Cramerova metoda za lutke - detaljni primjeri rješenja. Cramerova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina

Cramerova metoda se zasniva na korištenju determinanti u rješavanju sistema linearne jednačine. Ovo značajno ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini. Ako determinanta sistema nije jednaka nuli, onda se u rješenju može koristiti Cramerova metoda, ali ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta sastavljena od koeficijenata za nepoznate naziva se determinanta sistema i označava se (delta).

Odrednice

dobiju se zamjenom koeficijenata odgovarajućih nepoznanica slobodnim terminima:

;

.

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedinstveno rešenje, a nepoznata je jednaka omjeru determinanti. Imenilac sadrži determinantu sistema, a brojilac sadrži determinantu dobijenu iz determinante sistema zamenom koeficijenata ove nepoznanice slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Primjer 1. Riješite sistem linearnih jednačina:

Prema Cramerova teorema imamo:

Dakle, rješenje sistema (2):

online kalkulator, Cramerova metoda rješavanja.

Tri slučaja pri rješavanju sistema linearnih jednačina

Kao što je jasno iz Cramerova teorema, pri rješavanju sistema linearnih jednačina mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje

(sistem je konzistentan i određen)

Drugi slučaj: sistem linearnih jednačina ima beskonačan broj rješenja

(sistem je dosljedan i neizvjestan)

** ,

one. koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova su proporcionalni.

Treći slučaj: sistem linearnih jednačina nema rješenja

(sistem je nedosledan)

Dakle sistem m linearne jednadžbe sa n nazivaju varijable nekompatibilno, ako ona nema jedinstveno rješenje, i joint, ako ima barem jedno rješenje. Zove se simultani sistem jednačina koji ima samo jedno rješenje siguran i više od jednog – neizvjesno.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina primjenom Cramerove metode

Neka sistem bude dat

.

Na osnovu Cramerove teoreme

………….
,

Gdje
-

sistemska determinanta. Preostale determinante dobivamo zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznate) slobodnim terminima:

Primjer 2.

.

Dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sistemu linearnih jednačina nema varijabli u jednoj ili više jednačina, tada su u determinanti odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

.

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pažljivo pogledajte sistem jednačina i determinantu sistema i ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednak nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, pa je sistem određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznate

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Nastavljamo da zajedno rješavamo sisteme koristeći Cramerovu metodu

Kao što je već pomenuto, ako je determinanta sistema jednaka nuli, a determinante nepoznanica nisu jednake nuli, sistem je nekonzistentan, odnosno nema rešenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 6. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Determinanta sistema je jednaka nuli, pa je sistem linearnih jednačina ili nekonzistentan i određen, ili nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznate

Odrednice nepoznatih nisu jednake nuli, pa je sistem nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima koji se odnose na sisteme linearnih jednačina postoje i oni u kojima pored slova koja označavaju varijable postoje i druga slova. Ova slova predstavljaju broj, najčešće pravi. U praksi, takve jednačine i sistemi jednačina dovode se do problema traženja opštih svojstava bilo kojih pojava i objekata. Odnosno, jeste li izmislili bilo šta novi materijal ili uređaj, a da biste opisali njegova svojstva, koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj instance, potrebno je riješiti sistem linearnih jednačina, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednačina, varijabli i slova koja označavaju određeni realni broj.

Primjer 8. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pronalaženje determinanti za nepoznate

Cramerova metoda ili takozvano Cramerovo pravilo je metoda traženja nepoznatih veličina iz sistema jednačina. Može se koristiti samo ako je broj traženih vrijednosti jednak broju algebarske jednačine u sistemu, odnosno glavna matrica formirana iz sistema mora biti kvadratna i ne mora sadržavati nula redova, a takođe i ako njena determinanta ne smije biti nula.

Teorema 1

Cramerova teorema Ako glavna determinanta $D$ glavne matrice, sastavljena na osnovu koeficijenata jednačina, nije jednaka nuli, onda je sistem jednačina konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Rješenje takvog sistema se izračunava preko takozvanih Cramerovih formula za rješavanje sistema linearnih jednačina: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Šta je Cramer metoda?

