Diferencijal funkcije je jednak. Diferencijali - šta je to? Kako pronaći diferencijal funkcije

Budući da su neraskidivo povezani, oba su se već nekoliko stoljeća aktivno koristila u rješavanju gotovo svih problema koji su se pojavili u procesu ljudske naučne i tehničke djelatnosti.

Pojava koncepta diferencijala

Po prvi put je objasnio šta je diferencijal, jedan od osnivača (zajedno sa Isakom Njutnom) diferencijalnog računa, čuveni nemački matematičar Gotfrid Vilhelm Lajbnic. Prije toga su matematičari 17 čl. korištena je vrlo nejasna i nejasna ideja o nekom beskonačno malom "nedjeljivom" dijelu bilo koje poznate funkcije, koji predstavlja vrlo malu konstantnu vrijednost, ali nije jednaku nuli, manje od koje vrijednosti funkcije jednostavno ne mogu biti. Odavde je bio samo jedan korak do uvođenja koncepta infinitezimalnih prirasta argumenata funkcija i odgovarajućih prirasta samih funkcija, izraženih kroz derivacije potonjih. A ovaj korak su gotovo istovremeno preduzela dva pomenuta velika naučnika.

Na osnovu potrebe za rješavanjem hitnih praktičnih problema mehanike, koje je industrija i tehnologija u brzom razvoju postavila pred nauku, Newton i Leibniz su stvorili uobičajeni načini pronalaženje brzine promjene funkcija (prvenstveno u odnosu na mehaničku brzinu tijela koje se kreće duž poznate putanje), što je dovelo do uvođenja pojmova kao što su derivacija i diferencijal funkcije, a također je pronađen algoritam za rješavanje inverzni problem, kako pronaći pređenu udaljenost od poznate (promjenjive) brzine, što je dovelo do pojave koncepta integrala.

U radovima Leibniza i Newtona, prvi put se pojavila ideja da su diferencijali glavni dijelovi prirasta funkcija Δy, proporcionalni priraštajima argumenata Δx, koji se mogu uspješno primijeniti za izračunavanje vrijednosti ovo drugo. Drugim riječima, otkrili su da se prirast funkcije može izraziti u bilo kojoj tački (unutar njenog domena definicije) u smislu njenog izvoda kao 0, mnogo brže od samog Δx.

Prema osnivačima matematičke analize, diferencijali su samo prvi pojmovi u izrazima za priraštaje bilo koje funkcije. Nemajući još jasno formulisan koncept granice nizova, oni su intuitivno shvatili da vrednost diferencijala teži derivaciji funkcije kao Δh→0 - Δu/Δh→ y"(x).

Za razliku od Newtona, koji je prvenstveno bio fizičar i koji je matematički aparat smatrao pomoćnim alatom za proučavanje fizičkih problema, Leibniz je više pažnje posvetio samom ovom kompletu alata, uključujući sistem vizuelnih i razumljivih notacija za matematičke veličine. On je predložio općeprihvaćenu notaciju za diferencijale funkcije dy \u003d y "(x) dx, argument dx i derivaciju funkcije u obliku njihovog omjera y" (x) \u003d dy / dx .

Moderna definicija

Šta je razlika u smislu moderne matematike? Usko je povezan sa konceptom promenljivog prirasta. Ako varijabla y prvo poprimi vrijednost y = y 1, a zatim y = y 2 , tada se razlika y 2 ─ y 1 naziva prirastom y.

Prirast može biti pozitivan. negativan i jednak nuli. Riječ "inkrement" označava se sa Δ, a oznaka Δy (čitaj "delta y") označava povećanje y. pa je Δu = y 2 ─ y 1 .

Ako se vrijednost Δu proizvoljne funkcije y = f (x) može predstaviti kao Δu = A Δh + α, pri čemu A nema ovisnosti o Δh, tj. A = const za dati x, a pojam α teži tome je čak i brže od samog Δx, tada je prvi („glavni“) pojam proporcionalan Δx diferencijal za y = f (x), označen sa dy ili df (x) (čitaj „de y“, „de ef od x "). Stoga su diferencijali „glavne“ linearne komponente priraštaja funkcija u odnosu na Δx.

Mehanička interpretacija

Neka je s = f(t) udaljenost od početne pozicije (t je vrijeme putovanja). Prirast Δs je putanja tačke u vremenskom intervalu Δt, a diferencijal ds = f "(t) Δt je putanja koju bi tačka prešla za isto vreme Δt da je zadržala brzinu f" (t ) dostignuto do vremena t. Za beskonačno mali Δt, imaginarni put ds se razlikuje od pravog Δs za beskonačno malu vrijednost, koja ima viši red u odnosu na Δt. Ako brzina u trenutku t nije jednaka nuli, tada ds daje približnu vrijednost malog pomaka tačke.

Geometrijska interpretacija

Neka je prava L grafik y = f(x). Tada Δ x = MQ, Δy = QM "(vidi sliku ispod). Tangenta MN dijeli segment Δy na dva dijela, QN i NM". Prvi je proporcionalan Δh i jednak je QN = MQ∙tg (ugao QMN) = Δh f "(x), tj. QN je diferencijal dy.

