Pronađite tačku simetričnu datoj u odnosu na ravan. Najjednostavniji problemi sa pravom linijom na ravni

27.09.2019 | Dokumenti

Prava linija u prostoru se uvek može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni. Ako je jednačina jedne ravni jednačina druge ravni, tada je jednačina prave data kao

Evo nekolinearno
. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine pravo u svemir.

Kanonske jednadžbe prave

Svaki vektor različit od nule koji leži na datoj pravoj ili je paralelan s njom naziva se vektor smjera ove prave.

Ako je poenta poznata
prava linija i njen vektor pravca
, tada kanonske jednadžbe prave imaju oblik:

. (9)

Parametarske jednadžbe prave

Neka su date kanonske jednadžbe prave

Odavde dobijamo parametarske jednačine linije:

(10)

Ove jednadžbe su korisne za pronalaženje točke presjeka prave i ravni.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke
I
ima oblik:

Ugao između pravih linija

Ugao između pravih linija

jednak kutu između njihovih vektora smjera. Stoga se može izračunati pomoću formule (4):

Uslov za paralelne prave:

Uslov da ravnine budu okomite:

Udaljenost tačke od prave

P recimo da je poenta data
i ravno

Iz kanonskih jednačina prave znamo tačku
, koji pripada liniji, i njen vektor smjera
. Zatim udaljenost tačke
od prave jednaka je visini paralelograma izgrađenog na vektorima I
. dakle,

Uslov za presek linija

Dvije neparalelne prave

seku ako i samo ako

Relativni položaj prave i ravni.

Neka je data prava linija
i avion. Ugao između njih se može pronaći pomoću formule

Problem 73. Napišite kanonske jednačine prave

(11)

Rješenje. Da bi se zapisali kanonske jednadžbe prave (9), potrebno je poznavati bilo koju tačku koja pripada pravoj i vektor smjera prave.

Nađimo vektor , paralelno sa ovom linijom. Pošto mora biti okomita na vektore normale ovih ravni, tj.

,
, To

Iz općih jednačina prave linije imamo to
,
. Onda

Od tačke
bilo koje tačke na pravoj, tada njene koordinate moraju zadovoljiti jednačine prave i jedna od njih se može specificirati, na primjer,
, nalazimo druge dvije koordinate iz sistema (11):

odavde,
.

Dakle, kanonske jednadžbe željene linije imaju oblik:

ili
.

Problem 74.

I
.

Rješenje. Od kanonske jednačine prvi red zna koordinate tačke
koji pripadaju liniji, i koordinate vektora pravca
. Iz kanonskih jednadžbi druge linije poznate su i koordinate tačke
i koordinate vektora pravca
.

Udaljenost između paralelnih linija jednaka je udaljenosti tačke
sa druge ravne linije. Ova udaljenost se izračunava po formuli

Nađimo koordinate vektora
.

Izračunajmo vektorski proizvod
:

Problem 75. Nađi tačku simetrična tačka
relativno ravno

Rješenje. Zapišimo jednačinu ravni koja je okomita na datu pravu i koja prolazi kroz tačku . Kao njegov normalni vektor možete uzeti usmjeravajući vektor prave linije. Onda
. dakle,

Hajde da nađemo poentu
tačka preseka ove prave i ravni P. Da bismo to uradili, zapisujemo parametarske jednačine prave koristeći jednačine (10), dobijamo

dakle,
.

Neka
tačka simetrična tački
u odnosu na ovu liniju. Onda pokažite
midpoint
. Da pronađemo koordinate tačke koristimo formule za koordinate sredine segmenta:

,
,
.

dakle,
.

Problem 76. Napišite jednačinu ravni koja prolazi kroz pravu
I

a) kroz tačku
;

b) okomito na ravan.

Rješenje. Zapišimo opće jednačine ove linije. Da biste to učinili, razmotrite dvije jednakosti:

To znači da željena ravan pripada skupu ravni sa generatorima i njena jednadžba se može napisati u obliku (8):

a) Hajde da pronađemo
I iz uslova da ravan prolazi kroz tačku
, dakle, njegove koordinate moraju zadovoljiti jednačinu ravni. Zamenimo koordinate tačke
u jednacinu gomile ravnina:

Pronađena vrijednost
Zamijenimo ga u jednačinu (12). dobijamo jednačinu željene ravni:

b) Hajde da pronađemo
I iz uslova da je željena ravan okomita na ravan. Vektor normale date ravni
, vektor normale željene ravni (vidi jednačinu gomile ravni (12).

