Formula jednadžbe linearne regresije. Pronađite parametre linearne regresijske jednačine i dajte ekonomsku interpretaciju koeficijenta regresije

Servisni zadatak. Uz pomoć online usluge možete pronaći:

• parametri jednadžbe linearna regresija y=a+bx , linearni koeficijent korelacije sa testom njegove važnosti;
• čvrstoća povezanosti pomoću indikatora korelacije i determinacije, OLS-procjena, statička pouzdanost regresijskog modeliranja korištenjem Fisherovog F-testa i Studentovog t-testa, interval povjerenja prognoza za nivo značajnosti α

Jednačina parne regresije se odnosi na regresiona jednadžba prvog reda. Ako ekonometrijski model sadrži samo jednu eksplanatornu varijablu, tada se naziva regresija u paru. Regresiona jednadžba drugog reda I regresiona jednačina trećeg reda odnose se na jednačine nelinearne regresije.

Primjer. Odaberite zavisnu (objašnjenu) i objašnjavajuću varijablu da biste izgradili upareni regresijski model. Daj. Odredite teorijsku jednadžbu regresije para. Procijeniti adekvatnost izgrađenog modela (interpretirati R-kvadrat, t-statistiku, F-statistiku).
Rješenjeće se zasnivati ​​na proces ekonometrijskog modeliranja.
Faza 1 (etapiranje) – određivanje konačnih ciljeva modeliranja, skupa faktora i indikatora koji učestvuju u modelu i njihove uloge.
Specifikacija modela - definicija svrhe studije i izbor ekonomskih varijabli modela.
Situacijski (praktični) zadatak. Za 10 preduzeća u regionu proučavamo zavisnost proizvodnje po radniku y (hiljadu rubalja) od udela visokokvalifikovanih radnika u ukupnom broju radnika x (u %).
Faza 2 (a priori) - analiza pre modela ekonomska suština fenomena koji se proučava, formiranje i formalizacija apriornih informacija i početnih pretpostavki, posebno vezanih za prirodu i genezu početnih statističkih podataka i slučajnih rezidualnih komponenti u obliku niza hipoteza.
Već u ovoj fazi možemo govoriti o jasnoj zavisnosti nivoa veštine radnika i njegovog učinka, jer što je radnik iskusniji, to je veća njegova produktivnost. Ali kako procijeniti ovu ovisnost?
Pair Regression je regresija između dvije varijable - y i x, tj. model oblika:

Gdje je y zavisna varijabla (rezultantni znak); x je nezavisna, ili objašnjavajuća, varijabla (znak-faktor). Znak "^" znači da ne postoji stroga funkcionalna zavisnost između varijabli x i y, stoga se u gotovo svakom pojedinačnom slučaju vrijednost y sastoji od dva člana:

gdje je y stvarna vrijednost efektivne karakteristike; y x je teorijska vrijednost efektivne karakteristike, koja se nalazi na osnovu jednačine regresije; ε je slučajna varijabla koja karakterizira odstupanja stvarne vrijednosti rezultirajuće karakteristike od teorijske vrijednosti pronađene regresionom jednadžbom.
Grafički ćemo prikazati zavisnost regresije između učinka po radniku i udjela visokokvalificiranih radnika.

3. faza (parametrizacija) - stvarno modeliranje, tj. izbor opšti pogled model, uključujući sastav i oblik odnosa između varijabli uključenih u njega. Izbor tipa funkcionalne zavisnosti u regresijskoj jednačini naziva se parametrizacija modela. Izaberi jednadžba regresije para, tj. samo jedan faktor će uticati na konačni rezultat y.
4. faza (informativna) - prikupljanje potrebnih statističkih informacija, tj. registracija vrijednosti faktora i indikatora koji učestvuju u modelu. Uzorak se sastoji od 10 industrijskih preduzeća.
Faza 5 (identifikacija modela) – procjena nepoznatih parametara modela korištenjem dostupnih statističkih podataka.
Za određivanje parametara modela koristimo se MNC - metoda najmanjih kvadrata . Sistem normalnih jednačina će izgledati ovako:
a n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x 2 = ∑y x
Da bismo izračunali parametre regresije, napravićemo proračunsku tabelu (Tabela 1).

x	y	x2	y2	x y
10	6	100	36	60
12	6	144	36	72
15	7	225	49	105
17	7	289	49	119
18	7	324	49	126
19	8	361	64	152
19	8	361	64	152
20	9	400	81	180
20	9	400	81	180
21	10	441	100	210
171	77	3045	609	1356

Uzimamo podatke iz tabele 1 (zadnji red), kao rezultat imamo:
10a + 171b = 77
171 a + 3045 b = 1356
Ovaj SLAE se rješava Cramer metodom ili metodom inverzne matrice.
Dobijamo koeficijente empirijske regresije: b = 0,3251, a = 2,1414
Empirijska regresijska jednadžba ima oblik:
y = 0,3251 x + 2,1414
Faza 6 (verifikacija modela) - poređenje stvarnih i modelskih podataka, provjera adekvatnosti modela, procjena tačnosti podataka modela.
Analiza se vrši korišćenjem

Uparena linearna regresija

RADIONICA

Uparena linearna regresija: radionica. -

Studij ekonometrije podrazumeva sticanje iskustva studenata u izgradnji ekonometrijskih modela, donošenju odluka o specifikaciji i identifikaciji modela, odabiru metode za procenu parametara modela, proceni njegovog kvaliteta, interpretaciji rezultata, dobijanju prediktivnih procena itd. Radionica će pomoći studentima steknu praktične vještine u ovim pitanjima.

Odobreno od strane uredničkog i izdavačkog vijeća

Sastavio: M.B. Perova, doktor ekonomskih nauka, prof

Opće odredbe

Ekonometrijsko istraživanje počinje teorijom koja uspostavlja odnose između pojava. Iz čitavog niza faktora koji utiču na efektivno svojstvo izdvajaju se najznačajniji faktori. Nakon što se utvrdi postojanje veze između proučavanih karakteristika, utvrđuje se tačan oblik ovog odnosa pomoću regresiona analiza.

Regresiona analiza sastoji se u definiciji analitičkog izraza (u definiciji funkcije), u kojem je promjena jedne vrijednosti (rezultantnog atributa) posljedica utjecaja nezavisne vrijednosti (faktorski atribut). Ovaj odnos se može kvantificirati konstruiranjem jednadžbe regresije ili funkcije regresije.

