definicija: Tačka x0 naziva se tačka lokalnog maksimuma (ili minimuma) funkcije ako u nekom susjedstvu tačke x0 funkcija zauzima najveću (ili najmanju) vrijednost, tj. za sve x iz neke okoline tačke x0 uslov f(x) f(x0) (ili f(x) f(x0)) je zadovoljen.

Tačke lokalnog maksimuma ili minimuma objedinjene su zajedničkim imenom - tačke lokalnog ekstremuma funkcije.

Imajte na umu da u tačkama lokalnog ekstrema, funkcija dostiže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost samo u određenom lokalnom području. Mogu postojati slučajevi kada je prema vrijednosti umaxumin.

Neophodan znak postojanja lokalnog ekstremuma funkcije

Teorema . Ako kontinuirana funkcija y = f(x) ima u tački x0 lokalni ekstrem, tada je u ovom trenutku prvi izvod ili nula ili ne postoji, tj. lokalni ekstrem se javlja na kritičnim tačkama prve vrste.

U tačkama lokalnog ekstrema, ili je tangenta paralelna s osom 0x, ili postoje dvije tangente (vidi sliku). Imajte na umu da su kritične tačke neophodan, ali ne i dovoljan uslov za lokalni ekstrem. Lokalni ekstrem se javlja samo na kritičnim tačkama prve vrste, ali ne na svim kritičnim tačkama, lokalni ekstremum se javlja.

Na primjer: kubična parabola y = x3 ima kritičnu tačku x0 = 0, u kojoj je izvod y/(0)=0, ali kritična tačka x0=0 nije tačka ekstrema, i na njoj se nalazi tačka pregiba (vidi dole).

Dovoljan znak postojanja lokalnog ekstremuma funkcije

Teorema . Ako, kada argument prođe kroz kritičnu tačku prve vrste s lijeva na desno, prvi izvod y / (x)

mijenja predznak iz “+” u “-”, tada kontinuirana funkcija y(x) u ovoj kritičnoj tački ima lokalni maksimum;

mijenja predznak iz “-” u “+”, tada kontinuirana funkcija y(x) ima lokalni minimum u ovoj kritičnoj tački

ne mijenja predznak, onda u ovoj kritičnoj tački nema lokalnog ekstremuma, ovdje postoji tačka pregiba.

Za lokalni maksimum, područje rastuće funkcije (y/0) zamjenjuje se područjem opadajuće funkcije (y/0). Za lokalni minimum, područje opadajuće funkcije (y/0) zamjenjuje se područjem rastuće funkcije (y/0).

Primjer: Ispitati funkciju y = x3 + 9x2 + 15x - 9 na monotonost, ekstrem i konstruirati graf funkcije.

Nađimo kritične tačke prve vrste tako što ćemo definisati izvod (y/) i izjednačiti ga sa nulom: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Rešimo kvadratni trinom koristeći diskriminant:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Podijelimo brojevnu pravu sa kritičnim tačkama na 3 područja i odredimo u njima predznake izvoda (y/). Koristeći ove predznake naći ćemo područja monotonosti (rastućih i opadajućih) funkcija, a promjenom predznaka odredit ćemo tačke lokalnog ekstremuma (maksimuma i minimuma).

Rezultate istraživanja predstavljamo u obliku tabele iz koje se mogu izvesti sljedeći zaključci:

• 1. Na intervalu y /(-10) 0 funkcija raste monotono (predznak izvoda y je procijenjen korištenjem kontrolne tačke x = -10 uzete u ovom intervalu);
• 2. Na intervalu (-5 ; -1) y /(-2) 0 funkcija opada monotono (predznak izvoda y je procijenjen pomoću kontrolne tačke x = -2, uzete u ovom intervalu);
• 3. Na intervalu y /(0) 0, funkcija raste monotono (predznak izvoda y je procijenjen pomoću kontrolne tačke x = 0, uzete u ovom intervalu);
• 4. Prilikom prolaska kroz kritičnu tačku x1k = -5, derivacija mijenja predznak sa “+” na “-”, stoga je ova tačka lokalna tačka maksimuma
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. Prilikom prolaska kroz kritičnu tačku x2k = -1, derivacija mijenja predznak sa “-” na “+”, stoga je ova tačka lokalna minimalna tačka
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Na osnovu rezultata studije ćemo konstruisati graf koristeći dodatne proračune vrednosti funkcije na kontrolnim tačkama:

konstruisati pravougaoni koordinatni sistem Oxy;

