ekstremu funkcije. Oznaka: lokalni maksimum

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kaže se da $f$ ima lokalni maksimum u tački $x_(0) \u E$ ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Poziva se lokalni maksimum stroga , ako se okolina $U$ može izabrati na takav način da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicija
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kaže se da $f$ ima lokalni minimum u tački $x_(0) \u E$ ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Za lokalni minimum se kaže da je strog ako se okolina $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različito od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\desno)$.

Lokalni ekstremum kombinuje koncepte lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma.

Teorema (neophodan uslov za ekstremum diferencijabilne funkcije)
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ako u tački $x_(0) \u E$ funkcija $f$ i u ovoj tački ima lokalni ekstrem, onda je $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Jednakost diferencijala nule je ekvivalentna činjenici da su svi jednaki nuli, tj. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

U jednodimenzionalnom slučaju, ovo je . Označite $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdje je $h$ proizvoljan vektor. Funkcija $\phi$ je definirana za dovoljno male modulo vrijednosti od $t$. Štaviše, s obzirom na , on je diferenciran, a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Neka $f$ ima lokalni maksimum na x $0$. Dakle, funkcija $\phi$ na $t = 0$ ima lokalni maksimum i, prema Fermatovom teoremu, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Dakle, dobili smo da je $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcija $f$ u tački $x_(0)$ jednaka je nuli na bilo kojem vektoru $h$.

Definicija
Tačke u kojima je diferencijal jednak nuli, tj. oni u kojima su sve parcijalne derivacije jednake nuli nazivaju se stacionarnim. kritične tačke funkcije $f$ su one tačke u kojima $f$ nije diferencibilna, ili je jednaka nuli. Ako je tačka stacionarna, onda još ne slijedi da funkcija u ovoj tački ima ekstrem.

Primjer 1
Neka je $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tada je $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, pa je $\left(0,0\right)$ stacionarna tačka, ali funkcija nema ekstrem u ovoj tački. Zaista, $f \left(0,0\right) = 0$, ali je lako vidjeti da u bilo kojoj okolini tačke $\left(0,0\right)$ funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Primjer 2
Funkcija $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ima ishodište koordinata kao stacionarne tačke, ali je jasno da u ovoj tački nema ekstrema.

Teorema (dovoljan uslov za ekstrem).
Neka je funkcija $f$ dvaput kontinuirano diferencibilna na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Neka je $x_(0) \in E$ stacionarna tačka i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Onda

1. ako je $Q_(x_(0))$ , tada funkcija $f$ u tački $x_(0)$ ima lokalni ekstrem, odnosno minimum ako je oblik pozitivno određen i maksimum ako je oblik negativno-definitivno;
2. ako je kvadratni oblik $Q_(x_(0))$ neodređen, onda funkcija $f$ u tački $x_(0)$ nema ekstrem.

Koristimo proširenje prema Taylorovoj formuli (12.7 str. 292) . Uzimajući u obzir da su parcijalne derivacije prvog reda u tački $x_(0)$ jednake nuli, dobijamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\desno) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ parcijalni x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\desno)h^(i)h^(j),$$ gdje je $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ za $h \rightarrow 0$, zatim desni deo je pozitivan za bilo koji vektor $h$ dovoljno male dužine.
Dakle, došli smo do zaključka da je u nekom susjedstvu tačke $x_(0)$ nejednakost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ zadovoljena ako je samo $ x \neq x_ (0)$ (stavimo $x=x_(0)+h$\desno). To znači da u tački $x_(0)$ funkcija ima strogi lokalni minimum i time je prvi dio naše teoreme dokazan.
Pretpostavimo sada da je $Q_(x_(0))$ neodređeni oblik. Tada postoje vektori $h_(1)$, $h_(2)$ takvi da je $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Tada dobijamo $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Za dovoljno mali $t>0$, desna strana je pozitivno. To znači da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti $f \left(x\right)$ veće od $f \left(x_(0)\right)$.
Slično, dobijamo da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti manje od $f \left(x_(0)\right)$. Ovo, zajedno sa prethodnim, znači da funkcija $f$ nema ekstrem u tački $x_(0)$.

Razmotrimo poseban slučaj ove teoreme za funkciju $f \left(x,y\right)$ dvije varijable definirane u nekom susjedstvu tačke $\left(x_(0),y_(0)\right) $ i imaju kontinuirane parcijalne derivate prvog i drugog reda. Neka je $\left(x_(0),y_(0)\right)$ stacionarna tačka i neka je $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\desno), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Tada prethodna teorema poprima sljedeći oblik.