Osnovni regresijski model je upareni (jednofaktorski) regresijski model. Pair Regression– jednačina veze dvije varijable at I X:

Gdje - zavisna varijabla (rezultantni znak);

– nezavisna, eksplanatorna varijabla (faktorski znak).

U zavisnosti od prirode promene at sa promjenom X razlikovati linearne i nelinearne regresije.

Linearna regresija

Ova funkcija regresije naziva se polinom prvog stepena i koristi se za opisivanje procesa koji se ravnomerno razvijaju u vremenu.

Imati slučajnog člana (greške regresije) povezuje se sa uticajem na zavisnu varijablu drugih faktora koji nisu uzeti u obzir u jednačini, sa mogućom nelinearnošću modela, greškama merenja, dakle, pojavom jednačina slučajne greške regresija može biti posljedica sljedećeg cilja razlozi:

1) nereprezentativnost uzorka. Model uparene regresije uključuje faktor koji nije u mogućnosti da u potpunosti objasni varijaciju u varijabli ishoda, na koju mogu u mnogo većoj mjeri utjecati mnogi drugi faktori (varijable koje nedostaju). Zaposlenost, plate mogu zavisiti, pored kvalifikacija, od nivoa obrazovanja, radnog iskustva, pola, itd.;

2) postoji mogućnost da se varijable uključene u model mogu izmjeriti greškom. Na primjer, podaci o porodičnim izdacima za hranu se prikupljaju iz evidencije učesnika ankete, od kojih se očekuje da pažljivo bilježe svoje dnevne troškove. Naravno, to može dovesti do grešaka.

Na osnovu posmatranja uzorka, procjenjuje se jednadžba regresije uzorka ( regresijska linija):

,

Gdje
– procjene parametara regresione jednadžbe (
).

Analitički oblik zavisnosti između proučavanog para obilježja (regresijska funkcija) određuje se pomoću sljedećeg metode:

Na osnovu teorijske i logičke analize priroda proučavanih pojava, njihova društveno-ekonomska suština. Na primjer, ako se proučava odnos između dohotka stanovništva i veličine depozita stanovništva u bankama, onda je očigledno da je veza direktna.

Grafička metoda kada se priroda odnosa procjenjuje vizuelno.

Ova zavisnost se može jasno vidjeti ako izgradite graf iscrtavanjem vrijednosti atributa na x-osi X, a na y-osi - vrijednosti obilježja at. Stavljanje na grafikon tačaka koje odgovaraju vrijednostima X I at, dobijamo korelaciono polje:

a) ako su tačke nasumično raspoređene po cijelom polju, to ukazuje na nepostojanje veze između ovih karakteristika;

b) ako su tačke koncentrisane oko ose koja se proteže od donjeg levog ugla do gornjeg desnog, tada postoji direktna veza između karakteristika;

c) ako su tačke koncentrisane oko ose koja ide od gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog, tada je odnos između karakteristika inverzan.

Ako povežemo tačke na korelacionom polju sa pravim segmentima, onda ćemo dobiti izlomljenu liniju sa određenim uzlaznim trendom. Ovo će biti empirijska veza ili empirijska regresijska linija. Po njegovom izgledu može se suditi ne samo o prisutnosti, već io obliku odnosa između proučavanih karakteristika.

Izgradnja jednadžbe regresije para

Konstrukcija regresione jednadžbe se svodi na procjenu njenih parametara. Ove procjene parametara mogu se pronaći na različite načine. Jedna od njih je metoda najmanjih kvadrata (LSM). Suština metode je sljedeća. Svaka vrijednost odgovara empirijskoj (opaženoj) vrijednosti . Konstruiranjem jednadžbe regresije, na primjer, jednačine pravolinijske, svaka vrijednost će odgovarati teorijskoj (izračunatoj) vrijednosti . Uočene vrijednosti ne leže tačno na liniji regresije, tj. ne poklapaju se sa . Razlika između stvarne i izračunate vrijednosti zavisne varijable se naziva ostatak:

LSM vam omogućava da dobijete takve procjene parametara, u kojima je zbir kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti efektivne karakteristike at od teorijskih , tj. zbir kvadrata ostataka, minimum:

Za linearne jednadžbe i nelinearne jednadžbe koje se svode na linearne, rješava se sljedeći sistem s obzirom na A I b:

Gdje n- veličina uzorka.

Rješavajući sistem jednačina, dobijamo vrijednosti A I b, što nam omogućava da pišemo jednadžba regresije(jednačina regresije):

Gdje je eksplanatorna (nezavisna) varijabla;

–objašnjena (zavisna) varijabla;

Regresijska linija prolazi kroz tačku ( ,) i jednakosti su ispunjene:

Možete koristiti gotove formule koje slijede iz ovog sistema jednadžbi:

Gdje - prosječna vrijednost zavisne karakteristike;

je prosječna vrijednost nezavisnog obilježja;

je aritmetička sredina proizvoda zavisnih i nezavisnih karakteristika;

je varijansa nezavisne karakteristike;

je kovarijansa između zavisnih i nezavisnih karakteristika.

Kovarijansa uzorka dvije varijable X, at naziva se prosječna vrijednost proizvoda odstupanja ovih varijabli od njihovih prosjeka

Parametar b at X je od velike praktične važnosti i naziva se koeficijent regresije. Koeficijent regresije pokazuje za koliko se jedinica u prosjeku mijenja vrijednost at X 1 jedinica njegove mjere.

Znak parametra b u regresijskoj jednadžbi para pokazuje smjer odnosa:

Ako
, tada je odnos između proučavanih indikatora direktan, tj. sa povećanjem faktorske osobine X rezultujući predznak se povećava at, i obrnuto;

Ako
, tada je odnos između proučavanih indikatora inverzan, tj. sa povećanjem predznaka faktora X efektivan znak at smanjuje i obrnuto.

Vrijednost parametra A u jednadžbi regresije para u nekim slučajevima može se tumačiti kao početna vrijednost efektivne karakteristike at. Ova interpretacija parametra A moguće samo ako je vrijednost
ima značenje.

Nakon izgradnje regresione jednadžbe, uočene vrijednosti y može se zamisliti kao:

Ostaje , kao i greške , are slučajne varijable, ali oni, za razliku od grešaka , vidljivo. Ostatak je dio zavisne varijable y, što se ne može objasniti jednadžbom regresije.

