Osnovni sistem rješenja homogenog sistema linearnih jednačina. Kako pronaći netrivijalno i fundamentalno rješenje za sistem linearnih homogenih jednačina
Rješenje linearnih sistema algebarske jednačine(SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema kursa linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearne jednačine. Ovi faktori objašnjavaju razlog za kreiranje ovog članka. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete
- pokupiti najbolja metoda rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednačina,
- proučavati teoriju odabrane metode,
- riješite svoj sistem linearnih jednačina, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i zadataka.
Kratak opis materijala članka.
Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo neke oznake.
Zatim se razmatraju metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se fokusirati na Cramerovu metodu, drugo, pokazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sistema jednačina, treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metod sekvencijalno isključivanje nepoznate varijable). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.
Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšti pogled, u kojem se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema degenerisana. Formuliramo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da utvrdimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.
Obavezno se zadržite na strukturi općeg rješenja homogenog i nehomogenog homogeni sistemi linearne algebarske jednadžbe. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše pomoću vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.
U zaključku razmatramo sisteme jednačina koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.
Navigacija po stranici.
Definicije, koncepti, oznake.
Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika
Nepoznate varijable, - koeficijenti (neke realne ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).
Ovaj oblik SLAE se zove koordinata.
AT matrični oblik ovaj sistem jednačina ima oblik ,
gdje 
- glavna matrica sistema, - matrica-kolona nepoznatih varijabli, - matrica-kolona slobodnih članova.
Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, tj. 
Rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.
Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.
Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.
Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, onda - neizvjesno.
Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli 
, tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.
Rješenje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.
Ako je broj sistemskih jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema, sve nepoznate varijable su jednake nuli.
Takve SLAE smo počeli učiti u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.
Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.
Rješavanje sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom.
Hajde da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina 
u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.
Neka je determinanta glavne matrice sistema, i 
su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova: 
Uz takvu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju po formulama Cramerove metode kao 
. Ovako se Cramerovom metodom pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi.
Primjer.
Cramer metoda 
.
Odluka.
Glavna matrica sistema ima oblik 
. Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.
Sastavite i izračunajte potrebne determinante 
(determinanta se dobije zamjenom prvog stupca u matrici A kolonom slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih članova, - zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih članova ): 
Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula 
:
odgovor:
Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj sistemskih jednačina veći od tri.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.
Budući da je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomnožimo sa lijevo, onda ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje za sistem linearnih algebarskih jednačina matrična metoda.
Primjer.
Riješi sistem linearnih jednačina matrična metoda.
Odluka.
Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku: 
As
tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Korišćenjem inverzna matrica rješenje za ovaj sistem se može naći kao 
.
Napravimo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak): 
Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice 
na matrici-koloni slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak): 
odgovor:
ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Glavni problem u pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost nalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.
Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli 
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.
Suština Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednačini. Takav proces transformacije jednadžbi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon završetka napredovanja Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednačine, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednačine koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.
Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.
Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećoj jednačini, i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje , a 
.
Do istog rezultata bismo došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.
Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici 
Da biste to uradili, dodajte drugo pomnoženo sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugo pomnoženo sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, dodajte drugo pomnoženo sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik 
gdje , a 
. Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.
Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, postupajući na sličan način sa dijelom sistema označenim na slici 
Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik 
Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačina.
Primjer.
Riješi sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.
Odluka.
Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa: 
Sada eliminišemo x 2 iz treće jednačine dodavanjem levom i desni delovi lijeva i desna strana druge jednadžbe, pomnožene sa: 
Na ovome je završen kurs naprijed Gaussove metode, počinjemo obrnuti kurs.
Iz posljednje jednadžbe rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3: 
Iz druge jednačine dobijamo .
Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tok Gaussove metode.
odgovor:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
AT opšti slučaj broj sistemskih jednačina p ne odgovara broju nepoznatih varijabli n:
Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se također odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.
Kronecker-Capelli teorem.
Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Daje se odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan Kronecker–Capelli teorem:
da bi sistem od p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširena matrica, odnosno Rank(A)=Rank(T) .
Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.
Primjer.
Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima 
rješenja.
Odluka.
. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda 
različito od nule. Idemo preko maloletnika trećeg reda koji ga okružuju: 
Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.
Zauzvrat, rang proširene matrice 
je jednako tri, pošto je minor trećeg reda 
različito od nule.
