Matematička teorija igara. Primjeri snimanja i rješavanja igrica iz života
BELORUSKI DRŽAVNI UNIVERZITET
EKONOMSKI FAKULTET
PREDSJEDNICA…
Teorija igara i njena primjena u ekonomiji
kursni projekat
Student 2. godine
odjeljenja "Menadžment"
Naučni direktor
Minsk, 2010
1. Uvod. strana 3
2. Osnovni koncepti teorije igara str.4
3. Prezentacija igrica strana 7
4. Vrste igara str.9
5. Primjena teorije igara u ekonomiji str.14
6. Problemi praktične primjene u menadžmentu str.21
7. Zaključak str.23
Lista referenci strana 24
1. UVOD
U praksi često postaje neophodno koordinirati djelovanje firmi, udruženja, ministarstava i drugih učesnika u projektu u slučajevima kada se njihovi interesi ne poklapaju. U takvim situacijama teorija igara vam omogućava da pronađete najbolje rješenje za ponašanje učesnika koji su dužni koordinirati akcije u slučaju sukoba interesa. Teorija igara sve više prodire u praksu ekonomskih odluka i istraživanja. Može se posmatrati kao alat koji pomaže u poboljšanju efikasnosti planiranja i donošenja upravljačkih odluka. Ima veliki značaj pri rješavanju problema u industriji, poljoprivredi, transportu, trgovini, posebno pri sklapanju ugovora sa inostranim partnerima na bilo kojem nivou. Tako je moguće utvrditi naučno utemeljene nivoe sniženja maloprodajnih cijena i optimalan nivo robnih zaliha, riješiti probleme izletničke usluge i izbor novih linija gradskog prevoza, zadatak planiranja postupka organizacije eksploatacije mineralnih sirovina. depoziti u zemlji itd. Zadatak odabira zemljišnih parcela za poljoprivredne kulture postao je klasičan. Metoda teorije igara može se koristiti u uzorcima istraživanja konačnih populacija, u testiranju statističkih hipoteza.
Teorija igara je matematička metoda za proučavanje optimalnih strategija u igrama. Pod igrom se podrazumijeva proces u kojem učestvuju dvije ili više strana koje se bore za ostvarivanje svojih interesa. Svaka strana ima svoj cilj i koristi neku strategiju, koja može dovesti do pobjede ili poraza - ovisno o ponašanju drugih igrača. Teorija igara pomaže u odabiru najboljih strategija, uzimajući u obzir ideje o drugim učesnicima, njihovim resursima i njihovim mogućim akcijama.
Teorija igara je grana primijenjene matematike, tačnije, istraživanja operacija. Najčešće se metode teorije igara koriste u ekonomiji, nešto rjeđe u drugim društvenim naukama - sociologiji, političkim naukama, psihologiji, etici i dr. Od 1970-ih, usvojili su ga biolozi za proučavanje ponašanja životinja i teorije evolucije. To je od velikog značaja za umjetna inteligencija i kibernetiku, posebno sa interesovanjem za inteligentne agente.
Teorija igara ima svoje porijeklo u neoklasičnoj ekonomiji. Matematički aspekti i primjena teorije prvi put su predstavljeni u klasičnoj knjizi iz 1944. godine Teorija igara i ekonomsko ponašanje koju su napisali John von Neumann i Oscar Morgenstern.
Ova oblast matematike našla je neki odraz u javnoj kulturi. Američka spisateljica i novinarka Sylvia Nazar objavila je 1998. godine knjigu o sudbini Johna Nasha, nobelovca za ekonomiju i naučnika u oblasti teorije igara; a 2001. prema knjizi snimljen je film A Beautiful Mind. Neke američke televizijske emisije, kao što su "Friend or Foe", "Alias" ili "NUMB3RS", povremeno se pozivaju na teoriju u svojim epizodama.
Nematematička verzija teorije igara predstavljena je u radovima Thomasa Schellinga, dobitnika Nobelove nagrade za ekonomiju 2005. godine.
Nobelovci za ekonomiju za dostignuća u oblasti teorije igara su: Robert Aumann, Reinhard Zelten, John Nash, John Harsanyi, Thomas Schelling.
2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE IGRE
Upoznajmo se sa osnovnim konceptima teorije igara. Matematički model konfliktne situacije naziva se igra, strane koje su uključene u sukob nazivaju se igrači, a ishod sukoba pobjeda. Za svaku formalizovanu igru uvode se pravila, tj. sistem uslova koji određuje: 1) opcije za akcije igrača; 2) obim informacija svakog igrača o ponašanju partnera; 3) isplativost do koje vodi svaki niz radnji. Obično se dobitak (ili gubitak) može kvantifikovati; na primjer, možete procijeniti gubitak s nulom, pobjedu s jedan, a neriješeno sa ½.
Igra se naziva parom ako u njoj učestvuju dva igrača, a višestrukom ako je broj igrača veći od dva.