Na osnovu jednačine regresije može se izračunati teorijske vrijednosti X za bilo koje vrednosti X.

U ekonomskoj analizi često se koristi koncept elastičnosti funkcije. Funkcija elastičnosti
izračunato kao relativna promjena y na relativnu promjenu x. Elastičnost pokazuje koliko se funkcija mijenja
kada se nezavisna varijabla promijeni za 1%.

Budući da je elastičnost linearne funkcije
nije konstantan, već zavisi od X, tada se koeficijent elastičnosti obično izračunava kao prosječni indeks elastičnosti.

Koeficijent elastičnosti pokazuje za koliko posto će se vrijednost efektivnog atributa u prosjeku promijeniti u agregatu at pri promeni predznaka faktora X 1% njegove prosječne vrijednosti:

Gdje
– prosječne vrijednosti varijabli X I at u uzorku.

Procjena kvaliteta izgrađenog regresijskog modela

Kvaliteta regresijskog modela– adekvatnost izgrađenog modela početnim (posmatranim) podacima.

Za mjerenje nepropusnosti veze, tj. da biste izmjerili koliko je blizu funkcionalnoj, morate odrediti varijansu koja mjeri odstupanja at od at X i karakteriziranje rezidualne varijacije zbog drugih faktora. Oni su u osnovi indikatora koji karakterišu kvalitet regresionog modela.

Kvalitet parne regresije se određuje korišćenjem koeficijenata koji karakterišu

1) nepropusnost veze - indeks korelacije, upareni linearni koeficijent korelacije;

2) greška aproksimacije;

3) kvalitet jednačine regresije i njenih pojedinačnih parametara - srednje kvadratne greške regresione jednačine kao celine i njenih pojedinačnih parametara.

Za regresijske jednačine bilo koje vrste je definirana indeks korelacije, koji karakteriše samo tesnost korelacione zavisnosti, tj. stepen njegove aproksimacije funkcionalnoj vezi:

,

Gdje – faktorska (teorijska) varijansa;

je ukupna varijansa.

Indeks korelacije uzima vrijednosti
, pri čemu,

Ako

Ako
je odnos između karakteristika X I at je funkcionalan, što bliže do 1, uzima se u obzir bliža veza između proučavanih osobina. Ako
, onda se odnos može smatrati bliskim

Izračunavaju se varijanse potrebne za izračunavanje pokazatelja nepropusnosti veze:

Ukupna varijansa, koji mjeri ukupnu varijaciju zbog djelovanja svih faktora:

Faktorska (teorijska) varijansa, mjerenje varijacije rezultirajuće osobine at zbog djelovanja faktorskog znaka X:

Preostala disperzija, koji karakteriše varijaciju osobine at zbog svih faktora osim X(tj. sa isključenim X):

Zatim, prema pravilu sabiranja varijansi:

Kvaliteta parne sobe linearno regresija se može definirati i pomoću upareni koeficijent linearne korelacije:

,

Gdje
– kovarijansa varijabli X I at;

– standardna devijacija nezavisnog obeležja;

je standardna devijacija zavisne karakteristike.

Koeficijent linearne korelacije karakterizira čvrstoću i smjer odnosa između proučavanih karakteristika. Mjeri se unutar [-1; +1]:

Ako
- tada je odnos između znakova direktan;

Ako
- tada je odnos između znakova inverzan;

Ako
– tada nema veze između znakova;

Ako
ili
- tada je odnos između karakteristika funkcionalan, tj. karakterizira savršen spoj između X I at. Što bliže do 1, uzima se u obzir bliža veza između proučavanih osobina.

Ako se indeks korelacije (upareni linearni koeficijent korelacije) stavi na kvadrat, onda se dobije koeficijent determinacije.

Koeficijent determinacije- predstavlja udio faktorske varijanse u ukupnoj i pokazuje koliko je posto varijacija rezultirajućeg atributa at objašnjeno varijacijom faktorske osobine X:

Ne pokriva sve varijacije. at od faktorske osobine X, već samo onaj njegov dio koji odgovara jednadžbi linearne regresije, tj. emisije specifična gravitacija varijacija rezultirajuće osobine, linearno povezana sa varijacijom faktorske osobine.

Vrijednost
- udio varijacije rezultirajućeg atributa, koji regresijski model nije mogao uzeti u obzir.

Raskid tačaka u korelacionom polju može biti veoma velik, a izračunata jednačina regresije može dati veliku grešku u proceni analiziranog indikatora.

Prosječna greška aproksimacije prikazuje prosječno odstupanje izračunatih vrijednosti od stvarnih:

Maksimalna dozvoljena vrijednost je 12–15%.

Standardna greška se koristi kao mjera širenja zavisne varijable oko linije regresije.Za cijeli skup promatranih vrijednosti, standardni (rms) greška regresijske jednačine, što je standardna devijacija stvarnih vrijednosti at u odnosu na teorijske vrijednosti izračunate regresijskom jednadžbom at X .

,

Gdje
je broj stepeni slobode;

m je broj parametara jednadžbe regresije (za pravolinijske jednačine m=2).

Procijenite vrijednost prosjeka kvadratna greška možete uporediti

a) sa prosječnom vrijednošću efektivne karakteristike at;

b) sa standardnom devijacijom karakteristike at:

Ako
, onda je upotreba ove regresione jednadžbe prikladna.

Zasebno evaluirano standard (rms) greške parametara jednačine i indeksa korelacije:

;
;
.

 X- standardna devijacija X.

Provjera značaja regresione jednačine i pokazatelja nepropusnosti veze

Da bi se izgrađeni model koristio za dalje ekonomske proračune, nije dovoljno provjeriti kvalitet izrađenog modela. Također je potrebno provjeriti značajnost (važnost) procjena regresione jednačine i indikatora bliskosti veze dobijenog metodom najmanjih kvadrata, tj. potrebno je provjeriti njihovu usklađenost sa pravim parametrima odnosa.

To je zbog činjenice da pokazatelji izračunati za ograničenu populaciju zadržavaju element slučajnosti svojstven pojedinačnim vrijednostima atributa. Dakle, oni su samo procjene određene statističke pravilnosti. Potrebno je procijeniti stepen tačnosti i značajnosti (pouzdanosti, materijalnosti) parametara regresije. Ispod značaj razumjeti vjerovatnoću da vrijednost provjerenog parametra nije jednaka nuli ne uključuje vrijednosti suprotnih predznaka.

