Linije drugog reda.
Elipsa i njena kanonska jednadžba. Krug

Nakon detaljnog proučavanja prave linije na ravni nastavljamo proučavati geometriju dvodimenzionalnog svijeta. Ulozi su udvostručeni i pozivam vas da posjetite slikovitu galeriju elipsa, hiperbola, parabola, koje su tipični predstavnici linije drugog reda. Turneja je već počela i kratke informacije o cjelokupnoj izložbi na različitim katovima muzeja:

Pojam algebarske linije i njen red

Prava na ravni se zove algebarski, ako je u afini koordinatni sistem njegova jednadžba ima oblik , gdje je polinom koji se sastoji od članova oblika ( je realan broj, su nenegativni cijeli brojevi).

Kao što vidite, jednadžba algebarske linije ne sadrži sinuse, kosinuse, logaritme i druge funkcionalne beaumonde. Samo "x" i "y" unutra cijeli broj nenegativan stepeni.

Redosled jednaka je maksimalnoj vrijednosti pojmova uključenih u njega.

Prema odgovarajućoj teoremi, koncept algebarske linije, kao ni njen red, ne zavise od izbora afini koordinatni sistem, stoga, radi lakšeg razumijevanja, smatramo da se svi naredni proračuni odvijaju u Kartezijanske koordinate.

Opća jednačina red drugog reda ima oblik , gdje su proizvoljni realni brojevi (uobičajeno je pisati sa množiteljem - "dva"), a koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

Ako je , tada se jednadžba pojednostavljuje na , a ako koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli, onda je to tačno opšta jednačina "ravne" prave linije, što predstavlja linija prve narudžbe.

Mnogi su shvatili značenje novih pojmova, ali, ipak, da bismo 100% asimilirali materijal, zabijamo prste u utičnicu. Da biste odredili redoslijed redova, ponovite svi uslovi njegove jednačine i za svaku od njih pronaći zbir moći dolazne varijable.

Na primjer:

izraz sadrži "x" do 1. stepena;
izraz sadrži "Y" do 1. stepena;
nema varijabli u terminu, tako da je zbir njihovih snaga nula.

Sada hajde da shvatimo zašto jednačina postavlja liniju sekunda red:

izraz sadrži "x" u 2. stepenu;
termin ima zbir stepena varijabli: 1 + 1 = 2;
izraz sadrži "y" u 2. stepenu;
svi ostali uslovi - manje stepen.

Maksimalna vrijednost: 2

Ako našoj jednadžbi dodatno dodamo, recimo, , tada će to već odrediti linija trećeg reda. Očigledno je da opći oblik jednadžbe trećeg reda sadrži "kompletan skup" pojmova, zbir stupnjeva varijabli u kojem je jednak tri:
, pri čemu koeficijenti nisu istovremeno jednaki nuli.

U slučaju da se doda jedan ili više odgovarajućih termina koji sadrže , onda ćemo razgovarati o tome Linije 4. reda, itd.

Morat ćemo se baviti algebarskim linijama 3., 4. i višeg reda više puta, posebno prilikom upoznavanja polarni koordinatni sistem.

Međutim, vratimo se općoj jednadžbi i prisjetimo se njenih najjednostavnijih školskih varijacija. Kao primjer, predlaže se parabola, na čiju se jednadžbu lako svesti opšti pogled, i hiperbola s ekvivalentnom jednadžbom . Međutim, nije sve tako glatko....

Značajan nedostatak opće jednačine je to što gotovo uvijek nije jasno koju liniju definira. Čak i u najjednostavnijem slučaju, nećete odmah shvatiti da je ovo hiperbola. Takvi rasporedi su dobri samo na maskenbalima, pa budite svjesni analitička geometrija smatra tipičnim zadatkom svođenje jednadžbe 2. reda na kanonski oblik.

Koji je kanonski oblik jednačine?

Ovo je općeprihvaćeni standardni oblik jednačine, kada za nekoliko sekundi postane jasno koji geometrijski objekt definira. Osim toga, kanonski oblik je vrlo pogodan za rješavanje mnogih praktičnih zadataka. Tako, na primjer, prema kanonskoj jednadžbi "ravno" ravno, prvo, odmah je jasno da je ovo prava linija, a drugo, tačka koja joj pripada i vektor smjera su jednostavno vidljivi.

Očigledno, bilo koji Linija 1. reda predstavlja pravu liniju. Na drugom spratu nas više ne čeka domar, već mnogo raznovrsnije društvo od devet kipova:

Klasifikacija linija drugog reda

Uz pomoć posebnog skupa radnji, svaka jednačina drugog reda reducira se na jedan od sljedećih tipova:

(i pozitivni su realni brojevi)

1) je kanonska jednadžba elipse;

2) je kanonska jednačina hiperbole;

3) je kanonska jednadžba parabole;

4) – imaginarni elipsa;

5) - par linija koje se seku;

6) - par imaginarni linije koje se seku (sa jedinom stvarnom tačkom preseka u početku);

7) - par paralelnih pravih;

8) - par imaginarni paralelne linije;

9) je par podudarnih linija.

Neki čitaoci mogu steći utisak da je lista nepotpuna. Na primjer, u paragrafu broj 7, jednačina postavlja par direktno, paralelno s osi, i postavlja se pitanje: gdje je jednadžba koja određuje prave paralelne s y-osi? Odgovor: to ne smatra se kanonom. Prave linije predstavljaju isto standardno kućište rotirano za 90 stepeni, a dodatni unos u klasifikaciji je suvišan, jer ne nosi ništa suštinski novo.

Dakle, ima ih devet i samo devet razne vrste linije 2. reda, ali u praksi najčešći elipsa, hiperbola i parabola.

Pogledajmo prvo elipsu. Kao i obično, fokusiram se na one tačke koje imaju veliki značaj za rješavanje problema, i ako vam je potrebno detaljno izvođenje formula, dokazi teorema, pogledajte, na primjer, udžbenik Bazylev/Atanasyan ili Aleksandrov.

Elipsa i njena kanonska jednadžba

Pravopis ... nemojte ponavljati greške nekih korisnika Yandexa koje zanima "kako napraviti elipsu", "razliku između elipse i ovala" i "ekscentričnost elebsa".

