Šema ponovljenih nezavisnih testova. Bernulijeva formula

Nemojmo dugo razmišljati o uzvišenom - krenimo odmah s definicijom.

Bernoullijeva shema je kada se izvode n nezavisnih eksperimenata istog tipa, u svakom od kojih se može pojaviti događaj od interesa za nas A, a vjerojatnost ovog događaja je poznata P (A) \u003d p. Potrebno je odrediti vjerovatnoću da će se događaj A dogoditi tačno k puta tokom n pokušaja.

Zadaci koji se rješavaju prema Bernoullijevoj shemi su izuzetno raznoliki: od jednostavnih (kao što je „pronaći vjerovatnoću da strijelac pogodi 1 put od 10”) do vrlo teških (na primjer, zadataka za procente ili karte za igranje). U stvarnosti, ova shema se često koristi za rješavanje problema vezanih za kontrolu kvalitete proizvoda i pouzdanost različitih mehanizama, čije sve karakteristike moraju biti poznate prije početka rada.

Vratimo se definiciji. Budući da je riječ o nezavisnim ispitivanjima, a u svakom ispitivanju je vjerovatnoća događaja A ista, moguća su samo dva ishoda:

1. A je pojava događaja A sa vjerovatnoćom p;
2. "nije A" - događaj A se nije pojavio, što se dešava sa vjerovatnoćom q = 1 − p.

Najvažniji uslov bez kojeg Bernulijeva shema gubi smisao je postojanost. Bez obzira koliko eksperimenata provodimo, zanima nas isti događaj A koji se dogodi sa istom vjerovatnoćom p.

Uzgred, ne mogu se svi problemi u teoriji vjerovatnoće svesti na konstantne uslove. Svaki kompetentan tutor će vam reći o tome. višu matematiku. Čak i nešto tako jednostavno kao što je vađenje obojenih loptica iz kutije nije eksperiment sa stalnim uslovima. Izvadili su još jednu loptu - promijenio se omjer boja u kutiji. Stoga su se i vjerovatnoće promijenile.

Ako su uslovi konstantni, može se tačno odrediti vjerovatnoća da će se događaj A dogoditi tačno k puta od n mogućih. Ovu činjenicu formulišemo u obliku teoreme:

Bernulijeva teorema. Neka je vjerovatnoća pojave događaja A u svakom eksperimentu konstantna i jednaka p. Tada se vjerovatnoća da će se u n nezavisnih pokušaja događaj A pojaviti tačno k puta izračunava po formuli:

gdje je C n k broj kombinacija, q = 1 − p.

Ova formula se zove Bernoullijeva formula. Zanimljivo je napomenuti da su problemi u nastavku u potpunosti riješeni bez korištenja ove formule. Na primjer, možete primijeniti formule zbrajanja vjerovatnoće. Međutim, količina proračuna će biti jednostavno nerealna.

Zadatak. Vjerovatnoća proizvodnje neispravnog proizvoda na mašini je 0,2. Odrediti vjerovatnoću da će u seriji od deset dijelova proizvedenih na datoj mašini tačno k biti bez grešaka. Riješite zadatak za k = 0, 1, 10.

Po uslovu nas zanima događaj A puštanja proizvoda bez nedostataka, koji se dešava svaki put sa vjerovatnoćom p = 1 − 0,2 = 0,8. Moramo odrediti vjerovatnoću da će se ovaj događaj dogoditi k puta. Događaj A je suprotstavljen događaju “ne A”, tj. proizvodnju neispravnog proizvoda.

Dakle, imamo: n = 10; p=0,8; q = 0,2.

Dakle, nalazimo vjerovatnoću da su svi dijelovi u seriji neispravni (k = 0), da je samo jedan dio neispravan (k = 1) i da uopće nema neispravnih dijelova (k = 10):

Zadatak. Novčić se baca 6 puta. Podjednako je vjerojatan gubitak grba i repa. Pronađite vjerovatnoću da:

1. grb će pasti tri puta;
2. grb će jednom pasti;
3. grb će se pojaviti najmanje dva puta.

Dakle, zanima nas događaj A kada grb pada. Vjerovatnoća ovog događaja je p = 0,5. Događaju A se suprotstavlja događaj „ne A“, kada dođe do repova, što se dešava sa verovatnoćom q = 1 − 0,5 = 0,5. Potrebno je odrediti vjerovatnoću da će grb ispasti k puta.