Koordinatama prikazujemo tačke maksimuma (-5; 16) i minimuma (-1;-16);

da bismo pojasnili graf, izračunavamo vrijednost funkcije na kontrolnim tačkama, birajući ih lijevo i desno od maksimalne i minimalne tačke i unutar prosječnog intervala, na primjer: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) i (0;-9) - izračunate kontrolne tačke koje crtamo za konstruisanje grafika;

Grafikon prikazujemo u obliku krive konveksne nagore u maksimalnoj tački i konveksne nadole u minimalnoj tački i koja prolazi kroz izračunate kontrolne tačke.

>>Extrema

Ekstremum funkcije

Definicija ekstrema

Funkcija y = f(x) se poziva povećanje (opadajući) u određenom intervalu, ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Ako se diferencijabilna funkcija y = f (x) povećava (smanjuje) na intervalu, tada je njen izvod na ovom intervalu f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Dot x O pozvao lokalna maksimalna tačka (minimum) funkcija f (x) ako postoji susjedstvo tačke x o, za sve tačke čija je nejednakost f (x) tačna≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njene ekstremi.

Ekstremne tačke

Neophodni uslovi za ekstrem . Ako je poenta x O je tačka ekstrema funkcije f (x), tada je ili f " (x o ) = 0, ili f(x o ) ne postoji. Takve tačke se nazivaju kritičan, a sama funkcija je definirana u kritičnoj tački. Ekstreme funkcije treba tražiti među njenim kritičnim tačkama.

Prvi dovoljan uslov. Neka x O - kritična tačka. ako f" (x ) kada prolazi kroz tačku x O mijenja znak plus u minus, a zatim u tački x o funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako pri prolasku kroz kritičnu tačku derivacija ne promijeni predznak, onda u tački x O nema ekstrema.

Drugi dovoljan uslov. Neka funkcija f(x) ima
f" (x ) u blizini tačke x O a drugi izvod u samoj tački x o. ako f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o je lokalna tačka minimuma (maksimuma) funkcije f (x). Ako je =0, tada trebate ili koristiti prvi dovoljan uslov ili uključiti više.

Na segmentu, funkcija y = f (x) može dostići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo na kritičnim tačkama ili na krajevima segmenta.

Primjer 3.22.

Rješenje. Jer f " (

Problemi nalaženja ekstrema funkcije

Primjer 3.23. a

Rješenje. x I y y
0 ≤ x≤
> 0 i kada x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcije kv. jedinice).

Primjer 3.24. p ≈

Rješenje. p str
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Primjer 3.22.Naći ekstreme funkcije f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Rješenje. Jer f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), tada su kritične tačke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremi mogu biti samo u ovim tačkama. Budući da pri prolasku kroz tačku x 1 = 2 derivacija mijenja predznak sa plusa na minus, tada funkcija u ovoj tački ima maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x 2 = 3, derivacija mijenja svoj predznak iz minusa u plus, tako da u tački x 2 = 3 funkcija ima minimum. Nakon izračunavanja vrijednosti funkcije u tačkama
x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f (2) = 14 i minimum f (3) = 13.

Primjer 3.23.Kod kamenog zida potrebno je izgraditi pravougaoni prostor tako da je sa tri strane ograđen žičanom mrežom, a četvrta strana uz zid. Za ovo postoji a linearnih metara mreže. U kom omjeru stranica će imati najveću površinu?