Dva vektora su okomita ako i samo ako je njihov dot proizvod jednak nuli. dakle,

Zamijenimo pronađenu vrijednost
u jednačinu gomile ravnina (12). Dobijamo jednačinu željene ravni:

Problemi koje treba riješiti samostalno

Problem 77. Dovedite do kanonskog oblika jednadžbe linija:

1)
2)

Problem 78. Napišite parametarske jednačine prave
, Ako:

1)
,
; 2)
,
.

Problem 79. Napišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku
okomito na pravu liniju

Problem 80. Napišite jednadžbe prave koja prolazi kroz tačku
okomito na ravan.

Problem 81. Pronađite ugao između pravih linija:

1)
I
;

2)
I

Problem 82. Dokazati paralelne prave:

I
.

Problem 83. Dokazati okomitost pravih:

Problem 84. Izračunajte udaljenost tačke
sa prave linije:

1)
; 2)
.

Problem 85. Izračunajte udaljenost između paralelnih linija:

I
.

Problem 86. U jednačinama prave
definisati parametar tako da se ova prava siječe s pravom i pronađite tačku njihovog sjecišta.

Problem 87. Pokažite da je pravo
paralelno sa ravninom
, i prava linija
leži u ovoj ravni.

Problem 88. Nađi tačku simetrična tačka u odnosu na avion
, Ako:

1)
, ;

2)
, ;.

Problem 89. Napišite jednadžbu okomice ispuštene iz tačke
direktno
.

Problem 90. Nađi tačku simetrična tačka
relativno ravno
.

Izjava o problemu. Pronađite koordinate tačke simetrične tački u odnosu na avion.

Plan rješenja.

1. Naći jednačinu prave koja je okomita na datu ravan i prolazi kroz tačku . Kako je prava okomita na datu ravan, tada se vektor normale ravni može uzeti kao njen vektor pravca, tj.

Stoga će jednačina prave linije biti

2. Pronađite tačku presek prave linije i avioni (vidi problem 13).

3. Tačka je sredina segmenta gdje je tačka je tačka simetrična tački , Zato

Problem 14. Pronađite tačku simetričnu tački u odnosu na ravan.

Jednačina prave linije koja prolazi kroz tačku okomitu na datu ravan bit će:

Nađimo tačku preseka prave i ravni.

Gdje – tačka preseka prave i ravni je, dakle, sredina segmenta

One. .

Homogene ravninske koordinate.

Afine transformacije na ravni. Neka M X I

Neka(M, Iat (M, I Mae

at (M, I

at (M, I , 1) u prostoru (sl. 8).

hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentar h Komentar

(Na primjer, Komentar

(hx, hy, h), h  0,

U stvari, s obzirom

Primjer 1.b ) pod uglom

(Sl. 9).

1. korak. 2. korak.

Rotirajte za ugao 

matrica odgovarajuće transformacije. 3rd step. Prijenos na vektor A(a,

Rotirajte za ugao 

 Primjer 3

(Sl. 9).

Rotirajte za ugao 

1. korak.

matrica odgovarajuće transformacije.

duž x-ose i

(hx, hy, h), h  0,

konačno ćemo to dobiti

Afine transformacije na ravni. Neka[R], [D], [M], [T], M X I- proizvoljna tačka ravni sa koordinatama

, izračunato u odnosu na dati pravolinijski koordinatni sistem. Homogene koordinate ove tačke su bilo koja trojka simultano različitih brojeva x 1, x 2, x 3, povezanih sa datim brojevima x i y sledećim relacijama: Neka(M, I Prilikom rješavanja problema kompjuterske grafike homogene koordinate se obično unose na sljedeći način: do proizvoljne tačke at (M, I Mae

) ravni je dodijeljena tačka at (M, I Imajte na umu da proizvoljna tačka na liniji koja povezuje ishodište, tačku 0(0, 0, 0), sa tačkom

, 1), može se dati trojkom brojeva oblika (hx, hy, h). at (M, I Vektor sa koordinatama hx, hy je vektor pravca prave linije koja povezuje tačke 0 (0, 0, 0) i , 1) u prostoru (sl. 8).