Teorema
Neka je $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. onda:

1. ako je $\Delta>0$, onda funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u tački $\left(x_(0),y_(0)\right)$, naime, minimum ako $a_(11)> 0$ , a maksimum ako je $a_(11)<0$;
2. ako je $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primjeri rješavanja problema

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih varijabli:

1. Nalazimo stacionarne tačke;
2. Pronalazimo diferencijal 2. reda u svim stacionarnim tačkama
3. Koristeći dovoljan uslov za ekstremum funkcije nekoliko varijabli, razmatramo diferencijal drugog reda u svakoj stacionarnoj tački

1. Istražite funkciju do ekstrema $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Odluka

   Pronađite parcijalne izvode 1. reda: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastavite i riješite sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\kraj(slučajevi) \desno \begin(slučajevi)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Iz 2. jednačine izražavamo $x=4 \cdot y^(2)$ — zamijenimo u 1. jednačinu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ desno )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kao rezultat, dobijaju se 2 stacionarne tačke:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Provjerimo ispunjenje dovoljnog ekstremnog uvjeta:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Za tačku $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Za tačku $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, tako da postoji ekstrem u tački $M_(2)$, a pošto $A_(2)>0 $, onda je ovo minimum.
   Odgovor: Tačka $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimalna tačka funkcije $f$.
   

2. Istražite funkciju za ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Odluka

   Pronađite stacionarne tačke: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Sastavite i riješite sistem: $$\displaystyle \begin(slučajevi)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi) \ Desno \begin(slučajevi)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(slučajevi) \Strelica desno \begin(slučajevi) y = 2\\y + x = 1\kraj (slučajevi) \Strelica desno x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionarna tačka.
   Provjerimo ispunjenost uslova dovoljnog ekstrema: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odgovor: ne postoje ekstremi.
   

Vremensko ograničenje: 0

Navigacija (samo brojevi poslova)

0 od 4 zadatka završeno

Informacije

Riješite ovaj kviz da provjerite svoje znanje o temi koju ste upravo pročitali, Lokalni ekstremi funkcija mnogih varijabli.

Već ste ranije polagali test. Ne možete ga ponovo pokrenuti.

Test se učitava...

Morate se prijaviti ili registrirati da biste započeli test.

Morate završiti sljedeće testove da biste započeli ovaj:

rezultate

Tačni odgovori: 0 od 4

Vaše vrijeme:

Vrijeme je isteklo

Osvojili ste 0 od 0 poena (0 )

Vaš rezultat je zabilježen na tabeli

1. Sa odgovorom
2. Odjavljeno

Zadatak 1 od 4

1 .

Broj bodova: 1

Istražite funkciju $f$ za ekstreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Ispravno


Nije tačno


1. Zadatak 2 od 4

   2 .

   Broj bodova: 1

   Da li funkcija $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

MAKSIMALNI I MINIMALNI BODOVI

tačke u kojima uzima najveće ili najmanje vrijednosti u domeni definicije; takve tačke se nazivaju takođe tačke apsolutnog maksimuma ili apsolutnog minimuma. Ako je f definiran na topološkom prostor X, zatim tačka x 0 pozvao tačka lokalnog maksimuma (lokalnog minimuma), ako takva tačka postoji x 0, da je za ograničenje razmatrane funkcije na ovu okolinu, točka x 0 je apsolutni maksimum (minimum) tačka. Razlikovati tačke strogog i nestrogog maksimuma (mini m u m a) (apsolutne i lokalne). Na primjer, tačka tzv tačka nestrogog (strogog) lokalnog maksimuma funkcije f, ako postoji takva okolina tačke x 0,što važi za sve (odnosno, f(x) x0). )/

Za funkcije definisane na konačno-dimenzionalnim domenima, u terminima diferencijalnog računa, postoje uslovi i kriterijumi da data tačka bude lokalna tačka maksimuma (minimuma). Neka je funkcija f definirana u određenom susjedstvu kutije x 0 realne ose. Ako x 0 - tačka nestrogog lokalnog maksimuma (minimuma) i u ovoj tački postoji f"( x0), onda je jednako nuli.

