Konstruirati diskretne i intervalne serije raspodjele. Konstrukcija diskretne varijacione serije

Tabela 1. Opšti pogled na diskretnu varijantnu seriju frekvencija

Tabela 2. Opšti prikaz intervalnih varijacionih serija frekvencija

Tabela 3. Grafičke slike serije varijacija

Red	Poligon ili histogram		Empirijska funkcija distribucije
Diskretno
Interval

U tabeli 2.3 (Grupacija ruskog stanovništva prema prosječnom dohotku po glavi stanovnika u aprilu 1994.) je prikazana intervalne varijacione serije.
Pogodno je analizirati nizove distribucije pomoću grafičke slike, koja omogućava prosuđivanje oblika distribucije. Vizuelni prikaz prirode promjena u frekvencijama varijacionih serija je dat pomoću poligon i histogram.
Poligon se koristi kada se prikazuje diskretna serija varijacija.
Hajde da, na primjer, grafički prikažemo raspodjelu stambenog fonda po tipu stana (tabela 2.10).
Tabela 2.10 - Raspodjela stambenog fonda urbanog područja prema tipu stana (uslovne brojke).

Rice. Distribucija stambenog prostora

Rice. 2.2. Histogram distribucije porodica prema veličini stambenog prostora po osobi

Rice. 2.3. Kumulativna distribucija porodica prema veličini stambenog prostora po osobi

Može se koristiti i za grafičko predstavljanje serije varijacija kumulativna kriva. Koristeći kumulaciju (krivulja zbira), prikazan je niz akumuliranih frekvencija. Kumulativne frekvencije se određuju uzastopnim zbrajanjem frekvencija po grupama i pokazuju koliko jedinica u populaciji ima vrijednosti atributa ne veće od vrijednosti koja se razmatra.

Rice. 2.4. Ogive raspodjele porodica prema veličini stambenog prostora po osobi

Prilikom konstruiranja kumulata intervalne varijacione serije, varijante niza se crtaju duž ose apscise, a akumulirane frekvencije se crtaju duž ordinatne ose.

Karakteristike koje proučava statistika variraju (razlikuju se jedna od druge) među različitim jedinicama stanovništva u istom periodu ili vremenskom trenutku. Na primjer, iznos spoljnotrgovinskog prometa varira između odjeljenja Federalne carinske službe; količina izvoza (uvoza) varira po pravcu izvoza (za različite zemlje partnere u spoljnoj trgovini), po vrsti robe itd.

Razlog varijacije su različiti uslovi za postojanje različitih jedinica totaliteta. Na primjer, veliki broj razloga utiče na obim vanjske trgovine u različitim zemljama svijeta.

Za upravljanje i proučavanje varijacija pomoću statistike razvijene su posebne metode za proučavanje varijacija, sistem indikatora uz pomoć kojih se mjeri varijacija i karakterišu njena svojstva.

Prva faza statističkog proučavanja varijacije je konstrukcija distribucijske serije(ili varijantne serije) – uređena distribucija jedinica populacije prema rastućim (češće) ili opadajućim (rjeđe) vrijednostima karakteristike i brojanju broja jedinica sa određenom vrijednošću karakteristike.

postoje 3 vrsta red distribucije:

1) rangirana serija– ovo je lista pojedinačnih jedinica stanovništva u rastućem redoslijedu prema osobini koja se proučava (na primjer, tabela 11); ako je broj populacijskih jedinica dovoljno velik, rangirana serija postaje glomazna, te se u takvim slučajevima distribucijski niz konstruira grupiranjem jedinica populacije prema vrijednostima karakteristike koja se proučava (ako karakteristika ima mali broj vrijednosti , tada se konstruiše diskretni niz, a inače intervalni niz);

2) diskretne serije- ovo je tabela koja se sastoji od dvije kolone (reda) - specifične vrijednosti različite karakteristike Xi i broj populacijskih jedinica sa datom karakterističnom vrijednošću fi– frekvencije; broj grupa u diskretnoj seriji određen je brojem stvarno postojećih vrijednosti različite karakteristike;

3) intervalne serije- ovo je tabela koja se sastoji od dvije kolone (reda) - intervala različite karakteristike Xi i broj populacijskih jedinica koje spadaju u dati interval (učestalosti), ili udio ovog broja u ukupnom broju populacija (učestalosti).

