Način rada diskretne slučajne varijable je njena vrijednost. Medijan i mod kontinuirane slučajne varijable

Među numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli potrebno je prije svega istaći one koje karakteriziraju položaj slučajne varijable na numeričkoj osi, tj. označavaju neku prosječnu, približnu vrijednost oko koje se grupišu sve moguće vrijednosti slučajne varijable.

Prosječna vrijednost slučajna varijabla postoji određeni broj koji je, takoreći, njegov „predstavnik“ i zamjenjuje ga u grubim približnim proračunima. Kada kažemo: "prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati" ili "prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno", ukazujemo na određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokaciju. na numeričkoj osi, tj. "karakteristike položaja".

Od karakteristika pozicije u teoriji vjerovatnoće, najvažniju ulogu igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koje se ponekad naziva jednostavno prosječnom vrijednošću slučajne varijable.

Hajde da razmotrimo diskretnu slučajnu promenljivu koja ima moguće vrednosti sa verovatnoćama. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerovatnoće. U tu svrhu prirodno je koristiti takozvani „ponderisani prosek“ vrednosti, a svaku vrednost prilikom usrednjavanja treba uzeti u obzir sa „težinom“ proporcionalnom verovatnoći ove vrednosti. Stoga ćemo izračunati prosjek slučajne varijable, koju ćemo označiti sa:

ili, s obzirom na to,

. (5.6.1)

Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Tako smo uveli u razmatranje jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičko očekivanje.

Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.

Imajte na umu da u gornjoj formulaciji definicija matematičkog očekivanja vrijedi, striktno govoreći, samo za diskretne slučajne varijable; U nastavku ćemo generalizirati ovaj koncept na slučaj kontinuiranih veličina.

Kako bismo koncept matematičkog očekivanja učinili jasnijim, okrenimo se mehaničkom tumačenju distribucije diskretne slučajne varijable. Neka postoje točke s apscisa na osi apscisa, u kojima su koncentrisane mase, respektivno, i . Tada, očigledno, matematičko očekivanje definisano formulom (5.6.1) nije ništa drugo do apscisa centra gravitacije datog sistema materijalnih tačaka.

Matematičko očekivanje slučajne varijable povezano je osebujnom zavisnošću sa aritmetičkom sredinom posmatranih vrednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Ova zavisnost je istog tipa kao i zavisnost između učestalosti i verovatnoće, naime: kod velikog broja eksperimenata, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable približava se (konvergira u verovatnoći) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisustva veze između frekvencije i vjerovatnoće može se zaključiti kao posljedica prisutnost slične veze između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja.

Zaista, razmotrite diskretnu slučajnu varijablu koju karakterizira niz distribucije:

Gdje .

Neka se izvode nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih količina poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo da se vrijednost pojavila jednom, vrijednost se pojavila jednom, a vrijednost jednom. Očigledno,

Izračunajmo aritmetičku sredinu posmatranih vrijednosti veličine koju, za razliku od matematičkog očekivanja, označavamo:

Ali ne postoji ništa više od učestalosti (ili statističke vjerovatnoće) događaja; ova frekvencija se može odrediti. Onda

,

one. aritmetička sredina posmatranih vrijednosti slučajne varijable jednaka je zbroju proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i frekvencija ovih vrijednosti.

Kako se broj eksperimenata povećava, frekvencije će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Posljedično, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) njenom matematičkom očekivanju kako se broj eksperimenata povećava.

Gore formulisana veza između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva. Daćemo rigorozan dokaz ovog zakona u Poglavlju 13.

Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su neki prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Ovdje govorimo o stabilnosti aritmetičke sredine iz serije opažanja iste veličine. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo neslučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.

Stabilnost prosjeka u velikom broju eksperimenata može se lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, prilikom vaganja tijela u laboratoriji precizne skale, kao rezultat vaganja, svaki put dobijamo novu vrijednost; Da bismo smanjili grešku u promatranju, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobivenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na to povećanje i, uz dovoljno veliki broj eksperimenata, praktično prestaje da se menja.

Formula (5.6.1) za matematičko očekivanje odgovara slučaju diskretne slučajne varijable. Za kontinuirana vrijednost matematičko očekivanje, naravno, nije izraženo kao zbir, već kao integral:

, (5.6.2)

gdje je gustina raspodjele količine .