Dakle, između proizvoljne tačke sa koordinatama (x, y) i skupa trojki brojeva oblika

hu.

uspostavljena je (jedan-na-jedan) korespondencija koja nam omogućava da smatramo brojeve hx, hy, h kao nove koordinate ove tačke.

(hx, hy, h), h  0,

U širokoj upotrebi u projektivnoj geometriji, homogene koordinate omogućavaju efikasno opisivanje takozvanih nepravilnih elemenata (u suštini onih u kojima se projektivna ravan razlikuje od poznate Euklidove ravni). Više detalja o novim mogućnostima koje pružaju uvedene homogene koordinate razmatrano je u četvrtom dijelu ovog poglavlja.

U projektivnoj geometriji za homogene koordinate prihvaćena je sljedeća notacija:

x:y:1, ili, uopštenije, x1:x2:x3

(zapamtite da je ovdje apsolutno potrebno da se brojevi x 1, x 2, x 3 ne okreću na nulu u isto vrijeme).

Upotreba homogenih koordinata pokazuje se pogodnom čak i pri rješavanju najjednostavnijih problema.

Razmotrite, na primjer, pitanja koja se odnose na promjene u skali. Ako uređaj za prikaz radi samo s cijelim brojevima (ili ako trebate raditi samo s cijelim brojevima), tada za proizvoljnu vrijednost Komentar h Komentar= 1) tačka sa homogenim koordinatama

nemoguće zamisliti. Međutim, uz razuman izbor h, moguće je osigurati da koordinate ove tačke budu cijeli brojevi. Konkretno, za h = 10 za razmatrani primjer imamo

Hajde da razmotrimo drugi slučaj. Da biste spriječili da rezultati transformacije dovedu do aritmetičkog prelivanja, za tačku s koordinatama (80000 40000 1000) možete uzeti, na primjer, h=0,001. Kao rezultat dobijamo (80 40 1).

Navedeni primjeri pokazuju korisnost korištenja homogenih koordinata pri izvođenju proračuna. Međutim, glavna svrha uvođenja homogenih koordinata u kompjutersku grafiku je njihova nesumnjiva pogodnost u primjeni na geometrijske transformacije.

Koristeći trojke homogenih koordinata i matrice trećeg reda, može se opisati svaka afina transformacija ravni.

(Na primjer, Komentar= 1, uporedi dva unosa: označena simbolom * i sledeća matrična jedan:

Lako je vidjeti da nakon množenja izraza na desnoj strani posljednje relacije dobijamo obje formule (*) i tačnu numeričku jednakost 1=1.

(hx, hy, h), h  0,

Ponekad se u literaturi koristi druga oznaka - stupasta notacija:

Ova notacija je ekvivalentna gornjoj notaciji red po red (i dobija se iz nje transponovanjem).

Elementi proizvoljne matrice afina transformacija nemaju jasno izraženo geometrijsko značenje. Stoga, da bi se implementiralo ovo ili ono preslikavanje, odnosno da bi se pronašli elementi odgovarajuće matrice prema datom geometrijskom opisu, potrebne su posebne tehnike. Tipično, konstrukcija ove matrice, u skladu sa složenošću problema koji se razmatra i gore opisanim posebnim slučajevima, dijeli se u nekoliko faza.

U svakoj fazi se traži matrica koja odgovara jednom ili drugom od gore navedenih slučajeva A, B, C ili D, koji imaju dobro definirana geometrijska svojstva.

Zapišimo odgovarajuće matrice trećeg reda.

A. Matrica rotacije

B. Matrica dilatacije

B. Matrica refleksije

D. Transfer matrica (prijevod)

Razmotrimo primjere afine transformacije ravnine.

U stvari, s obzirom

Konstruirajte matricu rotacije oko tačke A (a,Primjer 1.b ) pod uglom

(Sl. 9). Prebacivanje u vektor – A (-a, -b) za poravnavanje centra rotacije sa ishodištem koordinata;

Rotirajte za ugao 

1. korak. 2. korak.