Suština Cramerove metode je sljedeća:

1. Da bismo pronašli rješenje za sistem korištenjem Cramerove metode, prije svega izračunavamo glavnu determinantu matrice $D$. Kada se izračunata determinanta glavne matrice, kada je izračunata Cramerovom metodom, pokaže da je jednaka nuli, tada sistem nema jedno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, za pronalaženje opšteg ili nekog osnovnog odgovora za sistem, preporučuje se upotreba Gausove metode.
2. Zatim morate zamijeniti krajnju vanjsku kolonu glavna matrica u kolonu slobodnih termina i izračunaj determinantu $D_1$.
3. Ponovite isto za sve kolone, dobijajući determinante od $D_1$ do $D_n$, gdje je $n$ broj krajnje desne kolone.
4. Nakon što su pronađene sve determinante $D_1$...$D_n$, nepoznate varijable se mogu izračunati pomoću formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Tehnike za izračunavanje determinante matrice

Da biste izračunali determinantu matrice s dimenzijom većom od 2 puta 2, možete koristiti nekoliko metoda:

• Pravilo trouglova, ili Sarusovo pravilo, podsjeća na isto pravilo. Suština metode trokuta je u tome da se pri izračunavanju determinante proizvodi svih brojeva povezanih na slici crvenom linijom na desnoj strani zapisuju znakom plus, a svi brojevi povezani na sličan način na slici lijevo pišu se sa znakom minus. Oba pravila su pogodna za matrice veličine 3 x 3. U slučaju Sarrusovog pravila, prvo se prepisuje sama matrica, a pored nje ponovo se prepisuju njeni prvi i drugi stupac. Dijagonale se povlače kroz matricu i ovi dodatni stupci matrice koji leže na glavnoj dijagonali ili paralelno s njom se pišu sa znakom plus, a elementi koji leže na ili paralelni s sekundarnom dijagonalom pišu se sa znakom minus.

Slika 1. Pravilo trougla za izračunavanje determinante za Cramerovu metodu

• Koristeći metodu poznatu kao Gausova metoda, ova metoda se ponekad naziva i smanjenjem reda determinante. U ovom slučaju, matrica se transformira i reducira u trokutasti oblik, a zatim se množe svi brojevi na glavnoj dijagonali. Treba imati na umu da kada tražite determinantu na ovaj način, ne možete množiti ili dijeliti redove ili stupce brojevima, a da ih ne izvadite kao množitelj ili djelitelj. U slučaju traženja determinante, moguće je samo oduzimati i sabirati redove i stupce jedni drugima, nakon što ste prethodno pomnožili oduzeti red sa faktorom koji nije nula. Također, kad god preuređujete redove ili stupce matrice, trebali biste zapamtiti potrebu za promjenom konačnog predznaka matrice.
• Prilikom rješavanja SLAE sa 4 nepoznate pomoću Cramerove metode, najbolje bi bilo koristiti Gaussovu metodu za pretraživanje i pronalaženje determinanti ili određivanje determinante traženjem minora.

Rješavanje sistema jednačina korištenjem Cramerove metode

Primijenimo Cramerovu metodu za sistem od 2 jednačine i dvije tražene veličine:

$\begin(slučajevi) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(slučajevi)$

Prikažimo ga u proširenom obliku radi praktičnosti:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Nađimo determinantu glavne matrice, koja se još naziva i glavna determinanta sistema:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(niz) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ako glavna determinanta nije jednaka nuli, tada je za rješavanje problema pomoću Cramerove metode potrebno izračunati još par determinanti iz dvije matrice sa stupcima glavne matrice zamijenjenim redom slobodnih pojmova:

$D_1 = \begin(niz)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(niz) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(niz)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(niz) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sada pronađimo nepoznate $x_1$ i $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Primjer 1

Cramerova metoda za rješavanje SLAE sa glavnom matricom 3. reda (3 x 3) i tri nepoznate.

Riješite sistem jednačina:

$\begin(slučajevi) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(slučajevi)$

Izračunajmo glavnu determinantu matrice koristeći pravilo gore navedeno pod tačkom broj 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

A sada tri druge odrednice:

$D_1 = \begin(niz)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(niz) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $

Nađimo potrebne količine:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

2. Rješavanje sistema jednačina matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sistema jednačina.

Cramerova metoda.

Cramerova metoda se koristi za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi ( SLAU).