Kanonska jednadžba elipse ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi, i . Kasnije ću formulirati definiciju elipse, ali za sada je vrijeme da se odmorimo od razgovora i riješimo uobičajeni problem:

Kako napraviti elipsu?

Da, uzmi i samo nacrtaj. Zadatak je uobičajen, a značajan dio učenika se ne snalazi sasvim kompetentno sa crtežom:

Primjer 1

Konstruirajte elipsu zadanu jednačinom

Rješenje: prvo dovodimo jednačinu u kanonski oblik:

Zašto donijeti? Jedna od prednosti kanonske jednadžbe je ta što vam omogućava da odmah odredite vrhovi elipse, koji su na tačkama . Lako je vidjeti da koordinate svake od ovih tačaka zadovoljavaju jednačinu .

U ovom slučaju :


Segment linije pozvao glavna osovina elipsa;
linijski segment – sporedna os;
broj pozvao velika poluos elipsa;
broj – mala poluosovina.
u našem primjeru: .

Da biste brzo zamislili kako izgleda ova ili ona elipsa, samo pogledajte vrijednosti "a" i "be" njene kanonske jednadžbe.

Sve je u redu, uredno i lijepo, ali postoji jedno upozorenje: završio sam crtež pomoću programa. A možete crtati bilo kojom aplikacijom. Međutim, u surovoj stvarnosti, kockasti komad papira leži na stolu, a miševi plešu oko naših ruku. Ljudi sa umetničkim talentom, naravno, mogu da se svađaju, ali imate i miševe (iako manje). Nije uzalud čovječanstvo izmislilo ravnalo, šestar, kutomjer i druge jednostavne uređaje za crtanje.

Iz tog razloga, malo je vjerovatno da ćemo moći precizno nacrtati elipsu, znajući samo vrhove. Ipak je u redu, ako je elipsa mala, na primjer, sa poluosama. Alternativno, možete smanjiti razmjer i, shodno tome, dimenzije crteža. Ali unutra opšti slučaj vrlo je poželjno pronaći dodatne bodove.

Postoje dva pristupa konstruisanju elipse - geometrijski i algebarski. Ne volim da gradim šestarom i lenjirom zbog kratkog algoritma i značajnog nereda crteža. Kada hitan slučaj pogledajte udžbenik, ali u stvarnosti je mnogo racionalnije koristiti sredstva algebre. Iz jednadžbe elipse na nacrtu brzo izražavamo:

Jednačina se tada dijeli na dvije funkcije:
– definira gornji luk elipse;
– definira donji luk elipse.

Elipsa data kanonskom jednačinom je simetrična u odnosu na koordinatne ose, kao i u odnosu na ishodište. I to je sjajno - simetrija je gotovo uvijek predznaka besplatnog. Očigledno, dovoljno je pozabaviti se 1. koordinatnom četvrtinom, pa nam je potrebna funkcija . Predlaže pronalaženje dodatnih tačaka sa apscisama . Na kalkulatoru smo pogodili tri SMS-a:

Naravno, prijatno je i da ako se napravi ozbiljna greška u proračunima, onda će to odmah postati jasno tokom izgradnje.

Označite tačke na crtežu (crvena boja), simetrične tačke na drugim lukovima ( Plava boja) i uredno povežite cijelu kompaniju linijom:


Bolje je početnu skicu nacrtati tanko i tanko, a tek onda pritisnuti olovku. Rezultat bi trebao biti sasvim pristojna elipsa. Usput, želite li znati koja je ova kriva?

Definicija elipse. Fokusi elipse i ekscentricitet elipse

Elipsa je poseban slučaj ovala. Riječ "oval" ne treba shvatiti u filistarskom smislu ("dijete je nacrtalo oval" itd.). Ovo je matematički termin sa detaljnom formulacijom. Svrha ove lekcije nije razmatranje teorije ovala i njihovih različitih tipova, kojima se praktički ne pridaje pažnja u standardnom kursu analitičke geometrije. I, u skladu sa aktuelnijim potrebama, odmah prelazimo na striktnu definiciju elipse:

Elipsa- ovo je skup svih tačaka ravni, zbir udaljenosti do svake od dvije date tačke, tzv. trikovi elipsa, je konstantna vrijednost, numerički jednaka dužini glavna osa ove elipse: .
U ovom slučaju, udaljenost između žarišta je manja datu vrijednost: .

Sada će biti jasnije:

Zamislite da se plava tačka "vozi" po elipsi. Dakle, bez obzira koju tačku elipse uzmemo, zbir dužina segmenata će uvijek biti isti:

Uvjerimo se da je u našem primjeru vrijednost sume zaista jednaka osam. Mentalno stavite tačku "em" u desni vrh elipse, a zatim: , što je trebalo provjeriti.

Drugi način crtanja elipse zasniva se na definiciji elipse. višu matematiku, s vremena na vrijeme, uzrok napetosti i stresa, pa je vrijeme za još jednu sesiju rasterećenja. Uzmite komad papira ili veliki list kartona i pričvrstite ga na stol sa dva eksera. To će biti trikovi. Zavežite zeleni konac na izbočene glave noktiju i povucite ga do kraja olovkom. Vrat olovke će biti u nekom trenutku, koji pripada elipsi. Sada počnite voditi olovku preko lista papira, držeći zelenu nit vrlo zategnutom. Nastavite proces dok se ne vratite na početnu tačku...odlično...crtež se može predati na provjeru od strane doktora nastavniku =)

Kako pronaći fokus elipse?

U gornjem primjeru prikazao sam "spremne" fokusne tačke, a sada ćemo naučiti kako ih izvući iz dubine geometrije.

Ako je elipsa data kanonskom jednadžbom , tada njena žarišta imaju koordinate , gdje je udaljenost od svakog od fokusa do centra simetrije elipse.

Proračuni su lakši od repe na pari:

! Sa značenjem "ce" nemoguće je identificirati specifične koordinate trikova! Ponavljam, ovo je UDALJENOST od svakog fokusa do centra(koji u opštem slučaju ne mora da se nalazi tačno na početku).
Stoga se ni razmak između žarišta ne može vezati za kanonski položaj elipse. Drugim riječima, elipsa se može pomjeriti na drugo mjesto i vrijednost će ostati nepromijenjena, dok će fokusi prirodno promijeniti svoje koordinate. Molimo razmotrite ovog trenutka tokom daljeg proučavanja teme.