Rotirajte za ugao 

matrica odgovarajuće transformacije. 3rd step. Prijenos na vektor A(a, da se centar rotacije vrati u prethodnu poziciju;

Rotirajte za ugao 

Pomnožimo matrice istim redoslijedom kako su napisane:

Kao rezultat, nalazimo da će željena transformacija (u matričnom zapisu) izgledati ovako:

Elemente rezultirajuće matrice (posebno u posljednjem redu) nije tako lako zapamtiti. Istovremeno, svaka od tri pomnožene matrice se lako konstruiše iz geometrijskog opisa odgovarajućeg preslikavanja.

Konstruirajte matricu rastezanja sa koeficijentima rastezanja Primjer 3 duž ordinatne ose i sa centrom u tački A(a, b).

(Sl. 9). Prebacite na vektor -A(-a, -b) da biste poravnali centar istezanja sa ishodištem koordinata;

Rotirajte za ugao 

1. korak. Rastezanje duž koordinatnih osa sa koeficijentima  i , respektivno; matrica transformacije ima oblik

matrica odgovarajuće transformacije. Prebacivanje na vektor A(a, b) da bi se centar napetosti vratio u prethodnu poziciju; matrica odgovarajuće transformacije –

Množenje matrica istim redoslijedom

duž x-ose i

(hx, hy, h), h  0,

Rezoniranje na sličan način, odnosno razbijanje predložene transformacije u faze podržane matricama konačno ćemo to dobiti može se konstruisati matrica bilo koje afine transformacije iz njenog geometrijskog opisa.

Pomak se provodi sabiranjem, a skaliranje i rotacija množenjem.

Transformacija skaliranja (dilatacija) u odnosu na porijeklo ima oblik:

ili u matričnom obliku:

Gdje Dx,Dy su faktori skaliranja duž osi, i

- matrica skaliranja.

Kada je D > 1, dolazi do proširenja, kada je 0<=D<1- сжатие

Transformacija rotacije u odnosu na porijeklo ima oblik:

ili u matričnom obliku:

gdje je φ ugao rotacije, i

- matrica rotacije.

komentar: Stupci i redovi matrice rotacije su međusobno ortogonalni jedinični vektori. U stvari, kvadrati dužina vektora redova jednaki su jedan:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 i (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a skalarni proizvod vektora reda je

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Budući da je skalarni proizvod vektora A · B = |A| ·| B| ·cosψ, gdje je | A| - dužina vektora A, |B| - dužina vektora B, a ψ je najmanji pozitivni ugao između njih, onda iz jednakosti 0 skalarnog proizvoda dva vektora reda dužine 1 slijedi da je ugao između njih 90°.

Neka nam je data određena prava linija, definisana linearnom jednačinom, i tačka, definisana svojim koordinatama (x0, y0) i koja ne leži na ovoj pravoj. Potrebno je pronaći tačku koja bi bila simetrična datoj tački oko date prave linije, odnosno koja bi se poklapala s njom ako je ravnina mentalno savijena na pola duž ove prave linije.

Uputstva

1. Jasno je da obje tačke - data i željena - moraju ležati na istoj pravoj, a ova prava mora biti okomita na datu. Dakle, prvi dio problema je otkriti jednadžbu prave koja bi bila okomita na neku datu pravu i koja bi istovremeno prolazila kroz datu tačku.

2. Prava linija se može odrediti na dva načina. Kanonska jednadžba prave izgleda ovako: Ax + By + C = 0, gdje su A, B i C konstante. Pravu liniju možete odrediti i pomoću linearne funkcije: y = kx + b, gdje je k ugaoni eksponent, b je pomak. Ove dvije metode su zamjenjive i možete se kretati od jedne do druge. Ako je Ax + By + C = 0, tada je y = – (Ax + C)/B. Drugim riječima, u linearnoj funkciji y = kx + b, ugaoni eksponent k = -A/B, i pomak b = -C/B. Za ovaj zadatak, udobnije je razmišljati na osnovu kanonske jednačine prave linije.

3. Ako su dvije prave jedna na drugu okomite, a jednadžba prve linije je Ax + By + C = 0, tada bi jednačina druge linije trebala izgledati kao Bx – Ay + D = 0, gdje je D konstanta. Da bi se detektovala određena vrijednost D, potrebno je dodatno znati kroz koju tačku prolazi okomita prava. U ovom slučaju, ovo je tačka (x0, y0). Prema tome, D mora zadovoljiti jednakost: Bx0 – Ay0 + D = 0, odnosno D = Ay0 – Bx0.