Test značajnosti– provjera pretpostavke da se parametri razlikuju od nule.

Procjena značaja uparene regresione jednačine svodi se na testiranje hipoteza o značaju regresione jednadžbe u cjelini i njenih pojedinačnih parametara ( a, b), koeficijent determinacije para ili indeks korelacije.

U ovom slučaju se može iznijeti sljedeće glavne hipotezeH 0 :

1)
– koeficijenti regresije su beznačajni i jednačina regresije je takođe beznačajna;

2)
– koeficijent determinacije para je beznačajan i regresiona jednačina je takođe beznačajna.

Alternativne (ili obrnute) su sljedeće hipoteze:

1)
– koeficijenti regresije se značajno razlikuju od nule, a konstruisana jednačina regresije je značajna;

2)
– koeficijent determinacije para se značajno razlikuje od nule i konstruisana regresiona jednačina je značajna.

Testiranje hipoteze o značaju uparene regresijske jednadžbe

Za testiranje hipoteze o statističkoj beznačajnosti regresione jednadžbe u cjelini i koeficijenta determinacije koristimo F-kriterijum(Fišerov kriterijum):

ili

Gdje k 1 = m–1 ; k 2 = n– m je broj stepeni slobode;

n je broj populacijskih jedinica;

m je broj parametara jednadžbe regresije;

– faktor disperzije;

je rezidualna varijansa.

Hipoteza se provjerava na sljedeći način:

1) ako je stvarna (uočena) vrijednost F-kriterijum je veći od kritične (tabelarne) vrijednosti ovog kriterija
, zatim sa vjerovatnoćom
odbacuje se glavna hipoteza o beznačajnosti jednačine regresije ili para koeficijenta determinacije, a regresiona jednačina se priznaje kao značajna;

2) ako je stvarna (uočena) vrijednost F-kriterijuma manja od kritične vrijednosti ovog kriterija
, zatim sa vjerovatnoćom (
) prihvata se glavna hipoteza o beznačajnosti regresione jednačine ili para koeficijenta determinacije, a konstruisana regresiona jednačina se priznaje kao beznačajna.

kritična vrijednost F- kriterijum se nalazi prema odgovarajućim tabelama u zavisnosti od nivoa značajnosti i broj stepena slobode
.

Broj stepeni slobode– indikator, koji se definiše kao razlika između veličine uzorka ( n) i broj procijenjenih parametara za ovaj uzorak ( m). Za model uparene regresije, broj stupnjeva slobode se izračunava kao
, budući da su dva parametra procijenjena iz uzorka (
).

Nivo značaja - utvrđena vrijednost
,

Gdje je vjerovatnoća povjerenja da procijenjeni parametar spada u interval pouzdanosti. Obično se uzima 0,95. Dakle je vjerovatnoća da procijenjeni parametar neće pasti u interval pouzdanosti, jednak 0,05 (5%).

Zatim, u slučaju procene značajnosti uparene regresione jednačine, kritična vrednost F-kriterijuma se izračunava kao
:

.

Testiranje hipoteze o značajnosti parametara jednadžbe regresije para i indeksa korelacije

Prilikom provjere značajnosti parametara jednačine (pretpostavka da se parametri razlikuju od nule) postavlja se glavna hipoteza o beznačajnosti dobijenih procjena (
. Kao alternativna (obrnuta) hipoteza se postavlja o značaju parametara jednačine (
).

Za testiranje predloženih hipoteza koristimo se t -kriterijum (t-statistika) Student. Uočena vrijednost t-kriterijum se poredi sa vrednošću t-kriterijum određen Studentovom raspodjelom (kritična vrijednost). kritična vrijednost t- kriterijumi
zavisi od dva parametra: nivoa značajnosti i broj stepena slobode
.

Predložene hipoteze se testiraju na sljedeći način:

1) ako je modul posmatrane vrednosti t-kriterijum je veći od kritične vrijednosti t-kriterijumi, tj.
, zatim sa vjerovatnoćom
odbacuje se glavna hipoteza o beznačajnosti parametara regresije, tj. parametri regresije nisu jednaki 0;

2) ako je modul posmatrane vrednosti t- kriterij je manji ili jednak kritičnoj vrijednosti t-kriterijumi, tj.
, zatim sa vjerovatnoćom
prihvata se glavna hipoteza o beznačajnosti parametara regresije, tj. parametri regresije se gotovo ne razlikuju od 0 ili su jednaki 0.

Procjena značajnosti koeficijenata regresije pomoću Studentovog testa vrši se poređenjem njihovih procjena sa vrijednošću standardne greške:

;

Za procjenu statističke značajnosti indeksa (linearnog koeficijenta) korelacije također se koristi t-Učenički kriterijum.

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije

Federalna agencija za obrazovanje

Država obrazovne ustanove visoko stručno obrazovanje

Sveruski dopisni institut za finansije i ekonomiju

Filijala u Tuli

Test

u disciplini "Ekonometrija"

Tula - 2010

Zadatak 2 (a, b)

Za preduzeća lake industrije dobijene su informacije koje karakterišu zavisnost obima proizvodnje (Y, miliona rubalja) od obima kapitalnih investicija (X, miliona rubalja) Tabela. 1.

X	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
Y	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

Obavezno:

1. Naći parametre jednačine linearne regresije, dati ekonomsku interpretaciju koeficijenta regresije.

2. Izračunajte ostatke; naći rezidualni zbir kvadrata; procijeniti varijansu ostataka

; ucrtajte ostatke.

3. Provjerite ispunjenost preduslova LSM-a.

4. Provjeriti značaj parametara regresione jednačine koristeći Studentov t-test (α=0,05).

5. Izračunati koeficijent determinacije, provjeriti značaj jednačine regresije koristeći Fisher F-test (α=0,05), pronaći prosječnu relativnu grešku aproksimacije. Procijenite kvalitetu modela.

6. Predvidjeti prosječnu vrijednost indikatora Y na nivou značajnosti α=0,1, ako je predviđena vrijednost faktora X 80% njegove maksimalne vrijednosti.

7. Grafički predstaviti: stvarne i modelne Y vrijednosti, prognozne tačke.

8. Sastavite jednadžbe nelinearne regresije:

hiperbolično;

snaga;

indikativno.