Dakle, imamo: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Odredimo vjerovatnoću da je grb tri puta ispao, tj. k = 3:

Sada odredimo vjerovatnoću da je grb ispao samo jednom, tj. k = 1:

Ostaje utvrditi s kojom vjerovatnoćom će grb ispasti najmanje dva puta. Glavna zamka je u frazi „ne manje“. Ispostavilo se da će nam odgovarati bilo koji k, osim 0 i 1, tj. morate pronaći vrijednost zbroja X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Imajte na umu da je i ovaj zbir jednak (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), tj. od svih mogućih opcija, dovoljno je "izrezati" one kada je grb ispao 1 put (k = 1) ili uopće nije ispao (k = 0). Pošto P 6 (1) već znamo, ostaje da pronađemo P 6 (0):

Zadatak. Vjerovatnoća da TV ima skrivene nedostatke je 0,2. Skladište je dobilo 20 televizora. Koji je događaj vjerovatniji: da u ovoj seriji postoje dva televizora sa skrivenim nedostacima ili tri?

Događaj od interesa A je prisustvo latentnog defekta. Ukupno TV-a n = 20, vjerovatnoća skrivenog defekta p = 0,2. Shodno tome, vjerovatnoća da se dobije televizor bez skrivenog kvara je q = 1 − 0,2 = 0,8.

Dobijamo početne uslove za Bernoullijevu šemu: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Nađimo vjerovatnoću da dobijemo dva "neispravna" televizora (k = 2) i tri (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Očigledno, P 20 (3) > P 20 (2), tj. vjerovatnoća da dobijete tri televizora sa skrivenim defektima veća je vjerovatnoća da ćete dobiti samo dva takva televizora. Štaviše, razlika nije slaba.

Mala napomena o faktorijalima. Mnogi ljudi doživljavaju nejasan osjećaj nelagode kada vide unos "0!" (čitaj "nulti faktorijel"). Dakle, 0! = 1 po definiciji.

P. S. A najveća vjerovatnoća u posljednjem zadatku je da dobijete četiri televizora sa skrivenim nedostacima. Izračunajte i uvjerite se sami.

Ponovljena nezavisna ispitivanja nazivaju se Bernoullijevim ispitivanjem ako svako ispitivanje ima samo dva moguća ishoda i vjerovatnoće ishoda ostaju iste za sva ispitivanja.

Obično se ova dva ishoda nazivaju "uspjeh" (S) ili "neuspjeh" (F), a odgovarajuće vjerovatnoće se označavaju str I q. To je jasno str 0, q³ 0 i str+q=1.

Elementarni prostor događaja svakog ispitivanja sastoji se od dva događaja Y i H.

Prostor elementarnih događaja n suđenja Bernuliju Ω sadrži 2 n elementarnih događaja, koji su nizovi (lanci) od n simboli Y i H. Svaki elementarni događaj je jedan od mogućih ishoda niza n suđenja Bernuliju. Pošto su testovi nezavisni, onda se, prema teoremi množenja, vjerovatnoće množe, odnosno vjerovatnoća bilo kojeg određenog niza je proizvod koji se dobije zamjenom simbola U i H sa str I q odnosno, to jest, na primjer: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Imajte na umu da se rezultat Bernoullijevog testa često označava sa 1 i 0, a zatim elementarni događaj u nizu n Bernoulli testovi - postoji lanac koji se sastoji od nula i jedinica. Na primjer:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Bernulijeva suđenja su najvažnija šema koja se razmatra u teoriji vjerovatnoće. Ova šema je dobila ime po švajcarskom matematičaru J. Bernoulliju (1654-1705), koji je u svojim radovima detaljno proučavao ovaj model.

Glavni problem koji će nas ovdje zanimati je: kolika je vjerovatnoća da će događaj u n Desila su se suđenja Bernuliju m uspjeh?

Ako su ovi uslovi ispunjeni, vjerovatnoća da će tokom nezavisni testovi događaj će se tačno posmatrati m puta (bez obzira u kojim eksperimentima), određuje se Bernulijeva formula:

(21.1)

Gdje - vjerovatnoća pojave u svakom testu, i
je vjerovatnoća da je u datom iskustvu neki događaj Nije se dogodilo.

Ako uzmemo u obzir P n (m) kao funkcija m, tada definira distribuciju vjerovatnoće, koja se naziva binomna. Hajde da istražimo ovaj odnos P n (m) od m, 0£ m£ n.

Događaji B m ( m = 0, 1, ..., n) koji se sastoji od različitog broja pojavljivanja događaja A V n testovi, su nekompatibilni i čine kompletnu grupu. dakle,
.

Uzmite u obzir omjer:

=
=
=
.