Igra se naziva igrom nulte sume, ili antagonističkom, ako je dobitak jednog od igrača jednak gubitku drugog, tj. da bi se izvršio zadatak igre, dovoljno je naznačiti vrijednost jednog od igrača. njima. Ako označimo a - isplatu jednog od igrača, b - isplatu drugog, onda je za igru sa nultom sumom b = -a, pa je dovoljno uzeti u obzir, na primjer, a.
Izbor i provedba jedne od radnji predviđenih pravilima naziva se potez igrača. Pokreti mogu biti lični i nasumični. Lični potez je svjestan izbor igrača jedne od mogućih radnji (na primjer, potez u partiji šaha). Nasumični potez je nasumično odabrana radnja (na primjer, odabir karte iz promiješanog špila). U nastavku ćemo razmatrati samo lične poteze igrača.
Igračeva strategija je skup pravila koja određuju izbor njegove akcije za svaki lični potez, u zavisnosti od situacije. Obično tokom igre, na svakom ličnom potezu, igrač pravi izbor u zavisnosti od konkretne situacije. Međutim, u principu je moguće da sve odluke igrač donosi unaprijed (kao odgovor na bilo koju situaciju). To znači da je igrač izabrao određenu strategiju, koja se može dati u obliku liste pravila ili programa. (Tako da možete igrati igru koristeći kompjuter). Za igru se kaže da je konačna ako svaki igrač ima konačan broj strategija, a u suprotnom beskonačna.
Za rješavanje igre ili pronalaženje rješenja za igru, za svakog igrača treba odabrati strategiju koja zadovoljava uvjet optimalnosti, tj. jedan od igrača bi trebao dobiti maksimalnu isplatu kada se drugi drži svoje strategije. U isto vrijeme, drugi igrač bi trebao imati minimalan gubitak ako se prvi drži svoje strategije. Takve strategije se nazivaju optimalnim. Optimalne strategije takođe moraju zadovoljiti uslov stabilnosti, odnosno mora biti neisplativo za bilo koga od igrača da napusti svoju strategiju u ovoj igri.
Ako se igra ponovi dovoljno puta, onda igrače možda neće zanimati pobjeda i poraz u svakoj pojedinoj utakmici, već prosječna pobjeda (gubitak) u svim partijama.
Cilj teorije igara je odrediti optimalnu strategiju za svakog igrača. Prilikom odabira optimalne strategije, prirodno je pretpostaviti da se oba igrača ponašaju razumno sa stanovišta svojih interesa. Najvažnije ograničenje teorije igara je prirodnost isplate kao mjere efikasnosti, dok u većini realnih ekonomskih problema postoji više od jedne mjere efikasnosti. Osim toga, u privredi, po pravilu, postoje zadaci u kojima interesi partnera nisu nužno antagonistički.
3. Prezentacija igara
Igre su strogo definisani matematički objekti. Igru čine igrači, skup strategija za svakog igrača i indikacija isplata ili isplata igrača za svaku kombinaciju strategija. Većina kooperativnih igara opisana je karakterističnom funkcijom, dok se za druge tipove češće koristi normalni ili ekstenzivni oblik.
Ekstenzivna forma
Igra "Ultimatum" u opširnom obliku
Igre u ekstenzivnom ili proširenom obliku predstavljene su kao usmjereno stablo, gdje svaki vrh odgovara situaciji u kojoj igrač bira svoju strategiju. Svakom igraču je dodijeljen cijeli nivo vrhova. Isplate se bilježe na dnu stabla, ispod svakog vrha lista.
Slika lijevo je igra za dva igrača. Igrač 1 se prvi kreće i bira strategiju F ili U. Igrač 2 analizira svoju poziciju i odlučuje da li će izabrati strategiju A ili R. Najvjerovatnije će prvi igrač izabrati U, a drugi - A (za svakog od njih su to optimalne strategije ); tada će dobiti 8 odnosno 2 boda.
Opsežna forma je vrlo ilustrativna, posebno je zgodno predstaviti igre sa više od dva igrača i igre sa uzastopnim potezima. Ako učesnici prave istovremene poteze, tada su odgovarajući vrhovi ili povezani isprekidanom linijom ili ocrtani punom linijom.
normalna forma
|
Igrač 2 |
Igrač 2 |
|
|
Igrač 1 |
4 , 3 |
–1 , –1 |
|
Igrač 1 |
0 , 0 |
3 , 4 |
|
Normalna forma za igru sa 2 igrača, svaki sa 2 strategije. |
||
Igrači su birali strategije sa maksimalnim rezultatom za sebe, ali su izgubili, zbog nepoznavanja poteza drugog igrača. Obično normalna forma predstavlja igre u kojima se potezi povlače istovremeno, ili se barem pretpostavlja da svi igrači ne znaju šta drugi učesnici rade. Takve igre s nepotpunim informacijama bit će razmotrene u nastavku.