Dajte grafikone konstruisanih regresionih jednačina.

9. Za ove modele pronaći koeficijente determinacije i prosjek relativne greške aproksimacije. Uporedite modele prema ovim karakteristikama i izvucite zaključak.

1. Linearni model ima oblik:

Parametri jednadžbe linearne regresije mogu se pronaći pomoću formula

Proračun vrijednosti parametara prikazan je u tabeli. 2.

t	y	x	yx
1	43	33	1419	1089	42,236	0,764	0,584	90,25	88,36	0,018
2	27	17	459	289	27,692	-0,692	0,479	42,25	43,56	0,026
3	32	23	736	529	33,146	-1,146	1,313	0,25	2,56	0,036
4	29	17	493	289	27,692	1,308	1,711	42,25	21,16	0,045
5	45	36	1620	1296	44,963	0,037	0,001	156,25	129,96	0,001
6	35	25	875	625	34,964	0,036	0,001	2,25	1,96	0,001
7	47	39	1833	1521	47,69	-0,69	0,476	240,25	179,56	0,015
8	32	20	640	400	30,419	1,581	2,500	12,25	2,56	0,049
9	22	13	286	169	24,056	-2,056	4,227	110,25	134,56	0,093
10	24	12	288	144	23,147	0,853	0,728	132,25	92,16	0,036
∑	336	235	8649	6351	12,020	828,5	696,4	0,32
Avg.	33,6	23,5	864,9	635,1

Odredimo parametre linearnog modela

Linearni model ima oblik

Koeficijent regresije

pokazuje da se proizvodnja Y povećava u prosjeku za 0,909 miliona rubalja. uz povećanje obima kapitalnih ulaganja X za 1 milion rubalja.

2. Izračunajte ostatke

, rezidualni zbir kvadrata , nalazimo zaostalu varijansu koristeći formulu:

Proračuni su prikazani u tabeli. 2.

Rice. 1. Grafikon reziduala ε.

3. Provjerimo ispunjenost preduvjeta LSM-a na osnovu Durbin-Watsonovog kriterija.

0,584
2,120	0,479
0,206	1,313
6,022	1,711
1,615	0,001
0,000	0,001
0,527	0,476
5,157	2,500
13,228	4,227
2,462	0,728
31,337	12,020

d1=0,88; d2=1,32 za α=0,05, n=10, k=1.

,

To znači da određeni broj reziduala nije u korelaciji.

4. Provjerimo značaj parametara jednačine na osnovu Studentovog t-testa. (α=0,05).

za v=8; α=0,05.

Izračun vrijednosti

proizvedeno u tabeli. 2. Dobijamo:
, onda možemo zaključiti da su koeficijenti regresije a i b značajni sa vjerovatnoćom od 0,95.

5. Nađite koeficijent korelacije koristeći formulu

Proračuni će se izvršiti u tabeli. 2.

. To. odnos između obima investicije X i outputa Y može se smatrati bliskom, jer .

Koeficijent determinacije se nalazi po formuli

Tokom studija studenti se vrlo često susreću sa raznim jednačinama. Jedna od njih - jednačina regresije - razmatra se u ovom članku. Ova vrsta jednadžbe se koristi posebno za opisivanje karakteristika odnosa između matematičkih parametara. Ova vrsta jednakosti se koristi u statistici i ekonometriji.

Definicija regresije

U matematici se regresija podrazumijeva kao određena veličina koja opisuje ovisnost prosječne vrijednosti skupa podataka o vrijednostima druge veličine. Jednačina regresije pokazuje, kao funkciju određene karakteristike, prosječnu vrijednost druge karakteristike. Funkcija regresije ima oblik jednostavne jednadžbe y \u003d x, u kojoj y djeluje kao zavisna varijabla, a x je nezavisna varijabla (faktor karakteristika). U stvari, regresija se izražava kao y = f (x).

Koje su vrste odnosa između varijabli

Generalno, razlikuju se dva suprotna tipa odnosa: korelacija i regresija.

Prvi karakteriše jednakost uslovnih varijabli. U ovom slučaju, ne zna se sa sigurnošću koja varijabla zavisi od druge.

Ako ne postoji jednakost između varijabli i uvjeti govore koja varijabla je eksplanatorna, a koja zavisna, onda možemo govoriti o prisutnosti veze drugog tipa. Da bi se izgradila jednačina linearne regresije, biće potrebno saznati kakav se tip odnosa posmatra.

Vrste regresije

Do danas postoji 7 različitih tipova regresije: hiperbolička, linearna, višestruka, nelinearna, parna, inverzna, logaritamski linearna.

Hiperbolički, linearni i logaritamski

Jednačina linearne regresije se koristi u statistici za jasno objašnjenje parametara jednačine. Izgleda kao y = c + m * x + E. Hiperbolička jednadžba ima oblik regularne hiperbole y = c + m / x + E. Logaritamski linearna jednačina izražava odnos pomoću logaritamske funkcije: In y \u003d In c + m * In x + In E.

Višestruki i nelinearni

još dva složene vrste regresije su višestruke i nelinearne. Jednačina višestruke regresije izražava se funkcijom y = f (x 1, x 2 ... x c) + E. U ovoj situaciji, y je zavisna varijabla, a x je varijabla koja objašnjava. Varijabla E je stohastička i uključuje utjecaj drugih faktora u jednačini. Jednačina nelinearne regresije je malo nedosljedna. S jedne strane, u odnosu na indikatore koji se uzimaju u obzir, on nije linearan, as druge strane, u ulozi ocjenjivanja indikatora, on je linearan.

Inverzna i parna regresija

Inverzna je vrsta funkcije u koju se treba pretvoriti linearni pogled. U najtradicionalnijim aplikativnim programima ima oblik funkcije y \u003d 1 / c + m * x + E. Uparena regresijska jednadžba pokazuje odnos između podataka kao funkciju y = f(x) + E. Baš kao i druge jednadžbe, y ovisi o x i E je stohastički parametar.

Koncept korelacije

Ovo je indikator koji pokazuje postojanje veze između dva fenomena ili procesa. Jačina veze se izražava kao koeficijent korelacije. Njegova vrijednost fluktuira unutar intervala [-1;+1]. Negativan indikator ukazuje na prisustvo povratne informacije, pozitivno - o pravoj liniji. Ako koeficijent ima vrijednost jednaku 0, onda nema veze. Što je vrijednost bliža 1 - jači je odnos između parametara, što je bliži 0 - to je slabiji.

