Uslovna optimizacija. Lagrangeova metoda množenja

Opis metode

Gdje .

Obrazloženje

Sljedeće opravdanje Lagrangeove metode množitelja nije njen rigorozan dokaz. Sadrži heurističko rezonovanje koje pomaže u razumijevanju geometrijskog značenja metode.

2D kućište

Linije i krivulje.

Neka je potrebno pronaći ekstremum neke funkcije dvije varijable pod uslovom datim jednadžbom . Pretpostavit ćemo da su sve funkcije kontinuirano diferencibilne, i zadata jednačina definiše glatku krivu S na površini. Tada se problem svodi na pronalaženje ekstrema funkcije f na krivini S. To ćemo takođe pretpostaviti S ne prolazi kroz tačke u kojima je gradijent f pretvara se na 0 .

Nacrtajte na ravni linije nivoa funkcije f(tj. krive). Iz geometrijskih razmatranja može se vidjeti da je ekstremum funkcije f na krivini S mogu postojati samo tačke u kojima tangente S i odgovarajuća linija nivoa su isti. Zaista, ako je kriva S prelazi liniju nivoa f u tački transverzalno (tj. pod nekim uglom koji nije nula), a zatim se kreće duž krive S od tačke možemo doći do linija nivoa koje odgovaraju većoj vrijednosti f, i manji. Dakle, takva tačka ne može biti tačka ekstrema.

Dakle, neophodan uslov za ekstrem u našem slučaju će biti podudarnost tangenti. Da biste to zapisali u analitičkom obliku, imajte na umu da je to ekvivalentno paralelizmu gradijenata funkcija f i ψ u ovoj tački, pošto je vektor gradijenta okomit na tangentu na liniju nivoa. Ovo stanje se izražava u sljedećem obliku:

gdje je λ neki broj različit od nule, koji je Lagrangeov množitelj.

Razmislite sada Lagrangeova funkcija zavisno od i λ :

Neophodan uslov za njen ekstrem je nulti gradijent. U skladu sa pravilima diferencijacije piše se kao

Dobili smo sistem čije su prve dvije jednačine ekvivalentne potrebnom uslovu lokalni ekstrem(1), a treći - na jednačinu . Iz njega možete pronaći. U ovom slučaju, jer inače gradijent funkcije f nestaje u jednom trenutku , što je u suprotnosti sa našim pretpostavkama. Treba napomenuti da na ovaj način pronađene tačke možda nisu željene tačke uslovnog ekstrema - razmatrani uslov je neophodan, ali nije dovoljan. Pronalaženje uslovnog ekstremuma pomoću pomoćne funkcije L i čini osnovu Lagrangeove metode množitelja koja se ovdje primjenjuje za najjednostavniji slučaj dvije varijable. Ispostavilo se da se gornje razmišljanje može generalizirati na slučaj proizvoljnog broja varijabli i jednačina koje specificiraju uslove.

Na osnovu metode Lagrangeovih množitelja mogu se dokazati i neki dovoljni uslovi za uslovni ekstrem, koji zahtijevaju analizu drugih izvoda Lagrangeove funkcije.

Aplikacija

• Metoda Lagrangeovih množitelja se koristi u rješavanju problema ne linearno programiranje koji se javljaju u mnogim oblastima (na primjer, u ekonomiji).
• Glavna metoda za rješavanje problema optimizacije kvalitete kodiranja audio i video podataka za zadanu prosječnu brzinu prijenosa (optimizacija izobličenja - engleski. Optimizacija brzine i distorzije).

vidi takođe

Linkovi

• Zorich V. A. Matematička analiza. Dio 1. - ur. 2., rev. i dodatne - M.: FAZIS, 1997.