Karakteristična formula
U kooperativnim igrama sa prenosivom korisnošću, odnosno mogućnošću transfera sredstava od jednog igrača do drugog, nemoguće je primijeniti koncept individualnog plaćanja. Umjesto toga, koristi se takozvana karakteristična funkcija koja određuje isplatu svake koalicije igrača. Pretpostavlja se da je isplata prazne koalicije nula.
Osnove za ovaj pristup mogu se naći u knjizi von Neumann i Morgenstern. Proučavajući normalnu formu za koalicione igre, zaključili su da ako se u igri sa dvije strane formira koalicija C, onda joj se suprotstavlja koalicija N \ C. Igra za dva igrača se formira takoreći. Ali pošto postoji mnogo varijanti mogućih koalicija (naime, 2N, gdje je N broj igrača), isplata za C će biti neka karakteristična vrijednost u zavisnosti od sastava koalicije. Formalno, igra u ovom obliku (koja se naziva i TU igra) je predstavljena parom (N, v), gdje je N skup svih igrača, a v: 2N → R je karakteristična funkcija.
Ovaj oblik prezentacije može se primijeniti na sve igre, uključujući i one bez prenosive korisnosti. Trenutno postoje načini za pretvaranje bilo koje igre iz normalnog u karakterističan oblik, ali transformacija u suprotnom smjeru nije moguća u svim slučajevima.
4. Vrste igara
zadružni i nezadružni.
Igra se naziva kooperativna ili koaliciona, ako se igrači mogu udružiti u grupe, preuzimajući neke obaveze prema drugim igračima i koordinirajući njihove akcije. Po tome se razlikuje od nekooperativnih igara u kojima je svako dužan da igra za sebe. Zabavne igre su rijetko kooperativne, ali takvi mehanizmi nisu neuobičajeni u svakodnevnom životu.
Često se pretpostavlja da se kooperativne igre razlikuju upravo po sposobnosti igrača da međusobno komuniciraju. IN opšti slučaj ovo nije istina. Postoje igre u kojima je komunikacija dozvoljena, ali igrači teže ličnim ciljevima, i obrnuto.
Od te dvije vrste igara, one koje ne surađuju opisuju situacije vrlo detaljno i daju preciznije rezultate. Zadruge posmatraju proces igre u cjelini. Pokušaji da se kombinuju ova dva pristupa dali su značajne rezultate. Takozvani Nash program je već pronašao rješenja za neke kooperativne igre kao ravnotežne situacije za nekooperativne igre.
Hibridne igre uključuju elemente kooperativnih i nekooperativnih igara. Na primjer, igrači mogu formirati grupe, ali će se igra igrati u nekooperativnom stilu. To znači da će svaki igrač slijediti interese svoje grupe, dok će u isto vrijeme pokušati ostvariti ličnu korist.
Teorija igara- teorija matematički modeli donošenje optimalnih odluka u konfliktnim situacijama. Budući da su strane u većini sukoba zainteresovane da sakriju svoje namjere od neprijatelja, donošenje odluka u sukobu se po pravilu odvija u uslovima neizvjesnosti. Naprotiv, faktor neizvjesnosti se može tumačiti kao protivnik subjekta koji odlučuje (dakle, odlučivanje u uslovima neizvjesnosti može se shvatiti kao donošenje odluka u uslovima konflikta). Konkretno, mnoge izjave matematičke statistike su prirodno formulisane kao teorijske igre.
Teorija igara je grana primijenjene matematike koja se koristi u društvenim naukama (uglavnom u ekonomiji), biologiji, političkim naukama, informatici (uglavnom za umjetnu inteligenciju) i filozofiji. Teorija igara pokušava matematički popraviti ponašanje strateške situacije, u kojoj uspjeh subjekta koji bira zavisi od izbora ostalih učesnika. Ako se u početku razvijala analiza igre u kojoj jedan od protivnika pobjeđuje na račun ostalih (igre sa nultom sumom), onda su kasnije počeli razmatrati široku klasu interakcija koje su klasificirane prema određenim kriterijima. Danas je "teorija igara nešto poput kišobrana ili univerzalne teorije za racionalnu stranu društvenih nauka, gdje se društveno može razumjeti široko, uključujući i ljudske i ne-ljudske igrače (računare, životinje, biljke)" (Robert Aumann , 1987)
Ova grana matematike je dobila određenu refleksiju u popularna kultura. Američka spisateljica i novinarka Sylvia Nazar objavila je 1998. godine knjigu o životu Johna Nasha, nobelovca za ekonomiju za njegova dostignuća u teoriji igara, a 2001. prema knjizi snimljen je film Lijep um. (Dakle, teorija igara je jedna od rijetkih grana matematike u koju možete doći nobelova nagrada). Neke američke televizijske emisije kao npr Prijatelj ili neprijatelj, Alias ili BROJEVI povremeno koriste teoriju igara u svojim izdanjima.
John Nash - matematičar, nobelovac poznat je široj javnosti zahvaljujući filmu A Beautiful Mind.
