Bernulijeva shema. Primjeri rješavanja problema

1

1. Bogolyubov A.N. Matematika. Mehanika: biografski vodič. - Kijev: Naukova dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Analiza i evaluacija prioriteta sekcija matematičkih disciplina koje studiraju studenti ekonomskih specijalnosti poljoprivrednih univerziteta // Bilten APK Stavropolja. - 2013. - br. 1 (9). - str. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Izgledi primjene matematičke metode u ekonomskim istraživanjima // Agrarna znanost, kreativnost, rast. - 2013. - S. 255-257.

U matematici, prilično često postoje problemi u kojima postoji veliki broj ponavljanja istog stanja, testa ili eksperimenta. Rezultat svakog testa će se smatrati potpuno drugačijim rezultatom od prethodnog. Zavisnost u rezultatima se također neće primijetiti. Kao rezultat testa može se razlikovati nekoliko mogućnosti elementarnih posljedica: pojava događaja (A) ili pojava događaja koji nadopunjuje A.

Zatim pokušajmo da pretpostavimo da je vjerovatnoća pojave događaja R(A) regularna i jednaka r (0<р<1).

Primjeri takvog izazova mogu biti veliki broj zadataka, poput bacanja novčića, vađenja crnih i bijelih loptica iz tamne vrećice ili rađanja crno-bijelih zečeva.

Takav eksperiment se naziva ponovljena nezavisna test konfiguracija ili Bernoullijeva šema.

Jacob Bernoulli je rođen u porodici farmaceuta. Otac je pokušao sina uputiti na medicinski put, ali se J. Bernoulli sam zainteresovao za matematiku, koja je kasnije postala njegova profesija. Posjeduje razne trofeje u radovima na teme iz teorije vjerovatnoća i brojeva, nizova i diferencijalnog računa. Nakon što je proučio teoriju vjerovatnoće iz jednog od Huygensovih djela "O proračunima u kockanju", Jacob se zainteresirao za ovo. U ovoj knjizi nije postojala čak ni jasna definicija pojma "vjerovatnoća". J. Bernoulli je bio taj koji je u matematiku uveo većinu modernih koncepata teorije vjerovatnoće. Bernuli je takođe bio prvi koji je izrazio svoju verziju zakona velikih brojeva. Ime Jacob nosi različita djela, teoreme i sheme: "Bernoullijevi brojevi", "Bernoullijev polinom", "Bernoullijeva diferencijalna jednačina", "Bernoullijeva raspodjela" i "Bernoullijeva jednačina".

Vratimo se ponavljanju. Kao što je već spomenuto, kao rezultat različitih testova moguća su dva ishoda: ili će se pojaviti događaj A, ili suprotan ovom događaju. Sama Bernoullijeva shema označava proizvodnju n-tog broja tipičnih slobodnih eksperimenata, a u svakom od ovih eksperimenata može se pojaviti događaj A koji nam je potreban (vjerovatnost ovog događaja je poznata: P (A) = p), vjerojatnost događaja suprotnog događaju A označena je sa q = P ( A)=1-p. Potrebno je odrediti vjerovatnoću da će se, prilikom testiranja nepoznatog broja, događaj A dogoditi tačno k puta.

Važno je zapamtiti da je glavni uvjet pri rješavanju problema pomoću Bernoullijeve sheme konstantnost. Bez toga, shema gubi svaki smisao.

Ova shema se može koristiti za rješavanje problema različitih nivoa složenosti: od jednostavnih (isti novčić) do složenih (kamata). Međutim, češće se Bernoullijeva shema koristi u rješavanju takvih problema koji su povezani s kontrolom svojstava različitih proizvoda i povjerenjem u različite mehanizme. Samo da bi se problem riješio, prije početka rada moraju se unaprijed znati svi uvjeti i vrijednosti.

Nisu svi problemi u teoriji vjerovatnoće svedeni na konstantnost pod uslovima. Čak i ako za primjer uzmemo crno-bijele kuglice u tamnoj vrećici: kada se izvuče jedna loptica promijenio se odnos broja i boja loptica u vreći, što znači da se promijenila i sama vjerovatnoća.

Međutim, ako su naši uslovi konstantni, onda možemo tačno odrediti traženu vjerovatnoću od nas da će se događaj A dogoditi tačno k puta od n mogućih.

