Diferencijalne jednadžbe viših redova

Osnovna terminologija diferencijalnih jednačina višeg reda (DEHE).

Jednadžba oblika , gdje n >1 (2)

naziva se diferencijalna jednačina višeg reda, tj. n-th red.

područje definicije DU, n reda postoji regija .

Na ovom kursu će se razmatrati sljedeće vrste upravljačkih sistema:

Cauchy problem DE VP:

Dajte daljinski upravljač,
i početni uslovi n/a: brojevi .

Morate pronaći kontinuiranu i n puta diferencibilnu funkciju
:

1)
je rješenje za datu DE na , tj.
;

2) zadovoljava date početne uslove: .

Za DE drugog reda, geometrijska interpretacija rješenja problema je sljedeća: traži se integralna kriva koja prolazi kroz tačku (x 0 , y 0 ) i tangenta na pravu liniju sa ugaonim koeficijentom k = y 0 ́ .

Teorema postojanja i jedinstvenosti(rješenja Cauchyjevog problema za DE (2)):

ako 1)
kontinuirano (ukupno (n+1) argumenti) na tom području
; 2)
kontinuirano (preko ukupnosti argumenata
) u , dakle ! rješenje Cauchyjevog problema za diferencijalnu jednadžbu koja zadovoljava date početne uvjete n/a: .

Region se naziva region jedinstvenosti DE.

Opšte rješenje daljinskog upravljanja VP (2) – n -parametrijski funkcija,
, Gdje
– proizvoljne konstante, koje zadovoljavaju sljedeće zahtjeve:

1)

– rješenje DE (2) na ;

2) n/a iz oblasti jedinstvenosti!
:
zadovoljava zadate početne uslove.

Komentar.

Pogledaj odnos
, što implicitno definira opšte rešenje DE (2) se ne zove opšti integral DU.

Privatno rješenje DE (2) se dobija iz njegovog opšteg rešenja za određenu vrednost .

Integracija VP daljinskog upravljanja.

Diferencijalne jednadžbe višeg reda se po pravilu ne mogu riješiti egzaktnim analitičkim metodama.

Identifikujemo određeni tip DUVP-a koji dozvoljava redukcije po redu i može se svesti na kvadrature. Hajde da tabelarno prikažemo ove vrste jednačina i metode za smanjenje njihovog reda.

VP DU koji dozvoljavaju smanjenje narudžbi

		Metoda smanjenja narudžbe
	Kontrolni sistem je nekompletan, ne sadrži . na primjer,	itd. Poslije n Višestruka integracija daje opće rješenje za DE.
	Jednačina je nepotpuna; očito ne sadrži traženu funkciju i ona prvi derivati. na primjer,	Zamjena snižava red jednačine za k jedinice.
	Nepotpuna jednadžba; očito ne sadrži nikakav argument željenu funkciju. na primjer,	Zamjena red jednačine se smanjuje za jedan.
	Jednačina je u egzaktnim izvedenicama može biti potpuna ili nepotpuna. Takva jednadžba se može transformirati u oblik (*) ́= (*)́, gdje su desna i lijeva strana jednadžbe tačan izvod nekih funkcija.	Integriranje desne i lijeve strane jednačine preko argumenta snižava red jednačine za jedan.
		Zamjena snižava red jednačine za jedan.

Definicija homogene funkcije:

Funkcija
naziva se homogenim u varijablama
, Ako


u bilo kojoj tački u domeni definicije funkcije
;

– red homogenosti.

Na primjer, je homogena funkcija 2. reda u odnosu na
, tj. .

Primjer 1:

Pronađite opšte rješenje daljinskog upravljača
.

DE 3. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno
. Jednačinu uzastopno integrišemo tri puta.

,

– opšte rešenje daljinskog upravljača.

Primjer 2:

Riješite Cauchyjev problem za daljinsko upravljanje
at

.

DE drugog reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno .

Zamjena
i njen derivat
će smanjiti redosled daljinskog upravljača za jedan.