Ekscentricitet elipse i njeno geometrijsko značenje

Ekscentricitet elipse je omjer koji može uzeti vrijednosti unutar .

u našem slučaju:

Hajde da saznamo kako oblik elipse zavisi od njenog ekscentriciteta. Za ovo popraviti lijevi i desni vrh elipse koja se razmatra, odnosno, vrijednost velike poluose će ostati konstantna. Tada će formula ekscentriciteta poprimiti oblik: .

Počnimo da aproksimiramo vrijednost ekscentriciteta na jedinicu. Ovo je moguće samo ako . Šta to znači? ...sećanje na trikove . To znači da će se žarišta elipse "raspršiti" duž ose apscise do bočnih vrhova. A kako „zeleni segmenti nisu gumeni“, elipsa će se neminovno početi spljoštavati, pretvarajući se u sve tanju i tanju kobasicu nanizanu na os.

dakle, što je ekscentricitet elipse bliži jedinici, to je elipsa duguljasta.

Sada simulirajmo suprotan proces: žarišta elipse išli jedan prema drugom, približavajući se centru. To znači da je vrijednost "ce" sve manja i, shodno tome, ekscentricitet teži nuli: .
U ovom slučaju, "zeleni segmenti", naprotiv, "postat će gužve" i počet će "gurati" liniju elipse gore-dolje.

dakle, što je vrijednost ekscentriciteta bliža nuli, to više izgleda elipsa... pogledajte granični slučaj, kada se žarišta uspješno ponovo ujedine u izvorištu:

Krug je poseban slučaj elipse

Zaista, u slučaju jednakosti poluosi, kanonska jednadžba elipse poprima oblik, koji se refleksno transformira u dobro poznatu kružnu jednačinu iz škole sa centrom u početku poluprečnika "a".

U praksi se češće koristi notacija sa "govornim" slovom "er":. Poluprečnik se naziva dužina segmenta, dok je svaka tačka kružnice udaljena od centra za udaljenost poluprečnika.

Imajte na umu da definicija elipse ostaje potpuno ispravna: fokusi se poklapaju, a zbir dužina podudarnih segmenata za svaku tačku na kružnici je konstantna vrijednost. Budući da je udaljenost između žarišta ekscentricitet bilo koje kružnice je nula.

Krug se gradi lako i brzo, dovoljno je naoružati se kompasom. Međutim, ponekad je potrebno saznati koordinate neke od njegovih tačaka, u ovom slučaju idemo poznatim putem - dovodimo jednačinu u veseli Matanov oblik:

je funkcija gornjeg polukruga;
je funkcija donjeg polukruga.

Onda nalazimo željene vrijednosti, diferencibilan, integrisati i činite druge dobre stvari.

Članak je, naravno, samo za referencu, ali kako se može živjeti bez ljubavi na svijetu? Kreativni zadatak za samostalno rješavanje

Primjer 2

Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako su poznati jedno od njenih žarišta i mala poluosa (centar je u ishodištu). Pronađite vrhove, dodatne tačke i nacrtajte liniju na crtežu. Izračunajte ekscentricitet.

Rješenje i crtež na kraju lekcije

Dodajmo akciju:

Rotirajte i prevedite elipsu

Vratimo se kanonskoj jednadžbi elipse, odnosno uslovu čija zagonetka muči radoznale umove od prvog spominjanja ove krive. Ovdje smo razmatrali elipsu , ali u praksi ne može jednačina ? Ipak, i ovdje se čini da je kao elipsa!

Takva jednadžba je rijetka, ali se sreće. I definiše elipsu. Rastjerajmo mistiku:

Kao rezultat konstrukcije, dobija se naša izvorna elipsa, rotirana za 90 stepeni. To je, - Ovo nekanonski unos elipsa . Record!- jednačina ne specificira nijednu drugu elipsu, jer nema tačaka (fokusa) na osi koje bi zadovoljile definiciju elipse.

Kanonska jednadžba elipse ima oblik

gdje je a velika poluosa; b - mala poluosa. Tačke F1(c,0) i F2(-c,0) − c se nazivaju

a, b - poluose elipse.

Pronalaženje fokusa, ekscentriciteta, direktrise elipse ako je poznata njena kanonska jednačina.

Definicija hiperbole. Foci hiperbole.

Definicija. Hiperbola je skup tačaka u ravni za koji je modul razlike udaljenosti od dvije date tačke, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost, manja od udaljenosti između žarišta.

Po definiciji, |r1 – r2|= 2a. F1, F2 su fokusi hiperbole. F1F2 = 2c.

Kanonska jednadžba hiperbole. Poluosi hiperbole. Konstrukcija hiperbole ako je poznata njena kanonska jednadžba.

Kanonska jednadžba:

Velika poluos hiperbole je polovina minimalne udaljenosti između dvije grane hiperbole, na pozitivnoj i negativne strane ose (lijevo i desno u odnosu na ishodište). Za granu koja se nalazi na pozitivnoj strani, poluos će biti jednaka:

Ako ga izrazimo u terminima konusnog presjeka i ekscentriciteta, onda će izraz dobiti oblik:

Pronalaženje fokusa, ekscentriciteta, direktrise hiperbole ako je poznata njena kanonska jednadžba.

Ekscentricitet hiperbole

Definicija. Omjer se naziva ekscentricitet hiperbole, gdje je c -

polovina udaljenosti između žarišta, i prava je poluosa.

Uzimajući u obzir činjenicu da je c2 - a2 = b2:

Ako je a \u003d b, e \u003d, tada se hiperbola naziva jednakostranična (jednakostrana).

Directrixe hiperbole

Definicija. Dvije prave okomite na realnu osu hiperbole i smještene simetrično oko centra na udaljenosti a/e od njega nazivaju se direktrise hiperbole. Njihove jednačine su:

Teorema. Ako je r udaljenost od proizvoljne tačke M hiperbole do nekog fokusa, d je udaljenost od iste tačke do direktrise koja odgovara ovom fokusu, tada je omjer r/d konstantna vrijednost jednaka ekscentricitetu.

Definicija parabole. Fokus i direktrisa parabole.

Parabola. Parabola je lokus tačaka od kojih je svaka jednako udaljena od date fiksne tačke i od date fiksne prave. Tačka na koju se pominje definicija naziva se fokus parabole, a prava linija njena direktrisa.

Kanonska jednadžba parabole. parabola parametar. Konstrukcija parabole.