Ovu činjenicu je Jacob Bernoulli sastavio u teoremu, koja je kasnije postala poznata kao njegovo ime. "Bernoulijeva teorema" je jedna od glavnih teorema u teoriji vjerovatnoće. Prvi put je objavljen u djelu J. Bernoullija "Umjetnost pretpostavki". Šta je ovo teorema? “Ako je vjerovatnoća p pojave događaja A u svakom pokušaju konstantna, tada je vjerovatnoća Pk,n da će se događaj dogoditi k puta u n pokušaja koji su nezavisni jedan od drugog jednaka: , gdje je q=1-p .”

U dokazu efikasnosti formule mogu se dati zadaci.

Zadatak #1:

Od n staklenih tegli po mjesecu skladištenja, k se razbije. Nasumično uzeto m limenki. Pronađite vjerovatnoću da se među ovim teglama l ne razbijem. n=250, k=10, m=8, l=4.

Rješenje: Imamo Bernoullijevu šemu sa vrijednostima:

p=10/250=0,04 (vjerovatnoća da će banke propasti);

n=8 (broj pokušaja);

k=8-4=4 (broj razbijenih tegli).

Koristimo Bernoullijevu formulu

dobio:

Odgovor: 0,0141

Zadatak #2:

Vjerovatnoća proizvodnje neispravnog proizvoda u proizvodnji je 0,2. Naći vjerovatnoću da od 10 proizvoda proizvedenih u ovom proizvodnom pogonu, tačno k mora biti u dobrom stanju. Pokreni rješenje za k = 0, 1, 10.

Zanima nas događaj A - proizvodnja servisnih delova, koja se dešava jednom na sat sa verovatnoćom p=1-0,2=0,8. Moramo pronaći vjerovatnoću da će se dati događaj dogoditi k puta. Događaj A je suprotan događaju "ne A", tj. proizvodnju neispravnog proizvoda.

Dakle, imamo: n=10; p=0,8; q=0,2.

Kao rezultat, nalazimo vjerovatnoću da od 10 proizvedenih proizvoda svi proizvodi budu neispravni (k=0), da je jedan proizvod u dobrom stanju (k=1), da uopće nema neispravnih (k=10) :

U zaključku želim da napomenem da u moderno doba mnogi naučnici pokušavaju da dokažu da "Bernoulijeva formula" nije u skladu sa zakonima prirode i da se problemi mogu rešiti bez njene primene. Naravno, to je moguće, većina problema u teoriji vjerojatnosti može se izvesti bez Bernoullijeve formule, glavna stvar je da se ne zbunite u velikim količinama brojeva.

Bibliografska veza

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. BERNULLIJEVA FORMULA U TEORIJI VJEROJATNOSTI // International Student Scientific Bulletin. - 2015. - br. 3-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (datum pristupa: 12.03.2019.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Akademija prirodne istorije"

U ovoj lekciji ćemo pronaći vjerovatnoću da se neki događaj dogodi u nezavisnim ispitivanjima kada se pokušaji ponavljaju. . Ispitivanja se nazivaju nezavisnim ako vjerovatnoća jednog ili drugog ishoda svakog ispitivanja ne zavisi od toga kakve su ishode imala druga ispitivanja. . Nezavisni testovi se mogu izvoditi i pod istim uslovima i pod različitim uslovima. U prvom slučaju, vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi u svim suđenjima je ista; u drugom slučaju varira od suđenja do suđenja.

Primjeri nezavisnih ponovnih testiranja :

• jedan od čvorova uređaja ili dva ili tri čvora će otkazati, a kvar svakog čvora ne zavisi od drugog čvora, a vjerovatnoća kvara jednog čvora je konstantna u svim testovima;
• dio proizveden pod određenim stalnim tehnološkim uvjetima, odnosno tri, četiri, pet dijelova, ispostaviće se nestandardnim, a jedan dio može ispasti nestandardan bez obzira na bilo koji drugi dio, a vjerovatnoća da će dio biti ispostavilo se da je nestandardno konstantno u svim testovima;
• od više hitaca u metu, jedan, tri ili četiri hica pogađaju metu bez obzira na ishod ostalih hitaca i vjerovatnoća da će se pogoditi je konstantna u svim pokušajima;
• kada se novčić ubaci, mašina će ispravno raditi jedan, dva ili drugi broj puta, bez obzira na to koje su druge ubačene novčiće imale, a vjerovatnoća da će mašina ispravno raditi je konstantna u svim pokušajima.

