Bez sumnje, u našem umu slika funkcije povezana je s jednakošću i odgovarajućom linijom - grafikom funkcije. Na primjer, - funkcionalna zavisnost, čiji je graf kvadratna parabola sa vrhom u početku i granama usmjerenim prema gore; je sinusna funkcija poznata po svojim valovima.

U ovim primjerima, lijeva strana jednakosti je y, a desna je izraz koji ovisi o argumentu x. Drugim riječima, imamo riješenu jednačinu za y. Predstavljanje funkcionalne zavisnosti u obliku takvog izraza naziva se eksplicitnim specificiranjem funkcije(ili eksplicitno funkcioniraju). A ova vrsta dodjele funkcija nam je najpoznatija. U većini primjera i problema predstavljene su nam eksplicitne funkcije. Već smo detaljno govorili o diferencijaciji funkcija jedne varijable, eksplicitno specificirane.

Međutim, funkcija podrazumijeva korespondenciju između skupa vrijednosti x i skupa vrijednosti y, a ta korespondencija NIJE nužno uspostavljena bilo kojom formulom ili analitičkim izrazom. Odnosno, postoji mnogo načina da se specificira funkcija osim uobičajenog.

U ovom članku ćemo pogledati implicitne funkcije i metode za pronalaženje njihovih derivata. Primjeri funkcija koje su specificirane implicitno uključuju ili .

Kao što ste primijetili, implicitna funkcija je definirana relacijom. Ali ne definiraju sve takve relacije između x i y funkciju. Na primjer, nijedan par realnih brojeva x i y ne zadovoljava jednakost , dakle, ova relacija ne specificira implicitnu funkciju.

Može implicitno odrediti zakon korespondencije između veličina x i y, a svaka vrijednost argumenta x može odgovarati ili jednoj (u ovom slučaju imamo jednovrijednu funkciju) ili nekoliko vrijednosti funkcije (u ovom slučaju funkcija se naziva višeznačna). Na primjer, vrijednost x = 1 odgovara dvije realne vrijednosti y = 2 i y = -2 implicitno datu funkciju.

Nije uvijek moguće dovesti implicitnu funkciju u eksplicitni oblik, inače ne bi bilo potrebe da se same implicitne funkcije razlikuju. na primjer, - se ne pretvara u eksplicitni oblik, ali - se pretvara.

Sada na stvar.

Da bismo pronašli derivaciju implicitno date funkcije, potrebno je razlikovati obje strane jednakosti u odnosu na argument x, smatrajući da je y funkcija od x, a zatim izraziti.

Diferencijacija izraza koji sadrže x i y(x) vrši se pomoću pravila diferencijacije i pravila za pronalaženje izvoda kompleksne funkcije. Pogledajmo odmah nekoliko primjera u detalje, tako da nema daljnjih pitanja.

Primjer.

Razlikujte izraze u x, smatrajući y funkcijom od x.

Rješenje.

Jer y je funkcija od x, onda je kompleksna funkcija. Može se konvencionalno predstaviti kao f(g(x)), gdje je f funkcija kocke, a g(x) = y. Zatim, prema formuli derivacije složena funkcija imamo: .

Kada razlikujemo drugi izraz, uzimamo konstantu iz predznaka derivacije i postupamo kao u prethodnom slučaju (ovdje je f sinusna funkcija, g(x) = y):

Za treći izraz primjenjujemo formulu za izvod proizvoda:

Dosljedno primjenjujući pravila, razlikujemo posljednji izraz:

Sada možete prijeći na pronalaženje derivata implicitno određene funkcije, za to imate svo znanje.

Primjer.

Pronađite izvod implicitne funkcije.

Rješenje.

Izvod implicitno specificirane funkcije uvijek je predstavljen kao izraz koji sadrži x i y: . Da bismo došli do ovog rezultata, razlikujemo obje strane jednakosti:

Razriješimo rezultirajuću jednačinu u odnosu na derivaciju:

odgovor:

.

KOMENTAR.

Da bismo konsolidirali gradivo, riješimo još jedan primjer.

