Francuski matematičar je rešio problem popločavanja aviona. Primjeri nerješivih problema: problem postavljanja pločica Problemi vannastavnih aktivnosti

mjesto ili prostor iza mosta.

Za svoje studente sam predložio jedan način rješavanja problema o neperiodičnom popločavanju ravni likovima istog oblika. Proveo sam studiju dvojice naučnika sa Univerziteta Duke (SAD) i svidjela mi se verzija neperiodičnog mozaika koji u potpunosti prekriva ravan, koristeći pločice istog oblika.

Prvi set pločica sastojao se od 20.426 komada, koje je predstavio Robert Berger 1966. godine. Nakon nekog vremena smanjio je njihov broj na 104. Sedamdesetih godina dvadesetog stoljeća Penrose je predstavio rješenje svojim mozaikom i koristio 2 različite figure. Pronašao sam zanimljivo rješenje od Dmitrija Safina, koji je za svoj mozaik koristio jednu figuru - pravilan šesterokut. Prilikom polaganja takvih pločica, crne linije se ne smiju prekidati, a zastavice na vrhovima šesterokuta, koji se nalaze na udaljenosti, jednaka dužini jedna strana pločica (označena strelicama na slici) treba da bude okrenuta u istom pravcu. Ovdje su korištene dvije različite boje: druga se dobiva reflektiranjem prve u odnosu na okomitu liniju. Međutim, možete bez druge opcije bojanja ako pločicu napravite trodimenzionalnom. Popločavanje aviona takvim pločicama (prikazano na jednoj od slika ispod) radi lakše prezentacije, one zastavice na šesterokutima koji gledaju lijevo su ovdje zamijenjene ljubičastim linijama, a zastavice drugih vrsta su zamijenjene crvenom.

Navedeni su i primjeri pločica koje proizvode neperiodične pločice uzimajući u obzir samo njihov oblik: u ovom slučaju nema potrebe za uspostavljanjem pravila povezivanja povezana s bojanjem. U 2D verziji ove pločice se sastoje od nekoliko izoliranih područja, ali u 3D verziji svi njihovi dijelovi su međusobno povezani.

Zatim sam pogledao još jednu zanimljivu metodu postavljanja pločica od matematičara iz Australija John Taylor i Joshua Socolar. Oni su uspjeli riješiti takozvani problem jedne pločice. Jedan od najvecih jednostavni primjeri– heksagonalno popločavanje, kada je ravnina, poput saća, sastavljena od šesterokuta koji su spojeni sa strane. U heksagonalnom slučaju, ovo je, na primjer, vektor koji povezuje centre susjednih ćelija koje imaju šest uglova. U procesu novog rada, matematičari su riješili problem strukture neperiodične pločice koristeći samo jednu pločicu. Model rezultirajuće ćelije je heksagonalni, ali zahvaljujući posebnoj boji, pločice se ispostavljaju neperiodične. Pored dvodimenzionalnog problema, matematičari nude i trodimenzionalni analog sopstvenog rezultata.

Osim praktične primjene, teorija teselacije je izvor inspiracije za umjetnike. Na primjer, Maurits Escher (umjetnik iz Nizozemske) stvorio je cijele slike koristeći neobične teselacije. Njegova slika “Osam glava” zasnovana je na pravougaonoj teselaciji. Ovaj umjetnik je napravio crteže na osnovu geometrijski oblici, gdje možete pratiti upotrebu popločavanja figura i to ne samo kod jedne figure, već i kod mnogih drugih. Učenici su cijenili ljepotu popločanja različitim figurama, donijeli veliki izbor umjetnikovih crteža i pokušali da urade zadatke u obliku crteža.

Ispod su različiti crteži na datu temu.

Iz istorije

Kvazikristal - čvrsto tijelo koje karakteriše simetrija, u klasičnom, i prisustvo . Posjeduje zajedno sa diskretnom slikom.

Kvazikristali su prvi put uočeni u eksperimentima na brzo ohlađenom Al 6 Mn, koji su izvedeni, za koje je i nagrađen. Prva kvazikristalna legura koju je otkrio zvala se "šehtmanit" ( Shechtmanite). Šehtmanov članak nije dva puta prihvaćen za objavljivanje i na kraju je objavljen u skraćenom obliku u saradnji sa poznatim stručnjacima I. Blechom, D. Gratiasom i J. Kahnom, koje je privukao. Rezultirajući difrakcijski uzorak sadržavao je tipične oštre () vrhove, ali je sveukupno imao točkasti ikosaedar, odnosno imao je os simetrije petog reda, što je nemoguće u trodimenzionalnoj periodičnoj rešetki. Eksperiment difrakcije u početku je omogućio objašnjenje neobičnog fenomena difrakcijom na više kristalnih blizanaca spojenih u zrnca ikosaedralne simetrije. Međutim, ubrzo su suptilniji eksperimenti dokazali da je simetrija kvazikristala prisutna na svim skalama, sve do , a neobične supstance su zaista nova struktura organizacije materije.