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta su "Lagrangeovi množitelji" u drugim rječnicima:

Lagrangeovi množitelji- dodatni faktori koji transformišu funkciju cilja ekstremnog problema konveksnog programiranja (posebno linearnog programiranja) kada se on rješava jednom od klasičnih metoda metodom rješavanja faktora ... ... Ekonomsko-matematički rječnik

Lagrangeovi množitelji- Dodatni faktori koji transformišu funkciju cilja ekstremnog problema konveksnog programiranja (posebno linearnog programiranja) kada se on rješava jednom od klasičnih metoda metodom razrješavanja faktora (Lagrangeova metoda). ... ... Priručnik tehničkog prevodioca

Mehanika. 1) Lagranževe jednačine 1. vrste, diferencijalne jednačine kretanja mehanizma. sistema, koji su dati u projekcijama na pravougaone koordinatne ose i sadrže tzv. Lagrangeovi množitelji. Primio J. Lagrange 1788. Za holonomski sistem, ... ... Physical Encyclopedia

Mehanika obične diferencijalne jednadžbe 2. reda, koje opisuju kretanje mehaničke. sistema pod uticajem sila koje se na njih primenjuju. L. at. utvrdio J. Lag raspon u dva oblika: L. at. 1. vrsta, ili jednadžbe u kartezijanskim koordinatama sa ... ... Mathematical Encyclopedia

1) u hidromehanici, jednačina za kretanje tečnosti (gasa) u Lagrangeovim varijablama, koje su koordinate sredine. Received French. naučnik J. Lagrange (J. Lagrange; oko 1780). Iz L. at. zakon kretanja h c medija određen je u obliku zavisnosti ... ... Physical Encyclopedia

Lagrangeova metoda množitelja, metoda za pronalaženje uslovnog ekstrema funkcije f(x), gdje, s obzirom na m ograničenja, i varira od jedan do m. Sadržaj 1 Opis metode ... Wikipedia

Funkcija koja se koristi u rješavanju problema za uvjetni ekstrem funkcija nekoliko varijabli i funkcionala. Uz pomoć L. f. su snimljeni neophodne uslove optimalnost u problemima za uslovni ekstrem. Nema potrebe da se izražavaju samo varijable... Mathematical Encyclopedia

Metoda za rješavanje problema za uslovni ekstrem; L. m. m. sastoji se u tome da se ti problemi svode na probleme za bezuslovni ekstremum pomoćne funkcije tzv. Lagrangeove funkcije. Za problem ekstremuma funkcije f (x1, x2,..., xn) za ... ...

Varijable, uz pomoć kojih se konstruiše Lagrangeova funkcija u proučavanju problema za uslovni ekstrem. Upotreba L. m. i Lagrangeove funkcije omogućava dobijanje potrebnih uslova optimalnosti na uniforman način u problemima za uslovni ekstrem... Mathematical Encyclopedia

1) u hidromehanici, jednačine kretanja tečnog medija zapisane u Lagrangeovim varijablama, koje su koordinate čestica medija. Iz L. at. zakon kretanja čestica medija određen je u obliku zavisnosti koordinata od vremena, a prema njima ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu prvog reda:
(1) .
Postoje tri načina za rješavanje ove jednačine:

• metoda konstantne varijacije (Lagrange).

Razmotrimo rješenje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Lagrangeovom metodom.

Metoda konstantne varijacije (Lagrange)

U metodi konstantne varijacije rješavamo jednačinu u dva koraka. U prvoj fazi pojednostavljujemo originalnu jednačinu i rješavamo homogenu jednačinu. U drugoj fazi ćemo konstantu integracije dobivenu u prvoj fazi rješenja zamijeniti funkcijom. Zatim tražimo opće rješenje izvorne jednadžbe.

Razmotrimo jednačinu:
(1)

Korak 1 Rješenje homogene jednadžbe

Tražimo rješenje homogena jednačina:

Ovo je jednadžba koja se može odvojiti

Odvojite varijable - pomnožite sa dx, podijelite sa y:

integrišemo:

Integral preko y - tabelarni:

Onda

Potencirati:

Zamenimo konstantu e C sa C i uklonimo znak modula koji se svodi na množenje konstantom ±1, koje uključujemo u C :

Korak 2 Zamijenite konstantu C sa funkcijom

Sada zamijenimo konstantu C funkcijom od x:
c → u (x)
Odnosno, tražit ćemo rješenje izvorne jednačine (1) kao:
(2)
Pronalazimo derivat.

