Gotovi odgovori na primjere za homogene diferencijalne jednadžbe Mnogi učenici traže prvi red (DE 1. reda su najčešći u obuci), onda ih možete detaljno analizirati. Ali prije nego što pređete na razmatranje primjera, preporučujemo da pažljivo pročitate kratak teorijski materijal.
Jednačine oblika P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, gdje su funkcije P(x,y) i Q(x,y) homogene funkcije istog reda, nazivaju se homogena diferencijalna jednadžba(ODR).

Šema za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe

1. Prvo morate primijeniti zamjenu y=z*x, gdje je z=z(x) nova nepoznata funkcija (dakle, originalna jednačina je reducirana na diferencijalnu jednačinu sa odvojivim varijablama.
2. Derivat proizvoda je y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ili u diferencijalima dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. Zatim zamjenjujemo novu funkciju y i njen izvod y "(ili dy). DE sa odvojivim varijablama s obzirom na x i z .
4. Nakon što smo riješili diferencijalnu jednadžbu sa odvojivim varijablama, napravićemo inverznu zamjenu y=z*x, dakle z= y/x, i dobićemo zajednička odluka(opći integral) diferencijalne jednadžbe.
5. Ako je dat početni uslov y(x 0)=y 0, tada nalazimo posebno rješenje za Cauchyjev problem. U teoriji sve zvuči lako, ali u praksi nije svima tako zabavno rješavati diferencijalne jednadžbe. Stoga, da biste produbili znanje, razmotrite uobičajene primjere. O lakim zadacima nemate puno toga za naučiti, pa ćemo odmah preći na složenije.

Proračuni homogenih diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Primjer 1

Rješenje: Podijelite desnu stranu jednačine promjenljivom koja je faktor blizu izvoda. Kao rezultat, dolazimo do homogena diferencijalna jednadžba reda 0

I ovdje je mnogima postalo zanimljivo, kako odrediti red funkcije homogene jednadžbe?
Pitanje je dovoljno relevantno, a odgovor na njega glasi:
na desnoj strani zamjenjujemo vrijednost t*x, t*y umjesto funkcije i argumenta. Prilikom pojednostavljenja, parametar "t" se dobija do određenog stepena k, i naziva se redom jednačine. U našem slučaju, "t" će se smanjiti, što je ekvivalentno 0. stepenu ili nulti red homogene jednadžbe.
Dalje na desnoj strani možemo prijeći na novu varijablu y=zx; z=y/x .
U isto vrijeme, ne zaboravite da izrazite derivaciju "y" kroz derivaciju nove varijable. Po pravilu delova nalazimo

Jednačine u diferencijalimaće poprimiti formu

Smanjujemo zglobove na desnoj i lijevoj strani i prelazimo na diferencijalna jednadžba sa odvojenim varijablama.

Hajde da integrišemo oba dela DE

Radi pogodnosti daljih transformacija, odmah uvodimo konstantu ispod logaritma

Po svojstvima logaritama, rezultirajuća logaritamska jednadžba je ekvivalentna sljedećoj

Ovaj unos još nije rješenje (odgovor), potrebno je da se vratite na izvršenu promjenu varijabli

Tako nalaze opšte rešenje diferencijalnih jednačina. Ako ste pažljivo pročitali prethodne lekcije, rekli smo da biste trebali moći slobodno primijeniti shemu za izračunavanje jednadžbi sa odvojenim varijablama i takve jednačine će se morati izračunavati za složenije tipove daljinskog upravljanja.

Primjer 2 Naći integral diferencijalne jednadžbe

Rješenje: Šema za izračunavanje homogenih i sumarnih DE-a vam je sada poznata. Promenljivu prenosimo na desnu stranu jednačine, a takođe u brojiocu i nazivniku uzimamo x 2 kao zajednički faktor

Tako dobijamo homogenu DE nultog reda.
Sljedeći korak je uvođenje promjene varijabli z=y/x, y=z*x, koje ćemo vas stalno podsjećati da zapamtite

Nakon toga zapisujemo DE u diferencijalima

Zatim transformiramo zavisnost u diferencijalna jednadžba sa odvojenim varijablama

i riješiti ga integracijom.

Integrali su jednostavni, ostale transformacije su zasnovane na svojstvima logaritma. Posljednja radnja uključuje izlaganje logaritma. Na kraju se vraćamo na originalnu zamjenu i upisujemo u obrazac

Konstanta "C" ima bilo koju vrijednost. Svi oni koji studiraju u odsustvu imaju problema na ispitima sa ovom vrstom jednačina, pa vas molimo da pažljivo pogledate i zapamtite šemu proračuna.

Primjer 3 Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Kao što slijedi iz gornje tehnike, diferencijalne jednadžbe ovog tipa rješavaju se uvođenjem nove varijable. Prepišimo zavisnost tako da derivacija bude bez varijable

Nadalje, analizom desne strane vidimo da je dio -ee prisutan svuda i označen novom nepoznatom
z=y/x, y=z*x .
Pronalaženje derivacije od y

Uzimajući u obzir zamjenu, prepisujemo originalni DE u obrazac

Pojednostavite iste uslove i sve primljene termine svedite na DE sa odvojenim varijablama

Integracijom obje strane jednakosti

dolazimo do rješenja u obliku logaritama

Izlažući zavisnosti koje nalazimo opšte rješenje diferencijalne jednadžbe

koji nakon zamjene početne promjene varijabli u njega poprima oblik

Ovdje je C konstanta, koja se može proširiti iz Cauchyjevog uslova. Ako Cauchyjev problem nije zadan, onda on postaje proizvoljna realna vrijednost.
To je sva mudrost u proračunu homogenih diferencijalnih jednačina.

Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika
, gdje je f funkcija.

Kako definirati homogenu diferencijalnu jednačinu

Da bi se utvrdilo da li je diferencijalna jednadžba prvog reda homogena, mora se uvesti konstanta t i zamijeniti y sa ty i x sa tx : y → ty , x → tx . Ako se t smanji, onda ovo homogena diferencijalna jednadžba. Izvod y′ se ne mijenja pod takvom transformacijom.
.

Primjer

Odrediti da li je data jednadžba homogena

Rješenje

Napravimo promjenu y → ty , x → tx .


Podijelite sa t 2 .

.
Jednačina ne sadrži t . Dakle, ovo je homogena jednačina.

Metoda za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe

Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda reducira se na jednadžbu s odvojivim varijablama korištenjem zamjene y = ux. Hajde da to pokažemo. Razmotrimo jednačinu:
(i)
Vršimo zamjenu:
y=ux
gdje je u funkcija od x. Razlikovati u odnosu na x:
y' =
Zamjenjujemo u originalnu jednačinu (i).
,
,
(ii) .
Odvojene varijable. Pomnožite sa dx i podijelite sa x ( f(u) - u).

Za f (u) - u ≠ 0 i x ≠ 0 dobijamo:

integrišemo:

Tako smo dobili opšti integral jednačine (i) u kvadratima:

Integracionu konstantu C zamjenjujemo sa log C, Onda

Izostavljamo predznak modula, jer je željeni predznak određen izborom predznaka konstante C. Tada će opći integral poprimiti oblik:

Zatim razmotrite slučaj f (u) - u = 0.
Ako ova jednadžba ima korijene, onda su oni rješenje jednadžbe (ii). Pošto jednačina (ii) ne poklapa se s originalnom jednadžbom, tada bi trebali biti sigurni da dodatna rješenja zadovoljavaju izvornu jednadžbu (i).

Kad god, u procesu transformacije, podijelimo bilo koju jednačinu nekom funkcijom, koju označavamo kao g (x, y), tada daljnje transformacije vrijede za g (x, y) ≠ 0. Dakle, slučaj g (x, y) = 0.

Primjer rješavanja homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

riješiti jednačinu

Rješenje

Provjerimo da li je ova jednačina homogena. Napravimo promjenu y → ty , x → tx . U ovom slučaju, y′ → y′ .
,
,
.
Smanjujemo za t.

Konstanta t je smanjena. Prema tome, jednačina je homogena.

Napravimo zamjenu y = ux, gdje je u funkcija od x.
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Zamjena u originalnoj jednadžbi.
,
,
,
.
Za x ≥ 0 , |x| =x. Za x ≤ 0 , |x| = - x . Pišemo |x| = x što znači da se gornji znak odnosi na vrijednosti x ≥ 0 , a donji - na vrijednosti x ≤ 0 .
,
Pomnožite sa dx i podijelite sa .

Za tebe 2 - 1 ≠ 0 imamo:

integrišemo:

Integrali tabele,
.

Primijenimo formulu:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Neka je a = u , .
.
Uzmite oba dijela po modulu i logaritmu,
.
Odavde
.

Tako imamo:
,
.
Izostavljamo predznak modula, jer se traženi predznak dobija izborom predznaka konstante C.

Pomnožite sa x i zamenite ux = y.
,
.
Hajde da ga izjednačimo.
,
,
.

Sada razmotrite slučaj, u 2 - 1 = 0 .
Korijeni ove jednadžbe
.
Lako je vidjeti da funkcije y = x zadovoljavaju originalnu jednačinu.

Odgovori

,
,
.

Reference:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka na višu matematiku, "Lan", 2003.

Homogene

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na tzv homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Zajedno sa odvojive jednačine varijabli I linearne nehomogene jednadžbe ova vrsta daljinskog upravljača nalazi se u gotovo svakom kontrolni rad na temu difuzije. Ako ste ušli na stranicu iz tražilice ili niste baš sigurni u diferencijalne jednadžbe, prvo vam toplo preporučujem da odradite uvodnu lekciju na temu - Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Činjenica je da će mnogi principi za rješavanje homogenih jednačina i korištene tehnike biti potpuno isti kao i za najjednostavnije jednadžbe s odvojivim varijablama.

Koja je razlika između homogenih diferencijalnih jednadžbi i drugih tipova DE? Ovo je najlakše odmah objasniti. konkretan primjer.

Primjer 1

Rješenje:
Šta Prvo treba analizirati prilikom odlučivanja bilo koji diferencijalna jednadžba prva narudžba? Prije svega, potrebno je provjeriti da li je moguće odmah odvojiti varijable pomoću "školskih" akcija? Obično se takva analiza provodi mentalno ili pokušava da se odvoje varijable u nacrtu.

U ovom primjeru varijable se ne mogu odvojiti(možete pokušati da preokrenete termine od dijela do dijela, izvadite faktore iz zagrada, itd.). Inače, u ovom primjeru činjenica da se varijable ne mogu podijeliti je sasvim očigledna zbog prisustva faktora .

Postavlja se pitanje - kako riješiti ovaj diffur?

Treba provjeriti i Da li je ova jednadžba homogena?? Verifikacija je jednostavna, a sam algoritam verifikacije se može formulisati na sledeći način:

Na originalnu jednačinu:

umjesto zamjena , umjesto zamjena , ne dirajte derivat:

Slovo lambda je uslovni parametar i ovdje igra sljedeću ulogu: ako je, kao rezultat transformacija, moguće "uništiti" SVE lambda i dobiti originalnu jednačinu, onda ova diferencijalna jednadžba je homogena.

