Kornet. Frustum

Konusna površina naziva se površina koju čine sve prave koje prolaze kroz svaku tačku date krive i tačku izvan krive (slika 32).

Ova kriva se zove vodič , direktno - generiranje , tačka - samit konusna površina.

Ravna kružna konusna površina naziva se površina koju čine sve prave koje prolaze kroz svaku tačku date kružnice i tačka na pravoj koja je okomita na ravan kružnice i prolazi kroz njeno središte. U nastavku će se ova površina ukratko nazvati konusna površina (sl.33).

kornet (pravi kružni konus ) naziva se geometrijsko tijelo omeđeno konusnom površinom i ravninom koja je paralelna ravnini kružnice vodilice (sl. 34).

Rice. 32 Fig. 33 Fig. 34

Konus se može smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravokutnog trokuta oko ose koja sadrži jedan od krakova trougla.

Zove se krug koji omeđuje konus osnovu . Zove se vrh stožaste površine samit kornet. Segment prave koji povezuje vrh konusa sa središtem njegove osnove naziva se visok kornet. Segmenti koji čine konusnu površinu nazivaju se generiranje kornet. osa konusa je prava linija koja prolazi kroz vrh konusa i centar njegove osnove. Aksijalni presjek naziva se presjek koji prolazi kroz osu konusa. Bočni razvoj površine konus se naziva sektor čiji radijus jednaka dužini generatrisa konusa, a dužina luka sektora jednaka je obimu osnove konusa.

Za konus su tačne sljedeće formule:

Gdje R je polumjer baze;

H- visina;

l- dužina generatrise;

S main- bazna površina;

S strana

S puna

V je zapremina konusa.

skraćeni konus nazivamo dio stošca zatvoren između osnove i rezne ravni paralelan sa osnovom konusa (slika 35).

Skraćeni konus se može smatrati tijelom dobivenim rotacijom pravokutnog trapeza oko ose koja sadrži bočnu stranu trapeza, okomitu na osnovice.

Dvije kružnice koje ograničavaju konus nazivaju se njegovim osnove . Visina krnjeg konusa je rastojanje između njegovih baza. Segmenti koji čine konusnu površinu krnjeg konusa nazivaju se generiranje . Prava linija koja prolazi kroz centre baza naziva se osa skraćeni konus. Aksijalni presjek naziva se presjek koji prolazi kroz osu krnjeg konusa.

Za skraćeni konus su tačne sljedeće formule:

(8)

Gdje R je polumjer donje baze;

r je polumjer gornje baze;

H je visina, l je dužina generatrise;

S strana je bočna površina;

S puna je ukupna površina;

V je zapremina skraćenog konusa.

Primjer 1 Presjek konusa paralelan s bazom dijeli visinu u omjeru 1:3, računajući od vrha. Nađite površinu bočne površine krnjeg konusa ako su polumjer osnove i visina konusa 9 cm i 12 cm.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 36).

Za izračunavanje površine bočne površine krnjeg stošca koristimo formulu (8). Pronađite poluprečnike baza Oko 1 A I Oko 1 V i generisanje AB.

Razmotrite slične trouglove SO 2 B I SO 1A, koeficijent sličnosti , tada

Odavde

Od tada

Površina bočne površine skraćenog konusa jednaka je:

odgovor: .

Primjer 2.Četvrtina kruga radijusa presavijena je u konusnu površinu. Pronađite polumjer osnove i visinu konusa.

Rješenje.Četvorka kruga je razvoj bočne površine stošca. Označite r je poluprečnik njegove osnove, H- visina. Bočna površina se izračunava po formuli: . Jednaka je površini četvrtine kruga: . Dobijamo jednačinu sa dvije nepoznate r I l(generator konusa). U ovom slučaju, generatriksa je jednaka poluprečniku četvrtine kruga R, pa dobijamo sljedeću jednačinu: , odakle znajući polumjer baze i generatrisu nalazimo visinu konusa:

odgovor: 2 cm, .

Primjer 3 Pravougaoni trapez sa oštrim uglom od 45 O, manjom osnovom od 3 cm i kosom stranom jednakom , rotira oko strane okomito na baze. Odrediti zapreminu dobijenog tela okretanja.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 37).