Prema pravilu diferencijacije složene funkcije:
.
Prema pravilu diferencijacije proizvoda:

.
Zamjenjujemo u originalnu jednačinu (1) :
(1) ;

.
Dva termina se smanjuju:
;
.
integrišemo:
.
Zamjena u (2) :
.
Kao rezultat, dobivamo opće rješenje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda:
.

Primjer rješavanja linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Lagrangeovom metodom

riješi jednačinu

Rješenje

Rešavamo homogenu jednačinu:

Razdvajanje varijabli:

Pomnožimo sa:

integrišemo:

Integrali tabele:

Potencirati:

Zamenimo konstantu e C sa C i uklonimo predznake modula:

Odavde:

Zamijenimo konstantu C funkcijom od x:
c → u (x)

Nalazimo derivat:
.
Zamjenjujemo u originalnu jednačinu:
;
;
Ili:
;
.
integrišemo:
;
Rješenje jednadžbe:
.

Metoda Lagrangeovih množitelja.

Metoda Lagrangeovog množitelja je jedna od metoda koja omogućava rješavanje problema nelinearnog programiranja.

Nelinearno programiranje je grana matematičkog programiranja koja proučava metode za rješavanje ekstremnih problema s nelinearnom ciljnom funkcijom i domenom izvodljivih rješenja definiranih nelinearnim ograničenjima. U ekonomiji, to odgovara činjenici da se rezultati (efikasnost) povećavaju ili smanjuju neproporcionalno promjenama u obimu korištenja resursa (ili, ekvivalentno, obima proizvodnje): na primjer, zbog podjele troškova proizvodnje u preduzećima na varijable i uslovne konstante; zbog zasićenja potražnje za robom, kada je svaku narednu jedinicu teže prodati od prethodne itd.

Problem nelinearnog programiranja postavlja se kao problem nalaženja optimuma određene ciljne funkcije

F(x 1 ,…x n), F (x) → max

pod uslovima

g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

Gdje x-vektor traženih varijabli;

F (x) -ciljna funkcija;

g (x) je funkcija ograničenja (kontinuirano diferencibilna);

b - vektor konstanti ograničenja.

Rješenje problema nelinearnog programiranja (globalni maksimum ili minimum) može pripadati ili granici ili unutrašnjosti dopuštenog skupa.

Za razliku od problema linearnog programiranja, u problemu nelinearnog programiranja optimum ne leži nužno na granici područja definiranog ograničenjima. Drugim riječima, problem je odabrati takve nenegativne vrijednosti varijabli, podvrgnute sistemu ograničenja u obliku nejednakosti, pod kojima se postiže maksimum (ili minimum) date funkcije. U ovom slučaju nisu propisani oblici ni ciljne funkcije ni nejednakosti. Može biti različitim slučajevima: ciljna funkcija je nelinearna, a ograničenja su linearna; ciljna funkcija je linearna, a ograničenja (barem jedno od njih) su nelinearna; i ciljna funkcija i ograničenja su nelinearni.

Problem nelinearnog programiranja javlja se u prirodnim naukama, inženjerstvu, ekonomiji, matematici, poslovnim odnosima i državnim naukama.

Nelinearno programiranje je, na primjer, povezano sa osnovnim ekonomskim problemom. Dakle, u problemu alokacije ograničenih resursa ili je efikasnost maksimizirana, ili, ako se proučava potrošač, potrošnja u prisustvu ograničenja koja izražavaju uslove oskudice resursa. U takvoj opštoj formulaciji, matematička formulacija problema može se pokazati nemogućom, ali u specifičnim primenama, kvantitativni oblik svih funkcija može se odrediti direktno. Na primjer, industrijsko poduzeće proizvodi plastične proizvode. Efikasnost proizvodnje se ovdje mjeri profitom, a ograničenja se tumače kao raspoloživa radna snaga, proizvodni prostor, produktivnost opreme itd.