Izgradimo niz distribucije spoljnotrgovinskog prometa (FO) na carinskim ispostavama u Rusiji, za šta je potrebno izvršiti statističko posmatranje, odnosno prikupiti primarni statistički materijal, koji predstavlja vrijednost VO na carinskim ispostavama.

Rezultate posmatranja VO na 35 carinskih ispostava u regionu za izvještajni period prikazaćemo u vidu serije distribucije rangirane po rastu vrijednosti VO (tabela 11).

Tabela 11. Spoljnotrgovinski promet (FO) za 35 carinskih ispostava, miliona dolara.

Odredimo prosječnu veličinu VO koristeći formulu (10), uzimajući kao X vrijednost VO, i za N– broj postova:

= = 2100/35 = 60 (miliona dolara)

Odredit ćemo varijansu (o tome ćemo govoriti malo kasnije - u 4. fazi analize varijacije u ovoj temi) koristeći formulu (28):

= = 445.778 (miliona dolara 2)

Napravimo intervalnu seriju distribucije VO po carinskim ispostavama, za koju je potrebno odabrati optimalan broj grupa (atributnih intervala) i odrediti dužinu (opseg) intervala. Budući da se prilikom analize distributivnog niza upoređuju frekvencije u različitim intervalima, potrebno je da dužina intervala bude konstantna. Optimalan broj grupa je odabran tako da se raznolikost vrijednosti atributa u agregatu u dovoljnoj mjeri odrazi i, istovremeno, obrazac distribucije ne bude iskrivljen slučajnim fluktuacijama frekvencije. Ako ima premalo grupa, obrazac varijacije se neće pojaviti; ako ima previše grupa, slučajni skokovi frekvencije će iskriviti oblik distribucije.

Najčešće se broj grupa u nizu distribucije određuje pomoću Sturgessove formule (19) ili (20):

(19) ili ,(20)

Gdje k– broj grupa (zaokružen na najbliži cijeli broj); N– veličina populacije.

Iz Sturgessove formule jasno je da je broj grupa funkcija volumena podataka ( N).

Znajući broj grupa, izračunajte dužinu (raspon) intervala koristeći formulu (21):

,(21)

Gdje X max i X min - maksimalne i minimalne vrijednosti ukupno.

U našem primjeru o VO, koristeći Sturgessovu formulu (19), određujemo broj grupa:

k = 1 + 3,322lg 35 = 1+ 3,322*1,544 = 6,129 ≈ 6.

Izračunajmo dužinu (raspon) intervala koristeći formulu (21):

h= (111,16 – 24,16)/6 = 87/6 = 14,5 (miliona dolara).

Sada napravimo intervalnu seriju sa 6 grupa sa intervalom od 14,5 miliona dolara. (vidi prve 3 kolone tabele 12).

Tabela 12. Intervalna serija distribucije VO po carinskim ispostavama, milioni dolara.

Grafički prikaz pruža značajnu pomoć u analizi distributivnih serija i njegovih svojstava. Intervalni niz je prikazan trakastim grafikonom, u kojem su osnove šipki koje se nalaze duž apscisne osi intervali vrijednosti promjenjive karakteristike, a visine šipki su frekvencije koje odgovaraju skali duž ordinate osi. Grafički prikaz raspodjele carinskih ispostava u uzorku prema vrijednosti VO prikazan je na Sl. 4. Ova vrsta dijagrama se zove histogram .

Rice. 4. Histogram distribucije Sl. 5. Poligon distribucije

Tablični podaci 12 i sl. 4 prikazuju oblik raspodjele karakterističan za mnoge karakteristike: vrijednosti prosječnih intervala karakteristike su češće, a ekstremne (male i velike) vrijednosti karakteristike su manje uobičajene. Oblik ove distribucije je blizak normalnom zakonu raspodjele, koji se formira ako na promjenljivu varijablu utiče veliki broj faktora, od kojih nijedan nema preovlađujući značaj.