Kasnije se ispostavilo da su fizičari naišli na kvazikristale mnogo prije njihovog službenog otkrića, posebno kada su proučavali kvazikristale dobivene iz zrna u legurama tijekom godina. Međutim, u to vrijeme, ikosaedrski kvazikristali su pogrešno identificirani kao veliki kubični kristali. Predviđanja o postojanju strukture u kvazikristalima dao je Maki.

Trenutno su poznate stotine tipova kvazikristala koji imaju tačkastu simetriju ikosaedra, kao i deset, osam i dvanaesterokut.

Atomski model kvazikristala Al-Pd-Mn

STRUKTURA

Deterministički i entropijski stabilizirani kvazikristali

Postoje dvije hipoteze o tome zašto su kvazikristali (meta-)stabilne faze. Prema jednoj hipotezi, stabilnost je uzrokovana činjenicom da je unutrašnja energija kvazikristala minimalna u poređenju sa drugim fazama, kao rezultat toga, kvazikristali bi trebali biti stabilni čak i na temperaturi apsolutnoj nuli; Ovakvim pristupom ima smisla govoriti o određenim pozicijama atoma u idealnoj kvazikristalnoj strukturi, odnosno radi se o determinističkom kvazikristalu. Druga hipoteza sugerira odlučujući doprinos u stabilnost. Entropijski stabilizirani kvazikristali su fundamentalno nestabilni na niskim temperaturama. Trenutno nema razloga vjerovati da su pravi kvazikristali stabilizirani isključivo zbog entropije.

Višedimenzionalni opis

Deterministički opis strukture kvazikristala zahtijeva specificiranje položaja svakog atoma, a odgovarajući model strukture mora reproducirati eksperimentalno uočeni uzorak difrakcije. Općeprihvaćeni način opisivanja takvih struktura koristi se činjenicom da se tačkasta simetrija, zabranjena za kristalnu rešetku u trodimenzionalnom prostoru, može dozvoliti u prostoru veće dimenzije D. Prema takvim modelima strukture, atomi u kvazikristalu nalaze se na presjeku nekog (simetričnog) trodimenzionalnog podprostora R D (koji se naziva fizički podprostor) sa periodično lociranim mnogostrukostima sa granicom dimenzije D-3, transverzalnom na fizički podprostor.

"Pravila izgradnje"

Višedimenzionalni opis ne daje odgovor na pitanje koliko je lokalan može stabilizirati kvazikristal. Kvazikristali imaju strukturu koja je paradoksalna sa stanovišta klasične kristalografije, predviđena iz teorijskih razmatranja (). Teorija Penroseovih mozaika omogućila je da se odmakne od uobičajenih ideja o kristalografskim grupama Fedorova (zasnovanih na periodičnom popunjavanju prostora).

METALURGIJA

Proizvodnja kvazikristala je komplicirana činjenicom da su svi ili metastabilni ili nastali iz taline čiji se sastav razlikuje od sastava čvrste faze().

PRIRODNO

Pronađene stijene sa prirodnim kvazikristalima Fe-Cu-Al godine 1979. Međutim, tek 2009. godine naučnici su utvrdili ovu činjenicu. 2011. godine objavili su članak u kojem su rekli da je ovaj kvazikristal vanzemaljskog porijekla. U ljeto 2011. godine, tokom ekspedicije u Rusiju, mineralozi su pronašli nove uzorke prirodnih kvazikristala.

NEKRETNINE

U početku su eksperimentatori uspjeli ući u vrlo uzak "temperaturni jaz" i dobiti kvazikristalne materijale s neobičnim novim svojstvima. Međutim, kasnije su otkriveni kvazikristali u Al-Cu-Li i drugim sistemima, koji mogu biti stabilni do i rasti na gotovo , kao obični kristali.

U kvazikristalima je, nasuprot tome, anomalno visok na niskim temperaturama, a opada s povećanjem temperature. U slojevitim kvazikristalima, duž ose električni otpor se ponaša kao u normalnom metalu, au kvazikristalinim slojevima na gore opisan način.

