Izračunajte varijansu. Izračunavanje grupne, međugrupne i ukupne varijanse (prema pravilu sabiranja varijanse)

27.09.2019 | Hrana i piće

Ova stranica opisuje standardni primjer pronalaženja varijanse, možete pogledati i druge probleme za njeno pronalaženje

Primjer 1. Određivanje grupnog, grupnog prosjeka, međugrupne i ukupne varijanse

Primjer 2. Pronalaženje varijanse i koeficijenta varijacije u tabeli grupisanja

Primjer 3. Pronalaženje varijanse u diskretne serije

Primjer 4. Za grupu od 20 dopisnih studenata dostupni su sljedeći podaci. Potrebno je konstruirati intervalni niz distribucije karakteristike, izračunati prosječnu vrijednost karakteristike i proučiti njenu disperziju

Hajde da napravimo intervalno grupisanje. Odredimo raspon intervala koristeći formulu:

gdje je X max maksimalna vrijednost karakteristike grupisanja;
X min – minimalna vrijednost karakteristike grupisanja;
n – broj intervala:

Prihvatamo n=5. Korak je: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Kreirajmo intervalno grupiranje

Za dalje proračune napravićemo pomoćnu tabelu:

X"i – sredina intervala. (na primjer, sredina intervala 159 – 165,6 = 162,3)

Određujemo prosječnu visinu učenika koristeći ponderiranu formulu aritmetičkog prosjeka:

Odredimo varijansu koristeći formulu:

Formula se može transformisati ovako:

Iz ove formule slijedi da varijansa je jednaka razlika između prosjeka kvadrata opcija i kvadrata i prosjeka.

Varijanca u varijantne serije With u jednakim intervalima metodom momenata može se izračunati na sljedeći način korištenjem drugog svojstva disperzije (dijeleći sve opcije vrijednošću intervala). Određivanje varijanse, izračunato metodom momenata, koristeći sljedeću formulu je manje naporno:

gdje je i vrijednost intervala;
A je konvencionalna nula, za koju je prikladno koristiti sredinu intervala s najvećom frekvencijom;
m1 je kvadrat momenta prvog reda;
m2 - trenutak drugog reda

Alternativna varijansa osobina (ako se u statističkoj populaciji karakteristika mijenja na takav način da postoje samo dvije međusobno isključive opcije, tada se takva varijabilnost naziva alternativa) može se izračunati pomoću formule:

Zamjenom q = 1- p u ovu formulu disperzije dobijamo:

Vrste varijanse

Ukupna varijansa mjeri varijaciju neke karakteristike u cijeloj populaciji kao cjelini pod utjecajem svih faktora koji uzrokuju ovu varijaciju. Ona je jednaka srednjem kvadratu odstupanja pojedinačnih vrednosti karakteristike x od ukupne srednje vrednosti x i može se definisati kao prosta varijansa ili ponderisana varijansa.

Varijanca unutar grupe karakterizira slučajnu varijaciju, tj. dio varijacije koji je posljedica uticaja neuračunatih faktora i ne zavisi od faktora-atributa koji čini osnovu grupe. Takva disperzija jednaka je srednjem kvadratu odstupanja pojedinačnih vrijednosti atributa unutar grupe X od aritmetičke sredine grupe i može se izračunati kao jednostavna disperzija ili kao ponderirana disperzija.

dakle, mjere varijance unutar grupe varijacija osobine unutar grupe i određena je formulom:

gdje je xi prosjek grupe;
ni je broj jedinica u grupi.

na primjer, varijanse unutar grupe, koji se mora utvrditi u zadatku proučavanja uticaja kvalifikacija radnika na nivo produktivnosti rada u radionici, pokazuju varijacije u proizvodnji u svakoj grupi uzrokovane svim mogućim faktorima ( tehničkom stanju opreme, dostupnosti alata i materijala, starosti radnika, intenziteta rada itd.), osim razlika u kvalifikacionoj kategoriji (unutar grupe svi radnici imaju iste kvalifikacije).