Prvo, pogledajmo implicitnu funkciju jedne varijable. Određuje se jednačinom (1), koja svaki x iz određenog područja X povezuje sa određenim y. Tada je na X funkcija y=f(x) određena ovom jednačinom. Zovu je implicitno ili implicitno dato. Ako se jednačina (1) može riješiti u odnosu na y, tj. dobiti oblik y=f(x), a zatim specificiranje implicitne funkcije postaje eksplicitno. Međutim, nije uvijek moguće riješiti jednadžbu, a u ovom slučaju nije uvijek jasno da li je implicitna funkcija y=f(x), definirana jednadžbom (1) u nekom susjedstvu tačke (x 0 , y 0). ), uopšte postoji.

Na primjer, jednadžba
neodlučivo je relativno i nejasno je da li definira implicitnu funkciju u nekom susjedstvu točke (1,0), na primjer. Imajte na umu da postoje jednadžbe koje ne definiraju nijednu funkciju (x 2 +y 2 +1=0).

Ispostavilo se da je tačna sljedeća teorema:

Teorema"Postojanje i diferencijabilnost implicitne funkcije" (bez dokaza)

Neka je data jednadžba
(1) i funkcija
, zadovoljava uslove:

onda:

. (2)

Geometrijski, teorema kaže da je u okolini tačke
, gdje su ispunjeni uvjeti teoreme, implicitna funkcija definirana jednadžbom (1) može se eksplicitno specificirati y=f(x), jer Za svaku vrijednost x postoji jedinstveno y. Čak i ako ne možemo naći izraz za funkciju u eksplicitnom obliku, sigurni smo da je u nekom susjedstvu tačke M 0 to već u principu moguće.

Pogledajmo isti primjer:
. Hajde da proverimo uslove:

1)
,
- i funkcija i njeni derivati ​​su neprekidni u okolini tačke (1,0) (kao zbir i proizvod kontinuiranih).

2)
.

3)
. To znači da implicitna funkcija y = f(x) postoji u susjedstvu tačke (1,0). Ne možemo to eksplicitno zapisati, ali ipak možemo pronaći njegovu derivaciju, koja će čak biti kontinuirana:

Hajde sada da razmotrimo implicitna funkcija nekoliko varijabli. Neka je data jednadžba

. (2)

Ako svakom paru vrijednosti (x, y) iz određenog regiona jednačina (2) pridružuje jednu specifičnu vrijednost z, onda se kaže da ova jednadžba implicitno definira jednovrijednu funkciju dvije varijable
.

Odgovarajuća teorema za postojanje i diferencijaciju implicitne funkcije više varijabli također vrijedi.

Teorema 2: Neka je data jednadžba
(2) i funkciju
zadovoljava uslove:

Primjer:
. Ova jednadžba definira z kao dvovrijednu implicitnu funkciju x i y
.

Ako proverimo uslove teoreme u blizini tačke, na primer, (0,0,1), vidimo da su svi uslovi ispunjeni:
To znači da implicitna jednoznačna funkcija postoji u okolini tačke (0,0,1): Možemo odmah reći da je ovo

, definirajući gornju hemisferu.
Postoje kontinuirani parcijalni derivati

Usput, ispostavlja se da su isti ako razlikujemo implicitnu funkciju izraženu direktno direktno.

Definicija i teorema za postojanje i diferencijaciju implicitne funkcije s više argumenata su slične. Vrlo često se pri rješavanju praktičnih problema (na primjer, u višoj geodeziji ili analitičkoj fotogrametriji) pojavljuju složene funkcije više varijabli, tj. x, y, z jedna funkcija f(x,y,z) ) su same funkcije novih varijabli ).

U, V, W To se, na primjer, dešava kada se krećete iz fiksnog koordinatnog sistema Oxyz u mobilni sistem 0 O UVW

i nazad. U ovom slučaju važno je poznavati sve parcijalne derivacije u odnosu na varijable “fiksne” – “stare” i “pokretne” – “nove”, jer ove parcijalne derivacije obično karakteriziraju položaj objekta u ovim koordinatnim sistemima, a posebno utiču na korespondenciju fotografija iz vazduha sa stvarnim objektom. U takvim slučajevima primjenjuju se sljedeće formule: To jest, data je kompleksna funkcija T ) su same funkcije novih varijabli tri "nove" varijable kroz tri "stare" varijable x, y, z,

Komentar. Može postojati varijacije u broju varijabli. Na primjer: ako

Konkretno, ako z = f(xy), y = y(x) , tada dobijamo takozvanu formulu "totalni derivat":

Ista formula za "ukupni derivat" u slučaju:

će poprimiti oblik:

Moguće su i druge varijacije formula (1.27) - (1.32).