Metoda "isplativosti" takođe se uklapa u šemu nelinearnog programiranja. Ova metoda je razvijena za korištenje u donošenju odluka u vladi. Opća funkcija efikasnosti je dobrobit. Ovdje se javljaju dva problema nelinearnog programiranja: prvi je maksimizacija efekta uz ograničene troškove, drugi je minimizacija troškova, pod uslovom da je učinak iznad određenog minimalnog nivoa. Ovaj problem se obično dobro modelira korištenjem nelinearnog programiranja.

Rezultati rješavanja problema nelinearnog programiranja pomažu u donošenju vladinih odluka. Dobiveno rješenje se, naravno, preporučuje, pa je prije donošenja konačne odluke potrebno ispitati pretpostavke i tačnost formulacije problema nelinearnog programiranja.

Nelinearni problemi su složeni, često se pojednostavljuju dovodeći do linearnih. Da bi se to postiglo, uslovno se pretpostavlja da se u određenom području ciljna funkcija povećava ili smanjuje proporcionalno promjeni nezavisnih varijabli. Ovaj pristup se naziva metodom komadno linearnih aproksimacija, ali je primjenjiv samo na određene vrste nelinearnih problema.

Nelinearni problemi pod određenim uvjetima rješavaju se pomoću Lagrangeove funkcije: nakon što su pronašli njegovu tačku sedla, oni također pronalaze rješenje problema. Među računskim algoritmima N. p., veliko mjesto zauzimaju gradijent metode. Ne postoji univerzalna metoda za nelinearne probleme i, očigledno, možda i ne postoji, jer su izuzetno raznoliki. Posebno je teško riješiti multiekstremne probleme.

Jedna od metoda koja omogućava svođenje problema nelinearnog programiranja na rješavanje sistema jednačina je Lagrangeova metoda neodređenih množitelja.

Koristeći metodu Lagrangeovih množitelja, u suštini, uspostavljaju se neophodni uslovi koji omogućavaju da se identifikuju optimalne tačke u optimizacijskim problemima sa ograničenjima u obliku jednakosti. U ovom slučaju, problem s ograničenjima se transformira u ekvivalentan problem neograničene optimizacije, u kojem se pojavljuju neki nepoznati parametri, nazvani Lagrangeovi množitelji.

Metoda Lagrangeovog množitelja sastoji se u svođenju problema za uslovni ekstrem na probleme za bezuslovni ekstremum pomoćne funkcije - tzv. Lagrangeove funkcije.

Za problem ekstremuma funkcije f(x 1 , x 2 ,..., x n) pod uslovima (jednačine spajanja) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, Lagrangeova funkcija ima oblik

L(x 1, x 2… x n ,λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Multiplikatori λ 1 , λ 2 , ..., λm pozvao Lagrangeovi množitelji.

Ako količine x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm su rješenja jednadžbi koje određuju stacionarne tačke Lagrangeove funkcije, odnosno za diferencijabilne funkcije, to su rješenja sistema jednadžbi

onda pod dovoljno opštim pretpostavkama x 1 , x 2 , ..., x n isporučuje ekstremum funkcije f.

Razmotrimo problem minimiziranja funkcije od n varijabli, uzimajući u obzir jedno ograničenje u obliku jednakosti:

Minimiziraj f(x 1, x 2… x n) (1)

sa ograničenjima h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

U skladu sa Lagrangeovom metodom množitelja, ovaj problem se transformira u sljedeći problem neograničene optimizacije:

minimizirati L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

gdje se funkcija L(h;λ) naziva Lagrangeova funkcija,

λ je nepoznata konstanta, koja se zove Lagrangeov množitelj. Ne postavljaju se nikakvi zahtjevi za predznak λ.

Neka je za datu vrijednost λ=λ 0 bezuslovni minimum funkcije L(x,λ) u odnosu na x postignut u tački x=x 0 i x 0 zadovoljava jednačinu h 1 (x 0)=0 . Tada, kao što je lako vidjeti, x 0 minimizira (1) uzimajući u obzir (2), budući da za sve vrijednosti x koje zadovoljavaju (2), h 1 (x)=0 i L(x,λ)= min f(x).

