva.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Zdravo momci! Na tabli su napisane jednadžbe, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednačine? Koji nisu i zašto?

2. Ažuriranje znanja. Frontalna anketa, usmeni rad sa razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji će nam trebati za proučavanje nove teme. Odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Šta je jednačina? ( Jednakost sa varijablom ili varijablama.)

2. Kako se zove jednačina br. 1? ( Linearno.) Metoda za rješavanje linearnih jednačina. ( Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednačine, sve brojeve u desnu. Navedite slične termine. Pronađite nepoznati faktor).

3. Kako se zove jednačina br. 3? ( Square.) Metode rješavanja kvadratnih jednačina. ( Izolacija potpunog kvadrata pomoću formula koristeći Vietin teorem i njegove posljedice.)

4. Šta je proporcija? ( Jednakost dva omjera.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je proporcija tačna, onda je proizvod njegovih ekstremnih članova jednak proizvodu srednjih članova.)

5. Koja svojstva se koriste pri rješavanju jednačina? ( 1. Ako pomjerite član u jednačini iz jednog dijela u drugi, mijenjajući njegov predznak, dobićete jednačinu ekvivalentnu datoj. 2. Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj.)

6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je jednak nuli kada je brojnik nula, a imenilac nije nula..)

3. Objašnjenje novog materijala.

Rešite jednačinu br. 2 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 10.

Koju razlomku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti koristeći osnovno svojstvo proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Rešite jednačinu br. 4 u svojim sveskama i na tabli.

Odgovori: 1,5.

Koju razlomačku racionalnu jednačinu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednačine sa nazivnikom? (br. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Odgovori: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednačinu broj 7 koristeći jednu od sljedećih metoda.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Odgovori: 0;5;-2.			Odgovori: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove racionalne jednadžbe?

U jednačinama br. 2 i 4 nalaze se brojevi u nazivniku, br. 5-7 su izrazi sa promjenljivom

Vrijednost varijable pri kojoj jednačina postaje istinita

Provjeri

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ako je x=5, onda je x(x-5)=0, što znači da je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, onda je x(x-5)≠0.

Odgovori: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina. Djeca sama formulišu algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina:

1. Pomaknite sve na lijevu stranu.

2. Svesti razlomke na zajednički imenilac.

3. Kreirajte sistem: razlomak je jednak nuli kada je brojilac jednak nuli, a imenilac nije jednak nuli.

4. Riješite jednačinu.

5. Provjerite nejednakost da isključite strane korijene.

6. Zapišite odgovor.

4. Početno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će sami riješiti jednačinu ovisno o vrsti jednačine. Zadaci iz udžbenika „Algebra 8“, 2007: br. 000 (b, c, i); br. 000(a,d,g). Nastavnik prati izvršenje zadatka, odgovara na sva pitanja koja se pojave i pruža pomoć učenicima sa slabim učinkom. Samotestiranje: odgovori su zapisani na tabli.

b) 2 – strani koren. Odgovor: 3.

c) 2 – strani koren. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1;1.5.

5. Postavljanje domaće zadaće.

2. Naučiti algoritam za rješavanje frakcionih racionalnih jednačina.

3. Rešiti u sveskama br. 000 (a,d,e); br. 000 (g, h).

4. Pokušajte riješiti broj 000(a) (opciono).

6. Izvršavanje kontrolnog zadatka na proučavanu temu.

Rad se obavlja na komadima papira.

Primjer zadatka:

A) Koje od jednačina su razlomno racionalne?

B) Razlomak je jednak nuli kada je brojilac ______________________, a imenilac _______________________.

P) Da li je broj -3 korijen jednačine broj 6?

D) Riješi jednačinu br. 7.

Kriterijumi ocjenjivanja za zadatak:

“5” se daje ako je učenik tačno uradio više od 90% zadatka. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” se daje učeniku koji je uradio manje od 50% zadatka. Ocjena 2 se ne daje u časopisu, 3 je opciono.

7. Refleksija.

Na samostalne radne listove napišite:

1 – ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva; 2 – zanimljivo, ali nejasno; 3 – nije zanimljivo, ali razumljivo; 4 – nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sumiranje lekcije.

Tako smo se danas na lekciji upoznali sa razlomcima racionalnih jednačina, naučili rješavati te jednačine na različite načine i uz pomoć samostalnog nastavnog rada provjerili svoje znanje. Rezultate svog samostalnog rada naučićete na sledećoj lekciji, a kod kuće ćete imati priliku da učvrstite svoje znanje.

Hvala svima, lekcija je gotova.