Formula (5.6.2) se dobija iz formule (5.6.1) ako se pojedinačne vrijednosti u njoj zamijene parametrom x koji se kontinuirano mijenja, odgovarajuće vjerovatnoće - elementom vjerovatnoće, a konačni zbir - integralom. U budućnosti ćemo često koristiti ovu metodu proširenja formula izvedenih za diskontinuirane veličine na slučaj kontinuiranih veličina.

U mehaničkom tumačenju, matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable zadržava isto značenje - apscisu težišta u slučaju kada je masa raspoređena duž apscise kontinuirano, sa gustinom . Ova interpretacija često omogućava pronalaženje matematičkog očekivanja bez izračunavanja integrala (5.6.2), iz jednostavnih mehaničkih razmatranja.

Iznad smo uveli notaciju za matematičko očekivanje količine . U velikom broju slučajeva, kada je količina uključena u formule kao određeni broj, pogodnije je označiti je jednim slovom. U ovim slučajevima, matematičko očekivanje vrijednosti ćemo označiti sa:

Zapis i za matematičko očekivanje će se u budućnosti koristiti paralelno, u zavisnosti od pogodnosti određenog snimanja formula. Složimo se, ako je potrebno, da riječi “matematičko očekivanje” skraćujemo slovima m.o.

Treba napomenuti da najvažnija karakteristika pozicije - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je sastaviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju.

Razmotrimo, na primjer, diskontinuiranu slučajnu varijablu s nizom distribucije:

Lako je to provjeriti, tj. serija distribucije ima smisla; međutim, zbir se u ovom slučaju razlikuje i stoga nema matematičkog očekivanja vrijednosti. Međutim, takvi slučajevi nisu od značajnog interesa za praksu. Tipično, slučajne varijable s kojima se bavimo imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju matematička očekivanja.

Iznad smo dali formule (5.6.1) i (5.6.2) koje izražavaju matematičko očekivanje za diskontinuiranu i kontinuiranu slučajnu varijablu.

Ako količina pripada količinama mješoviti tip, tada se njegovo matematičko očekivanje izražava formulom oblika:

, (5.6.3)

gdje se zbir proteže na sve tačke u kojima je funkcija distribucije diskontinuirana, a integral se proteže na sva područja u kojima je funkcija distribucije kontinuirana.

Pored najvažnijih karakteristika pozicije - matematičkog očekivanja - u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike pozicije, posebno mod i medijan slučajne varijable.

Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Izraz "najvjerovatnija vrijednost" striktno govoreći primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Dogovorimo se da način označimo slovom . Na sl. 5.6.1 i 5.6.2 prikazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.

Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, distribucija se naziva „multimodalna“ (sl. 5.6.3 i 5.6.4).

Ponekad postoje distribucije koje imaju minimum u sredini, a ne maksimum (sl. 5.6.5 i 5.6.6). Takve distribucije se nazivaju „antimodalne“. Primjer antimodalne distribucije je raspodjela dobivena u Primjeru 5, br. 5.1.

IN opšti slučaj mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ono poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.

Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se formalno može definirati za diskontinuiranu varijablu.

Medijan slučajne varijable je njena vrijednost za koju

one. jednako je vjerovatno da će slučajna varijabla biti manja ili veća od . Geometrijski, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom distribucije podijeljeno na pola (slika 5.6.7).

Pored matematičkog očekivanja i disperzije, teorija vjerovatnoće također koristi brojne numeričke karakteristike koje odražavaju određene karakteristike distribucije.

Definicija. Mod Mo(X) slučajne varijable X je njena najvjerovatnija vrijednost(za koji je vjerovatnoća r g ili gustina vjerovatnoće

Ako vjerovatnoća ili gustina vjerovatnoće dostigne maksimum ne u jednoj, već u nekoliko tačaka, distribucija se naziva multimodalni(Sl. 3.13).

Moda mahovina), po kojoj verovatnoći p( ili se naziva gustina vjerovatnoće (p(x) dostiže globalni maksimum). najverovatnije značenje slučajna varijabla (na slici 3.13 ovo je Mo(X) 2).