Drugi dio NM" daje razliku Δu ─ dy, pri Δh→0 dužina NM" opada čak i brže od priraštaja argumenta, tj. njegov red male veličine je veći od Δh. U slučaju koji se razmatra, za f "(x) ≠ 0 (tangenta nije paralelna sa OX), segmenti QM" i QN su ekvivalentni; drugim riječima, NM" opada brže (njegov red malenosti je veći) od ukupnog prirasta Δu = QM". To se vidi na slici (kako se M "približava M, segment NM" čini sve manji procenat segmenta QM").

Dakle, grafički, diferencijal proizvoljne funkcije jednak je veličini prirasta ordinate njene tangente.

Derivat i diferencijal

Koeficijent A u prvom članu izraza za prirast funkcije jednak je vrijednosti njene derivacije f "(x). Dakle, dolazi do sljedećeg odnosa - dy \u003d f" (x) Δx, ili df (x) \u003d f "(x) Δx.

Poznato je da je prirast nezavisnog argumenta jednak njegovom diferencijalu Δh = dx. U skladu s tim, možete napisati: f "(x) dx = dy.

Pronalaženje (ponekad nazvano "rješavanjem") diferencijala se izvodi prema istim pravilima kao i za derivate. Njihova lista je data u nastavku.

Što je univerzalnije: povećanje argumenta ili njegov diferencijal

Ovdje je potrebno dati neka objašnjenja. Predstavljanje diferencijala vrijednošću f "(x) Δx je moguće kada se x razmatra kao argument. Ali funkcija može biti kompleksna, u kojoj x može biti funkcija nekog argumenta t. Tada je prikaz diferencijala izrazom f "(x) Δx je po pravilu nemoguće; osim slučaja linearna zavisnost x = na + b.

Što se tiče formule f "(x) dx = dy, tada u slučaju nezavisnog argumenta x (onda dx = Δx), iu slučaju parametarske zavisnosti x od t, to predstavlja diferencijal.

Na primjer, izraz 2 x Δx predstavlja za y = x 2 njegov diferencijal kada je x argument. Postavimo sada x= t 2 i uzmimo t kao argument. Tada je y = x 2 = t 4 .

Ovaj izraz nije proporcionalan Δt i stoga sada 2xΔh nije diferencijal. Može se naći iz jednačine y = x 2 = t 4 . Ispada da je jednako dy=4t 3 Δt.

Ako uzmemo izraz 2xdx, onda on predstavlja diferencijal y = x 2 za bilo koji argument t. Zaista, pri x= t 2 dobijamo dx = 2tΔt.

To znači da je 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, tj. da su se izrazi diferencijala zapisani u terminima dvije različite varijable poklopili.

Zamjena prirasta diferencijalima

Ako je f "(x) ≠ 0, tada su Δu i dy ekvivalentni (za Δh→0); ako je f "(x) = 0 (što znači dy = 0), oni nisu ekvivalentni.

Na primjer, ako je y = x 2, onda je Δy = (x + Δx) 2 ─ x 2 = 2xΔx + Δx 2, a dy = 2xΔx. Ako je x=3, onda imamo Δu = 6Δh + Δh 2 i dy = 6Δh, koji su ekvivalentni zbog Δh 2 →0, pri x=0 vrijednosti Δu = Δh 2 i dy=0 nisu ekvivalentne.

Ova činjenica, zajedno sa jednostavnom strukturom diferencijala (tj. linearnost u odnosu na Δx), često se koristi u aproksimativnim proračunima, pod pretpostavkom da je Δy ≈ dy za male Δx. Pronalaženje diferencijala funkcije obično je lakše od izračunavanja točne vrijednosti prirasta.

Na primjer, imamo metalnu kocku sa ivicom x = 10,00 cm.Pri zagrijavanju ivica se produžila za Δx = 0,001 cm. Koliko se povećao volumen V kocke? Imamo V = x 2, tako da je dV \u003d 3x 2 Δx = 3 10 2 0 / 01 = 3 (cm 3). Povećanje zapremine ΔV je ekvivalentno diferencijalu dV, pa je ΔV = 3 cm 3 . Potpuni proračun bi dao ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Ali u ovom rezultatu, sve brojke osim prve su nepouzdane; tako da, u svakom slučaju, trebate ga zaokružiti na 3 cm 3.

Očigledno je da je takav pristup koristan samo ako je moguće procijeniti veličinu unesene greške.

Diferencijal funkcija: Primjeri

Pokušajmo pronaći diferencijal funkcije y = x 3 bez pronalaženja izvoda. Hajde da povećamo argument i definišemo Δu.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

Ovdje koeficijent A= 3x 2 ne zavisi od Δh, tako da je prvi član proporcionalan Δh, dok drugi član 3xΔh 2 + Δh 3 na Δh→0 opada brže od prirasta argumenta. Prema tome, izraz 3x 2 Δx je diferencijal y = x 3:

dy = 3x 2 Δx = 3x 2 dx ili d (x 3) = 3x 2 dx.

U ovom slučaju, d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

Nađimo sada dy funkcije y = 1/x u smislu njenog izvoda. Tada je d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Prema tome, dy = ─ Δh/h 2 .