. Dobili smo DE prvog reda – Bernoullijevu jednačinu. Za rješavanje ove jednačine primjenjujemo Bernoullijevu zamjenu:

,

i ubacite ga u jednačinu.

U ovoj fazi rješavamo Cauchyjev problem za jednačinu
:
.

– jednačina prvog reda sa odvojivim varijablama.

Početne uslove zamjenjujemo u posljednju jednakost:

odgovor:
je rješenje Cauchyjevog problema koje zadovoljava početne uslove.

Primjer 3:

Riješi DE.

– DE 2. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno varijablu , i stoga dozvoljava da se red smanji za jedan pomoću zamjene ili
.

Dobijamo jednačinu
(neka
).

– DE 1. reda sa razdvojenim varijablama. Hajde da ih razdvojimo.

– opšti integral DE.

Primjer 4:

Riješi DE.

Jednačina
postoji jednadžba u egzaktnim derivatima. stvarno,
.

Integrirajmo lijevu i desnu stranu s obzirom na , tj.
ili . Dobili smo DE 1. reda sa odvojivim varijablama, tj.
– opšti integral DE.

Primjer 5:

Riješite Cauchyjev problem za
u .

DE 4. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno
. Primjećujući da je ova jednadžba u egzaktnim derivatima, dobijamo
ili
,
. Zamenimo početne uslove u ovu jednačinu:
. Uzmimo daljinski
3. red prvog tipa (vidi tabelu). Integrirajmo ga tri puta, a nakon svake integracije zamijenićemo početne uslove u jednačinu:

odgovor:
- rješenje Cauchyjevog problema originalnog DE.

Primjer 6:

Riješite jednačinu.

– DE 2. reda, kompletan, sadrži homogenost u odnosu na
. Zamjena
će smanjiti red jednačine. Da bismo to učinili, svestimo jednačinu na oblik
, dijeleći obje strane originalne jednadžbe sa . I razlikovati funkciju str:

.

Zamenimo
I
u daljinskom upravljanju:
. Ovo je jednačina 1. reda sa odvojivim varijablama.

S obzirom na to
, dobijamo daljinsko upravljanje ili
– opšte rješenje originalnog DE.

Teorija linearnih diferencijalnih jednadžbi višeg reda.

Osnovna terminologija.

– NLDU reda, gdje su kontinuirane funkcije na određenom intervalu.

Zove se interval kontinuiteta daljinskog upravljača (3).

Hajde da uvedemo (uslovni) diferencijalni operator th reda

Kada djeluje na funkciju, dobivamo

To jest, lijeva strana linearne diferencijalne jednadžbe th reda.

Kao rezultat, LDE se može napisati

Linearna svojstva operatora
:

1) – svojstvo aditivnosti

2)
– broj – svojstvo homogenosti

Svojstva se lako provjeravaju, jer derivacije ovih funkcija imaju slična svojstva (konačan zbir izvoda jednak je zbiru konačnog broja izvoda; konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka izvoda).

To.
– linearni operator.

Razmotrimo pitanje postojanja i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema za LDE
.

Hajde da riješimo LDE u odnosu na
: ,
, – interval kontinuiteta.

Funkcija kontinuirana u domeni, derivati
kontinuirano na tom području

Posljedično, područje jedinstvenosti u kojem Cauchy LDE problem (3) ima jedinstveno rješenje i zavisi samo od izbora tačke
, sve ostale vrijednosti argumenata
funkcije
može se uzeti proizvoljno.

Opća teorija OLDE.

– interval kontinuiteta.

Glavna svojstva OLDE rješenja:

1. Svojstvo aditivnosti

(
– rješenje OLDE (4) na )
(
– rješenje OLDE (4) na ).

dokaz:

– rješenje OLDE (4) uključeno

– rješenje OLDE (4) uključeno

Onda

2. Svojstvo homogenosti

( – rješenje OLDE (4) na ) (
(– numeričko polje))

– rješenje za OLDE (4) na .