Rješenje.Označimo strane platforme sa x I y. Površina lokacije je S = xy. Neka y- ovo je dužina stranice uz zid. Tada, pod uslovom, mora biti zadovoljena jednakost 2x + y = a. Stoga je y = a - 2x i S = x (a - 2x), gdje je
0 ≤ x≤ a /2 (dužina i širina područja ne mogu biti negativne). S " = a - 4x, a - 4x = 0 na x = a/4, odakle
y = a - 2 × a/4 =a/2. Pošto x = a /4 je jedina kritična tačka da proverimo da li se predznak derivacije menja pri prolasku kroz ovu tačku. Na x a /4 S"> 0 i kada x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcije S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv. jedinice). Pošto je S kontinuirano na i njegove vrijednosti na krajevima S(0) i S(a /2) jednake su nuli, tada će pronađena vrijednost biti najveća vrijednost funkcije. Dakle, najpovoljniji omjer stranica pod datim uslovima problema je y = 2x.

Primjer 3.24.Potrebna je proizvodnja zatvorenog cilindričnog rezervoara kapaciteta V=16 p ≈ 50 m 3 . Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara (radijus R i visina H) da se za njegovu izradu koristi najmanja količina materijala?

Rješenje.Ukupna površina cilindra je S = 2 str R(R+H). Znamo zapreminu cilindra V = p R 2 N Þ N = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Dakle, S(R) = 2 str (R 2 +16/R). Nalazimo derivaciju ove funkcije:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 na R 3 = 8, dakle,
R = 2, H = 16/4 = 4.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kažu da $f$ ima lokalni maksimum u tački $x_(0) \u E$, ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) ) \leqslant f je zadovoljen \left(x_(0)\right)$.

Poziva se lokalni maksimum strog , ako se okolina $U$ može odabrati tako da za sve $x \u U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicija
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kažu da $f$ ima lokalni minimum u tački $x_(0) \u E$, ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) ) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Lokalni minimum se naziva strogim ako se okolina $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\desno)$.

Lokalni ekstremum kombinuje koncepte lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma.

Teorema ( neophodno stanje ekstrem diferencijabilne funkcije)
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ako u tački $x_(0) \u E$ funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u ovoj tački, tada je $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Diferencijal jednak nuli je ekvivalentan činjenici da su svi jednaki nuli, tj. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

U jednodimenzionalnom slučaju to je – . Označimo $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdje je $h$ proizvoljni vektor. Funkcija $\phi$ je definirana za vrijednosti od $t$ koje su dovoljno male apsolutne vrijednosti. Osim toga, s obzirom na , može se razlikovati, a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Neka $f$ ima lokalni maksimum u tački x $0$. To znači da funkcija $\phi$ na $t = 0$ ima lokalni maksimum i, prema Fermatovom teoremu, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Dakle, dobili smo da je $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcija $f$ u tački $x_(0)$ jednaka je nuli na bilo kojem vektoru $h$.

Definicija
Tačke u kojima je diferencijal nula, tj. oni u kojima su sve parcijalne derivacije jednake nuli nazivaju se stacionarnim. Kritične tačke funkcije $f$ su one tačke u kojima $f$ nije diferencibilna ili je jednaka nuli. Ako je tačka stacionarna, onda iz ovoga ne slijedi da funkcija u ovoj tački ima ekstrem.

Primjer 1.
Neka je $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tada je $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, pa je $\left(0,0\right)$ stacionarna tačka, ali funkcija nema ekstrem u ovoj tački. Zaista, $f \left(0,0\right) = 0$, ali je lako vidjeti da u bilo kojoj okolini tačke $\left(0,0\right)$ funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Primjer 2.
Funkcija $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ima stacionarnu tačku u svom početku, ali je jasno da u ovoj tački nema ekstrema.

Teorema (dovoljan uslov za ekstrem).
Neka je funkcija $f$ dvaput kontinuirano diferencibilna na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Neka je $x_(0) \in E$ stacionarna tačka i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Onda

1. ako je $Q_(x_(0))$ – , tada funkcija $f$ u tački $x_(0)$ ima lokalni ekstrem, odnosno minimum ako je oblik pozitivno određen, a maksimum ako je oblik negativan definitivan;
2. ako je kvadratni oblik $Q_(x_(0))$ nedefiniran, tada funkcija $f$ u tački $x_(0)$ nema ekstrem.