Diferencijali osnovnih algebarskih funkcija su dati u nastavku.

Približni proračuni pomoću diferencijala

Često nije teško izračunati funkciju f (x), kao i njen izvod f"(x) za x=a, ali nije lako učiniti isto u blizini tačke x=a. približni izraz dolazi u pomoć

f (a + Δh) ≈ f "(a) Δh + f (a).

On daje približnu vrijednost funkcije na malim prirastima Δh ​​kroz njen diferencijal f "(a)Δh.

Stoga ova formula daje približan izraz za funkciju na krajnjoj tački dijela dužine Δx kao zbir njene vrijednosti u početnoj tački ovog odsječka (x=a) i diferencijala u istoj početnoj tački. Greška ove metode određivanja vrijednosti funkcije je ilustrovana na slici ispod.

Međutim, poznat je i tačan izraz za vrijednost funkcije za x=a+Δh, dat formulom za konačne priraštaje (ili, drugim riječima, Lagrangeova formula)

f (a + Δh) ≈ f "(ξ) Δh + f (a),

gdje je tačka x = a + ξ na segmentu od x = a do x = a + Δx, iako je njen tačan položaj nepoznat. Tačna formula omogućava procjenu greške približne formule. Ako u Lagrangeovu formulu stavimo ξ = Δh /2, onda iako prestaje biti tačna, obično daje mnogo bolju aproksimaciju od originalnog izraza kroz diferencijal.

Procjena greške formula primjenom diferencijala

U principu, oni su netačni i unose odgovarajuće greške u podatke mjerenja. Karakterizira ih granična ili, ukratko, marginalna greška - pozitivan broj, koji očito premašuje ovu grešku u apsolutnoj vrijednosti (ili joj je barem jednak). Granica se naziva količnik njene podjele apsolutnom vrijednošću izmjerene vrijednosti.

Neka se za izračunavanje funkcije y koristi tačna formula y= f (x), ali vrijednost x je rezultat mjerenja i stoga unosi grešku u y. Zatim, da bismo pronašli granicu apsolutna greška│‌‌Δu│ funkcije y, koristite formulu

│‌‌Δu│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δh│,

gdje je │Δh│ marginalna greška argumenta. Vrijednost │‌‌Δu│ treba zaokružiti naviše, jer netačna je sama zamjena izračuna priraštaja proračunom diferencijala.

PREDAVANJE 10. FUNKCIJSKI DIFERENCIJAL. TEOREME FERMA, ROLA, LAGRANGE I CAUCHY.

1. Funkcijski diferencijal

1.1. Definicija diferencijala funkcije

WITH Koncept derivacije je usko povezan sa drugim fundamentalnim konceptom matematičke analize - diferencijalom funkcije.

Definicija 1. Funkcija y = f (x) definirana u nekom susjedstvu točke x naziva se diferencijabilnom u tački x ako je njen prirast u ovoj tački

y = f (x + x) − f (x)

ima oblik

y = A x + α(Δx) x,

gdje je A konstanta i funkcija α(Δx) → 0 kao x → 0.

Neka je y = f (x) diferencijabilna funkcija, tada dajemo sljedeću definiciju.

Definicija 2. Glavna linearna		dio A x	inkrementi	funkcije f(x)
naziva se diferencijal funkcije u tački x i označava se sa dy.
dakle,
y = dy + α(Δx) x.
Napomena 1. Vrijednost dy =		x se zove	glavni dio linije
prirast y zbog činjenice da je drugi dio prirasta α(Δx)				x za male
x postaje mnogo manji od A

Tvrdnja 1. Da bi funkcija y = f (x) bila diferencijabilna u tački x, potrebno je i dovoljno da ima izvod u ovoj tački.

Dokaz. Nužnost. Neka je funkcija f (x) diferencijabilna u tački

x + α(Δx) x, for

x → 0. Tada

A + limα(Δx) = A.

Dakle, izvod f ′ (x) postoji i jednak je A.

Adekvatnost. Neka postoji

f ′ (x), tj. postoji ograničenje lim

F'(x).

F ′ (x) + α(Δx),

y = f′ (x)Δx + α(Δx) x.

Posljednja jednakost znači da je funkcija y = f (x) diferencijabilna.

1.2. Geometrijsko značenje diferencijala

Neka je l tangenta na graf funkcije y = f (x) u tački M (x, f (x)) (slika 1). Pokažimo da je dy vrijednost segmenta P Q. Zaista,

dy = f ′ (x)Δx = tg α x =

" "l

"" " "

" α

Dakle, diferencijal dy funkcije f (x) u tački x jednak je inkrementu ordinate tangente l u toj tački.

1.3. Invarijantnost diferencijalnog oblika

Ako je x nezavisna varijabla, onda

dy = f′ (x)dx.

Pretpostavimo da je x = ϕ(t), gdje je t nezavisna varijabla, y = f (ϕ(t)). Onda

dy = (f (ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).

Dakle, oblik diferencijala se nije promijenio, uprkos činjenici da x nije nezavisna varijabla. Ovo svojstvo se naziva invarijantnost oblika diferencijala.