Formule na primjeru sistema od dvije jednačine sa dvije varijable.
Dato: Riješite sistem korištenjem Cramerove metode

Što se tiče varijabli X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema. Izračunavanje determinanti. :

Primijenimo Cramerove formule i pronađemo vrijednosti varijabli:
I .
Primjer 1:
Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:


Zamenimo prvu kolonu u ovoj determinanti kolonom koeficijenata sa desne strane sistema i pronađemo njenu vrednost:

Uradimo sličnu stvar, zamjenjujući drugu kolonu u prvoj odrednici:

Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
odgovor:
komentar: Ova metoda može riješiti sisteme većih dimenzija.

komentar: Ako se ispostavi da je , ali se ne može podijeliti sa nulom, onda kažu da sistem nema jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, sistem ili ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.

Primjer 2(beskonačan broj rješenja):

Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Rješavanje sistema metodom zamjene.

Prva jednačina sistema je jednakost koja je tačna za sve vrijednosti varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). To znači da je ostala samo jedna jednačina. Ovo je jednadžba za odnos između varijabli.
Otkrili smo da je rješenje sistema bilo koji par vrijednosti varijabli povezanih jedna s drugom jednakošću.
Opšte rješenje će biti napisano na sljedeći način:
Konkretna rješenja mogu se odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove konektivne jednakosti.

itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
odgovor: opšte rešenje
Privatna rješenja:

Primjer 3(nema rješenja, sistem je nekompatibilan):

Riješite sistem jednačina:

Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Cramerove formule se ne mogu koristiti. Rešimo ovaj sistem metodom zamene

Druga jednadžba sistema je jednakost koja nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, pošto -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sistema nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli, onda cijeli sistem nema rješenja.
odgovor: nema rješenja

Sa istim brojem jednačina kao i broj nepoznanica sa glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijenti sistema (za takve jednačine postoji rješenje i postoji samo jedno).

Cramerova teorema.

Kada je determinanta matrice kvadratnog sistema različita od nule, to znači da je sistem konzistentan i da ima jedno rešenje i da se može naći kao Cramerove formule:

gdje je Δ - determinanta sistemske matrice,

Δ i je determinanta matrice sistema, u kojoj umjesto i th kolona sadrži kolonu sa desne strane.

Kada je determinanta sistema nula, to znači da sistem može postati kooperativan ili nekompatibilan.

Ova metoda se obično koristi za male sisteme sa opsežnim proračunima i ako je potrebno odrediti jednu od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnoge determinante.

Opis Cramerove metode.

Postoji sistem jednačina:

Sistem od 3 jednačine može se riješiti korištenjem Cramerove metode, o kojoj je gore bilo riječi za sistem od 2 jednačine.

Od koeficijenata nepoznatih sastavljamo determinantu:

Biće sistemska determinanta. Kada D≠0, što znači da je sistem konzistentan. Sada kreirajmo 3 dodatne determinante:

,,

Sistem rješavamo po Cramerove formule:

Primjeri rješavanja sistema jednačina primjenom Cramerove metode.

Primjer 1.

Dati sistem:

Rešimo ga Cramerovom metodom.

Prvo morate izračunati determinantu sistemske matrice:

Jer Δ≠0, što znači da je iz Cramerove teoreme sistem konzistentan i da ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 se dobija iz determinante Δ, zamjenjujući njen prvi stupac kolonom slobodnih koeficijenata. dobijamo:

Na isti način dobijamo determinantu Δ 2 iz determinante sistemske matrice zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih koeficijenata:

Neka sistem linearnih jednačina sadrži onoliko jednačina koliko je nezavisnih varijabli, tj. izgleda kao

Takvi sistemi linearnih jednačina nazivaju se kvadratnim. Determinanta, sastavljena od koeficijenata za nezavisne varijable sistema (1.5), naziva se glavna determinanta sistema. Mi ćemo ga označiti grčko pismo D. Dakle

. (1.6)

Ako glavna determinanta sadrži proizvoljan ( j th) kolonu, zamijenite kolonom slobodnih termina sistema (1.5), onda možete dobiti n pomoćne kvalifikacije:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sistema (1.5) različita od nule, onda sistem ima jedinstveno rešenje, koje se može naći pomoću formula:

(1.8)

Primjer 1.5. Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu

.

Izračunajmo glavnu determinantu sistema:

Od D¹0 sistem ima jedinstveno rješenje, koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

dakle,

Akcije na matrice

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste matricu pomnožili brojem, potrebno je da pomnožite sve njene elemente ovim brojem. To je

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Sabiranje matrice.