Na ovaj način, Rang(A) , dakle, prema Kronecker-Capellijevoj teoremi, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.
odgovor:
Ne postoji sistem rješenja.
Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.
Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?
Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog minora matrice i teorema o rangu matrice.
Minor najviši red poziva se matrica A koja nije nula osnovni.
Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.
Na primjer, razmotrite matricu 
.
Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.
Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule 
Maloljetnici 
nisu osnovne, jer su jednake nuli.
Teorema o rangu matrice.
Ako je rang matrice reda p prema n r, tada se svi elementi redova (i stupaca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata redova (i stupaca) ) koji čine osnovni mol.
Šta nam daje teorema o rangu matrice?
Ako smo Kronecker-Capellijevom teoremom utvrdili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sistema (njegov red je jednak r), a iz sistema isključujemo sve jednačine koje ne odgovaraju formiraju izabrani osnovni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).
Kao rezultat, nakon odbacivanja prekomjernih jednačina sistema moguća su dva slučaja.
Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Primjer.
.
Odluka.
Rang glavne matrice sistema 
je jednako dva, pošto je minor drugog reda 
različito od nule. Prošireni matrični rang 
je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda jednak nuli 
a minor drugog reda razmatranog iznad je različit od nule. Na osnovu Kronecker-Capelli teoreme, može se tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.
Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine: 
Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice: 
Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom: 
odgovor:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n , tada ostavljamo članove koji čine osnovni minor u lijevom dijelu jednačine, a preostale članove prenosimo u desne dijelove jednadžbe sistema sa suprotnim predznakom.
Nepoznate varijable (ima ih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe nazivaju se main.
Nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani se pozivaju besplatno.
Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Uzmimo primjer.
Primjer.
Riješiti sistem linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Odluka.
Pronađite rang glavne matrice sistema 
metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda koji nije nula. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor: 
Tako smo pronašli minor koji nije nula drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda: 
Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.
Pronađeni minor trećeg reda različit od nule će se uzeti kao osnovni.
Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor: 
Članove koji učestvuju u osnovnom molu ostavljamo na lijevoj strani jednadžbe sistema, a ostale sa suprotnim predznacima prenosimo na desnu stranu: 
Dajemo slobodne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo 
, gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE ima oblik 
Dobijeni elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom: 
Shodno tome, .
U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.
odgovor:
Gdje su proizvoljni brojevi.
Sažmite.
Da bismo riješili sistem linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, prvo saznajemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker-Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekonzistentan.
Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog osnovnog minora.
Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.
Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, onda ostavljamo članove sa glavnim nepoznatim varijablama na lijevoj strani jednadžbe sistema, preostale članove prenosimo na desnu stranu i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti na slobodne nepoznate varijable. Iz rezultujućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.
Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
Koristeći Gaussovu metodu, može se riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez njihovog preliminarnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces uzastopne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekonzistentnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga i pronalaženje.
Sa stanovišta računskog rada, Gausova metoda je poželjnija.
Pazi Detaljan opis i analizirane primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.
Snimanje opšteg rešenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.
U ovom dijelu ćemo se fokusirati na zajedničke homogene i nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.
Hajdemo prvo da se pozabavimo homogenim sistemima.
Fundamentalni sistem odlučivanja Homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.
Ako je označeno linearno nezavisna rješenja homogene SLAE kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su n-by-1 matrice stupaca), tada je opće rješenje ovog homogenog sistema predstavljen je kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rješenja sa proizvoljnim konstantni koeficijenti S 1 , S 2 , …, S (n-r) , odnosno, .
Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?
Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja originalni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 , C 2 , …, C (n-r) , prema formuli dobijamo jedno od rješenja originalne homogene SLAE.
Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo postaviti sva rješenja ovog homogenog SLAE kao .
Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.
Biramo osnovni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo na desnu stranu jednačina sistema suprotnih predznaka sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) – prvo rješenje fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruisati osnovni sistem rešenja homogene SLAE i njegovo opšte rešenje se može zapisati u obliku .
Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno kao
Pogledajmo primjere.
Primjer.
Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi 
.
Odluka.
Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Nađimo rang glavne matrice metodom rubnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Pronađite granični minor drugog reda koji nije nula: 
Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom: 
Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni mol. Radi jasnoće, napominjemo elemente sistema koji ga čine: 
Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog mola, stoga se može isključiti: 
Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:
Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, budući da originalni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a zatim pronađemo glavne nepoznanice iz sistema jednačina 
.