Metode

Korelativno parametarske metode može proceniti snagu veze. Koriste se na osnovu procjena raspodjele za proučavanje parametara koji su u skladu sa zakonom normalne distribucije.

Parametri jednačine linearne regresije su neophodni za identifikaciju tipa zavisnosti, funkciju jednačine regresije i procenu indikatora izabrane formule odnosa. Korelaciono polje se koristi kao metoda za identifikaciju odnosa. Da biste to učinili, svi postojeći podaci moraju biti predstavljeni grafički. U pravougaonom dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu svi poznati podaci moraju biti ucrtani. Tako se formira korelaciono polje. Vrijednost opisnog faktora je označena duž apscise, dok su vrijednosti zavisnog faktora označene duž ordinate. Ako postoji funkcionalni odnos između parametara, oni se poređaju u obliku linije.

Ako je koeficijent korelacije takvih podataka manji od 30%, možemo govoriti o gotovo potpunom odsustvu veze. Ako je između 30% i 70%, onda to ukazuje na prisustvo veza srednje bliskosti. 100% indikator je dokaz funkcionalne veze.

Jednačina nelinearne regresije, baš kao i linearna, mora biti dopunjena indeksom korelacije (R).

Korelacija za višestruku regresiju

Koeficijent determinacije je pokazatelj kvadrata višestruka korelacija. On govori o tesnosti odnosa prikazanog skupa indikatora sa osobinom koja se proučava. Takođe se može govoriti o prirodi uticaja parametara na rezultat. Jednačina višestruke regresije se procjenjuje pomoću ovog indikatora.

Da bi se izračunao indeks višestruke korelacije, potrebno je izračunati njegov indeks.

Metoda najmanjeg kvadrata

Ova metoda je način procjene faktora regresije. Njegova suština je u minimiziranju sume kvadrata odstupanja dobijenih zbog zavisnosti faktora od funkcije.

Uparena jednačina linearne regresije može se procijeniti korištenjem takve metode. Ova vrsta jednadžbi se koristi u slučaju detekcije između indikatora uparene linearne veze.

Opcije jednadžbe

Svaki parametar funkcije linearne regresije ima specifično značenje. Uparena jednačina linearne regresije sadrži dva parametra: c i m. Parametar t pokazuje prosječnu promjenu konačnog indikatora funkcije y, podložna smanjenju (povećanju) varijable x za jednu konvencionalnu jedinicu. Ako je varijabla x nula, tada je funkcija jednaka parametru c. Ako varijabla x nije nula, onda faktor c ne nosi ekonomskom smislu. Jedini uticaj na funkciju je znak ispred faktora c. Ako postoji minus, onda možemo reći o sporoj promjeni rezultata u odnosu na faktor. Ako postoji plus, onda to ukazuje na ubrzanu promjenu rezultata.

Svaki parametar koji mijenja vrijednost jednačine regresije može se izraziti u obliku jednačine. Na primjer, faktor c ima oblik c = y - mx.

Grupirani podaci

Postoje takvi uvjeti zadatka u kojima su sve informacije grupirane prema atributu x, ali istovremeno su za određenu grupu naznačene odgovarajuće prosječne vrijednosti zavisnog indikatora. U ovom slučaju, prosječne vrijednosti karakteriziraju kako indikator ovisi o x. Dakle, grupisane informacije pomažu u pronalaženju regresijske jednačine. Koristi se kao analiza odnosa. Međutim, ova metoda ima svoje nedostatke. Nažalost, prosjeci su često podložni vanjskim fluktuacijama. Ove fluktuacije nisu odraz obrazaca odnosa, oni samo maskiraju njegovu „buku“. Prosjeci pokazuju obrasce odnosa mnogo gore od jednadžbe linearne regresije. Međutim, oni se mogu koristiti kao osnova za pronalaženje jednadžbe. Množenjem veličine određene populacije sa odgovarajućim prosjekom, možete dobiti zbir y unutar grupe. Zatim morate izbaciti sve primljene iznose i pronaći konačni indikator y. Malo je teže izvršiti proračune sa indikatorom zbira xy. U slučaju da su intervali mali, možemo uslovno uzeti indikator x za sve jedinice (unutar grupe) isti. Pomnožite ga sa zbirom y da biste pronašli zbir proizvoda x i y. Dalje, sve sume se zbrajaju i dobija se ukupan zbroj xy.

Regresija višestrukih parova jednačina: Procjena važnosti odnosa

Kao što je ranije rečeno, višestruka regresija ima funkciju oblika y = f (x 1, x 2, ..., x m) + E. Najčešće se takva jednačina koristi za rješavanje problema ponude i potražnje za robom, prihoda od kamata na otkupljene dionice, proučavanje uzroka i vrste funkcije troškova proizvodnje. Također se aktivno koristi u širokom spektru makroekonomskih studija i proračuna, ali na nivou mikroekonomije, ova jednačina se koristi nešto rjeđe.

Osnovni zadatak višestruke regresije je da se izgradi model podataka koji sadrži ogromnu količinu informacija kako bi se dalje utvrdilo kakav uticaj svaki od faktora pojedinačno iu svojoj ukupnosti ima na indikator koji se modelira i njegove koeficijente. Jednačina regresije može poprimiti različite vrijednosti. U ovom slučaju se obično koriste dvije vrste funkcija za procjenu odnosa: linearne i nelinearne.

Linearna funkcija je prikazana u obliku takvog odnosa: y \u003d a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2, + ... + a m x m. U ovom slučaju, a2, a m , smatraju se koeficijentima "čiste" regresije. Oni su neophodni za karakterizaciju prosječne promjene parametra y sa promjenom (smanjenjem ili povećanjem) svakog odgovarajućeg parametra x za jednu jedinicu, uz uslov stabilne vrijednosti ostalih indikatora.

Nelinearne jednadžbe imaju, na primjer, oblik funkcija snage y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm . U ovom slučaju, indikatori b 1, b 2 ..... b m - nazivaju se koeficijenti elastičnosti, oni pokazuju kako će se rezultat promijeniti (za koliko%) s povećanjem (smanjenjem) odgovarajućeg indikatora x za 1% i sa stabilnim indikatorom drugih faktora.