Očigledno, lambda se odmah poništava u eksponentu:

Sada, sa desne strane, vadimo lambdu iz zagrada:

i podijeliti oba dijela sa istom lambdom:

Kao rezultat Sve lambde su nestale kao san, kao jutarnja magla, i dobili smo originalnu jednačinu.

zaključak: Ova jednačina je homogena

Kako riješiti homogenu diferencijalnu jednačinu?

Imam veoma dobre vesti. Sve homogene jednačine može se riješiti jednom (!) standardnom zamjenom.

Funkcija "y" bi trebala zamijeniti rad neka funkcija (također ovisi o "x") i "x":

Skoro uvijek napišite ukratko:

Saznajemo u što će se derivat pretvoriti takvom zamjenom, koristimo pravilo za razlikovanje proizvoda. Ako onda:

Zamjena u originalnoj jednadžbi:

Šta će dati takva zamjena? Nakon ove zamjene i učinjenih pojednostavljenja, mi garantovano dobijamo jednačinu sa odvojivim varijablama. ZAPAMTITE kao prva ljubav :) i, shodno tome, .

Nakon zamjene, radimo maksimalna pojednostavljenja:

Budući da je funkcija koja ovisi o "x", onda se njen izvod može napisati kao standardni razlomak: .
ovako:

Odvajamo varijable, dok na lijevoj strani trebate prikupiti samo "te", a na desnoj strani - samo "x":

Varijable su razdvojene, integriramo:


Prema mom prvom tehničkom savjetu iz članka Diferencijalne jednadžbe prvog reda u mnogim slučajevima je svrsishodno „formulisati“ konstantu u obliku logaritma.

Nakon što je jednačina integrisana, potrebno je izvršiti obrnuta zamjena, takođe je standardan i jedinstven:
Ako onda
U ovom slučaju:

U 18-19 slučajeva od 20, rješenje homogene jednačine zapisuje se kao opći integral.

odgovor: opšti integral:

Zašto se odgovor na homogenu jednačinu gotovo uvijek daje kao opći integral?
U većini slučajeva nemoguće je izraziti "y" u eksplicitnom obliku (da bi se dobilo opće rješenje), a ako je moguće, onda se najčešće općenito rješenje ispostavlja glomazno i ​​nespretno.

Tako se, na primjer, u razmatranom primjeru opće rješenje može dobiti vješanjem logaritama na oba dijela općeg integrala:

- Pa, i dalje je u redu. Mada, vidite, i dalje je krivo.

Inače, u ovom primjeru nisam baš „pristojno“ zapisao opći integral. Nije greška, ali u "dobrom" stilu, podsjećam, uobičajeno je da se opšti integral piše u obliku . Da biste to učinili, odmah nakon integracije jednačine, konstantu treba napisati bez ikakvog logaritma (To je izuzetak od pravila!):

I nakon obrnute zamjene, dobijete opći integral u "klasičnom" obliku:

Dobijeni odgovor se može provjeriti. Da biste to učinili, morate razlikovati opći integral, odnosno pronaći derivat funkcije definirane implicitno:

Riješite se razlomaka množenjem svake strane jednadžbe sa:

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Preporučljivo je uvijek provjeriti. Ali homogene jednadžbe su neugodne jer je obično teško provjeriti njihove opće integrale - to zahtijeva vrlo, vrlo pristojnu tehniku ​​diferencijacije. U razmatranom primjeru, tokom verifikacije, već je bilo potrebno pronaći ne najjednostavnije derivate (iako je sam primjer prilično jednostavan). Ako možete provjeriti, provjerite!

Primjer 2

Provjeriti homogenost jednačine i pronaći njen opći integral.

Odgovor upišite u formular

Ovo je primjer za samostalnu odluku - tako da se naviknete na sam algoritam radnji. Provjerite u slobodno vrijeme, jer. ovdje je dosta komplikovano, a nisam ni počeo da donosim, inače nećete više dolaziti do takvog manijaka :)

A sada obećana važna tačka, pomenuta na samom početku teme,
podebljanim crnim slovima:

Ako u toku transformacija "resetujemo" faktor (nije konstanta)do imenioca, onda RIZIKujemo da izgubimo rješenja!

I u stvari, naišli smo na to u prvom primjeru. uvodna lekcija o diferencijalnim jednadžbama. U procesu rješavanja jednadžbe, pokazalo se da je "y" u nazivniku: , ali je, očito, rješenje za DE, a kao rezultat neekvivalentne transformacije (podjele), sva je prilika od gubitka! Druga stvar je što je u opšte rješenje ušlo na nultu vrijednost konstante. Resetovanje "x" na imenilac se takođe može zanemariti, jer ne zadovoljava originalnu difuziju.

Slična priča i sa trećom jednačinom iste lekcije, prilikom čijeg rješavanja smo “spustili” u nazivnik. Strogo govoreći, ovdje je trebalo provjeriti da li je data difuracija rješenje? Na kraju krajeva, jeste! Ali i ovdje je "sve ispalo", budući da je ova funkcija ušla u opći integral u .

I ako je to često slučaj sa “razdvojivim” jednadžbama;) “kotrlja”, onda se kod homogenih i nekih drugih difuzija možda “ne kotrlja”. Sa velikom vjerovatnoćom.

Hajde da analiziramo probleme koji su već riješeni u ovoj lekciji: Primjer 1 došlo je do "resetovanja" x, međutim, to ne može biti rješenje jednačine. Ali unutra primjer 2 podijelili smo se na , ali i ovo se "izvuklo": kako se rješenja nisu mogla izgubiti, ovdje ih jednostavno nema. Ali, naravno, "sretne slučajeve" sam namjerno složio i nije činjenica da će na njih naići u praksi:

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednačinu

Nije li to jednostavan primjer? ;-)

Rješenje: homogenost ove jednačine je očigledna, ali ipak - na prvom koraku UVIJEK provjerite mogu li se varijable odvojiti. Jer jednačina je takođe homogena, ali su varijable u njoj tiho odvojene. Da, ima ih!

