Diskriminanta, kao i kvadratne jednadžbe, počinje se izučavati u predmetu algebre u 8. razredu. Odluči se kvadratna jednačina moguće je kroz diskriminant i korištenje Vietine teoreme. Metoda proučavanja kvadratnih jednačina, kao i diskriminantnih formula, prilično se neuspješno uči školarcima, kao i mnoge stvari u realnom obrazovanju. Stoga prolaze školske godine, obrazovanje u 9-11 razredima zamjenjuje " visoko obrazovanje"i svi ponovo gledaju - "Kako riješiti kvadratnu jednačinu?", "Kako pronaći korijene jednačine?", "Kako pronaći diskriminanta?" i...

Diskriminantna formula

Diskriminanta D kvadratne jednačine a*x^2+bx+c=0 je jednaka D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe zavise od predznaka diskriminanta (D):
D>0 – jednačina ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračunavanje diskriminanta je prilično jednostavna, tako da mnoge web stranice nude online diskriminantni kalkulator. Ovakvu vrstu skripti još nismo smislili, pa ako neko zna kako to implementirati neka nam piše na e-mail Ova adresa el. pošte je zaštićena od spambotova. Morate imati omogućen JavaScript da biste ga vidjeli. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formule
Ako je koeficijent kvadratne varijable uparen, onda je preporučljivo izračunati ne diskriminanta, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima, korijeni jednadžbe se nalaze pomoću formule

Drugi način pronalaženja korijena je Vietina teorema.

Teorema je formulirana ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektronskim izvorima. Međutim, da pojednostavimo, razmotrimo dio koji se odnosi na gornje kvadratne jednadžbe, odnosno jednadžbe oblika (a=1)
Suština Vietinih formula je da je zbir korijena jednadžbe jednak koeficijentu varijable, uzete sa suprotnim predznakom. Proizvod korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Vietin teorem se može napisati u formulama.
Izvođenje Vietine formule je prilično jednostavno. Napišimo kvadratnu jednačinu kroz jednostavne faktore
Kao što vidite, sve genijalno je u isto vrijeme jednostavno. Efikasno je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulu korijena ili razlika u modulima korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednadžbe, prema Vietinoj teoremi, imaju korijene




Do jednačine 4, analiza bi trebala izgledati ovako. Umnožak korijena jednadžbe je 6, stoga korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi suprotnih predznaka. Zbir korijena je 7 (koeficijent varijable sa suprotnim predznakom). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, prilagođavajući njihov predznak kako bi se ispunile Vietine formule. U početku se čini da je to teško izvodljivo, ali uz praksu na brojnim kvadratnim jednačinama, ova tehnika će se pokazati efikasnijom od izračunavanja diskriminanta i pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanta i metoda pronalaženja rješenja jednačine je lišena praktičnog značenja - “Zašto je školarcima potrebna kvadratna jednačina?”, “Koje je fizičko značenje diskriminanta?”

Pokušajmo to shvatiti Šta diskriminant opisuje?

Na predmetu algebra izučavaju funkcije, šeme za proučavanje funkcija i konstruisanje grafa funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola, čija se jednadžba može napisati u obliku
Dakle, fizičko značenje kvadratne jednadžbe su nule parabole, odnosno tačke presjeka grafa funkcije sa apscisnom osom Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme za polaganje ispita, testova ili prijemnih ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak kvadratne varijable odgovara da li će grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola sa granama nadole (a<0) .

Vrh parabole leži na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminanta veća od nule (D>0) parabola ima dvije točke sjecišta sa Ox osom.
Ako je diskriminanta nula (D=0) tada parabola na vrhu dodiruje x-osu.
I posljednji slučaj, kada je diskriminant manji od nule (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepotpune kvadratne jednadžbe

“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo pogledati ono što se zove kvadratna jednačina i kako to riješiti.

Šta je kvadratna jednačina?

Važno!

Stepen jednačine je određen najvišim stepenom do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalna snaga u kojoj je nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Važno! Opšti oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” i “c” su dati brojevi.

• “a” je prvi ili najviši koeficijent;
• “b” je drugi koeficijent;
• “c” je slobodan termin.

Da biste pronašli “a”, “b” i “c” potrebno je da uporedite svoju jednačinu sa opštim oblikom kvadratne jednačine “ax 2 + bx + c = 0”.

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednačina	Odds
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearnih jednadžbi, za rješavanje kvadratnih jednadžbi koristi se posebna metoda. formula za pronalaženje korijena.

Zapamtite!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• dovesti kvadratnu jednačinu u opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”.
• To jest, samo “0” treba da ostane na desnoj strani;

koristite formulu za korijenje:

Pogledajmo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.