Kao rezultat rotacije dobijamo skraćeni konus; da bismo pronašli njegov volumen, izračunavamo polumjer veće baze i visinu. u trapezu O 1 O 2 AB potrošićemo AC^O 1 B. U imamo: dakle, ovaj trougao je jednakokraki AC=BC\u003d 3 cm.

odgovor:

Primjer 4 Trokut sa stranicama 13 cm, 37 cm i 40 cm rotira oko vanjske ose koja je paralelna s većom stranom i udaljena je od nje 3 cm (osa se nalazi u ravni trokuta). Pronađite površinu rezultirajućeg tijela okretanja.

Rješenje . Napravimo crtež (slika 38).

Površina rezultirajućeg tijela okretanja sastoji se od bočnih površina dva krnjeg stošca i bočne površine cilindra. Da bismo izračunali ove površine, potrebno je znati poluprečnike osnova stošca i cilindra ( BE I OC) formiranje čunjeva ( BC I AC) i visinu cilindra ( AB). Nepoznato je samo CO. je udaljenost od stranice trokuta do ose rotacije. Hajde da nađemo DC. Površina trokuta ABC na jednoj strani jednaka je umnošku polovine stranice AB i visine koja joj je povučena DC, s druge strane, znajući sve strane trokuta, izračunavamo njegovu površinu koristeći Heronovu formulu.

Rice. 1. Predmeti iz života koji imaju oblik krnjeg konusa

Šta mislite odakle dolaze novi oblici u geometriji? Sve je vrlo jednostavno: osoba u životu naiđe na slične predmete i smisli kako da ih nazove. Uzmimo u obzir postolje na kojem sjede lavovi u cirkusu, komad šargarepe, koji se dobije kada odsiječemo samo dio, aktivni vulkan i, na primjer, svjetlo baterijske lampe (vidi sliku 1).

Rice. 2. Geometrijski oblici

Vidimo da su sve ove figure sličnog oblika - i odozdo i odozgo su ograničene krugovima, ali se sužavaju prema gore (vidi sliku 2).

Rice. 3. Odsijecanje vrha konusa

Izgleda kao konus. Samo nedostaje vrh. Zamislimo mentalno da uzmemo konus i jednim zamahom oštrog mača odsiječemo mu gornji dio (vidi sliku 3).

Rice. 4. Krnji konus

Ispada samo naša figura, zove se skraćeni konus (vidi sliku 4).

Rice. 5. Presjek paralelan s osnovom konusa

Neka je dat konus. Hajde da nacrtamo avion paralelno sa ravninom osnovu ovog konusa i preseca konus (vidi sliku 5).

To će podijeliti konus na dva tijela: jedno od njih je manji konus, a drugo se zove skraćeni konus (vidi sliku 6).

Rice. 6. Dobijena tijela sa paralelnim presjekom

Dakle, skraćeni konus je dio konusa zatvoren između njegove baze i ravni paralelne bazi. Kao iu slučaju konusa, skraćeni konus može imati krug u osnovi - u ovom slučaju se naziva kružnim. Ako je prvobitni konus bio ravan, tada se skraćeni konus naziva ravan. Kao iu slučaju čunjeva, razmatrat ćemo samo ravne kružne krnje čunjeve, osim ako nije posebno naznačeno da je riječ o indirektnom krnjem konusu ili u njegovim osnovama nema kružnica.

Rice. 7. Rotacija pravokutnog trapeza

Naša globalna tema su tijela revolucije. Skraćeni konus nije izuzetak! Podsjetimo da smo razmotrili da bismo dobili konus pravougaonog trougla i rotirao ga oko noge? Ako rezultujući konus pređe ravnina koja je paralelna bazi, tada će od trokuta ostati pravokutni trapez. Njegova rotacija oko manje bočne strane će nam dati skraćeni konus. Napominjemo još jednom da, naravno, govorimo samo o desnom kružnom konusu (vidi sliku 7).

Rice. 8. Osnove krnjeg konusa

Hajde da damo neke napomene. Osnova punog konusa i kružnica dobijena u presjeku stošca ravninom nazivaju se osnovama krnjeg stošca (donja i gornja) (vidi sliku 8).