Magnetna svojstva. Većina su kvazikristalne -, ali legure sa -.

Kvazikristali su bliži elastičnim svojstvima amorfnih supstanci od kristalnih. Odlikuju se nižim vrijednostima u odnosu na kristale. Međutim, kvazikristali su manji od kristala sličnih po sastavu i vjerovatno će igrati ulogu u metalnim legurama.

QUASI CRYSTAL

posebna vrsta pakovanja atoma u čvrstu supstancu, koju karakteriše ikosaedarska (tj. sa osama 5. reda) simetrija, dalekosežni orijentacioni red i odsustvo translacione simetrije svojstvene običnomkristalno stanje. Kvazikristal nazvan po paket atoma je otvoren u brzo ohlađenoj metalnoj leguri Al 6 Mn (1984), a zatim otkriven u Al-Fe, Ni-Ti, itd. sistemima. Regular imaju trodimenzionalnu periodičnost u rasporedu atoma, isključujući mogućnost postojanja osi simetrije 5. reda. U amorfnom (staklastom) stanju moguće su lokalne grupe atoma sa ikosaedarskom simetrijom, ali u cijelom volumenu amorfnog tijela nema dalekosežnog reda u rasporedu atoma, ni translacijskog ni orijentacijskog. K. se može smatrati srednjim. vrsta atomskog uređenja između istinski kristalnog i staklastog. Dvodimenzionalni model K. su pakovanja (“parketi”) rombova sa uglom vrha od 360°/5 = 72° sa osama simetrije 5. reda: u ovom slučaju praznine se popunjavaju drugim rombovima sa ugao vrha od 360°/10 = 36° (Penrose uzorak, sl. 1); kombinacije ovih rombova daju jednake dekagone. Ugaona orijentacija svih elemenata parketa se ponavlja u cijeloj ravnini, to je dalekometni orijentacijski red, ali ne postoji pravi translacijski dalekometni red (iako postoji približna periodičnost duž određenih pravaca).

Rice. 1 . Dvodimenzionalno model kvazikristal ( istaknuto decagons).

Rice . 2. Elementi strukture kvazikristala od pet tetraedara: fragment ikosaedra (a), 32 - vertex triacontahedron(6 ).

Pakovanje atoma u trodimenzionalnom prostoru K. može se opisati na osnovu poliedara koji sadrže ose reda 5, ili fragmenata takvih poliedara. Na sl. 2, a prikazana je karakteristika K. fragmenticosaedron

(12 - samit - dvadesetostrano sa simetrijom tačke 53m), koji se sastoji od 5 tetraedara. Da bi 6 verteksnih atoma i centralni formirali bliski paket, poluprečnik centralnog atoma mora biti nešto manji od poluprečnika sekundarnog atoma; na primjer, u Al 6 Mn atomski radijus Mn je 0,130 nm, Al - 0,143 nm. Fragmenti atomske strukture K. Mogu postojati i trodimenzionalni analozi Penroseovih obrazaca - akutni i tupi romboedri sa uglovima vrhova od 63, 43 ° i 116, 57 °, od kojih se može sastaviti poliedar - triakontaedar sa simetričnim vrhovima 53m (sl. 2 , 6 ). Pakovanje atoma u K. može se posmatrati poremećaji slični dislokaciji (vidi Defekti ). TO . tip Al 6 Mn može biti smatrati kao metastabilne faze. Međutim, postoji K struktura. tip legure Al-Li-Cu-Mn, dobijen polaganim hlađenjem taline, je očigledno ravnotežan. Trenutno vreme razvijati fizički teorije kvazikristalni. države .

Lako je popločati avion parketom od pravilnih trokuta, kvadrata ili šesterokuta (ispod popločavanje Razumijemo ovaj raspored u kojem se vrhovi svake figure primjenjuju samo na vrhove susjednih figura i ne postoji situacija kada se vrh primjenjuje na stranu). Primjeri takvih pločica prikazani su na Sl. 1.

