Metoda Lagrangeovih množitelja je klasična metoda za rješavanje problema matematičkog programiranja (posebno konveksnog). Nažalost, u praktičnoj primjeni metode mogu se pojaviti značajne računske poteškoće, što sužava područje njegove upotrebe. Ovdje razmatramo Lagrangeovu metodu uglavnom zato što je to aparat koji se aktivno koristi za opravdavanje različitih modernih numeričkih metoda koje se široko koriste u praksi. Što se tiče Lagrangeove funkcije i Lagrangeovih množitelja, oni igraju nezavisnu i izuzetno važnu ulogu u teoriji i primjenama ne samo matematičkog programiranja.

Razmotrimo klasični problem optimizacije

max (min) z=f(x) (7.20)

Ovaj problem se razlikuje od problema (7.18), (7.19) po tome što među ograničenjima (7.21) nema nejednakosti, nema uslova za nenegativnost varijabli, njihovu diskretnost i funkcije f(x ) su kontinuirani i imaju parcijalne derivate najmanje drugog reda.

Klasični pristup rješavanju problema (7.20), (7.21) daje sistem jednačina ( neophodne uslove), koja mora biti zadovoljena točkom x* koja daje funkciji f(x) lokalni ekstrem na skupu tačaka koje zadovoljavaju ograničenja (7.21) (za problem konveksnog programiranja, tačka x* je pronađena, u skladu sa Teorema 7.6, takođe će biti tačka globalnog ekstrema).

Pretpostavimo da u tački x* funkcija (7.20) ima lokalni uslovni ekstrem i da je rang matrice . Tada se potrebni uslovi mogu zapisati kao:

(7.22)

je Lagrangeova funkcija; su Lagrangeovi množitelji.

Postoje i dovoljni uslovi pod kojima rešenje sistema jednačina (7.22) određuje tačku ekstrema funkcije f(x). Ovo pitanje je riješeno na osnovu proučavanja predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije. Međutim, dovoljni uslovi su uglavnom od teorijskog interesa.

Može se ukazati na sljedeću proceduru rješavanja problema (7.20), (7.21) Lagrangeovom metodom množitelja:

1) sastaviti Lagrangeovu funkciju (7.23);

2) naći parcijalne izvode Lagrangeove funkcije u odnosu na sve varijable i izjednačiti ih sa nulom. Tako će se dobiti sistem (7.22) koji se sastoji od jednačina. Riješite rezultujući sistem (ako se pokaže da je moguće!) i na taj način pronađite sve stacionarne tačke Lagrangeove funkcije;

3) iz stacionarnih tačaka, uzetih bez koordinata, izabrati tačke u kojima funkcija f(x) ima uslovne lokalne ekstreme u prisustvu ograničenja (7.21). Ovaj izbor se vrši, na primjer, korištenjem dovoljnih uslova lokalni ekstrem. Često se studija pojednostavljuje ako se koriste specifični uslovi problema.

Primjer 7.3. Pronađite optimalnu distribuciju ograničenog resursa u jedinicama. između n potrošača, ako se dobit dobijena pri alokaciji x j jedinica resursa j-tom potrošaču izračunava po formuli .

Rješenje. Matematički model problema ima sljedeći oblik:

Sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

.

Mi nalazimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije i izjednačiti ih sa nulom:

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijamo:

Dakle, ako je j-tom potrošaču dodijeljena jedinica. resursa, tada će ukupna dobit dostići maksimalnu vrijednost i iznositi den. jedinice

Razmotrili smo Lagrangeovu metodu primijenjenu na klasični problem optimizacije. Ovu metodu je moguće generalizirati na slučaj kada su varijable nenegativne i neka ograničenja su data u obliku nejednakosti. Međutim, ova generalizacija je pretežno teorijska i ne dovodi do specifičnih računskih algoritama.