1.4. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

Iz formule y = dy + α(Δx) x, odbacujući α(Δx) x, jasno je da za male

y ≈ dy = f ′ (x)Δx.

Odavde dobijamo

f (x + x) − f (x) ≈ f′ (x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f′ (x)Δx. (1) Formula (1) se koristi u približnim proračunima.

1.5. Diferencijali višeg reda

Po definiciji, drugi diferencijal funkcije y = f (x) u tački x je diferencijal prvog diferencijala u toj tački, koji je označen

d2 y = d(dy).

Izračunajmo drugi diferencijal:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(prilikom izračunavanja derivacije (f ′ (x)dx)′ uzeli smo u obzir da vrijednost dx ne zavisi od x i da je stoga konstantna tokom diferencijacije).

Općenito, diferencijal reda n funkcije y = f (x) je prvi

diferencijal

od diferencijala

ovu funkciju, koja

označeno sa

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f(n) (x)dxn .

Pronađite diferencijal funkcije y = arctg x .

Rješenje. dy = (arctg x)′ dx =

1+x2

Naći diferencijale prvog i drugog reda funkcije v = e2t .

Rješenje. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 .

Usporedite prirast i diferencijal funkcije y = 2x3 + 5x2.

Rješenje. Mi nalazimo

5x2=

10x)∆x + (6x + 5)∆x

dy = (6x2 + 10x)dx.

Razlika između prirasta

y i diferencijal dy je infinitezimalno veći

poredak u odnosu na

x jednako (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 .

Primjer 4. Izračunajte približnu vrijednost površine kruga čiji je polumjer 3,02 m.

Rješenje. Koristimo formulu S = πr2 . Postavljanjem r = 3, r = 0,02, imamo

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0,02 = 0,12π.

Stoga je približna vrijednost površine kruga 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (m 2 ).

Primjer 5. Izračunajte približnu vrijednost arcsin 0,51 sa tačnošću od 0,001. Rješenje. Razmotrimo funkciju y = arcsin x . Uzimajući da je x = 0,5, x = 0,01 i

primjena formule (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′

(arcsinx)′

≈ arcsin 0,5+

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Primjer 6. Izračunajte približno √ 3

sa tačnošću od 0,0001.

Rješenje. Razmotrimo funkciju y = √ 3

i stavi x = 8,

x = 0, 01. Slično

po formuli (1)

(√ 3x)′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ x,

3√ 3 64

0,01 = 2 + 3 4 0,01 ≈ 2,0008.

p 8, 01 ≈√ 8 +

2. Teoreme Fermata, Rollea, Lagrangea i Cauchyja

Definicija 3. Kaže se da funkcija y = f (x) ima (ili dostiže) lokalni maksimum (minimum) u tački α ako postoji takva okolina U (α) tačke α da za sve x U (α ) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Lokalni maksimum i lokalni minimum ujedinjeni su zajedničkim imenom

lokalni ekstrem.

Funkcija čiji je grafikon prikazan na sl. 4 ima lokalni maksimum u tačkama β, β1 i lokalni minimum u tačkama α, α1.

Tvrdnja 2. (Fermat) Neka je funkcija y = f (x) diferencijabilna u tački α i ima lokalni ekstrem u ovoj tački. Tada je f ′ (α) = 0.

Ideja koja stoji iza dokaza Fermatove teoreme je sljedeća. Neka, radi određenosti, f (x) ima lokalni minimum u tački α. Po definiciji, f ′ (α) je granica pri x → 0 relacije

	f (α + x) − f (α)
Ali za dovoljno mali (u apsolutnoj vrijednosti) x
	f (α + x) − f (α) ≥ 0.
Stoga, sa takvim	x dobijamo
Otuda to sledi
	f ′ (α) = lim g(Δx) = 0.
Uradite potpuni dokaz sami.
Izjava 3. (Roll)	Ako je y = f(x) kontinuirano			Razlikuje se po
(a, b) i f (a) = f (b), tada postoji tačka α (a, b)				da je f ′ (α) = 0.

Dokaz. Po svojstvu funkcija koje su neprekidne na segmentu, postoje tačke x1 , x2 takve da

ekstrem. Po hipotezi teoreme, f (x) je diferencijabilna u tački α. Po Fermatovom teoremu, f ′ (α) = 0. Teorema je dokazana.

Rolleova teorema ima jednostavno geometrijsko značenje (slika 5): ako su ekstremne ordinate krive y = f (x) jednake, tada postoji tačka na krivulji y = f (x) u kojoj je tangenta krive je paralelna sa Ox osom.

Dokaz. Imajte na umu da je g(a) =6 g(b). Zaista, inače bi funkcija g(x) zadovoljila sve uslove Rolleove teoreme. Prema tome, postojala bi tačka β (a, b) takva da je g′ (β) = 0. Ali ovo je u suprotnosti sa hipotezom teoreme.

Razmotrite sljedeću pomoćnu funkciju:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g(x) - g(a)). g(b) − g(a)

Funkcija F (x) je kontinuirana na ,				je diferencibilan na (a, b). Osim toga, očigledno je
Šta'	F (a) = F (b) = 0. Prema tome, prema Rolleovoj teoremi, postoji tačka α (a, b) takva da
F (α) = 0, tj.
	f′(α)								g′ (α) = 0.
			− g(b)
ovo implicira
								f′(α)
								g′ (α)

Teorema je dokazana.