Ako je data funkcija f diferencijabilna u susjedstvu tačke x 0 , osim, možda, same ove tačke, u kojoj je kontinuirana, i derivacije f" sa svake strane tačke x0čuva stalni znak u ovom naselju, zatim kako bi x0 bila tačka strogog lokalnog maksimuma (lokalnog minimuma), potrebno je i dovoljno da derivacija promeni predznak sa plus na minus, tj. da je f"(x)> 0 na x<.x0 i f"(x)<0 при x>x0(od minusa do plusa: f"(X) <0 na x<x0 i f"(x)>0 kada x>x 0). Međutim, ne za svaku funkciju diferencibilnu u susjedstvu tačke x 0 , u ovom trenutku se može govoriti o promjeni predznaka derivacije. . "

Ako funkcija f ima u tački x 0 t derivati, štaviše, kako bi x 0 je tačka strogog lokalnog maksimuma, potrebno je i dovoljno da τ bude paran i da f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Neka funkcija f( x 1 ..., x str] je definisan u n-dimenzionalnoj okolini tačke i diferencibilan je u ovoj tački. Ako je x (0) nestroga lokalna maksimalna (minimalna) tačka, tada je funkcija f u ovoj tački jednaka nuli. Ovaj uslov je ekvivalentan jednakosti nuli u ovoj tački svih parcijalnih izvoda 1. reda funkcije f. Ako funkcija ima 2. kontinuirane parcijalne izvode na x(0), svi njeni 1. derivati ​​nestaju na x(0), a diferencijal 2. reda na x(0) je negativan (pozitivan) kvadratni oblik, tada je x(0) tačka strogog lokalnog maksimuma (minimuma). Poznati su uvjeti za M. i M. T. diferencijabilne funkcije, kada su određena ograničenja nametnuta promjenama argumenata: jednačine ograničenja su zadovoljene. Neophodni i dovoljni uslovi za maksimum (minimum) realne funkcije, koja ima složeniju strukturu, proučavaju se u posebnim granama matematike: npr. konveksna analiza, matematičko programiranje(vidi takođe Maksimizacija i minimiziranje funkcije). M. i m.t. funkcije definirane na mnogostrukostima se proučavaju u račun varijacija općenito, i M. i m.t. za funkcije definirane na funkcijskim prostorima, tj. za funkcionale, in varijacioni račun. Postoje i različite metode numeričkog aproksimativnog pronalaženja M. i m. t.

Lit.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Osnove matematičke analize, 3. izdanje, 1. dio, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte šta je "MAXIMUM I MINIMUM POENA" u drugim rječnicima:

Diskretni Pontrijaginov princip maksimuma za vremensko diskretne procese upravljanja. Za takav proces, M. p. možda neće biti zadovoljen, iako za njegov kontinuirani analog, koji se dobija zamjenom operatora konačne razlike diferencijalnim ... ... Mathematical Encyclopedia

Teorema koja izražava jedno od glavnih svojstava modula analitike. funkcije. Neka je f(z) regularna analitička, ili holomorfna, funkcija p-kompleksnih varijabli u domeni D kompleksnog brojevnog prostora različitog od konstante, M. m. s. u ... ... Mathematical Encyclopedia

Najveće i, prema tome, najmanje vrijednosti funkcije koja uzima stvarne vrijednosti. Poziva se tačka domene definicije dotične funkcije, u kojoj ona uzima maksimum ili minimum. odnosno maksimalni ili minimalni bod ... ... Mathematical Encyclopedia

Pogledajte Maksimum i minimum funkcije, Maksimum i minimum tačke... Mathematical Encyclopedia

Vrijednost kontinuirane funkcije koja je maksimum ili minimum (pogledajte Maksimalne i Minimalne tačke). Termin LE ... Mathematical Encyclopedia

Indikator- (Indikator) Indikator je informacioni sistem, supstanca, uređaj, uređaj koji prikazuje promene u bilo kom parametru Indikatori grafikona Forex valutnog tržišta, šta su i gde se mogu preuzeti? Opis MACD indikatora, ... ... Enciklopedija investitora

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Ekstremno (značenja). Ekstrem (latinski extremum extreme) u matematici je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije na datom skupu. Tačka u kojoj se dostiže ekstrem je ... ... Wikipedia

Diferencijalni račun je grana matematičke analize koja proučava koncepte derivacije i diferencijala i kako se oni mogu primijeniti na proučavanje funkcija. Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija jedne varijable ... Wikipedia