Naravno, potrebno je odabrati vrijednost λ=λ 0 na način da koordinata bezuslovne minimalne tačke x 0 zadovoljava jednakost (2). To se može učiniti ako, posmatrajući λ kao promjenljivu, pronađemo bezuvjetni minimum funkcije (3) u obliku funkcije λ, a zatim izaberemo vrijednost λ pri kojoj je zadovoljena jednakost (2). Ilustrujmo to konkretnim primjerom.

Minimizirajte f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

sa ograničenjem h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Odgovarajući problem neograničene optimizacije piše se na sljedeći način:

minimizirati L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Rješenje. Izjednačavajući dvije komponente gradijenta L sa nulom, dobijamo

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Da bismo provjerili da li stacionarna tačka x° odgovara minimumu, izračunavamo elemente Hesove matrice funkcije L(x; u), koja se smatra funkcijom od x,

što se ispostavilo kao pozitivno definitivno.

To znači da je L(x, u) konveksna funkcija od x. Dakle, koordinate x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 određuju globalnu minimalnu tačku. Optimalna vrijednost λ nalazi se zamjenom vrijednosti x 1 0 i x 2 0 u jednačinu 2x 1 +x 2 =2, odakle je 2λ+λ/2=2 ili λ 0 =4/5. Dakle, uslovni minimum se postiže pri x 1 0 =4/5 i x 2 0 =2/5 i jednak je min f(x)=4/5.

Prilikom rješavanja zadatka iz primjera, L(x; λ) smo razmatrali kao funkciju dvije varijable x 1 i x 2 i uz to pretpostavili da je vrijednost parametra λ odabrana tako da je ograničenje zadovoljeno. Ako je rješenje sistema

J=1,2,3,…,n

ne može se dobiti u obliku eksplicitnih funkcija od λ, tada se vrijednosti x i λ nalaze rješavanjem sljedećeg sistema, koji se sastoji od n + 1 jednadžbi sa n + 1 nepoznatih:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Da pronađem sve moguća rješenja ovog sistema, možete koristiti numeričke metode pretraživanja (na primjer, Newtonov metod). Za svako od rješenja (), treba izračunati elemente Hessove matrice funkcije L, smatranu funkcijom od x, i saznati da li je ova matrica pozitivno određena (lokalni minimum) ili negativno određena (lokalni maksimum ).

Metoda Lagrangeovih množitelja može se proširiti na slučaj kada problem ima nekoliko ograničenja u obliku jednakosti. Razmotrite opšti problem koji zahteva

Minimiziraj f(x)

pod ograničenjima h k =0, k=1, 2, ..., K.

Lagrangeova funkcija ima sljedeći oblik:

Evo λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagranžovi množitelji, tj. nepoznati parametri čije vrijednosti treba odrediti. Izjednačavanjem parcijalnih izvoda od L u odnosu na x na nulu, dobijamo sljedeći sistem od n jednačina sa n nepoznatih:

Ako se pokaže da je teško pronaći rješenje za gornji sistem u obliku funkcija vektora λ, onda je moguće proširiti sistem uključivanjem ograničenja u obliku jednakosti

Rješenje proširenog sistema, koji se sastoji od n + K jednadžbi sa n + K nepoznatih, određuje stacionarnu tačku funkcije L. Tada se provodi postupak provjere minimuma ili maksimuma koji se provodi na osnovu izračunavanja elementi Hesove matrice funkcije L, posmatrane kao funkcija od x, slično kao što je urađeno u slučaju problema sa jednim ograničenjem. Za neke probleme, prošireni sistem od n+K jednačina sa n+K nepoznatih možda neće imati rješenja, a metoda Lagrangeovog množitelja se ispostavi da je neprimjenjiva. Međutim, treba napomenuti da su takvi zadaci prilično rijetki u praksi.

Razmotrimo konkretan slučaj opšteg problema nelinearnog programiranja, uz pretpostavku da sistem ograničenja sadrži samo jednačine, da nema uslova za nenegativnost varijabli i da su kontinuirane funkcije zajedno sa njihovim parcijalnim derivatima. Dakle, rješavanjem sistema jednačina (7) dobijaju se sve tačke u kojima funkcija (6) može imati ekstremne vrijednosti.