Ovi događaji se mogu opisati jednom šemom. Svaki događaj se javlja u svakom ispitivanju sa istom vjerovatnoćom, koja se ne mijenja ako rezultati prethodnih ispitivanja postanu poznati. Takvi testovi se nazivaju nezavisni, a shema se naziva Bernoullijeva šema . Pretpostavlja se da se takvi testovi mogu ponoviti koliko god puta se želi.

Ako je vjerovatnoća str događaj A je konstantna u svakom pokušaju, onda je vjerovatnoća da će in n nezavisni test događaj Aće doći m puta, nalazi se na Bernulijeva formula :

(Gdje q= 1 – str- vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi)

Postavimo zadatak - da pronađemo vjerovatnoću da dođe do događaja ovog tipa n doći će nezavisna suđenja m jednom.

Bernulijeva formula: primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Nađite vjerovatnoću da su od pet nasumično odabranih dijelova dva standardna, ako je vjerovatnoća da je svaki dio standardan 0,9.

Rješenje. Vjerovatnoća događaja A, koji se sastoji u činjenici da je nasumično uzet dio standardan, je str=0,9 , a vjerovatnoća da je nestandardna je q=1–str=0,1 . Događaj naveden u stanju problema (označavamo ga sa IN) se javlja ako su, na primjer, prva dva dijela standardna, a sljedeća tri nestandardna. Ali događaj IN također se javlja ako su prvi i treći dio standardni, a ostali nestandardni, ili ako su drugi i peti dio standardni, a ostali nestandardni. Postoje i druge mogućnosti da se događaj desi. IN. Bilo koji od njih karakterizira činjenica da će od pet uzetih dijelova, dva, koja zauzimaju bilo koje mjesto od pet, ispasti standardna. Dakle, ukupan broj različitih mogućnosti za nastanak nekog događaja IN jednak je broju mogućnosti za postavljanje dva standardna dijela na pet mjesta, tj. jednak je broju kombinacija pet elemenata po dva, i .

Vjerovatnoća svake mogućnosti, prema teoremi množenja vjerovatnoće, jednaka je umnošku pet faktora, od kojih su dva, koja odgovaraju izgledu standardnih dijelova, jednaka 0,9, a preostala tri, koja odgovaraju pojavi ne -standardni dijelovi, jednaki su 0,1, tj. ova vjerovatnoća je . Pošto su ovih deset mogućnosti nekompatibilni događaji, po teoremi sabiranja, vjerovatnoća događaja IN, koje označavamo

Primjer 2 Vjerovatnoća da će mašina zahtijevati pažnju radnika u roku od jednog sata je 0,6. Uz pretpostavku da su kvarovi na mašinama nezavisni, pronađite vjerovatnoću da će tokom jednog sata pažnju radnika zahtijevati bilo koja od četiri mašine koje on servisira.

Rješenje. Koristeći Bernulijeva formula at n=4 , m=1 , str=0,6 i q=1–str=0.4 , dobijamo

Primjer 3 Za normalan rad vagonskog depoa na liniji mora biti najmanje osam vagona, a deset ih je. Vjerovatnoća neizlaska svakog automobila na liniju jednaka je 0,1. Naći vjerovatnoću normalnog rada depoa u sljedećem danu.

Rješenje. Autobase će raditi dobro (događaj F) ako će jedan ili osam ući u red (događaj A), ili devet (događaj IN), ili svih deset automobila događaj (događaj C). Prema teoremi zbrajanja vjerovatnoće,

Pronalazimo svaki pojam prema Bernulijevoj formuli. Evo n=10 , m=8; 10 i str\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, pošto str treba da znači vjerovatnoću da automobil uđe u liniju; Onda q=0,1 . Kao rezultat, dobijamo

Primjer 4 Neka je vjerovatnoća da je kupcu potrebna muška cipela veličine 41 0,25. Nađite vjerovatnoću da od šest kupaca barem dva trebaju cipele veličine 41.

Neka se provede n pokušaja u odnosu na događaj A. Hajde da uvedemo sledeće događaje: Ak -- događaj A je realizovan tokom k-tog testa, $ k=1,2,\dots , n$. Tada je $\bar(A)_(k) $ suprotan događaj (događaj A se nije dogodio tokom k-tog pokušaja, $k=1,2,\dots , n$).