Poziva se sistem linearnih jednačina u kojem su svi slobodni članovi jednaki nuli homogena :
Svaki homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvek jeste nula (trivijalan ) rješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima će homogeni sistem imati netrivijalno rešenje.
Teorema 5.2.Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang osnovne matrice manji od broja njegovih nepoznatih.
Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.
Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l za koje sistem ima netrivijalna rješenja i pronađite ova rješenja:
Odluka. Ovaj sistem će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:
Dakle, sistem je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sistema je 1. Zatim, ostavljajući samo jednu jednačinu uz pretpostavku da je y=a i z=b, dobijamo x=b-a, tj.
Za l=2, rang glavne matrice sistema je 2. Zatim, birajući kao osnovni minor:
dobijamo pojednostavljeni sistem
Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. Pretpostavljam z=4a, dobijamo
Skup svih rješenja homogenog sistema ima veoma važnu linearno svojstvo : ako je X kolona 1 i X 2 - rješenja homogenog sistema AX = 0, zatim bilo koja njihova linearna kombinacija a X 1+b X 2 također će biti rješenje ovog sistema. Zaista, pošto SJEKIRA 1 = 0 i SJEKIRA 2 = 0 , onda A(a X 1+b X 2) = a SJEKIRA 1+b SJEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ove osobine, ako linearni sistem ima više od jednog rješenja, tada će ovih rješenja biti beskonačno mnogo.
Linearno nezavisne kolone E 1 , E 2 , E k, koji su rješenja homogenog sistema, naziva se fundamentalni sistem odlučivanja homogeni sistem linearnih jednadžbi ako se opšte rešenje ovog sistema može napisati kao linearna kombinacija ovih kolona:
Ako homogeni sistem ima n varijabli, a rang glavne matrice sistema je jednak r, onda k = n-r.
Primjer 5.7. Pronađite osnovni sistem rješenja sljedećeg sistema linearnih jednačina:
Odluka. Pronađite rang glavne matrice sistema:
Dakle, skup rješenja ovog sistema jednačina formira linearni podprostor dimenzija n - r= 5 - 2 = 3. Biramo kao osnovni minor
.
Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostale će biti linearna kombinacija ovih jednačina) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable, prenosimo udesno), dobijamo pojednostavljeni sistem jednačina:
Pretpostavljam x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mi nalazimo
, 
.
Pretpostavljam a= 1, b=c= 0, dobijamo prvo osnovno rešenje; pod pretpostavkom b= 1, a = c= 0, dobijamo drugo osnovno rešenje; pod pretpostavkom c= 1, a = b= 0, dobijamo treće osnovno rešenje. Kao rezultat, normalan fundamentalni sistem rješenja poprima oblik
Koristeći osnovni sistem, opšte rešenje homogenog sistema može se zapisati kao
X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a
Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sistema linearnih jednačina AX=B i njihov odnos sa odgovarajućim homogenim sistemom jednačina AX = 0.
Opšte rješenje nehomogenog sistemajednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg homogenog sistema AX = 0 i proizvoljnog partikularnog rešenja nehomogenog sistema. Zaista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sistema, tj. AY 0 = B, i Y je opšte rješenje nehomogenog sistema, tj. AY=B. Oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobijamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opšte rješenje odgovarajućeg homogenog sistema SJEKIRA=0. shodno tome, Y-Y 0 = X, ili Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Neka nehomogen sistem ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opšte rešenje takvog sistema može zapisati kao X = X 1 + X 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo bilo kojeg linearnog sistema uopšte (algebarskog, diferencijalnog, funkcionalnog, itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip preklapanja. Na primjer, u teoriji linearnog električna kola struja u bilo kojem kolu može se dobiti kao algebarski zbir struja uzrokovanih svakim izvorom energije posebno.
Homogeni sistem je uvijek konzistentan i ima trivijalno rješenje 
. Da bi postojalo netrivijalno rješenje, potrebno je da je rang matrice 
bio manji od broja nepoznatih:
.
Fundamentalni sistem odlučivanja
homogeni sistem 
sistem rješenja nazvati u obliku vektora stupaca 
, koji odgovaraju kanonskoj osnovi, tj. bazi u kojoj proizvoljne konstante 
se naizmjenično postavljaju jednakima jedan, dok su ostali postavljeni na nulu.