Koncept teorije igara
Logička osnova teorije igara je formalizacija tri koncepta uključena u njenu definiciju i koja su fundamentalna za cijelu teoriju:
- sukob,
- Donošenje odluka u sukobu
- Optimalnost odluke.
Ovi koncepti se u teoriji igara razmatraju u najširem smislu. Njihove formalizacije odgovaraju smislenom predstavljanju odgovarajućih objekata.
Ako imenujete učesnike sukoba akcione koalicije(označavajući njihov skup kao D, moguće akcije svake od akcionih koalicija su njene strategije(skup svih akcionih koalicionih strategija K označeno kao S), rezultati sukoba - situacije(skup svih situacija se označava kao S; smatra se da se svaka situacija razvija kao rezultat izbora svake od koalicija djelovanja neke od svojih strategija, tako da 
), zainteresovane strane - koalicije interesa(ima ih mnogo - ja) i, na kraju, govoriti o mogućim koristima za svaku interesnu koaliciju K jedna situacija s„ispred drugog s“(ova činjenica je označena kao), onda se sukob u cjelini može opisati kao sistem
Takav sistem koji predstavlja konflikt se zove igra. Konkretizacija komponenti koje definiraju igru dovodi do različitih klasa igara.
Klasifikacija igre
Odvojene klase nekooperativnih igara su:
- antagonističke igre, uključujući matrične igre i igre na jediničnom kvadratu.
- dinamičke igre, uključujući diferencijalne igre,
- rekurzivne igre,
- igre preživljavanja
a drugi se također odnose na nekooperativne igre.
Matematički aparat
Teorija igara naširoko koristi razne matematičke metode te rezultati teorije vjerovatnoće, klasične analize, funkcionalne analize (posebno su važne teoreme o fiksnim tačkama), kombinatorne topologije, teorije diferencijalnih i integralnih jednačina i dr. Specifičnost teorije igara doprinosi razvoju različitih matematičkih područja (na primjer, teorija konveksnih skupova, linearno programiranje, itd.).
Donošenje odluka u teoriji igara smatra se izborom akcije koalicije, ili, posebno, igračevim izborom neke od svoje strategije. Ovaj izbor se može zamisliti kao jednokratna akcija i formalno se može podići na izbor elementa iz skupa. Igre s takvim razumijevanjem izbora strategija nazivaju se igre u normalnoj formi. Oni su u suprotnosti sa dinamičnim igrama u kojima je izbor strategije proces koji se odvija kroz određeno vreme, koji je praćen širenjem i sužavanjem mogućnosti, dobijanjem i gubljenjem informacija o trenutnom stanju stvari, itd. Formalno, strategija u takva igra je funkcija definirana na skupu svih informacijskih stanja donosioca odluke. Nekritička upotreba „slobode izbora“ strategija može dovesti do paradoksalnih fenomena.
Optimalnost i razdvajanje
Pitanje formalizacije koncepta optimalnosti je veoma složeno. U teoriji igara ne postoji jedinstven koncept optimalnosti, tako da moramo razmotriti nekoliko principa optimalnosti. Opseg primjene svakog od principa optimalnosti koji se koristi u teoriji igara ograničen je na relativno uske klase igara, ili se tiče ograničenih aspekata njihovog razmatranja.
U osnovi svakog od ovih principa su neke intuicije o optimumu kao nečemu "stabilnom" ili "pravednom". Formalizacija ovih reprezentacija daje zahtjeve koji se postavljaju za optimum i imaju karakter aksioma.
Među ovim zahtjevima mogu biti i oni koji su u suprotnosti jedni s drugima (na primjer, možete prikazati sukobe u kojima su strane prisiljene da se zadovolje malim dobicima, jer se veliki dobici mogu postići samo u neizvjesnim situacijama); stoga se jedinstveni princip optimalnosti ne može formulisati u teoriji igara.
Zovu se situacije (ili skupovi situacija) koji zadovoljavaju određene zahtjeve optimalnosti u nekoj igri odluke ovu igru. Kako ideja optimalnosti nije jednoznačna, ishodi igara su bili u različitim značenjima. Kreiranje definicija za rješenja igara, njihovo postojanje i razvijanje načina za njihovo stvarno traženje su tri glavna pitanja moderne teorije igara. Usko povezana s njima su pitanja o jedinstvenosti rješenja igara, o postojanju u određenim klasama igara rješenja koja imaju neka unaprijed određena svojstva.
Priča
Kao matematička disciplina, teorija igara je rođena u isto vreme kada i teorija verovatnoće u 17. veku, ali se skoro 300 godina nije mnogo razvijala. Prvim značajnijim radom o teoriji igara treba smatrati članak J. von Neumanna „O teoriji strateške igre(1928), a objavljivanjem monografije američkih matematičara J. von Neumanna i O. Morgensterna „Teorija igara i ekonomskog ponašanja“ (1944), teorija igara se formira kao samostalna matematička disciplina. Za razliku od drugih grana matematike, koje imaju pretežno fizičko ili fizičko-tehnološko porijeklo, teorija igara je od samog početka svog razvoja bila usmjerena na rješavanje problema koji se javljaju u privredi (naime, u konkurentskoj ekonomiji).
