U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora I mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se činiti da se penjemo u divljinu analitička geometrija. Ovo je pogrešno. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak će biti i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičan rad

Šta će vas usrećiti? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da označavam unakrsni proizvod vektora na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je u tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće važne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, onda ćemo dobiti vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore , tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan na originalne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam detaljno govorio orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Objasniću na prstima desna ruka . Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb- vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda ono opšti slučaj ne može se uporediti sa originalom. Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda . Strogo govoreći, sam unakrsni proizvod je jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je jednostavno jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora i ovaj zadatak između ostalog, analiziraćemo.

Za rješenja praktični primjeri može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom i, na osnovu toga, formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima biće vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuto prigovaranje - ako je odgovor netačan, onda se stiče utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije razumjela suštinu zadatka. Taj trenutak treba uvijek držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu, moglo bi se dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema reči o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se rasporediti u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u kontrolni rad, evo primjera za "uradi sam" rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upisujemo u gornji red determinante, koordinate vektora „pakujemo“ u drugi i treći red i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Rješenje: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

A-prioritet mješoviti proizvod je volumen paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije nego damo pojam vektorskog proizvoda, osvrnimo se na pitanje orijentacije uređene trojke vektora a → , b → , c → u trodimenzionalnom prostoru.

Za početak, odvojimo vektore a → , b → , c → iz jedne tačke. Orijentacija trojke a → , b → , c → je desna ili lijeva, ovisno o smjeru vektora c → . Iz smjera u kojem se pravi najkraći okret od vektora a → do b → od kraja vektora c → , odredit će se oblik trojke a → , b → , c →.

Ako je najkraća rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se trojka vektora a → , b → , c → naziva u pravu ako u smjeru kazaljke na satu - lijevo.

Zatim uzmite dva nekolinearna vektora a → i b → . Odložimo tada vektore A B → = a → i A C → = b → iz tačke A. Konstruirajmo vektor A D → = c → , koji je istovremeno okomit i na A B → i na A C → . Dakle, kada konstruišemo vektor A D → = c →, možemo uraditi dve stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smer (vidi ilustraciju).

Uređeni trio vektora a → , b → , c → može biti, kako smo saznali, desni ili levi u zavisnosti od smera vektora.

Iz navedenog možemo uvesti definiciju vektorskog proizvoda. Ova definicija data je za dva vektora definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora a → i b → nazvaćemo takav vektor dat u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora tako da:

• ako su vektori a → i b → kolinearni, biće nula;
• bit će okomit na vektor a →​​ i vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• njegova dužina je određena formulom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• triplet vektora a → , b → , c → ima istu orijentaciju kao za ovaj sistem koordinate.

Unakrsni proizvod vektora a → i b → ima sljedeću notaciju: a → × b → .

Unakrsne koordinate proizvoda

Pošto svaki vektor ima određene koordinate u koordinatnom sistemu, moguće je uvesti drugu definiciju vektorskog proizvoda, koja će vam omogućiti da pronađete njegove koordinate iz datih koordinata vektora.

Definicija 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora vektorski proizvod dva vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) nazovimo vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , gdje su i → , j → , k → koordinatni vektori.

Vektorski proizvod se može predstaviti kao determinanta kvadratne matrice trećeg reda, gdje su prvi red orta vektori i → , j → , k → , drugi red sadrži koordinate vektora a → , a treći je koordinate vektora b → u datom pravokutnom koordinatnom sistemu, ova determinanta matrice izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Proširujući ovu determinantu preko elemenata prvog reda, dobijamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = ( a → × b → = a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Unakrsna svojstva proizvoda

Poznato je da je vektorski proizvod u koordinatama predstavljen kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , a zatim na bazi svojstva determinante matrice sljedeće svojstva vektorskog proizvoda:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b → , gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ova svojstva nemaju komplikovane dokaze.

Na primjer, možemo dokazati svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ako se dva reda matrice zamijene, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotno, dakle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , što i dokazuje antikomutativnost vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - Primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste zadataka.

U problemima prvog tipa obično su date dužine dva vektora i ugao između njih, ali morate pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. U ovom slučaju koristite sljedeću formulu c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Primjer 1

Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda vektora a → i b → ako je poznato a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rješenje

Koristeći definiciju dužine vektorskog proizvoda vektora a → i b →, rješavamo ovaj problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

odgovor: 15 2 2 .

Zadaci drugog tipa imaju vezu sa koordinatama vektora, sadrže vektorski proizvod, njegovu dužinu itd. se pretražuju kroz poznate koordinate datih vektora a → = (a x ; a y ; a z) I b → = (b x ; b y ; b z) .