Definicija. Medijan Me(H) kontinuirane slučajne varijable X je njena vrijednost, za koje

one. vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost manju od medijane krzno) ili veći od njega, isti je i jednak 1/2. Geometrijski okomita ravna linija X = Krzno), prolazeći kroz tačku sa apscisom jednakom Krzno), dijeli površinu figure joda krivulje raspodjele na dva jednaka dijela (slika 3.14). Očigledno, u tački X = krzno) funkcija raspodjele je jednaka 1/2, tj. P(Me(X))= 1/2 (sl. 3.15).

Zapazimo važno svojstvo medijane slučajne varijable: matematičko očekivanje apsolutne vrijednosti odstupanja slučajne varijable X od konstantne vrijednosti C je minimalno tada, kada je ova konstanta C jednaka medijani Me(X) = m, tj.

(osobina je slična svojstvu (3,10") minimalnog kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja).

O Primjer 3.15. Pronađite mod, medijan i matematičko očekivanje slučajne varijable X s gustina vjerovatnoće f(x) = 3x 2 za xx.

Rješenje. Kriva distribucije je prikazana na sl. 3.16. Očigledno je da je gustina vjerovatnoće φ(x) maksimalna pri X= Mo(X) = 1.

Medijan krzno) = b nalazimo iz uslova (3.28):

gdje

Izračunajmo matematičko očekivanje koristeći formulu (3.25):

Međusobni raspored tačaka M(X)>Ja(X) I mahovina) rastućim redoslijedom apscise prikazan je na Sl. 3.16. ?

Zajedno sa gore navedenim numeričkim karakteristikama, koncept kvantila i procentnih poena koristi se za opisivanje slučajne varijable.

Definicija. Kvantilni nivo y-kvantil )

ova vrijednost x q slučajne varijable se poziva , pri kojoj njena funkcija distribucije poprima vrijednost jednaku d, tj.

Neki kvantili su dobili poseban naziv. Očigledno, navedeno je uvedeno medijana slučajna varijabla je kvantil nivoa 0,5, tj. Me(X) = x 05. Imenovani su kvantili dg 0 2 5 i x 075 niže I gornji kvartilK

Koncept je usko povezan sa konceptom kvantila procentni poen. Ispod YuOuHo-noy point kvantil se podrazumeva x x (( , one. takvu vrijednost slučajne varijable X, na kojoj

0 Primjer 3.16. Na osnovu podataka iz primjera 3.15, pronađite kvantil x 03 i 30% tačaka slučajne varijable X.

Rješenje. Prema formuli (3.23), funkcija distribucije

Kvantil 0 s nalazimo iz jednačine (3.29), tj. x$ 3 =0,3, odakle L "oz -0,67. Nađimo tačku od 30% slučajne varijable X, ili kvantil x 0 7, iz jednadžbe. x$ 7 = 0,7, odakle je x 0 7 «0,89. ?

Među numeričkim karakteristikama slučajne varijable, momenti - početni i centralni - su od posebnog značaja.

Definicija. Početni trenutakK-ti red slučajne varijable X naziva se matematičko očekivanje th stepen ovu vrijednost :

Definicija. Centralni trenutakk-ti red slučajne varijable X je matematičko očekivanje k-tog stepena odstupanja slučajne varijable X od njenog matematičkog očekivanja:

Formule za izračunavanje momenata za diskretne slučajne varijable (preuzimanje vrijednosti x 1 sa vjerovatnoćama p,) i kontinuiranim (sa gustinom vjerovatnoće cp(x)) date su u tabeli. 3.1.

Tabela 3.1

Lako je primijetiti da kada k = 1 prvi početni trenutak slučajne varijable X je njegovo matematičko očekivanje, tj. h x = M[X) = a, at To= 2 sekunde centralni moment - disperzija, tj. p 2 = T)(X).

Centralni momenti p A mogu se izraziti kroz početne momente ali pomoću formula:

itd.

Na primjer, c 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Zu^ + Zu(u, -u^ = y 3 - Zu^ + 2u^ (prilikom izvođenja uzeli smo u obzir da A = M(X)= V, je neslučajna vrijednost). ?