Ako postoji diskretna distributivna serija ili se koriste sredine intervala (kao u našem primjeru o VO - u tabeli 12 u 4. koloni sredine intervala se izračunavaju kao polovični zbroj vrijednosti početka i kraj intervala), tada se naziva grafički prikaz takvog niza poligon(vidi sliku 5), koji se dobija spajanjem tačaka sa koordinatama pravim linijama Xi I fi.

U mnogim slučajevima, kada statistička populacija uključuje veliki ili, još više, beskonačan broj varijanti, što se najčešće dešava uz kontinuirane varijacije, praktično je nemoguće i nepraktično formirati grupu jedinica za svaku varijantu. U takvim slučajevima, kombinovanje statističkih jedinica u grupe moguće je samo na osnovu intervala, tj. takva grupa koja ima određene granice za vrijednosti različite karakteristike. Ove granice su označene sa dva broja koja označavaju gornju i donju granicu svake grupe. Korištenje intervala dovodi do formiranja intervalne serije raspodjele.

Interval rad je varijacioni niz čije su varijante predstavljene u obliku intervala.

Intervalni niz se može formirati sa jednakim i nejednakim intervalima, dok izbor principa za konstruisanje ove serije zavisi uglavnom od stepena reprezentativnosti i pogodnosti statističke populacije. Ako je populacija dovoljno velika (reprezentativna) po broju jedinica i potpuno je homogena po svom sastavu, onda je preporučljivo formiranje intervalne serije bazirati na jednakosti intervala. Obično se, koristeći ovaj princip, formira intervalna serija za one populacije kod kojih je raspon varijacije relativno mali, tj. maksimalne i minimalne opcije se obično nekoliko puta razlikuju jedna od druge. U ovom slučaju, vrijednost jednakih intervala se izračunava omjerom raspona varijacije karakteristike prema datom broju formiranih intervala. Odrediti jednako I interval, može se koristiti Sturgessova formula (obično sa malim varijacijama karakteristika intervala i velikim brojem jedinica u statističkoj populaciji):

gdje je x i - jednaka vrijednost intervala; X max, X min - maksimalne i minimalne opcije u statističkom agregatu; n . - broj jedinica u agregatu.

Primjer. Preporučljivo je izračunati veličinu jednakog intervala za gustinu radioaktivne kontaminacije cezijem - 137 u 100 naselja Krasnopoljskog okruga Mogiljevske regije, ako je poznato da je početna (minimalna) opcija jednaka I km / km 2, finale ( maksimalno) - 65 ki/km 2. Koristeći formulu 5.1. dobijamo:

Shodno tome, da bi se formirao intervalni niz sa jednakim intervalima u smislu gustine kontaminacije cezijem - 137 naselja u Krasnopoljskom regionu, veličina jednakog intervala može biti 8 ki/km 2 .

U uslovima neravnomerne distribucije, tj. kada su maksimalne i minimalne opcije stotine puta, pri formiranju intervalne serije možete primijeniti princip nejednako intervalima. Nejednaki intervali se obično povećavaju kako prelazimo na veće vrijednosti karakteristike.

Oblik intervala može biti zatvoren ili otvoren. Zatvoreno Uobičajeno je da se pozivaju intervali koji imaju i donju i gornju granicu. Otvori intervali imaju samo jednu granicu: u prvom intervalu postoji gornja granica, u posljednjem je donja granica.

Preporučljivo je vrednovati intervalne serije, posebno sa nejednakim intervalima, uzimajući u obzir gustina distribucije, najjednostavniji način da izračunate koji je omjer lokalne frekvencije (ili frekvencije) i veličine intervala.

Da biste praktično formirali intervalnu seriju, možete koristiti izgled tabele. 5.3.

Tabela 5.3. Postupak formiranja intervalne serije naselja u Krasnopoljskom regionu prema gustini radioaktivne kontaminacije cezijem –137

Glavna prednost intervalne serije je njen maksimum kompaktnost. istovremeno, u nizu intervalne distribucije, pojedinačne varijante karakteristike su skrivene u odgovarajućim intervalima

Kada se grafički prikazuje intervalni niz u sistemu pravokutnih koordinata, gornje granice intervala se iscrtavaju na osi apscise, a lokalne frekvencije niza na osi ordinata. Grafička konstrukcija intervalne serije razlikuje se od konstrukcije poligona distribucije po tome što svaki interval ima donju i gornju granicu, a dvije apscise odgovaraju jednoj vrijednosti ordinate. Dakle, na grafu intervalnog niza nije označena tačka, kao u poligonu, već prava koja spaja dve tačke. Ove horizontalne linije su međusobno povezane vertikalnim linijama i dobija se lik stepenastog poligona, koji se obično naziva histogram distribucija (slika 5.3).