Tvrdnja 5. (Lagrange) Ako je y = f (x) kontinuirano na , diferencibilno na (a, b), onda postoji α (a, b) takvo da

F′ (α).

Dokaz. Lagrangeova teorema direktno slijedi iz Cauchyjeve teoreme za g(x) =

Geometrijski, Lagrangeova teorema znači da je na krivulji y = f (x) između tačaka

A i B, postoji takva tačka C, tangenta u kojoj je paralelna tetivi AB. y

Rolle-ov teorem o ovom segmentu

izvedeno. c vrijednost

definisati

jednačine

f ′ (x) = 2x − 6 = 0, tj. c = 3.

nađi tačku

M, u kojoj

Primjer 8. Na luku

AB kriva y = 2x − x

tangenta paralelna sa tetivom

Rješenje. Funkcija y = 2x − x

je kontinuiran i diferenciran za sve vrijednosti

x. Prema Lagrangeovom teoremu, između dvije vrijednosti a = 1,

b = 3 postoji vrijednost

x = c zadovoljava jednakost y(b) − y(a) = (b − a) y′ (c), gdje je y′ = 2 − 2x. Zamjenom odgovarajućih vrijednosti dobijamo

y(3) − y(1) = (3 − 1) y (c),

(2 3 - 32 ) - (2 1 - 12 ) = (3 - 1) (2 - 2c),

dakle c = 2, y(2) = 0.

Dakle, tačka M ima koordinate (2; 0).

Primjer 9. Na luku AB krive date parametarskim jednadžbama

x = t2 , y = t3 , nađi tačku

M u kojem je tangenta paralelna tetivi AB ako

tačke A i B odgovaraju vrijednostima t = 1 i t = 3.

Rješenje. Nagib tetive AB je

I faktor nagiba

tangenta u tački M (za

t = c) je

y'

(c)/x′

x′ = 2t,

y′ = 3t2 . Za

definicijom c po Cauchyjevom teoremu dobijamo jednačinu

yt′ (c)

xt′ (c)

tj. c = 13/6.

Pronađena vrijednost c zadovoljava nejednakost 1< c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

24.1. Koncept diferencijala funkcija

Neka funkcija y=ƒ(x) ima derivaciju različitu od nule u tački x.

Zatim, prema teoremi o povezanosti funkcije, njenoj granici i beskonačno maloj funkciji, možemo napisati D y / D x \u003d ƒ "(x) + α, gdje je α → 0 za ∆x → 0, ili ∆y \u003d ƒ" (x) ∆h+α ∆h.

Dakle, prirast funkcije ∆u je zbir dva člana ƒ "(h) ∆h i a ∆h, koji su beskonačno mali na ∆x→0. U ovom slučaju, prvi član je beskonačno mala funkcija od isti red sa ∆h, pošto a drugi član je beskonačno mala funkcija više high order od ∆x:

Stoga se prvi član ƒ "(x) ∆x naziva glavni dio prirasta funkcije ∆u.

diferencijalna funkcija y \u003d ƒ (x) u tački x naziva se glavni dio njegovog prirasta, jednak umnošku derivacije funkcije i prirasta argumenta, i označava se du (ili dƒ (x)):

dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24.1)

Diferencijal du se također naziva diferencijal prvog reda. Nađimo diferencijal nezavisne varijable x, odnosno diferencijal funkcije y=x.

Pošto je y"=x"=1, onda prema formuli (24.1) imamo dy=dx=∆x, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable: dx=∆x.

Stoga se formula (24.1) može napisati na sljedeći način:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (24.2)

drugim riječima, diferencijal funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Iz formule (24.2) slijedi jednakost dy / dx \u003d ƒ "(x). Sada je oznaka

derivacija dy/dx se može posmatrati kao omjer diferencijala dy i dx.

<< Пример 24.1

Naći diferencijal funkcije ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Rješenje: Prema formuli dy \u003d ƒ "(x) dx nalazimo

dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx = (6x-2cos (l + 2x)) dx.

<< Пример 24.2

Pronađite diferencijal funkcije

Izračunajte dy na x=0, dx=0,1.

Rješenje:

Zamjenom x=0 i dx=0.1 dobijamo

24.2. Geometrijsko značenje diferencijala funkcije

Hajde da saznamo geometrijsko značenje diferencijala.

Da bismo to učinili, crtamo tangentu MT na graf funkcije y \u003d ƒ (x) u tački M (x; y) i razmatramo ordinatu ove tangente za tačku x + ∆x (vidi sliku 138 ). Na slici ½ AM½ =∆x, |AM 1 |=∆y. Iz pravouglog trougla MAB imamo:

Ali, prema geometrijskom značenju derivacije, tga \u003d ƒ "(x). Dakle, AB = ƒ" (x) ∆x.

Upoređujući rezultat dobijen formulom (24.1), dobijamo dy=AB, tj. diferencijal funkcije y=ƒ(x) u tački x jednak je prirastu ordinate tangente na graf funkcije u ovom trenutku, kada x primi prirast ∆x.