Nakon provjere „odvojivosti“, vršimo zamjenu i pojednostavljujemo jednadžbu što je više moguće:

Odvajamo varijable, na lijevoj strani skupljamo "te", na desnoj - "x":

I ovdje je STOP. Prilikom dijeljenja s rizikujemo da izgubimo dvije funkcije odjednom. Budući da , onda su to funkcije:

Prva funkcija je očito rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugu - zamjenjujemo njen derivat u naš diffur:

- dobije se tačna jednakost, što znači da je funkcija rješenje.

I rizikujemo da izgubimo ove odluke.

Osim toga, imenilac je bio "X", međutim, zamjena implicira da nije nula. Zapamtite ovu činjenicu. Ali! Obavezno provjerite, da li je rješenje ORIGINALNE diferencijalne jednadžbe. Ne nije.

Zabilježimo sve ovo i nastavimo:

Moramo reći da smo imali sreće sa integralom na lijevoj strani, dešava se mnogo gore.

Sakupljamo jedan logaritam na desnoj strani i resetujemo okove:

I upravo sada obrnuta zamjena:

Pomnožite sve pojmove sa:

Sada da provjerim - da li su "opasna" rješenja uključena u opći integral. Da, oba rješenja su uključena u opći integral na nultu vrijednost konstante: , tako da ih nije potrebno dodatno označavati u odgovori:

opšti integral:

Ispitivanje. Nije čak ni test, već čisto zadovoljstvo :)

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Za samostalno rješenje:

Primjer 4

Izvršite test homogenosti i riješite diferencijalnu jednadžbu

Opšti integral se može provjeriti diferencijacijom.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo nekoliko primjera u kojima je data homogena jednadžba sa gotovim diferencijalima.

Primjer 5

Riješite diferencijalnu jednačinu

Ovo je vrlo zanimljiv primjer, samo cijeli triler!

Rješenje Naviknut ćemo se da bude kompaktniji. Prvo, mentalno ili na nacrtu, uvjeravamo se da se varijable ne mogu podijeliti ovdje, nakon čega provjeravamo ujednačenost - obično se ne izvodi na čistoj kopiji (osim ako nije posebno potrebno). Dakle, gotovo uvijek rješenje počinje unosom: " Ova jednadžba je homogena, napravimo zamjenu: ...».

Ako homogena jednadžba sadrži gotove diferencijale, onda se može riješiti modificiranom zamjenom:

Ali ne savjetujem korištenje takve zamjene, jer će se ispostaviti da je to Kineski zid diferencijala, gdje vam treba oko i oko. Sa tehničke tačke gledišta, povoljnije je preći na "isprekidanu" oznaku derivacije, za to sve članove jednačine dijelimo sa:

I već smo tu napravili "opasnu" transformaciju! Nulti diferencijal odgovara - porodici linija paralelnih sa osom. Jesu li oni korijeni našeg DU? Zamjena u originalnoj jednadžbi:

Ova jednakost je istinita ako , To jest, pri dijeljenju s smo riskirali da izgubimo rješenje , i izgubili smo ga- jer više ne zadovoljava rezultirajuća jednačina .

Treba napomenuti da ako smo originalno data je jednačina , tada korijen ne bi dolazio u obzir. Ali imamo ga i na vrijeme smo ga "uhvatili".

Nastavljamo rješenje sa standardnom zamjenom:
:

Nakon zamjene, pojednostavljujemo jednačinu što je više moguće:

Razdvajanje varijabli:

I ovdje opet STOP: pri dijeljenju s rizikujemo da izgubimo dvije funkcije. Budući da , onda su to funkcije:

Očigledno, prva funkcija je rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugo - zamjenjujemo i njegov derivat:

– primljeno istinska jednakost, pa je funkcija i rješenje diferencijalne jednadžbe.

A prilikom dijeljenja s rizikujemo da izgubimo ova rješenja. Međutim, oni mogu ući u zajednički integral. Ali možda neće ući.

Uzmimo ovo u obzir i integrirajmo oba dijela:

Integral lijeve strane standardno se rješava korištenjem izbor punog kvadrata, ali u difuzorima je mnogo praktičniji za korištenje metoda neodređenih koeficijenata:

Koristeći metodu neodređenih koeficijenata, proširujemo integrand u zbir elementarnih razlomaka:


ovako:

Nalazimo integrale:

- pošto smo nacrtali samo logaritme, guramo i konstantu ispod logaritma.

Prije zamjene ponovo pojednostavi sve što se može pojednostaviti:

Lanci za ispuštanje:

I obrnuta zamjena:

Sada se prisjećamo "gubitaka": rješenje je ušlo u opći integral na , ali - "proletjelo pored kase", jer pojavio u nazivniku. Stoga mu je u odgovoru dodijeljena posebna fraza, i da - ne zaboravite na izgubljenu odluku, koja se, usput rečeno, također pokazala na dnu.

odgovor: opšti integral: . Više rješenja:

Ovdje nije tako teško izraziti generalno rješenje:
, ali ovo je već razmetanje.

Pogodno, međutim, za testiranje. Nađimo derivat:

i zamena na lijevu stranu jednačine:

– kao rezultat dobijena je desna strana jednačine koju je trebalo provjeriti.

Sljedeći diffur je sam za sebe:

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednačinu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Pokušajte u isto vrijeme za obuku i ovdje izrazite općenito rješenje.