Rice. 1. Pločice u ravnini: i - jednakostranični trouglovi, ii - kvadrati, iii - pravilni heksagoni

Nema drugog ispravnog n-neće biti moguće pokriti ravan sa uglovima bez praznina i preklapanja. Evo kako to objasniti. Kao što je poznato, zbir unutrašnjih uglova bilo kojeg n-gon je jednak ( n– 2) 180°. Zato što su svi uglovi pravi n-gons su identični, tada je mjera stepena svakog ugla . Ako se ravan može popločiti takvim figurama, onda se na svakom vrhu konvergira k poligoni (za neke k). Zbir uglova na ovom vrhu mora biti 360°, dakle . Nakon nekoliko jednostavnih transformacija, ova jednakost se pretvara u ovo: . Ali, kao što je lako provjeriti, posljednja jednadžba ima samo tri para rješenja, ako pretpostavimo da n I k prirodni brojevi: k = 3, n = 6; k = 4, n= 4 ili k = 6, n= 3. Ovi parovi brojeva tačno odgovaraju onima prikazanim na Sl. 1 popločavanje.

Koji se drugi poligoni mogu koristiti za popločavanje ravnine bez praznina ili preklapanja?

Zadatak

a) Dokažite da se bilo koji trougao može koristiti za popločavanje ravni.

b) Dokažite da se bilo koji četverougao (i konveksan i nekonveksan) može koristiti za popločavanje ravni.

c) Navedite primjer petougla koji se može koristiti za popločavanje ravnine.

d) Navedite primjer šestougla koji se ne može koristiti za popločavanje ravnine.

e) Navedite primjer n-kvadrat za bilo koji n> 6, koji se može koristiti za asfaltiranje aviona.

Hints

1) U tačkama a), c), e) možete pokušati napraviti "trake" od identičnih figura, koje se onda lako mogu koristiti za popločavanje cijele ravnine.

Korak b): Presavijte dva identična četverougla u šestougao čije su suprotne strane paralelne u parovima. Sa ovim šesterokutima je prilično lako popločiti ravninu.

Tačka d): koristite činjenicu da zbir uglova na svakom vrhu mora biti jednak 360°.

2) U tački e) možete pokušati postupiti drugačije: malo promijenite postojeće figure tako da se dobiju nove teselacije.

Rješenje

Primjeri odgovora prikazani su na slikama.

A):

Rice. 2

b):

Rice. 3

c) Pentagon u obliku kuće će učiniti:

Rice. 4

d) Neće biti moguće popločati ravan sa takvim šesterokutima: jednostavno nijedan dio takvog šestougla neće u potpunosti stati u „izrezani“ ugao. Ovo je jasno vidljivo u ćelijama:

Rice. 5

Možete smisliti mnoge druge šesterokute koji se ne mogu koristiti za popločavanje ravnine.

e) Evo primjera dvanaestougla koji se može koristiti za popločavanje ravnine. Ova metoda popločavanja dobijena je kao modifikacija uobičajene kvadratne rešetke (vidi sliku 1, ii iz uslova):

Rice. 6

Problem oblaganja ravnine identičnim figurama bez praznina ili preklapanja poznat je od davnina. Jedan od njegovih posebnih slučajeva je pitanje šta mogu biti parketi (tj. popločavanje ravnine pravilni poligoni, a ne nužno isto) i, posebno, ispravne parkete. Ispravan parket ima sledeću osobinu: uz pomoć paralelnih prenosa (pomeranja bez rotacija), koji prebacuju parket u sebe, možete kombinovati unapred odabrani čvor sa bilo kojim drugim čvorom parketa. Na sl. 1 od uvjeta pokazuje samo pravi parket.

Rice. 9."Giant's Causeway" (Sjeverna Irska). Fotografija sa ru.wikipedia.org

Generalizacija našeg problema - popločavanje prostora - moderna važna grana kristalografije, koja igra važnu ulogu u integrisanoj optici i laserskoj fizici.

Čudno je da su do relativno nedavnog vremena bile poznate samo periodične teselacije (koje su potpuno kompatibilne sa sobom nakon nekog pomaka i njegovih ponavljanja). Međutim, 1974. godine engleski naučnik Roger Penrose

Rice. 11. M. C. Escher, "Reptili", 1946 ( lijevo) i "Leptiri", 1950

Parketi i mozaici se također nalaze u likovne umjetnosti. Možda su najpoznatiji radovi Holanđanina M.K. Escher (M. C. Escher).

Zašto neki ljudski organi dolaze u paru (npr. pluća, bubrezi), dok drugi dolaze u jednoj kopiji?

Kaustike su sveprisutne optičke površine i krive koje nastaju refleksijom i lomom svjetlosti. Kaustike se mogu opisati kao linije ili površine duž kojih se koncentrišu svjetlosni zraci.

Šabat G.B.