Napomena: formula „totalni izvod” se koristi u predmetu fizike, odeljak „Hidrodinamika” kada se izvodi osnovni sistem jednačina kretanja fluida.

Primjer 1.10. Dato:

Prema (1.31):

§7 Parcijalni izvod implicitno date funkcije nekoliko varijabli

Kao što je poznato, implicitno specificirana funkcija jedne varijable definirana je na sljedeći način: funkcija nezavisne varijable x naziva se implicitnim ako je dat jednadžbom koja nije riješena u odnosu na y :

Primjer 1.11.

Jednačina

implicitno specificira dvije funkcije:

I jednadžba

ne specificira nijednu funkciju.

Teorema 1.2 (postojanje implicitne funkcije).

Neka funkcija z =f(x,y) i njegove parcijalne derivate f" x I f" y definiran i kontinuiran u nekom susjedstvu U M0 bodova M 0 (x 0 y 0 ) . osim toga, f(x 0 ,y 0 )=0 I f"(x 0 ,y 0 )≠0 , tada jednačina (1.33) definira u susjedstvu U M0 implicitna funkcija y=y(x) , kontinuirano i diferencibilno u određenom intervalu D centriran u tački x 0 , i y(x 0 )=y 0 .

Nema dokaza.

Iz teoreme 1.2 slijedi da na ovom intervalu D :

odnosno postoji identitet u

gdje se "ukupni" derivat nalazi prema (1.31)

To jest, (1.35) daje formulu za pronalaženje derivacije implicitno date funkcije jedne varijable x .

Implicitna funkcija dvije ili više varijabli definirana je slično.

Na primjer, ako u nekom području V prostor To se, na primjer, dešava kada se krećete iz fiksnog koordinatnog sistema vrijedi sljedeća jednačina:

onda pod nekim uslovima na funkciji F on implicitno definira funkciju

Štaviše, po analogiji sa (1.35), njeni parcijalni derivati ​​se nalaze na sledeći način.

Neka funkcija bude specificirana implicitno koristeći jednadžbu
(1) .
I neka ova jednadžba, za neku vrijednost, ima jedinstveno rješenje.
.
Neka je funkcija diferencijabilna funkcija u točki , i
(2) .

Zatim, na ovoj vrijednosti, postoji izvod, koji je određen formulom:

Dokaz
.
Da biste to dokazali, razmotrite funkciju kao kompleksnu funkciju varijable:
(3) :
.
Primijenimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije i pronađemo derivaciju u odnosu na varijablu s lijeve i desne strane jednačine
(4) ;
.

Budući da je derivacija konstante nula i , Onda

Formula je dokazana.

Derivati ​​višeg reda
(4) .
Prepišimo jednačinu (4) koristeći različite oznake:
;
.
U isto vrijeme i složene su funkcije varijable:
(1) .

Pronalazimo derivaciju u odnosu na varijablu s lijeve i desne strane jednačine (4).
Prema formuli za izvod kompleksne funkcije imamo:
;
.
Prema formuli derivata proizvoda:

.
Koristeći formulu izvedenog zbira:


.

Pošto je derivacija desne strane jednačine (4) jednaka nuli, onda
(5) .
Zamjenom izvoda ovdje dobijamo vrijednost izvoda drugog reda u implicitnom obliku.

Diferencirajući jednadžbu (5) na sličan način, dobijamo jednačinu koja sadrži izvod trećeg reda:
.
Zamjenjujući ovdje pronađene vrijednosti derivata prvog i drugog reda, nalazimo vrijednost derivata trećeg reda.

Nastavljajući diferencijaciju, može se pronaći derivat bilo kojeg reda.

Primjeri

Primjer 1

Pronađite izvod prvog reda funkcije date implicitno jednadžbom:
(P1) .

Rješenje po formuli 2

Izvod nalazimo pomoću formule (2):
(2) .