Rice. 9. Generatori krnjeg konusa

Segmenti generatora potpunog konusa, zatvoreni između osnova krnjeg konusa, nazivaju se generatorima krnjeg konusa. Pošto su svi generatori prvobitnog konusa jednaki i svi generatori krnjeg konusa jednaki, onda su i generatori krnjeg stošca jednaki (ne brkati skraćeni i skraćeni!). Otuda slijedi jednakokraki trapez aksijalnog presjeka (vidi sl. 9).

Segment ose rotacije zatvoren unutar krnjeg konusa naziva se osa krnjeg konusa. Ovaj segment, naravno, povezuje centre svojih baza (vidi sliku 10).

Rice. 10. Osa krnjeg konusa

Visina skraćenog konusa je okomica povučena iz tačke jedne od osnova na drugu osnovu. Najčešće se njegova os smatra visinom skraćenog konusa.

Rice. 11. Aksijalni presjek krnjeg konusa

Aksijalni presjek krnjeg konusa je presjek koji prolazi kroz njegovu osu. Izgleda kao trapez, malo kasnije ćemo dokazati njegovu jednakokraku (vidi sliku 11).

Rice. 12. Konus sa uvedenom notacijom

Pronađite površinu bočne površine skraćenog konusa. Neka osnovice krnjeg konusa imaju poluprečnike i , a generator je jednak (vidi sliku 12).

Rice. 13. Zapis generatrise krnjeg konusa

Nađimo površinu bočne površine krnjeg konusa kao razliku između površina bočnih površina prvobitnog i skraćenog konusa. Da bismo to učinili, označavamo generatricom skraćenog konusa (vidi sliku 13).

Zatim željeni.

Rice. 14. Slični trouglovi

Ostaje da se izrazi

Imajte na umu da iz sličnosti trokuta , odakle (vidi sliku 14).

Bilo bi moguće izraziti dijeljenjem s razlikom polumjera, ali nam to ne treba, jer se proizvod pojavljuje u željenom izrazu. Zamjena umjesto , konačno imamo: .

Sada nije teško dobiti formulu za ukupnu površinu. Da biste to učinili, samo dodajte područja dva osnovna kruga: .

Rice. 15. Ilustracija za problem

Neka se skraćeni konus dobije rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove visine. Srednja linija trapeza je jednaka, a velika bočna strana je (vidi sl. 15). Pronađite površinu bočne površine rezultirajućeg skraćenog konusa.

Rješenje

Iz formule to znamo .

Generator konusa će biti velika strana originalnog trapeza, odnosno poluprečnici stošca su osnove trapeza. Ne možemo ih pronaći. Ali ne treba nam: potreban je samo njihov zbir, a zbir osnova trapeza je dvostruko veći od njegove srednje linije, odnosno jednak je. Onda .

Imajte na umu da smo, kada smo govorili o konusu, povukli paralele između njega i piramide - formule su bile slične. I ovdje je isto, jer je krnji stožac vrlo sličan krnjoj piramidi, pa su formule za površine bočnih i punih površina krnjeg stošca i piramide (a uskoro će postojati formule za zapreminu) slične .

Rice. 1. Ilustracija za problem

Polumjeri baza skraćenog konusa jednaki su i , a generatriksa je jednaka . Pronađite visinu skraćenog konusa i površinu njegovog aksijalnog presjeka (vidi sliku 1).

i ravninom paralelnom sa bazom ( pirinač. ). Volumen U. do. je jednak , Gdje r 1 i r 2 – osnovni radijusi, h- visina.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte šta je "krnji konus" u drugim rječnicima:

Geometrijsko tijelo odsječeno od konusa ravninom koja je paralelna osnovici (sl.). Zapremina krnjeg konusa je * * * KRNJI KONUS KRNJI KONUS, geometrijsko tijelo odsječeno od konusa ravninom koja je paralelna osnovici. Volumen… … enciklopedijski rječnik

frustum- — Teme Industrija nafte i gasa EN krnji konus… Priručnik tehničkog prevodioca

skraćeno, skraćeno, skraćeno; skraćeno, skraćeno, skraćeno. 1. uklj. patnja prošlost temp. iz okrnjiti (knjiga). 2. Onaj u kojem je gornji dio odsječen ravninom paralelnom sa bazom (oko konusa, piramide; mat.). Frustum. Krnja piramida... Rječnik Ushakov

skraćeno- oh, oh .; math. Onaj kod kojeg je gornji dio odsječen ravninom koja je paralelna s bazom. Frustum. Vau piramida... Rečnik mnogih izraza