Ova operacija je uvedena samo za matrice istog reda.

Da biste dodali dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija sabiranja matrice ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj stupaca matrice A poklapa se sa brojem redova matrice IN, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, prilikom množenja matrice A dimenzije m´ n na matricu IN dimenzije n´ k dobijamo matricu WITH dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice WITH izračunavaju se pomoću sljedećih formula:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, proizvod matrica AB I B.A.:

Rješenje. 1) Da biste pronašli posao AB, potrebni su vam redovi matrice A pomnožiti matričnim stupcima B:

2) Rad B.A. ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redova matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrix A- 1 se naziva inverznom kvadratnom matricom A, ako je jednakost zadovoljena:

gde kroz I označava matricu identiteta istog reda kao i matrica A:

.

Da bi kvadratna matrica imala inverznu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule. Inverzna matrica se nalazi pomoću formule:

, (1.13)

Gdje A ij- algebarski dodaci elementima a ij matrice A(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice A nalaze se u inverznoj matrici u obliku odgovarajućih kolona).

Primjer 1.9. Pronađite inverznu matricu A- 1 na matricu

.

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule (1.13), koja je za slučaj n= 3 ima oblik:

.

Hajde da nađemo det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Pošto je determinanta originalne matrice različita od nule, inverzna matrica postoji.

1) Pronađite algebarske komplemente A ij:

Radi lakšeg lociranja inverzna matrica, stavili smo algebarske dodatke redovima originalne matrice u odgovarajuće kolone.

Od dobijenih algebarskih sabiraka sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Tako dobijamo inverznu matricu:

Kvadratni sistemi linearnih jednadžbi sa glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti korištenjem inverzne matrice. Da bi se to uradilo, sistem (1.5) je napisan u matričnom obliku:

Gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) s lijeve strane sa A- 1, dobijamo rešenje sistema:

, gdje

Dakle, da biste pronašli rješenje za kvadratni sistem, morate pronaći inverznu matricu glavne matrice sistema i pomnožiti je s desne strane matricom stupaca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješiti sistem linearnih jednačina

koristeći inverznu matricu.

Rješenje. Zapišimo sistem u matričnom obliku: ,

Gdje - glavna matrica sistema, - kolona nepoznatih, i - kolona slobodnih termina. Pošto je glavna determinanta sistema , zatim glavna matrica sistema A ima inverznu matricu A-1. Da pronađemo inverznu matricu A-1, izračunavamo algebarske komplemente svim elementima matrice A:

Od dobijenih brojeva sastaviti ćemo matricu (i algebarske dodatke redovima matrice A upišite ga u odgovarajuće kolone) i podijelite determinantom D. Tako smo pronašli inverznu matricu:

Rješenje sistema pronalazimo pomoću formule (1.15):

dakle,

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi uobičajenom Jordanovom metodom eliminacije

Neka je dat proizvoljan (ne nužno kvadratni) sistem linearnih jednačina:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sistema, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sistema (1.16). IN opšti slučaj sistem (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već i bezbroj rješenja. Takođe možda nema nikakvih rješenja.

Prilikom rješavanja ovakvih zadataka koristi se poznati školski kurs eliminacije nepoznatih metoda, koji se naziva i obična Jordanova metoda eliminacije. Suština ove metode je da se u jednoj od jednačina sistema (1.16) jedna od varijabli izražava u terminima drugih varijabli. Ova varijabla se zatim zamjenjuje drugim jednadžbama u sistemu. Rezultat je sistem koji sadrži jednu jednačinu i jednu varijablu manje od originalnog sistema. Pamti se jednačina iz koje je varijabla izražena.

Ovaj proces se ponavlja sve dok još jedna posljednja jednačina ne ostane u sistemu. Kroz proces eliminacije nepoznanica, neke jednačine mogu postati pravi identiteti, npr. Takve jednadžbe su isključene iz sistema, jer su zadovoljene za bilo koje vrijednosti varijabli i stoga ne utiču na rješenje sistema. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer), onda zaključujemo da sistem nema rješenja.

Ako se tokom rješavanja ne pojave kontradiktorne jednačine, tada se jedna od preostalih varijabli u njemu nalazi iz posljednje jednačine. Ako je u posljednjoj jednačini ostala samo jedna varijabla, onda se ona izražava brojem. Ako druge varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, one se smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija ovih parametara. Tada se odvija takozvani „obrnuti pokret“. Pronađena varijabla se zamjenjuje u posljednju zapamćenu jednačinu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memorisanu jednačinu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorisane jednačine.

Kao rezultat dobijamo rešenje sistema. Ovo rješenje će biti jedinstveno ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a zatim i sve ostale, zavise od parametara, tada će sistem imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje vam omogućavaju da pronađete rješenje za sistem ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sistema.

Primjer 1.11.

x

Nakon pamćenja prve jednačine i donoseći slične članove u drugoj i trećoj jednačini dolazimo do sistema:

Hajde da se izrazimo y iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednačinu:

Prisjetimo se druge jednačine, a iz prve nalazimo z:

Radeći unazad, stalno nalazimo y I z. Da bismo to učinili, prvo zamjenjujemo posljednju zapamćenu jednačinu, odakle nalazimo y:

.

Zatim ćemo ga zamijeniti u prvu naučenu jednačinu gde ga možemo naći x:

Problem 1.12. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.17)

Rješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Prisjetimo se prve jednadžbe

U ovom sistemu, prva i druga jednačina su kontradiktorne jedna drugoj. Zaista, izražavanje y , dobijamo da je 14 = 17. Ova jednakost ne vrijedi ni za jednu vrijednost varijabli x, y, And z. Shodno tome, sistem (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenje.

Pozivamo čitaoce da sami provjere da li je glavna determinanta originalnog sistema (1.17) jednaka nuli.

Razmotrimo sistem koji se od sistema (1.17) razlikuje samo po jednom slobodnom članu.

Problem 1.13. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.18)

Rješenje. Kao i ranije, izražavamo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Prisjetimo se prve jednadžbe i predstavljaju slične članove u drugoj i trećoj jednačini. Dolazimo do sistema:

Izražavanje y iz prve jednačine i zamjenjujući je u drugu jednačinu , dobijamo identitet 14 = 14, koji ne utiče na rešenje sistema, pa se stoga može isključiti iz sistema.

U posljednjoj zapamćenoj jednakosti, varijabla z smatraćemo to parametrom. Vjerujemo. Onda

Zamenimo y I z u prvu zapamćenu jednakost i pronalazak x:

.

Dakle, sistem (1.18) ima beskonačan broj rješenja, a bilo koje rješenje se može pronaći pomoću formule (1.19), odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Dakle, rješenja sistema, na primjer, su sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju općenito (bilo koje) rješenje sistema (1.18 ).

U slučaju kada originalni sistem (1.16) ima dovoljno veliki broj jednadžbi i nepoznanica, naznačena metoda obične Jordanove eliminacije izgleda glomazna. Međutim, to nije tačno. Dovoljno je izvesti algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata sistema u jednom koraku u opšti pogled i formulirati rješenje problema u obliku posebnih Jordanovih tabela.

Neka je zadan sistem linearnih oblika (jednačina):

, (1.20)
Gdje x j- nezavisne (tražene) varijable, a ij- konstantne kvote
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni delovi sistema y i (i = 1, 2,…, m) mogu biti ili varijable (zavisne) ili konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sistem uklanjanjem nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, od sada nazvanu “jedan korak običnih Jordanovih eliminacija”. Od proizvoljnog ( r th) jednakost izražavamo proizvoljnu varijablu ( xs) i zamijeniti sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs naziva se razlučujući (ponekad vodeći ili glavni) element.

Dobićemo sledeći sistem:

. (1.21)

Od s- jednakost sistema (1.21), zatim nalazimo varijablu xs(nakon što se pronađu preostale varijable). S-ti red se pamti i potom isključuje iz sistema. Preostali sistem će sadržavati jednu jednačinu i jednu nezavisnu varijablu manje od originalnog sistema.

Izračunajmo koeficijente rezultujućeg sistema (1.21) kroz koeficijente originalnog sistema (1.20). Počnimo sa r ta jednačina, koja nakon izražavanja varijable xs kroz preostale varijable to će izgledati ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednadžbe se izračunavaju korištenjem sljedećih formula:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(i¹ r) proizvoljna jednačina. Da bismo to učinili, zamijenimo varijablu izraženu u (1.22) xs V i jednačina sistema (1.20):

Nakon donošenja sličnih uslova, dobijamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobijamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sistema (1.21) (s izuzetkom r ta jednačina):

(1.25)
Transformacija sistema linearnih jednačina metodom obične Jordanove eliminacije prikazana je u obliku tabela (matrica). Ove tabele se nazivaju „jordanski stolovi“.

Dakle, problem (1.20) je povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tabela 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a je		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Jordanova tabela 1.1 sadrži lijevu kolonu zaglavlja u kojoj su upisani desni dijelovi sistema (1.20) i gornji red zaglavlja u koji su upisane nezavisne varijable.

Preostali elementi tabele čine glavnu matricu koeficijenata sistema (1.20). Ako pomnožite matricu A na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg reda naslova, dobijate matricu koja se sastoji od elemenata lijevog stupca naslova. To jest, u suštini, Jordanova tabela je matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: . Sistem (1.21) odgovara sljedećoj Jordanovoj tabeli:

Tabela 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Permisivni element a rs Istaknut ćemo ih podebljanim slovima. Podsjetimo da za implementaciju jednog koraka Jordanove eliminacije, element razrješenja mora biti različit od nule. Red tabele koji sadrži omogućavajući element naziva se red za omogućavanje. Stupac koji sadrži element omogućavanja naziva se stupac omogućavanja. Prilikom prelaska sa date na sljedeću tablicu, jedna varijabla ( xs) iz gornjeg reda zaglavlja tabele se pomera u lijevu kolonu zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sistema ( y r) se pomiče iz lijevog glavnog stupca tabele u gornji glavni red.

Opišimo algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata pri prelasku iz Jordanove tabele (1.1) u tabelu (1.2), što sledi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Razlučujući element je zamijenjen inverznim brojem:

2. Preostali elementi niza za razrješenje dijele se na razrješavajući element i mijenjaju predznak u suprotan:

3. Preostali elementi stupca rezolucije podijeljeni su na element rezolucije:

4. Elementi koji nisu uključeni u redak i stupac koji dozvoljavaju se ponovo izračunavaju pomoću formula:

Posljednju formulu je lako zapamtiti ako primijetite da su elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrsnici i-oh i r th linije i j th and s th kolone (razrješavajući red, razrješavajući stupac i red i kolona na čijem se presjeku nalazi ponovo izračunati element). Tačnije, prilikom pamćenja formule možete koristiti sljedeći dijagram:

-21 -26 -13 -37

Prilikom izvođenja prvog koraka Jordanovih izuzetaka, možete odabrati bilo koji element iz Tabele 1.3 koji se nalazi u stupcima kao element za rješavanje x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu nula). Samo nemojte odabrati element za omogućavanje u posljednjoj koloni, jer morate pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5. Na primjer, biramo koeficijent 1 sa promenljivom x 3 u trećem redu tabele 1.3 (element za omogućavanje je podebljan). Prilikom prelaska na tabelu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). U ovom slučaju, varijabla x 3 se izražava kroz preostale varijable.

String x 3 (Tabela 1.4) može se, nakon pamćenja unaprijed, isključiti iz Tabele 1.4. Treća kolona sa nulom u gornjem redu naslova takođe je isključena iz tabele 1.4. Poenta je da bez obzira na šanse ove kolone b i 3 svi odgovarajući članovi svake jednačine 0 b i 3 sistema će biti jednaka nuli. Stoga ove koeficijente nije potrebno izračunavati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sećajući se jedne od jednačina, dolazimo do sistema koji odgovara tabeli 1.4 (sa precrtanom linijom x 3). Odabir u tabeli 1.4 kao element za razrješenje b 14 = -5, idite na tabelu 1.5. U tabeli 1.5 zapamtite prvi red i isključite ga iz tabele zajedno sa četvrtom kolonom (sa nulom na vrhu).

Tabela 1.5 Tabela 1.6

Iz zadnje tabele 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Dosljedno zamjenjujući već pronađene varijable u zapamćene redove, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sistem ima bezbroj rješenja. Varijabilna x 5, mogu se dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sistema i pronašli njegovo generalno rješenje:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametar davanja t različita značenja, dobijamo beskonačan broj rješenja za originalni sistem. Tako, na primjer, rješenje sistema je sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).