Za ovu vrstu zadatka možete riješiti mnogo opcija za zadatke. Na primjer, ne koordinate vektora a → i b → , već njihove ekspanzije u koordinatnim vektorima oblika b → = b x i → + b y j → + b z k → i c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ili vektori a → i b → mogu biti dati koordinatama njihovih početne i krajnje tačke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

Dva vektora postavljena su u pravougaoni koordinatni sistem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Pronađite njihov vektorski proizvod.

Rješenje

Prema drugoj definiciji, nalazimo vektorski proizvod dva vektora u datim koordinatama: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ako vektorski proizvod zapišemo kroz determinantu matrice, rješenje ovog primjera je sljedeće: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primjer 3

Odrediti dužinu unakrsnog proizvoda vektora i → - j → i i → + j → + k → , gdje je i → , j → , k → - orti pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje

Prvo, pronađimo koordinate datog vektorskog proizvoda i → - j → × i → + j → + k → u datom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1 ; - 1 ; 0) i (1 ; 1 ; 1) respektivno. Nađite dužinu vektorskog proizvoda koristeći determinantu matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Dakle, vektorski proizvod i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo po formuli (pogledajte dio o pronalaženju dužine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primjer 4

Koordinate tri tačke A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) date su u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Nađite vektor okomit na A B → i A C → u isto vrijeme.

Rješenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1 ; 2 ; 2) i (0 ; 4 ; 1) redom. Nakon što smo pronašli vektorski proizvod vektora A B → i A C → , očigledno je da je to okomit vektor po definiciji i na A B → i na A C → , odnosno da je rješenje našeg problema. Pronađite ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedan od okomitih vektora.

Problemi trećeg tipa fokusirani su na korištenje svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon primjene koje, dobićemo rješenje zadatog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → su okomiti i njihove dužine su 3 odnosno 4. Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Rješenje

Po svojstvu distributivnosti vektorskog proizvoda možemo napisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti uzimamo numeričke koeficijente izvan predznaka vektorskih proizvoda u posljednjem izrazu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski proizvodi a → × a → i b → × b → jednaki su 0, budući da su a → × a → = a → a → sin 0 = 0 i b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , onda 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskog proizvoda slijedi - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Koristeći svojstva vektorskog proizvoda, dobijamo jednakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pod uslovom, vektori a → i b → su okomiti, odnosno ugao između njih jednak je π 2 . Sada ostaje samo zamijeniti pronađene vrijednosti u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Dužina unakrsnog proizvoda vektora po definiciji je a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pošto je već poznato (iz školskog predmeta) da je površina trokuta jednaka polovini umnoška dužina njegovih dviju stranica pomnoženog sa sinusom ugla između ovih stranica. Dakle, dužina vektorskog proizvoda jednaka je površini paralelograma - udvojenog trokuta, odnosno proizvodu stranica u obliku vektora a → i b → , odloženih iz jedne tačke, sinusom ugla između njih sin ∠ a → , b → .

Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.

Fizičko značenje vektorskog proizvoda

U mehanici, jednoj od grana fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti moment sile u odnosu na tačku u prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F → , primenjenom na tačku B, u odnosu na tačku A razumećemo sledeći vektorski proizvod A B → × F → .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Definicija Uređena zbirka (x 1 , x 2 , ... , x n) n realnih brojeva naziva se n-dimenzionalni vektor, i brojevi x i (i = ) - komponente ili koordinate,

Primjer. Ako, na primjer, određena automobilska tvornica mora proizvesti 50 putničkih automobila, 100 kamiona, 10 autobusa, 50 kompleta autodijelova i 150 kompleta kamioni i autobusa, proizvodni program ovog pogona može se napisati kao vektor (50, 100, 10, 50, 150) sa pet komponenti.

Notacija. Vektori su označeni podebljanim malim slovima ili slovima sa trakom ili strelicom na vrhu, na primjer, a ili. Dva vektora se nazivaju jednaka ako imaju isti broj komponenti i njihove odgovarajuće komponente su jednake.

Vektorske komponente se ne mogu zamijeniti, npr. (3, 2, 5, 0, 1) i (2, 3, 5, 0, 1) različiti vektori.
Operacije na vektorima. rad x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) na realan brojλ zove vektorλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

sumax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) i y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) naziva se vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Prostor vektora. N -dimenzionalni vektorski prostor R n je definiran kao skup svih n-dimenzionalnih vektora za koje su definirane operacije množenja realnim brojevima i sabiranja.