4. Nakon što je okomita linija otkrivena, potrebno je izračunati koordinate tačke njenog preseka sa datom. Da biste to učinili, morate riješiti sistem linearnih jednadžbi: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Njegovo rješenje će dati brojeve (x1, y1) koji služe kao koordinate tačka preseka linija.

5. Željena tačka mora ležati na detektovanoj liniji, a njena udaljenost do tačke preseka mora biti jednaka udaljenosti od tačke preseka do tačke (x0, y0). Koordinate tačke simetrične tački (x0, y0) se tako mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ali to možete učiniti lakše. Ako su tačke (x0, y0) i (x, y) na jednakoj udaljenosti od tačke (x1, y1), a sve tri tačke leže na istoj pravoj liniji, onda: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Prema tome, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Zamjenom ovih vrijednosti u drugu jednadžbu prvog sistema i pojednostavljivanjem izraza, lako je osigurati da njegova desna strana postane ista kao lijeva. Osim toga, nema smisla dalje razmatrati prvu jednačinu, jer je poznato da je tačke (x0, y0) i (x1, y1) zadovoljavaju, a tačka (x, y) očigledno leži na istoj pravoj .

Zadatak je pronaći koordinate tačke koja je simetrična tački u odnosu na pravu liniju . Predlažem da sami izvršite korake, ali ću izložiti algoritam rješenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta nalazimo .

Bilo bi dobro provjeriti da je udaljenost također 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali mikrokalkulator je velika pomoć u tornju, koji vam omogućava da izračunate obične razlomke. Savjetovao sam vas mnogo puta i preporučit ću vas ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer da sami odlučite. Dat ću vam mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina da se ovo riješi. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje je da pokušate sami da pogodite, mislim da je vaša domišljatost bila dobro razvijena.

Ugao između dvije prave linije

Svaki ćošak je dovratak:

U geometriji se ugao između dvije prave uzima MANJI ugao, iz čega automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov “zeleni” komšija ili suprotno orijentisan"malina" kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut „pomiče“ je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani ugao piše se sa znakom minus, na primjer ako .

Zašto sam ti ovo rekao? Čini se da možemo proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da formule po kojima ćemo pronaći uglove lako mogu rezultirati negativnim rezultatom, a to vas ne bi trebalo iznenaditi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu, za negativan ugao, obavezno označite njegovu orijentaciju strelicom (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći ugao između dve prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje I Prvi metod

Razmotrimo dvije prave linije definirane jednadžbama u opštem obliku:

Ako je ravno nije okomito, To orijentisan Ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratite pažnju na imenilac - to je upravo tako tačkasti proizvod usmjeravajući vektori pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a linije okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost pravih linija u formulaciji.

Na osnovu navedenog, zgodno je formalizirati rješenje u dva koraka:

1) Izračunajmo skalarni proizvod vektora smjera linija:

2) Pronađite ugao između pravih koristeći formulu:

Koristeći inverznu funkciju lako je pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u iskazu problema prvi broj prava linija i upravo s njom je počelo „odvrtanje“ ugla.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s direktnim .

Neću to sakriti, sam biram ravne linije po redoslijedu tako da ugao ispadne pozitivan. Lepše je, ali ništa više.

Da biste provjerili svoje rješenje, možete uzeti kutomjer i izmjeriti ugao.

Metod dva

Ako su prave date jednadžbama sa nagibom i nije okomito, To orijentisan Ugao između njih može se pronaći pomoću formule:

Uvjet okomitosti pravih izražava se jednakošću iz koje, inače, slijedi vrlo korisna veza između ugaonih koeficijenata okomitih linija: , koja se koristi u nekim problemima.

Algoritam rješenja je sličan prethodnom paragrafu. Ali prvo, prepišimo naše ravne linije u traženom obliku:

Dakle, padine su:

1) Provjerimo da li su prave okomite:
, što znači da linije nisu okomite.