Koristimo proširenje prema Taylorovoj formuli (12.7 str. 292). Uzimajući u obzir da su parcijalne derivacije prvog reda u tački $x_(0)$ jednake nuli, dobijamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ desno) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\desno)h^(i)h^(j),$$ gdje je $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ za $h \rightarrow 0$, zatim desnu stranuće biti pozitivan za bilo koji vektor $h$ dovoljno male dužine.
Dakle, došli smo do zaključka da u određenom susjedstvu tačke $x_(0)$ vrijedi nejednakost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ ako samo $ x \neq x_ (0)$ (stavimo $x=x_(0)+h$\desno). To znači da u tački $x_(0)$ funkcija ima strogi lokalni minimum i time je prvi dio naše teoreme dokazan.
Pretpostavimo sada da je $Q_(x_(0))$ neodređeni oblik. Tada postoje vektori $h_(1)$, $h_(2)$ takvi da je $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \levo(h_(2)\desno)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Tada dobijamo $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Za dovoljno mali $t>0$, desna strana je pozitivna. To znači da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti $f \left(x\right)$ veće od $f \left(x_(0)\right)$.
Slično, nalazimo da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti manje od $f \left(x_(0)\right)$. Ovo, zajedno sa prethodnim, znači da u tački $x_(0)$ funkcija $f$ nema ekstrem.

Razmotrimo poseban slučaj ove teoreme za funkciju $f \left(x,y\right)$ dvije varijable, definirane u nekom susjedstvu tačke $\left(x_(0),y_(0)\right) )$ i imaju kontinuirane parcijalne izvode prvog i drugog reda. Pretpostavimo da je $\left(x_(0),y_(0)\right)$ stacionarna tačka i označimo $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\desno), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Tada prethodna teorema poprima sljedeći oblik.

Teorema
Neka je $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. onda:

1. ako je $\Delta>0$, onda funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u tački $\left(x_(0),y_(0)\right)$, naime, minimum ako $a_(11)> 0$ , a maksimum ako je $a_(11)<0$;
2. ako je $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primjeri rješavanja problema

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih varijabli:

1. Pronalaženje stacionarnih tačaka;
2. Pronađite diferencijal 2. reda u svim stacionarnim tačkama
3. Koristeći dovoljan uslov za ekstremum funkcije mnogih varijabli, razmatramo diferencijal 2. reda u svakoj stacionarnoj tački

1. Istražite funkciju za ekstrem $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Rješenje

   Nađimo parcijalne derivate 1. reda: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastavimo i riješimo sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(slučajevi)$$ Iz 2. jednačine izražavamo $x=4 \cdot y^(2)$ - zamijenimo je u 1. jednačinu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kao rezultat, dobijaju se 2 stacionarne tačke:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Provjerimo da li je ispunjen dovoljan uslov za ekstrem:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Za tačku $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Za tačku $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, što znači da u tački $M_(2)$ postoji ekstrem, a pošto $A_(2)> 0$, onda je ovo minimum.
   Odgovor: Tačka $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimalna tačka funkcije $f$.
   

2. Istražite funkciju za ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Rješenje

   Nađimo stacionarne tačke: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Sastavimo i riješimo sistem: $$\displaystyle \begin(slučajevi)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi ) \ Desno \begin(slučajevi)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(slučajevi) \Strelica desno \begin(slučajevi) y = 2\\y + x = 1\kraj (slučajevi) \Strelica desno x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionarna tačka.
   Provjerimo da li je ispunjen dovoljan uslov za ekstrem: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odgovor: nema ekstrema.
   

Vremensko ograničenje: 0

Navigacija (samo brojevi poslova)

0 od 4 zadatka završeno

Informacije

Riješite ovaj kviz da provjerite svoje znanje o temi koju ste upravo pročitali: Lokalni ekstremi funkcija višestrukih varijabli.

Već ste ranije polagali test. Ne možete ponovo pokrenuti.

Učitavanje testa...

Morate se prijaviti ili registrirati da biste započeli test.