Šta su vršnjačka i nezavisna ispitivanja

Definicija

Testovi se pozivaju istog tipa u odnosu na događaj A ako su vjerovatnoće događaja $A1, A2, \dots , An$ iste: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (tj. vjerovatnoća pojave događaja A u jednom pokušaju je konstantna u svim pokusima).

Očigledno, u ovom slučaju se vjerovatnoće suprotnih događaja također poklapaju: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Definicija

Pokusi se nazivaju nezavisnim u odnosu na događaj A ako su događaji $A1, A2, \dots , An$ nezavisni.

U ovom slučaju

U ovom slučaju, jednakost je očuvana kada se bilo koji događaj Ak zamijeni sa $\bar(A)_(k) $.

Neka se izvede serija od n sličnih nezavisnih ispitivanja u odnosu na događaj A. Nosimo oznaku: p - vjerovatnoća događaja A u jednom testu; q je vjerovatnoća suprotnog događaja. Dakle, P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ za bilo koji k i p+q=1.

Vjerovatnoća da će se u nizu od n pokušaja događaj A dogoditi tačno k puta (0 ≤ k ≤ n) izračunava se po formuli:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Jednakost (1) naziva se Bernoullijeva formula.

Vjerovatnoća da će se u nizu od n nezavisnih pokušaja istog tipa događaj A dogoditi najmanje k1 puta i najviše k2 puta izračunava se po formuli:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\suma \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Primjena Bernoullijeve formule za velike vrijednosti n dovodi do glomaznih proračuna, pa je u tim slučajevima bolje koristiti druge formule - asimptotske.

Generalizacija Bernoullijeve šeme

Razmotrimo generalizaciju Bernoullijeve šeme. Ako u seriji od n nezavisnih pokušaja, od kojih svaki ima m parno nekompatibilnih i mogućih rezultata Ak sa odgovarajućim vjerovatnoćama Rk= rk(Ak). Tada vrijedi formula polinomske distribucije:

Primjer 1

Verovatnoća da dobijete grip tokom epidemije je 0,4. Pronađite vjerovatnoću da će se od 6 zaposlenih u kompaniji razboljeti

1. tačno 4 zaposlena;
2. ne više od 4 zaposlena.

Rješenje. 1) Očigledno, za rješavanje ovog problema primjenjiva je Bernulijeva formula, gdje je n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Primjenom formule (1), dobijamo: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \približno 0.138$.

Za rješavanje ovog problema primjenjiva je formula (2), gdje je k1=0 i k2=4. Imamo:

\[\begin(niz)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\suma \ograničenja _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ približno 0,959.) \end(niz)\]

Treba napomenuti da je ovaj zadatak lakše riješiti korištenjem suprotnog događaja – razboljelo se više od 4 zaposlenika. Tada, uzimajući u obzir formulu (7) o vjerovatnoćama suprotnih događaja, dobijamo:

Odgovor: $\ $0,959.

Primjer 2

Urna sadrži 20 bijelih i 10 crnih kuglica. Vade se 4 loptice, a svaka izvađena loptica se vraća u urnu pre nego što se izvuče sledeća i mešaju se loptice u urni. Nađite vjerovatnoću da će od četiri izvučene loptice biti 2 bijele kuglice na slici 1.

Slika 1.

Rješenje. Neka je događaj A to -- izvučena je bijela lopta. Tada su vjerovatnoće $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerovatnoća je $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \desno)^(2) =\frac(8)(27) $.

Odgovor: $\frac(8)(27) $.

Primjer 3

Odrediti vjerovatnoću da porodica sa 5 djece neće imati više od 3 djevojčice. Pretpostavlja se da su vjerovatnoće da ćete imati dječaka i djevojčicu jednake.

Rješenje. Vjerovatnoća da ćete imati djevojčicu $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-vjerovatnoća da ćete imati dječaka. U porodici nema više od tri djevojčice, što znači da su rođene ili jedna, ili dvije, ili tri djevojčice, ili svi dječaci u porodici.

Pronađite vjerovatnoće da u porodici nema djevojčica, rođene su jedna, dvije ili tri djevojčice: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Stoga je tražena vjerovatnoća $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Odgovor: $\frac(13)(16)$.