Sada znamo o strukturi Univerzuma otprilike onoliko koliko su drevni ljudi znali o površini Zemlje. Tačnije, znamo da je mali dio Univerzuma koji je dostupan našim zapažanjima strukturiran na isti način kao i mali dio trodimenzionalnog euklidskog prostora. Drugim riječima, živimo na trodimenzionalnoj mnogostrukosti (3-mnogostrukosti).

Viktor Lavrus

Osoba razlikuje predmete oko sebe po njihovom obliku. Interes za oblik predmeta može biti diktiran životnom nužnošću, ili može biti uzrokovan ljepotom oblika. Forma, koja se zasniva na kombinaciji simetrije i zlatnog preseka, promoviše najbolju vizuelnu percepciju i pojavu osećaja lepote i harmonije. Cjelina se uvijek sastoji od dijelova, dijelovi različitih veličina su u određenom odnosu jedni prema drugima i prema cjelini. Princip zlatnog preseka je najviša manifestacija strukturalnog i funkcionalnog savršenstva celine i njenih delova u umetnosti, nauci, tehnologiji i prirodi.

Dokumentarac "Dimenzije" je dva sata matematike koja vas postepeno vodi u četvrtu dimenziju.

Sergey Stafeev

Najzahtjevniji zadatak starih naroda bio je orijentacija u prostoru i vremenu. U tu svrhu, od pamtivijeka, čovječanstvo je podizalo brojne megalitske građevine - kromlehe, dromose, dolmene i menhire. Izmišljeni su nevjerovatno genijalni uređaji koji su omogućili računanje vremena s točnošću od minuta ili vizualizaciju smjera s greškom ne većom od pola stepena. Pokazaćemo kako su na svim kontinentima ljudi pravili zamke za sunčeve zrake, gradili hramove, kao da su "nanizani" na astronomske pravce, kopali nagnute tunele za dnevno posmatranje zvezda, ili podizali obeliske gnomona. Nevjerovatno, naši daleki preci, na primjer, uspjeli su pratiti ne samo sunčeve ili lunarne sjene, već čak i sjenu Venere.

Misliti nezamislivo i biti uvjeren da je još uvijek zamislivo je fenomen geometrije.

A.D.Alexandrov

klasa: 8-9

Ciljevi:

• Formiranje i razvoj ideja učenika o novim matematičkim objektima i matematičkim pojmovima.
• Razvijanje kreativnog interesovanja za matematiku.
• Proširivanje matematičkih horizonata učenika.
• Negovanje dobre volje i uzajamne pomoći pri zajedničkom radu.

Ciljevi vannastavnih aktivnosti:

• Praktična primjena matematičkih znanja u proučavanju novih matematičkih objekata.
• Razvoj logičkog mišljenja i istraživačkih vještina.
• Uvod u primenu novih stečenih znanja u savremenoj nauci.
• Postavljanje pitanja za dalje proučavanje teme.

Priprema: rad u grupama, svaka grupa priprema modele pravilnih mnogouglova, kao i kopije proizvoljnih trouglova i četvorouglova.

Oblici organizovanja studentskog rada: frontalni, grupni.

Oblici organizovanja rada nastavnika: liderstvo, organizaciona, koordinacija.

specifikacije: multimedijalni ured.

Korištena oprema: kompjuter, projektor, platno, CD.

Prezentacija “Parketi – popločavanje aviona poligonima.”

Napredak lekcije.

Parketi su privlačili pažnju ljudi od davnina. Prekrivali su podove, prekrivali zidove prostorija, ukrašavali fasade zgrada, koristili su se u dekorativnoj i primijenjenoj umjetnosti.
Iako izučavanje parketa nije uključeno u školski program matematike, interesovanje za ovu temu pojavilo se nakon rješavanja jednostavnog školskog zadatka: „Dokaži da je od identičnih pločica u obliku jednakokrakog trapeza moguće napraviti parket koji u potpunosti pokriva bilo koji dio aviona.” Koji se drugi poligoni mogu koristiti za popločavanje ravnine?

Ispravni parketi

Parket Ovo se zove popločavanje ravni sa poligonima u kojoj je cijela ravan pokrivena ovim poligonima i bilo koja dva poligona ili imaju zajedničku stranu, ili imaju zajednički vrh, ili nemaju zajedničke tačke.

Parket se zove ispravan, ako se sastoji od jednakih pravilnih poligona.
Primjeri ispravnog parketa bili su poznati Pitagorejcima. Ispunjavaju ravan sa: kvadratima, jednakostraničnim trouglovima, pravilnim šestouglovima.