Pomerimo sve varijable na lijevu stranu tako da jednačina dobije oblik .
.
Odavde.

Nalazimo derivaciju u odnosu na , smatrajući je konstantnom.
;
;
;
.

Pronalazimo derivaciju u odnosu na varijablu, s obzirom na konstantu varijable.
;
;
;
.

Koristeći formulu (2) nalazimo:
.

Rezultat možemo pojednostaviti ako primijetimo da prema izvornoj jednadžbi (A.1), .
.
Zamenimo:
.

Pomnožite brojilac i imenilac sa:

Rešenje drugog načina

Riješimo ovaj primjer na drugi način. Da bismo to učinili, naći ćemo izvod u odnosu na varijablu lijeve i desne strane izvorne jednačine (A1).
.
Primjenjujemo:
;
.
Primjenjujemo formulu izvedenog razlomka:
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije:
(P1) ;
;
.
Razlikujemo originalnu jednačinu (A1).
;
.

Množimo sa i grupišemo pojmove.
.
Zamijenimo (iz jednačine (A1)):
.

Pomnoži sa:

Odgovori

Primjer 2
Pronađite izvod drugog reda funkcije date implicitno koristeći jednadžbu: .

(A2.1)

Rješenje
;
.
Originalnu jednačinu razlikujemo s obzirom na varijablu, s obzirom da je ona funkcija:
.

Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.
;
.
Hajde da razlikujemo originalnu jednačinu (A2.1):
.
Iz originalne jednačine (A2.1) slijedi da .
;
Zamenimo: .
Otvorite zagrade i grupirajte članove:
(A2.2) .

Nalazimo izvod prvog reda:
;
;
;
.
(A2.3)
.
Zamijenimo (iz jednačine (A1)):

;
.
Da bismo pronašli izvod drugog reda, diferenciramo jednačinu (A2.2).

Pomnoži sa:

Zamijenimo izraz za izvod prvog reda (A2.3):

Odavde nalazimo derivat drugog reda.
Primjer 3 .

(A2.1)

Pronađite izvod trećeg reda funkcije date implicitno koristeći jednadžbu:
;
;
;
;
;
;
(A3.1) ;

Mi razlikujemo originalnu jednačinu s obzirom na varijablu, uz pretpostavku da je funkcija od .
;
;
;
;
;
(A3.2) .

Izdiferencirajmo jednačinu (A3.2) s obzirom na varijablu .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Hajde da izdiferenciramo jednačinu (A3.3).
;
;
.

Derivat funkcije specificirane implicitno.
Derivat parametarski definirane funkcije

U ovom članku ćemo pogledati još dva tipične zadatke, koji se često nalaze u testovi By višu matematiku. Da biste uspješno savladali gradivo, morate biti u stanju pronaći derivate barem na srednjem nivou. Možete naučiti pronaći derivate praktično od nule u dvije osnovne lekcije i Derivat kompleksne funkcije. Ako su vaše vještine razlikovanja u redu, idemo.

Derivat funkcije specificirane implicitno

Ili, ukratko, derivat implicitne funkcije. Šta je implicitna funkcija? Prisjetimo se prvo same definicije funkcije jedne varijable:

Jedna varijabla funkcija je pravilo prema kojem svaka vrijednost nezavisne varijable odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti funkcije.

Varijabla se poziva nezavisna varijabla ili argument.
Varijabla se poziva zavisna varijabla ili funkcija .

Do sada smo gledali funkcije definirane u eksplicitno formu. šta to znači? Hajde da provedemo debrifing koristeći konkretne primjere.

Razmotrite funkciju

Vidimo da na lijevoj strani imamo usamljenog "igrača", a na desnoj - samo "X". Odnosno, funkcija eksplicitno izraženo kroz nezavisnu varijablu.

Pogledajmo još jednu funkciju:

Ovdje su varijable pomiješane. Štaviše nemoguće na bilo koji način izraziti “Y” samo kroz “X”. Koje su to metode? Prenošenje pojmova iz dijela u dio s promjenom predznaka, njihovo micanje iz zagrada, bacanje faktora prema pravilu proporcije, itd. Prepišite jednakost i pokušajte eksplicitno izraziti “y”: . Možete satima vrtiti i okretati jednačinu, ali nećete uspjeti.