Ekonomska ilustracija. Ekonomska ilustracija n-dimenzionalnog vektorskog prostora: prostor robe (robe). Ispod roba razumećemo neku robu ili uslugu koja je puštena u prodaju u određeno vreme na određenom mestu. Pretpostavimo da postoji konačan broj dostupnih dobara n; količine svakog od njih koje potrošač kupuje karakteriše skup robe

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

gdje x i označava količinu i-te robe koju je kupio potrošač. Pretpostavit ćemo da sva dobra imaju svojstvo proizvoljne djeljivosti, tako da se može kupiti bilo koja nenegativna količina svakog od njih. Tada su svi mogući skupovi dobara vektori prostora dobara C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linearna nezavisnost. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-dimenzionalni vektori se naziva linearno zavisna ako postoje takvi brojeviλ 1 , λ 2 , ... , λ m , od kojih je barem jedan različit od nule, što zadovoljava jednakostλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; inače, ovaj sistem vektora se naziva linearno nezavisna, odnosno ova jednakost je moguća samo u slučaju kada su svi . geometrijskog smisla linearna zavisnost vektori u R 3, interpretirani kao usmjereni segmenti, objašnjavaju sljedeće teoreme.

Teorema 1. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno zavisan ako i samo ako je ovaj vektor nula.

Teorema 2. Da bi dva vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu kolinearni (paralelni).

Teorema 3 . Da bi tri vektora bila linearno zavisna, potrebno je i dovoljno da budu koplanarni (leže u istoj ravni).

Lijeve i desne trojke vektora. Trojka nekoplanarnih vektora a, b, c pozvao u pravu, ako posmatrač iz njihovog zajedničkog porekla zaobiđe krajeve vektora a, b, cčini se da se tim redoslijedom odvija u smjeru kazaljke na satu. Inače a, b, c -lijevo trostruko. Zovu se sve desne (ili lijeve) trojke vektora jednako orijentisan.

Osnova i koordinate. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanarna vektora u R 3 zove osnovu, i sami vektori e 1, e 2 , e 3 - osnovni. Bilo koji vektor a može se proširiti na jedinstven način u smislu baznih vektora, odnosno može se predstaviti u obliku

A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

pozivaju se brojevi x 1 , x 2 , x 3 u ekspanziji (1.1). koordinatea u osnovi e 1, e 2 , e 3 i označeni su a(x 1 , x 2 , x 3).

Ortonormalna osnova. Ako vektori e 1, e 2 , e 3 su u paru okomite i dužina svakog od njih jednaka je jedan, tada se baza naziva ortonormalno, a koordinate x 1 , x 2 , x 3 - pravougaona. Bazni vektori ortonormalne baze će biti označeni i, j, k.

Pretpostavićemo to u svemiru R 3 desni sistem kartezijanskih pravougaonih koordinata (0, i, j, k}.

Vektorski proizvod. vektorska umjetnost A po vektoru b zove vektor c, što je određeno sljedeća tri uslova:

1. Dužina vektora c brojčano jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima a I b, tj.
c= |a||b| grijeh( a^b).

2. Vektor c okomito na svaki od vektora a I b.

3. Vektori a, b I c, uzeti tim redoslijedom, čine desnu trojku.

Za vektorski proizvod c uvodi se oznaka c=[ab] ili
c = a × b.

Ako vektori a I b su kolinearni, onda sin( a^b) = 0 i [ ab] = 0, posebno [ aa] = 0. Vektorski proizvodi ortova: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Ako vektori a I b dato u osnovi i, j, k koordinate a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), onda

Mješoviti posao. Ako je unakrsni proizvod dva vektora A I b skalar pomnožen sa trećim vektorom c, onda se takav proizvod tri vektora naziva mješoviti proizvod i označen je simbolom a bc.

Ako vektori a, b I c u osnovi i, j, k postavljene njihovim koordinatama
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), onda

.

Mješoviti proizvod ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju - to je skalar, u apsolutnoj vrijednosti jednak volumenu paralelepipeda izgrađenog na tri data vektora.

Ako vektori formiraju desnu trojku, tada je njihov mješoviti proizvod pozitivan broj jednak naznačenom volumenu; ako tri a, b, c - lijevo, onda a b c<0 и V = - a b c, dakle V =|a b c|.

Pretpostavlja se da su koordinate vektora na koje se susrećemo u problemima iz prvog poglavlja date u odnosu na desnu ortonormalnu bazu. Jedinični vektor kosmjeran prema vektoru A, označena simbolom A O. Simbol r=OM označen radijus vektorom tačke M, simbolima a, AB ili|a|, | AB |moduli vektora su označeni A I AB.