Kada se grafički konstruiše intervalna serija za dovoljno veliku statističku populaciju, histogram se približava simetrično oblik distribucije. U onim slučajevima kada je statistička populacija po pravilu mala, asimetrično histogram.

U nekim slučajevima je preporučljivo formirati niz akumuliranih frekvencija, tj. kumulativno red. Kumulativni niz može se formirati na osnovu diskretne ili intervalne serije raspodjele. Kada se grafički prikazuje kumulativni niz u sistemu pravokutnih koordinata, varijante se iscrtavaju na os apscisa, a akumulirane frekvencije (frekvencije) na osi ordinata. Rezultirajuća kriva linija se obično naziva kumulativno distribucija (slika 5.4).

Formiranje i grafičko predstavljanje različitih tipova varijacionih serija doprinosi pojednostavljenom proračunu glavnih statističkih karakteristika, koje su detaljno obrađene u temi 6, i pomaže da se bolje razume suština zakona distribucije statističke populacije. Analiza varijacionih serija dobija posebnu važnost u slučajevima kada je potrebno identifikovati i pratiti odnos između opcija i frekvencija (učestalosti). Ova zavisnost se manifestuje u činjenici da je broj predmeta po opciji na određeni način povezan sa veličinom ove opcije, tj. sa povećanjem vrijednosti promjenjive karakteristike, frekvencije (frekvencije) ovih vrijednosti doživljavaju određene, sistematske promjene. To znači da brojevi u stupcu frekvencije (frekvencije) ne fluktuiraju haotično, već se mijenjaju u određenom smjeru, određenim redoslijedom i redoslijedom.

Ako frekvencije pokazuju određenu sistematičnost u svojim promjenama, onda to znači da smo na putu da identifikujemo obrazac. Sistem, red, redosled u promenama frekvencija je odraz opštih uzroka, opštih stanja karakterističnih za celokupnu populaciju.

Ne treba pretpostaviti da je obrazac distribucije uvijek dat u gotovom obliku. Postoji dosta serija varijacija u kojima frekvencije nakazno skaču, ponekad rastu, ponekad opadaju. U takvim slučajevima, preporučljivo je saznati s kakvom se distribucijom istraživač bavi: ili ova distribucija uopće nema inherentne obrasce ili njena priroda još nije otkrivena: prvi slučaj je rijedak, ali drugi slučaj je prilično česta i vrlo raširena pojava.

Dakle, pri formiranju intervalne serije ukupan broj statističkih jedinica može biti mali, a svaki interval sadrži mali broj varijanti (na primjer, 1-3 jedinice). U takvim slučajevima ne može se računati na ispoljavanje bilo kakvog obrasca. Da bi se na osnovu slučajnih posmatranja dobio prirodni rezultat, mora stupiti na snagu zakon velikih brojeva, tj. tako da za svaki interval ne bi bilo nekoliko, već desetine i stotine statističkih jedinica. U tu svrhu moramo pokušati povećati broj zapažanja što je više moguće. Ovo je najsigurniji način otkrivanja obrazaca u masovnim procesima. Ako ne postoji stvarna prilika da se poveća broj opservacija, tada se identificiranje uzorka može postići smanjenjem broja intervala u seriji distribucije. Smanjenjem broja intervala u nizu varijacija, povećava se broj frekvencija u svakom intervalu. To znači da su nasumične fluktuacije svake statističke jedinice superponirane jedna na drugu, „izglađena“, pretvarajući se u obrazac.

Formiranje i konstrukcija varijacionih serija omogućava nam da dobijemo samo opštu, približnu sliku distribucije statističke populacije. Na primjer, histogram samo u grubom obliku izražava odnos između vrijednosti karakteristike i njenih frekvencija (učestalosti), dakle, varijacioni nizovi su u suštini samo osnova za dalje, dubinsko proučavanje unutrašnje pravilnosti statike. distribucija.

