Rješavanje jednadžbi Cramerovom metodom. Linearne jednadžbe

Cramerova metoda se zasniva na korištenju determinanti u rješavanju sistema linearne jednačine. Ovo značajno ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini. Ako determinanta sistema nije jednaka nuli, onda se u rješenju može koristiti Cramerova metoda, ali ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta sastavljena od koeficijenata za nepoznate naziva se determinanta sistema i označava se (delta).

Odrednice

dobiju se zamjenom koeficijenata odgovarajućih nepoznanica slobodnim terminima:

;

.

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedinstveno rešenje, a nepoznata je jednaka omjeru determinanti. Imenilac sadrži determinantu sistema, a brojilac sadrži determinantu dobijenu iz determinante sistema zamenom koeficijenata ove nepoznanice slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Primjer 1. Riješite sistem linearnih jednačina:

Prema Cramerova teorema imamo:

Dakle, rješenje sistema (2):

online kalkulator, odlučujući metod Kramer.

Tri slučaja pri rješavanju sistema linearnih jednačina

Kao što je jasno iz Cramerova teorema, pri rješavanju sistema linearnih jednačina mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje

(sistem je konzistentan i određen)

Drugi slučaj: sistem linearnih jednačina ima beskonačan broj rješenja

(sistem je dosljedan i neizvjestan)

** ,

one. koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova su proporcionalni.

Treći slučaj: sistem linearnih jednačina nema rješenja

(sistem je nedosledan)

Dakle sistem m linearne jednadžbe sa n nazivaju varijable non-joint, ako ona nema jedinstveno rješenje, i joint, ako ima barem jedno rješenje. Zove se simultani sistem jednačina koji ima samo jedno rješenje siguran i više od jednog – neizvjesno.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina primjenom Cramerove metode

Neka sistem bude dat

.

Na osnovu Cramerove teoreme

………….
,

Gdje
-

sistemska determinanta. Preostale determinante dobivamo zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznate) slobodnim terminima:

Primjer 2.

.

Dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sistemu linearnih jednačina nema varijabli u jednoj ili više jednačina, tada su u determinanti odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

.

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pažljivo pogledajte sistem jednačina i determinantu sistema i ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednak nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, pa je sistem određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznate

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Nastavljamo da zajedno rješavamo sisteme koristeći Cramerovu metodu

Kao što je već pomenuto, ako je determinanta sistema jednaka nuli, a determinante nepoznanica nisu jednake nuli, sistem je nekonzistentan, odnosno nema rešenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 6. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Determinanta sistema je jednaka nuli, pa je sistem linearnih jednačina ili nekonzistentan i određen, ili nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznate

Odrednice nepoznatih nisu jednake nuli, pa je sistem nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima koji se odnose na sisteme linearnih jednačina postoje i oni u kojima pored slova koja označavaju varijable postoje i druga slova. Ova slova predstavljaju broj, najčešće pravi. U praksi do takvih jednačina i sistema jednačina dovode problemi traženja opštih svojstava bilo koje pojave ili predmeta. Odnosno, jeste li izmislili bilo šta novi materijal ili uređaja, a da biste opisali njegova svojstva koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj instance, potrebno je riješiti sistem linearnih jednačina, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednačina, varijabli i slova koja označavaju određeni realni broj.

Primjer 8. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovu metodu:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pronalaženje determinanti za nepoznate

Cramerova metoda ili takozvano Cramerovo pravilo je metoda traženja nepoznatih veličina iz sistema jednačina. Može se koristiti samo ako je broj traženih vrijednosti jednak broju algebarske jednačine u sistemu, odnosno glavna matrica formirana iz sistema mora biti kvadratna i ne mora sadržavati nula redova, a takođe i ako njena determinanta ne smije biti nula.

Teorema 1

Cramerova teorema Ako glavna determinanta $D$ glavne matrice, sastavljena na osnovu koeficijenata jednačina, nije jednaka nuli, onda je sistem jednačina konzistentan i ima jedinstveno rješenje. Rješenje takvog sistema se izračunava preko takozvanih Cramerovih formula za rješavanje sistema linearnih jednačina: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Šta je Cramer metoda?