Koje faktore treba uzeti u obzir pri izgradnji višestruke regresije

Kako bi se pravilno izgradilo višestruka regresija, potrebno je saznati na koje faktore treba obratiti posebnu pažnju.

Neophodno je imati određeno razumijevanje prirode odnosa između ekonomskih faktora i modeliranog. Faktori koji se uključuju moraju ispunjavati sljedeće kriterije:

• Mora biti mjerljiva. Da bi se koristio faktor koji opisuje kvalitetu nekog objekta, u svakom slučaju treba mu dati kvantitativni oblik.
• Ne bi trebalo postojati međukorelacija faktora ili funkcionalni odnos. Ove radnje često rezultiraju nepovratne posledice- sistem običnih jednačina postaje neuslovljen, a to povlači njegovu nepouzdanost i nejasne procjene.
• U slučaju velikog korelacionog indikatora, ne postoji način da se sazna izolovani uticaj faktora na krajnji rezultat indikatora, stoga koeficijenti postaju neinterpretljivi.

Construction Methods

Postoji ogroman broj metoda i načina da se objasni kako možete odabrati faktore za jednadžbu. Međutim, sve ove metode se zasnivaju na odabiru koeficijenata pomoću indeksa korelacije. Među njima su:

• Metoda isključenja.
• Uključi metod.
• Postepena regresiona analiza.

Prva metoda uključuje odvajanje svih koeficijenata iz agregatnog skupa. Druga metoda uključuje uvođenje mnogih dodatnih faktora. Pa, treći je eliminacija faktora koji su prethodno primijenjeni na jednačinu. Svaka od ovih metoda ima pravo na postojanje. Oni imaju svoje prednosti i nedostatke, ali mogu na svoj način riješiti problem skrininga nepotrebnih indikatora. U pravilu, rezultati dobiveni svakom pojedinačnom metodom su prilično bliski.

Metode multivarijantne analize

Takve metode za određivanje faktora zasnivaju se na razmatranju pojedinačnih kombinacija međusobno povezanih karakteristika. To uključuje diskriminantnu analizu, prepoznavanje obrazaca, analizu glavnih komponenti i klaster analizu. Osim toga, postoji i faktorska analiza, međutim, ona se pojavila kao rezultat razvoja komponentne metode. Svi oni se primenjuju u određenim okolnostima, pod određenim uslovima i faktorima.

U prisustvu korelacije između faktora i rezultantnih znakova, doktori često moraju odrediti za koliko se vrijednost jednog znaka može promijeniti kada se drugi promijeni mjernom jedinicom koju je općenito prihvatio ili ustanovio sam istraživač.

Na primjer, kako će se promijeniti tjelesna težina učenika 1. razreda (djevojčica ili dječaka) ako im se visina poveća za 1 cm.U tu svrhu koristi se metoda regresione analize.

Metoda regresijske analize najčešće se koristi za izradu normativnih skala i standarda fizičkog razvoja.

1. Definicija regresije. Regresija je funkcija koja omogućava da se na osnovu prosječne vrijednosti jednog atributa odredi prosječna vrijednost drugog atributa koji je u korelaciji s prvim.

   U tu svrhu koristi se koeficijent regresije i niz drugih parametara. Na primjer, možete izračunati broj prehlada u prosjeku na određenim vrijednostima prosječne mjesečne temperature zraka u jesensko-zimskom periodu.

2. Definicija koeficijenta regresije. Koeficijent regresije je apsolutna vrijednost za koju se vrijednost jednog atributa u prosjeku mijenja kada se drugi atribut povezan s njim promijeni prema utvrđenoj mjernoj jedinici.
3. Formula regresijskog koeficijenta. R y / x \u003d r xy x (σ y / σ x)
   gdje je R y / x - koeficijent regresije;
   r xy - koeficijent korelacije između karakteristika x i y;
   (σ y i σ x) - standardne devijacije karakteristika x i y.

   U našem primjeru;
   σ x = 4,6 (standardna devijacija temperature vazduha u jesensko-zimskom periodu;
   σ y = 8,65 (standardna devijacija broja infektivnih prehlada).
   Dakle, R y/x je koeficijent regresije.
   R y / x = -0,96 x (4,6 / 8,65) = 1,8, tj. sa smanjenjem prosječne mjesečne temperature zraka (x) za 1 stepen, prosječan broj zaraznih prehlada (y) u jesensko-zimskom periodu će se promijeniti za 1,8 slučajeva.

4. Regresijska jednačina. y \u003d M y + R y / x (x - M x)
   gdje je y prosječna vrijednost atributa, koju treba odrediti kada se promijeni prosječna vrijednost drugog atributa (x);
   x - poznata prosječna vrijednost drugog svojstva;
   R y/x - koeficijent regresije;
   M x, M y - poznate prosječne vrijednosti karakteristika x i y.

   Na primjer, prosječan broj zaraznih prehlada (y) može se odrediti bez posebnih mjerenja na bilo kojoj prosječnoj vrijednosti srednje mjesečne temperature zraka (x). Dakle, ako je x = - 9 °, R y / x = 1,8 bolesti, M x = -7 °, M y = 20 bolesti, onda y = 20 + 1,8 x (9-7) = 20 + 3 ,6 = 23,6 bolesti.
   Ova jednačina se primjenjuje u slučaju pravolinijskog odnosa između dvije karakteristike (x i y).

5. Svrha jednadžbe regresije. Jednačina regresije se koristi za crtanje linije regresije. Ovo poslednje omogućava da se bez posebnih merenja odredi bilo koja prosečna vrednost (y) jednog atributa, ako se promeni vrednost (x) drugog atributa. Na osnovu ovih podataka pravi se grafikon - regresijska linija, koji se može koristiti za određivanje prosječnog broja prehlada pri bilo kojoj vrijednosti prosječne mjesečne temperature unutar raspona između izračunatih vrijednosti broja prehlada.
6. sigma regresije (formula).
   gdje je σ Ru/x - sigma (standardna devijacija) regresije;
   σ y je standardna devijacija karakteristike y;
   r xy - koeficijent korelacije između karakteristika x i y.