Ovo je geometrijsko značenje diferencijala.

24.3 Osnovne diferencijalne teoreme

Glavne teoreme o diferencijalima je lako dobiti koristeći relaciju između diferencijala i izvoda funkcije (dy=f"(x)dx) i odgovarajućih teorema o derivacijama.

Na primjer, budući da je derivacija funkcije y \u003d c jednaka nuli, tada je diferencijal konstantne vrijednosti jednak nuli: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.

Teorema 24.1. Diferencijal zbira, proizvoda i količnika dvije diferencibilne funkcije definiran je sljedećim formulama:

Dokažimo, na primjer, drugu formulu. Po definiciji diferencijala imamo:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Teorema 24.2. Diferencijal kompleksne funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije u odnosu na međuargument i diferencijal ovog međuargumena.

Neka su y=ƒ(u) i u=φ(x) dvije diferencibilne funkcije koje formiraju kompleksnu funkciju y=ƒ(φ(x)). Po teoremi o izvodu složene funkcije može se pisati

y" x = y" u u" x .

Množenjem oba dijela ove jednakosti sa dx, saznajemo y "x dx \u003d y" u u "x dx. Ali y" x dx = dy i u "x dx \u003d du. Stoga se posljednja jednakost može prepisati kao slijedi:

dy=y" u du.

Upoređujući formule dy=y "x dx i dy=y" u du, vidimo da je prvi diferencijal funkcije y=ƒ(x) određen istom formulom, bez obzira da li je njen argument nezavisna varijabla ili je funkcija drugog argumenta.

Ovo svojstvo diferencijala naziva se invarijantnost (invarijantnost) oblika prvog diferencijala.

Formula dy \u003d y "x dx po izgledu podudara se s formulom dy \u003d y" u du, ali postoji temeljna razlika između njih: u prvoj formuli x je nezavisna varijabla, dakle, dx \u003d ∆x, u drugoj formuli i postoji funkcija od x , dakle, općenito govoreći, du≠∆u.

Uz pomoć definicije diferencijala i osnovnih teorema o diferencijalima, lako je transformirati tablicu derivacija u tablicu diferencijala.

Na primjer: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Diferencijalna tablica

24.5. Primjena diferencijala na približne proračune

Kao što je već poznato, prirast ∆u funkcije y=ƒ(h) u tački x može se predstaviti kao ∆u=ƒ"(h) ∆h+α ∆h, gdje je α→0 kao ∆h→0, ili dy+α ∆x Odbacivanjem infinitezimalnog α ∆x višeg reda od ∆x, dobijamo približnu jednakost

∆u≈dy, (24.3)

štaviše, ova jednakost je točnija što je ∆x manji.

Ova jednakost nam omogućava da izračunamo približno prirast bilo koje diferencijabilne funkcije sa velikom preciznošću.

Diferencijal se obično nalazi mnogo lakše od priraštaja funkcije, pa se formula (24.3) široko koristi u računarskoj praksi.

<< Пример 24.3

Pronađite približnu vrijednost prirasta funkcije y = x 3 -2x + 1 za x = 2 i ∆x = 0,001.

Rešenje: Primenjujemo formulu (24.3): ∆u≈dy=(h 3 -2h+1)" ∆h=(3h 2 -2) ∆h.

Dakle, ∆u» 0,01.

Pogledajmo koja je greška napravljena izračunavanjem diferencijala funkcije umjesto njenog prirasta. Da bismo to učinili, nalazimo ∆u:

∆y = ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);

Apsolutna greška aproksimacije je jednaka

|∆u-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Zamjenom u jednakost (24.3) vrijednosti ∆u i dy dobijamo

ƒ(h+∆h)-ƒ(h)≈ƒ"(h)∆h

ƒ(h+∆h)≈ƒ(h)+ƒ"(h) ∆h. (24.4)

Formula (24.4) se koristi za izračunavanje približnih vrijednosti funkcija.

<< Пример 24.4

Izračunajte približno arctg(1.05).

Rješenje: Razmotrite funkciju ƒ(h)=arctgx. Prema formuli (24.4) imamo:

arctg(x+∆h)≈arctgx+(arctgx)" ∆h,

tj.

Pošto je x+∆x=1,05, onda za x=1 i ∆x=0,05 dobijamo:

Može se pokazati da apsolutna greška formule (24.4) ne prelazi vrijednost M (∆x) 2, gdje je M najveća vrijednost |ƒ"(x)| na segmentu [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Koju će udaljenost preći tijelo u slobodnom padu na Mjesecu za 10,04 s od početka pada. Jednačina slobodnog pada tijela

H \u003d g l t 2 /2, g l \u003d 1,6 m / s 2.

Rješenje: Potrebno je pronaći H(10,04). Koristimo približnu formulu (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Pri t=10 s i ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, nalazimo

Zadatak (za samostalno rješenje). Tijelo mase m=20 kg kreće se brzinom ν=10,02 m/s. Približno izračunajte kinetičku energiju tijela

24.6. Diferencijali višeg reda

Neka je y=ƒ(x) diferencijabilna funkcija, a njen argument x je nezavisna varijabla. Tada je njegov prvi diferencijal dy=ƒ"(x)dx također funkcija od x; može se pronaći diferencijal ove funkcije.