Dozvolite mi da vas predstavim: – primjer implicitna funkcija.

U toku matematičke analize dokazano je da je implicitna funkcija postoji(međutim, ne uvijek), ima graf (baš kao "normalna" funkcija). Implicitna funkcija je potpuno ista postoji prvi izvod, drugi izvod itd. Kako kažu, poštuju se sva prava seksualnih manjina.

I u ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije specificirane implicitno. Nije tako teško! Sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija ostaju na snazi. Razlika je u jednom neobičnom trenutku, koji ćemo sada pogledati.

Da, i reći ću vam dobru vijest - zadaci o kojima se govori u nastavku izvode se prema prilično strogom i jasnom algoritmu bez kamena ispred tri staze.

Primjer 1

1) U prvoj fazi pričvršćujemo poteze na oba dijela:

2) Koristimo pravila linearnosti derivacije (prva dva pravila lekcije Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja):

3) Direktna diferencijacija.
Kako razlikovati je potpuno jasno. Šta raditi tamo gdje su "igre" ispod poteza?

- samo do sramote, derivacija funkcije je jednaka njenom izvodu: .

Kako razlikovati
Evo nas složena funkcija. Zašto? Čini se da ispod sinusa postoji samo jedno slovo "Y". Ali činjenica je da postoji samo jedno slovo "y" - JE SAMA FUNKCIJA(vidi definiciju na početku lekcije). Dakle, sinus je eksterna funkcija i unutrašnja je funkcija. Koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Proizvod razlikujemo prema uobičajenom pravilu :

Imajte na umu da je – također složena funkcija, svaka "igra sa zvonima i zviždaljkama" je složena funkcija:

Samo rješenje bi trebalo izgledati otprilike ovako:


Ako postoje zagrade, proširite ih:

4) Na lijevoj strani skupljamo pojmove koji sadrže “Y” sa prostim brojem. IN desnu stranu– prenesite sve ostalo:

5) Na lijevoj strani vadimo izvod iz zagrada:

6) I prema pravilu proporcije ove zagrade ispuštamo u nazivnik desne strane:

Izvod je pronađen. Spreman.

Zanimljivo je napomenuti da se bilo koja funkcija može implicitno prepisati. Na primjer, funkcija može se prepisati ovako: . I razlikovati ga koristeći algoritam o kojem smo upravo govorili. Zapravo, fraze “implicitna funkcija” i “implicitna funkcija” razlikuju se u jednoj semantičkoj nijansi. Izraz "implicitno specificirana funkcija" je općenitiji i ispravniji, – ova funkcija je navedena implicitno, ali ovdje možete izraziti “igru” i eksplicitno predstaviti funkciju. Izraz “implicitna funkcija” odnosi se na “klasičnu” implicitnu funkciju kada se “y” ne može izraziti.

Drugo rješenje

Pažnja! S drugom metodom možete se upoznati samo ako možete pouzdano pronaći parcijalni derivati. Početnici u računici i lutke, molim nemojte čitati i preskočiti ovu tačku, inače će ti glava biti potpuni nered.

Nađimo izvod implicitne funkcije koristeći drugu metodu.

Pomeramo sve pojmove na lijevu stranu:

I razmotrite funkciju dvije varijable:

Tada se naš izvod može pronaći pomoću formule
Nađimo parcijalne derivate:

ovako:

Drugo rješenje vam omogućava da izvršite provjeru. Ali nije preporučljivo da napišu konačnu verziju zadatka, jer se parcijalni izvod savladavaju kasnije, a student koji proučava temu „Izvod funkcije jedne varijable“ još ne bi trebao znati parcijalne izvode.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Dodajte poteze na oba dijela:

Koristimo pravila linearnosti:

Pronalaženje derivata:

Otvaranje svih zagrada:

Sve pojmove sa pomjerimo na lijevu stranu, a ostale na desnu:

Konačan odgovor:

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno da razlomci nastaju nakon diferencijacije. U takvim slučajevima morate se riješiti razlomaka. Pogledajmo još dva primjera.

