Proširite vektor u osnovu. Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora
Osnova(starogrčki βασις, osnova) - skup vektora u vektorskom prostoru tako da se bilo koji vektor u ovom prostoru može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz ovog skupa - baznih vektora
Osnova u prostoru Rn je bilo koji sistem iz n-linearno nezavisni vektori. Svaki vektor iz R n koji nije uključen u bazu može se predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora, tj. rasporediti preko osnove.
Neka je baza prostora R n i . Tada postoje brojevi λ 1, λ 2, …, λ n takvi da 
.
Koeficijenti proširenja λ 1, λ 2, ..., λ n nazivaju se vektorskim koordinatama u bazi B. Ako je baza data, tada se vektorski koeficijenti određuju jednoznačno.
Komentar. U svakom n-dimenzionalni vektorski prostor, možete odabrati beskonačan broj različitih baza. U različitim bazama, isti vektor ima različite koordinate, ali su jedinstvene u odabranoj bazi. Primjer. Proširite vektor u njegovu osnovu.
Rješenje. 
. Zamijenimo koordinate svih vektora i izvršimo radnje na njima: 
Izjednačavanjem koordinata dobijamo sistem jednačina:
Hajde da to riješimo: 
.
Tako dobijamo dekompoziciju: 
.
U osnovi vektor ima koordinate .
Kraj rada -
Ova tema pripada sekciji:
Vektorski koncept. Linearne operacije nad vektorima
Vektor je usmjereni segment koji ima određenu dužinu, odnosno segment određene dužine koji ima jednu od svojih graničnih tačaka.
Ako ti treba dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:
Šta ćemo sa primljenim materijalom:
Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga sačuvati na svojoj stranici društvene mreže:
(MATEMATIKA U EKONOMICI)
Vektorska dekompozicija
Vektorska dekompozicija A u komponente - operacija zamjene vektora A nekoliko drugih vektora ab a2, a3, itd., koji kada se dodaju formiraju početni vektor A; u ovom slučaju, vektori db a2, a3, itd. nazivaju se komponentama vektora A. Drugim riječima, razlaganje bilo kojeg...(FIZIKA)
Osnova i rang vektorskog sistema
Razmotrimo sistem vektora (1.18) Maksimalno nezavisan podsistem vektorskog sistema(1.I8) je parcijalni skup vektora ovog sistema koji zadovoljava dva uslova: 1) vektori ovog skupa su linearno nezavisni; 2) bilo koji vektor sistema (1.18) linearno je izražen kroz vektore ovog skupa....(MATEMATIKA U EKONOMICI)
Predstavljanje vektora u različitim koordinatnim sistemima.
Razmotrimo dva ortogonalna pravolinijska koordinatna sistema sa skupovima jediničnih vektora (i, j, k) i (i j, k") i predstavimo vektor a u njima. Pretpostavimo konvencionalno da jedinični vektori sa prostim brojevima odgovaraju novi sistemi e koordinate, a bez poteza - stari. Zamislimo vektor u obliku ekspanzije duž ose i starog i novog sistema...Dekompozicija vektora u ortogonalnoj bazi
Razmotrimo osnovu prostora Rn, u kojima je svaki vektor ortogonan na druge bazne vektore: Ortogonalne baze su poznate i dobro se mogu predstaviti na ravni i u prostoru (slika 1.6). Baze ovog tipa su pogodne prvenstveno zato što se određuju koordinate ekspanzije proizvoljnog vektora...(MATEMATIKA U EKONOMICI)
Vektori i njihovi prikazi u koordinatnim sistemima
Koncept vektora je povezan sa određenim fizičke veličine, koje karakterizira njihov intenzitet (veličina) i smjer u prostoru. Takve veličine su, na primjer, sila koja djeluje na materijalno tijelo, brzina određene tačke ovog tijela, ubrzanje materijalne čestice...(MEHANIKA KONTINUUMA: TEORIJA NAPONA I OSNOVNI MODELI)
Najjednostavniji analitički prikazi proizvoljne eliptičke funkcije
Predstavljanje eliptičke funkcije kao zbir najjednostavnijih elemenata. Neka / (z) je eliptična funkcija reda s s jednostavnim polovima jjt, $s, leži u paralelogramu perioda. Označavanje sa Bk oduzimanjem funkcije u odnosu na pol, imamo da je 2 ?l = 0 (§ 1, paragraf 3, teorema...(UVOD U TEORIJU FUNKCIJA KOMPLEKSNE VARIJABLE)
Vektorski račun i njegove primjene velika vrijednost ima zadatak dekompozicije koji se sastoji u predstavljanju datog vektora kao sume nekoliko vektora koji se nazivaju komponente datog
vektor. Ovaj zadatak, koji ima opšti slučaj beskonačan broj rješenja, postaje sasvim određen ako specificiramo neke elemente komponentnih vektora.
2. Primjeri razlaganja.
Razmotrimo nekoliko vrlo čestih slučajeva dekompozicije.