Primjer 4

Prvi strijelac sa jednim udarcem može pogoditi prvih deset sa vjerovatnoćom od 0,6, devetorka sa vjerovatnoćom od 0,3, a osmica sa vjerovatnoćom od 0,1. Kolika je vjerovatnoća da će sa 10 hitaca pogoditi deset šest puta, devet tri puta i osam osam puta?

Razmotrite binomnu distribuciju, izračunajte njeno matematičko očekivanje, varijansu, mod. Koristeći MS EXCEL funkciju BINOM.DIST(), nacrtat ćemo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Procijenimo parametar distribucije p, matematičko očekivanje distribucije i standardnu ​​devijaciju. Uzmite u obzir i Bernoullijevu distribuciju.

Definicija. Neka se drže n testovi, u svakom od kojih se mogu pojaviti samo 2 događaja: događaj "uspjeh" s vjerovatnoćom str ili događaj "neuspjeh" s vjerovatnoćom q =1-p (tzv Bernoullijeva šema,Bernoullisuđenja).

Verovatnoća dobijanja tačno x uspjeh u ovim n testovi je jednak:

Broj uspjeha u uzorku x je slučajna varijabla koja ima Binomna distribucija(engleski) Binomdistribucija) str I n– su parametri ove distribucije.

Podsjetite to kako biste se prijavili Bernoullijeve šeme i shodno tome binomna distribucija, moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

• svako ispitivanje mora imati tačno dva ishoda, uslovno nazvana "uspjeh" i "neuspjeh".
• rezultat svakog testa ne treba da zavisi od rezultata prethodnih testova (nezavisnost testa).
• stopa uspjeha str treba biti konstantan za sve testove.

Binomna distribucija u MS EXCEL-u

U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za Binomna distribucija postoji funkcija BINOM.DIST(), engleski naziv je BINOM.DIST(), što vam omogućava da izračunate vjerovatnoću da će uzorak imati tačno X"uspjesi" (tj. funkcija gustoće vjerovatnoće p(x), vidi gornju formulu) i integralna funkcija distribucije(vjerovatnoća da će uzorak imati x ili manje "uspjeha", uključujući 0).

Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju BINOMDIST(), koja vam također omogućava da izračunate funkcija distribucije I gustina vjerovatnoće p(x). BINOMDIST() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.

Datoteka primjera sadrži grafikone gustina raspodjele vjerovatnoće I .

Binomna distribucija ima oznaku B(n; str) .

Bilješka: Za gradnju integralna funkcija distribucije tip grafikona savršenog uklapanja Raspored, Za gustina distribucije – Histogram sa grupisanjem. Za više informacija o građenju dijagrama, pročitajte članak Glavne vrste dijagrama.

Bilješka: Za praktičnost pisanja formula u datoteku primjera, kreirana su imena za parametre Binomna distribucija: n i str.

Datoteka primjera prikazuje različite izračune vjerovatnoće pomoću MS EXCEL funkcija:

Kao što se vidi na gornjoj slici, pretpostavlja se da:

• Beskonačna populacija od koje je napravljen uzorak sadrži 10% (ili 0,1) dobrih elemenata (parametar str, treći argument funkcije =BINOM.DIST() )
• Za izračunavanje vjerovatnoće da će u uzorku od 10 elemenata (parametar n, drugi argument funkcije) bit će točno 5 valjanih elemenata (prvi argument), potrebno je napisati formulu: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• Poslednji, četvrti element je postavljen = FALSE, tj. vrijednost funkcije se vraća gustina distribucije.

Ako je vrijednost četvrtog argumenta = TRUE, tada funkcija BINOM.DIST() vraća vrijednost integralna funkcija distribucije ili jednostavno funkcija distribucije. U ovom slučaju, možete izračunati vjerovatnoću da će broj dobrih stavki u uzorku biti iz određenog raspona, na primjer, 2 ili manje (uključujući 0).

Da biste to učinili, morate napisati formulu:
= BINOM.DIST(2, 10, 0,1, TRUE)

Bilješka: Za necjelobrojnu vrijednost x, . Na primjer, sljedeće formule će vratiti istu vrijednost:
=BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; ISTINITO)
=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; ISTINITO)

Bilješka: U primjeru datoteke gustina vjerovatnoće I funkcija distribucije također se izračunava korištenjem definicije i funkcije COMBIN().