U završnom dijelu lekcije razmotrit ćemo još nekoliko karakterističnih zadataka na temu:

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Idemo utabanim stazama. Ova jednadžba je homogena, promijenimo:

Sa "x" je sve u redu, ali šta je sa kvadratnim trinomom? Pošto je neraskidiv na faktore : , onda definitivno ne gubimo rješenja. Uvek bi bilo ovako! Odaberite cijeli kvadrat na lijevoj strani i integrirajte:

Ovdje se nema šta pojednostavljivati, a samim tim i obrnuto:

odgovor: opšti integral:

Primjer 8

Riješite diferencijalnu jednačinu

Ovo je "uradi sam" primjer.

Dakle:

Za neekvivalentne konverzije, UVIJEK provjerite (barem verbalno), nemojte izgubiti svoje odluke! Koje su to transformacije? U pravilu, smanjenje po nečemu ili podjela po nečemu. Tako, na primjer, prilikom dijeljenja sa, trebate provjeriti jesu li funkcije rješenja diferencijalne jednadžbe. U isto vrijeme, kada dijeljenje po potrebi za takvom provjerom već nestaje - zbog činjenice da ovaj djelitelj ne nestaje.

Evo još jedne opasne situacije:

Ovdje, rješavajući se, treba provjeriti da li je to rješenje za DE. Često se “x”, “y” nalaze kao takvi faktori, a smanjivanjem po njima gubimo funkcije koje se mogu pokazati kao rješenja.

S druge strane, ako je nešto POČETNO u nazivniku, onda nema razloga za takvu zabrinutost. Dakle, u homogenoj jednadžbi, ne morate da brinete o funkciji, jer je „deklarisana“ u nazivniku.

Navedene suptilnosti ne gube na svojoj važnosti, čak i ako je potrebno pronaći samo određeno rješenje u problemu. Postoji mala, ali šansa da izgubimo upravo traženo konkretno rješenje. Da li je istina Cauchy problem u praktičnim zadacima sa homogenim jednadžbama se rijetko traži. Međutim, u članku ima takvih primjera Jednačine koje se svode na homogene, koju preporučujem da učite "u vrućoj potjeri" kako biste konsolidirali svoje vještine rješavanja.

Postoje i složenije homogene jednačine. Poteškoća nije u promjeni varijable ili pojednostavljenjima, već u prilično teškim ili rijetkim integralima koji nastaju kao rezultat razdvajanja varijabli. Imam primjere rješenja takvih homogenih jednačina - ružne integrale i ružne odgovore. Ali o njima nećemo, jer u narednim lekcijama (vidi dolje) Još imam vremena da te mučim, želim da te vidim svježe i optimistične!

Uspješna promocija!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: provjerite da li je jednačina homogena, za ovo, u originalnoj jednadžbi umjesto stavimo , i umjesto zamenimo:

Kao rezultat, dobija se originalna jednačina, što znači da je ovaj DE homogen.

Za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe 1. reda koristi se zamjena u=y/x, odnosno u je nova nepoznata funkcija koja ovisi o x. Stoga y=ux. Izvod y’ nalazimo koristeći pravilo diferencijacije proizvoda: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (pošto je x’=1). Za drugi oblik pisanja: dy=udx+xdu Nakon zamjene, pojednostavljujemo jednačinu i dolazimo do jednačine sa odvojivim varijablama.

Primjeri rješavanja homogenih diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

1) Riješite jednačinu

Provjeravamo da li je ova jednačina homogena (pogledajte Kako definirati homogenu jednačinu). Uvjeravajući se, vršimo zamjenu u=y/x, odakle je y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Zamjena: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Pošto je logaritam proizvoda jednak zbroju logaritama, ln(ux)=lnu+lnx. Odavde

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Nakon donošenja sličnih pojmova: u'x+u=u(1+lnu). Sada proširite zagrade

u'x+u=u+u lnu. Oba dijela sadrže u, dakle u'x=u·lnu. Pošto je u funkcija od x, u’=du/dx. Zamena

Dobili smo jednačinu sa odvojivim varijablama. Odvajamo varijable, za koje oba dijela pomnožimo sa dx i podijelimo sa x u lnu, pod uslovom da je proizvod x u lnu≠0

integrišemo:

Na lijevoj strani je tabelarni integral. Na desnoj strani vršimo zamjenu t=lnu, odakle dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Ali već smo raspravljali da je u takvim jednadžbama pogodnije uzeti ln│C│ umjesto S. Onda

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Po svojstvu logaritama: ln│t│=ln│Sx│. Stoga je t=Cx. (prema uslovu, x>0). Vrijeme je za obrnutu zamjenu: lnu=Cx. I još jedna obrnuta zamjena:

Prema svojstvu logaritama:

Ovo je opšti integral jednačine.

Podsjetimo proizvod uvjeta x·u·lnu≠0 (što znači x≠0,u≠0, lnu≠0, odakle je u≠1). Ali x≠0 iz uslova ostaje u≠1, dakle x≠y. Očigledno, y=x (x>0) je uključeno u opšte rješenje.

2) Naći parcijalni integral jednačine y’=x/y+y/x koji zadovoljava početne uslove y(1)=2.