Na kraju, dajemo Lagrangeove množitelje ekonomska interpretacija. Da bismo to učinili, okrećemo se najjednostavnijem klasičnom problemu optimizacije

max (min) z=f(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7.25)

Pretpostavimo da je uslovni ekstremum postignut u tački . Odgovarajuća ekstremna vrijednost funkcije f(x)

Pretpostavimo da je u ograničenjima (7.25) veličina b može se promijeniti, tada koordinate tačke ekstrema, a samim tim i vrijednost ekstrema f* funkcije f(x) će postati količine u zavisnosti od b, tj. ,, i stoga derivacija funkcije (7.24)

Joseph Louis Lagrange rođen je u Torinu (Italija) u italijansko-francuskoj porodici. Studirao je, a potom predavao u Artiljerijskoj školi. Godine 1759., na preporuku Eulera, 23-godišnji Lagrange je izabran za člana Berlinske akademije nauka. Godine 1766. već je postao njen predsjednik. Fridrih II je pozvao Lagranža u Berlin. Nakon smrti Fridrika II 1786. godine, Lagrange se preselio u Pariz. Od 1722. bio je član Pariške akademije nauka, 1795. imenovan je za člana Biroa za geografske dužine i aktivno je učestvovao u stvaranju metričkog sistema mjera. Krug naučno istraživanje Lagrange je bio neobično širok. Posvećeni su mehanici, geometriji, matematičkoj analizi, algebri, teoriji brojeva, kao i teorijskoj astronomiji. Glavni pravac Lagrangeovog istraživanja bio je prikaz najrazličitijih pojava u mehanici sa jedne tačke gledišta. On je izveo jednačinu koja opisuje ponašanje bilo kog sistema pod dejstvom sila. Na polju astronomije, Lagrange je učinio mnogo da riješi problem stabilnosti Solarni sistem; dokazali su neke posebne slučajeve stabilnog kretanja, posebno za mala tijela smještena u takozvanim trokutastim libracijskim točkama.

Lagrangeova metoda je metoda za rješavanje problema uslovna optimizacija, gdje su ograničenja, napisana kao implicitne funkcije, kombinirana sa ciljnom funkcijom u obliku nove jednadžbe tzv. Lagranžijan.

Razmotrimo poseban slučaj opšteg problema nelinearnog programiranja:

Dat je sistem nelinearnih jednačina (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Pronađite najmanju (ili najveću) vrijednost funkcije (2)

(2) f (h1,h2,…,hn),

ako nema uslova za nenegativnost varijabli i f(x1,x2,…,xn) i gi(x1,x2,…,xn) su funkcije koje su kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim derivatima.

Da biste pronašli rješenje za ovaj problem, možete primijeniti sljedeću metodu: 1. Unesite skup varijabli λ1, λ2,…, λm, koji se nazivaju Lagrangeovi množitelji, čine Lagrangeovu funkciju (3)

(3) F(h1,h2,…,hn , λ1,λ2,…,λm) = f(h1,h2,…,hn)+ λi .

2. Naći parcijalne izvode Lagrangeove funkcije u odnosu na varijable xi i λi i izjednačiti ih sa nulom.

3. Rješavajući sistem jednačina, pronaći tačke u kojima ciljna funkcija problema može imati ekstrem.

4. Među tačkama za koje se sumnja da nisu ekstremu, pronalaze one u kojima je ekstremum dostignut i izračunavaju vrijednosti funkcije u tim tačkama .

4. Uporedite dobijene vrednosti funkcije f i izaberite najbolju.

Prema planu proizvodnje, preduzeće treba da proizvede 180 proizvoda. Ovi proizvodi se mogu proizvoditi na dva tehnološka načina. U proizvodnji proizvoda x1 metodom I, troškovi su 4 * x1 + x1 ^ 2 rublje, a u proizvodnji x2 proizvoda metodom II oni su 8 * x2 + x2 ^ 2 rublje. Odredite koliko proizvoda svaki od načina treba napraviti, tako da ukupni trošak proizvodnje bude minimalan.

Rješenje: Matematička formulacija problema sastoji se u određivanju najmanju vrijednost funkcije dvije varijable:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, pod uslovom da je x1 +x2 = 180.

Sastavimo Lagrangeovu funkciju:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Izračunavamo njegove parcijalne derivacije u odnosu na x1, x2, λ i izjednačavamo ih sa 0:

Prve dvije jednačine λ prenesemo na desne strane i izjednačimo njihove lijeve strane, dobićemo 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, ili x1 − x2 = 2.