Tada opšte rešenje homogenog sistema ima oblik:
gdje 
su proizvoljne konstante. Drugim rečima, opšte rešenje je linearna kombinacija osnovnog sistema rešenja.
Dakle, osnovna rješenja se mogu dobiti iz općeg rješenja ako se slobodnim nepoznanicama naizmenično daje vrijednost jedinice, uz pretpostavku da su sve ostale jednake nuli.
Primjer. Hajde da nađemo rešenje za sistem
Prihvatamo , tada dobijamo rješenje u obliku:
Konstruirajmo sada fundamentalni sistem rješenja:
.
Opšte rješenje se može napisati kao:
Rješenja sistema homogenih linearnih jednačina imaju sljedeća svojstva:
Drugim riječima, svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sistema je opet rješenje.
Rješenje sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom
Rešavanje sistema linearnih jednačina zanimalo je matematičare već nekoliko vekova. Prvi rezultati dobijeni su u XVIII veku. Godine 1750. G. Kramer (1704–1752) objavio je svoje radove o determinantama kvadratnih matrica i predložio algoritam za pronalaženje inverzne matrice. Godine 1809. Gauss je predstavio novu metodu rješenja poznatu kao metoda eliminacije.
Gaussova metoda, odnosno metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih, sastoji se u tome što se uz pomoć elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentan sistem stepenastog (ili trouglastog) oblika. Takvi sistemi vam omogućavaju da dosljedno pronađete sve nepoznate u određenom redoslijedu.
Pretpostavimo da je u sistemu (1) 
(što je uvek moguće).
(1)
Množenjem prve jednadžbe zauzvrat sa tzv odgovarajući brojevi
i zbrajanjem rezultata množenja sa odgovarajućim jednačinama sistema, dobijamo ekvivalentni sistem u kojem sve jednačine, osim prve, neće imati nepoznate X 1
(2)
Sada množimo drugu jednačinu sistema (2) odgovarajućim brojevima, pod pretpostavkom da je to 
,
i dodajući je nižim, eliminišemo varijablu 
svih jednačina, počevši od treće.
Nastavak ovog procesa, nakon 
koraci koje dobijamo:
(3)
Ako je barem jedan od brojeva 
nije jednako nuli, onda je odgovarajuća jednakost nekonzistentna i sistem (1) je nekonzistentan. Obrnuto, za bilo koji zajednički brojni sistem 
jednaki su nuli. Broj 
nije ništa drugo do rang sistemske matrice (1).
Prijelaz iz sistema (1) u (3) se zove u pravoj liniji Gaussova metoda i pronalaženje nepoznanica iz (3) - unazad .
Komentar : Pogodnije je izvršiti transformacije ne sa samim jednadžbama, već sa proširenom matricom sistema (1).
Primjer. Hajde da nađemo rešenje za sistem
.
Napišimo proširenu matricu sistema:
.
Dodajmo redovima 2,3,4 prvi, pomnožen sa (-2), (-3), (-2) redom:
.
Zamenimo redove 2 i 3, a zatim u rezultujućoj matrici dodamo red 2 na red 4, pomnožen sa 
:
.
Dodajte u red 4 red 3 pomnožen sa 
:
.
Očigledno je da 
, dakle sistem je kompatibilan. Iz rezultirajućeg sistema jednačina
nalazimo rješenje obrnutom zamjenom:
,
,
,
.
Primjer 2 Pronađite sistemsko rješenje:
.
Očigledno je da je sistem nekonzistentan, jer 
, a 
.
Prednosti Gaussove metode :
Manje vremena oduzima od Cramerove metode.
Nedvosmisleno utvrđuje kompatibilnost sistema i omogućava vam da pronađete rješenje.
Daje mogućnost određivanja ranga bilo koje matrice.
Da razumem šta je fundamentalni sistem odlučivanja možete pogledati video tutorijal za isti primjer klikom na . Sada pređimo na opis svih potrebnih radova. Ovo će vam pomoći da detaljnije shvatite suštinu ovog pitanja.
Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine?
Uzmimo za primjer sljedeći sistem linearnih jednadžbi:
Hajde da nađemo rešenje za ovo linearni sistem jednačine. Za početak, mi zapišite matricu koeficijenata sistema.