Kasnije su se ideje, metode i rezultati teorije igara počeli primjenjivati u drugim područjima znanja koja se bave sukobima: u vojnim poslovima, u pitanjima morala, u proučavanju masovnog ponašanja pojedinaca s različitim interesima (npr. pitanja migracije stanovništva, ili kada se razmatra biološka borba za egzistenciju). Teorijske metode za donošenje optimalnih odluka pod neizvjesnošću mogu imati široka primena u medicini, u ekonomskom i društvenom planiranju i predviđanju, u nizu pitanja nauke i tehnologije. Ponekad se teorija igara naziva matematičkim aparatom kibernetike ili teorijom istraživanja operacija.
U praksi je često potrebno donositi odluke suočeni sa protivljenjem druge strane, koja može težiti suprotnim ili različitim ciljevima, ometati određene radnje ili stanja. spoljašnje okruženje postizanje zacrtanog cilja. Štaviše, ovi uticaji suprotne strane mogu biti pasivni ili aktivni. U takvim slučajevima potrebno je uzeti u obzir moguće ponašanje suprotne strane, akcije odgovora i njihove moguće posljedice.
Moguće opcije za ponašanje obje strane i njihove ishode za svaku kombinaciju opcija i stanja često se predstavljaju u obliku matematičkog modela, zove igru .
Ako je suprotna strana neaktivna, pasivna strana koja se svjesno ne protivi postizanju ciljanog cilja, tada ova igra se zove igraj se sa prirodom. Priroda se obično podrazumijeva kao skup okolnosti u kojima se moraju donositi odluke (neizvjesnost vremenskih prilika, nesigurnost ponašanja kupaca u komercijalnim aktivnostima, neizvjesnost reakcije stanovništva na nove vrste roba i usluga, itd.)
U drugim situacijama, suprotna strana se aktivno, svjesno suprotstavlja postizanju zacrtanog cilja. U takvim slučajevima dolazi do sukoba suprotstavljenih interesa, mišljenja, ideja. Takve situacije zove konflikt , a donošenje odluka u konfliktnoj situaciji otežava neizvjesnost ponašanja neprijatelja. Poznato je da neprijatelj svjesno nastoji poduzeti najmanje korisne akcije za vas kako bi sebi osigurao najveći uspjeh. Ne zna se u kojoj meri je neprijatelj u stanju da proceni situaciju i moguće posledice, kako procenjuje vaše sposobnosti i namere. Obje strane ne mogu predvidjeti međusobne akcije. Uprkos takvoj neizvjesnosti, na svakoj strani u sukobu je da donese odluku.
U privredi su konfliktne situacije vrlo česte i raznolikog karaktera. To uključuje, na primjer, odnos između dobavljača i potrošača, kupca i prodavca, banke i klijenta itd. U svim ovim primjerima konfliktna situacija je generirana razlikom u interesima partnera i partnera. želja svakog od njih da donese optimalne odluke. Istovremeno, svako mora računati ne samo sa svojim ciljevima, već i sa ciljevima partnera i uzeti u obzir njegove moguće radnje koje su unaprijed nepoznate.
Potreba da se opravdaju optimalna rješenja u konfliktnim situacijama dovela je do pojave teorija igara.
Teorija igara - je matematička teorija konfliktnih situacija. Polazišta ove teorije su pretpostavka o potpunoj "idealnoj" inteligenciji neprijatelja i donošenje najopreznije odluke u rješavanju sukoba.
Pozivaju se sukobljene strane igrači , jedna implementacija igre je party , ishod utakmice je pobijediti ili izgubiti . Svaka radnja koja je moguća za igrača (unutar datih pravila igre) naziva se njegovom strategija .
Smisao igre je da svaki od igrača, u okviru zadatih pravila igre, nastoji da primeni strategiju koja je za njega optimalna, odnosno strategiju koja će dovesti do najboljeg ishoda za njega. Jedan od principa optimalnog (celishodnog) ponašanja je postizanje ravnotežne situacije, za čije kršenje niko od igrača nije zainteresovan.
Upravo ravnotežna situacija može biti predmet stabilnih ugovora između igrača. Osim toga, ravnotežne situacije su korisne za svakog igrača: u ravnotežnoj situaciji, svaki igrač prima najveću isplatu, u mjeri u kojoj to zavisi od njega.
Matematički model konfliktne situacije zove se igra strane u sukobu, se zovu igrači.
Za svaku formalizovanu igru uvode se pravila. U opštem slučaju, pravila igre određuju opcije za akcije igrača; količina informacija koje svaki igrač ima o ponašanju partnera; isplati do koje svaki skup radnji vodi.