SKRAĆENO, oh, oh. U matematici: takav, kod kojeg je gornji dio odvojen, odsječen ravninom koja je paralelna s bazom. W. cone. Krnja piramida. Objašnjavajući Ožegovov rječnik. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Objašnjavajući Ožegovov rječnik

Aja, oh. 1. uklj. patnja prošlost od truncate. 2. u vrijednosti adj. mat. Onaj kod kojeg je gornji dio odsječen ravninom koja je paralelna s bazom. Frustum. Krnja piramida. 3. u vrijednosti adj. gram, lit. Sa skraćenjem (u 2 vrijednosti), predstavljajući ... Mali akademski rječnik

Pravi kružni konus. Direktno i ... Wikipedia

- (latinski conus, od grč. konos) konusna površina je skup linija (generatora) prostora koje povezuju sve tačke određene linije (vodiče) sa datom tačkom (vrhom) prostora. Najjednostavniji K. je okrugli, ili pravi kružni, usmjeren na ... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

- (lat. conus, od grčkog konos) (matematika), 1) K., ili konusna površina, geometrijski lokus linija (generatora) prostora koji povezuje sve tačke određene prave (vodiče) sa datom tačkom (vrhom) ) prostora ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Svijet oko nas je dinamičan i raznolik i ne može se svaki predmet jednostavno izmjeriti lenjirom. Za takav prijenos koriste se posebne tehnike, poput triangulacije. Potreba za sastavljanjem složenih pregleda, po pravilu, ... ... Wikipedia

Predavanje: Kornet. Baza, visina, bočna površina, generatrisa, razvoj

Kornet- ovo je tijelo koje se sastoji od kružnice, koja se nalazi u osnovi, od tačke jednako udaljene od svih tačaka na kružnici, kao i od linija koje povezuju ovu tačku (vrh) sa svim tačkama koje leže na kružnici.

Nekoliko pitanja ranije, pogledali smo piramidu. Dakle, konus je poseban slučaj piramide, u čijoj osnovi leži krug. Gotovo sva svojstva piramide su pogodna i za konus.

Kako možete dobiti konus? Sjetite se posljednjeg pitanja i kako smo dobili cilindar. Sada uzmite jednakokraki trokut i okrenite ga oko svoje ose - dobit ćete konus.

Generatori konusa su segmenti zatvoreni između tačaka kružnice i vrha konusa. Generatori konusa su međusobno jednaki.

Da biste pronašli dužinu generatriksa, trebali biste koristiti formulu:

Ako su svi generatori povezani zajedno, možete dobiti bočnu površinu konusa. Njegova opća površina se sastoji od bočne površine i baze u obliku kruga.

Konus ima visina. Da biste ga dobili, dovoljno je spustiti okomicu od vrha, direktno, do centra baze.

Da biste pronašli bočnu površinu, koristite formulu:

Koristite sljedeću formulu da biste pronašli ukupnu površinu stošca.

Skraćeni konus se dobija ako se manji konus odsječe od konusa ravninom koja je paralelna osnovici (slika 8.10). Skraćeni konus ima dvije osnove: "donju" - osnovu prvobitnog stošca - i "gornju" - osnovu odsječenog konusa. Prema teoremi o presjeku stošca, osnovice krnjeg stošca su slične .

Visina krnjeg stošca je okomica spuštena iz tačke jedne baze na ravan druge. Sve takve okomite su jednake (vidjeti odjeljak 3.5). Visina se naziva i njihova dužina, odnosno rastojanje između ravnina baza.

Skraćeni konus obrtanja dobija se iz konusa obrtanja (slika 8.11). Stoga su njegove osnove i svi njegovi dijelovi paralelni s njima kružnice sa središtima na jednoj pravoj liniji - na osi. Skraćeni stožac se dobija rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove bočne strane okomito na osnovice, ili rotacijom

jednakokraki trapez oko ose simetrije (slika 8.12).