Suština Cramerove metode je sljedeća:

1. Da bismo pronašli rješenje za sistem korištenjem Cramerove metode, prije svega izračunavamo glavnu determinantu matrice $D$. Kada se izračunata determinanta glavne matrice, kada je izračunata Cramerovom metodom, pokaže da je jednaka nuli, tada sistem nema jedno rješenje ili ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, za pronalaženje opšteg ili nekog osnovnog odgovora za sistem, preporučuje se upotreba Gausove metode.
2. Zatim morate zamijeniti krajnju vanjsku kolonu glavna matrica u kolonu slobodnih termina i izračunaj determinantu $D_1$.
3. Ponovite isto za sve kolone, dobijajući determinante od $D_1$ do $D_n$, gdje je $n$ broj krajnje desne kolone.
4. Nakon što su pronađene sve determinante $D_1$...$D_n$, nepoznate varijable se mogu izračunati pomoću formule $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Tehnike za izračunavanje determinante matrice

Da biste izračunali determinantu matrice s dimenzijom većom od 2 puta 2, možete koristiti nekoliko metoda:

• Pravilo trouglova, ili Sarusovo pravilo, podsjeća na isto pravilo. Suština metode trokuta je u tome da se pri izračunavanju determinante proizvodi svih brojeva povezanih na slici crvenom linijom na desnoj strani zapisuju znakom plus, a svi brojevi povezani na sličan način na slici lijevo pišu se sa znakom minus. Oba pravila su pogodna za matrice veličine 3 x 3. U slučaju Sarrusovog pravila, prvo se prepisuje sama matrica, a pored nje ponovo se prepisuju njeni prvi i drugi stupac. Dijagonale se povlače kroz matricu i ovi dodatni stupci matrice koji leže na glavnoj dijagonali ili paralelno s njom se pišu sa znakom plus, a elementi koji leže na ili paralelni s sekundarnom dijagonalom pišu se sa znakom minus.

Slika 1. Pravilo trougla za izračunavanje determinante za Cramerovu metodu

• Koristeći metodu poznatu kao Gausova metoda, ova metoda se ponekad naziva i smanjenjem reda determinante. U ovom slučaju, matrica se transformira i reducira u trokutasti oblik, a zatim se množe svi brojevi na glavnoj dijagonali. Treba imati na umu da kada tražite determinantu na ovaj način, ne možete množiti ili dijeliti redove ili stupce brojevima, a da ih ne izvadite kao množitelj ili djelitelj. U slučaju traženja determinante, moguće je samo oduzimati i sabirati redove i kolone jedni drugima, nakon što ste prethodno pomnožili oduzeti red sa faktorom koji nije nula. Također, kad god preuređujete redove ili stupce matrice, trebali biste zapamtiti potrebu za promjenom konačnog predznaka matrice.
• Prilikom rješavanja SLAE sa 4 nepoznate pomoću Cramerove metode, najbolje bi bilo koristiti Gaussovu metodu za pretraživanje i pronalaženje determinanti ili određivanje determinante traženjem minora.

Rješavanje sistema jednačina korištenjem Cramerove metode

Primijenimo Cramerovu metodu za sistem od 2 jednačine i dvije tražene veličine:

$\begin(slučajevi) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(slučajevi)$

Prikažimo ga u proširenom obliku radi praktičnosti:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Nađimo determinantu glavne matrice, koja se još naziva i glavna determinanta sistema:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(niz) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Ako glavna determinanta nije jednaka nuli, tada je za rješavanje problema pomoću Cramerove metode potrebno izračunati još par determinanti iz dvije matrice sa stupcima glavne matrice zamijenjenim redom slobodnih pojmova:

$D_1 = \begin(niz)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(niz) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(niz)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(niz) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sada pronađimo nepoznate $x_1$ i $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Primjer 1

Cramerova metoda za rješavanje SLAE sa glavnom matricom 3. reda (3 x 3) i tri potrebne.

Riješite sistem jednačina:

$\begin(slučajevi) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(slučajevi)$

Izračunajmo glavnu determinantu matrice koristeći pravilo gore navedeno pod tačkom broj 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

A sada tri druge odrednice:

$D_1 = \begin(niz)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(niz) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(niz) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 USD

$D_3 = \begin(niz)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(niz) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $

Nađimo potrebne količine:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

U prvom dijelu razmatrali smo teorijski materijal, metodu zamjene, kao i metodu sabiranja sistemskih jednačina po članu. Preporučujem svima koji su pristupili stranici preko ove stranice da pročitaju prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima materijal biti prejednostavan, ali u procesu rješavanja sistema linearnih jednačina iznio sam niz vrlo važnih komentara i zaključaka u vezi rješenja matematički problemi općenito.

Sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješavanje sistema linearnih jednadžbi korištenjem inverzne matrice (matrična metoda). Svi materijali su predstavljeni jednostavno, detaljno i jasno skoro svi čitaoci će moći da nauče kako da rešavaju sisteme koristeći gore navedene metode.

Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Za šta? - Uostalom najjednostavniji sistem može se riješiti školskom metodom, metodom zbrajanja pojam!