Algoritam metode Lagrangeovih množitelja

1. Sastavljamo Lagrangeovu funkciju.

2. Pronalazimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije u odnosu na varijable x J ,λ i i izjednačavamo ih sa nulom.

3. Rješavamo sistem jednačina (7), nalazimo tačke u kojima ciljna funkcija problema može imati ekstrem.

4. Među tačkama sumnjivim za ekstrem, nalazimo one u kojima je ekstremum dostignut i izračunavamo vrednosti funkcije (6) u tim tačkama.

Primjer.

Početni podaci: Prema planu proizvodnje, preduzeće treba da proizvede 180 proizvoda. Ovi proizvodi se mogu proizvoditi na dva tehnološka načina. U proizvodnji x 1 proizvoda u metodi 1 troškovi su 4x 1 + x 1 2 rublje, a u proizvodnji x 2 proizvoda u metodi 2 oni su 8x 2 + x 2 2 rublje. Odredite koliko proizvoda svaka od metoda treba napraviti kako bi troškovi proizvodnje bili minimalni.

Ciljna funkcija za problem ima oblik
® min pod uslovima x 1 +x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Sastavite Lagrangeovu funkciju
.
2. Izračunavamo parcijalne derivate u odnosu na x 1, x 2, λ i izjednačavamo ih sa nulom:

3. Rješavajući rezultirajući sistem jednadžbi, nalazimo x 1 = 91, x 2 = 89

4. Nakon što smo izvršili zamjenu u ciljnoj funkciji x 2 = 180-x 1, dobivamo funkciju jedne varijable, odnosno f 1 = 4x 1 +x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- x 1) 2

Izračunaj ili 4x 1 -364=0 ,

odakle imamo x 1 * =91, x 2 * =89.

Odgovor: Broj proizvoda proizvedenih po prvoj metodi je x 1 = 91, po drugoj metodi x 2 = 89, dok je vrijednost ciljne funkcije 17278 rubalja.

Metoda za određivanje uslovnog ekstremuma počinje izgradnjom pomoćne Lagrangeove funkcije, koja u području izvodljivih rješenja dostiže maksimum za iste vrijednosti varijabli x 1 , x 2 , ..., x n , što je ciljna funkcija z . Neka je problem određivanja uslovnog ekstremuma funkcije z=f(X) pod ograničenjima φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Sastavite funkciju

koji se zove Lagrangeova funkcija. X , - konstantni faktori ( Lagrangeovi množitelji). Imajte na umu da se Lagrangeovi množitelji mogu dati ekonomskom smislu. Ako f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - prihod prema planu X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , i funkciju φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) su onda troškovi i-tog resursa koji odgovara ovom planu X , - cijena (procjena) i-tog resursa, koja karakterizira promjenu ekstremne vrijednosti funkcije cilja u zavisnosti od promjene veličine i-tog resursa (granična procjena). L(X) - funkcija n+m varijable (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Određivanjem stacionarnih tačaka ove funkcije dolazi se do rješenja sistema jednačina

Lako je to vidjeti . Dakle, problem nalaženja uslovnog ekstremuma funkcije z=f(X) svodi se na pronalaženje lokalnog ekstremuma funkcije L(X) . Ako se pronađe stacionarna tačka, onda se pitanje postojanja ekstrema u najjednostavnijim slučajevima rješava na osnovu dovoljnih uslova za ekstrem - proučavanje predznaka drugog diferencijala d 2 L(X) u stacionarnoj tački, pod uslovom da se varijabla povećava Δx i - povezani odnosima

dobijeno diferenciranjem jednadžbi ograničenja.

Rješavanje sistema nelinearnih jednačina sa dvije nepoznate pomoću alata Solver

Podešavanje Pronalaženje rješenja omogućava vam da pronađete rješenje za sistem nelinearnih jednačina sa dvije nepoznanice:

Gdje
- nelinearna funkcija varijabli x I y ,
je proizvoljna konstanta.