Kanonska jednadžba parabole u pravougaonom koordinatnom sistemu je: (ili ako su ose obrnute).

Konstrukcija parabole za datu vrijednost parametra p izvodi se sljedećim redoslijedom:

Nacrtajte os simetrije parabole i položite na nju segment KF=p;

Direktrisa DD1 je povučena kroz tačku K okomitu na osu simetrije;

Segment KF je podijeljen na pola kako bi se dobio vrh 0 parabole;

Broj proizvoljnih tačaka 1, 2, 3, 5, 6 se mjeri od vrha sa postupnim rastojanjem između njih;

Kroz ove tačke povlače se pomoćne linije okomito na osu parabole;

Na pomoćnim pravim linijama serifi se izrađuju s radijusom jednakim udaljenosti od prave do direktrise;

Rezultirajuće tačke su povezane glatkom krivom.

Definicija 7.1. Skup svih tačaka na ravni za koje je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 zadana konstanta naziva se elipsa.

Definicija elipse daje sljedeći način njene geometrijske konstrukcije. Dve tačke F 1 i F 2 fiksiramo na ravni, a nenegativnu konstantnu vrednost označavamo sa 2a. Neka je udaljenost između tačaka F 1 i F 2 jednaka 2c. Zamislite da je nerastavljiva nit dužine 2a fiksirana u tačkama F 1 i F 2, na primjer, uz pomoć dvije igle. Jasno je da je to moguće samo za a ≥ c. Povlačeći nit olovkom, nacrtajte liniju koja će biti elipsa (slika 7.1).

Dakle, opisani skup nije prazan ako je a ≥ c. Kada je a = c, elipsa je segment sa krajevima F 1 i F 2, a kada je c = 0, tj. ako se fiksne tačke navedene u definiciji elipse poklapaju, to je krug poluprečnika a. Odbacujući ove degenerisane slučajeve, dalje ćemo pretpostavljati, po pravilu, da je a > c > 0.

Fiksne tačke F 1 i F 2 u definiciji 7.1 elipse (vidi sliku 7.1) nazivaju se elipse trikovi, rastojanje između njih, označeno sa 2c, - žižna daljina, i segmenti F 1 M i F 2 M, koji povezuju proizvoljnu tačku M na elipsi sa njenim fokusima, - žarišne radijuse.

Oblik elipse u potpunosti je određen žižnom daljinom |F 1 F 2 | = 2s i parametar a, a njegov položaj na ravni - parom tačaka F 1 i F 2 .

Iz definicije elipse proizilazi da je ona simetrična u odnosu na pravu liniju koja prolazi kroz žarišta F 1 i F 2, kao i na pravu liniju koja dijeli segment F 1 F 2 na pola i okomita je na njega (sl. 7.2, a). Ove linije se nazivaju elipse osi. Tačka O njihovog presjeka je centar simetrije elipse, a naziva se centar elipse, i tačke preseka elipse sa osama simetrije (tačke A, B, C i D na slici 7.2, a) - vrhove elipse.

Poziva se broj a velika poluosa elipse, i b = √ (a 2 - c 2) - its mala poluosovina. Lako je vidjeti da je za c > 0 glavna poluosa a jednaka udaljenosti od centra elipse do onih njenih vrhova koji su na istoj osi kao i žarišta elipse (vrhovi A i B na Sl. 7.2, a), a mala poluosa b jednaka je udaljenosti od centralne elipse do njena druga dva vrha (vrhovi C i D na slici 7.2, a).

Jednadžba elipse. Posmatrajmo neku elipsu na ravni sa fokusima u tačkama F 1 i F 2, velika osa 2a. Neka je 2c žižna daljina, 2c = |F 1 F 2 |

Na ravni biramo pravougaoni koordinatni sistem Oxy tako da se njegovo ishodište poklapa sa centrom elipse, a fokusi su na apscisa(Sl. 7.2, b). Ovaj koordinatni sistem se zove kanonski za elipsu koja se razmatra, a odgovarajuće varijable su kanonski.

U odabranom koordinatnom sistemu fokusi imaju koordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Koristeći formulu za rastojanje između tačaka, zapisujemo uslov |F 1 M| + |F 2 M| = 2a u koordinatama:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ova jednadžba je nezgodna jer sadrži dva kvadratna radikala. Pa hajde da ga transformišemo. Prenesimo drugi radikal u jednadžbi (7.2) na desna strana i kvadrat:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Nakon što otvorimo zagrade i smanjimo slične pojmove, dobijamo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

gdje je ε = c/a. Ponavljamo operaciju kvadriranja da uklonimo i drugi radikal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ili, s obzirom na vrijednost unesenog parametra ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Pošto je a 2 - c 2 = b 2 > 0, onda

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Jednačina (7.4) je zadovoljena koordinatama svih tačaka koje leže na elipsi. Ali pri izvođenju ove jednadžbe korištene su neekvivalentne transformacije izvorne jednadžbe (7.2) - dvije kvadrature koje uklanjaju kvadratne radikale. Kvadriranje jednadžbe je ekvivalentna transformacija ako obje strane sadrže količine s istim predznakom, ali to nismo provjerili u našim transformacijama.

Možda nećemo provjeriti ekvivalentnost transformacija ako uzmemo u obzir sljedeće. Par tačaka F 1 i F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, na ravni definiše familiju elipsa sa fokusima u ovim tačkama. Svaka tačka ravni, osim tačaka segmenta F 1 F 2 , pripada nekoj elipsi navedene porodice. U ovom slučaju se dvije elipse ne seku, jer zbir žarišnih radijusa jednoznačno određuje određenu elipsu. Dakle, opisana porodica elipsa bez preseka pokriva celu ravan, osim tačaka segmenta F 1 F 2 . Razmotrimo skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (7.4) sa datom vrijednošću parametra a. Može li se ovaj skup rasporediti na nekoliko elipsa? Neke od tačaka skupa pripadaju elipsi sa velikom poluosom a. Neka u ovom skupu postoji tačka koja leži na elipsi sa velikom poluosom a. Tada koordinate ove tačke odgovaraju jednadžbi

one. jednačine (7.4) i (7.5) imaju opšta rješenja. Međutim, lako je provjeriti da li je sistem

za ã ≠ a nema rješenja. Da biste to učinili, dovoljno je isključiti, na primjer, x iz prve jednadžbe:

što nakon transformacija dovodi do jednačine

nema rješenja za ã ≠ a, jer . Dakle, (7.4) je jednadžba elipse sa velikom poluosom a > 0 i malom poluosom b = √ (a 2 - c 2) > 0. Zove se kanonska jednadžba elipse.