X 2 − 3x − 4 = 0 Jednačina “x 2 − 3x − 4 = 0” je već svedena na opći oblik “ax 2 + bx + c = 0” i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti.

formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe

Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.
Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.
Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.
Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.

x 1;2 =

Može se koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.
U formuli “x 1;2 =” radikalni izraz se često zamjenjuje

“b 2 − 4ac” za slovo “D” i naziva se diskriminantnim. Koncept diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji „Šta je diskriminant“.

Pogledajmo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente “a”, “b” i “c”. Hajde da prvo svedemo jednačinu na opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijene.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =

6

2

x =
x = 3

Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada kvadratne jednadžbe nemaju korijen. Ova situacija se događa kada formula sadrži negativan broj ispod korijena. Sa ovim matematičkim programom možete.

riješiti kvadratnu jednačinu
Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenje diskriminanta

- korištenjem Vietine teoreme (ako je moguće).
Na primjer, za jednačinu \(81x^2-16x-1=0\) odgovor je prikazan u sljedećem obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a ne ovako: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Ovaj program može biti od koristi srednjoškolcima u opšteobrazovnim školama prilikom priprema za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, kao i roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre.

Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma
Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.

Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.
Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.

Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.
Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.

Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke ovako: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za unos običnih razlomaka.

Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan. /
Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: &
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda:
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade
. U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.

=0

Primjer: x^2+2x-1

Odluči se
Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.

U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.

Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.
Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednačina
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izgleda kao
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednačini a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednačine se nazivaju kvadratne jednačine.

Definicija.
Kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c je slobodni član.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a\neq 0\), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednačina.

Imajte na umu da se kvadratna jednačina naziva i jednačina drugog stepena, jer je njena leva strana polinom drugog stepena.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent od x 2 jednak 1 zadata kvadratna jednačina. Na primjer, date kvadratne jednadžbe su jednačine
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednačine -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje je \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje je \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Razmotrimo rješavanje jednadžbi svakog od ovih tipova.

Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), pomaknite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednačine sa a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pošto je \(c \neq 0 \), onda \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako je \(-\frac(c)(a)>0\), tada jednačina ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) da riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +bx=0 sa \(b \neq 0 \) faktoriramo njenu lijevu stranu i dobijemo jednačinu
\(x(ax+b)=0 \Strelica desno \levo\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \Strelica desno \levo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno.

To znači da nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako riješiti kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Rešimo kvadratnu jednačinu u opšti pogled i kao rezultat dobijamo formulu za korijene. Ova formula se zatim može koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Rešimo kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0

Podijelivši obje strane sa a, dobijamo ekvivalentnu redukovanu kvadratnu jednačinu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformirajmo ovu jednačinu odabirom kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strelica desno \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” na latinskom - diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći diskriminantnu notaciju, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje je \(D= b^2-4ac \)

Očigledno je da:
1) Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, u zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili nema korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći ovaj formule, preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminanta pozitivna ili jednaka nuli, onda koristite formulu za korijen ako je diskriminanta negativna, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadata kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Svaka redukovana kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\left\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)

IN modernog društva sposobnost izvođenja operacija sa jednadžbama koje sadrže varijablu na kvadrat može biti korisna u mnogim područjima aktivnosti i široko se koristi u praksi u znanstvenim i tehnički razvoj. Dokaz za to se može naći u dizajnu morskih i riječnih plovila, aviona i raketa. Koristeći takve proračune, određuju se putanje kretanja velikog broja tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri sa rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektovanju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Možda će biti potrebni u planinarska putovanja, na sportskim priredbama, u trgovinama tokom kupovine iu drugim vrlo čestim situacijama.

Podijelimo izraz na njegove sastavne faktore

Stepen jednačine je određen maksimalnom vrijednošću stepena varijable koju izraz sadrži. Ako je jednako 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratnom.

Ako govorimo jezikom formula, onda se navedeni izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti u oblik kada se lijeva strana izraza sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (tj. varijabla na kvadratu sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani jednako je 0. U slučaju kada takvom polinomu nedostaje jedan od njegovih sastavnih članova, sa izuzetkom ose 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednačina. Prvo treba razmotriti primjere s rješavanjem takvih problema, vrijednosti varijabli u kojima je lako pronaći.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani, tačnije ax 2 i bx, najlakši način da pronađete x je stavljanjem varijable iz zagrada. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Zatim, postaje očigledno da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. Ovo je diktirano jednim od svojstava množenja. Pravilo kaže da proizvod dva faktora rezultira 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobijamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednačine ove vrste mogu opisati kretanje tijela pod uticajem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene tačke uzete kao ishodište koordinata. Evo matematička notacija ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane sa 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje prolazi od trenutka kada se tijelo diže do trenutka kada pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućava rješavanje ovih problema u složenijim slučajevima. Pogledajmo primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo, transformirajmo izraz i činimo ga faktorima. Ima ih dva: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućavaju ovoj metodi da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada se desna strana rastavlja na faktore s promjenljivom, postoje tri od njih, odnosno (x+1), (x-3) i (x+ 3).