Poziva se diferencijal od diferencijala funkcije y=ƒ(x). njen drugi diferencijal(ili diferencijal drugog reda) i označava se d 2 y ili d 2 ƒ(x).

Dakle, po definiciji d 2 y=d(dy). Nađimo izraz za drugi diferencijal funkcije y=ƒ(x).

Budući da dx=∆x ne zavisi od x, pretpostavljamo da je dx konstantan pri diferenciranju:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 tj.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24.5)

Ovdje dx 2 označava (dx) 2 .

Diferencijal trećeg reda je definiran i pronađen na sličan način

d 3 y \u003d d (d 2 y) = d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.

I, općenito, diferencijal n-tog reda je diferencijal diferencijala (n-1)-tog reda: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Otuda nalazimo da je, posebno, za n=1,2,3

odnosno dobijamo:

tj. derivacija funkcije se može posmatrati kao omjer njenog diferencijala odgovarajućeg reda i odgovarajuće snage diferencijala nezavisne varijable.

Imajte na umu da su sve gornje formule važeće samo ako je x nezavisna varijabla. Ako je funkcija y \u003d ƒ (x), gdje je x - funkcija neke druge nezavisne varijable, onda diferencijali drugog i višeg reda nemaju svojstvo invarijantnosti oblika i izračunavaju se pomoću drugih formula. Pokažimo to na primjeru diferencijala drugog reda.

Koristeći diferencijalnu formulu proizvoda (d(uv)=vdu+udv), dobijamo:

d 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) = ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x , tj.

d 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x. (24.6)

Uspoređujući formule (24.5) i (24.6), vidimo da se u slučaju kompleksne funkcije mijenja diferencijalna formula drugog reda: pojavljuje se drugi član ƒ "(x) d 2 x.

Jasno je da ako je x nezavisna varijabla, onda

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

a formula (24.6) prelazi u formulu (24.5).

<< Пример 24.6

Pronađite d 2 y ako je y=e 3x i x je nezavisna varijabla.

Rješenje: Kako je y"=3e 3x, y"=9e 3x, onda po formuli (24.5) imamo d 2 y=9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Naći d 2 y ako je y=x 2 i x=t 3 +1 i t je nezavisna varijabla.

Rješenje: Koristimo formulu (24.6): pošto

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2,

To d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Drugo rješenje: y=x 2 , x=t 3 +1. Dakle, y = (t 3 +1) 2. Tada po formuli (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2 ,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

LOGARITAMSKA DIFERENCIJACIJA

Diferencijacija mnogih funkcija je pojednostavljena ako se preliminarno logaritmiziraju. Da biste to učinili, postupite na sljedeći način. Ako treba da nađete y" iz jednačine y=f(x), tada možete:

Primjeri.

EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA SNAGE I NJENA DIFERENCIJACIJA

eksponencijalna funkcija je funkcija forme y = u v, Gdje u=u(x), v=v(x).

Logaritamska diferencijacija se koristi za pronalaženje derivacije funkcije eksponencijalne snage.

Primjeri.

TABELA DERIVATA

Kombinirajmo u jednoj tabeli sve osnovne formule i pravila diferencijacije koja smo ranije izveli. Svugdje ćemo pretpostaviti u=u(x), v=v(x), S=konst. Za izvode osnovnih elementarnih funkcija koristit ćemo teoremu o izvodu kompleksne funkcije.

Primjeri.

KONCEPT FUNKCIJSKOG DIFERENCIJALA. ODNOS IZMEĐU DIFERENCIJALNOG I DERIVATNOG

Neka funkcija y=f(x) je diferencibilan na intervalu [ a; b]. Derivat ove funkcije u nekom trenutku X 0 Î [ a; b] je definirana jednakošću

.

Dakle, svojstvom granice

Množenje svih članova rezultirajuće jednakosti sa Δ x, dobijamo:

Δ y = f"(x 0)·Δ x+ a Δ x.

Dakle, beskonačno mali prirast Δ y diferencijabilna funkcija y=f(x) može se predstaviti kao zbir dva člana, od kojih je prvi (za f"(X 0) ≠ 0) glavni dio prirasta, linearno u odnosu na Δ x, a druga je infinitezimalna vrijednost višeg reda od Δ x. Glavni dio inkrementa funkcije, tj. f"(X 0)·Δ x naziva se diferencijal funkcije u tački X 0 i označeno sa dy.

Dakle, ako je funkcija y=f(x) ima derivat f"(x) u tački x, zatim proizvod derivacije f"(x) po inkrementu Δ x poziva se argument diferencijalna funkcija i označavaju:

Nađimo diferencijal funkcije y=x. U ovom slučaju y" = (x)" = 1 i, prema tome, dy=dx=Δ x. Dakle diferencijal dx nezavisna varijabla x poklapa se sa njegovim prirastom Δ x. Stoga možemo zapisati formulu (1) na sljedeći način:

dy = f "(x)dx

Ali iz ove relacije slijedi da . Dakle, derivat f "(x) se može posmatrati kao omjer diferencijala funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Ranije smo pokazali da diferencijabilnost funkcije u tački implicira postojanje diferencijala u toj tački.