Prvo, provjeravamo da li je ova jednadžba homogena (iako prisustvo pojmova y/x i x/y već indirektno ukazuje na to). Zatim vršimo zamjenu u=y/x, odakle je y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Dobivene izraze zamjenjujemo u jednačinu:

u'x+u=1/u+u. Pojednostavljenje:

u'x=1/u. Pošto je u funkcija od x, u’=du/dx:

Dobili smo jednačinu sa odvojivim varijablama. Da bismo odvojili varijable, pomnožimo oba dijela sa dx i u i podijelimo sa x (x≠0 uslovom, dakle i u≠0, što znači da nema gubitka odluka).

integrišemo:

a pošto u oba dijela postoje tabelarni integrali, odmah dobijamo

Izvođenje obrnute zamjene:

Ovo je opšti integral jednačine. Koristimo početni uslov y(1)=2, odnosno zamjenjujemo y=2, x=1 u rezultirajuće rješenje:

3) Naći opći integral homogene jednačine:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Promijenite u=y/x, odakle je y=ux, dy=xdu+udx. Zamjenjujemo:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Izvadimo x² iz zagrada i sa njim podijelimo oba dijela (pod pretpostavkom da je x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Proširite zagrade i pojednostavite:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Grupiranje pojmova sa du i dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Izvlačimo uobičajene faktore iz zagrada:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Razdvajanje varijabli:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Da bismo to učinili, podijelimo oba dijela jednačine sa xu(u²+1)≠0 (prema tome, dodajemo zahtjeve x≠0 (već napomenuto), u≠0):

integrišemo:

Na desnoj strani jednačine je tabelarni integral, racionalni razlomak na lijevoj strani se razlaže na jednostavne faktore:

(ili u drugom integralu, umjesto podvođenja pod diferencijalni predznak, bilo je moguće izvršiti zamjenu t=1+u², dt=2udu - kako god hoće). Dobijamo:

Prema svojstvima logaritama:

Reverzna zamjena

Prisjetimo se uvjeta u≠0. Otuda y≠0. Kada je C=0 y=0, tada nema gubitka rješenja, a y=0 je uključen u opći integral.

Komentar

Rješenje možete dobiti u drugom obliku ako ostavite pojam sa x na lijevoj strani:

Geometrijsko značenje integralne krive u ovom slučaju je porodica krugova sa centrom na Oy osi i koja prolazi kroz ishodište.

Zadaci za samotestiranje:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Provjeravamo da li je jednadžba homogena, nakon čega vršimo zamjenu u=y/x, odakle je y=ux, dy=xdu+udx. Zamjena u uvjetu: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Podijeleći obje strane jednačine sa x²≠0, dobijamo: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Dakle, dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Pojednostavljajući, imamo: dx-xudu=0. Otuda xudu=dx, udu=dx/x. Hajde da integrišemo oba dela:

Mislim da bismo trebali početi s istorijom tako veličanstvenog matematičkog alata kao što su diferencijalne jednačine. Kao i svaki diferencijalni i integralni račun, ove jednačine je izmislio Njutn krajem 17. veka. Upravo ovo svoje otkriće smatrao je toliko važnim da je čak i šifrirao poruku, koja se danas može prevesti otprilike ovako: "Svi zakoni prirode su opisani diferencijalnim jednadžbama." Ovo može izgledati kao preterivanje, ali je istina. Bilo koji zakon fizike, hemije, biologije može se opisati ovim jednačinama.

Ogroman doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednadžbi dali su matematičari Euler i Lagrange. Već u 18. vijeku otkrili su i razvili ono što sada izučavaju na višim kursevima univerziteta.

Nova prekretnica u proučavanju diferencijalnih jednačina započela je zahvaljujući Henriju Poincareu. Stvorio je "kvalitativnu teoriju diferencijalnih jednadžbi", koja je u kombinaciji sa teorijom funkcija kompleksne varijable dala značajan doprinos temeljima topologije - nauke o prostoru i njegovim svojstvima.

Šta su diferencijalne jednačine?

Mnogi se plaše jedne fraze, međutim, u ovom članku ćemo detaljno opisati suštinu ovog veoma korisnog matematičkog aparata, koji zapravo i nije tako komplikovan kao što se čini iz naziva. Da biste započeli razgovor o diferencijalnim jednadžbama prvog reda, prvo biste se trebali upoznati s osnovnim konceptima koji su inherentno povezani s ovom definicijom. Počnimo s diferencijalom.

Diferencijal

Mnogi ljudi poznaju ovaj koncept iz škole. Međutim, hajde da to pobliže pogledamo. Zamislite graf funkcije. Možemo ga povećati do te mjere da će bilo koji njegov segment poprimiti oblik prave linije. Na njemu uzimamo dvije tačke koje su beskonačno bliske jedna drugoj. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) bit će beskonačno mala vrijednost. Zove se diferencijal i označava se znakovima dy (diferencijal od y) i dx (diferencijal od x). Vrlo je važno shvatiti da diferencijal nije konačna vrijednost, već je to njegovo značenje i glavna funkcija.

A sada je potrebno razmotriti sljedeći element, koji će nam biti od koristi u objašnjavanju koncepta diferencijalne jednadžbe. Ovo je derivat.

Derivat

Vjerovatno smo svi čuli ovaj koncept u školi. Za derivaciju se kaže da je stopa rasta ili smanjenja funkcije. Međutim, veliki dio ove definicije postaje nerazumljiv. Pokušajmo derivaciju objasniti u terminima diferencijala. Vratimo se na infinitezimalni segment funkcije s dvije tačke koje su jedna od druge na minimalnoj udaljenosti. Ali čak i za ovu udaljenost, funkcija se uspijeva promijeniti za određenu količinu. A da bi opisali ovu promjenu, došli su do derivata, koji se inače može napisati kao omjer diferencijala: f (x) "=df / dx.

Sada je vrijedno razmotriti osnovna svojstva derivata. Ima ih samo tri:

1. Izvod zbira ili razlike može se predstaviti kao zbir ili razlika izvoda: (a+b)"=a"+b" i (a-b)"=a"-b".
2. Drugo svojstvo se odnosi na množenje. Derivat proizvoda je zbir proizvoda jedne funkcije i derivacije druge: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Derivat razlike se može napisati kao sljedeća jednakost: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Sva ova svojstva bit će nam korisna za pronalaženje rješenja diferencijalnih jednadžbi prvog reda.