2) Koristite formulu:

Odgovori:

Drugi metod je prikladno koristiti kada su jednadžbe pravih linija inicijalno specificirane sa ugaonim koeficijentom. Treba napomenuti da ako je barem jedna ravna linija paralelna s ordinatnom osom, onda formula uopće nije primjenjiva, jer za takve prave nagib nije definiran (vidi članak Jednačina prave linije na ravni).

Postoji i treće rješenje. Ideja je da se izračuna ugao između vektora pravca linija koristeći formulu o kojoj se govori u lekciji Tačkasti proizvod vektora:

Ovdje više ne govorimo o orijentiranom kutu, već „samo o kutu“, odnosno rezultat će svakako biti pozitivan. Kvaka je u tome što možete završiti s tupim uglom (ne onim koji vam treba). U ovom slučaju, morat ćete rezervirati da je ugao između pravih manji ugao i oduzeti rezultirajući arc kosinus od "pi" radijana (180 stupnjeva).

Oni koji žele problem mogu riješiti na treći način. Ali ipak preporučujem da se držite prvog pristupa sa orijentisanim uglom, iz razloga što je široko rasprostranjen.

Primjer 11

Pronađite ugao između linija.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Pokušajte to riješiti na dva načina.

Nekako je bajka usput zamrla... Jer ne postoji Kashchei Besmrtni. Tu sam ja, i nisam posebno zagrejan. Da budem iskren, mislio sam da će članak biti mnogo duži. Ali ipak ću uzeti svoj nedavno kupljeni šešir i naočare i otići na kupanje u rujanskom jezeru. Savršeno ublažava umor i negativnu energiju.

Vidimo se uskoro!

I zapamtite, Baba Yaga nije otkazana =)

Rješenja i odgovori:

Primjer 3:Rješenje : Nađimo vektor smjera prave :

Sastavimo jednačinu željene linije koristeći tačku i vektor smjera . Kako je jedna od koordinata vektora smjera nula, jednad. prepišimo to u obliku:

Odgovori :

Primjer 5:Rješenje :
1) Jednačina prave hajde da napravimo dve tačke :

2) Jednačina prave hajde da napravimo dve tačke :

3) Odgovarajući koeficijenti za varijable nije proporcionalno: , što znači da se linije sijeku.
4) Pronađite tačku :

Napomena : ovdje se prva jednačina sistema množi sa 5, a zatim se 2. oduzima član po član od 1. jednačine.
Odgovori :

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, teško je, kao da je čitao rečenicu u sebi =) Međutim, opuštanje će pomoći kasnije, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Relativni položaj dvije prave linije

To je slučaj kada publika pjeva u horu. Dvije prave linije mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se seku u jednoj tački: .

Pomoć za lutke : Zapamtite znak matematičke raskrsnice, on će se pojavljivati vrlo često. Oznaka znači da se prava siječe s pravom u tački .

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji broj “lambda” takav da su jednakosti zadovoljene

Razmotrimo prave linije i napravimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove linije poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa –1 (promijenite predznake), i sve koeficijente jednačine izrezan za 2, dobijate istu jednačinu: .

Drugi slučaj, kada su linije paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti varijabli proporcionalni: , Ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, to je sasvim očigledno.

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NEMA takve vrijednosti “lambda” da su jednakosti zadovoljene

Dakle, za prave linije napravićemo sistem:

Iz prve jednačine slijedi da , a iz druge jednačine: , što znači sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima možete koristiti shemu rješenja o kojoj smo upravo razgovarali. Inače, jako podsjeća na algoritam za provjeru kolinearnosti vektora koji smo gledali na času Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Osnova vektora. Ali postoji civilizovanije pakovanje:

Primjer 1

Saznajte relativne položaje linija:

Rješenje na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednačina nalazimo vektore pravca linija: .

, što znači da vektori nisu kolinearni i da se prave sijeku.

Za svaki slučaj staviću kamen sa tablama na raskrsnici:

Ostali preskaču kamen i prate dalje, pravo do Kaščeja besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili podudarne. Ovdje nema potrebe računati determinantu.

Očigledno je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, i .

Hajde da saznamo da li je jednakost tačna:

dakle,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu koju čine koordinate ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili podudarne.