Pogled elipse. Gore razmatrana geometrijska metoda konstruisanja elipse daje dovoljnu ideju o tome izgled elipsa. Ali oblik elipse može se istražiti i uz pomoć njene kanonske jednačine (7.4). Na primjer, uzimajući u obzir y ≥ 0, možete izraziti y u terminima x: y = b√(1 - x 2 /a 2) i, nakon ispitivanja ove funkcije, izgraditi njen graf. Postoji još jedan način da se konstruiše elipsa. Krug poluprečnika a sa centrom u početku kanonskog koordinatnog sistema elipse (7.4) opisuje se jednačinom x 2 + y 2 = a 2 . Ako je komprimiran sa koeficijentom a/b > 1 uzduž y-osa, onda dobijete krivulju koja je opisana jednadžbom x 2 + (ya / b) 2 = a 2, tj. elipsom.

Napomena 7.1. Ako je isti krug komprimiran sa koeficijentom a/b

Ekscentričnost elipse. Omjer žižne daljine elipse i njene glavne ose se naziva ekscentricitet elipse i označeno sa ε. Za datu elipsu

kanonska jednačina (7.4), ε = 2c/2a = s/a. Ako su u (7.4) parametri a i b povezani nejednakošću a

Za c = 0, kada se elipsa pretvara u krug, i ε = 0. U drugim slučajevima, 0

Jednačina (7.3) je ekvivalentna jednačini (7.4) jer su jednačine (7.4) i (7.2) ekvivalentne. Prema tome, (7.3) je i jednačina elipse. Osim toga, relacija (7.3) je zanimljiva po tome što daje jednostavnu formulu bez radikala za dužinu |F 2 M| jedan od fokalnih radijusa tačke M(x; y) elipse: |F 2 M| = a + εx.

Slična formula za drugi žarišni radijus može se dobiti iz razmatranja simetrije ili ponavljanjem proračuna u kojem se, prije kvadriranja jednadžbe (7.2), prvi radikal prenosi na desnu stranu, a ne drugi. Dakle, za bilo koju tačku M(x; y) na elipsi (vidi sliku 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

i svaka od ovih jednačina je jednačina elipse.

Primjer 7.1. Nađimo kanonsku jednačinu elipse sa velikom poluosom 5 i ekscentricitetom 0,8 i konstruirajmo je.

Poznavajući veliku poluos elipse a = 5 i ekscentricitet ε = 0,8, nalazimo njenu malu poluos b. Budući da b = √ (a 2 - c 2), i c = εa = 4, onda b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Dakle, kanonska jednadžba ima oblik x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Da biste konstruirali elipsu, prikladno je nacrtati pravougaonik sa središtem u ishodištu kanonskog koordinatnog sistema, čije su stranice paralelne s osi simetrije elipse i jednake njenoj odgovarajuće ose (slika 7.4). Ovaj pravougaonik se siječe sa

ose elipse u njenim vrhovima A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), i sama elipsa je upisana u nju. Na sl. 7.4 takođe prikazuje fokuse F 1.2 (±4; 0) elipse.

Geometrijska svojstva elipse. Prepišimo prvu jednačinu u (7.6) kao |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Imajte na umu da je vrijednost a / ε - x za a > c pozitivna, jer fokus F 1 ne pripada elipsi. Ova vrijednost je udaljenost do vertikalne linije d: x = a/ε od tačke M(x; y) lijevo od ove prave. Jednačina elipse se može napisati kao

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

To znači da se ova elipsa sastoji od onih tačaka M (x; y) ravni za koje je odnos dužine žarišnog radijusa F 1 M i udaljenosti do prave linije d konstantna vrijednost jednaka ε (Sl. 7.5).

Prava d ima "dvostruku" - vertikalnu liniju d", simetričnu na d u odnosu na centar elipse, koja je data jednadžbom x \u003d -a / ε. U odnosu na d, elipsa je opisana na isti način kao u odnosu na d. Oba pravca d i d" se zovu elipse direktrise. Direktrise elipse su okomite na os simetrije elipse na kojoj se nalaze njena žarišta, a odvojene su od centra elipse rastojanjem a / ε = a 2 / c (vidi sliku 7.5).

Udaljenost p od direktrise do njoj najbližeg fokusa naziva se fokalni parametar elipse. Ovaj parametar je jednak

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elipsa ima još jedno važno geometrijsko svojstvo: žarišni radijusi F 1 M i F 2 M čine jednake uglove sa tangentom na elipsu u tački M (slika 7.6).

Ovo svojstvo ima jasno fizičko značenje. Ako se izvor svjetlosti postavi u fokus F 1, tada će snop koji izlazi iz ovog fokusa, nakon odbijanja od elipse, ići duž drugog žarišnog radijusa, jer će nakon refleksije biti pod istim kutom prema krivulji kao prije refleksije . Tako će svi zraci koji napuštaju fokus F 1 biti koncentrisani u drugom fokusu F 2 i obrnuto. Na osnovu ovog tumačenja, ovo svojstvo se zove optičko svojstvo elipse.

Predavanja iz algebre i geometrije. Semestar 1.

Predavanje 15. Elipsa.

Poglavlje 15

stavka 1. Osnovne definicije.

Definicija. Elipsa je GMT ravni, čiji je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost.

Definicija. Udaljenost od proizvoljne tačke M ravni do fokusa elipse naziva se žarišnim radijusom tačke M.

Oznake:
su fokusi elipse,
su žarišni radijusi tačke M.

Po definiciji elipse, tačka M je tačka elipse ako i samo ako
je konstantna vrijednost. Ova konstanta se obično označava kao 2a:

. (1)

primeti, to
.

Po definiciji elipse, njena žarišta su fiksne tačke, tako da je i udaljenost između njih konstantna vrijednost za datu elipsu.

Definicija. Udaljenost između žarišta elipse naziva se žižna daljina.

Oznaka:
.

Iz trougla
sledi to
, tj.

.

Označite sa b broj jednak
, tj.

. (2)

Definicija. Stav

(3)

naziva se ekscentricitet elipse.