Zadatak za studente: Od dostupnih modela pravilnih poligona napravite obične parkete.

Pobrinimo se da nijedan drugi pravilan poligon ne formira parket. I ovdje nam je potrebna formula za zbir uglova poligona. Ako je parket od n-gons, tada će na svakom tjemenu parketa doći do konvergencije k = 360°/ a n poligoni, gdje a n – ugao ispravan n-gon. Lako je to pronaći a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120° i 120°<a n < 180° при n > 7. Dakle, 360° je podijeljeno ravnomjerno sa a n samo kada n = 3; 4; 6.
Zanimljivo je da između pravilnog trougla, kvadrata i pravilnog šestougla, s obzirom na obim, najveća površina ima šestougao. Ova okolnost u prirodi dovodi do toga da pčelinje saće imaju oblik pravilnih šestougaonika, budući da pčele pri izgradnji saća instinktivno nastoje da ih učine što prostranijim, a koriste što manje voska.

Poluobični parketi.

Proširimo metode za izradu parketa od pravilnih poligona, dopuštajući korištenje pravilnih poligona s različitim brojem stranica, ali na način da se oko svakog vrha pravilni poligoni poredaju istim redoslijedom. Takvi parketi se zovu semi-regular.

Studentski zadatak: koristite dostupne modele pravilnih poligona za izradu polupravilnih parketa.

Da bi se saznao broj polupravilnih parketa, potrebno je analizirati moguće slučajeve rasporeda pravilnih poligona oko zajedničkog vrha. Da bismo to učinili, označimo sa a 1 ,a 2 ... su uglovi pravilnih poligona koji imaju zajednički vrh. Složimo ih u rastućem redoslijedu a 1 < a 2 < … S obzirom da zbir svih takvih uglova mora biti jednak 360°, sastavit ćemo tabelu koja sadrži moguće skupove uglova i naznačiti odgovarajuće parkete.
Dakle, ukupno ima 11 običnih i polupravilnih parketa.

Planigons

Razmotrimo još jednu generalizaciju - parkete napravljene od kopija proizvoljnog poligona, ispravnih "po rubovima" (tj. koji pretvaraju bilo koju datu pločicu u bilo koju drugu). Poligoni koji mogu biti pločice u ovim parketima se nazivaju planigons.
Jasno je da se ravan može položiti kopijama proizvoljnog trougla, ali je manje očigledno da je proizvoljni četverougao planigon. Isto važi i za svaki šestougao čije su suprotne strane jednake i paralelne.

Studentski zadatak: koristite dostupne kopije proizvoljnih trokuta i četverokuta za izradu parketa.

Svi gore navedeni parketi su periodični, odnosno u svakom od njih moguće je odabrati (pa čak i na mnogo načina) područje sastavljeno od nekoliko pločica, od kojih se paralelnim pomacima dobiva cijeli parket.
Interes naučnika za takve strukture objašnjava se činjenicom da periodične pločice, posebno prostorne, modeliraju kristalne strukture.

Pitanje za budućnost: Postoje li neperiodične pločice?

Umjesto zaključka

Posebno je zanimljivo stvaranje vlastitih parketa - popunjavanje ravnine identičnim figurama (elementima parketa) koristeći, na primjer, aksijalnu simetriju i paralelno prevođenje. Glavna stvar je da se konstrukcija zasniva na poligonu, jednake veličine elementu parketa.

Domaći. Kreirajte parket koji vam se sviđa na bilo koji način: od papira u boji do kompjuterske tehnologije.

Spisak korišćene literature:

1. Atanasyan L.S. i dr. Geometrija, 7-9 – M.: Obrazovanje, 2010.
2. Atanasyan L.S. itd. Geometrija: Dodaj. poglavlja za školu udžbenik 8. razred: Udžbenik. priručnik za učenike škole. i cl. sa dubinom studirao matematike. – M.: Obrazovanje, 1996.
3. Atanasyan L.S. itd. Geometrija: Dodaj. poglavlja za školu udžbenik 9. razred: Udžbenik. priručnik za učenike škole. i cl. sa dubinom studirao matematike. – M.: Obrazovanje, 1997.
4. Kolmogorov A.N. Parketi od pravilnih poligona.//Kvant, 1970, br. 3.
5. Smirnov V.A. Kompjuterska pomoć geometriji //Matematika: Tjedni nastavni i metodički prid. na gas "Prvi septembar." – 2003, br. 21.
6. Sovertkov P.I. i dr. Geometrijski parket na ekranu računara.//Informatika i obrazovanje, 2000, br.
7. Enciklopedija za djecu. T.11.Matematika/Glavni urednik. M.D.Aksenova. – M.: Avanta+, 2008.