Gore je navedeno da je matematičko očekivanje M(X), ili prvi početni trenutak, karakteriše prosječnu vrijednost ili poziciju, centar distribucije slučajne varijable X na brojevnoj osi; disperzija OH), ili drugi centralni moment p 2, - s t s - panj disperzije distribucije X relativno M(X). Za više detaljan opis distribucije služe kao momenti višeg reda.

Treća centralna tačka p 3 služi za karakterizaciju asimetrije (iskrivljenosti) distribucije. Ima dimenziju nasumične kocke. Da bi se dobila bezdimenzionalna veličina, ona se dijeli sa o 3, gdje je a standardna devijacija slučajne varijable X. Rezultirajuća vrijednost A pozvao koeficijent asimetrije slučajne varijable.

Ako je distribucija simetrična u odnosu na matematičko očekivanje, tada je koeficijent asimetrije A = 0.

Na sl. Na slici 3.17 prikazane su dvije krive raspodjele: I i II. Kriva I ima pozitivnu (desnostranu) asimetriju (L > 0), a kriva II negativnu (levu) asimetriju (L

Četvrta centralna tačka p 4 služi za karakterizaciju strmine (oštrine ili ravnosti) distribucije.

Matematičko očekivanje. Matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla X, uzimajući konačan broj vrijednosti Xi sa vjerovatnoćama ri, iznos se zove:

Matematičko očekivanje kontinuirana slučajna varijabla X naziva se integral proizvoda njegovih vrijednosti X na gustinu raspodjele vjerovatnoće f(x):

(6b)

Nepravilan integral (6 b) pretpostavlja se da je apsolutno konvergentna (inače kažu da je matematičko očekivanje M(X) ne postoji). Matematičko očekivanje karakteriše prosječna vrijednost slučajna varijabla X. Njegova dimenzija se poklapa sa dimenzijom slučajne varijable.

Svojstva matematičkog očekivanja:

Disperzija. Varijanca slučajna varijabla X broj se zove:

Varijanca je karakteristika raspršivanja vrijednosti slučajne varijable X u odnosu na njegovu prosječnu vrijednost M(X). Dimenzija varijanse jednaka je kvadratu dimenzije slučajne varijable. Na osnovu definicija varijanse (8) i matematičkog očekivanja (5) za diskretnu slučajnu varijablu i (6) za kontinuiranu slučajnu varijablu, dobijamo slične izraze za varijansu:

(9)

Evo m = M(X).

Svojstva disperzije:

standardna devijacija:

(11)

Budući da standardna devijacija ima istu dimenziju kao slučajna varijabla, češće se koristi kao mjera disperzije nego varijanse.

Trenuci distribucije. Koncepti matematičkog očekivanja i disperzije su posebni slučajevi više opšti koncept za numeričke karakteristike slučajnih varijabli – momenti distribucije. Trenuci distribucije slučajne varijable su predstavljeni kao matematička očekivanja nekih jednostavnih funkcija slučajne varijable. Dakle, trenutak reda k u odnosu na tačku X 0 se naziva matematičko očekivanje M(X–X 0 )k. Trenuci o poreklu X= 0 se pozivaju početnih trenutaka i označeni su:

(12)

Početni trenutak prvog reda je centar distribucije slučajne varijable koja se razmatra:

(13)

Trenuci o centru distribucije X= m su pozvani centralne tačke i označeni su:

(14)

Iz (7) slijedi da je centralni moment prvog reda uvijek jednak nuli:

Centralni momenti ne ovise o porijeklu vrijednosti slučajne varijable, jer kada se pomaknu za konstantnu vrijednost WITH njegov distributivni centar se pomjera za istu vrijednost WITH, a odstupanje od centra se ne mijenja: X – m = (X – WITH) – (m – WITH).
Sada je to očigledno disperzija- Ovo centralni moment drugog reda:

Asimetrija. Centralni trenutak trećeg reda:

(17)

služi za evaluaciju asimetrije distribucije. Ako je raspodjela simetrična u odnosu na tačku X= m, tada će centralni moment trećeg reda biti jednak nuli (kao i svi centralni momenti neparnih redova). Stoga, ako je centralni moment trećeg reda različit od nule, tada raspodjela ne može biti simetrična. Veličina asimetrije se procjenjuje pomoću bezdimenzionalnog koeficijent asimetrije:

(18)

Znak koeficijenta asimetrije (18) ukazuje na desnu ili lijevu asimetriju (slika 2).