Otuda to sledi P n (m+1)>P n (m), Ako (n- m)p> (m+1)q, tj. funkcija P n (m) povećava ako m< np- q. Isto tako, P n (m+1)< P n (m), Ako (n- m)p< (m+1)q, tj. P n (m) smanjuje se ako m> np- q.

Dakle, postoji broj m 0 , pri čemu P n (m) dostiže svoju najveću vrijednost. Hajde da nađemo m 0 .

Prema značenju broja m 0 imamo P n (m 0)³ P n (m 0 -1) i P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), dakle

, (21.2)

. (21.3)

Rješavanje nejednačina (21.2) i (21.3) u odnosu na m 0 , dobijamo:

str/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ np+ str,

q/(n- m 0 ) ³ str/(m 0 +1) Þ m 0 ³ np- q.

Dakle, željeni broj m 0 zadovoljava nejednakosti

np- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Jer str+q=1, tada je dužina intervala definisanog nejednakošću (21.4) jednaka jedan i postoji barem jedan cijeli broj m 0 zadovoljava nejednakosti (21.4):

1) ako np - q je cijeli broj, tada postoje dvije vrijednosti m 0 , odnosno: m 0 = np - q I m 0 = np - q + 1 = np + str;

2) ako np - q- razlomak, onda postoji jedan broj m 0 , naime jedini cijeli broj zatvoren između razlomci brojeva dobijeno iz nejednakosti (21,4);

3) ako np je cijeli broj, onda postoji jedan broj m 0, naime m 0 = np.

Broj m 0 se naziva najvjerovatnija ili najvjerovatnija vrijednost (broj) nastanka događaja A u nizu n nezavisni testovi.

U ovoj lekciji ćemo pronaći vjerovatnoću da se neki događaj dogodi u nezavisnim ispitivanjima kada se pokušaji ponavljaju. . Ispitivanja se nazivaju nezavisnim ako vjerovatnoća jednog ili drugog ishoda svakog ispitivanja ne zavisi od toga kakve su ishode imala druga ispitivanja. . Nezavisni testovi se mogu izvoditi i pod istim uslovima i pod različitim uslovima. U prvom slučaju, vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi u svim suđenjima je ista; u drugom slučaju varira od suđenja do suđenja.

Primjeri nezavisnih ponovnih testiranja :

• jedan od čvorova uređaja ili dva ili tri čvora će otkazati, a kvar svakog čvora ne zavisi od drugog čvora, a vjerovatnoća kvara jednog čvora je konstantna u svim testovima;
• dio proizveden pod određenim stalnim tehnološkim uvjetima, odnosno tri, četiri, pet dijelova, ispostaviće se nestandardnim, a jedan dio može ispasti nestandardan bez obzira na bilo koji drugi dio, a vjerovatnoća da će dio biti ispostavilo se da je nestandardno konstantno u svim testovima;
• od više hitaca u metu, jedan, tri ili četiri hica pogađaju metu bez obzira na ishod ostalih hitaca i vjerovatnoća da će se pogoditi je konstantna u svim pokušajima;
• kada se novčić ubaci, mašina će ispravno raditi jedan, dva ili drugi broj puta, bez obzira na to koje su druge ubačene novčiće imale, a vjerovatnoća da će mašina ispravno raditi je konstantna u svim pokušajima.

Ovi događaji se mogu opisati jednom šemom. Svaki događaj se javlja u svakom ispitivanju sa istom vjerovatnoćom, koja se ne mijenja ako rezultati prethodnih ispitivanja postanu poznati. Takvi testovi se nazivaju nezavisni, a shema se naziva Bernoullijeva šema . Pretpostavlja se da se takvi testovi mogu ponoviti koliko god puta se želi.

Ako je vjerovatnoća str događaj A je konstantna u svakom pokušaju, onda je vjerovatnoća da će in n nezavisni test događaj Aće doći m puta, nalazi se na Bernulijeva formula :

(Gdje q= 1 – str- vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi)

Postavimo zadatak - da pronađemo vjerovatnoću da dođe do događaja ovog tipa n doći će nezavisna suđenja m jednom.

Bernulijeva formula: primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Nađite vjerovatnoću da su od pet nasumično odabranih dijelova dva standardna, ako je vjerovatnoća da je svaki dio standardan 0,9.