Poznato je da je par x , y ) je rješenje sistema jednačina (10) ako i samo ako je rješenje sljedeće jednačine u dvije nepoznate:

WITH s druge strane, rješenje sistema (10) je sjecište dvije krive: f ] (x, y) = C I f 2 (x, y) = C 2 na površini XOY.

Iz ovoga slijedi metoda za pronalaženje korijena sistema. nelinearne jednadžbe:

Odrediti (barem približno) interval postojanja rješenja sistema jednačina (10) ili jednačine (11). Ovdje je potrebno uzeti u obzir vrstu jednačina uključenih u sistem, domen definicije svake njihove jednačine itd. Ponekad se koristi izbor početne aproksimacije rješenja;

Tablični prikaz rješenja jednadžbe (11) za varijable x i y na odabranom intervalu ili grafove funkcija f 1 (x, y) = C, i f 2 (x, y) = C 2 (sistem(10)).

Lokalizirajte pretpostavljene korijene sistema jednadžbi - pronađite nekoliko minimalnih vrijednosti iz tabelarne tablice korijena jednadžbe (11) ili odredite točke presjeka krivulja uključenih u sistem (10).

4. Pomoću dodatka pronađite korijene za sistem jednačina (10). Potražite rješenje.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

sastoji se u zamjeni proizvoljnih konstanti ck u općem rješenju

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

odgovarajuća homogena jednačina

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

na pomoćne funkcije ck(t) čiji derivati ​​zadovoljavaju linearni algebarski sistem

Determinanta sistema (1) je Wronskian funkcija z1,z2,...,zn, što osigurava njegovu jedinstvenu rješivost u odnosu na .

Ako su antiderivati ​​za uzeti pri fiksnim vrijednostima konstanti integracije, onda je funkcija

je rješenje originalne linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe. Integracija nehomogena jednačina u prisustvu općeg rješenja odgovarajuće homogene jednačine, svodi na kvadrature.

Lagrangeova metoda (metoda varijacije proizvoljnih konstanti)

Metoda za dobijanje opšteg rešenja nehomogene jednačine, poznavanje opšteg rešenja homogene jednačine bez pronalaženja posebnog rešenja.

Za linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu n-tog reda

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

gdje je y = y(x) nepoznata funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) su poznati, kontinuirani, istiniti: 1) postoji n linearno nezavisne odluke jednačine y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) za bilo koje vrijednosti konstanti c1, c2, ..., cn, funkcija y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) je rješenje jednadžbe; 3) za bilo koje početne vrijednosti x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1, postoje vrijednosti c*1, c*n, ..., c*n takve da je rješenje y*(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) zadovoljava za x = x0 početne uslove y*(x0)=y0, ( y*)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Izraz y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) naziva se zajedničko rešenje linearna homogena diferencijalna jednadžba n-tog reda.

Skup od n linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda y1(x), y2(x), ..., yn(x) naziva se osnovni sistem rješenja jednačine.

Za linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu sa konstantni koeficijenti postoji jednostavan algoritam za konstruisanje fundamentalnog sistema rešenja. Tražit ćemo rješenje jednadžbe u obliku y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, tj. broj l je korijen karakteristična jednačina ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Lijeva strana karakteristične jednadžbe naziva se karakterističnim polinomom linearne diferencijalne jednadžbe: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Tako se problem rješavanja linearne homogene jednadžbe n-tog reda s konstantnim koeficijentima svodi na rješavanje algebarske jednadžbe.

Ako karakteristična jednadžba ima n različitih realnih korijena l1№ l2 № ... № ln, tada se osnovni sistem rješenja sastoji od funkcija y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), a opšte rješenje homogene jednadžbe je: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

fundamentalni sistem rješenja i opšte rješenje za slučaj jednostavnih realnih korijena.

Ako se bilo koji od realnih korijena karakteristične jednadžbe ponovi r puta (r-preklopni korijen), tada mu r funkcija odgovara u osnovnom sistemu rješenja; ako je lk=lk+1 = ... = lk+r-1, onda in fundamentalni sistem rješenja jednadžbe, postoje r funkcije: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).