Rice. 2. Vrste asimetrije distribucije.

Višak. Centralni trenutak četvrtog reda:

(19)

služi za evaluaciju tzv višak, koji određuje stepen strmine (zašiljenosti) krivulje distribucije blizu centra distribucije u odnosu na krivulju normalna distribucija. Budući da je za normalnu distribuciju vrijednost uzeta kao eksces je:

(20)

Na sl. 3 prikazuje primjere krivulja distribucije sa različita značenja višak. Za normalnu distribuciju E= 0. Krive koje imaju više vrhova od normalnih imaju pozitivnu ekscesiju, one sa ravnijim vrhom imaju negativnu ekscesiju.

Rice. 3. Krive distribucije sa različitim stepenom strmine (kurtosis).

Momenti višeg reda se obično ne koriste u inženjerskim aplikacijama matematičke statistike.

Moda diskretno slučajna varijabla je njena najvjerovatnija vrijednost. Moda kontinuirano slučajna varijabla je njena vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna (slika 2). Ako kriva distribucije ima jedan maksimum, onda se distribucija zove unimodalni. Ako kriva distribucije ima više od jednog maksimuma, tada se distribucija poziva multimodalni. Ponekad postoje distribucije čije krive imaju minimum, a ne maksimum. Takve distribucije se nazivaju antimodal. U opštem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U posebnom slučaju, za modalni, tj. imaju mod, simetričnu distribuciju i pod uslovom da postoji matematičko očekivanje, potonje se poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.

Medijan slučajna varijabla X- ovo je njegovo značenje Meh, za koje vrijedi jednakost: tj. jednako je vjerovatno da je slučajna varijabla X biće manje ili više Meh. Geometrijski medijana je apscisa tačke u kojoj je površina ispod krivulje raspodjele podijeljena na pola (slika 2). U slučaju simetrične modalne distribucije, medijan, mod i matematičko očekivanje su isti.

moda() kontinuirane slučajne varijable je njena vrijednost koja odgovara maksimalnoj vrijednosti njene gustine vjerovatnoće.

medijana() Kontinuirana slučajna varijabla je njena vrijednost koja je određena jednakošću:

B15. Binomni zakon distribucije i njihove numeričke karakteristike. Binomna distribucija opisuje ponovljene nezavisne eksperimente. Ovaj zakon određuje pojavu događaja jednom nezavisni testovi, ako se vjerojatnost događaja u svakom od ovih eksperimenata ne mijenja od eksperimenta do eksperimenta. vjerovatnoća:

,

gdje je: poznata vjerovatnoća pojave događaja u eksperimentu, koji se ne mijenja od eksperimenta do eksperimenta;

– vjerovatnoća nepostojanja događaja u eksperimentu;

– određeni broj pojavljivanja događaja u eksperimentima;

– broj kombinacija elemenata po .

B15. Uniformni zakon raspodjele, grafovi funkcije raspodjele i gustine, numeričke karakteristike. Razmatra se kontinuirana slučajna varijabla ravnomerno raspoređeni, ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:

Očekivanje slučajna varijabla koja ima uniformnu distribuciju:

Disperzija može se izračunati na sljedeći način:

Standardna devijacija izgledat će ovako:

.

B17. Eksponencijalni zakon raspodjele, grafovi funkcije raspodjele i gustine, numeričke karakteristike. Eksponencijalna distribucija Kontinuirana slučajna varijabla je distribucija koja je opisana sljedećim izrazom za gustinu vjerovatnoće:

,

gdje je konstantna pozitivna vrijednost.

Funkcija raspodjele vjerovatnoće u ovom slučaju ima oblik:

Matematičko očekivanje slučajne varijable koja ima eksponencijalnu distribuciju dobijeno je na osnovu opšta formula uzimajući u obzir da kada:

.

Integrirajući ovaj izraz po dijelovima, nalazimo: .

Varijanca za eksponencijalnu distribuciju može se dobiti pomoću izraza:

.