Činjenica je da se, iako ponekad, pojavljuje takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako koristiti Cramerovo pravilo za složeniji slučaj - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Osim toga, postoje sistemi linearnih jednadžbi sa dvije varijable, koje je preporučljivo riješiti korištenjem Cramerovog pravila!

Razmotrimo sistem jednačina

U prvom koraku izračunavamo determinantu, ona se zove glavna odrednica sistema.

Gaussova metoda.

Ako je , onda sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I

U praksi se gore navedeni kvalifikatori također mogu označiti latinično pismo.

Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formula:
,

Primjer 7

Riješiti sistem linearnih jednačina

Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednačine prilično veliki, na desnoj strani su decimale sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost praktični zadaci u matematici, ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete vjerovatno završiti sa strašnim fensi razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali i ovdje će se pojaviti isti razlomci.

sta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, međutim, postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obavezno Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: “To znači da sistem ima jedinstveno rješenje”. U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme.

Ne bi bilo suvišno provjeriti, što se zgodno može izvesti na kalkulatoru: zamjenjujemo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sistema. Kao rezultat toga, uz malu grešku, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnoj strani.

Primjer 8

Odgovor predstaviti u običnim nepravilnim razlomcima. Proveri.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Hajdemo dalje da razmotrimo Cramerovo pravilo za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice:

Pronalazimo glavnu odrednicu sistema:

Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći;

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I konačno, odgovor se izračunava pomoću formula:

Kao što vidite, slučaj „tri po tri“ se u osnovi ne razlikuje od slučaja „dva po dva“ kolona slobodnih pojmova uzastopno „šeta“ s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule.

, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.

Odgovori: .

Zapravo, ovdje se opet nema šta posebno komentirati, s obzirom na to da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.

Dešava se da se kao rezultat proračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računar pri ruci, uradite ovo:

1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Da li je uslov ispravno napisan?. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni).

2) Ako se ne identifikuju greške kao rezultat provjere, onda je najvjerovatnije došlo do greške u kucanju u uslovima zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim obavezno provjeri a mi to sastavljamo na čist list nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji zaista voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.

Ako imate računar pri ruci, koristite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili); Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema matrična metoda.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer:

Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama prema redu (koloni) u kojem se nula nalazi, jer je primjetno manje proračuna.

Primjer 10

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Primjer uživo možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante - pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta.

Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučili ovaj dio, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu vrijednost matrice i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti dostupne kako objašnjenja budu napredovala.

Primjer 11

Riješite sistem matričnim metodom

Rješenje: Zapišimo sistem u matričnom obliku:
, Gdje

Molimo pogledajte sistem jednačina i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem upisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti postavljene na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

Prvo, pogledajmo determinantu:

Ovdje je determinanta proširena na prvi red.

Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).

Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva znamenka je broj reda u kojem je ovaj element. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 reda, 2 stupca

Razmotrimo sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate

Koristeći determinante 3. reda, rješenje takvog sistema se može napisati u istom obliku kao za sistem od dvije jednačine, tj.

(2.4)

ako je 0. Evo

Tamo je Cramerovo pravilo rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznate.

Primjer 2.3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovo pravilo:

Rješenje . Pronalaženje determinante glavne matrice sistema

Pošto je 0, da bismo pronašli rješenje za sistem možemo primijeniti Cramerovo pravilo, ali prvo izračunamo još tri determinante:

pregled:

Dakle, rješenje je pronađeno ispravno. 

Cramerova pravila izvedena za linearni sistemi 2. i 3. reda, sugeriraju da se ista pravila mogu formulirati za linearne sisteme bilo kojeg reda. Stvarno se dešava

Cramerova teorema. Kvadratni sistem linearnih jednadžbi sa nenultom determinantom glavne matrice sistema (0) ima jedno i samo jedno rješenje i to rješenje se izračunava pomoću formula

(2.5)

Gdje  – determinanta glavne matrice,  i – matrična determinanta, dobijen od glavnog, zamjenaikolona slobodnih članova.

Imajte na umu da ako je =0, onda se Cramerovo pravilo ne primjenjuje. To znači da sistem ili nema rješenja uopće ili ima beskonačno mnogo rješenja.

Nakon formulisanja Cramerove teoreme, prirodno se postavlja pitanje izračunavanja determinanti višeg reda.

2.4. Determinante n-tog reda

Dodatni minor M ij element a ij je determinanta dobijena iz datog brisanjem i th linija i j th column. Algebarski komplement A ij element a ij poziva se minor ovog elementa uzet sa predznakom (–1). i + j, tj. A ij = (–1) i + j M ij .

Na primjer, pronađimo male i algebarske komplemente elemenata a 23 i a 31 kvalifikacija

Dobili smo



Koristeći koncept algebarskog komplementa možemo formulisati teorema ekspanzije determinanten-ti red po redu ili koloni.