TEST PITANJA ZA TEMU 5

1. Šta je varijacija? Šta uzrokuje varijacije u osobini u statističkoj populaciji?

2. Koje vrste varirajućih karakteristika se mogu pojaviti u statistici?

3. Šta je varijacioni niz? Koje vrste varijacionih serija mogu postojati?

4. Šta je rangirana serija? Koje su njegove prednosti i mane?

5. Šta je diskretna serija i koje su njene prednosti i mane?

6. Kakav je postupak formiranja intervalnog niza, koje su njegove prednosti i nedostaci?

7. Šta je grafički prikaz rangiranih, diskretnih, intervalnih serija distribucije?

8. Šta je kumulat distribucije i šta ga karakteriše?

Visoko stručno obrazovanje

„RUSKA AKADEMIJA NARODNE EKONOMIJE I

DRŽAVNA SLUŽBA KOD PREDSJEDNIKA

RUSKA FEDERACIJA"

(filijala Kaluga)

Prirodno-matematički odsjek

TEST

U disciplini "Statistika"

Student___Mayboroda Galina Yurievna______

Dopisni odjel Fakulteta državne i općinske uprave grupe G-12-B

Nastavnik ____________________ Hamer G.V.

Kandidat pedagoških nauka, vanredni profesor

Kaluga-2013

Zadatak 1.

Zadatak 1.1. 4

Problem 1.2. 16

Problem 1.3. 24

Problem 1.4. 33

Zadatak 2.

Zadatak 2.1. 43

Zadatak 2.2. 48

Problem 2.3. 53

Problem 2.4. 58

Zadatak 3.

Zadatak 3.1. 63

Problem 3.2. 68

Problem 3.3. 73

Problem 3.4. 79

Zadatak 4.

Problem 4.1. 85

Problem 4.2. 88

Problem 4.3. 90

Problem 4.4. 93

Spisak korištenih izvora. 96

Zadatak 1.

Zadatak 1.1.

O proizvodnji proizvoda i visini dobiti regionalnih preduzeća dostupni su sljedeći podaci (Tabela 1).

Tabela 1

Podaci o proizvodnji i visini dobiti po preduzećima

Prema prvim podacima:

1. Konstruisati statističku seriju distribucije preduzeća po proizvodnji, formirajući pet grupa sa jednakim intervalima.

Konstruisati grafove serija distribucije: poligon, histogram, kumulacija. Grafički odredite vrijednost moda i medijana.

2. Izračunati karakteristike distributivnog niza preduzeća prema outputu: aritmetička sredina, disperzija, standardna devijacija, koeficijent varijacije.

Izvucite zaključak.

3. Metodom analitičkog grupisanja utvrditi prisustvo i prirodu korelacije između troškova proizvedenih proizvoda i visine dobiti po preduzeću.

4. Izmjerite bliskost korelacije između troškova proizvodnje i iznosa dobiti koristeći empirijsku korelaciju.

Izvucite opšte zaključke.

Rješenje:

Konstruirajmo statističku seriju distribucije

Za konstruisanje intervalne varijacione serije koja karakteriše distribuciju preduzeća po obimu proizvodnje, potrebno je izračunati vrednost i granice intervala serije.

Kada se konstruiše niz sa jednakim intervalima, veličina intervala h određena formulom:

x max I x min– najveće i najmanje vrijednosti atributa u populaciji preduzeća koja se proučavaju;

k- broj grupa intervalnih serija.

Broj grupa k navedeno u uslovu zadatka. k= 5.

x max= 81 milion rubalja, x min= 21 milion rubalja.

Izračun veličine intervala:

miliona rubalja

Uzastopnim dodavanjem vrijednosti intervala h = 12 miliona rubalja. do donje granice intervala dobijamo sledeće grupe:

Grupa 1: 21 – 33 miliona rubalja.

Grupa 2: 33 – 45 miliona rubalja;

Grupa 3: 45 – 57 miliona rubalja.

Grupa 4: 57 – 69 miliona rubalja.

Grupa 5: 69 – 81 milion rubalja.