Zamjenom izraza za gustinu vjerovatnoće nalazimo:

Računajući integral po dijelovima, dobijamo: .

B16. Zakon normalne distribucije, grafovi funkcije raspodjele i gustine. Standardna normalna distribucija. Odražena funkcija normalne distribucije. Normalno naziva se takva distribucija slučajne varijable, čija je gustina vjerovatnoće opisana Gaussovom funkcijom:

gdje je standardna devijacija;

– matematičko očekivanje slučajne varijable.

Grafikon gustine normalne distribucije naziva se normalna Gausova kriva.

B18. Markova nejednakost. Generalizirana Čebiševljeva nejednakost. Ako je za slučajnu varijablu X postoji, onda je to istina za svakoga Markova nejednakost .

Iz toga proizilazi generalizovana nejednakost Čebiševa: Neka je funkcija monotono rastuća i nenegativna na . Ako je za slučajnu varijablu X postoji, onda nejednakost važi za svakoga .

B19. Zakon velikih brojeva u Čebiševljevom obliku. Njegovo značenje. Posljedica zakona velikih brojeva u Čebiševljevom obliku. Zakon velikih brojeva u Bernoullijevom obliku. Ispod zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće, razumije se niz teorema, od kojih svaka utvrđuje činjenicu asimptotske aproksimacije prosječne vrijednosti velikog broja eksperimentalnih podataka matematičkom očekivanju slučajne varijable. Dokazi ovih teorema zasnivaju se na Čebiševovoj nejednakosti. Ova nejednakost se može dobiti razmatranjem diskretne slučajne varijable koja ima moguće vrijednosti.

Teorema. Neka postoji konačan niz nezavisne slučajne varijable, sa istim matematičkim očekivanjima i varijacijama, ograničene istom konstantom:

Zatim, bez obzira na broj, vjerovatnoća događaja

teži jedinstvu na .

Čebiševljev teorem uspostavlja vezu između teorije vjerojatnosti, koja razmatra prosječne karakteristike čitavog skupa vrijednosti slučajne varijable, i matematičke statistike koja radi na ograničenom skupu vrijednosti ove varijable. Pokazuje da se uz dovoljno veliki broj mjerenja određene slučajne varijable, aritmetička sredina vrijednosti ovih mjerenja približava matematičkom očekivanju.

B20. Predmet i zadaci matematičke statistike. Opća i uzorkovana populacija. Metoda odabira. Matematička statistika– nauka o matematičke metode sistematizacija i korišćenje statističkih podataka za naučne i praktične zaključke, zasnovane na teoriji verovatnoće.

Predmeti proučavanja matematičke statistike su slučajni događaji, veličine i funkcije koje karakterišu slučajni fenomen koji se razmatra. Sljedeći događaji su nasumični: dobitak jedne novčane lutrije, usklađenost kontrolisanog proizvoda sa utvrđenim zahtjevima, nesmetan rad vozila tokom prvog mjeseca njegovog rada, ispunjenje dnevnog rasporeda radova od strane izvođača.

Populacija uzorka naziva se zbirka nasumično odabranih objekata.

Opća populacija imenovati skup objekata od kojih je napravljen uzorak.

B21. Metode odabira.

Metode selekcije: 1 Selekcija koja ne zahtijeva podjelu opće populacije na dijelove. To uključuje a) jednostavno nasumično uzorkovanje bez ponavljanja i b) jednostavno nasumično ponovljeno uzorkovanje. 2) Selekcija, u kojoj se populacija dijeli na dijelove. To uključuje a) tipičan odabir, b) mehanički odabir i c) serijski odabir.

Simple random naziva se selekcija, u kojoj se objekti izdvajaju jedan po jedan iz populacije.

Tipično naziva se selekcija, u kojoj se objekti ne biraju iz cijele populacije, već iz svakog od njenih „tipičnih“ dijelova.

Mehanički naziva se selekcija, u kojoj se populacija mehanički dijeli na onoliko grupa koliko ima objekata koje treba uključiti u uzorak, a iz svake grupe se bira jedan objekt.

Serial naziva se selekcija u kojoj se objekti biraju iz opće populacije ne jedan po jedan, već u „serijama“ koje se podvrgavaju kontinuiranom istraživanju.