Teorema 2.1. Matrična determinantaAjednak je zbroju proizvoda svih elemenata određenog reda (ili stupca) njihovim algebarskim komplementama:

(2.6)

Ova teorema leži u osnovi jedne od glavnih metoda za izračunavanje determinanti, tzv. metoda smanjenja narudžbe. Kao rezultat proširenja determinante n redom preko bilo kojeg reda ili stupca, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Da biste imali manje takvih determinanti, preporučljivo je odabrati red ili stupac koji ima najviše nula. U praksi, formula ekspanzije za determinantu se obično piše kao:

one. algebarski dodaci su napisani eksplicitno u terminima minora.

Primjeri 2.4. Izračunajte determinante tako što ćete ih prvo sortirati u neki red ili kolonu. Obično u takvim slučajevima odaberite kolonu ili red koji ima najviše nula. Odabrani red ili kolona će biti označeni strelicom.



2.5. Osnovna svojstva determinanti

Proširujući determinantu preko bilo kojeg reda ili stupca, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Tada svaka od ovih determinanti ( n–1)-ti red se također može proširiti u zbir determinanti ( n–2)-ti red. Nastavljajući ovaj proces, dolazi se do determinanti 1. reda, tj. na elemente matrice čija se determinanta izračunava. Dakle, da biste izračunali determinante 2. reda, moraćete da izračunate zbir dva člana, za determinante 3. reda - zbir 6 članova, za determinante 4. reda - 24 člana. Broj pojmova će se naglo povećati kako se red determinante povećava. To znači da izračunavanje determinanti vrlo visokih redova postaje prilično radno intenzivan zadatak, izvan mogućnosti čak i kompjutera. Međutim, determinante se mogu izračunati i na drugi način, koristeći svojstva determinanti.

Nekretnina 1 . Odrednica se neće promijeniti ako se redovi i kolone u njoj zamjene, tj. prilikom transponovanja matrice:

.

Ovo svojstvo ukazuje na jednakost redova i stupaca determinante. Drugim riječima, bilo koja izjava o stupcima determinante je tačna i za njene redove i obrnuto.

Nekretnina 2 . Odrednica mijenja predznak kada se zamijene dva reda (kolone).

Posljedica . Ako determinanta ima dva identična reda (kolone), onda je jednaka nuli.

Nekretnina 3 . Zajednički faktor svih elemenata u bilo kojem redu (koloni) može se izvaditi iz predznaka determinante.

na primjer,

Posljedica . Ako su svi elementi određenog reda (stupca) determinante jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

Nekretnina 4 . Odrednica se neće promijeniti ako se elementi jednog reda (kolone) dodaju elementima drugog reda (kolone), pomnožene bilo kojim brojem.

na primjer,

Svojstvo 5 . Determinanta proizvoda matrica jednaka je proizvodu determinanti matrica:

2. Rješavanje sistema jednačina matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sistema jednačina.

Cramerova metoda.

Cramerova metoda se koristi za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi ( SLAU).

Formule na primjeru sistema od dvije jednačine sa dvije varijable.
Dato: Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu

Što se tiče varijabli X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema. Izračunavanje determinanti. :

Primijenimo Cramerove formule i pronađemo vrijednosti varijabli:
I .
Primjer 1:
Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:


Zamenimo prvu kolonu u ovoj determinanti kolonom koeficijenata sa desne strane sistema i pronađemo njenu vrednost:

Uradimo sličnu stvar, zamjenjujući drugu kolonu u prvoj odrednici:

Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
odgovor:
komentar: Ova metoda može riješiti sisteme većih dimenzija.

komentar: Ako se ispostavi da je , ali se ne može podijeliti sa nulom, onda kažu da sistem nema jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, sistem ili ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.

Primjer 2(beskonačan broj rješenja):

Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Rješavanje sistema metodom zamjene.

Prva jednačina sistema je jednakost koja je tačna za sve vrijednosti varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). To znači da je ostala samo jedna jednačina. Ovo je jednadžba za odnos između varijabli.
Otkrili smo da je rješenje sistema bilo koji par vrijednosti varijabli povezanih jedna s drugom jednakošću.
Opšte rješenje biće napisano ovako:
Konkretna rješenja mogu se odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove konektivne jednakosti.

itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
odgovor: opšte rešenje
Privatna rješenja:

Primjer 3(nema rješenja, sistem je nekompatibilan):

Riješite sistem jednačina:

Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Cramerove formule se ne mogu koristiti. Rešimo ovaj sistem metodom zamene

Druga jednadžba sistema je jednakost koja nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, pošto -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sistema nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli, onda cijeli sistem nema rješenja.
odgovor: nema rješenja