Koeficijent proporcionalnosti “lambda” je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se naći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu (bilo koji broj općenito je zadovoljava).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) riješiti problem o kojem se govori usmeno doslovno za nekoliko sekundi. U tom smislu, ne vidim smisla nuditi bilo šta za samostalno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako konstruisati pravu paralelnu sa datom?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka Slavuj razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom. Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Označimo nepoznatu liniju slovom . Šta stanje govori o njoj? Prava linija prolazi kroz tačku. A ako su linije paralelne, onda je očito da je vektor smjera prave linije "tse" također pogodan za konstruiranje prave linije "de".

Vektor smjera uzimamo iz jednadžbe:

Odgovori:

Primjer geometrije izgleda jednostavno:

Analitičko testiranje se sastoji od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednadžba prave nije uprošćena kako treba, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

U većini slučajeva, analitičko testiranje se može lako izvesti usmeno. Pogledajte te dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo odrediti paralelizam pravih bez ikakvog crteža.

Primjeri za nezavisna rješenja danas će biti kreativni. Jer ćete se ipak morati takmičiti sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu sa pravom if

Postoji racionalan i ne tako racionalan način da se to riješi. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija malo je zanimljiv, pa razmotrimo problem koji vam je vrlo poznat iz školskog programa:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Izvolite geometrijsko značenje sistema od dve linearne jednačine sa dve nepoznate- to su dvije ukrštane (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafička metoda je jednostavno nacrtati ove linije i saznati točku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema. U suštini, pogledali smo grafičko rješenje sistemi linearnih jednačina sa dve jednačine, dve nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje uočljivi nedostaci. Ne, nije poenta u tome da se učenici sedmog razreda odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi ispravan i TAČAN crtež. Osim toga, neke prave linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može se nalaziti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda sabiranja jednačina po članu. Da biste razvili relevantne vještine, uzmite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provjera je trivijalna - koordinate presečne tačke moraju zadovoljiti svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Pogodno je podijeliti zadatak u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Zapišite jednačinu prave.
2) Zapišite jednačinu prave.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj akcionog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme, a ja ću se više puta fokusirati na to.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Čak ni par cipela nije bio iznošen prije nego što smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između pravih linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako da napravimo pravu liniju paralelnu ovoj, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako konstruisati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom. Napišite jednačinu okomitu na pravu koja prolazi kroz tačku.

Rješenje: Po uslovu se zna da . Bilo bi lijepo pronaći usmjeravajući vektor linije. Pošto su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavimo jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i smjera:

Odgovori:

Proširimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Vektore smjera izvlačimo iz jednačina i uz pomoć skalarni proizvod vektora dolazimo do zaključka da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Test se, opet, lako izvodi usmeno.

Primjer 7

Nađite točku presjeka okomitih linija ako je jednačina poznata i tačka.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Problem ima nekoliko radnji, pa je zgodno formulirati rješenje tačku po tačku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje dođemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. To jest, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom “rho”, na primjer: – udaljenost od tačke “em” do prave linije “de”.

Udaljenost od tačke do linije izraženo formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Rješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

Odgovori:

Napravimo crtež:

Pronađena udaljenost od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. = 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrimo još jedan zadatak zasnovan na istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate tačke koja je simetrična tački u odnosu na pravu liniju . Predlažem da sami izvršite korake, ali ću izložiti algoritam rješenja sa srednjim rezultatima:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta nalazimo .

Bilo bi dobro provjeriti da je udaljenost također 2,2 jedinice.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ugao između dvije prave linije

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut „pomiče“ je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani ugao piše se sa znakom minus, na primjer ako .

Kako pronaći ugao između dve prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Rješenje I Prvi metod

Razmotrimo dvije prave linije definirane jednadžbama u opštem obliku:

Ako je ravno nije okomito, To orijentisan Ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratite pažnju na imenilac - to je upravo tako tačkasti proizvod usmjeravajući vektori pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a linije okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neopravnost pravih linija u formulaciji.

Na osnovu navedenog, zgodno je formalizirati rješenje u dva koraka:

1) Izračunajmo skalarni proizvod vektora smjera linija:
, što znači da linije nisu okomite.

2) Pronađite ugao između pravih koristeći formulu:

Koristeći inverznu funkciju lako je pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):