Disperzija u statistici nalazi se kao pojedinačne vrijednosti karakteristike na kvadrat iz . Ovisno o početnim podacima, određuje se korištenjem jednostavnih i ponderiranih formula varijanse:

1. (za negrupirane podatke) se izračunava pomoću formule:

2. Ponderirana varijansa (za serije varijacija):

gdje je n frekvencija (ponovljivost faktora X)

Primjer pronalaženja varijanse

Ova stranica opisuje standardni primjer pronalaženja varijanse, možete pogledati i druge probleme za njeno pronalaženje

Primjer 1. Za grupu od 20 dopisnih studenata dostupni su sljedeći podaci. Potrebno je konstruirati intervalni niz distribucije karakteristike, izračunati prosječnu vrijednost karakteristike i proučiti njenu disperziju

Hajde da napravimo intervalno grupisanje. Odredimo raspon intervala koristeći formulu:

gdje je X max maksimalna vrijednost karakteristike grupisanja;
X min – minimalna vrijednost karakteristike grupisanja;
n – broj intervala:

Prihvatamo n=5. Korak je: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Kreirajmo intervalno grupiranje

Za dalje proračune napravićemo pomoćnu tabelu:

X'i je sredina intervala. (na primjer, sredina intervala 159 – 165,6 = 162,3)

Određujemo prosječnu visinu učenika koristeći ponderiranu formulu aritmetičkog prosjeka:

Odredimo varijansu koristeći formulu:

Formula disperzije može se transformirati na sljedeći način:

Iz ove formule slijedi da varijansa je jednaka razlika između prosjeka kvadrata opcija i kvadrata i prosjeka.

Disperzija u serijama varijacija sa jednakim intervalima pomoću metode momenata može se izračunati na sljedeći način koristeći drugo svojstvo disperzije (dijeleći sve opcije vrijednošću intervala). Određivanje varijanse, izračunato metodom momenata, koristeći sljedeću formulu je manje naporno:

gdje je i vrijednost intervala;
A je konvencionalna nula, za koju je prikladno koristiti sredinu intervala s najvećom frekvencijom;
m1 je kvadrat momenta prvog reda;
m2 - trenutak drugog reda

(ako se u statističkoj populaciji karakteristika mijenja na takav način da postoje samo dvije međusobno isključive opcije, tada se takva varijabilnost naziva alternativa) može se izračunati pomoću formule:

Zamjenom q = 1- p u ovu formulu disperzije dobijamo:

Vrste varijanse

karakterizira slučajnu varijaciju, tj. dio varijacije koji je posljedica uticaja neuračunatih faktora i ne zavisi od faktora-atributa koji čini osnovu grupe. Takva disperzija jednaka je srednjem kvadratu odstupanja pojedinačnih vrijednosti atributa unutar grupe X od aritmetičke sredine grupe i može se izračunati kao jednostavna disperzija ili kao ponderirana disperzija.

dakle, mjere varijance unutar grupe varijacija osobine unutar grupe i određena je formulom:

gdje je xi prosjek grupe;
ni je broj jedinica u grupi.

Na primjer, unutargrupne varijanse koje je potrebno utvrditi u zadatku proučavanja uticaja kvalifikacija radnika na nivo produktivnosti rada u radionici pokazuju varijacije u proizvodnji u svakoj grupi uzrokovane svim mogućim faktorima (tehničko stanje opreme, dostupnost opreme). alata i materijala, starosti radnika, intenziteta rada itd.), osim razlika u kategoriji kvalifikacija (unutar grupe svi radnici imaju iste kvalifikacije).

Prosjek varijansi unutar grupe odražava nasumičan, odnosno onaj dio varijacije koji je nastao pod utjecajem svih ostalih faktora, osim faktora grupisanja. Izračunava se pomoću formule:

Karakterizira sistematsku varijaciju rezultirajuće karakteristike, koja je posljedica utjecaja faktora-znaka koji čini osnovu grupe. Jednaka je srednjem kvadratu odstupanja grupnih srednjih vrijednosti od ukupne srednje vrijednosti. Međugrupna varijansa se izračunava pomoću formule:

Pravilo za dodavanje varijanse u statistiku

Prema pravilo dodavanja varijansi totalna varijansa jednak zbroju prosjeka varijansi unutar grupe i između grupa:

Značenje ovog pravila je da je ukupna varijansa koja nastaje pod uticajem svih faktora jednaka zbiru varijansi koje nastaju pod uticajem svih ostalih faktora i varijanse koja nastaje usled faktora grupisanja.