Dokaz je sličan.

Svojstva aditivnosti i homogenosti nazivaju se linearnim svojstvima OLDE (4).

Posljedica:

(
– rješenje OLDE (4) na )(

– rješenje OLDE (4) na ).

3. ( – kompleksno rješenje OLDE (4) na )(
su realnovrijedna rješenja OLDE (4) na ).

dokaz:

Ako je rješenje za OLDE (4) na , onda kada se zameni u jednačinu to ga pretvara u identitet, tj.
.

Zbog linearnosti operatora, lijeva strana posljednje jednakosti može se napisati na sljedeći način:
.

To znači da su , tj. su realnovrijedna rješenja OLDE (4) na .

Naknadna svojstva rješenja starih vezana su za koncept “ linearna zavisnost”.

Definicija linearna zavisnost konačan sistem funkcija

Za sistem funkcija se kaže da je linearno zavisan od toga da li postoji netrivijalan skup brojeva
tako da je linearna kombinacija
funkcije
sa ovim brojevima je identično jednak nuli na , tj.
.n što je netačno. Teorema je dokazana jednačineviširedova veličine(4 sata...

Jednačine rješavane direktnom integracijom

Razmotrite sljedeću diferencijalnu jednačinu:
.
Integriramo n puta.
;
;
i tako dalje. Možete koristiti i formulu:
.
Vidi Diferencijalne jednadžbe koje se mogu riješiti direktno integracija >> >

Jednačine koje ne sadrže eksplicitno zavisnu varijablu y

Zamjena snižava red jednačine za jedan. Ovdje je funkcija iz .
Vidi Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje ne sadrže funkciju eksplicitno > > >

Jednačine koje ne uključuju eksplicitno nezavisnu varijablu x

.
Smatramo da je to funkcija .
.
Onda
Slično i za druge derivate. Kao rezultat toga, redoslijed jednačine se smanjuje za jedan.

Pogledajte Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje ne sadrže eksplicitnu varijablu > > >

Jednačine homogene s obzirom na y, y′, y′′, ...
,
Da bismo riješili ovu jednačinu, vršimo zamjenu
.
gdje je funkcija od .
Onda

Na sličan način transformiramo derivate, itd. Kao rezultat, redoslijed jednačine je smanjen za jedan.

Vidi diferencijalne jednadžbe višeg reda koje su homogene u odnosu na funkciju i njene derivate >>> Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda:
(1) ,
Hajde da razmotrimo linearna homogena diferencijalna jednadžba n-tog reda gdje su funkcije nezavisne varijable.
(2) ,
Neka postoji n linearno nezavisne odluke ovu jednačinu. Tada opće rješenje jednačine (1) ima oblik:
gdje su proizvoljne konstante. Same funkcije se formiraju fundamentalni sistem

Vidi diferencijalne jednadžbe višeg reda koje su homogene u odnosu na funkciju i njene derivate >>> odluke.:
.
Sistem fundamentalnih rješenja
,
linearne homogene jednadžbe n-tog reda su n linearno nezavisnih rješenja ove jednačine.

linearna nehomogena diferencijalna jednadžba n-tog reda

Neka postoji određeno (bilo koje) rješenje ove jednačine. Tada opće rješenje ima oblik:

gdje je opšte rješenje homogene jednačine (1).
(3) .
Linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima i svodive na njih
(2) .

Linearne homogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima Ovo su jednadžbe oblika: :
(4) .

Evo pravih brojeva. Da bismo pronašli opšte rešenje ove jednačine, potrebno je da pronađemo n linearno nezavisnih rešenja koja čine fundamentalni sistem rešenja. Tada je opće rješenje određeno formulom (2): Tražimo rješenje u formi . Dobili smo
.

karakteristična jednačina Ako ova jednačina ima
,
razni koreni

, tada osnovni sistem rješenja ima oblik: Ako je dostupno

složeni korijen višestrukosti i njihove kompleksne konjugirane vrijednosti odgovaraju linearno nezavisnim rješenjima:
.