Transformirajmo ovu matricu u trouglastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog reda, a razliku upisati u drugi red. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(31)$, potrebno je oduzeti prvo od trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz četvrtog reda i upisati razliku u četvrtom redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, oduzmite prvo pomnoženo sa 2 od petog reda i upišite razliku u petom redu. 
Prepisujemo prvi i drugi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste napravili nulu na mjestu elementa $a_(32)$, potrebno je oduzeti drugi red pomnožen sa 2 iz trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(42)$, potrebno je od četvrtog reda oduzeti drugu pomnoženu sa 2 i upisati razliku u četvrti red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, oduzmite drugu pomnoženu sa 3 od petog reda i upišite razliku u petom redu. 
Vidimo to zadnja tri reda su ista, pa ako oduzmete treći od četvrtog i petog, onda će oni postati nula. 
Za ovu matricu zapiši novi sistem jednačine.
Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednačine i pet nepoznanica, pa će se osnovni sistem rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi pomjeriti posljednje dvije nepoznate udesno.
Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od posljednje jednačine, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo dobijeni rezultat u drugu jednačinu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednačinu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazili kroz nepoznanice koje su na desnoj strani. 
Nakon toga, umjesto $x_4$ i $x_5$, možete zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih takvih pet brojeva bit će korijeni našeg originalnog sistema jednačina. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i onda obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.
Homogeni sistem linearnih jednačina nad poljem
DEFINICIJA. Osnovni sistem rješenja sistema jednačina (1) je neprazan linearno nezavisan sistem njegovih rješenja, čiji se linearni raspon poklapa sa skupom svih rješenja sistema (1).
Imajte na umu da homogeni sistem linearnih jednačina koji ima samo nulto rješenje nema fundamentalni sistem rješenja.
PREDLOG 3.11. Bilo koja dva osnovna sistema rješenja homogenog sistema linearnih jednačina sastoje se od istog broja rješenja.
Dokaz. Zaista, bilo koja dva fundamentalna sistema rješenja homogenog sistema jednačina (1) su ekvivalentna i linearno nezavisna. Dakle, prema prijedlogu 1.12, njihovi rangovi su jednaki. Dakle, broj rješenja uključenih u jedan fundamentalni sistem jednak je broju rješenja uključenih u bilo koji drugi fundamentalni sistem rješenja.
Ako je glavna matrica A homogenog sistema jednačina (1) nula, tada je bilo koji vektor iz rješenje za sistem (1); u ovom slučaju, bilo koja kolekcija linearno nezavisnih vektora iz je fundamentalni sistem rješenja. Ako je rang stupca matrice A , tada sistem (1) ima samo jedno rješenje - nula; stoga u ovom slučaju sistem jednačina (1) nema fundamentalni sistem rješenja.
TEOREMA 3.12. Ako je rang glavne matrice homogenog sistema linearnih jednačina (1) manji od broja varijabli, onda sistem (1) ima fundamentalni sistem rješenja koji se sastoji od rješenja.
Dokaz. Ako je rang glavne matrice A homogenog sistema (1) jednak nuli ili , tada je gore pokazano da je teorema tačna. Stoga se u nastavku pretpostavlja da Uz pretpostavku , pretpostavit ćemo da su prvi stupci matrice A linearno nezavisni. U ovom slučaju, matrica A je u nizu ekvivalentna redukovanoj matrici koraka, a sistem (1) je ekvivalentan sljedećem reduciranom sistemu jednačina:
Lako je provjeriti da bilo koji sistem vrijednosti slobodnih varijabli sistema (2) odgovara jednom i jedinom rješenju sistema (2) pa samim tim i sistema (1). Konkretno, samo nulto rješenje sistema (2) i sistema (1) odgovara sistemu nultih vrijednosti.
U sistemu (2) jednoj od slobodnih varijabli dodijelit ćemo vrijednost jednaku 1, a ostalim varijablama nulte vrijednosti. Kao rezultat dobijamo rješenja sistema jednadžbi (2) koje zapisujemo kao redove sljedeće matrice C:
Sistem redova ove matrice je linearno nezavisan. Zaista, za sve skalare iz jednakosti
slijedi jednakost
a samim tim i jednakost
Dokažimo da se linearni raspon sistema redova matrice C poklapa sa skupom svih rješenja sistema (1).
Proizvoljno rješenje sistema (1). Zatim vektor
je također rješenje za sistem (1), i