Lemniskata i njeni trikovi Bernulijeva lemniskata je ravna algebarska kriva. Definiše se kao lokus tačaka, proizvod... Wikipedia

Divergencija- (Divergencija) Divergencija kao indikator Strategija trgovanja sa MACD divergencijom Sadržaj Sadržaj Odjeljak 1. on. Odjeljak 2. Divergencija kako. Divergencija je termin koji se koristi u ekonomiji za označavanje kretanja duž divergentnih ... ... Enciklopedija investitora

Kaže se da funkcija ima internu tačku
oblasti D lokalni maksimum(minimum) ako postoji takva okolina tačke
, za svaku tačku
koji zadovoljava nejednakost

Ako funkcija ima u točki
lokalni maksimum ili lokalni minimum, onda kažemo da ima u ovom trenutku lokalni ekstrem(ili samo ekstremno).

Teorema (neophodan uslov za postojanje ekstremuma). Ako diferencijabilna funkcija dostigne ekstrem u tački
, zatim svaki parcijalni izvod funkcije prvog reda nestaje u ovom trenutku.

Pozivaju se tačke u kojima sve parcijalne derivacije prvog reda nestaju stacionarne tačke funkcije
. Koordinate ovih tačaka se mogu naći rješavanjem sistema iz jednačine

.

Neophodan uslov za postojanje ekstremuma u slučaju diferencijabilne funkcije može se ukratko formulisati na sledeći način:

Postoje slučajevi kada u nekim točkama neki parcijalni derivati ​​imaju beskonačne vrijednosti ili ne postoje (dok su ostali jednaki nuli). Takve tačke se nazivaju kritične tačke funkcije. Ove tačke takođe treba smatrati "sumnjivim" za ekstrem, kao i one stacionarne.

U slučaju funkcije dvije varijable, neophodan uslov za ekstremum, odnosno jednakost parcijalnih izvoda (diferencijala) sa nulom u tački ekstrema, ima geometrijsku interpretaciju: tangentna ravan na površinu
u tački ekstrema mora biti paralelna sa ravninom
.

20. Dovoljni uslovi za postojanje ekstrema

Izvršenje u nekom trenutku neophodno stanje postojanje ekstremuma uopšte ne garantuje postojanje ekstremuma. Kao primjer možemo uzeti svugdje diferencibilnu funkciju
. I njegove parcijalne derivacije i sama funkcija nestaju u tački
. Međutim, u bilo kojem susjedstvu ove točke, postoje oba pozitivna (velika
) i negativni (manji
) vrijednosti ove funkcije. Stoga, u ovom trenutku, po definiciji, ne postoji ekstremum. Zbog toga je potrebno poznavati dovoljne uslove pod kojima je tačka za koju se sumnja na ekstremum tačka ekstrema funkcije koja se proučava.

Razmotrimo slučaj funkcije dvije varijable. Pretpostavimo da je funkcija
je definiran, kontinuiran i ima kontinuirane parcijalne izvode do i uključujući drugi red u susjedstvu neke tačke
, što je stacionarna tačka funkcije
, odnosno zadovoljava uslove

,
.

Hajde da uvedemo notaciju:

Teorema (dovoljni uslovi za postojanje ekstrema). Neka funkcija
zadovoljava gore navedene uslove, i to: diferencibilan u nekoj okolini stacionarne tačke
i dvaput je diferencibilan u samoj tački
. Onda ako

Ako
zatim funkciju
u tački
dosega

lokalni maksimum at
i

lokalni minimum at
.

Općenito, za funkciju
dovoljan uslov za postojanje u jednoj tački
lokalniminimum(maksimum) je pozitivno(negativan) određenost drugog diferencijala.

Drugim riječima, tačna je sljedeća izjava.

Teorema . Ako u tački
za funkciju

za bilo koji u isto vrijeme nije jednak nuli
, tada u ovom trenutku funkcija ima minimum(slično maksimum, ako
).

Primjer 18.Pronađite lokalne ekstremne točke funkcije

Odluka. Pronađite parcijalne izvode funkcije i izjednačite ih sa nulom:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo dvije moguće tačke ekstrema:

Nađimo parcijalne izvode drugog reda za ovu funkciju:

U prvoj stacionarnoj tački , dakle, i
Stoga su za ovu tačku potrebna dalja istraživanja. Vrijednost funkcije
u ovom trenutku je nula:
dalje,

at

a

at

Dakle, u bilo kom susjedstvu tačke
funkcija
uzima vrijednosti kao velike
, i manji
, a time i u točki
funkcija
, po definiciji, nema lokalni ekstrem.