Morate završiti sljedeće testove da biste započeli ovaj:

Rezultati

Tačni odgovori: 0 od 4

Vaše vrijeme:

Vrijeme je isteklo

Osvojili ste 0 od 0 poena (0)

Vaš rezultat je zabilježen na tabeli

1. Sa odgovorom
2. Sa oznakom za gledanje

Zadatak 1 od 4

1 .

Broj bodova: 1

Istražite funkciju $f$ za ekstreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

U redu


Pogrešno


1. Zadatak 2 od 4

   2 .

   Broj bodova: 1

   Da li funkcija $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ima ekstrem

Kaže se da funkcija ima unutarnju tačku
region D lokalni maksimum(minimum), ako postoji takva okolina tačke
, za svaku tačku
koji drži nejednakost

Ako funkcija ima u točki
lokalni maksimum ili lokalni minimum, onda kažemo da ima u ovom trenutku lokalni ekstrem(ili samo ekstrem).

Teorema (neophodan uslov za postojanje ekstrema). Ako diferencijabilna funkcija dostigne ekstrem u tački
, zatim svaki parcijalni izvod funkcije prvog reda u ovom trenutku postaje nula.

Pozivaju se tačke u kojima sve parcijalne derivacije prvog reda nestaju stacionarne tačke funkcije
. Koordinate ovih tačaka mogu se naći rješavanjem sistema od

.

jednačine

Neophodan uslov za postojanje ekstremuma u slučaju diferencijabilne funkcije može se ukratko formulisati na sledeći način: Postoje slučajevi kada u pojedinačnim tačkama neki parcijalni derivati ​​imaju beskonačne vrijednosti ili ne postoje (dok su ostali jednaki nuli). Takve tačke se nazivaju kritične tačke funkcije.

Ove tačke takođe treba smatrati „sumnjivim“ za ekstrem, baš kao i stacionarne. U slučaju funkcije dvije varijable, neophodan uslov za ekstrem, odnosno jednakost parcijalnih izvoda (diferencijala) sa nulom u tački ekstremuma, ima geometrijsku interpretaciju:
tangentna ravan na površinu
.

u tački ekstrema mora biti paralelna sa ravninom

20. Dovoljni uslovi za postojanje ekstremuma
Ispunjenje neophodnog uslova za postojanje ekstremuma u nekom trenutku uopšte ne garantuje prisustvo ekstremuma tamo. Kao primjer možemo uzeti svugdje diferencibilnu funkciju
.
I njegove parcijalne derivacije i sama funkcija nestaju u tački
.

Međutim, u bilo kojem susjedstvu ove točke postoje oba pozitivna (velika
) i negativan (manji
) vrijednosti ove funkcije. Stoga, u ovom trenutku, po definiciji, nije uočen nikakav ekstrem. Stoga je neophodno poznavati dovoljne uslove pod kojima je tačka za koju se sumnja da je ekstremum tačka ekstrema funkcije koja se proučava.
Razmotrimo slučaj funkcije dvije varijable. Pretpostavimo da je funkcija

,
.

definiran, kontinuiran i ima kontinuirane parcijalne izvode do drugog reda zaključno u susjedstvu neke tačke

Teorema (, što je stacionarna tačka funkcije, odnosno zadovoljava uslove
Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:
dovoljni uslovi za postojanje ekstrema
). Neka funkcija

zadovoljava gore navedene uslove, naime: diferencibilan je u nekoj okolini stacionarne tačke
i dvaput je diferencibilan u samoj tački
.
Onda ako

U slučaju zatim funkciju
u tački

dosega zatim funkciju
.

lokalni maksimum
at
Iminimum(lokalni minimum Općenito, za funkciju dovoljan uslov za postojanje u tački(lokalni maksimum

) je

Teorema . pozitivno
negativan

) sigurnost drugog diferencijala.
Drugim riječima, tačna je sljedeća izjava. minimum Ako u tački za funkciju za bilo koji nije istovremeno jednak nuli
).