Koristeći formulu za sabiranje varijansi, možete odrediti treću nepoznatu varijansu iz dvije poznate varijanse, a također procijeniti jačinu utjecaja karakteristike grupisanja.

Svojstva disperzije

1. Ako se sve vrijednosti neke karakteristike smanje (povećaju) za isti konstantni iznos, tada se disperzija neće promijeniti.
2. Ako se sve vrijednosti neke karakteristike smanje (povećaju) za isti broj puta n, tada će se varijansa shodno tome smanjiti (povećati) za n^2 puta.

Disperzija u statistici se definira kao standardna devijacija pojedinačnih vrijednosti karakteristike na kvadrat od aritmetičke sredine. Uobičajena metoda za izračunavanje kvadrata odstupanja opcija od prosjeka i zatim njihovo usrednjavanje.

U ekonomskoj statističkoj analizi uobičajeno je da se varijacija neke karakteristike procjenjuje najčešće koristeći standardnu devijaciju; to je kvadratni korijen varijanse.

(3)

Karakterizira apsolutnu fluktuaciju vrijednosti različite karakteristike i izražava se u istim mjernim jedinicama kao i opcije. U statistici često postoji potreba da se uporede varijacije različitih karakteristika. Za takva poređenja koristi se relativna mjera varijacije, koeficijent varijacije.

Svojstva disperzije:

1) ako oduzmete bilo koji broj od svih opcija, onda se varijansa neće promijeniti;

2) ako se sve vrijednosti opcije podijele s bilo kojim brojem b, tada će se varijansa smanjiti za b^2 puta, tj.

3) ako izračunate prosječni kvadrat odstupanja od bilo kojeg broja sa nejednakom aritmetičkom sredinom, onda će on biti veći od varijanse. Istovremeno, dobro definisanom vrijednošću po kvadratu razlike između prosječne vrijednosti c.

Disperzija se može definirati kao razlika između srednjeg kvadrata i srednjeg kvadrata.

17. Grupne i međugrupne varijacije. Pravilo dodavanja varijanse

Ako se statistička populacija podijeli na grupe ili dijelove prema osobini koja se proučava, tada se za takvu populaciju mogu izračunati sljedeće vrste disperzije: grupna (privatna), grupna prosječna (privatna) i međugrupna.

Ukupna varijansa– odražava varijaciju karakteristike zbog svih uslova i uzroka koji djeluju u datoj statističkoj populaciji.

Grupna varijansa- jednaka srednjem kvadratu odstupanja pojedinačnih vrijednosti karakteristike unutar grupe od aritmetičke sredine ove grupe, koja se naziva grupna sredina. Međutim, prosjek grupe se ne poklapa sa ukupnim prosjekom za cijelu populaciju.

Grupna varijansa odražava varijaciju osobine samo zbog uslova i uzroka koji djeluju unutar grupe.

Prosjek grupnih varijansi- definira se kao ponderirana aritmetička sredina grupnih varijansi, pri čemu su ponderi volumen grupe.

Međugrupna varijansa- jednaka srednjem kvadratu odstupanja grupnih prosjeka od ukupnog prosjeka.

Međugrupna disperzija karakterizira varijaciju rezultirajuće karakteristike zbog karakteristike grupiranja.

Postoji određeni odnos između razmatranih vrsta disperzija: ukupna disperzija jednaka je zbroju prosječne grupne i međugrupne disperzije.

Ovaj odnos se naziva pravilo zbrajanja varijanse.

18. Dinamički nizovi i njegove komponente. Vrste vremenskih serija.

Red u statistici- to su digitalni podaci koji pokazuju promjene u nekoj pojavi u vremenu ili prostoru i omogućavaju statističko poređenje pojava kako u procesu njihovog razvoja u vremenu tako iu razne forme i vrste procesa. Zahvaljujući tome, moguće je otkriti međusobnu zavisnost pojava.

U statistici se proces razvoja kretanja društvenih pojava tokom vremena obično naziva dinamikom. Za prikaz dinamike konstruiraju se dinamičke serije (hronološke, vremenske), koje su nizovi vremenski promjenjivih vrijednosti statističkog pokazatelja (na primjer, broj osuđenih osoba preko 10 godina), raspoređenih hronološkim redom. Njihovi sastavni elementi su digitalne vrijednosti datog indikatora i periodi ili vremenske tačke na koje se odnose.