Na drugoj stacionarnoj tački



dakle, dakle, pošto
onda u tački
funkcija ima lokalni maksimum.

Promjena funkcije u određenoj tački i definira se kao granica prirasta funkcije na prirast argumenta, koji teži nuli. Da biste ga pronašli, koristite tabelu izvedenica. Na primjer, derivacija funkcije y = x3 bit će jednaka y’ = x2.

Izjednačite ovu derivaciju sa nulom (u ovom slučaju x2=0).

Pronađite vrijednost date varijable. To će biti vrijednosti za koje će ovaj izvod biti jednak 0. Da biste to učinili, zamijenite proizvoljne brojeve u izraz umjesto x, pri čemu će cijeli izraz postati nula. Na primjer:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Dobivene vrijednosti nanesite na koordinatnu liniju i izračunajte predznak derivacije za svaku od dobijenih. Na koordinatnoj liniji su označene tačke koje se uzimaju kao ishodište. Da biste izračunali vrijednost u intervalima, zamijenite proizvoljne vrijednosti koje odgovaraju kriterijima. Na primjer, za prethodnu funkciju do intervala -1, možete odabrati vrijednost -2. Za -1 do 1, možete odabrati 0, a za vrijednosti veće od 1, izabrati 2. Zamijenite ove brojeve u izvod i saznajte predznak izvoda. U ovom slučaju, derivacija sa x = -2 će biti jednaka -0,24, tj. negativan i na ovom intervalu će biti znak minus. Ako je x=0, tada će vrijednost biti jednaka 2, a na ovaj interval se stavlja znak. Ako je x=1, onda će i derivacija biti jednaka -0,24 i stavlja se minus.

Ako pri prolasku kroz tačku na koordinatnoj liniji derivacija promijeni svoj predznak s minusa na plus, onda je ovo minimalna točka, a ako je od plusa u minus, onda je ovo maksimalna točka.

Povezani video zapisi

Koristan savjet

Da biste pronašli derivat, postoje online servisi koji izračunavaju željene vrijednosti i ispisati rezultat. Na takvim stranicama možete pronaći derivat do 5 naloga.

Izvori:

• Jedan od servisa za obračun derivata
• maksimalna tačka funkcije

Maksimalne tačke funkcije zajedno sa minimalnim tačkama nazivaju se tačke ekstrema. U tim točkama funkcija mijenja svoje ponašanje. Ekstremi se određuju u ograničenim numeričkim intervalima i uvijek su lokalni.

Uputstvo

Proces pronalaženja lokalnih ekstrema naziva se funkcija i izvodi se analizom prvog i drugog izvoda funkcije. Prije nego započnete istraživanje, uvjerite se da navedeni raspon vrijednosti argumenata pripada dozvoljenim vrijednostima. Na primjer, za funkciju F=1/x, vrijednost argumenta x=0 je nevažeća. Ili za funkciju Y=tg(x), argument ne može imati vrijednost x=90°.

Uvjerite se da je Y funkcija diferencibilna u cijelom danom intervalu. Naći prvi izvod Y". Očigledno je da prije dostizanja tačke lokalnog maksimuma funkcija raste, a pri prolasku kroz maksimum funkcija postaje opadajuća. Prvi izvod po svom fizičkom značenju karakterizira brzinu promjene funkcije. Dok se funkcija povećava, brzina ovog procesa je pozitivna vrijednost. Kada se prođe kroz lokalni maksimum, funkcija počinje opadati, a brzina procesa promjene funkcije postaje negativna. Prijelaz brzine promjene funkcije kroz nulu se javlja u tački lokalnog maksimuma.

definicija: Tačka x0 naziva se tačka lokalnog maksimuma (ili minimuma) funkcije, ako u nekom susjedstvu tačke x0 funkcija zauzima najveću (ili najmanju) vrijednost, tj. za sve h iz neke okoline tačke x0 uslov f(x) f(x0) (ili f(x) f(x0)) je zadovoljen.

Tačke lokalnog maksimuma ili minimuma objedinjene su zajedničkim imenom - tačke lokalnog ekstremuma funkcije.

Imajte na umu da u tačkama lokalnog ekstremuma funkcija dostiže svoj maksimum ili najmanju vrijednost samo u nekom lokalnom području. Postoje slučajevi kada je prema vrijednosti umaxumin .