Razvoj igre u vremenu odvija se uzastopno, u fazama ili potezima. U teoriji igara, potez se zove odabirom jedne od radnji predviđenih pravilima igre i njenom provedbom. Pokreti su lični i nasumični. lični potez naziva se svjesnim izborom igrača jedne od mogućih opcija za akciju i njeno sprovođenje. Slučajni potez oni nazivaju izborom koji nije napravljen igračevom voljnom odlukom, već nekim mehanizmom slučajnog izbora (bacanje novčića, dodavanje, dijeljenje karata, itd.).
Ovisno o razlozima koji uzrokuju neizvjesnost ishoda, igre se mogu podijeliti u sljedeće glavne grupe:
kombinovane igre, u kojem pravila daju, u principu, mogućnost svakom igraču da analizira sve različite opcije za svoje ponašanje i, upoređujući te opcije, odabere onu koja vodi do najboljeg ishoda za ovog igrača. Neizvjesnost ishoda obično se povezuje s činjenicom da je broj mogućih ponašanja (poteza) prevelik i igrač praktički nije u stanju sve ih sortirati i analizirati.
kockanje , kod kojih je ishod neizvjestan zbog utjecaja različitih slučajnih faktora. Kockarske igre se sastoje samo od nasumičnih poteza, u čijoj se analizi primjenjuje teorija vjerovatnoće. Matematička teorija igara se ne bavi kockanjem.
Strateške igre , u kojem se potpuna neizvjesnost izbora opravdava činjenicom da svaki od igrača, prilikom odlučivanja o izboru nadolazećeg poteza, ne zna kakvu će strategiju slijediti ostali učesnici u igri, te igračevim neznanjem o ponašanje i namjere partnera je fundamentalne prirode, jer nema informacija o naknadnim radnjama protivnika (partnera).
Postoje igre koje kombinuju svojstva kombinovanih i kockarskih igara, strateška priroda igara se može kombinovati sa kombinatorikom itd.
U zavisnosti od broja učesnika u igri dijele se na parne i višestruke. U igri u paru broj učesnika je dva; u igri više učesnika broj učesnika je veći od dva. Učesnici višestruke igre mogu formirati koalicije. U ovom slučaju, igre se pozivaju koalicija . Višestruka igra se pretvara u igru u paru ako njeni učesnici formiraju dvije stalne koalicije.
Jedan od osnovnih koncepata teorije igara je strategija. Strategija igrača je skup pravila koja određuju izbor varijante akcija za svaki lični potez ovog igrača, u zavisnosti od situacije koja se razvila tokom igre.
Optimalna strategija Igračeva strategija je takva strategija koja, kada se igra koja sadrži lične i nasumične poteze ponovi mnogo puta, daje igraču maksimalnu moguću prosječnu dobit ili minimalni mogući gubitak, bez obzira na ponašanje protivnika.
Igra se zove krajnji , ako je broj strategija igrača konačan, i beskrajno ako barem jedan od igrača ima beskonačan broj strategija.
U višeprolaznim problemima teorije igara, koncepti "strategije" i "varijante mogućih akcija" značajno se razlikuju jedan od drugog. U jednostavnim (jednokratnim) problemima igre, kada u svakoj igrici svaki igrač može napraviti jedan potez, ovi koncepti se poklapaju, te, shodno tome, skup strategija igrača pokriva sve moguće radnje koje on može preduzeti u svakoj mogućoj situaciji i za bilo koju moguće stvarne informacije.
Postoje igre i iznos dobitaka. Igra se zove nula sumo th, ako svaki igrač pobjeđuje na račun ostalih, a zbir dobitka jedne strane jednak je zbiru gubitka druge strane. U igri parova sa nultom sumom, interesi igrača su direktno suprotni. Zove se igra parova sa nultom sumom Iantagonistička igra .
Igre u kojima dobitak jednog igrača i gubitak drugog nisu jednaki, pozvaoigre sa nenultim sumom .
Postoje dva načina za opisivanje igrica: poziciono i normalno . Poziciona metoda je povezana sa proširenim oblikom igre i svodi se na graf uzastopnih koraka (stablo igre). Normalan način je da se eksplicitno predstavi skup strategija igrača i funkcija plaćanja . Funkcija isplate u igri određuje isplatu za svaku stranu za svaki set strategija koje su igrači odabrali.
Sa popularnog američkog bloga Cracked.
Teorija igara je učenje kako napraviti najbolji potez i, kao rezultat, dobiti najveći mogući dio pobjedničke kolače tako što ćete odsjeći dio od drugih igrača. Uči vas da analizirate mnoge faktore i izvučete logično ponderisane zaključke. Mislim da bi to trebalo proučavati iza brojeva a prije abecede. Jednostavno zato što previše ljudi donosi važne odluke na osnovu intuicije, tajnih proročanstava, poravnanja zvijezda i slično. Pažljivo sam proučavao teoriju igara, a sada vam želim reći o njenim osnovama. Možda će ovo dodati zdrav razum vašem životu.