Najvažnija karakteristika dinamičkih serija- njihovu veličinu (volumen, magnituda) određene pojave ostvarene u određenom periodu ili u određenom trenutku. Shodno tome, veličina članova dinamičke serije je njen nivo. Razlikovati početni, srednji i završni nivo dinamičke serije. Početni nivo prikazuje vrijednost prvog, konačnog - vrijednost posljednjeg člana serije. Srednji nivo predstavlja prosječni raspon hronoloških varijacija i izračunava se ovisno o tome da li je dinamička serija intervalna ili trenutna.

Još jedna važna karakteristika dinamičke serije- vrijeme proteklo od početnog do završnog opažanja, odnosno broj takvih opažanja.

Postoje različite vrste vremenskih serija, koje se mogu klasificirati prema sljedećim kriterijima.

1) U zavisnosti od načina iskazivanja nivoa, serije dinamike se dele na serije apsolutnih i derivativnih indikatora (relativne i prosečne vrednosti).

2) U zavisnosti od toga kako nivoi serije izražavaju stanje pojave u određenim vremenskim trenucima (na početku mjeseca, kvartala, godine itd.) ili njenu vrijednost u određenim vremenskim intervalima (npr. po danu, mjesec, godina, itd.) itd.), razlikovati trenutak i intervalni redovi zvučnici. Serije trenutaka se relativno rijetko koriste u analitičkom radu agencija za provođenje zakona.

U statističkoj teoriji dinamika se razlikuje prema nizu drugih klasifikacijskih kriterijuma: zavisno od udaljenosti između nivoa - sa jednakim nivoima i nejednakim nivoima u vremenu; u zavisnosti od prisustva glavne tendencije procesa koji se proučava - stacionarni i nestacionarni. Prilikom analize vremenskih serija, oni polaze od sljedećeg, nivoi serije su predstavljeni u obliku komponenti:

Y t = TP + E (t)

gdje je TP deterministička komponenta koja određuje opštu tendenciju promjene tokom vremena ili trenda.

E (t) je slučajna komponenta koja uzrokuje fluktuacije nivoa.

Glavni generalizirajući indikatori varijacije u statistici su disperzije i standardne devijacije.

Disperzija ovo aritmetička sredina kvadratna odstupanja svake karakteristične vrijednosti od ukupnog prosjeka. Varijanca se obično naziva srednjim kvadratom odstupanja i označava se sa  2. Ovisno o izvornim podacima, varijansa se može izračunati korištenjem jednostavne ili ponderirane aritmetičke sredine:

 neponderisana (jednostavna) varijansa;

 ponderisana varijansa.

Standardna devijacija ovo je generalizirajuća karakteristika apsolutnih veličina varijacije znakova u zbiru. Izražava se u istim mjernim jedinicama kao i atribut (u metrima, tonama, procentima, hektarima, itd.).

Standardna devijacija je kvadratni korijen varijanse i označava se sa :

 standardna devijacija neponderisana;

 ponderisana standardna devijacija.

Standardna devijacija je mjera pouzdanosti srednje vrijednosti. Što je manja standardna devijacija, to bolje aritmetička sredina odražava cjelokupnu zastupljenu populaciju.

Izračunavanju standardne devijacije prethodi izračunavanje varijanse.

Procedura za izračunavanje ponderisane varijanse je kako slijedi:

1) odrediti ponderisanu aritmetičku sredinu:

2) izračunajte odstupanja opcija od prosjeka:

3) kvadrat odstupanja svake opcije od prosjeka:

4) pomnožiti kvadrate odstupanja sa težinama (frekvencijama):

5) sumirajte rezultirajuće proizvode:

6) dobijeni iznos se podijeli zbirom pondera:

Primjer 2.1

Izračunajmo ponderisanu aritmetičku sredinu:

Vrijednosti odstupanja od srednje vrijednosti i njihovi kvadrati prikazani su u tabeli. Definirajmo varijansu:

Standardna devijacija će biti jednaka:

Ako su izvorni podaci prikazani u obliku intervala distribucijske serije , tada prvo trebate odrediti diskretnu vrijednost atributa, a zatim primijeniti opisanu metodu.