Postoje i parcijalni derivati. Recimo da imamo funkciju z koja zavisi od varijabli x i y. Da bismo izračunali parcijalni izvod ove funkcije, recimo, u odnosu na x, moramo uzeti varijablu y kao konstantu i jednostavno diferencirati.

Integral

Drugi važan koncept je integral. U stvari, ovo je direktna suprotnost izvedenice. Postoji nekoliko vrsta integrala, ali za rješavanje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi potrebni su nam najtrivijalniji

Dakle, recimo da imamo neku zavisnost f od x. Od njega uzimamo integral i dobijamo funkciju F (x) (koja se često naziva antiderivatom), čiji je izvod jednak originalnoj funkciji. Dakle, F(x)"=f(x). Takođe slijedi da je integral derivacije jednak originalnoj funkciji.

Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi vrlo je važno razumjeti značenje i funkciju integrala, jer ćete ih morati često uzimati da biste pronašli rješenje.

Jednačine se razlikuju ovisno o njihovoj prirodi. U sljedećem dijelu ćemo razmotriti vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a zatim ćemo naučiti kako ih riješiti.

Klase diferencijalnih jednadžbi

"Diffura" se dijele prema redoslijedu izvedenica uključenih u njih. Dakle, postoji prvi, drugi, treći i više reda. Također se mogu podijeliti u nekoliko klasa: obične i parcijalne derivate.

U ovom članku ćemo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Također ćemo raspravljati o primjerima i načinima njihovog rješavanja u sljedećim odjeljcima. Razmotrit ćemo samo ODE, jer su to najčešći tipovi jednačina. Obične se dijele na podvrste: sa odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti po čemu se razlikuju jedni od drugih i naučiti kako ih riješiti.

Osim toga, ove jednačine se mogu kombinovati, tako da nakon toga dobijemo sistem diferencijalnih jednačina prvog reda. Takođe ćemo razmotriti takve sisteme i naučiti kako ih riješiti.

Zašto razmatramo samo prvi red? Jer morate početi od jednostavnog, a jednostavno je nemoguće opisati sve što se tiče diferencijalnih jednadžbi u jednom članku.

Jednačine odvojive varijable

Ovo su možda najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda. Ovo uključuje primjere koji se mogu napisati ovako: y "=f (x) * f (y). Da bismo riješili ovu jednačinu, potrebna nam je formula za predstavljanje derivacije kao omjera diferencijala: y" = dy / dx. Koristeći ga, dobijamo sljedeću jednačinu: dy/dx=f(x)*f(y). Sada se možemo obratiti metodi rješavanja standardnih primjera: varijable ćemo podijeliti na dijelove, odnosno sve ćemo sa y promjenljivom prenijeti na dio gdje se nalazi dy, a isto ćemo učiniti i sa varijablom x. Dobijamo jednačinu oblika: dy/f(y)=f(x)dx, koja se rješava uzimanjem integrala oba dijela. Ne zaboravite na konstantu, koja se mora postaviti nakon uzimanja integrala.

Rješenje bilo koje "difurance" je funkcija ovisnosti x od y (u našem slučaju) ili, ako postoji numerički uvjet, onda je odgovor u obliku broja. Pogledajmo cijelo rješenje koristeći konkretan primjer:

Prenosimo varijable u različitim smjerovima:

Sada uzimamo integrale. Svi oni se mogu naći u posebnoj tabeli integrala. I dobijamo:

log(y) = -2*cos(x) + C

Ako je potrebno, možemo izraziti "y" kao funkciju "x". Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena ako nije zadan nijedan uslov. Uslov se može dati, na primjer, y(n/2)=e. Zatim jednostavno zamijenimo vrijednost ovih varijabli u rješenje i pronađemo vrijednost konstante. U našem primjeru to je jednako 1.

Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

Sada pređimo na teži dio. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se zapisati opšti pogled dakle: y"=z(x,y). Treba napomenuti da je desna funkcija dvije varijable homogena, te da se ne može podijeliti na dvije zavisnosti: z na x i z na y. Provjera da li je jednadžba homogena ili nije sasvim jednostavno : vršimo zamjenu x=k*x i y=k*y. Sada poništavamo sva k. Ako su sva ova slova redukovana, onda je jednadžba homogena i možete bezbedno nastaviti da je rešavate. naprijed, recimo: princip rješavanja ovih primjera je također vrlo jednostavan.

Moramo napraviti zamjenu: y=t(x)*x, gdje je t neka funkcija koja također ovisi o x. Tada možemo izraziti izvod: y"=t"(x)*x+t. Zamjenjujući sve ovo u našu originalnu jednačinu i pojednostavljujući je, dobivamo primjer sa odvojivim varijablama t i x. Rješavamo to i dobijamo zavisnost t(x). Kada ga dobijemo, jednostavno zamjenjujemo y=t(x)*x u našu prethodnu zamjenu. Tada dobijamo zavisnost y od x.

Da bi bilo jasnije, pogledajmo primjer: x*y"=y-x*e y/x .

Prilikom provjere sa zamjenom, sve se smanjuje. Dakle, jednadžba je zaista homogena. Sada pravimo još jednu zamjenu o kojoj smo pričali: y=t(x)*x i y"=t"(x)*x+t(x). Nakon pojednostavljenja, dobijamo sljedeću jednačinu: t "(x) * x \u003d -e t. Rezultirajući primjer rješavamo sa odvojenim varijablama i dobijamo: e -t \u003dln (C * x). Trebamo samo zamijeniti t sa y / x (jer ako je y = t * x, onda t = y / x), i dobijamo odgovor: e -y / x = ln (x * C).