Da bi istražili i opisali volumen, ljudi koriste metodu projektovanja volumetrijskog tijela na ravan. To izgleda otprilike ovako:

Znajući kako izgledaju projekcije, možete prepoznati, istražiti i konstruirati pravi trodimenzionalni objekt.

Ovo je istraživačka metoda uobičajena u klasičnoj kristalografiji. Istraživači prvo proučavaju jednu projekciju ili ravan, "popločajući je" proračunatim elementima čvrsto kao parket, a istovremeno proučavaju simetriju i druge karakteristike u popločanoj ravni.

Tada je cijeli trodimenzionalni volumen ispunjen ovim ravnima, baš kao što knjige pune kubičnu kutiju za pakovanje. Ova metoda se naziva metoda popločavanja.

Interes za popločavanje nastao je u vezi sa izradom mozaika, ornamenata i drugih uzoraka na bazi pravilnih poliedara: trokuta, kvadrata i heksaedra.

Nikada nije bilo moguće popločiti avion iz pravilnog pentagona ili pentagona. Ostavlja praznine - nepopunjene pukotine. I stoga se u klasičnoj kristalografiji peterokutna simetrija do danas smatra zabranjenom.

I konačno, pronađena je takva metoda.

Godine 1976., engleski matematičar Roger Penrose, aktivno radeći u različitim oblastima matematike, opšte teorije relativnosti i kvantne teorije, dao je matematički opis "Penroseovog mozaika" nazvanog po njemu.

Omogućila je, uz pomoć samo dvije pločice vrlo jednostavnog oblika, da se poploči beskrajna ravan s uzorkom koji se nikada ne ponavlja.

Da bismo razumjeli matematičku suštinu "Penrose dijamanata", okrenimo se pentagramu.

U svom najjednostavnijem obliku, "Penrose pločice" su skup od dvije vrste dijamantskih oblika, od kojih neki imaju unutrašnji ugao od 36°, a drugi imaju unutrašnji ugao od 72°. Svaki se sastoji od dva trokuta koji ispunjavaju odgovarajući model pentagrama.

Omjeri elemenata pentagrama u potpunosti odražavaju Fibonačijevu zlatnu proporciju. Njegova osnova je iracionalni broj = 1,6180339...

Penroseova ideja o gusto ispunjavanju ravni uz pomoć "zlatnih" rombova pretvorena je u trodimenzionalni prostor.

U ovom slučaju, ulogu “Penroseovih rombova” u novim prostornim strukturama mogu imati ikosaedri i dodekaedri.

Bio je to prekrasan nalaz, samo jedan od mnogih izuma bistrog i upornog uma Rodžera Penrouza, koji je fasciniran prostornim paradoksima. Ovdje je prisutno njegovo besprijekorno razumijevanje Fibonačijevog zlatnog omjera, što je njegovo istraživanje približilo umjetnosti.

I upravo je to poslužilo kao osnova za dalja istraživanja i otkriće kvazikristala u hemijskim laboratorijama i novo, kreativnije razumijevanje trodimenzionalnog prostora, kako za nauku tako i za umjetnost.

Jedan od upečatljivih primjera kreativnog istraživanja koji mi je privukao pažnju bila je mlada slovenačka umjetnica Matyushka Teija Krašek.

Diplomirala je slikarstvo na Visokoj školi likovnih umjetnosti (Ljubljana, Slovenija). Njen teorijski i praktični rad se fokusira na simetriju kao koncept premošćavanja između umjetnosti i nauke.

Njeni radovi su predstavljeni na mnogim međunarodnim izložbama i objavljeni u međunarodnim časopisima .

M.T. Krašek na izložbi „Kaleidoskopski mirisi“, Ljubljana, 2005

Umjetnička kreativnost Majke Teie Krashek povezana je sa raznim vrstama simetrije, Penrose pločicama i rombovima, kvazikristalima, zlatnim rezom kao glavnim elementom simetrije, Fibonačijevim brojevima itd.

Uz pomoć refleksije, mašte i intuicije pokušava pronaći nove odnose, nove nivoe strukture, nove i različite vrste reda u tim elementima i strukturama.

U svom radu uveliko koristi kompjutersku grafiku kao veoma koristan alat za kreiranje umjetničkih djela, koja je spona između nauke, matematike i umjetnosti.