Hajde da uvedemo koordinatni sistem na datu ravan, koji ćemo nazvati kanonskim za elipsu.

Definicija. Osa na kojoj leže žarišta elipse naziva se fokalna osa.

Konstruirajmo kanonski PDSC za elipsu, vidi sl.2.

Odaberemo fokalnu osu kao apscisnu osu i povučemo os ordinate kroz sredinu segmenta
okomito na fokalnu osu.

Tada fokusi imaju koordinate
,
.

tačka 2. Kanonska jednadžba elipse.

Teorema. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, jednačina elipse ima oblik:

. (4)

Dokaz. Dokaz ćemo provesti u dvije faze. U prvoj fazi ćemo dokazati da koordinate bilo koje tačke koja leži na elipsi zadovoljavaju jednačinu (4). U drugoj fazi ćemo dokazati da svako rješenje jednadžbe (4) daje koordinate tačke koja leži na elipsi. Odavde će slijediti da jednačinu (4) zadovoljavaju one i samo one tačke koordinatne ravni koje leže na elipsi. Odavde i iz definicije jednačine krive slijedi da je jednačina (4) jednačina elipse.

1) Neka je tačka M(x, y) tačka elipse, tj. zbir njegovih žarišnih radijusa je 2a:

.

Koristimo formulu za udaljenost između dvije tačke na koordinatna ravan i pronađite žarišne polumjere date tačke M koristeći ovu formulu:

,
, odakle dobijamo:

Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo ga:

Smanjenjem dobijamo:

Dajemo slične, smanjimo za 4 i izolujemo radikal:

.

We square

Otvorite zagrade i skratite
:

odakle dobijamo:

Koristeći jednakost (2) dobijamo:

.

Posljednju jednakost dijelimo sa
, dobijamo jednakost (4), p.t.d.

2) Neka sada par brojeva (x, y) zadovoljava jednačinu (4) i neka je M(x, y) odgovarajuća tačka na Oxy koordinatnoj ravni.

Tada iz (4) slijedi:

.

Ovu jednakost zamjenjujemo u izraz za žarišne polumjere tačke M:

.

Ovdje smo koristili jednakost (2) i (3).

dakle,
. Isto tako,
.

Zapazimo sada da iz jednakosti (4) slijedi da

ili
i zato
, onda slijedi sljedeća nejednakost:

.

Iz ovoga, pak, slijedi da

ili
I

,
. (5)

Iz jednakosti (5) slijedi da je
, tj. tačka M(x, y) je tačka elipse, itd.

Teorema je dokazana.

Definicija. Jednačina (4) se zove kanonska jednačina elipse.

Definicija. Kanonske koordinatne ose za elipsu nazivaju se glavne ose elipse.

Definicija. Porijeklo kanonskog koordinatnog sistema za elipsu se naziva središte elipse.

tačka 3. Svojstva elipse.

Teorema. (Svojstva elipse.)

1. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, sve

tačke elipse su u pravougaoniku

,
.

2. Tačke leže na

3. Elipsa je kriva simetrična oko sebe

njihove glavne ose.

4. Centar elipse je njen centar simetrije.

Dokaz. 1, 2) Odmah slijedi iz kanonske jednačine elipse.

3, 4) Neka je M(x, y) proizvoljna tačka elipse. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (4). Ali tada koordinate tačaka također zadovoljavaju jednačinu (4), te su, prema tome, tačke elipse, iz kojih slijede tvrdnje teoreme.

Teorema je dokazana.

Definicija. Veličina 2a naziva se glavna osa elipse, a veličina a naziva se glavna poluosa elipse.

Definicija. Veličina 2b naziva se mala osa elipse, veličina b naziva se mala poluosa elipse.

Definicija. Točke preseka elipse sa njenim glavnim osama nazivaju se vrhovi elipse.

Komentar. Elipsa se može konstruisati na sledeći način. U avionu "zabijamo ekser" u trikove i na njih pričvršćujemo konac dužine
. Zatim uzmemo olovku i njome razvučemo konac. Zatim pomičemo olovku olovke duž ravnine, pazeći da je konac u zategnutom stanju.

Iz definicije ekscentriciteta slijedi da

Fiksiramo broj a i pustimo da c teži nuli. Zatim u
,
I
. U limitu koji dobijamo

ili
je jednačina kružnice.

Pokušajmo sada
. Onda
,
i vidimo da se u granici elipsa degeneriše u segment
u oznakama na slici 3.

tačka 4. Parametarske jednadžbe elipse.

Teorema. Neka
su proizvoljni realni brojevi. Zatim sistem jednačina

,
(6)

su parametarske jednačine elipse u kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je sistem jednačina (6) ekvivalentan jednačini (4), tj. imaju isti skup rješenja.

1) Neka je (x, y) proizvoljno rješenje sistema (6). Podijelite prvu jednačinu sa a, drugu sa b, kvadrirajte obje jednadžbe i dodajte:

.

One. svako rješenje (x, y) sistema (6) zadovoljava jednačinu (4).

2) Obrnuto, neka je par (x, y) rješenje jednačine (4), tj.

.

Iz ove jednakosti slijedi da je tačka sa koordinatama
leži na kružnici jediničnog poluprečnika sa središtem u početku, tj. je tačka trigonometrijskog kruga, koja odgovara nekom uglu
:

Iz definicije sinusa i kosinusa, to odmah slijedi

,
, Gdje
, odakle slijedi da je par (x, y) rješenje sistema (6) itd.

Teorema je dokazana.

Komentar. Elipsa se može dobiti kao rezultat ujednačenog "komprimiranja" kruga polumjera a na osu apscise.

Neka
je jednadžba kružnice sa središtem u početku. "Kompresija" kružnice na os apscise nije ništa drugo do transformacija koordinatne ravni, izvedena prema sljedećem pravilu. Svakoj tački M(x, y) stavljamo u korespondenciju tačku iste ravni
, Gdje
,
je faktor "kompresije".

Ovom transformacijom svaka tačka kružnice "prelazi" u drugu tačku u ravni, koja ima istu apscisu, ali manju ordinatu. Izrazimo staru ordinatu tačke u terminima nove:

i zamijeni u jednadžbu kruga:

.