Linearne nehomogene jednadžbe sa posebnim nehomogenim dijelom

Vidi diferencijalne jednadžbe višeg reda koje su homogene u odnosu na funkciju i njene derivate >>> jednačina oblika
,
gdje su polinomi stupnjeva s 1 i s 2 ;

- trajno. Prvo tražimo opšte rješenje homogene jednačine (3). Ako je karakteristična jednadžba (4) ne sadrži root
,
, tada tražimo određeno rješenje u obliku:
;
;
Gdje 1 i s 2 .

s - najveći od s Ako je karakteristična jednadžba (4) ima korijen
.

višestrukost, onda tražimo određeno rješenje u obliku:
.

Nakon ovoga dobijamo opće rješenje:

Linearne nehomogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima

1) Ovdje postoje tri moguća rješenja..
Bernulijeva metoda
.
Prvo, nalazimo bilo koje rješenje koje nije nula za homogenu jednadžbinu
,
Zatim vršimo zamjenu - 1 gdje je funkcija varijable x.

2) Dobijamo diferencijalnu jednadžbu za u, koja sadrži samo izvode od u u odnosu na x..
Provodeći supstituciju, dobijamo jednačinu n
,
- ti red. Metoda linearne supstitucije Hajde da napravimo zamenu gdje je jedan od korijena karakteristične jednadžbe (4). Kao rezultat, dobijamo linearnu homogena jednačina

3) With.
konstantni koeficijenti
(2) .
naručiti .
,
Dosljedno primjenjujući ovu zamjenu, svodimo originalnu jednačinu na jednadžbu prvog reda.

Metoda varijacije Lagrangeovih konstanti

U ovoj metodi prvo rješavamo homogenu jednačinu (3). Njegovo rešenje izgleda ovako:
.
Nadalje pretpostavljamo da su konstante funkcije varijable x.
.
Tada rješenje originalne jednadžbe ima oblik:

gdje su nepoznate funkcije. Zamjenom u originalnu jednačinu i nametanjem nekih ograničenja, dobijamo jednadžbe iz kojih možemo pronaći tip funkcija.
Ojlerova jednačina
On se supstitucijom svodi na linearnu jednačinu sa konstantnim koeficijentima:

Međutim, da bi se riješila Eulerova jednačina, nema potrebe za takvom zamjenom. Možete odmah potražiti rješenje homogene jednadžbe u obliku Kao rezultat, dobijamo ista pravila kao i za jednadžbu s konstantnim koeficijentima, u kojoj umjesto varijable trebate zamijeniti . Korištena literatura:

Međutim, pokušaćemo da vam pokažemo da difuri nisu tako teški kao što se čini.

Osnovni pojmovi teorije diferencijalnih jednadžbi

Još iz škole znamo najjednostavnije jednačine u kojima treba pronaći nepoznato x. U suštini diferencijalne jednadžbe samo malo drugačiji od njih - umjesto varijable X morate pronaći funkciju u njima y(x) , što će jednadžbu pretvoriti u identitet.

D diferencijalne jednadžbe su od velike praktične važnosti. Ovo nije apstraktna matematika koja nema veze sa svijetom oko nas. Mnogi stvarni prirodni procesi su opisani pomoću diferencijalnih jednadžbi. Na primjer, vibracije žice, kretanje harmonijskog oscilatora, koristeći diferencijalne jednadžbe u problemima mehanike, pronalaze brzinu i ubrzanje tijela. Također DU naći široka primena u biologiji, hemiji, ekonomiji i mnogim drugim naukama.

Diferencijalna jednadžba (DU) je jednadžba koja sadrži izvode funkcije y(x), same funkcije, nezavisne varijable i druge parametre u raznim kombinacijama.

Postoje mnoge vrste diferencijalnih jednadžbi: obične diferencijalne jednadžbe, linearne i nelinearne, homogene i nehomogene, diferencijalne jednadžbe prvog i višeg reda, parcijalne diferencijalne jednadžbe itd.