Kao rezultat, postaje očigledno da zadata jednačina ima tri korijena: -3; -1; 3.

Square Root

Drugi slučaj nepotpune jednačine drugog reda je izraz predstavljen jezikom slova na način da desnu stranu je konstruisan od komponenti ax 2 i c. Ovdje, da bi se dobila vrijednost varijable, slobodni član se prenosi na desnu stranu, a nakon toga se iz obje strane jednakosti izdvaja kvadratni korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednačine. Jedini izuzetak mogu biti jednakosti koje uopće ne sadrže pojam sa, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada je desna strana negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednačina ovog tipa.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Proračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se još u antičko doba, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima u velikoj mjeri bio određen potrebom da se s najvećom preciznošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Trebalo bi razmotriti i primjere rješavanja kvadratnih jednačina zasnovanih na problemima ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravougaona parcela čija je dužina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći dužinu, širinu i obim lokacije ako znate da je njegova površina 612 m 2.

Za početak, krenimo prvo potrebnu jednačinu. Označimo sa x širinu površine, tada će njena dužina biti (x+16). Iz napisanog proizilazi da je površina određena izrazom x(x+16), koji je, prema uslovima našeg zadatka, 612. To znači da je x(x+16) = 612.

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se raditi na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov proizvod uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste različite metode.

Diskriminantno

Prije svega, napravimo potrebne transformacije izgled ovog izraza će izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a=1, b=16, c=-612.

Ovo bi mogao biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta. Ovdje se vrše potrebni proračuni prema šemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna veličina ne samo da omogućava pronalaženje traženih količina u jednačini drugog reda, već određuje i broj mogućih opcija. Ako je D>0, postoje dva; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminanta je jednaka: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo sugerira da naš problem ima odgovor. Ako znate k, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućava vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se dimenzije parcele ne mogu mjeriti u negativnim veličinama, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18 +16=34, a obod 2(34+18)=104(m2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo naše proučavanje kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih bit će dati u nastavku.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Premjestimo sve na lijevu stranu jednakosti, izvršimo transformaciju, odnosno dobićemo onu vrstu jednačine koja se obično naziva standardnom i izjednačiti je sa nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Zbrajanjem sličnih odredimo diskriminanta: D = 49 - 48 = 1. To znači da će naša jednadžba imati dva korijena. Izračunajmo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) A sada da riješimo misterije druge vrste.

Hajde da saznamo ima li ovdje korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili sveobuhvatan odgovor, smanjimo polinom na odgovarajući uobičajeni oblik i izračunajmo diskriminant. U gornjem primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednačinu, jer to uopće nije suština problema. U ovom slučaju, D = 16 - 20 = -4, što znači da zaista nema korijena.

Vietin teorem

Pogodno je rješavati kvadratne jednadžbe koristeći gornje formule i diskriminant, kada se iz vrijednosti potonjeg uzme kvadratni korijen. Ali to se ne dešava uvijek. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina da se dobiju vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Ime je dobila po nekome ko je živio u Francuskoj u 16. veku i napravio briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret se može vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz uočio bio je sljedeći. On je dokazao da se korijeni jednadžbe numerički sabiraju na -p=b/a, a njihov proizvod odgovara q=c/a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Koristimo Vietin teorem, ovo će nam dati sljedeće: zbir korijena je -7, a njihov proizvod je -18. Odavde dobijamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli zaista uklapaju u izraz.

Parabola graf i jednadžba

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe su usko povezani. Primjeri za to su već navedeni ranije. Pogledajmo sada neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednačina opisanog tipa može se vizualno prikazati. Takav odnos, nacrtan kao graf, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno tačku iz koje izlaze njene grane. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuelni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući one kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u tačkama gdje se linija grafikona seče sa 0x. Koordinate vrha se mogu pronaći pomoću formule koja je upravo data x 0 = -b/2a. I zamjenom rezultirajuće vrijednosti u originalnu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole, koja pripada osi ordinate.

Presjek grana parabole sa osom apscise

Postoji mnogo primjera rješavanja kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Pogledajmo ih. Jasno je da je presjek grafa sa 0x osom za a>0 moguć samo ako 0 ima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole možete odrediti i korijene. Vrijedi i suprotno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući tačke preseka sa 0x osom, lakše je konstruisati graf.

Iz istorije

Koristeći jednadžbe koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima nisu samo pravili matematičke proračune i određivali površine geometrijskih figura. Drevnima su takvi proračuni bili potrebni za velika otkrića u oblastima fizike i astronomije, kao i za pravljenje astroloških prognoza.

Kao što moderni naučnici sugerišu, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su rešili kvadratne jednačine. To se dogodilo četiri veka pre naše ere. Naravno, njihovi proračuni su se radikalno razlikovali od onih koji su trenutno prihvaćeni i ispali su mnogo primitivniji. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Nisu im bile poznate i druge suptilnosti koje zna svaki savremeni školarac.

Možda čak i ranije od babilonskih naučnika, mudrac iz Indije Baudhayama počeo je rješavati kvadratne jednačine. To se dogodilo oko osam vekova pre Hristove ere. Istina, jednačine drugog reda, metode za rješavanje koje je on dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, za slična pitanja nekada su se zanimali i kineski matematičari. U Evropi su kvadratne jednačine počele da se rešavaju tek početkom 13. veka, ali su ih kasnije u svojim radovima koristili veliki naučnici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Diskriminant je pojam sa više vrijednosti. U ovom članku ćemo govoriti o diskriminantu polinoma, koji vam omogućava da odredite da li dati polinom ima valjana rješenja. Formula za kvadratni polinom nalazi se u školskom kursu algebre i analize. Kako pronaći diskriminanta? Šta je potrebno za rješavanje jednačine?

Kvadratni polinom ili jednačina drugog stepena naziva se i * w ^ 2 + j * w + k jednako 0, gdje su "i" i "j" prvi i drugi koeficijent, redom, "k" je konstanta, ponekad se naziva "odbacivajući termin", a "w" je varijabla. Njegov korijen će biti sve vrijednosti varijable na kojoj se pretvara u identitet. Takva se jednakost može prepisati kao umnožak i, (w - w1) i (w - w2) jednak 0. U ovom slučaju, očigledno je da ako koeficijent “i” ne postane nula, onda funkcija na lijeva strana će postati nula samo ako x uzme vrijednost w1 ili w2. Ove vrijednosti su rezultat postavljanja polinoma na nulu.

Da bi se pronašla vrijednost varijable pri kojoj kvadratni polinom nestaje, koristi se pomoćna konstrukcija koja se gradi na njenim koeficijentima i naziva se diskriminant. Ovaj dizajn se izračunava prema formuli D je jednako j * j - 4 * i * k. Zašto se koristi?

1. To govori da li postoje validni rezultati.
2. Ona im pomaže u izračunavanju.

Kako ova vrijednost pokazuje prisustvo pravih korijena:

• Ako je pozitivan, onda se u području realnih brojeva mogu naći dva korijena.
• Ako je diskriminanta nula, tada su oba rješenja ista. Možemo reći da postoji samo jedno rješenje, i to iz oblasti realnih brojeva.
• Ako je diskriminant manji od nule, tada polinom nema realnih korijena.

Mogućnosti proračuna za osiguranje materijala

Za zbir (7 * w^2; 3 * w; 1) jednak 0 Izračunavamo D pomoću formule 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, dobijamo -19. Diskriminantna vrijednost ispod nule ukazuje da nema rezultata na stvarnoj liniji.

Ako smatramo da je 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekvivalentno 0, tada se D izračunava kao (-3) na kvadrat minus proizvod brojeva (4; 2; 1) i jednako je 9 - 8, odnosno 1. Pozitivna vrijednost označava dva rezultata na realnoj pravoj.

Ako uzmemo zbir (w ^ 2; 2 * w; 1) i izjednačimo ga sa 0, D se izračunava kao dva na kvadrat minus proizvod brojeva (4; 1; 1). Ovaj izraz će se pojednostaviti na 4 - 4 i otići na nulu. Ispostavilo se da su rezultati isti. Ako pažljivo pogledate ovu formulu, bit će vam jasno da je ovo "potpuni kvadrat". To znači da se jednakost može prepisati u obliku (w + 1) ^ 2 = 0. Postalo je očigledno da je rezultat u ovom zadatku “-1”. U situaciji u kojoj je D jednako 0, lijeva strana jednakosti se uvijek može skupiti pomoću formule „kvadrata zbira“.