PRIMJER 2. Osnovni sistem rješenja i opšte rješenje za slučaj višestrukih realnih korijena.

Ako karakteristična jednadžba ima kompleksne korijene, tada svaki par jednostavnih (množenosti 1) kompleksnih korijena lk,k+1=ak ± ibk u osnovnom sistemu rješenja odgovara paru funkcija yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

PRIMJER 4. Osnovni sistem rješenja i opšte rješenje za slučaj jednostavnih kompleksnih korijena. imaginarni koreni.

Ako kompleksni par korijena ima višestrukost r, onda takav par lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, u osnovnom sistemu rješenja odgovara funkcijama exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

PRIMJER 5. Osnovni sistem rješenja i opšte rješenje za slučaj višestrukih kompleksnih korijena.

Dakle, da bi se pronašlo opšte rešenje linearne homogene diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima, treba: zapisati karakterističnu jednačinu; pronaći sve korijene karakteristične jednadžbe l1, l2, ... , ln; zapisati osnovni sistem rješenja y1(x), y2(x), ..., yn(x); napišite izraz za opšte rješenje y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Da bismo riješili Cauchyjev problem, moramo zamijeniti izraz za opšte rješenje u početne uslove i odrediti vrijednosti konstanti c1,..., cn, koje su rješenja sistema linearnih algebarske jednačine c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Za linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu n-tog reda

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

gdje je y = y(x) nepoznata funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) su poznate, kontinuirane, važeće: 1 ) ako su y1(x) i y2(x) dva rješenja nehomogene jednadžbe, tada je funkcija y(x) = y1(x) - y2(x) rješenje odgovarajuće homogene jednačine; 2) ako je y1(x) rješenje nehomogene jednadžbe, a y2(x) rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, tada je funkcija y(x) = y1(x) + y2(x) rješenje za nehomogena jednačina; 3) ako su y1(x), y2(x), ..., yn(x) n linearno nezavisnih rješenja homogene jednadžbe, a ych(x) - proizvoljna odluka nehomogena jednačina, tada za bilo koje početne vrijednosti x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 postoje vrijednosti c*1, c*n, ..., c*n takve da rješenje y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) zadovoljava za x = x0 početne uslove y*( x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Izraz y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) naziva se općim rješenjem linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda.

Pronaći pojedinačna rješenja nehomogenih diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima sa desnim stranama oblika: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), gdje su Pk(x), Qm(x) polinomi stepena k i m u skladu s tim, postoji jednostavan algoritam za konstruisanje određenog rješenja, koji se zove metoda selekcije.

Metoda odabira, odnosno metoda neizvjesnih koeficijenata je sljedeća. Željeno rješenje jednadžbe se zapisuje kao: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, gdje su Pr(x), Qr(x) polinomi stepena r = max(k, m) sa nepoznatim koeficijentima pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Faktor xs naziva se rezonantni faktor. Rezonancija se dešava u slučajevima kada među korijenima karakteristične jednačine postoji korijen l = a ± ib višestrukosti s. One. ako među korijenima karakteristične jednadžbe odgovarajuće homogene jednadžbe postoji takav da se njen realni dio poklapa s koeficijentom u eksponentu eksponenta, a imaginarni dio se poklapa s koeficijentom u argumentu trigonometrijske funkcije na desnoj strani jednadžbe, i višestrukost ovog korijena s, onda u željenom određenom rješenju postoji rezonantni faktor xs. Ako ne postoji takva koincidencija (s=0), onda nema rezonantnog faktora.

Zamjenom izraza za određeno rješenje na lijevoj strani jednačine, dobijamo generalizovani polinom istog oblika kao i polinom na desnoj strani jednačine, čiji su koeficijenti nepoznati.

Dva generalizovana polinoma su jednaka ako i samo ako su koeficijenti faktora oblika xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) sa istim stepenom t jednaki. Izjednačavanjem koeficijenata takvih faktora dobijamo sistem od 2(r+1) linearnih algebarskih jednadžbi u 2(r+1) nepoznanica. Može se pokazati da je takav sistem konzistentan i da ima jedinstveno rješenje.