1. Zatvorenikova dilema
Berto i Robert su uhapšeni zbog pljačke banke nakon što nisu pravilno iskoristili ukradeni automobil da pobjegnu. Policija ne može dokazati da su oni bili oni koji su opljačkali banku, ali ih je uhvatila na djelu u ukradenom automobilu. Odvedeni su u različite sobe i svakom je ponuđen dogovor: da preda saučesnika i pošalje ga u zatvor na 10 godina, a sam izađe na slobodu. Ali ako oboje izdaju jedno drugo, onda će svaki dobiti 7 godina. Ako niko ništa ne kaže, onda će obojica sjediti 2 godine samo za krađu auta.
Ispostavilo se da ako Berto šuti, ali ga Robert izda, Berto odlazi u zatvor na 10 godina, a Robert izlazi na slobodu. Svaki zatvorenik je igrač, a korist svakog može biti predstavljena kao "formula" (šta obojica dobiju, šta drugi). Na primjer, ako te pogodim, moja dobitna šema će izgledati ovako (ja dobijem grubu pobjedu, ti patiš od jak bol). Pošto svaki zatvorenik ima dvije mogućnosti, rezultate možemo prikazati u tabeli.
Praktična primjena: Uočavanje sociopata
Ovdje vidimo glavnu primjenu teorije igara: prepoznavanje sociopata koji misle samo o sebi. Teorija stvarnih igara moćno je analitičko oruđe, a amaterizam često služi kao crvena zastava, s glavom koja izdaje osobu lišenu časti. Intuitivni ljudi misle da je bolje biti ružan jer će to rezultirati kraćom zatvorskom kaznom bez obzira šta drugi igrač uradi. Tehnički, ovo je tačno, ali samo ako ste kratkovida osoba koja stavlja brojeve više ljudski životi. Zbog toga je teorija igara toliko popularna u finansijama.
Pravi problem sa Zatvoreničkom dilemom je taj što ignoriše podatke. Na primjer, ne razmatra mogućnost da se sretnete sa prijateljima, rođacima, pa čak ni povjeriocima osobe koju ste zatvorili na 10 godina.
Što je najgore, svi koji su uključeni u Zatvoreničku dilemu ponašaju se kao da je nikada nisu čuli.
A najbolji potez je šutjeti, a dvije godine kasnije zajedno sa dobar prijatelj koristiti javni novac.
2. Dominantna strategija
Ovo je situacija u kojoj vaše akcije daju najveći dobitak, bez obzira na akcije vašeg protivnika.Šta god da se desi, uradili ste sve kako treba. Zato mnogi ljudi u Zatvorskoj dilemi vjeruju da izdaja vodi do "najboljeg" ishoda bez obzira šta druga osoba radi, a nepoznavanje stvarnosti svojstveno ovoj metodi čini da sve izgleda super jednostavno.
Većina igara koje igramo nemaju strogo dominantne strategije jer bi inače bile strašne. Zamislite da biste uvijek radili istu stvar. U igri kamen-papir-makaze nema dominantne strategije. Ali da se igrate sa osobom koja je imala rukavice za rernu i koja je mogla da pokaže samo kamen ili papir, imali biste dominantnu strategiju: papir. Vaš papir će zamotati njegov kamen ili će rezultirati izjednačenjem i ne možete izgubiti jer vaš protivnik ne može pokazati makaze. Sada kada imate dominantnu strategiju, bila bi budala da pokuša bilo šta drugo.
3. Bitka polova
Igre su zanimljivije kada nemaju striktno dominantnu strategiju. Na primjer, bitka polova. Anjali i Borislav idu na spoj, ali ne mogu da se odluče između baleta i boksa. Anjali obožava boks jer voli da vidi kako krv teče na radost vrišteće gomile gledalaca koji sebe smatraju civilizovanim samo zato što su platili nečije razbijene glave.
Borislav želi da gleda balet jer razume da balerine prolaze kroz mnogo povreda i najteže treninge, znajući da jedna povreda može sve da završi. Baletni igrači su najveći sportisti na svetu. Balerina vas može udariti nogom u glavu, ali to nikada neće učiniti, jer njena noga vredi mnogo više od vašeg lica.
Svako od njih želi da ide na svoj omiljeni događaj, ali ne želi da uživa u njemu sami, pa evo njihove pobedničke šeme: najveća vrijednost- rade šta vole najmanju vrijednost- samo biti sa drugom osobom, a nula - biti sam.
Neki ljudi predlažu tvrdoglavo balansiranje na ivici rata: ako radiš ono što želiš, bez obzira na sve, druga osoba se mora povinovati vašem izboru ili izgubiti sve. kao što sam već rekao, Pojednostavljena teorija igara odlična je za uočavanje budala.