Neophodan kriterij za postojanje lokalnog ekstremuma funkcije

Teorema . Ako kontinuirana funkcija y = f(x) ima lokalni ekstrem u tački x0, tada je u ovoj tački prvi izvod ili nula ili ne postoji, tj. lokalni ekstrem se odvija na kritičnim tačkama prve vrste.

U tačkama lokalnog ekstrema, ili je tangenta paralelna s osom 0x, ili postoje dvije tangente (vidi sliku). Imajte na umu da su kritične tačke neophodan, ali ne i dovoljan uslov za lokalni ekstrem. Lokalni ekstrem se dešava samo na kritičnim tačkama prve vrste, ali nemaju sve kritične tačke lokalni ekstrem.

Na primjer: kubna parabola y = x3, ima kritičnu tačku x0=0, u kojoj je izvod y/(0)=0, ali kritična tačka x0=0 nije tačka ekstrema, već u njoj postoji tačka pregiba (vidi dole).

Dovoljan kriterij za postojanje lokalnog ekstremuma funkcije

Teorema . Ako, kada argument prođe kroz kritičnu tačku prve vrste, s lijeva na desno, prvi izvod y / (x)

mijenja predznak iz “+” u “-”, tada kontinuirana funkcija y(x) ima lokalni maksimum u ovoj kritičnoj tački;

mijenja predznak iz “-” u “+”, tada kontinuirana funkcija y(x) ima lokalni minimum u ovoj kritičnoj tački

ne mijenja predznak, tada nema lokalnog ekstremuma u ovoj kritičnoj tački, postoji tačka pregiba.

Za lokalni maksimum, područje rastuće funkcije (y/0) zamjenjuje se područjem opadajuće funkcije (y/0). Za lokalni minimum, područje opadajuće funkcije (y/0) zamjenjuje se područjem rastuće funkcije (y/0).

Primjer: Istražite funkciju y = x3 + 9x2 + 15x - 9 za monotonost, ekstrem i izgradite graf funkcije.

Nađimo kritične tačke prve vrste tako što ćemo definisati izvod (y/) i izjednačiti ga sa nulom: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Kvadratni trinom rješavamo pomoću diskriminanta:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Podijelimo numeričku osu po kritičnim tačkama na 3 regije i odredimo u njima predznake izvoda (y/). Na osnovu ovih predznaka nalazimo oblasti monotonosti (porastanja i smanjenja) funkcija, a promenom predznaka određujemo tačke lokalnog ekstremuma (maksimuma i minimuma).

Rezultati istraživanja predstavljeni su u obliku tabele iz koje se mogu izvesti sljedeći zaključci:

• 1. Na intervalu y /(-10) 0, funkcija raste monotono (predznak izvoda y je procijenjen iz kontrolne tačke x = -10 uzete u ovom intervalu);
• 2. Na intervalu (-5; -1) y /(-2) 0, funkcija monotono opada (predznak izvoda y je procijenjen iz kontrolne tačke x = -2 uzete u ovom intervalu);
• 3. Na intervalu y /(0) 0, funkcija raste monotono (predznak izvoda y je procijenjen iz kontrolne tačke x = 0 uzete u ovom intervalu);
• 4. Prilikom prolaska kroz kritičnu tačku x1k \u003d -5, derivacija mijenja znak iz "+" u "-", stoga je ova tačka lokalna maksimalna tačka
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. Prilikom prolaska kroz kritičnu tačku x2k \u003d -1, derivacija mijenja znak iz "-" u "+", stoga je ova tačka lokalna minimalna tačka
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Napravit ćemo graf na osnovu rezultata studije uz uključenje dodatnih proračuna vrijednosti funkcije u kontrolnim točkama:

gradimo pravougaoni koordinatni sistem Oxy;

prikazati koordinate maksimalnih (-5; 16) i minimalnih (-1; -16) tačaka;

da bismo precizirali graf, izračunavamo vrijednost funkcije na kontrolnim točkama, birajući ih lijevo i desno od maksimalne i minimalne tačke i unutar srednjeg intervala, na primjer: y(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) i (0;-9) - izračunate kontrolne tačke, koje se iscrtavaju za izgradnju grafikona;

prikazujemo grafik u obliku krive sa ispupčenjem nagore u maksimalnoj tački i ispupčenjem prema dolje u minimalnoj tački i koja prolazi kroz izračunate kontrolne tačke.