Rješenje diferencijalne jednadžbe je funkcija koja je pretvara u identitet. Postoje opća i posebna rješenja za daljinski upravljač.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe je opći skup rješenja koji pretvaraju jednadžbu u identitet. Parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe je rješenje koje zadovoljava dodatni uslovi, naveden na početku.

Određuje se redoslijed diferencijalne jednadžbe najviši red derivati ​​uključeni u njega.

Obične diferencijalne jednadžbe

Obične diferencijalne jednadžbe su jednadžbe koje sadrže jednu nezavisnu varijablu.

Razmotrimo najjednostavniju običnu diferencijalnu jednačinu prvog reda. izgleda ovako:

Ova jednačina se može riješiti jednostavnim integracijom njene desne strane.

Primjeri takvih jednadžbi:

Odvojive jednačine

Općenito, ova vrsta jednadžbe izgleda ovako:

Evo primjera:

Prilikom rješavanja takve jednadžbe potrebno je razdvojiti varijable, dovodeći ih u oblik:

Nakon toga, ostaje integrirati oba dijela i dobiti rješenje.

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Takve jednačine izgledaju ovako:

Ovdje su p(x) i q(x) neke funkcije nezavisne varijable, a y=y(x) je željena funkcija. Evo primjera takve jednadžbe:

Prilikom rješavanja takve jednadžbe najčešće koriste metodu variranja proizvoljne konstante ili traženu funkciju predstavljaju kao proizvod dvije druge funkcije y(x)=u(x)v(x).

Za rješavanje ovakvih jednadžbi potrebna je određena priprema i bit će prilično teško uzeti ih na prvi pogled.

Primjer rješavanja diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama

Stoga smo pogledali najjednostavnije vrste daljinskog upravljača. Pogledajmo sada rješenje za jedno od njih. Neka je ovo jednadžba sa odvojivim varijablama.

Prvo, prepišimo derivat u poznatijem obliku:

Zatim podijelimo varijable, odnosno u jednom dijelu jednačine skupljamo sva "ja", au drugom - "X":

Sada ostaje da se integrišu oba dela:

Integrišemo se i dobijamo opšte rešenje zadata jednačina:

Naravno, rješavanje diferencijalnih jednadžbi je vrsta umjetnosti. Morate biti u stanju razumjeti o kakvom se tipu jednačine radi, kao i naučiti da vidite koje transformacije treba napraviti s njom da bi se došlo do jednog ili drugog oblika, a da ne spominjemo samo sposobnost diferenciranja i integracije. A da biste uspjeli riješiti DE, potrebna vam je vježba (kao i u svemu). I ako jesi trenutno nemate vremena da shvatite kako se rješavaju diferencijalne jednadžbe, ili vam je Cauchyjev problem zapeo kao kost u grlu, ili ne znate, obratite se našim autorima. U kratkom roku ćemo Vam obezbediti gotov i detaljno rješenje, čije detalje možete razumjeti u bilo koje vrijeme koje vam odgovara. U međuvremenu, predlažemo da pogledate video na temu "Kako riješiti diferencijalne jednadžbe":

Teorija računarstva nehomogene diferencijalne jednadžbe(DU) neće biti dato u ovoj publikaciji iz prethodnih lekcija možete pronaći dovoljno informacija da pronađete odgovor na pitanje "Kako riješiti nehomogenu diferencijalnu jednačinu?" Stupanj nehomogenih diferencijalnih jednadžbi ovdje ne igra veliku ulogu; Da bismo vam olakšali čitanje odgovora u primjerima, glavni naglasak je stavljen samo na metodu izračuna i savjete koji će olakšati izvođenje konačne funkcije.