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Vrijeme je da razmotrimo još jednu široku temu. Analiziraćemo nehomogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Po čemu se razlikuju od prethodna dva? Hajde da to shvatimo. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda u općem obliku mogu se napisati na sljedeći način: y " + g (x) * y \u003d z (x). Vrijedi pojasniti da z (x) i g (x) mogu biti konstantne vrijednosti .

A sada primjer: y" - y*x=x 2 .

Postoje dva načina za rješavanje, a oba ćemo analizirati po redu. Prvi je metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Da biste na ovaj način riješili jednačinu, prvo morate izjednačiti desna strana na nulu i riješiti rezultirajuću jednadžbu, koja će nakon prijenosa dijelova poprimiti oblik:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Sada moramo zamijeniti konstantu C 1 funkcijom v(x), koju moramo pronaći.

Promijenimo derivat:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Zamijenimo ove izraze u originalnu jednačinu:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Vidi se da su dva termina poništena na lijevoj strani. Ako se u nekom primjeru to nije dogodilo, onda ste nešto pogriješili. nastavimo:

v"*e x2/2 = x 2 .

Sada rješavamo uobičajenu jednačinu u kojoj trebamo razdvojiti varijable:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Da bismo izdvojili integral, ovdje moramo primijeniti integraciju po dijelovima. Međutim, ovo nije tema našeg članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti kako sami izvoditi takve radnje. Nije teško, a uz dovoljnu vještinu i pažnju ne oduzima puno vremena.

Okrenimo se drugom rješenju. nehomogene jednačine: Bernoulli metoda. Koji pristup je brži i lakši zavisi od vas.

Dakle, prilikom rješavanja jednačine ovom metodom, potrebno je izvršiti zamjenu: y=k*n. Ovdje su k i n neke funkcije zavisne od x. Tada će izvod izgledati ovako: y"=k"*n+k*n". Obje zamjene zamjenjujemo u jednačinu:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupisanje:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Sada treba da izjednačimo sa nulom ono što je u zagradama. Sada, ako spojimo dvije rezultirajuće jednačine, dobićemo sistem diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje treba riješiti:

Prvu jednakost rješavamo kao običnu jednačinu. Da biste to učinili, morate odvojiti varijable:

Uzimamo integral i dobijamo: ln(n)=x 2 /2. Zatim, ako izrazimo n:

Sada zamjenjujemo rezultirajuću jednakost u drugu jednačinu sistema:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

I transformacijom, dobijamo istu jednakost kao u prvoj metodi:

dk=x 2 /e x2/2 .

Takođe nećemo analizirati dalje akcije. Vrijedi reći da u početku rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda uzrokuje značajne poteškoće. Međutim, dubljim uranjanjem u temu, postaje sve bolje i bolje.

Gdje se koriste diferencijalne jednadžbe?

Diferencijalne jednadžbe se vrlo aktivno koriste u fizici, jer su gotovo svi osnovni zakoni napisani u diferencijalnom obliku, a formule koje vidimo su rješenje ovih jednačina. U hemiji se koriste iz istog razloga: iz njih su izvedeni osnovni zakoni. U biologiji se diferencijalne jednadžbe koriste za modeliranje ponašanja sistema, kao što je grabežljivac-plijen. Mogu se koristiti i za kreiranje modela reprodukcije, recimo, kolonije mikroorganizama.

Kako će diferencijalne jednadžbe pomoći u životu?

Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: nikako. Ako niste naučnik ili inženjer, malo je vjerovatno da će vam oni biti korisni. Međutim, za opći razvoj ne škodi znati što je diferencijalna jednačina i kako se ona rješava. I onda pitanje sina ili kćeri "šta je diferencijalna jednačina?" neće vas zbuniti. Pa, ako ste naučnik ili inženjer, onda i sami shvatate važnost ove teme u bilo kojoj nauci. Ali najvažnije je da se sada postavlja pitanje "kako riješiti diferencijalnu jednačinu prvog reda?" uvek možeš da odgovoriš. Slažem se, uvijek je lijepo kada shvatiš ono što se ljudi čak i boje razumjeti.

Glavni problemi u učenju

Glavni problem u razumijevanju ove teme je slaba vještina integracije i diferenciranja funkcija. Ako niste dobri u uzimanju izvoda i integrala, onda je vjerojatno vrijedno naučiti više, savladati različite metode integracije i diferencijacije, pa tek onda preći na proučavanje materijala koji je opisan u članku.

Neki se iznenade kada saznaju da se dx može prenijeti, jer se ranije (u školi) govorilo da je razlomak dy/dx nedjeljiv. Ovdje morate pročitati literaturu o izvodu i shvatiti da je to omjer beskonačno malih veličina kojima se može manipulirati prilikom rješavanja jednačina.

Mnogi ne shvaćaju odmah da je rješenje diferencijalnih jednadžbi prvog reda često funkcija ili integral koji se ne može uzeti, a ova zabluda im zadaje mnogo problema.

Šta se još može proučavati radi boljeg razumijevanja?

Najbolje je započeti dalje uranjanje u svijet diferencijalnog računa sa specijalizovanim udžbenicima, na primjer, o računima za studente nematematičkih specijalnosti. Zatim možete preći na specijalizovaniju literaturu.

Vrijedi reći da, osim diferencijalnih jednadžbi, postoje i integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati čemu težiti i čemu proučavati.

Zaključak

Nadamo se da ćete nakon čitanja ovog članka imati ideju o tome što su diferencijalne jednadžbe i kako ih ispravno riješiti.

U svakom slučaju, matematika nam je nekako korisna u životu. Razvija logiku i pažnju, bez kojih je svaka osoba kao bez ruku.