Primjer 1.2. Pronađite ugao između vektora a= 2m+4n I b= m-n, Gdje m I n- jedinični vektori i ugao između m I n jednako 120 o.

Rješenje. Imamo: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, dakle a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, dakle b = . Konačno imamo: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Primjer 1.3.Poznavanje vektora AB(-3,-2.6) i BC(-2,4,4), izračunaj visinu AD trougla ABC.

Rješenje. Označavajući površinu trokuta ABC sa S, dobijamo:
S = 1/2 p.n.e. Onda AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, dakle vektor AC ima koordinate
. .

Primjer 1.4 . Zadana dva vektora a(11,10,2) i b(4,0,3). Pronađite jedinični vektor c, ortogonalno na vektore a I b i usmjeren tako da uređena trojka vektora a, b, c bio u pravu.

Rješenje.Označimo koordinate vektora c s obzirom na datu desnu ortonormiranu bazu u terminima x, y, z.

Zbog c ⊥ a, c ⊥b, To ca= 0, cb= 0. Po uslovu zadatka traži se da je c = 1 i a b c >0.

Imamo sistem jednačina za nalaženje x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iz prve i druge jednačine sistema dobijamo z = -4/3 x, y = -5/6 x. Zamjenom y i z u treću jednačinu imat ćemo: x 2 = 36/125, odakle
x=± . Uvjet korištenja a b c > 0, dobijamo nejednakost

Uzimajući u obzir izraze za z i y, rezultujuću nejednakost prepisujemo u obliku: 625/6 x > 0, odakle slijedi da je x>0. Dakle, x = , y = - , z = - .

7.1. Definicija unakrsnog proizvoda

Tri nekoplanarna vektora a, b i c, uzeta navedenim redoslijedom, formiraju desnu trojku ako se od kraja trećeg vektora c vidi da je najkraći zaokret od prvog vektora a do drugog vektora b u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, i levi ako je u smeru kazaljke na satu (vidi sl. 16).

Vektorski proizvod vektora a i vektora b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b;

2. Ima dužinu brojčano jednaku površini paralelograma izgrađenog na vektorima a ib kao na bočnim stranama (vidi sl. 17), tj.

3. Vektori a, b i c formiraju desnu trojku.

Vektorski proizvod se označava a x b ili [a,b]. Iz definicije vektorskog proizvoda, sljedeće relacije između ortova koje slijedim direktno, j I k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, to i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ali | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektori i , j i k formiraju desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Unakrsna svojstva proizvoda

1. Kada se faktori preurede, vektorski proizvod mijenja predznak, tj. i xb \u003d (b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b xa su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali su suprotno usmjereni (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je axb = -(bxa).

2. Vektorski proizvod ima svojstvo kombinacije u odnosu na skalarni faktor, tj. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Neka je l >0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b je također okomita na vektore a i b(vektori a, l ali leže u istoj ravni). Dakle, vektori l(a xb) i ( l sjekira b kolinearno. Očigledno je da im se pravci poklapaju. Imaju istu dužinu:

Zbog toga l(a xb)= l a xb. Slično se dokazuje za l<0.

3. Dva različita od nule vektora a i b su kolinearni ako i samo ako je njihov vektorski proizvod jednak nultom vektoru, tj. i ||b<=>i xb \u003d 0.

Konkretno, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski proizvod ima svojstvo distribucije:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Prihvatite bez dokaza.

7.3. Unakrsni izraz proizvoda u smislu koordinata

Koristićemo tablicu vektorskih unakrsnih proizvoda i , j i k :

ako se smjer najkraće staze od prvog vektora do drugog poklapa sa smjerom strelice, tada je proizvod jednak trećem vektoru, ako se ne poklapa, treći vektor se uzima sa predznakom minus.

Neka dva vektora a =a x i +a y j+az k i b=bx i+by j+bz k. Nađimo vektorski proizvod ovih vektora množenjem ih kao polinome (prema svojstvima vektorskog proizvoda):

Rezultirajuća formula se može napisati još kraće:

budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene unakrsnog proizvoda

Uspostavljanje kolinearnosti vektora

Pronalaženje površine paralelograma i trougla

Prema definiciji unakrsnog proizvoda vektora A i b |a xb | = a | * |b |sin g , tj. S par = |a x b |. I, stoga, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Određivanje momenta sile oko tačke

Neka sila deluje u tački A F =AB pusti to O- neka tačka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da obrtni moment F u odnosu na tačku O zove vektor M , koji prolazi kroz tačku O i:

1) okomito na ravan koja prolazi kroz tačke O, A, B;

2) brojčano jednak proizvodu sile i kraka

3) formira desnu trojku sa vektorima OA i A B .

Dakle, M = OA x F.

Pronalaženje linearne brzine rotacije

Brzina v tačka M krutog tijela koje rotira ugaonom brzinom w oko fiksne ose, određuje se Eulerovom formulom v = w x r, gdje je r = OM, gdje je O neka fiksna točka ose (vidi sliku 21).

Jedinični vektor- Ovo vektor, čija je apsolutna vrijednost (modul) jednaka jedan. Za označavanje jediničnog vektora koristićemo indeks e. Dakle, ako je dat vektor A, tada će njegov jedinični vektor biti vektor A e. Ovaj jedinični vektor pokazuje u istom smjeru kao i sam vektor A, a njegov modul je jednak jedan, odnosno a e = 1.

Očigledno, A= a A e (a - vektorski modul A). Ovo proizilazi iz pravila po kojem se izvodi operacija množenja skalara vektorom.

Jedinični vektoričesto povezan sa koordinatnim osama koordinatnog sistema (posebno sa osovinama Dekartovog koordinatnog sistema). Smjerovi ovih vektori poklapaju se sa pravcima odgovarajućih osa, a njihova početka se često kombinuju sa ishodištem koordinatnog sistema.

Dozvolite mi da vas podsjetim na to Dekartov koordinatni sistem u prostoru se tradicionalno naziva trojka međusobno okomitih osa koje se seku u tački koja se naziva ishodište. Koordinatne ose se obično označavaju slovima X, Y, Z i nazivaju se osa apscisa, osa ordinata, odnosno aplikatna osa. Sam Descartes je koristio samo jednu osu, na kojoj su bile ucrtane apscise. zasluga upotrebe sistemima sjekire pripadaju njegovim učenicima. Stoga fraza Dekartov koordinatni sistem istorijski pogrešno. Bolje razgovaraj pravougaona koordinatni sistem ili ortogonalni koordinatni sistem. Ipak, tradiciju nećemo mijenjati iu budućnosti ćemo pretpostaviti da su kartezijanski i pravougaoni (ortogonalni) koordinatni sistemi jedno te isto.

Jedinični vektor, usmjeren duž ose X, označava se i, jedinični vektor, usmjeren duž ose Y, označen je j, A jedinični vektor, usmjeren duž ose Z, označen je k. Vektori i, j, k pozvao orts(Sl. 12, lijevo), imaju pojedinačne module, tj
i = 1, j = 1, k = 1.

sjekire i orts pravougaoni koordinatni sistem u nekim slučajevima imaju druga imena i oznake. Dakle, os apscise X može se nazvati tangentnom osom, a njen jedinični vektor je označen τ (grčko malo slovo tau), y-osa je normalna os, njen jedinični vektor je označen n, aplikativna osa je osa binormalnog, njen jedinični vektor je označen b. Zašto mijenjati imena ako je suština ista?

Činjenica je da se, na primjer, u mehanici, kada se proučava kretanje tijela, vrlo često koristi pravokutni koordinatni sistem. Dakle, ako je sam koordinatni sistem nepomičan, a promjena koordinata pokretnog objekta se prati u ovom nepomičnom sistemu, tada obično osi označavaju X, Y, Z, a njihove orts respektivno i, j, k.

Ali često, kada se objekt kreće duž neke vrste krivolinijske putanje (na primjer, duž kruga), prikladnije je razmotriti mehaničke procese u koordinatnom sistemu koji se kreće s ovim objektom. Za takav pokretni koordinatni sistem se koriste drugi nazivi osa i njihovih jediničnih vektora. To je jednostavno prihvaćeno. U ovom slučaju, X-osa je usmjerena tangencijalno na putanju u tački gdje se ovaj objekt trenutno nalazi. I tada se ova os više ne zove X osa, već tangentna os, a njen jedinični vektor se više ne označava i, A τ . Y os je usmjerena duž radijusa zakrivljenosti putanje (u slučaju kretanja u krugu - do centra kruga). A budući da je polumjer okomit na tangentu, os se naziva osom normale (okomica i normala su ista stvar). Ort ove ose više nije označen j, A n. Treća osa (bivša Z) je okomita na dvije prethodne. Ovo je binormala sa vektorom b(Sl. 12, desno). Usput, u ovom slučaju pravougaoni koordinatni sistemčesto nazivaju "prirodnim" ili prirodnim.