   Dakle, ako je σ y standardna devijacija broja prehlada = 8,65; r xy - koeficijent korelacije između broja prehlada (y) i prosječne mjesečne temperature zraka u jesensko-zimskom periodu (x) iznosi -0,96, tada

   

7. Svrha sigma regresije. Daje karakteristiku mjere raznolikosti rezultirajuće karakteristike (y).

   Na primjer, karakteriše raznolikost broja prehlada na određenoj vrijednosti srednje mjesečne temperature zraka u jesensko-zimskom periodu. Dakle, prosječan broj prehlada na temperaturi zraka x 1 = -6 ° može se kretati od 15,78 bolesti do 20,62 bolesti.
   Kod x 2 = -9°, prosječan broj prehlada može biti u rasponu od 21,18 bolesti do 26,02 bolesti itd.

   Regresijska sigma se koristi u izgradnji skale regresije, koja odražava odstupanje vrijednosti efektivnog atributa od njegove prosječne vrijednosti ucrtane na regresijskoj liniji.

8. Podaci potrebni za izračunavanje i crtanje skale regresije
   • koeficijent regresije - Ry/x;
   • jednadžba regresije - y \u003d M y + R y / x (x-M x);
   • sigma regresije - σ Rx/y
9. Redoslijed proračuna i grafički prikaz skale regresije.
   • odrediti koeficijent regresije po formuli (vidi paragraf 3). Na primjer, treba odrediti koliko će se u prosjeku promijeniti tjelesna težina (u određenoj dobi ovisno o spolu) ako se prosječna visina promijeni za 1 cm.
   • prema formuli regresione jednadžbe (vidi paragraf 4), odrediti kolika će biti prosječna, na primjer, tjelesna težina (y, y 2, y 3 ...) * za određenu vrijednost rasta (x, x 2, x 3 ...) .
     ________________
     * Vrijednost "y" treba izračunati za najmanje tri poznate vrijednosti "x".

     Istovremeno, poznate su prosječne vrijednosti tjelesne težine i visine (M x i M y) za određenu dob i spol.

   • izračunajte sigmu regresije, znajući odgovarajuće vrijednosti σ y i r xy i zamjenjujući njihove vrijednosti u formulu (vidi paragraf 6).
   • na osnovu poznatih vrednosti x 1, x 2, x 3 i njihovih odgovarajućih prosečnih vrednosti y 1, y 2 y 3, kao i najmanjih (y - σ ru / x) i najveće (y + σ ru / x) vrijednosti (y) konstruiraju skalu regresije.

     Za grafički prikaz skale regresije, vrijednosti x, x 2 , x 3 (y-osa) se prvo označavaju na grafikonu, tj. gradi se regresijska linija, na primjer, ovisnost tjelesne težine (y) o visini (x).

     Zatim se u odgovarajućim tačkama y 1 , y 2 , y 3 označavaju numeričke vrijednosti sigme regresije, tj. na grafu pronađite najmanji i najveća vrijednost y 1 , y 2 , y 3 .

10. Praktična upotreba regresijske skale. Razvijaju se normativne skale i standardi, posebno za fizički razvoj. Prema standardnoj skali moguće je dati individualnu procjenu razvoja djece. Istovremeno, fizički razvoj se ocjenjuje kao harmoničan ako je, na primjer, na određenoj visini, djetetova tjelesna težina unutar jedne sigme regresije na prosječnu izračunatu jedinicu tjelesne težine - (y) za datu visinu (x) ( y ± 1 σ Ry / x).

    Fizički razvoj se smatra disharmoničnim u smislu tjelesne težine ako je tjelesna težina djeteta za određenu visinu unutar druge sigme regresije: (y ± 2 σ Ry/x)

    Fizički razvoj će biti oštro disharmoničan kako zbog viška tako i zbog nedovoljne tjelesne težine ako je tjelesna težina za određenu visinu unutar treće sigme regresije (y ± 3 σ Ry/x).

Prema rezultatima statističkog istraživanja fizičkog razvoja petogodišnjih dječaka, poznato je da je njihova prosječna visina (x) 109 cm, a prosječna tjelesna težina (y) 19 kg. Koeficijent korelacije između visine i tjelesne težine je +0,9, standardne devijacije su prikazane u tabeli.

Obavezno:

• izračunati koeficijent regresije;
• pomoću regresijske jednačine odrediti kolika će biti očekivana tjelesna težina dječaka od 5 godina sa visinom jednakom x1 = 100 cm, x2 = 110 cm, x3 = 120 cm;
• izračunati sigmu regresije, izgraditi skalu regresije, grafički prikazati rezultate njenog rješenja;
• izvući odgovarajuće zaključke.

Stanje problema i rezultati njegovog rješavanja prikazani su u zbirnoj tabeli.

Tabela 1

Uslovi problema				Rezultati rješenja problema
				jednadžba regresije			sigma regresija	regresijska skala (očekivana tjelesna težina (u kg))
	M	σ	r xy	R y/x	X	At	σRx/y	y - σ Ru/h	y + σ Ru/h
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
visina (x)	109 cm	± 4,4 cm	+0,9	0,16	100cm	17,56 kg	± 0,35 kg	17,21 kg	17,91 kg
Tjelesna težina (y)	19 kg	± 0,8 kg			110 cm	19,16 kg		18,81 kg	19,51 kg
					120 cm	20,76 kg		20,41 kg	21,11 kg

Rješenje.

Zaključak. Dakle, skala regresije unutar izračunatih vrijednosti tjelesne težine omogućava vam da je odredite za bilo koju drugu vrijednost rasta ili procijenite individualni razvoj djeteta. Da biste to učinili, vratite okomicu na liniju regresije.

1. Vlasov V.V. Epidemiologija. - M.: GEOTAR-MED, 2004. - 464 str.
2. Lisitsyn Yu.P. Javno zdravstvo i zdravstvena zaštita. Udžbenik za srednje škole. - M.: GEOTAR-MED, 2007. - 512 str.
3. Medik V.A., Yuriev V.K. Kurs predavanja o javnom zdravlju i zdravstvenoj zaštiti: Dio 1. Javno zdravlje. - M.: Medicina, 2003. - 368 str.
4. Minyaev V.A., Vishnyakov N.I. i dr. Socijalna medicina i organizacija zdravstvene zaštite (Vodič u 2 toma). - Sankt Peterburg, 1998. -528 str.
5. Kučerenko V.Z., Agarkov N.M. itd. Socijalna higijena i organizacija zdravstvene zaštite ( Tutorial) - Moskva, 2000. - 432 str.
6. S. Glantz. Mediko-biološka statistika. Per sa engleskog. - M., Praksa, 1998. - 459 str.