Rešavajući poslednju jednačinu zajedno sa jednačinom x1 + x2 = 180, nalazimo x1 = 91, x2 = 89, odnosno dobili smo rešenje koje zadovoljava uslove:

Hajde da nađemo vrednost ciljna funkcija f sa ovim vrijednostima varijabli:

F(x1, x2) = 17278

Ova tačka je sumnjiva za ekstrem. Koristeći druge parcijalne izvode, možemo pokazati da u tački (91.89) funkcija f ima minimum.

metoda množenjaLagrange(u engleskoj literaturi "LaGrangeova metoda neodređenih množitelja") ˗ ovo je numerička metoda za rješavanje problema optimizacije koja vam omogućava da odredite "uslovni" ekstremum funkcije cilja (minimalna ili maksimalna vrijednost)

u prisustvu datih ograničenja na njegove varijable u obliku jednakosti (tj. definiran je raspon dopuštenih vrijednosti)

˗ to su vrijednosti argumenta funkcije (kontrolirani parametri) na realnom području u kojem vrijednost funkcije teži ekstremumu. Upotreba naziva "uslovni" ekstrem je zbog činjenice da su varijable nametnute dodatni uslov, što ograničava raspon dozvoljenih vrijednosti pri traženju ekstrema funkcije.

Metoda Lagrangeovog množitelja dozvoljava problem pretraživanja uslovni ekstrem ciljnu funkciju na skupu dopuštenih vrijednosti za transformaciju u problem neograničene optimizacije funkcije.

Ako funkcije I su neprekidne zajedno sa svojim parcijalnim derivatima, onda postoje varijable λ koje nisu istovremeno jednake nuli, pod kojima je zadovoljen sljedeći uvjet:

Dakle, u skladu sa metodom Lagrangeovih množitelja za traženje ekstrema ciljne funkcije na skupu dozvoljenih vrijednosti, sastavljam Lagrangeovu funkciju L(x, λ), koja se dalje optimizira:

gdje je λ ˗ vektor dodatnih varijabli koji se nazivaju neodređeni Lagrangeovi množitelji.

Dakle, problem nalaženja uslovnog ekstremuma funkcije f(x) sveden je na problem nalaženja bezuslovnog ekstremuma funkcije L(x, λ).

I

Neophodan uslov za ekstremum Lagrangeove funkcije je dat sistemom jednačina (sistem se sastoji od "n + m" jednačina):

Rješenje ovog sistema jednadžbi omogućava određivanje argumenata funkcije (X), pri čemu vrijednost funkcije L(x, λ), kao i vrijednost ciljne funkcije f(x) odgovara ekstrem.

Vrijednost Lagrangeovih množitelja (λ) je od praktičnog interesa ako su ograničenja predstavljena u obliku sa slobodnim članom jednačine (konstantom). U ovom slučaju možemo dalje razmatrati (povećanje/smanjenje) vrijednost ciljne funkcije promjenom vrijednosti konstante u sistemu jednačina. Dakle, Lagrangeov množitelj karakterizira brzinu promjene maksimuma ciljne funkcije s promjenom granične konstante.

Postoji nekoliko načina da se odredi priroda ekstrema rezultirajuće funkcije:

Prvi način: Neka - koordinate tačke ekstrema, i - odgovarajuća vrijednost funkcije cilja. Uzima se tačka koja je blizu tačke i izračunava se vrednost funkcije cilja:

Ako , tada postoji maksimum u tački.

Ako , tada postoji minimum u tački.

Drugi način: dovoljan uslov iz kojeg se može odrediti priroda ekstrema je znak drugog diferencijala Lagrangeove funkcije. Drugi diferencijal Lagrangeove funkcije definiran je na sljedeći način:

Ako u datom trenutku minimum, ako , tada ciljna funkcija f(x) ima uslovnu maksimum.

Treći način: Također, priroda ekstrema funkcije može se pronaći razmatranjem Hessiana Lagrangeove funkcije. Hessian matrica je simetrična kvadratna matrica drugih parcijalnih izvoda funkcije u točki gdje su elementi matrice simetrični oko glavne dijagonale.

Da biste odredili tip ekstrema (maksimum ili minimum funkcije), možete koristiti Sylvesterovo pravilo:

1. Da bi drugi diferencijal Lagrangeove funkcije bio pozitivnog predznaka neophodno je da ugaoni minori funkcije budu pozitivni. Pod takvim uslovima, funkcija u ovom trenutku ima minimum.

2. Da bi drugi diferencijal Lagrangeove funkcije bio predznak negativan , potrebno je da se kutni minori funkcije izmjenjuju, a prvi element matrice mora biti negativan sv. Pod takvim uslovima, funkcija ima maksimum u ovoj tački.

Ugaoni minor je minor koji se nalazi u prvih k redova i k stupaca originalne matrice.

Glavni praktični značaj Lagrangeove metode je da vam omogućava da pređete s uvjetne optimizacije na bezuvjetnu i, shodno tome, proširite arsenal dostupne metode rješavanje problema. Međutim, problem rješavanja sistema jednačina, na koji se ova metoda svodi, u opšti slučaj nije jednostavniji od prvobitnog problema nalaženja ekstrema. Takve metode se nazivaju indirektne. Njihova upotreba objašnjava se potrebom da se dobije rješenje ekstremnog problema u analitičkom obliku (na primjer, za određene teorijske proračune). Prilikom rješavanja konkretnih praktičnih problema obično se koriste direktne metode zasnovane na iterativnim procesima izračunavanja i poređenja vrijednosti funkcija koje se optimiziraju.

Metoda obračuna

1 korak: Određujemo Lagrangeovu funkciju iz date funkcije cilja i sistema ograničenja:

Naprijed

Da biste dodali svoj komentar na članak, molimo vas da se registrujete na sajtu.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

sastoji se u zamjeni proizvoljnih konstanti ck u općem rješenju

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

odgovarajući homogena jednačina

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

na pomoćne funkcije ck(t) čiji derivati ​​zadovoljavaju linearni algebarski sistem

Determinanta sistema (1) je Wronskian funkcija z1,z2,...,zn, što osigurava njegovu jedinstvenu rješivost u odnosu na .

Ako su antiderivati ​​za uzeti pri fiksnim vrijednostima konstanti integracije, onda je funkcija

je rješenje originalne linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe. Integracija nehomogena jednačina u prisustvu općeg rješenja odgovarajuće homogene jednačine, svodi na kvadrature.

Lagrangeova metoda (metoda varijacije proizvoljnih konstanti)

Metoda za dobijanje opšteg rešenja nehomogene jednačine, poznavanje opšteg rešenja homogene jednačine bez pronalaženja posebnog rešenja.

Za linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu n-tog reda

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

gdje je y = y(x) nepoznata funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) su poznati, kontinuirani, istiniti: 1) postoji n linearno nezavisne odluke jednačine y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) za bilo koje vrijednosti konstanti c1, c2, ..., cn, funkcija y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) je rješenje jednadžbe; 3) za bilo koje početne vrijednosti x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1, postoje vrijednosti c*1, c*n, ..., c*n takve da je rješenje y*(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) zadovoljava za x = x0 početne uslove y*(x0)=y0, ( y*)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Izraz y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) naziva se zajedničko rešenje linearna homogena diferencijalna jednadžba n-tog reda.

Skup od n linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda y1(x), y2(x), ..., yn(x) naziva se osnovni sistem rješenja jednačine.

Za linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu sa konstantni koeficijenti postoji jednostavan algoritam za konstruisanje fundamentalnog sistema rešenja. Tražit ćemo rješenje jednadžbe u obliku y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, tj. broj l je korijen karakteristična jednačina ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Lijeva strana karakteristične jednadžbe naziva se karakterističnim polinomom linearne diferencijalne jednadžbe: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Tako se problem rješavanja linearne homogene jednadžbe n-tog reda s konstantnim koeficijentima svodi na rješavanje algebarske jednadžbe.

Ako karakteristična jednadžba ima n različitih realnih korijena l1№ l2 № ... № ln, tada se osnovni sistem rješenja sastoji od funkcija y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), a opšte rješenje homogene jednadžbe je: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

fundamentalni sistem rješenja i opšte rješenje za slučaj jednostavnih realnih korijena.

Ako se bilo koji od realnih korijena karakteristične jednadžbe ponovi r puta (r-preklopni korijen), tada mu r funkcija odgovara u osnovnom sistemu rješenja; ako je lk=lk+1 = ... = lk+r-1, onda in fundamentalni sistem rješenja jednadžbe, postoje r funkcije: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).

PRIMJER 2. Osnovni sistem rješenja i opšte rješenje za slučaj višestrukih realnih korijena.

Ako karakteristična jednadžba ima kompleksne korijene, tada svaki par jednostavnih (množenosti 1) kompleksnih korijena lk,k+1=ak ± ibk u osnovnom sistemu rješenja odgovara paru funkcija yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

PRIMJER 4. Osnovni sistem rješenja i opšte rješenje za slučaj jednostavnih kompleksnih korijena. imaginarni koreni.

Ako kompleksni par korijena ima višestrukost r, onda takav par lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, u osnovnom sistemu rješenja odgovara funkcijama exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

PRIMJER 5. Osnovni sistem rješenja i opšte rješenje za slučaj višestrukih kompleksnih korijena.

Dakle, da bi se pronašlo opšte rešenje linearne homogene diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima, treba: zapisati karakterističnu jednačinu; pronaći sve korijene karakteristične jednadžbe l1, l2, ... , ln; zapisati osnovni sistem rješenja y1(x), y2(x), ..., yn(x); napišite izraz za opšte rješenje y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Da bismo riješili Cauchyjev problem, moramo zamijeniti izraz za opšte rješenje u početne uslove i odrediti vrijednosti konstanti c1,..., cn, koje su rješenja sistema linearnih algebarske jednačine c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Za linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu n-tog reda

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

gdje je y = y(x) nepoznata funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) su poznate, kontinuirane, važeće: 1 ) ako su y1(x) i y2(x) dva rješenja nehomogene jednadžbe, tada je funkcija y(x) = y1(x) - y2(x) rješenje odgovarajuće homogene jednačine; 2) ako je y1(x) rješenje nehomogene jednadžbe, a y2(x) rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, tada je funkcija y(x) = y1(x) + y2(x) rješenje za nehomogena jednačina; 3) ako su y1(x), y2(x), ..., yn(x) n linearno nezavisnih rješenja homogene jednadžbe, a ych(x) - proizvoljna odluka nehomogena jednačina, tada za bilo koje početne vrijednosti x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 postoje vrijednosti c*1, c*n, ..., c*n takve da rješenje y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) zadovoljava za x = x0 početne uslove y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Izraz y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) naziva se općim rješenjem linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda.

Pronaći pojedinačna rješenja nehomogenih diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima sa desnim stranama oblika: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), gdje su Pk(x), Qm(x) polinomi stepena k i m u skladu s tim, postoji jednostavan algoritam za konstruisanje određenog rješenja, koji se zove metoda selekcije.

Metoda odabira, odnosno metoda neizvjesnih koeficijenata je sljedeća. Željeno rješenje jednadžbe se zapisuje kao: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, gdje su Pr(x), Qr(x) polinomi stepena r = max(k, m) sa nepoznatim koeficijentima pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Faktor xs naziva se rezonantni faktor. Rezonancija se dešava u slučajevima kada među korijenima karakteristične jednačine postoji korijen l = a ± ib višestrukosti s. One. ako među korijenima karakteristične jednadžbe odgovarajuće homogene jednadžbe postoji takav da se njen realni dio poklapa s koeficijentom u eksponentu eksponenta, a imaginarni dio se poklapa s koeficijentom u argumentu trigonometrijske funkcije na desnoj strani jednadžbe, i višestrukost ovog korijena s, onda u željenom određenom rješenju postoji rezonantni faktor xs. Ako ne postoji takva koincidencija (s=0), onda nema rezonantnog faktora.

Zamjenom izraza za određeno rješenje na lijevoj strani jednačine, dobijamo generalizovani polinom istog oblika kao i polinom na desnoj strani jednačine, čiji su koeficijenti nepoznati.

Dva generalizovana polinoma su jednaka ako i samo ako su koeficijenti faktora oblika xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) sa istim stepenom t jednaki. Izjednačavanjem koeficijenata takvih faktora dobijamo sistem od 2(r+1) linearnih algebarskih jednadžbi u 2(r+1) nepoznanica. Može se pokazati da je takav sistem konzistentan i da ima jedinstveno rješenje.

• tutorial

Dobar dan svima. U ovom članku želim pokazati jednu od grafičke metode zgrada matematički modeli za dinamičke sisteme, što se zove graf obveznica("veza" - veze, "graf" - graf). U ruskoj literaturi sam pronašao opise ove metode samo u Udžbeniku Tomskog politehničkog univerziteta, A.V. Voronin "MODELIRANJE MEHATRONIČKIH SISTEMA" 2008. Takođe prikazati klasičnu metodu kroz Lagranžovu jednačinu 2. vrste.

Lagrangeova metoda

Neću slikati teoriju, pokazaću faze proračuna i uz nekoliko komentara. Osobno, lakše je učiti iz primjera nego čitati teoriju 10 puta. Činilo mi se da je u ruskoj literaturi objašnjenje ove metode, a zapravo i matematike ili fizike, veoma puno složenih formula, što, shodno tome, zahtijeva ozbiljnu matematičku pozadinu. Dok sam studirao Lagrangeovu metodu (studiram na Politehničkom univerzitetu u Torinu, Italija), proučavao sam rusku literaturu kako bih uporedio metode proračuna i bilo mi je teško pratiti tok rješavanja ove metode. Čak i prisjećajući se kurseva modeliranja na Harkovskom vazduhoplovnom institutu, izvođenje takvih metoda bilo je vrlo glomazno i ​​niko se nije trudio da shvati ovo pitanje. Ovo sam odlučio napisati, priručnik za pravljenje modela prostirki po Lagrangeu, kako se pokazalo, nije nimalo teško, dovoljno je znati izračunati vremenske i parcijalne izvode. Za složenije modele dodaju se matrice rotacije, ali ni u njima nema ništa komplicirano.

Karakteristike metoda modeliranja:

• Newton Euler: vektorske jednačine zasnovane na dinamičkoj ravnoteži sile (sila) I momente
• Lagrange: skalarne jednadžbe zasnovane na funkcijama stanja koje se odnose na kinetičku i potencijalnu energije
• graf obveznica: metoda zasnovana na protoku snaga (snaga) između elemenata sistema

Počnimo s jednostavnim primjerom. Težina sa oprugom i amortizerom. Zanemarujemo silu gravitacije.

Slika 1. Težina sa oprugom i amortizerom

Prije svega definiramo:

• početni koordinatni sistem(NSK) ili fiksni sk R0(i0,j0,k0). Gdje? Možete gurnuti prst u nebo, ali trzanjem vrhova neurona u mozgu, ideja da se NSC stavi na liniju kretanja tijela M1 prolazi.
• koordinatni sistem za svako tijelo sa masom(imamo M1 R1(i1,j1,k1)), orijentacija može biti proizvoljna, ali zašto si komplicirati život, mi ga postavljamo sa minimalnom razlikom od NSC-a
• generalizovane koordinate q_i(minimalni broj varijabli koje mogu opisati kretanje), u ovom primjeru, jedna generalizirana koordinata, kretanje samo duž j ose

Slika 2. Zapisivanje koordinatnih sistema i generalizovanih koordinata

Slika 3. Položaj i brzina tijela M1

Nakon što pronađemo kinetičku (C) i potencijalnu (P) energiju i disipativnu funkciju (D) za prigušivač prema formulama:

Slika 4. Puna formula kinetička energija

U našem primjeru nema rotacije, druga komponenta je 0.

Slika 5. Proračun kinetičke, potencijalne energije i disipativne funkcije

Lagrangeova jednadžba ima sljedeći oblik:

Slika 6. Lagrangeova jednadžba i Lagranžijan

Delta W_i to je virtuelni rad koji obavljaju primijenjene sile i momenti. Hajde da ga pronađemo:

Slika 7. Obračun virtuelnog rada

Gdje delta q_1 virtuelni potez.

Sve zamjenjujemo u Lagrangeovu jednačinu:

Slika 8. Dobiveni model mase sa oprugom i amortizerom

Tu je Lagrangeova metoda završila. Kao što vidite, nije tako teško, ali ovo je ipak vrlo jednostavan primjer, za koji bi Newton-Eulerova metoda najvjerovatnije bila još jednostavnija. Za složenije sisteme, gdje će biti nekoliko tijela rotiranih jedno u odnosu na drugo pod različitim uglovima, Lagrangeova metoda će biti lakša.

Metoda grafa obveznica

Odmah ću vam pokazati kako model izgleda na grafu veza za primjer s masom opruge i amortizera:

Slika 9. Bond-graf masa sa oprugom i amortizerom

Ovdje moramo reći malo teorije, što je dovoljno za izgradnju jednostavni modeli. Ako je neko zainteresovan, može pročitati knjigu ( Metodologija Bondovog grafa) ili ( Voronin A.V. Modeliranje mehatroničkih sistema: tutorial. - Tomsk: Izdavačka kuća Tomskog politehničkog univerziteta, 2008).

Hajde da prvo definišemo da se kompleksni sistemi sastoje od nekoliko domena. Na primjer, električni motor se sastoji od električnih i mehaničkih dijelova ili domena.

graf obveznica zasniva se na razmjeni energije između ovih domena, podsistema. Imajte na umu da je razmjena snage, bilo kojeg oblika, uvijek određena dvije varijable ( varijabilne snage) uz pomoć kojih možemo proučavati interakciju različitih podsistema kao dijela dinamičkog sistema (vidi tabelu).

Kao što se vidi iz tabele, izraz snage je skoro svuda isti. Ukratko, Snaga- Ovaj rad" protok - f" na " napori - e».

Napor(engleski) napor) u električnom domenu to je napon (e), u mehaničkom domenu to je sila (F) ili moment (T), u hidraulici pritisak (p).

Protok(engleski) protok) u električnom domenu to je struja (i), u mehaničkom domenu to je brzina (v) ili ugaona brzina (omega), u hidraulici je to protok ili protok fluida (Q).

Uzimajući ove notacije, dobijamo izraz za snagu:

Slika 10. Formula snage u smislu varijabli snage

U jeziku grafova veza, veza između dva podsistema koji razmjenjuju snagu predstavljena je vezom. obveznica). Zato se ova metoda i zove graf obveznica ili g raf veze, povezani graf. Razmislite blok dijagram veze u modelu sa elektromotorom (ovo još nije graf veze):

Slika 11. Blok dijagram toka snage između domena

Ako imamo izvor napona, onda on u skladu s tim stvara napon i daje ga motoru na premotavanje (dakle, strelica je usmjerena prema motoru), ovisno o otporu namotaja, pojavljuje se struja prema Ohmovom zakonu (usmjerena od motora do izvora). Prema tome, jedna varijabla je ulaz u podsistem, a druga mora biti neophodna. izlaz iz podsistema. Ovdje je napon ( napor) – ulaz, struja ( protok) - Izlaz.

Ako koristite izvor struje, kako će se dijagram promijeniti? U redu. Struja će biti usmjerena na motor, a napon na izvor. Zatim struja ( protok) – ulaz, napon ( napor) - Izlaz.

Razmotrimo primjer iz mehanike. Sila koja djeluje na masu.

Slika 12. Sila primijenjena na masu

Blok dijagram će biti sljedeći:

Slika 13. blok dijagram

U ovom primjeru, snaga ( napor) je ulazna varijabla za masu. (sila primijenjena na masu)
Prema drugom Newtonovom zakonu:

Masa odgovara brzinom:

U ovom primjeru, ako jedna varijabla ( sila - napor) je ulaz u mehaničku domenu, zatim drugu varijablu snage ( brzina - protok) - automatski postaje izlaz.

Za razlikovanje gdje je ulaz, a gdje izlaz, koristi se okomita linija na kraju strelice (veza) između elemenata, ova linija se naziva znak uzročnosti ili uzročnost (uzročnost). Ispostavilo se: primijenjena sila je uzrok, a brzina je posljedica. Ovaj znak je veoma važan za ispravnu konstrukciju modela sistema, jer je kauzalnost posledica fizičkog ponašanja i razmene snage dva podsistema, pa izbor lokacije znaka uzročnosti ne može biti proizvoljan.

Slika 14. Notacija uzročnosti

Ova vertikalna linija pokazuje koji podsistem prima silu ( napor) i, kao posljedicu, proizvesti tok ( protok). U masovnom primjeru to bi izgledalo ovako:

Slika 14. Uzročnost za silu koja djeluje na masu

Strelicom je jasno da je ulaz za masu - sila, a izlaz je brzina. To se radi kako se ne bi zatrpala shema i sistematizacija zgrade modela strelicama.

Sledeća važna tačka. Generalizovani momentum(količina pokreta) i kreće se(energetske varijable).

Tabela varijabli snage i energije u različitim domenima

Gornja tabela predstavlja dvije dodatne fizičke veličine koje se koriste u metodi grafa veza. Zovu se generalizovani zamah (R) I generalizovani pomak (q) ili energetske varijable, a one se mogu dobiti integracijom varijabli snage tokom vremena:

Slika 15. Odnos između varijabli snage i energije

U domenu električne energije :

Prema Faradejevom zakonu, voltaža na krajevima provodnika jednak je derivatu magnetskog fluksa kroz ovaj provodnik.

A Snaga struje - fizička količina, jednak omjeru količine naboja Q koji je prošao neko vrijeme t kroz poprečni presjek provodnika, prema vrijednosti ovog vremenskog intervala.

Mehanički domen:

Iz Njutnovog 2. zakona, Force je vremenski izvod zamaha

I shodno tome, brzina- vremenski derivat pomaka:

Hajde da generalizujemo:

Osnovni elementi

Svi elementi u dinamičkim sistemima mogu se podijeliti na dvopolne i četveropolne komponente.
Razmislite bipolarne komponente:

Izvori
Izvori su i napor i tok. Analogija u električnoj domeni: izvor napora – izvor napona, izvor protoka – izvor struje. Uzročni znaci za izvore trebaju biti samo takvi.

Slika 16. Uzročne veze i označavanje izvora

R komponenta – disipativni element

Komponenta I – inercijski element

Komponenta C – kapacitivni element

Kao što se može vidjeti iz slika, različiti elementi istog tip R,C,I opisani istim jednadžbama. SAMO postoji razlika za električni kapacitet, samo je treba zapamtiti!

Kvadripolne komponente:

Razmotrimo dvije komponente transformatora i žiratora.

Posljednje važne komponente u metodi grafa veze su veze. Postoje dvije vrste čvorova:

Ovo je kraj komponenti.

Glavni koraci za utvrđivanje uzročno-posledičnih veza nakon izgradnje grafa veza:

1. Stavite uzročnost na sve izvori
2. Prođite kroz sve čvorove i zapišite uzročne veze nakon tačke 1
3. Za komponente I dodijeliti ulaznu uzročnost (napor je uključen u ovu komponentu), za komponente C dodijeliti izlaznu uzročnost (napor dolazi iz ove komponente)
4. Ponovite tačku 2
5. Nacrtajte uzročne veze za R komponente

Ovim je završen mini tečaj teorije. Sada imamo sve što nam je potrebno za izradu modela.
Hajde da riješimo par primjera. Počnimo sa električni krug, bolje je razumjeti analogiju izgradnje grafa veze.

Primjer 1

Počnimo da gradimo graf veze iz izvora napona. Samo napišite Se i stavite strelicu.

Vidite sve je jednostavno! Gledamo dalje, R i L su spojeni serijski, što znači da u njima teče ista struja, ako govorimo u smislu varijabli snage - isti protok. Koji čvor ima isti tok? Tačan odgovor je 1-čvor. Priključujemo izvor, otpor (komponenta - R) i induktivnost (komponenta - I) na 1-čvor.

Zatim imamo kapacitet i otpor paralelno, što znači da imaju isti napon ili silu. 0-čvor će odgovarati kao nijedan drugi. Povezujemo kapacitivnost (komponenta C) i otpor (komponenta R) na 0-čvor.

Čvorovi 1 i 0 su također međusobno povezani. Smjer strelica se bira proizvoljno, smjer veze utječe samo na predznak u jednadžbi.

Nabavite sljedeći grafikon veza:

Sada moramo da umanjimo uzročno-posledične veze. Slijedeći upute za redoslijed njihovog postavljanja, počnimo s izvorom.

1. Imamo izvor stresa (napora), takav izvor ima samo jednu uzročnu opciju – izlaz. Mi smo stavili.
2. Zatim postoji komponenta I, gledamo šta se preporučuje. Mi smo stavili
3. Stavili smo dolje za 1-čvor. Jedi
4. 0-čvor mora imati jedan ulaz i sve izlazne uzročne veze. Imamo jedan slobodan dan. Tražimo komponente C ili I. Pronađene. Mi smo stavili
5. Prikazujem šta je ostalo

To je sve. Bond-graf izgrađen. Ura, drugovi!

Jedino što je preostalo je da napišemo jednačine koje opisuju naš sistem. Da bismo to uradili, kreiraćemo tabelu sa 3 kolone. Prvi će sadržavati sve komponente sistema, drugi će sadržavati ulaznu varijablu za svaki element, a treći će sadržavati izlaznu varijablu za istu komponentu. Ulaz i izlaz smo već odredili po uzročnosti. Tako da ne bi trebalo biti nikakvih problema.

Označimo svaku vezu radi lakšeg pisanja jednačina. Uzimamo jednačine za svaki element sa liste komponenti C, R, I.

Nakon što smo sastavili tabelu, definišemo varijable stanja, u ovom primeru postoje 2, p3 i q5. Zatim morate napisati jednadžbe stanja:

To je sve što je model spreman.

Primjer 2. Samo želim da se izvinim za kvalitet fotografije, glavna stvar je da možete čitati

Rešimo još jedan primjer za mehanički sistem, isti onaj koji smo riješili Lagrangeovom metodom. Rešenje ću pokazati bez komentara. Provjerimo koja je od ovih metoda jednostavnija, lakša.

U matballu su oba modela strunjača sastavljena sa istim parametrima, dobijenim Lagrangeovom metodom i bond-grafom. Rezultat ispod: Dodajte oznake