Odavde dobijamo:

. (7)

Iz ovoga slijedi da ako prije transformacije „kompresije“ tačka M(x, y) leži na kružnici, tj. njene koordinate su zadovoljile jednadžbu kružnice, a zatim je nakon transformacije "kompresije" ova tačka "prešla" u tačku
, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse (7). Ako želimo da dobijemo jednadžbu elipse sa malom poluosom b, onda moramo uzeti faktor kompresije

.

tačka 5. Tangenta na elipsu.

Teorema. Neka
- proizvoljna tačka elipse

.

Zatim jednačina tangente na ovu elipsu u tački
izgleda kao:

. (8)

Dokaz. Dovoljno je razmotriti slučaj kada tačka dodira leži u prvoj ili drugoj četvrtini koordinatne ravni:
. Jednačina elipse u gornjoj poluravni ima oblik:

. (9)

Koristimo jednadžbu tangente na graf funkcije
u tački
:

Gdje
je vrijednost derivacije ove funkcije u tački
. Elipsa u prvoj četvrtini može se posmatrati kao grafik funkcije (8). Nađimo njegov derivat i njegovu vrijednost na tački kontakta:

,

. Ovdje smo iskoristili činjenicu da je dodirna tačka
je tačka elipse i stoga njene koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse (9), tj.

.

Pronađenu vrijednost derivacije zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu (10):

,

odakle dobijamo:

Ovo podrazumijeva:

Podijelimo ovu jednačinu na
:

.

Ostaje to primijetiti
, jer dot
pripada elipsi i njene koordinate zadovoljavaju njenu jednadžbu.

Jednačina tangente (8) dokazuje se slično u tački tangente koja leži u trećoj ili četvrtoj četvrtini koordinatne ravni.

I, konačno, lako možemo vidjeti da jednačina (8) daje jednačinu tangente u tačkama
,
:

ili
, And
ili
.

Teorema je dokazana.

tačka 6. Svojstvo ogledala elipse.

Teorema. Tangenta na elipsu ima jednake uglove sa žarišnim radijusima tangentne tačke.

Neka
- tačka kontakta
,
su žarišni radijusi tangentne tačke, P i Q su projekcije žarišta na tangentu povučenu na elipsu u tački
.

Teorema to kaže

. (11)

Ova jednakost se može protumačiti kao jednakost uglova upada i refleksije svjetlosnog snopa od elipse oslobođene svog fokusa. Ovo svojstvo se naziva svojstvom ogledala elipse:

Snop svjetlosti emitiran iz fokusa elipse, nakon refleksije od ogledala elipse, prolazi kroz drugi fokus elipse.

Dokaz teoreme. Da bismo dokazali jednakost uglova (11), dokazujemo sličnost trokuta
I
, u kojoj su strane
I
će biti slično. Budući da su trouglovi pravokutni, dovoljno je dokazati jednakost

Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka u ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke F_1, a F_2 je konstantna vrijednost (2a), veća od udaljenosti (2c) između ovih datih tačaka (Sl. 3.36, a). Ova geometrijska definicija izražava fokalno svojstvo elipse.

Fokalno svojstvo elipse

Tačke F_1 i F_2 se nazivaju fokusi elipse, udaljenost između njih 2c=F_1F_2 je žižna daljina, središte O segmenta F_1F_2 je centar elipse, broj 2a je dužina glavne ose elipse (odnosno, broj a je glavna poluosa elipse). Segmenti F_1M i F_2M koji povezuju proizvoljnu tačku M elipse sa njenim žarištima nazivaju se fokalni radijusi tačke M. Segment koji spaja dvije tačke elipse naziva se tetiva elipse.

Omjer e=\frac(c)(a) naziva se ekscentricitet elipse. Iz definicije (2a>2c) slijedi da je 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometrijska definicija elipse, izražavajući njegovo fokalno svojstvo, ekvivalentno je njegovoj analitičkoj definiciji - liniji datoj kanonskom jednadžbom elipse:

Zaista, hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem (slika 3.36, c). Centar O elipse uzima se kao ishodište koordinatnog sistema; pravu liniju koja prolazi kroz žarišta (fokalnu os ili prvu os elipse), uzimamo za osu apscise (pozitivan smjer na njoj od tačke F_1 do tačke F_2); prava linija okomita na fokalnu osu i koja prolazi kroz centar elipse (druga os elipse) uzima se kao y-osa (smjer na y-osi je odabran tako da je pravokutni koordinatni sistem Oxy pravi ).

Hajde da formulišemo jednačinu elipse koristeći njenu geometrijsku definiciju, koja izražava fokalno svojstvo. U odabranom koordinatnom sistemu određujemo koordinate žarišta F_1(-c,0),~F_2(c,0). Za proizvoljnu tačku M(x,y) koja pripada elipsi imamo:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Zapisujući ovu jednakost u koordinatnom obliku, dobijamo:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Drugi radikal prenosimo na desnu stranu, kvadriramo obje strane jednadžbe i dajemo slične pojmove:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Dijeljenjem sa 4 kvadriramo obje strane jednadžbe:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Označavanje b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dobijamo b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Podijelivši oba dijela sa a^2b^2\ne0, dolazimo do kanonske jednadžbe elipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Stoga je odabrani koordinatni sistem kanonski.

Ako se žarišta elipse poklapaju, onda je elipsa kružnica (slika 3.36.6), pošto je a=b. U ovom slučaju, bilo koji pravougaoni koordinatni sistem sa ishodištem u tački O\ekviv. F_1\ekviv. F_2, a jednadžba x^2+y^2=a^2 je jednačina kružnice sa centrom O i polumjerom a .

Rezoniranjem unatrag može se pokazati da sve tačke čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (3.49), a samo one pripadaju lokusu tačaka, koji se naziva elipsa. Drugim riječima, analitička definicija elipse je ekvivalentna njenoj geometrijskoj definiciji, koja izražava fokalno svojstvo elipse.

Svojstvo imenika elipse

Direktrise elipse su dvije prave koje prolaze paralelno sa ordinatnom osom kanonskog koordinatnog sistema na istoj udaljenosti \frac(a^2)(c) od nje. Za c=0, kada je elipsa kružnica, nema direktrisa (možemo pretpostaviti da su direktrise beskonačno uklonjene).