Primjer 2.2

Pokažimo proračun varijanse za intervalnu seriju koristeći podatke o raspodjeli zasijane površine kolektivne farme prema prinosu pšenice.

Aritmetička sredina je:

Izračunajmo varijansu:

6.3. Izračunavanje varijanse pomoću formule zasnovane na pojedinačnim podacima

Tehnika proračuna varijanse složen, a sa velikim vrijednostima opcija i frekvencija može biti glomazan. Proračuni se mogu pojednostaviti korištenjem svojstava disperzije.

Disperzija ima sljedeća svojstva.

1. Smanjenje ili povećanje težine (učestalosti) promjenjive karakteristike za određeni broj puta ne mijenja disperziju.

2. Smanjite ili povećajte svaku vrijednost karakteristike za isti konstantni iznos A ne mijenja disperziju.

3. Smanjite ili povećajte svaku vrijednost karakteristike za određeni broj puta k odnosno smanjuje ili povećava varijansu u k 2 puta i standardna devijacija  u k jednom.

4. Disperzija karakteristike u odnosu na proizvoljnu vrijednost je uvijek veća od disperzije u odnosu na aritmetičku sredinu po kvadratu razlike između prosječne i proizvoljne vrijednosti:

Ako A 0, tada dolazimo do sljedeće jednakosti:

odnosno varijansa karakteristike jednaka je razlici između srednjeg kvadrata karakterističnih vrijednosti i kvadrata srednje vrijednosti.

Svako svojstvo se može koristiti samostalno ili u kombinaciji s drugim prilikom izračunavanja varijanse.

Procedura za izračunavanje varijanse je jednostavna:

1) odrediti aritmetička sredina :

2) kvadrat aritmetičke sredine:

3) kvadrat odstupanja svake varijante serije:

X i 2 .

4) pronađite zbir kvadrata opcija:

5) podijeliti zbir kvadrata opcija sa njihovim brojem, odnosno odrediti prosječni kvadrat:

6) odrediti razliku između srednjeg kvadrata karakteristike i kvadrata srednje vrednosti:

Primjer 3.1 Dostupni su sljedeći podaci o produktivnosti radnika:

Napravimo sljedeće proračune:

Teorija vjerovatnoće je posebna grana matematike koju izučavaju samo studenti visokoškolskih ustanova. Volite kalkulacije i formule? Ne plašite se mogućnosti da se upoznate sa normalnom distribucijom, entropijom ansambla, matematičkim očekivanjem i diskretnom disperzijom slučajna varijabla? Onda će vam ova tema biti veoma interesantna. Upoznajmo se sa nekoliko najvažnijih osnovnih pojmova ove grane nauke.

Prisjetimo se osnova

Čak i ako se sjećate najjednostavnijih koncepata teorije vjerojatnosti, nemojte zanemariti prve paragrafe članka. Poenta je da bez jasnog razumijevanja osnova nećete moći raditi sa formulama o kojima se govori u nastavku.

Dakle, dogodi se neki slučajni događaj, neki eksperiment. Kao rezultat akcija koje poduzimamo, možemo dobiti nekoliko ishoda - neki se javljaju češće, drugi rjeđe. Vjerovatnoća događaja je omjer broja stvarno dobijenih ishoda jedne vrste prema ukupan broj moguće. Tek poznavajući klasičnu definiciju ovog koncepta možete početi proučavati matematičko očekivanje i varijanse kontinuiranih slučajnih varijabli.

Aritmetička sredina

Još u školi, na časovima matematike, počeli ste da radite sa aritmetičkom sredinom. Ovaj koncept se široko koristi u teoriji vjerovatnoće i stoga se ne može zanemariti. Glavna stvar za nas je trenutno je da ćemo ga susresti u formulama za matematičko očekivanje i disperziju slučajne varijable.

Imamo niz brojeva i želimo da pronađemo aritmetičku sredinu. Sve što se od nas traži je da zbrojimo sve dostupno i podijelimo brojem elemenata u nizu. Neka nam budu brojevi od 1 do 9. Zbir elemenata će biti jednak 45, a tu vrijednost ćemo podijeliti sa 9. Odgovor: - 5.