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Oba dijela stavljamo pod crte i koristimo pravilo linearnosti:

Razlikujte koristeći pravilo za diferenciranje složene funkcije i pravilo diferencijacije količnika :

Proširivanje zagrada:

Sada se trebamo riješiti razlomka. To se može učiniti kasnije, ali je racionalnije to učiniti odmah. Nazivnik razlomka sadrži . Pomnožite na . Detaljno, to će izgledati ovako:

Ponekad se nakon diferencijacije pojavljuju 2-3 frakcije. Ako bismo imali drugi razlomak, na primjer, tada bi operaciju trebalo ponoviti - množiti svaki pojam svakog dijela on

Na lijevoj strani stavljamo ga iz zagrada:

Konačan odgovor:

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije date implicitno

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Jedina stvar je da prije nego što se riješite razlomka, prvo ćete se morati riješiti trokatne strukture samog razlomka. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Derivat parametarski definirane funkcije

Da ne naglašavamo, sve u ovom odlomku je takođe prilično jednostavno. Možete zapisati opšta formula parametarski definisana funkcija, ali, da bi bilo jasno, odmah ću zapisati konkretan primjer. U parametarskom obliku, funkcija je data sa dvije jednačine: . Često se jednadžbe ne pišu pod vitičastim zagradama, već uzastopno: , .

Varijabla se naziva parametar i može uzeti vrijednosti od "minus beskonačnost" do "plus beskonačnost". Razmotrite, na primjer, vrijednost i zamijenite je u obje jednačine: . Ili ljudskim riječima: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." On koordinatna ravan možete označiti tačku i ta tačka će odgovarati vrijednosti parametra. Slično, možete pronaći točku za bilo koju vrijednost parametra “te”. Što se tiče "regularne" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije, također se poštuju sva prava: možete graditi graf, pronaći derivate itd. Usput, ako trebate nacrtati graf parametarski definirane funkcije, možete koristiti moj program.

U najjednostavnijim slučajevima, funkciju je moguće eksplicitno predstaviti. Izrazimo parametar iz prve jednadžbe: – i zamijeni ga u drugu jednačinu: . Rezultat je obična kubična funkcija.

U "težim" slučajevima ovaj trik ne funkcionira. Ali nije važno, jer postoji formula za pronalaženje derivacije parametarske funkcije:

Pronalazimo derivat "igre s obzirom na varijablu te":

Sva pravila diferencijacije i tablica derivacija vrijede, naravno, za slovo , dakle, nema novina u procesu pronalaženja derivata. Samo mentalno zamijenite sva "X" u tabeli sa slovom "Te".

Nalazimo derivaciju "x u odnosu na varijablu te":

Sada ostaje samo da nađene derivate zamijenimo u našu formulu:

Spreman. Izvod, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.

Što se tiče notacije, umjesto da je upišemo u formulu, moglo bi se jednostavno napisati bez indeksa, jer je ovo „regularni“ derivat „u odnosu na X“. Ali u literaturi uvijek postoji opcija, tako da neću odstupiti od standarda.

Primjer 6

Koristimo formulu

u ovom slučaju:

ovako:

Posebna karakteristika nalaženja derivacije parametarske funkcije je činjenica da u svakom koraku korisno je pojednostaviti rezultat što je više moguće. Dakle, u razmatranom primjeru, kada sam ga pronašao, otvorio sam zagrade ispod korijena (iako to možda nisam učinio). Postoji velika šansa da će se prilikom zamjene u formulu mnoge stvari dobro smanjiti. Iako, naravno, ima primjera sa nespretnim odgovorima.

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije specificirane parametarski

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

U članku Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama pogledali smo primjere u kojima smo trebali pronaći drugi izvod funkcije. Za parametarski definiranu funkciju možete pronaći i drugi izvod, a on se nalazi pomoću sljedeće formule: . Sasvim je očigledno da da biste pronašli drugi izvod, prvo morate pronaći prvi izvod.

Primjer 8

Naći prvi i drugi izvod funkcije zadane parametarski

Prvo, pronađimo prvi derivat.
Koristimo formulu

u ovom slučaju:

Pronađene derivate zamjenjujemo u formulu. Radi pojednostavljenja koristimo trigonometrijsku formulu: