Primjeri izračunavanja integrala po dijelovima. Metoda integracije neodređenog integrala po dijelovima

Ranije smo datu funkciju, vođeni razne formule i pravila, pronašao svoj derivat. Izvod ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); kutni koeficijent tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete ispitati funkciju monotonosti i ekstrema; pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, postoji i problem inverzni problem- problem vraćanja zakona kretanja iz poznate brzine. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, brzina njenog kretanja u trenutku t je data formulom v=gt. Pronađite zakon kretanja.
Rješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). To znači da je za rješavanje problema potrebno odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Nije teško pogoditi da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \levo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Odmah napominjemo da je primjer točno riješen, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, budući da \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)

Da bismo problem učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku, na primjer u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, onda iz jednakost s(t) = (gt 2)/2 + C dobijamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena i izmišljaju se posebne oznake, na primjer: kvadriranje (x 2) i izdvajanje kvadratni korijen(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsin (arcsin x), itd. Proces nalaženja derivacije date funkcije naziva se diferencijaciju, a inverzna operacija, odnosno proces nalaženja funkcije iz date derivacije, je integracija.

Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnim terminima“: funkcija y = f(x) „rađa“ novu funkciju y" = f"(x). Funkcija y = f(x) se ponaša kao da je “roditelj”, ali matematičari je, naravno, ne zovu “roditelj” ili “proizvođač” oni kažu da jeste, u odnosu na funkciju y” = f"(x) , primarna slika ili primitivna.

Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivativna za funkciju y = f(x) na intervalu X ako jednakost F"(x) = f(x) vrijedi za \(x \in X\)

U praksi, interval X obično nije specificiran, ali se podrazumijeva (kao prirodni domen definicije funkcije).

Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivativna za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je antiderivativna za funkciju y = cos(x), jer je za bilo koje x tačna jednakost (sin(x))" = cos(x)

Prilikom pronalaženja antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.

Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru njenih derivata. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.

Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Ako je F(x) antiderivat za f(x), onda je kF(x) antiderivat za kf(x).

Teorema 1. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X, onda funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x) + C.

Metode integracije

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje nove integracione varijable (tj. supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stiče se vježbom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuirani izvod.
Tada \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na osnovu svojstva invarijantnosti formule integracije za neodređeni integral, dobijamo integracijsku formulu zamjenom:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracija izraza oblika \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ako je m neparan, m > 0, tada je zgodnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparno, n > 0, tada je zgodnije napraviti supstituciju cos x = t.
Ako su n i m paran, onda je zgodnije napraviti zamjenu tg x = t.

Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabela neodređenih integrala (antiderivata) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Šta je integracija po dijelovima? Da bismo savladali ovu vrstu integracije, prvo se prisjetimo derivata proizvoda:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Postavlja se pitanje: kakve veze imaju integrali s tim? Hajde sada da integrišemo obe strane ove jednačine. Pa hajde da to zapišemo:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Ali šta je antiderivat moždanog udara? To je samo sama funkcija, koja se nalazi unutar poteza. Pa hajde da to zapišemo:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

IN zadata jednačina Predlažem da izrazim pojam. imamo:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

To je to formula integracije po dijelovima. Dakle, u suštini zamjenjujemo derivaciju i funkciju. Ako smo u početku imali integral poteza pomnožen s nečim, onda smo dobili integral novog nečega pomnoženog s potezom. To je sve pravilo. Na prvi pogled ova formula može izgledati komplicirano i besmisleno, ali zapravo može uvelike pojednostaviti proračune. Sad da vidimo.

Primjeri integralnih proračuna

Problem 1. Izračunajte:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Prepišimo izraz dodavanjem 1 ispred logaritma:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Na to imamo pravo jer se neće promijeniti ni broj ni funkcija. Sada uporedimo ovaj izraz sa onim što je napisano u našoj formuli. Uloga $(f)"$ je 1, pa pišemo:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Sve ove funkcije su u tabelama. Sada kada smo opisali sve elemente koji su uključeni u naš izraz, prepisat ćemo ovaj integral koristeći formulu za integraciju po dijelovima:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \desno)+C \\\ kraj (poravnati)\]

To je to, integral je pronađen.

Problem 2. Izračunajte:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Ako uzmemo $x$ kao izvod, iz kojeg sada trebamo pronaći antiderivat, dobićemo $((x)^(2))$, a konačni izraz će sadržavati $((x)^(2) )( (\text(e))^(-x))$.

Očigledno, problem nije pojednostavljen, pa faktore mijenjamo pod predznakom integrala:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Sada da uvedemo notaciju:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

Hajde da razlikujemo $((\text(e))^(-x))$:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ lijevo(-x \desno))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Drugim riječima, prvo se dodaje minus, a zatim se obje strane integriraju:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Strelica desno ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \desno))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \desno))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Pogledajmo sada funkciju $g$:

$g=x\Strelica desno (g)"=1$

Računamo integral:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \desno)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \desno)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \desno)+C \\\end(align)$

Dakle, izvršili smo drugu integraciju po dijelovima.

Problem 3. Izračunajte:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

U ovom slučaju, šta treba da uzmemo za $(f)"$, a šta za $g$? Ako $x$ deluje kao derivat, tada ćemo tokom integracije dobiti $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, a prvi faktor neće nigdje nestati - bit će $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Dakle, hajde da ponovo zamijenimo faktore:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ end(align)$

Prepisujemo naš originalni izraz i širimo ga prema formuli integracije po dijelovima:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

To je to, treći problem je riješen.

U zaključku, pogledajmo još jednom formula integracije po dijelovima. Kako biramo koji faktor će biti derivacija, a koji realna funkcija? Ovdje postoji samo jedan kriterij: element koji ćemo razlikovati mora ili dati “lijepi” izraz, koji će se zatim reducirati, ili potpuno nestati tokom diferencijacije. Ovim je lekcija završena.

Definitivnim integralom iz kontinuirane funkcije f(x) na završnom segmentu [ a, b] (gdje ) je prirast nekih njegovih antiderivata na ovom segmentu. (Općenito, razumijevanje će biti znatno lakše ako ponovite temu neodređenog integrala) U ovom slučaju se koristi notacija

Kao što se može vidjeti na grafikonima ispod (prirast antiderivativne funkcije je označen sa ), određeni integral može biti ili pozitivan ili negativan broj(Izračunava se kao razlika između vrijednosti antiderivata u gornjoj granici i njegove vrijednosti u donjoj granici, tj. F(b) - F(a)).

Brojevi a I b nazivaju se donja i gornja granica integracije, respektivno, a segment [ a, b] – segment integracije.

Dakle, ako F(x) – neka antiderivativna funkcija za f(x), tada, prema definiciji,

(38)

Jednakost (38) se zove Newton-Leibnizova formula . Razlika F(b) – F(a) je ukratko napisano kako slijedi:

Stoga ćemo Newton-Leibnizovu formulu napisati ovako:

(39)

Dokažimo da definitivni integral ne zavisi od toga koji se antiderivat integranda uzima prilikom njegovog izračunavanja. Neka F(x) i F( X) su proizvoljni antiderivati ​​integranda. Pošto su ovo antiderivati ​​iste funkcije, razlikuju se po konstantnom članu: F( X) = F(x) + C. Zato

Time se utvrđuje da na segmentu [ a, b] prirasta svih antiderivata funkcije f(x) match.

Dakle, za izračunavanje određenog integrala potrebno je pronaći bilo koji antiderivat integranda, tj. Prvo morate pronaći neodređeni integral. Konstantno WITH isključeno iz naknadnih proračuna. Zatim se primjenjuje Newton-Leibnizova formula: vrijednost gornje granice zamjenjuje se antiderivativnom funkcijom b , dalje - vrijednost donje granice a i razlika se izračunava F(b) - F(a) . Rezultirajući broj će biti definitivan integral..

At a = b po definiciji prihvaćeno

Primjer 1.

Rješenje. Prvo, pronađimo neodređeni integral:

Primjena Newton-Leibnizove formule na antiderivat

(kod WITH= 0), dobijamo

Međutim, prilikom izračunavanja određenog integrala, bolje je ne nalaziti antiderivat zasebno, već odmah zapisati integral u obliku (39).

Primjer 2. Izračunati definitivni integral

Rješenje. Koristeći formulu

Svojstva određenog integrala

Teorema 2.Vrijednost određenog integrala ne zavisi od oznake integracione varijable, tj.

(40)

Neka F(x) – antiderivat za f(x). Za f(t) antiderivat je ista funkcija F(t), u kojem je nezavisna varijabla samo drugačije označena. dakle,

Na osnovu formule (39), posljednja jednakost znači jednakost integrala

Teorema 3.Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka određenog integrala, tj.

(41)

Teorema 4.Definitivni integral algebarskog zbira konačnog broja funkcija jednak je algebarskom zbiru određenih integrala ovih funkcija, tj.

(42)

Teorema 5.Ako je segment integracije podijeljen na dijelove, tada je definitivni integral po cijelom segmentu jednak zbiru određenih integrala nad njegovim dijelovima, tj. Ako

(43)

Teorema 6.Prilikom preuređivanja granica integracije, apsolutna vrijednost određenog integrala se ne mijenja, već se mijenja samo njegov predznak, tj.

(44)

Teorema 7(teorema srednje vrijednosti). Određeni integral jednak je umnošku dužine segmenta integracije i vrijednosti integrala u nekoj tački unutar njega, tj.

(45)

Teorema 8.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a integrand nije negativan (pozitivan), onda je i definitivni integral nenegativan (pozitivan), tj. Ako

Teorema 9.Ako je gornja granica integracije veća od donje i funkcije su kontinuirane, onda je nejednakost

mogu se integrisati pojam po pojam, tj.

(46)

Svojstva određenog integrala omogućavaju pojednostavljenje direktnog izračunavanja integrala.

Primjer 5. Izračunati definitivni integral

Koristeći teoreme 4 i 3, te pri pronalaženju antiderivata - integrala tablice (7) i (6), dobijamo

Definitivni integral sa varijabilnom gornjom granicom

Neka f(x) – kontinuirano na segmentu [ a, b] funkcija i F(x) je njegov antideritiv. Razmotrimo definitivni integral

(47)

i kroz t integraciona varijabla je označena tako da se ne pobrka s gornjom granicom. Prilikom promjene X mijenja se i definitivni integral (47), tj. to je funkcija gornje granice integracije X, koje označavamo sa F(X), tj.

(48)

Dokažimo da je funkcija F(X) je antiderivat za f(x) = f(t). Zaista, razlikovanje F(X), dobijamo

jer F(x) – antiderivat za f(x), A F(a) je konstantna vrijednost.

Funkcija F(X) – jedan od beskonačnog broja antiderivata za f(x), naime onaj koji x = a ide na nulu. Ova tvrdnja se dobija ako u jednakost (48) stavimo x = a i koristite teoremu 1 iz prethodnog stava.

Izračunavanje određenih integrala metodom integracije po dijelovima i metodom promjene varijable

gdje je, po definiciji, F(x) – antiderivat za f(x). Ako promijenimo varijablu u integrandu

tada, u skladu sa formulom (16), možemo pisati

U ovom izrazu

antiderivativna funkcija za

U stvari, njegov derivat, prema pravilo diferencijacije složenih funkcija, je jednako

Neka su α i β vrijednosti varijable t, za koji je funkcija

uzima vrednosti u skladu sa tim a I b, tj.

Ali, prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(b) – F(a) Postoji

Kalkulator rješava integrale sa opisom radnji DETALJNO na ruskom i besplatno!

Rješavanje neodređenih integrala

Ovo je online usluga u jedan korak:

Rješavanje određenih integrala

Ovo je online usluga u jedan korak:

• Unesite integrand izraz (integralna funkcija)
• Unesite donju granicu za integral
• Unesite gornju granicu za integral

Rješavanje dvostrukih integrala

• Unesite integrand izraz (integralna funkcija)

Rješavanje nepravih integrala

• Unesite integrand izraz (integralna funkcija)
• Unesite gornju regiju integracije (ili + beskonačnost)
• Unesite donju regiju integracije (ili - beskonačnost)

Idi na: Online usluga "Improprietary integral" →

Rješavanje trostrukih integrala

• Unesite integrand izraz (integralna funkcija)
• Unesite donje i gornje granice za prvu regiju integracije
• Unesite donju i gornju granicu za drugu regiju integracije
• Unesite donju i gornju granicu za treću regiju integracije

Idi na: Online usluga "Triple Integral" →

Ova usluga vam omogućava da provjerite svoje kalkulacije za ispravnost

Mogućnosti

• Podržava sve moguće matematičke funkcije: sinus, kosinus, eksponent, tangenta, kotangens, kvadratni i kubni korijen, potencije, eksponencijale i druge.
• Postoje primjeri za unos, kako za neodređene integrale, tako i za nepravilne i određene.
• Ispravlja greške u izrazima koje unosite i nudi vlastite opcije za unos.
• Numeričko rješenje za određene i nepravilne integrale (uključujući dvostruke i trostruke integrale).
• Podrška kompleksni brojevi, kao i razne parametre (u integrandu možete specificirati ne samo integracijsku varijablu, već i druge varijable parametara)

Integracija po dijelovima- metoda koja se koristi za rješavanje određenih i neodređenih integrala, kada je jedan od integrala lako integrabilan, a drugi diferencibilan. Prilično uobičajena metoda za pronalaženje integrala, kako neodređenih tako i određenih. Glavni znak kada treba da ga koristite je određena funkcija koja se sastoji od proizvoda dve funkcije koje se ne mogu direktno integrisati.

Formula

Da biste uspješno koristili ovu metodu, morate razumjeti i naučiti formule.

Formula za integraciju po dijelovima u neodređenom integralu:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Primjeri rješenja

Razmotrimo u praksi primjere rješenja integracije po dijelovima, koja često nude nastavnici na testovi. Imajte na umu da se pod simbolom integrala nalazi proizvod dvije funkcije. To je znak da je ova metoda prikladna za rješenje.

Primjer 1

Pronađite integral $ \int xe^xdx $

Rješenje

Vidimo da se integrand sastoji od dvije funkcije, od kojih se jedna nakon diferencijacije trenutno pretvara u jedinstvo, a druga se lako integrira. Za rješavanje integrala koristimo metodu integracije po dijelovima. Pretpostavimo $ u = x \rightarrow du=dx $ i $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u prvu formulu integracije i dobijamo: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo obezbediti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika!

Odgovori

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

Primjer 4

Izračunajte integral $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $

Rješenje

Analogno prethodnim riješenim primjerima, shvatit ćemo koju funkciju bez problema integrirati, a koju razlikovati. Imajte na umu da ako razlikujemo $ (x+5) $, onda će se ovaj izraz automatski pretvoriti u jedinicu, što će biti u našu korist. Dakle, radimo ovo: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Sada su sve nepoznate funkcije pronađene i mogu se staviti u drugu formulu za integraciju po dijelovima za određeni integral. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

Odgovori

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$