Ako odaberemo jedan od Fibonačijevih brojeva (na primjer, 21 cm) za dužinu strane Penrose dijamanta u ovoj opipljivo nestabilnoj kompoziciji, možemo uočiti kako dužine nekih od segmenata u kompoziciji formiraju Fibonačijev niz.

Veliki broj umjetnikovih umjetničkih kompozicija posvećen je Šehtmanovim kvazikristalima i Penroseovim rešetkama.

U ovim nevjerovatnim kompozicijama, manifestacije kružne simetrije mogu se uočiti u odnosu između Penroseovih rombova:

Svaka dva susjedna Penrose dijamanta formiraju petougaonu zvijezdu. Možete vidjeti Dekagon formiran ivicama 10 susjednih Penroseovih rombova, stvarajući novi pravilni poliedar.

A na posljednjoj slici postoji beskonačna interakcija Penroseovih rombova - pentagrama, pentagona, koji se smanjuju prema središnjoj tački kompozicije. Zlatni omjeri su predstavljeni na mnogo različitih načina na različitim skalama.

Umjetničke kompozicije Majke Teie Krashek privukle su veliku pažnju predstavnika nauke i umjetnosti.

Penrose mozaik je odličan primjer kako lijepa konstrukcija, smještena na raskrsnici različitih disciplina, nužno pronalazi vlastitu primjenu.

Primjer popločavanja na hiperboličnoj ravni

Francuski matematičar Michael Rao sa Univerziteta u Lionu završio je rješenje problema popločavanja ravni konveksnim poligonima. Preprint rada može se naći na stranici naučnika.

Poligon se naziva konveksan ako su svi njegovi uglovi manji od 180 stepeni ili, što je isto, uz bilo koji par tačaka, takav poligon sadrži i segment koji ih povezuje. Problem postavljanja pločica (koji se naziva i problem parketa) formuliran je na sljedeći način: neka je ravan podijeljena na poligone tako da bilo koja dva poligona ili nemaju zajedničke točke ili imaju samo zajedničke granične točke. Ako su svi poligoni takve particije isti (to jest, jedan se može prevesti u drugi kompozicijom translacije, rotacije ili aksijalne simetrije), onda se kaže da poligon popločava ravninu. Problem ide ovako: opišite sve konveksne poligone koji popločaju ravan.

Koristeći neko kombinatorno razmišljanje, može se dokazati da takav poligon može imati samo 3, 4, 5 ili 6 strana. Lako je provjeriti da li se ravan može popločiti bilo kojim trouglom i četverouglom. Više o tome možete pročitati u našem materijalu.

Da bismo opisali sve šesterokute, označimo njihove uglove kao A, B, C, D, E, F, a njihove stranice kao a, b, c, d, e, f. U ovom slučaju pretpostavljamo da je strana a susjedna kutu A na desnoj strani i sve strane i uglovi su imenovani u smjeru kazaljke na satu. Šezdesetih godina dokazano je da svi šesterokuti koji se mogu koristiti za popločavanje ravni pripadaju barem jednoj od tri klase (klase se ovdje seku; recimo, pravilan šesterokut pripada sve tri):

1. A + B + C = 360
2. A + B + D = 360, a = d, c = e
3. A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Svih 15 poznatih peterokutnih teselacija

Najteži slučaj je petougaoni parket. Matematičar Karl Reinhardt je 1918. godine opisao pet klasa takvih parketa, od kojih je najjednostavnija bila klasa pentagona uz uslov da postoji stranica čiji je zbir susjednih uglova jednak 180 stepeni. Godine 1968. Robert Kershner je pronašao još tri takva razreda, a 1975. Richard James je pronašao još jednu. Jedan časopis je pisao o Jamesovom otkriću Scientific American,Članak je vidjela američka domaćica i matematičarka amaterka Marge Rice, koja je ručno pronašla još 5 porodica tijekom 10 godina.

Najnoviji napredak u problemu postavljanja pločica dogodio se u avgustu 2015. Zatim su matematičari sa Univerziteta Washington u Bothell-u pomoću kompjuterskog programa ocijenili 15 petougaonih parketa. U njegovom novi posao Michael Rao je sveo problem klasifikacije peterokutnih parketa na pretraživanje 371 opcije. Prošao je kroz opcije na kompjuteru i pokazao da ne postoji ništa osim 15 već poznatih klasa popločavanja. Tako je konačno riješio problem postavljanja pločica.

Andrey Konyaev