Primjer 1. Riješite diferencijalnu jednačinu
Rješenje: Dato homogena diferencijalna jednadžba trećeg reda, Štaviše, sadrži samo drugi i treći izvod i nema funkciju i svoj prvi izvod. U takvim slučajevima primijeniti metodu smanjenja stepena diferencijalna jednadžba. Da biste to učinili, uvedite parametar - označimo drugi izvod kroz parametar p

tada je treći izvod funkcije jednak

Originalni homogeni DE će biti pojednostavljen u formu

Onda to zapisujemo u diferencijalima svesti na jednačinu odvojene varijable i pronađite rješenje integracijom

Zapamtite da je parametar drugi izvod funkcije

stoga, da bismo pronašli formulu za samu funkciju, dvaput integriramo pronađenu diferencijalnu ovisnost

U funkciji su vrijednosti C 1 , C 2 , C 3 jednake proizvoljnim vrijednostima.
Ovako izgleda shema jednostavno: naći opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe uvođenjem parametra. Sljedeći problemi su složeniji i iz njih ćete naučiti rješavati nehomogene diferencijalne jednadžbe trećeg reda. Postoji određena razlika između homogenih i heterogenih kontrolnih sistema u smislu proračuna, kao što ćete sada vidjeti.

Primjer 2. Nađi
Rješenje: Imamo treći red. Stoga njegovo rješenje treba tražiti u obliku zbira dva - homogenog rješenja i određenog rješenja nehomogena jednačina

Hajde da prvo odlučimo

Kao što vidite, sadrži samo drugi i treći izvod funkcije i ne sadrži samu funkciju. Ova vrsta diff. jednadžbe se rješavaju uvođenjem parametra, koji u zauzvrat, smanjuje i pojednostavljuje pronalaženje rješenja jednadžbe. U praksi to izgleda ovako: neka je drugi izvod jednak određenoj funkciji, tada će treći izvod formalno imati zapis

Razmatrana homogena diferencijalna jednadžba 3. reda transformira se u jednačinu prvog reda

odakle, dijeljenjem varijabli, nalazimo integral
x*dp-p*dx=0;

Preporučujemo numerisanje formula u takvim zadacima, jer rješenje diferencijalne jednadžbe trećeg reda ima 3 konstante, četvrtog reda ima 4 konstante, i tako dalje po analogiji. Sada se vraćamo na uvedeni parametar: budući da drugi izvod ima oblik, onda ga integrirajući kada dobijemo ovisnost za izvod funkcije

i ponovljenom integracijom nalazimo opšti pogled homogena funkcija

Parcijalno rješenje jednačine Zapišimo to kao varijablu pomnoženu logaritmom. Ovo slijedi iz činjenice da je desni (nehomogeni) dio DE jednak -1/x i da se dobije ekvivalentna notacija

rješenje treba tražiti u formi

Nađimo koeficijent A, za to izračunavamo derivate prvog i drugog reda

Zamijenimo pronađene izraze u originalnu diferencijalnu jednačinu i izjednačimo koeficijente na istim potencijama x:

Vrijednost čelika je jednaka -1/2 i ima oblik

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe zapišite kao zbir pronađenog

gdje su C 1, C 2, C 3 proizvoljne konstante koje se mogu precizirati korištenjem Cauchyjevog problema.

Primjer 3. Naći integral DE trećeg reda
Rješenje: Tražimo opći integral nehomogene diferencijalne jednadžbe trećeg reda u obliku zbira rješenja homogene i parcijalne nehomogene jednačine. Prvo, za bilo koju vrstu jednačine počinjemo analizirati homogenu diferencijalnu jednačinu

Sadrži samo drugi i treći izvod trenutno nepoznate funkcije. Uvodimo promjenu varijabli (parametar): označimo drugi izvod

Tada je treći izvod jednak

Iste transformacije su izvršene u prethodnom zadatku. Ovo dozvoljava svesti diferencijalnu jednadžbu trećeg reda na jednadžbu prvog reda oblika

Integracijom nalazimo

Podsjećamo, u skladu sa promjenom varijabli, ovo je tek drugi izvod

a za pronalaženje rješenja homogene diferencijalne jednačine trećeg reda potrebno je dva puta integrirati