Praktična primjena: Izbjegavajte oštre uglove
Naravno, ova strategija ima i svoje značajne nedostatke. Prije svega, ako svoje spojeve tretirate kao "bitku polova", to neće uspjeti. Odvojite se da svako od vas pronađe osobu koja mu se sviđa. A drugi problem je što su u ovoj situaciji sudionici toliko nesigurni u sebe da to ne mogu učiniti.
Zaista pobjednička strategija za svakoga je da radi ono što želi, a posle, ili sutradan, kada budu slobodni, odemo zajedno u kafić. Ili mijenjajte boks i balet dok svijet zabave ne bude revolucioniran i dok se ne izmisli bokserski balet.
4. Nashova ravnoteža
Nash ekvilibrijum je skup poteza u kojima niko ne želi da uradi nešto drugačije nakon činjenice. I ako to uspemo da nateramo da funkcioniše, teorija igara će zameniti čitav filozofski, verski i finansijski sistem na planeti, jer je „želja da se ne propadne“ postala moćnija pokretačka snaga za čovečanstvo od vatre.
Hajde da brzo podelimo 100 dolara. Vi i ja odlučujemo koliko od sto tražimo i istovremeno objavljujemo iznose. Ako je naš zbir manji od stotinu, svako dobija ono što želi. Ako je ukupan broj veći od sto, onaj koji je tražio najmanji iznos dobija željeni iznos, dok pohlepniji dobija ono što ostane. Ako tražimo isti iznos, svaki dobija 50 dolara. Koliko ćeš tražiti? Kako ćete podijeliti novac? Postoji samo jedan pobjednički potez.
Zahtev od 51 dolara će vam dati maksimalan iznos bez obzira šta vaš protivnik odabere. Ako zatraži više, dobit ćete 51 $. Ako traži 50 ili 51 dolara, dobićete 50 dolara. A ako traži manje od 50 dolara, dobićete 51 dolar. U svakom slučaju, ne postoji druga opcija koja će vam donijeti više novca nego ovaj. Nashova ravnoteža je situacija u kojoj obojica biramo 51 dolar.
Praktična primjena: Prvo razmisli
Ovo je cela poenta teorije igara. Ne morate pobjeđivati, a kamoli povrijediti druge igrače, ali morate napraviti najbolji potez za sebe, bez obzira na to što vam drugi spremaju. I još bolje ako ovaj potez bude koristan za druge igrače. Ovo je vrsta matematike koja bi mogla promijeniti društvo.
Zanimljiva varijanta ove ideje je pijenje, koje se može nazvati Nash ekvilibrijumom sa vremenskom zavisnošću. Kada dovoljno popijete, ne marite za postupke drugih ljudi bez obzira šta oni rade, ali sutradan zaista požalite što niste postupili drugačije.
5. Igra bacanja
U bacanju učestvuju igrač 1 i igrač 2. Svaki igrač istovremeno bira glavu ili rep. Ako pogode tačno, igrač 1 dobija novčić igrača 2. Ako ne pogodi, igrač 2 dobija novčić igrača 1.
Pobednička matrica je jednostavna...
…optimalna strategija: igrajte potpuno nasumično. Teže je nego što mislite, jer odabir mora biti potpuno slučajan. Ako preferirate glavu ili rep, protivnik to može iskoristiti da vam uzme novac.
Naravno, pravi problem ovdje je u tome što bi bilo mnogo bolje kada bi se samo bacili jedan na drugoga. Kao rezultat toga, njihov profit bi bio isti, a trauma koja je nastala mogla bi pomoći ovim nesretnim ljudima da osjete nešto drugo osim užasne dosade. Uostalom, ovo je najgora igra ikada. A ovo je savršen model za izvođenje jedanaesteraca.
Praktična primjena: Kazna
U fudbalu, hokeju i mnogim drugim igrama produžeci su izvođenje jedanaesteraca. I bili bi zanimljiviji kada bi se bazirali na tome koliko puta igrači u punoj formi mogu napraviti "točak", jer bi to barem bio pokazatelj njihovih fizičkih sposobnosti i bilo bi zabavno gledati. Golmani ne mogu jasno odrediti kretanje lopte ili paka na samom početku svog kretanja, jer, nažalost, roboti još uvijek ne učestvuju u našim sportovima. Golman mora izabrati levi ili desni pravac i nada se da će se njegov izbor poklopiti sa izborom protivnika koji šutira na gol. Ima nešto zajedničko sa igrom novčića.
Napominjemo, međutim, da ovo nije savršen primjer sličnosti sa igrom glava i repova, jer iako pravi izbor smjeru, golman ne smije uhvatiti loptu, a napadač ne smije pogoditi gol.
Dakle, koji je naš zaključak prema teoriji igara? Igre loptom treba da se završavaju na način „više lopti“, gde se svaki minut daje dodatna lopta/pak igračima jedan na jedan, sve dok jedna strana ne postigne određeni rezultat koji je bio pokazatelj prave veštine igrača. , a ne spektakularna koincidencija.
Na kraju krajeva, teoriju igara treba koristiti da bi igru učinili pametnijom. A to znači bolje.