Elipsa sa ekscentricitetom 0 lokus tačaka u ravni, za svaku od kojih je odnos udaljenosti do date tačke F (fokus) i udaljenosti do date prave linije d (direktrise) koja ne prolazi kroz datu tačku konstantan i jednak ekscentricitet e ( svojstvo imenika elipse). Ovdje su F i d jedno od fokusa elipse i jedna od njenih direktrisa, koje se nalaze na istoj strani y-ose kanonskog koordinatnog sistema, tj. F_1,d_1 ili F_2,d_2 .

Zaista, na primjer, za fokus F_2 i direktrisu d_2 (slika 3.37.6) uvjet \frac(r_2)(\rho_2)=e može se napisati u koordinatnom obliku:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\desno)

Oslobađanje od iracionalnosti i zamena e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dolazimo do kanonske jednadžbe elipse (3.49). Slično razmišljanje se može izvesti za fokus F_1 i direktrisu d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Jednadžba elipse u polarnim koordinatama

Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu F_1r\varphi (sl.3.37,c i 3.37(2)) ima oblik

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

gdje je p=\frac(b^2)(a) fokalni parametar elipse.

U stvari, izaberimo lijevi fokus F_1 elipse kao pol polarnog koordinatnog sistema, a zrak F_1F_2 kao polarnu osu (slika 3.37, c). Tada za proizvoljnu tačku M(r,\varphi), prema geometrijskoj definiciji (fokalnom svojstvu) elipse, imamo r+MF_2=2a. Izražavamo udaljenost između tačaka M(r,\varphi) i F_2(2c,0) (vidi ):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(poravnano)

Stoga, u koordinatnom obliku, jednadžba elipse F_1M+F_2M=2a ima oblik

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Izoliramo radikal, kvadriramo obje strane jednadžbe, dijelimo sa 4 i dajemo slične pojmove:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Izražavamo polarni radijus r i vršimo zamjenu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Geometrijsko značenje koeficijenata u jednadžbi elipse

Nađimo tačke preseka elipse (vidi sliku 3.37, a) sa koordinatnim osama (vrhovima zlipova). Zamjenom y=0 u jednačinu, nalazimo točke presjeka elipse sa apscisnom osom (sa fokusnom osom): x=\pm a . Stoga je dužina segmenta žižne ose zatvorene unutar elipse jednaka 2a. Ovaj segment, kao što je gore navedeno, naziva se glavna osa elipse, a broj a je glavna polu-osa elipse. Zamjenom x=0 dobijamo y=\pm b. Dakle, dužina segmenta druge ose elipse zatvorene unutar elipse jednaka je 2b. Ovaj segment se naziva mala osa elipse, a broj b naziva se mala poluosa elipse.

stvarno, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, a jednakost b=a se dobija samo u slučaju c=0 kada je elipsa kružnica. Stav k=\frac(b)(a)\leqslant1 naziva se faktor kontrakcije elipse.

Napomene 3.9

1. Prave x=\pm a,~y=\pm b ograničavaju glavni pravougaonik na koordinatnoj ravni, unutar koje se nalazi elipsa (vidi sliku 3.37, a).

2. Elipsa se može definirati kao geometrija tačaka dobijena sažimanjem kruga na njegov prečnik.

Zaista, neka u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy jednačina kružnice ima oblik x^2+y^2=a^2. Kada se komprimuje na x-osu sa faktorom 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Zamjenom x=x" i y=\frac(1)(k)y" u jednadžbu kruga, dobijamo jednačinu za koordinate slike M"(x",y") tačke M(x ,y):

(x")^2+(\lijevo(\frac(1)(k)\cdot y"\desno)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

budući da je b=k\cdot a . Ovo je kanonska jednadžba elipse.

3. Koordinatne ose (kanonskog koordinatnog sistema) su ose simetrije elipse (koje se nazivaju glavne ose elipse), a njen centar je centar simetrije.

Zaista, ako tačka M(x,y) pripada elipsi . tada tačke M"(x,-y) i M""(-x,y) , simetrične tački M u odnosu na koordinatne ose, takođe pripadaju istoj elipsi.

4. Iz jednadžbe elipse u polarnom koordinatnom sistemu r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vidi sliku 3.37, c), geometrijsko značenje žarišnog parametra je razjašnjeno - ovo je polovina dužine tetive elipse koja prolazi kroz njen fokus okomito na fokalnu osu (r = p na \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Ekscentricitet e karakterizira oblik elipse, odnosno razliku između elipse i kružnice. Što je veće e, to je elipsa izduženija, a što je e bliže nuli, to je elipsa bliža kružnici (slika 3.38, a). Zaista, s obzirom da je e=\frac(c)(a) i c^2=a^2-b^2, dobijamo

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\desno )\^2=1-k^2, !}

gdje je k faktor kontrakcije elipse, 0

6. Jednačina \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 za

7. Jednačina \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiše elipsu sa centrom u tački O "(x_0, y_0) čije su ose paralelne sa koordinatnim osama (slika 3.38, c). Ova jednačina se svodi na kanonsku pomoću paralelnog prevođenja (3.36).

Za a=b=R jednačina (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje krug radijusa R sa centrom u tački O"(x_0,y_0) .

Parametrijska jednadžba elipse

Parametrijska jednadžba elipse u kanonskom koordinatnom sistemu ima oblik

\begin(slučajevi)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(slučajevi)0\leqslant t<2\pi.

Zaista, zamjenom ovih izraza u jednačinu (3.49), dolazimo do osnovnog trigonometrijskog identiteta \cos^2t+\sin^2t=1.

Primjer 3.20. nacrtati elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 u kanonskom koordinatnom sistemu Oxy . Pronađite poluose, žižnu daljinu, ekscentricitet, omjer širine i visine, fokusni parametar, jednačine direktrise.

Rješenje. Upoređujući datu jednačinu sa kanonskom, određujemo poluose: a=2 - velika poluosa, b=1 - mala poluosa elipse. Gradimo glavni pravougaonik sa stranicama 2a=4,~2b=2 centriranim na ishodištu (Sl.3.39). S obzirom na simetriju elipse, uklapamo je u glavni pravougaonik. Ako je potrebno, odredimo koordinate nekih tačaka elipse. Na primjer, zamjenom x=1 u jednačinu elipse, dobijamo

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Dakle, tačke sa koordinatama \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pripadaju elipsi.

Izračunajte omjer kompresije k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); žižna daljina 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentričnost e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokalni parametar p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Sastavljamo jednadžbe direktrisa: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).