Bočna površina krnjeg stošca okretanja

Ovo je dio bočne površine stošca okretanja koji joj pripada, iz kojeg se dobiva. Površina krnjeg stošca okretanja (ili njegova puna površina) sastoji se od njegove baze i bočne površine.

8.5. Slike stožca revolucije i skraćenih stožaca revolucije.

Ovako se crta pravi kružni konus. Prvo se nacrta elipsa koja predstavlja obim baze (slika 8.13). Zatim pronađu centar baze - tačku O i okomito nacrtaju segment RO, koji prikazuje visinu konusa. Iz tačke P, tangentne (referentne) prave se povlače na elipsu (praktično se to radi okom, primjenom ravnala) i segmenti RA i PB ovih pravih se biraju od tačke P do dodirnih tačaka A i B. Imajte na umu da segment AB nije prečnik osnovnog konusa, a trougao ARV nije aksijalni presek konusa. Aksijalni presjek konusa je trougao APC: segment AC prolazi kroz tačku O. Nevidljive linije su povučene potezima; segment OP se često ne crta, već se samo mentalno ocrtava kako bi se prikazao vrh konusa P direktno iznad centra baze - tačke O.

Prikazujući krnji stožac okretanja, zgodno je prvo nacrtati konus iz kojeg se dobija krnji stožac (slika 8.14).

8.6. Konusni presjeci. Već smo rekli da ravan siječe bočnu površinu okretnog cilindra duž elipse (Sek. 6.4). Također, presjek bočne površine stošca okretanja ravninom koja ne siječe njegovu osnovu je elipsa (slika 8.15). Stoga se elipsa naziva konusni presjek.

Konusni presjeci uključuju i druge dobro poznate krive - hiperbole i parabole. Razmotrimo neograničeni konus koji se dobije proširenjem bočne površine stošca okretanja (slika 8.16). Presijecimo ga ravninom a koja ne prolazi kroz vrh. Ako a siječe sve generatore konusa, tada u presjeku, kao što je već spomenuto, dobijamo elipsu (slika 8.15).

Rotacijom OS ravni moguće je osigurati da ona siječe sve generatore konusa K, osim jednog (sa kojim je OS paralelan). Tada u presjeku dobijamo parabolu (slika 8.17). Konačno, dalje rotirajući OS ravan, prenosimo je u takav položaj da a, prelazeći dio generatora stošca K, ne siječe beskonačan broj svojih drugih generatora i paralelan je sa dva od njih (slika 8.18) . Tada u presjeku konusa K sa ravninom a dobijamo krivu koja se zove hiperbola (tačnije, jedna od njenih "grana"). Dakle, hiperbola, koja je graf funkcije, je poseban slučaj hiperbole - jednakokračna hiperbola, kao što je krug poseban slučaj elipse.

Bilo koja hiperbola se može dobiti iz jednakokraka projekcijom, kao što se elipsa dobija paralelnom projekcijom kružnice.

Da bi se dobile obje grane hiperbole, potrebno je uzeti presjek konusa koji ima dvije "šupljine", to jest, konus formiran ne od zraka, već od pravih linija koje sadrže generatrikse bočne površine stošca okretanja (sl. 8.19).

Konične presjeke proučavali su starogrčki geometri, a njihova teorija je bila jedan od vrhunaca antičke geometrije. Najpotpunije proučavanje konusnih presjeka u antici izvršio je Apolonije iz Perge (3. vijek prije nove ere).

Postoji niz važnih svojstava koja kombinuju elipse, hiperbole i parabole u jednu klasu. Na primjer, iscrpljuju "nedegenerirane", tj. nesvodljive na tačku, pravu liniju ili par pravih linija, krive koje su definirane na ravni u kartezijanskim koordinatama jednadžbama oblika

Konusni presjeci igraju važnu ulogu u prirodi: tijela se kreću po eliptičnim, paraboličnim i hiperboličnim orbitama u gravitacionom polju (sjetite se Keplerovih zakona). Izvanredna svojstva konusnih presjeka često se koriste u nauci i tehnologiji, na primjer, u proizvodnji nekih optičkih instrumenata ili reflektora (površina zrcala u reflektoru dobiva se rotacijom luka parabole oko ose parabole ). Konusni presjeci se mogu uočiti kao granice sjene od okruglih abažura (sl. 8.20).