1. Rastaviti dati vektor c na dva komponentna vektora od kojih je jedan, na primjer a, dat po veličini i smjeru.
Problem se svodi na određivanje razlike između dva vektora. Zaista, ako su vektori komponente vektora c, tada mora biti zadovoljena jednakost
Odavde se određuje drugi komponentni vektor
2. Dati vektor c rastaviti na dvije komponente, od kojih jedna mora ležati u datoj ravni, a druga na datoj pravoj a.
Da bismo odredili sastavne vektore, pomeramo vektor c tako da se njegov početak poklopi sa tačkom preseka date prave linije sa ravninom (tačka O - vidi sliku 18). Od kraja vektora c (tačka C) povlačimo pravu liniju do
presek sa ravninom (B je tačka preseka), a zatim iz tačke C povučemo paralelnu pravu liniju
Vektori i će biti željeni, tj. naravno, naznačeno proširenje je moguće ako prava a i ravan nisu paralelne.
3. Data su tri koplanarna vektora a, b i c, a vektori nisu kolinearni. Potrebno je dekomponovati vektor c na vektore
Dovedemo sva tri data vektora u jednu tačku O. Tada će se, zbog svoje komplanarnosti, nalaziti u istoj ravni. Koristeći ovaj vektor c kao dijagonalu, konstruisaćemo paralelogram čije su stranice paralelne sa linijama delovanja vektora (slika 19). Ova konstrukcija je uvijek moguća (osim ako su vektori kolinearni) i jedinstvena. Od sl. 19 to je jasno
Osnova prostora oni nazivaju takav sistem vektora u kojem se svi ostali vektori u prostoru mogu predstaviti kao linearna kombinacija vektora uključenih u bazu.
U praksi se sve to vrlo jednostavno provodi. Osnova se po pravilu provjerava na ravni ili u prostoru, a za to je potrebno pronaći determinantu matrice drugog, trećeg reda sastavljene od vektorskih koordinata. Ispod su šematski napisane uslovi pod kojima vektori čine osnovu
To proširiti vektor b u bazne vektore
e,e...,e[n] potrebno je pronaći koeficijente x, ..., x[n] za koje je linearna kombinacija vektora e,e...,e[n] jednaka vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Da biste to učinili, vektorsku jednačinu treba pretvoriti u sistem linearne jednačine i pronađite rješenja. Ovo je također prilično jednostavno za implementaciju.
Pronađeni koeficijenti x, ..., x[n] se pozivaju koordinate vektora b u bazi e,e...,e[n].
Pređimo na praktičnu stranu teme.
Dekompozicija vektora na bazne vektore
Zadatak 1. Provjerite da li vektori a1, a2 čine osnovu na ravni
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rješenje: Od koordinata vektora sastavimo determinantu i izračunamo je
Determinanta nije nula, dakle vektori su linearno nezavisni, što znači da čine osnovu.
2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Rješenje: Izračunavamo determinantu koju čine vektori 
Determinanta je jednaka 13 (nije jednaka nuli) - iz ovoga slijedi da su vektori a1, a2 baza na ravni.
---=================---
Pogledajmo tipične primjere iz programa MAUP u disciplini "Viša matematika".
Zadatak 2. Pokažite da vektori a1, a2, a3 čine osnovu trodimenzionalnog vektorskog prostora i proširite vektor b prema ovoj osnovi (prilikom rješavanja sistema linearnih algebarske jednačine koristiti Cramerovu metodu).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rješenje: Prvo razmotrite sistem vektora a1, a2, a3 i provjerite determinantu matrice A
izgrađen na vektorima koji nisu nula. Matrica sadrži jedan nulti element, pa je prikladnije izračunati determinantu kao raspored u prvoj koloni ili trećem redu. 
Kao rezultat proračuna, ustanovili smo da je determinanta različita od nule vektori a1, a2, a3 su linearno nezavisni.
Po definiciji, vektori čine osnovu u R3. Zapišimo raspored vektora b na osnovu 
Vektori su jednaki kada su im odgovarajuće koordinate jednake.
Dakle, iz vektorske jednačine dobijamo sistem linearnih jednačina 
Rešimo SLAE Cramerova metoda. Da bismo to učinili, zapisujemo sistem jednačina u obliku
Glavna determinanta SLAE je uvijek jednaka determinanti sastavljenoj od baznih vektora
Stoga se u praksi ne računa dvaput. Da bismo pronašli pomoćne determinante, stavljamo kolonu slobodnih pojmova na mjesto svake kolone glavne determinante. Determinante se računaju pomoću pravila trougla 
Zamijenimo pronađene determinante u Cramerovu formulu 
Dakle, proširenje vektora b u smislu baze ima oblik b=-4a1+3a2-a3. Koordinate vektora b u bazi a1, a2, a3 će biti (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rješenje: Provjeravamo vektore za osnovu - sastavljamo determinantu iz koordinata vektora i izračunavamo je 
Dakle, determinanta nije jednaka nuli vektori čine osnovu u prostoru. Ostaje pronaći raspored vektora b kroz ovu bazu. Da bismo to učinili, pišemo vektorsku jednačinu 
i transformisati u sistem linearnih jednačina 
Hajde da to zapišemo matrična jednačina
Zatim, za Cramerove formule nalazimo pomoćne determinante 
Primjenjujemo Cramerove formule 
Dakle, dati vektor b ima raspored kroz dva bazna vektora b=-2a1+5a3, a njegove koordinate u bazi su jednake b(-2,0, 5).