Disperzija

Govoreći naučni jezik, disperzija je prosječni kvadrat odstupanja dobijenih karakterističnih vrijednosti od aritmetičke sredine. Označava se jednim velikim latiničnim slovom D. Šta je potrebno da se izračuna? Za svaki element niza izračunavamo razliku između postojećeg broja i aritmetičke sredine i kvadriramo je. Bit će tačno onoliko vrijednosti koliko može biti ishoda za događaj koji razmatramo. Zatim zbrojimo sve primljeno i podijelimo s brojem elemenata u nizu. Ako imamo pet mogućih ishoda, onda podijelite sa pet.

Disperzija takođe ima svojstva koja se moraju zapamtiti da bi se koristila prilikom rešavanja problema. Na primjer, kada se slučajna varijabla povećava za X puta, varijansa se povećava za X puta na kvadrat (tj. X*X). Nikada nije manji od nule i ne zavisi od pomeranja vrednosti gore ili dole za jednake iznose. Osim toga, za nezavisni testovi varijansa sume je jednaka zbiru varijansi.

Sada svakako moramo razmotriti primjere varijanse diskretne slučajne varijable i matematičkog očekivanja.

Recimo da smo izveli 21 eksperiment i dobili 7 različitih ishoda. Svaku od njih smo posmatrali 1, 2, 2, 3, 4, 4 i 5 puta. Čemu će biti jednaka varijansa?

Prvo, izračunajmo aritmetičku sredinu: zbir elemenata je, naravno, 21. Podijelite ga sa 7 i dobijete 3. Sada oduzmite 3 od svakog broja u originalnom nizu, kvadrirajte svaku vrijednost i saberite rezultate. Rezultat je 12. Sada sve što treba da uradimo je da podelimo broj sa brojem elemenata, i, čini se, to je sve. Ali postoji kvaka! Hajde da razgovaramo o tome.

Ovisnost o broju eksperimenata

Ispostavilo se da prilikom izračunavanja varijanse nazivnik može sadržavati jedan od dva broja: ili N ili N-1. Ovdje je N broj izvedenih eksperimenata ili broj elemenata u nizu (što je u suštini ista stvar). Od čega ovo zavisi?

Ako se broj testova mjeri u stotinama, onda moramo staviti N u nazivnik. Naučnici su odlučili da granicu povuku sasvim simbolično: danas ona prolazi kroz broj 30. Ako smo proveli manje od 30 eksperimenata, tada ćemo količinu podijeliti sa N-1, a ako više, onda sa N.

Zadatak

Vratimo se našem primjeru rješavanja problema varijanse i matematičkog očekivanja. Dobili smo srednji broj 12, koji je trebalo podijeliti sa N ili N-1. S obzirom da smo izveli 21 eksperiment, što je manje od 30, mi ćemo izabrati drugu opciju. Dakle, odgovor je: varijansa je 12 / 2 = 2.

Očekivanje

Prijeđimo na drugi koncept, koji moramo razmotriti u ovom članku. Matematičko očekivanje je rezultat zbrajanja svih mogućih ishoda pomnoženih odgovarajućim vjerovatnoćama. Važno je shvatiti da se dobijena vrijednost, kao i rezultat izračunavanja varijanse, dobija samo jednom za cijeli zadatak, bez obzira na to koliko se ishoda razmatra.

Formula za matematičko očekivanje je prilično jednostavna: uzmemo ishod, pomnožimo ga njegovom vjerovatnoćom, dodamo isto za drugi, treći rezultat, itd. Sve što je vezano za ovaj koncept nije teško izračunati. Na primjer, zbir očekivanih vrijednosti jednak je očekivanoj vrijednosti sume. Isto važi i za rad. Ne dozvoljava vam svaka veličina u teoriji vjerovatnoće da izvodite tako jednostavne operacije. Uzmimo problem i izračunajmo značenje dva pojma koja smo proučavali odjednom. Osim toga, ometala nas je teorija – vrijeme je za praksu.