Pokazatelji distribucije

IN primjer datoteke na listu Primjer postoje formule za izračunavanje nekih indikatora distribucije:

• =n*p;
• (kvadrat standardne devijacije) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Izvodimo formulu matematičko očekivanje Binomna distribucija koristeći Bernoullijeva šema.

Po definiciji, slučajna varijabla X in Bernoullijeva šema(Bernoullijeva slučajna varijabla) ima funkcija distribucije:

Ova distribucija se zove Bernulijeva distribucija.

Bilješka: Bernulijeva distribucija- poseban slučaj Binomna distribucija sa parametrom n=1.

Hajde da generišemo 3 niza od 100 brojeva sa različitim verovatnoćama uspeha: 0,1; 0,5 i 0,9. Da biste to učinili, u prozoru Generisanje slučajnih brojeva postavite sljedeće parametre za svaku vjerovatnoću p:

Bilješka: Ako postavite opciju Slučajno rasipanje (Slučajno sjeme), tada možete odabrati određeni nasumični skup generiranih brojeva. Na primjer, postavljanjem ove opcije =25, možete generirati iste skupove slučajnih brojeva na različitim računarima (ako su, naravno, drugi parametri distribucije isti). Vrijednost opcije može imati cjelobrojne vrijednosti od 1 do 32 767. Naziv opcije Slučajno rasipanje može zbuniti. Bilo bi bolje da se to prevede kao Postavite broj sa slučajnim brojevima.

Kao rezultat, imaćemo 3 kolone od 100 brojeva, na osnovu kojih, na primjer, možemo procijeniti vjerovatnoću uspjeha str prema formuli: Broj uspjeha/100(cm. primjer lista datoteka Generiranje Bernoullija).

Bilješka: Za Bernoullijeve distribucije sa p=0,5, možete koristiti formulu =RANDBETWEEN(0;1) , što odgovara .

Generisanje slučajnih brojeva. Binomna distribucija

Pretpostavimo da u uzorku ima 7 neispravnih predmeta. To znači da je "vrlo vjerovatno" da se udio neispravnih proizvoda promijenio. str, što je karakteristika našeg proizvodnog procesa. Iako je ova situacija “vrlo vjerovatna”, postoji mogućnost (alfa rizik, greška tipa 1, “lažni alarm”) da str je ostao nepromijenjen, a povećan broj neispravnih proizvoda uzrokovan je slučajnim uzorkovanjem.

Kao što se može vidjeti na donjoj slici, 7 je broj neispravnih proizvoda koji je prihvatljiv za proces sa p=0,21 pri istoj vrijednosti Alpha. Ovo ilustruje da kada se prekorači prag neispravnih predmeta u uzorku, str“vjerovatno” povećao. Izraz "najvjerovatnije" znači da postoji samo 10% šanse (100%-90%) da je odstupanje procenta neispravnih proizvoda iznad praga posljedica samo slučajnih uzroka.

Dakle, prekoračenje graničnog broja neispravnih proizvoda u uzorku može poslužiti kao signal da se proces poremetio i počeo proizvoditi b O veći procenat neispravnih proizvoda.

Bilješka: Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju CRITBINOM() , koja je ekvivalentna BINOM.INV() . CRITBINOM() je ostavljen u MS EXCEL 2010 i novijim radi kompatibilnosti.

Odnos binomske distribucije prema drugim distribucijama

Ako je parametar n Binomna distribucija teži beskonačnosti i str teži 0, tada u ovom slučaju Binomna distribucija može se aproksimirati.
Moguće je formulisati uslove kada je aproksimacija Poissonova distribucija radi dobro:

• str<0,1 (što manje str i više n, što je tačnija aproksimacija);
• str>0,9 (s obzirom na to q=1- str, proračuni u ovom slučaju moraju se izvršiti pomoću q(A X potrebno je zamijeniti sa n- x). Dakle, što manje q i više n, to je tačnija aproksimacija).

Na 0,1<=p<=0,9 и n*p>10 Binomna distribucija može se aproksimirati.

sa svoje strane, Binomna distribucija može poslužiti kao dobra aproksimacija kada je veličina populacije N Hipergeometrijska distribucija mnogo veći od veličine uzorka n (tj. N>>n ili n/N<<1).

Više o odnosu gore navedenih distribucija možete pročitati u članku. Navedeni su i primjeri aproksimacije, te su objašnjeni uslovi kada je to moguće i sa kojom tačnošću.