Na osnovu tipa desne strane (neujednačeni dio =x+1), Parcijalno rješenje jednačine tražimo u obliku

Kako znati u kojem obliku tražiti parcijalno rješenje Trebali ste biti poučeni u teorijskom dijelu kursa o diferencijalnim jednadžbama. Ako nije, onda možemo samo predložiti da se za funkciju odabere izraz tako da, kada se zameni u jednadžbu, član koji sadrži najviši izvod ili mlađi bude istog reda (sličan) nehomogenom dijelu jednačine

Mislim da vam je sada jasnije odakle dolazi vrsta privatnog rješenja. Nađimo koeficijente A, B, za to izračunavamo drugi i treći izvod funkcije

i zamijenite ga u diferencijalnu jednačinu. Nakon grupisanja sličnih pojmova, dobijamo linearnu jednačinu

od čega, za iste potencije varijable sastaviti sistem jednačina

i pronađite nepoznate čelike. Nakon njihove zamjene, izražava se zavisnošću

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe jednak je zbiru homogenog i parcijalnog i ima oblik

gdje su C 1, C 2, C 3 proizvoljne konstante.

Primjer 4. P riješiti diferencijalnu jednačinu
Rješenje: Imamo rješenje koje ćemo pronaći kroz zbir . Znate shemu proračuna, pa idemo dalje na razmatranje homogena diferencijalna jednadžba

Po standardnoj metodi unesite parametar
Originalna diferencijalna jednadžba će poprimiti oblik, odakle, dijeljenjem varijabli, nalazimo

Zapamtite da je parametar jednak drugom izvodu
Integracijom DE dobijamo prvi izvod funkcije

Ponovljenom integracijom naći opšti integral homogene diferencijalne jednadžbe

Parcijalno rješenje jednačine tražimo u obliku, jer desnu stranu jednako
Hajde da pronađemo koeficijent A - da bismo to uradili, zamenimo y* u diferencijalnu jednačinu i izjednačimo koeficijent na istim stepenima varijable

Nakon zamjene i grupisanja pojmova dobijamo zavisnost

od čega je čelik jednak A=8/3.
Dakle, možemo pisati djelomično rješenje DE

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe jednak zbiru pronađenih

gdje su C 1, C 2, C 3 proizvoljne konstante. Ako je zadan Cauchyjev uslov, onda ih možemo vrlo lako definirati.

Vjerujem da će vam materijal biti od koristi prilikom priprema za praktičnu nastavu, module ili testni rad. Ovdje se nije raspravljalo o Cauchyjevom problemu, ali iz prethodnih lekcija općenito znate kako se to radi.

Diferencijalne jednadžbe drugog i višeg reda.
Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.
Primjeri rješenja.

Pređimo na razmatranje diferencijalnih jednačina drugog reda i diferencijalnih jednačina višeg reda. Ako imate nejasnu ideju o tome šta je diferencijalna jednadžba (ili ne razumijete šta je to uopće), onda preporučujem da počnete s lekcijom Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. Mnogi principi rješenja i osnovni koncepti difuzije prvog reda automatski se proširuju na diferencijalne jednadžbe višeg reda, stoga vrlo je važno prvo razumjeti jednačine prvog reda.

Mnogi čitaoci mogu imati predrasudu da je daljinsko upravljanje 2., 3. i drugih reda nešto vrlo teško i nedostupno za savladavanje. Ovo nije u redu . Naučiti rješavati difuzije višeg reda teško da je teže od “običnih” DE-ova prvog reda. A na nekim mjestima je i jednostavnije, jer se u rješenjima aktivno koristi materijal iz školskog programa.

Najpopularniji diferencijalne jednadžbe drugog reda. Na diferencijalnu jednačinu drugog reda Neophodno uključuje drugi izvod i nije uključeno

Treba napomenuti da neke od beba (pa čak i sve odjednom) možda nedostaju u jednačini; važno je da je otac kod kuće; Najprimitivnija diferencijalna jednadžba drugog reda izgleda ovako:

Diferencijalne jednadžbe trećeg reda u praktični zadaci Oni su mnogo rjeđi, prema mojim subjektivnim zapažanjima, dobili bi oko 3-4% glasova u Državnoj Dumi.