B22. Statistički i varijacijski nizovi. Empirijska funkcija distribucije i njena svojstva. Varijacijski nizovi za diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Neka se uzorak izdvoji iz opće populacije, a vrijednost parametra koji se proučava je promatrana jednom, - jednom, itd. Štaviše, veličina uzorka. Uočene vrijednosti se nazivaju opcije, a redoslijed opcija napisanih uzlaznim redoslijedom je varijantne serije . Zovu se brojevi zapažanja frekvencije, i njihov odnos prema veličini uzorka - relativne frekvencije.Varijacijska serija može se predstaviti tabelom poput:

X			…..
n			….

Statistička distribucija uzorka navedite listu opcija i njihove odgovarajuće relativne frekvencije. Statistička distribucija može se predstaviti kao:

X			…..
w			….

gdje su relativne frekvencije.

Empirijska funkcija distribucije pozvati funkciju koja za svaku vrijednost x određuje relativnu frekvenciju događaja X

Moda- vrijednost u skupu zapažanja koja se najčešće javlja

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

ovdje je X Mo lijeva granica modalnog intervala, h Mo je dužina modalnog intervala, f Mo-1 je frekvencija premodalnog intervala, f Mo je frekvencija modalnog intervala, f Mo+1 je učestalost postmodalnog intervala.

Način apsolutno kontinuirane distribucije je svaka tačka lokalnog maksimuma gustine raspodjele. Za diskretne distribucije, modom se smatra bilo koja vrijednost a i čija je vjerovatnoća p i veća od vjerovatnoće susjednih vrijednosti

Medijan kontinuirana slučajna varijabla X naziva se njegova vrijednost Me za koju je jednako vjerovatno da će slučajna varijabla biti manja ili veća Meh, tj.

M e =(n+1)/2 P(X < Ja) = P(X > Meh)

Ravnomjerno raspoređen NSV

Ujednačena distribucija. Kontinuirana slučajna varijabla naziva se ravnomjerno raspoređena na segmentu () ako je njena funkcija gustine distribucije (slika 1.6, A) ima oblik:

Oznaka: – SW je ravnomjerno raspoređen na .

Shodno tome, funkcija distribucije na segmentu (slika 1.6, b):

Rice. 1.6. Funkcije slučajne varijable ravnomjerno raspoređene na [ a,b]: A– gustoće vjerovatnoće f(x); b– distribucije F(x)

Matematičko očekivanje i disperzija datog SV određuju se izrazima:

Zbog simetrije funkcije gustoće, ona se poklapa sa medijanom. Režimi nemaju ujednačenu distribuciju

Primjer 4. Vrijeme čekanja na odgovor na telefonski poziv je slučajna varijabla koja poštuje uniformni zakon raspodjele u rasponu od 0 do 2 minute. Pronađite integralne i diferencijalne funkcije raspodjele ove slučajne varijable.

27.Normalni zakon distribucije vjerovatnoće

Kontinuirana slučajna varijabla x ima normalnu distribuciju sa parametrima: m,s > 0, ako gustina distribucije vjerovatnoće ima oblik:

gdje je: m – matematičko očekivanje, s – standardna devijacija.

Normalna raspodjela se također naziva Gaussovom po njemačkom matematičaru Gausu. Činjenica da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju sa parametrima: m, označava se na sljedeći način: N (m,s), gdje je: m=a=M[X];

Često se u formulama matematičko očekivanje označava sa A . Ako je slučajna varijabla distribuirana prema zakonu N(0,1), onda se naziva normalizirana ili standardizirana normalna varijabla. Funkcija distribucije za to ima oblik:

Grafikon gustine normalne distribucije, koji se naziva normalna kriva ili Gausova kriva, prikazan je na slici 5.4.

Rice. 5.4. Normalna gustina distribucije

svojstva slučajna varijabla koja ima normalan zakon raspodjele.

1. Ako je , tada pronaći vjerovatnoću da ova vrijednost padne u dati interval ( x 1 ;) koristi se formula:

2. Vjerovatnoća da odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja neće premašiti vrijednost (u apsolutnoj vrijednosti) je jednaka.