, tada u ovom trenutku funkcija imaPronađite lokalne ekstremne točke funkcije

Rješenje. Nađimo parcijalne izvode funkcije i izjednačimo ih sa nulom:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo dvije moguće tačke ekstrema:

Nađimo parcijalne izvode drugog reda za ovu funkciju:

U prvoj stacionarnoj tački, dakle, i
Stoga su u ovom trenutku potrebna dodatna istraživanja. Vrijednost funkcije
u ovom trenutku je nula:
sljedeće,

at

A

at

Dakle, u bilo kom susjedstvu tačke
funkcija
uzima vrijednosti kao velike
, i manji
, i, prema tome, u tački
funkcija
, po definiciji, nema lokalni ekstrem.

Na drugoj stacionarnoj tački



dakle, dakle, pošto
onda u tački
funkcija ima lokalni maksimum.

Promjena funkcije u određenoj tački definirana je kao granica prirasta funkcije na prirast argumenta, koji teži nuli. Da biste ga pronašli, koristite tabelu izvedenica. Na primjer, derivacija funkcije y = x3 bit će jednaka y’ = x2.

Izjednačite ovu derivaciju sa nulom (u ovom slučaju x2=0).

Pronađite vrijednost date varijable. To će biti vrijednosti na kojima će dati izvod biti jednak 0. Da biste to učinili, zamijenite proizvoljne brojeve u izraz umjesto x, pri čemu će cijeli izraz postati nula. na primjer:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Dobijene vrijednosti ucrtajte na koordinatnu liniju i izračunajte predznak derivacije za svaku od dobijenih vrijednosti. Na koordinatnoj liniji su označene tačke koje se uzimaju kao ishodište. Da biste izračunali vrijednost u intervalima, zamijenite proizvoljne vrijednosti koje odgovaraju kriterijima. Na primjer, za prethodnu funkciju prije intervala -1, možete odabrati vrijednost -2. Za vrijednosti od -1 do 1 možete odabrati 0, a za vrijednosti veće od 1 odabrati 2. Zamijenite ove brojeve u izvod i saznajte predznak izvoda. U ovom slučaju, derivacija sa x = -2 će biti jednaka -0,24, tj. negativan i na ovom intervalu će biti znak minus. Ako je x=0, tada će vrijednost biti jednaka 2, a na ovaj interval se stavlja znak. Ako je x=1, onda će izvod također biti jednak -0,24 i stavlja se minus.

Ako pri prolasku kroz tačku na koordinatnoj liniji derivacija promijeni svoj predznak s minusa na plus, onda je ovo minimalna točka, a ako je od plusa u minus, onda je ovo maksimalna točka.

Video na temu

Koristan savjet

Da biste pronašli izvod, postoje online servisi koji izračunavaju tražene vrijednosti i prikazuju rezultat. Na takvim stranicama možete pronaći derivate do 5. reda.

Izvori:

• Jedan od servisa za obračun derivata
• maksimalna tačka funkcije

Maksimalne tačke funkcije, zajedno sa minimalnim tačkama, nazivaju se tačke ekstrema. U tim točkama funkcija mijenja svoje ponašanje. Ekstremi se određuju u ograničenim numeričkim intervalima i uvijek su lokalni.

Uputstva

Proces pronalaženja lokalnih ekstrema naziva se funkcija i izvodi se analizom prvog i drugog izvoda funkcije. Prije početka studije provjerite da li navedeni raspon vrijednosti argumenata pripada važećim vrijednostima. Na primjer, za funkciju F=1/x argument x=0 nije valjan. Ili za funkciju Y=tg(x) argument ne može imati vrijednost x=90°.

Uvjerite se da je funkcija Y diferencibilna u cijelom danom intervalu. Nađite prvi izvod od Y." Očigledno, prije nego što dođe do tačke lokalnog maksimuma, funkcija raste, a pri prolasku kroz maksimum funkcija postaje opadajuća. Prvi izvod, u svom fizičkom značenju, karakterizira brzinu promjene funkcije Dok se funkcija povećava, brzina ovog procesa je pozitivna vrijednost funkcija kroz nulu se javlja u tački lokalnog maksimuma.