Za konstruiranje intervalne serije potrebno je izbrojati broj preduzeća uključenih u svaku grupu ( frekvencijske grupe).

Proces grupisanja preduzeća po obimu proizvodnje prikazan je u pomoćnoj tabeli 2. Kolona 4 ove tabele je neophodna za konstruisanje analitičkog grupisanja (tačka 3 zadatka).

Tabela 2

Tabela za konstruisanje intervalnih redova raspodele i

analitička grupa

Na osnovu grupnih ukupnih linija „Ukupno“ Tabele 3, formira se konačna tabela 3, koja predstavlja intervalnu seriju distribucije preduzeća po obimu proizvodnje.

Tabela 3

Distribucija serije preduzeća po obimu proizvodnje

Zaključak. Konstruisano grupisanje pokazuje da distribucija preduzeća po obimu proizvodnje nije ujednačena. Najčešća su preduzeća sa obimom proizvodnje od 45 do 57 miliona rubalja. (12 preduzeća). Najrjeđe su preduzeća sa obimom proizvodnje od 69 do 81 milion rubalja. (3 preduzeća).

Nacrtajmo grafikone serija distribucije.

Poligon češće se koristi za prikaz diskretnih serija. Da bi se konstruirao poligon u pravokutnom koordinatnom sistemu, vrijednosti argumenta se iscrtavaju na x-osi, tj. opcije (za niz varijacija intervala, sredina intervala se uzima kao argument) i vrijednosti frekvencije nalaze se na osi ordinata. Zatim se u ovom koordinatnom sistemu konstruišu tačke čije su koordinate parovi odgovarajućih brojeva iz varijacionog niza. Rezultirajuće tačke su uzastopno povezane ravnim segmentima. Poligon je prikazan na slici 1.

Histogram – trakasti grafikon. Omogućava vam da procijenite simetriju distribucije. Histogram je prikazan na slici 2.

Slika 1 – Poligon za distribuciju preduzeća po obimu

izdanje proizvoda

Slika 2 – Histogram distribucije preduzeća po obimu

izdanje proizvoda

Moda– vrijednost atributa koji se najčešće javlja u populaciji koja se proučava.

Za intervalnu seriju, mod se može odrediti grafički iz histograma (slika 2). Da biste to učinili, odaberite najviši pravougaonik, koji je u ovom slučaju modalni (45 - 57 miliona rubalja). Desni vrh modalnog pravougaonika se zatim povezuje sa gornjim desnim uglom prethodnog pravougaonika. I lijevi vrh modalnog pravokutnika - sa gornjim lijevim uglom sljedećeg pravokutnika. Zatim, od točke njihovog presjeka, okomica se spušta na osu apscise. Apscisa točke presjeka ovih linija bit će način distribucije.

Milion rub.

Zaključak. U skupu preduzeća koja se razmatraju najčešća su preduzeća sa proizvodnjom od 52 miliona rubalja.

Kumulira – izlomljena kriva. Izgrađen je korišćenjem akumuliranih frekvencija (izračunatih u tabeli 4). Kumulat počinje od donje granice prvog intervala (21 milion rubalja), akumulirana frekvencija se deponuje na gornjoj granici intervala. Kumulat je prikazan na slici 3.

Slika 3 - Kumulativna distribucija preduzeća po obimu

izdanje proizvoda

Median Me– ovo je vrijednost atributa koji se nalazi u sredini rangirane serije. Na obje strane medijane nalazi se isti broj populacijskih jedinica.

U intervalnoj seriji, medijan se može odrediti grafički korištenjem kumulativne krivulje. Da biste odredili medijanu iz tačke na akumuliranoj skali frekvencija koja odgovara 50% (30:2 = 15), povucite pravu liniju paralelnu sa osom apscise dok se ne siječe s kumulatom. Zatim se od točke presjeka označene linije s kumulatom okomica spušta na osu apscise. Apscisa tačke preseka je medijana.

Milion rub.

Zaključak. U skupu preduzeća koja se razmatraju, polovina preduzeća ima obim proizvodnje ne veći od 52 miliona rubalja, a druga polovina - ne manje od 52 miliona rubalja.

Povezane informacije.