Korištenje diskriminanta u izračunavanju korijena

Ova pomoćna konstrukcija ne samo da pokazuje broj stvarnih rješenja, već i pomaže u njihovom pronalaženju. Opća formula za izračunavanje za jednačinu drugog stepena je:

w = (-j +/- d) / (2 * i), gdje je d diskriminanta na stepen 1/2.

Recimo da je diskriminant ispod nule, tada je d imaginaran i rezultati su imaginarni.

D je nula, tada je d jednako D na stepen 1/2 također nula. Rješenje: -j / (2 * i). Ponovo uzimajući u obzir 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nalazimo rezultate ekvivalentne -2 / (2 * 1) = -1.

Pretpostavimo da je D > 0, tada je d realan broj, a odgovor se ovdje rastavlja na dva dijela: w1 = (-j + d) / (2 * i) i w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Oba rezultata će biti važeća. Pogledajmo 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Ovdje su diskriminanta i d jedinice. Ispada da je w1 jednako (3 + 1) podijeljeno sa (2 * 2) ili 1, a w2 jednako (3 - 1) podijeljeno sa 2 * 2 ili 1/2.

Rezultat izjednačavanja kvadratnog izraza sa nulom izračunava se prema algoritmu:

1. Određivanje broja valjanih rješenja.
2. Izračun d = D^(1/2).
3. Pronalaženje rezultata prema formuli (-j +/- d) / (2 * i).
4. Zamjena dobijenog rezultata u izvornu jednakost radi provjere.

Neki posebni slučajevi

U zavisnosti od koeficijenata, rješenje može biti donekle pojednostavljeno. Očigledno, ako je koeficijent varijable na drugi stepen nula, onda se dobija linearna jednakost. Kada je koeficijent varijable na prvi stepen nula, tada su moguće dvije opcije:

1. polinom se proširuje u razliku kvadrata kada je slobodni član negativan;
2. za pozitivnu konstantu ne mogu se naći prava rješenja.

Ako je slobodni član nula, tada će korijeni biti (0; -j)

Ali postoje i drugi posebni slučajevi koji pojednostavljuju pronalaženje rješenja.

Redukovana jednačina drugog stepena

Dato se zove takav kvadratni trinom, gdje je koeficijent vodećeg člana jedan. Za ovu situaciju je primjenjiv Vietin teorem, koji kaže da je zbir korijena jednak koeficijentu varijable na prvi stepen, pomnožen sa -1, a proizvod odgovara konstanti "k".

Dakle, w1 + w2 je jednako -j i w1 * w2 je jednako k ako je prvi koeficijent jedan. Da biste provjerili ispravnost ove reprezentacije, možete izraziti w2 = -j - w1 iz prve formule i zamijeniti je u drugu jednakost w1 * (-j - w1) = k. Rezultat je originalna jednakost w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Važno je napomenuti, da se i * w ^ 2 + j * w + k = 0 može postići dijeljenjem sa “i”. Rezultat će biti: w^2 + j1 * w + k1 = 0, gdje je j1 jednako j/i, a k1 jednako k/i.

Pogledajmo već riješeno 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 sa rezultatima w1 = 1 i w2 = 1/2. Moramo ga podijeliti na pola, kao rezultat w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Provjerimo da li su uslovi teoreme tačni za pronađene rezultate: 1 + 1/2 = 3/ 2 i 1*1/2 = 1 /2.

Čak i drugi faktor

Ako je faktor varijable na prvi stepen (j) djeljiv sa 2, tada će biti moguće pojednostaviti formulu i tražiti rješenje kroz četvrtinu diskriminante D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. ispada w = (-j +/- d/2) / i, gdje je d/2 = D/4 na stepen 1/2.

Ako je i = 1, a koeficijent j je paran, tada će rješenje biti proizvod -1 i polovine koeficijenta varijable w, plus/minus korijen kvadrata ove polovine minus konstanta “k”. Formula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Viši diskriminirajući poredak

Diskriminanta trinoma drugog stepena o kojoj smo gore raspravljali je najčešće korišten specijalni slučaj. U opštem slučaju, diskriminant polinoma je pomnoženi kvadrati razlika korijena ovog polinoma. Dakle, diskriminant jednak nuli ukazuje na prisustvo najmanje dva višestruka rješenja.

Uzmimo i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Pretpostavimo da diskriminanta prelazi nulu. To znači da postoje tri korijena u području realnih brojeva. Na nuli postoji više rješenja. Ako je D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Naš video će vam detaljno reći o izračunavanju diskriminanta.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.