Još jedan primjer

Proveli smo 50 pokušaja i dobili 10 tipova ishoda – brojeva od 0 do 9 – koji se pojavljuju u različitim procentima. To su, respektivno: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Podsjetimo da da biste dobili vjerovatnoće, trebate podijeliti procentualne vrijednosti sa 100. Dakle, dobijamo 0,02; 0,1 itd. Predstavimo primjer rješavanja problema za varijansu slučajne varijable i matematičko očekivanje.

Aritmetičku sredinu izračunavamo pomoću formule koju pamtimo iz osnovne škole: 50/10 = 5.

Sada hajde da pretvorimo vjerovatnoće u broj ishoda "u komadima" da bismo lakše prebrojali. Dobijamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od svake dobijene vrijednosti oduzimamo aritmetičku sredinu, nakon čega svaki dobijeni rezultat kvadriramo. Pogledajte kako to učiniti koristeći prvi element kao primjer: 1 - 5 = (-4). Sljedeće: (-4) * (-4) = 16. Za ostale vrijednosti, izvršite ove operacije sami. Ako ste sve uradili ispravno, onda nakon što ih sve zbrojite dobit ćete 90.

Nastavimo s izračunavanjem varijanse i očekivane vrijednosti dijeljenjem 90 sa N. Zašto biramo N umjesto N-1? Tačno, jer broj izvedenih eksperimenata prelazi 30. Dakle: 90/10 = 9. Dobili smo varijansu. Ako dobijete drugi broj, ne očajavajte. Najvjerovatnije ste napravili jednostavnu grešku u proračunima. Još jednom provjeri šta si napisao i vjerovatno će sve doći na svoje mjesto.

Konačno, zapamtite formulu za matematičko očekivanje. Nećemo dati sve izračune, samo ćemo napisati odgovor s kojim možete provjeriti nakon što završite sve potrebne procedure. Očekivana vrijednost će biti 5,48. Prisjetimo se samo kako izvršiti operacije, koristeći prve elemente kao primjer: 0*0,02 + 1*0,1... i tako dalje. Kao što vidite, jednostavno pomnožimo vrijednost ishoda njegovom vjerovatnoćom.

Devijacija

Drugi koncept usko povezan sa disperzijom i matematičkim očekivanjem je standardna devijacija. Određeno je bilo latiničnim slovima sd, ili grčka mala slova "sigma". Ovaj koncept pokazuje koliko u prosjeku vrijednosti odstupaju od središnje karakteristike. Da biste pronašli njegovu vrijednost, morate izračunati kvadratni korijen od disperzije.

Ako planirate normalna distribucija i želite da vidite kvadratnu devijaciju direktno na njemu, to se može uraditi u nekoliko faza. Uzmite polovicu slike lijevo ili desno od moda (centralna vrijednost), nacrtajte okomicu na horizontalnu os tako da su površine rezultirajućih figura jednake. Veličina segmenta između sredine distribucije i rezultirajuće projekcije na horizontalnu osu predstavljat će standardnu devijaciju.

Softver

Kao što se može vidjeti iz opisa formula i prikazanih primjera, izračunavanje varijanse i matematičkog očekivanja nije najjednostavniji postupak sa aritmetičke tačke gledišta. Kako ne bi gubili vrijeme, ima smisla koristiti program koji se koristi u visokom obrazovanju obrazovne institucije- zove se "R". Ima funkcije koje vam omogućavaju da izračunate vrijednosti za mnoge koncepte iz statistike i teorije vjerojatnosti.

Na primjer, specificirate vektor vrijednosti. To se radi na sljedeći način: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

U zaključku

Disperzija i matematičko očekivanje su bez kojih je teško bilo šta izračunati u budućnosti. U glavnom kursu predavanja na univerzitetima o njima se govori već u prvim mjesecima izučavanja predmeta. Upravo zbog nerazumijevanja ovih jednostavnih pojmova i nemogućnosti njihovog izračunavanja mnogi studenti odmah počinju zaostajati u programu i kasnije dobijaju loše ocjene na kraju sesije, što ih lišava stipendija.

Vježbajte najmanje jednu sedmicu, pola sata dnevno, rješavajući zadatke slične onima predstavljenim u ovom članku. Tada ćete na bilo kojem testu iz teorije vjerojatnosti moći izaći na kraj s primjerima bez suvišnih savjeta i varalica.