I obrnuto je tačno.

Ako za datu vrijednost x prirast funkcije Δ y = f(x+Δ x) – f(x) može se predstaviti kao Δ y = A·Δ x+ α, gdje je α beskonačno mala veličina koja zadovoljava uvjet, tj. ako za funkciju y=f(x) postoji diferencijal dy=A dx u nekom trenutku x, tada ova funkcija ima izvod u tački x I f "(x)=A.

Zaista, imamo , i budući da za Δ x→0, zatim .

Dakle, postoji vrlo bliska veza između diferencijabilnosti funkcije i postojanja diferencijala; oba koncepta su ekvivalentna.

Primjeri. Pronađite diferencijale funkcija:

GEOMETRIJSKO ZNAČENJE DIFERENCIJALA

Razmotrite funkciju y=f(x) i odgovarajuću krivu. Uzmite proizvoljnu tačku na krivulji M(x; y), nacrtajte tangentu na krivu u ovoj tački i označite sa α kut koji tangenta formira s pozitivnim smjerom ose Ox. Dajemo nezavisnu varijablu x prirast Δ x, tada će funkcija dobiti povećanje Δ y = NM 1 . Vrijednosti x+Δ x I y+Δ y na krivini y = f(x) tačka će se podudarati

M 1 (x+Δ x; y+Δ y).

Od Δ MNT naći NT=MN tgα. Jer tgα = f "(x), A MN = Δ x, To NT = f "(x)·Δ x. Ali po definiciji diferencijala dy=f "(x)·Δ x, Zbog toga dy = NT.

Dakle, diferencijal funkcije f(x) koji odgovara datim vrijednostima x i Δx jednak je prirastu ordinate tangente na krivulju y=f(x) u datoj tački x.

TEOREMA DIFERENCIJALNE INVARIJANCIJE

Videli smo ranije da ako u je nezavisna varijabla, onda diferencijal funkcije y=f "(u) ima oblik dy = f "(u)du.

Pokažimo da je ovaj oblik sačuvan i u slučaju kada u nije nezavisna varijabla, već funkcija, tj. naći izraz za diferencijal kompleksne funkcije. Neka y=f(u), u=g(x) ili y = f(g(x)). Zatim, prema pravilu diferencijacije složene funkcije:

.

Dakle, po definiciji

Ali g"(x)dx= du, Zbog toga dy=f"(u)du.

Dokazali smo sljedeću teoremu.

Teorema. Diferencijal kompleksne funkcije y=f(u), za koji u=g(x), ima isti oblik dy=f"(u)du, što bi imala ako bi međuargument u bila je nezavisna varijabla.

Drugim riječima, oblik diferencijala ne ovisi o tome da li je argument funkcije nezavisne varijable ili funkcija drugog argumenta. Ovo svojstvo diferencijala se zove diferencijalna invarijantnost oblika.

Primjer.. Nađi dy.

Uzimajući u obzir svojstvo invarijantnosti diferencijala, nalazimo

.

PRIMJENA DIFERENCIJALA NA PRIBLIŽNE PRORAČUNE

Javite nam vrijednost funkcije y 0 =f(x 0 ) i njen derivat y 0 " = f "(x0) u tački x0. Hajde da pokažemo kako pronaći vrijednost funkcije u nekoj bliskoj tački x.

Kao što smo već saznali, prirast funkcije Δ y može se predstaviti kao zbir Δ y=dy+α·Δ x, tj. prirast funkcije se razlikuje od diferencijala za beskonačno mali iznos. Prema tome, zanemarujući mali Δ x drugi član u aproksimativnim proračunima, ponekad koriste približnu jednakost Δ y≈dy ili Δ y» f"(x0)·Δ x.

Jer, po definiciji, Δ y = f(x) – f(x0), To f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δ x.

Primjeri.

DERIVATI VIŠEG REDA

Neka funkcija y=f(x) je diferencibilan na nekom intervalu [ a; b]. Vrijednost derivata f"(x), uopšteno govoreći, zavisi od x, tj. derivat f"(x) je također funkcija varijable x. Neka i ova funkcija ima izvod. Diferencirajući ga, dobijamo takozvani drugi izvod funkcije f(x).

Izvod prvog izvoda se zove derivat drugog reda ili drugi derivat iz ove funkcije y=f(x) i označeno y""ili f""(x). dakle, y"" = (y")".

Na primjer, ako at = X 5, dakle y"= 5x 4 , i y""= 20x 4 .

Slično, zauzvrat, izvod drugog reda se također može diferencirati. Izvod drugog izvoda se zove derivat trećeg reda ili treći derivat i označeno sa y"""ili f"""( x).

Uopšte, derivat n-tog reda od funkcije f(x) naziva se derivacija (prva) izvoda ( n– 1) reda i označava se simbolom y(n) ili f(n) ( x): y(n) = ( y(n-1))".

Dakle, da bi se pronašao izvod višeg reda date funkcije, svi njeni derivati ​​nižeg reda se sekvencijalno nalaze.