SAVJET: O ostalim distribucijama MS EXCEL-a možete pročitati u članku.

n eksperimenti se izvode prema Bernoullijevoj shemi sa vjerovatnoćom uspjeha p. Neka je X broj uspjeha. Slučajna varijabla X ima raspon (0,1,2,...,n). Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se naći po formuli: , gdje je C m n broj kombinacija od n do m .
Serija distribucije ima oblik:

x	0	1	...	m	n
str	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Ovaj zakon raspodjele naziva se binom.

Servisni zadatak. Za crtanje se koristi online kalkulator binomni red distribucije i izračunavanje svih karakteristika serije: matematičko očekivanje, varijansa i standardna devijacija. Izvještaj sa odlukom se sastavlja u Word formatu (primjer).

Broj pokušaja: n= , Vjerovatnoća p =
Sa malom vjerovatnoćom p i velikim brojem n (np Poissonova formula.

Video uputstvo

Bernoullijeva testna shema

Numeričke karakteristike slučajne varijable raspoređene prema binomskom zakonu

Matematičko očekivanje slučajne varijable X, raspoređene prema binomskom zakonu.
M[X]=np

Disperzija slučajne varijable X, raspoređena prema binomskom zakonu.
D[X]=npq

Primjer #1. Proizvod može biti neispravan sa vjerovatnoćom p = 0,3 svaki. Tri stavke se biraju iz serije. X je broj neispravnih dijelova među odabranim. Pronađite (sve odgovore unesite u obliku decimalnih razlomaka): a) red raspodjele X; b) funkcija raspodjele F(x) .
Rješenje. Slučajna varijabla X ima raspon (0,1,2,3).
Nađimo distribucijsku seriju X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44

P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027

x i	0	1	2	3
pi	0.34	0.44	0.19	0.027

Matematičko očekivanje se nalazi po formuli M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
pregled: m = ∑ x i p i .
Matematičko očekivanje M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Disperzija se nalazi po formuli D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
pregled: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
disperzija D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Standardna devijacija σ(x).

Funkcija distribucije F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1

1. Vjerovatnoća da se događaj dogodi u jednom ispitivanju je 0,6. Urađeno je 5 testova. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja.
2. Sastaviti zakon raspodjele slučajne varijable X broja pogodaka sa četiri hica, ako je vjerovatnoća da se pogodi meta jednim hicem 0,8.
3. Novčić se baca 7 puta. Naći matematičko očekivanje i varijansu broja pojavljivanja grba. Napomena: ovdje je vjerovatnoća pojave grba p = 1/2 (jer novčić ima dvije strane).

Primjer #2. Vjerovatnoća da se događaj dogodi u jednom ispitivanju je 0,6. Primjenom Bernoullijeve teoreme odrediti broj nezavisnih pokušaja, počevši od kojih je vjerovatnoća odstupanja učestalosti događaja od njegove vjerovatnoće u apsolutnoj vrijednosti manja od 0,1, veća od 0,97. (Odgovor: 801)

Primjer #3. Učenici rade testove na času informatike. Rad se sastoji od tri zadatka. Da biste dobili dobru ocjenu, morate pronaći tačne odgovore na najmanje dva zadatka. Svaki zadatak ima 5 odgovora, od kojih je samo jedan tačan. Učenik nasumično bira odgovor. Kolika je vjerovatnoća da će dobiti dobru ocjenu?
Rješenje. Verovatnoća tačnog odgovora na pitanje: p=1/5=0,2; n=3.
Ove podatke morate unijeti u kalkulator. Vidite P(2)+P(3) za odgovor.

Primjer #4. Vjerovatnoća da strijelac jednim udarcem pogodi metu je (m+n)/(m+n+2) . n + 4 hica se ispaljuju. Pronađite vjerovatnoću da ne promaši više od dva puta.

Bilješka. Verovatnoća da će promašiti najviše dva puta uključuje sledeće događaje: nikada ne promaši P(4), promaši jednom P(3), promaši dva puta P(2).

Primjer broj 5. Odrediti distribuciju vjerovatnoće broja neuspjelih letjelica ako lete 4 aviona. Verovatnoća neispravnog rada vazduhoplova R=0,99. Broj aviona koji su pali u svakom naletu distribuira se prema binomskom zakonu.