Na diferencijalnu jednačinu trećeg reda Neophodno uključuje treći derivat i nije uključeno derivati ​​višeg reda:

Najjednostavnija diferencijalna jednačina trećeg reda izgleda ovako: – tata je kod kuće, sva djeca su u šetnji.

Na sličan način možete definirati diferencijalne jednadžbe 4., 5. i višeg reda. U praktičnim problemima, takvi sistemi upravljanja rijetko pokvare, međutim, pokušat ću dati relevantne primjere.

Diferencijalne jednadžbe višeg reda, koje se predlažu u praktičnim problemima, mogu se podijeliti u dvije glavne grupe.

1) Prva grupa - tzv jednadžbe koje se mogu reducirati. Hajde!

2) Druga grupa – linearne jednačine viših redova sa konstantnim koeficijentima. Koje ćemo odmah početi razmatrati.

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda
sa konstantnim koeficijentima

U teoriji i praksi razlikuju se dvije vrste takvih jednadžbi: homogena jednačina I nehomogena jednačina.

Homogeni DE drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima sljedeći oblik:
, gdje su i konstante (brojevi), a na desnoj strani – strogo nula.

Kao što vidite, nema posebnih poteškoća s homogenim jednačinama, glavna stvar je odluči ispravno kvadratna jednačina .

Ponekad postoje nestandardne homogene jednadžbe, na primjer jednadžba u obliku , pri čemu se kod drugog izvoda nalazi neka konstanta različita od jedinice (i, naravno, različita od nule). Algoritam rješenja se uopće ne mijenja; Ako je karakteristična jednadžba će imati dva različita stvarna korijena, na primjer: , tada će opće rješenje biti napisano prema uobičajenoj shemi: .

U nekim slučajevima, zbog greške u kucanju u stanju, mogu rezultirati „loši“ korijeni, nešto poput . Šta učiniti, odgovor će morati biti napisan ovako:

Sa "lošim" konjugiranim složenim korijenima kao nema problema, generalno rješenje:

to je, ionako postoji opće rješenje. Jer svaka kvadratna jednadžba ima dva korijena.

U poslednjem paragrafu, kao što sam obećao, ukratko ćemo razmotriti:

Linearne homogene jednadžbe višeg reda

Sve je vrlo, vrlo slično.

Linearna homogena jednadžba trećeg reda ima sljedeći oblik:
, gdje su konstante.
Za ovu jednačinu također morate kreirati karakterističnu jednačinu i pronaći njene korijene. Karakteristična jednačina, kao što su mnogi pretpostavili, izgleda ovako:
, i to U svakom slučaju ima tačno tri root

Neka su, na primjer, svi korijeni stvarni i različiti: , tada će opće rješenje biti zapisano na sljedeći način:

Ako je jedan korijen realan, a druga dva su konjugirani kompleks, onda opće rješenje pišemo na sljedeći način:

Poseban slučaj kada su sva tri korijena višestruka (isti). Razmotrimo najjednostavniji homogeni DE 3. reda sa usamljenim ocem: . Karakteristična jednačina ima tri podudarna nula korijena. Opće rješenje pišemo na sljedeći način:

Ako je karakteristična jednadžba ima, na primjer, tri višestruka korijena, onda je opće rješenje, shodno tome, sljedeće:

Primjer 9

Riješite homogenu diferencijalnu jednačinu trećeg reda

Rješenje: Sastavimo i riješimo karakterističnu jednačinu:

, – dobije se jedan pravi korijen i dva konjugirana kompleksna korijena.

odgovor: opšte rešenje

Slično, možemo razmotriti linearnu homogenu jednačinu četvrtog reda sa konstantnim koeficijentima: , gdje su konstante.