Rješenje. Vjerovatnoća događaja A, koji se sastoji u činjenici da je nasumično uzet dio standardan, je str=0,9 , a vjerovatnoća da je nestandardna je q=1–str=0,1 . Događaj naveden u stanju problema (označavamo ga sa IN) se javlja ako su, na primjer, prva dva dijela standardna, a sljedeća tri nestandardna. Ali događaj IN također se javlja ako su prvi i treći dio standardni, a ostali nestandardni, ili ako su drugi i peti dio standardni, a ostali nestandardni. Postoje i druge mogućnosti da se događaj desi. IN. Bilo koji od njih karakterizira činjenica da će od pet uzetih dijelova, dva, koja zauzimaju bilo koje mjesto od pet, ispasti standardna. dakle, ukupan broj razne mogućnosti za nastanak nekog događaja IN jednak je broju mogućnosti za postavljanje dva standardna dijela na pet mjesta, tj. jednak je broju kombinacija pet elemenata po dva, i .

Vjerovatnoća svake mogućnosti, prema teoremi množenja vjerovatnoće, jednaka je umnošku pet faktora, od kojih su dva, koja odgovaraju izgledu standardnih dijelova, jednaka 0,9, a preostala tri, koja odgovaraju pojavi ne -standardni dijelovi, jednaki su 0,1, tj. ova vjerovatnoća je . Pošto su ovih deset mogućnosti nekompatibilni događaji, po teoremi sabiranja, vjerovatnoća događaja IN, koje označavamo

Primjer 2 Vjerovatnoća da će mašina zahtijevati pažnju radnika u roku od jednog sata je 0,6. Uz pretpostavku da su kvarovi na mašinama nezavisni, pronađite vjerovatnoću da će tokom jednog sata pažnju radnika zahtijevati bilo koja od četiri mašine koje on servisira.

Rješenje. Koristeći Bernulijeva formula at n=4 , m=1 , str=0,6 i q=1–str=0.4 , dobijamo

Primjer 3 Za normalan rad vagonskog depoa na liniji mora biti najmanje osam vagona, a deset ih je. Vjerovatnoća neizlaska svakog automobila na liniju jednaka je 0,1. Naći vjerovatnoću normalnog rada depoa u sljedećem danu.

Rješenje. Autobase će raditi dobro (događaj F) ako će jedan ili osam ući u red (događaj A), ili devet (događaj IN), ili svih deset automobila događaj (događaj C). Prema teoremi zbrajanja vjerovatnoće,

Pronalazimo svaki pojam prema Bernulijevoj formuli. Evo n=10 , m=8; 10 i str\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, pošto str treba da znači vjerovatnoću da automobil uđe u liniju; Onda q=0,1 . Kao rezultat, dobijamo

Primjer 4 Neka je vjerovatnoća da je kupcu potrebna muška cipela veličine 41 0,25. Nađite vjerovatnoću da od šest kupaca barem dva trebaju cipele veličine 41.

Ako se izvede nekoliko pokušaja, a vjerovatnoća događaja A u svakom ogledu ne zavisi od ishoda drugih ispitivanja, tada se takva ispitivanja nazivaju nezavisno u odnosu na događaj A .

U različitim nezavisnim ispitivanjima, događaj A može imati ili različite vjerovatnoće ili istu vjerovatnoću. Dalje ćemo razmatrati samo takva nezavisna ispitivanja u kojima događaj A ima istu vjerovatnoću.

U nastavku koristimo koncept kompleks događaje, razumijevanje po tome kombinacija nekoliko odvojenih događaja, koji se nazivaju jednostavno .

Neka se proizvede n nezavisna ispitivanja, u svakom od kojih se događaj A može dogoditi ili ne mora. Složimo se da pretpostavimo da je vjerovatnoća događaja A u svakom pokušaju ista, odnosno jednaka je R . Stoga je vjerovatnoća da se događaj A ne dogodi u svakom pokušaju također konstantna i jednaka q = 1 - str .

Postavimo sebi zadatak da izračunamo vjerovatnoću da n testovima, događaj A će se desiti tačno k puta i, prema tome, neće biti realizovani n-k jednom. Važno je naglasiti da nije potrebno da se događaj A tačno ponavlja k puta u određenom nizu.

Na primjer, ako govorimo o nastanku događaja A tri puta u četiri ispitivanja, mogući su sljedeći složeni događaji: AAA, AAA, AAA, AAA. Snimanje AAA znači da u prvom, drugom i trećem ogledu događaj A došao, ali se u četvrtom testu nije pojavio, tj. desilo se suprotno A; ostali unosi imaju odgovarajuće značenje.

Označite željenu vjerovatnoću R p (k) . Na primjer, simbol R 5 (3) znači vjerovatnoću da će se u pet pokušaja događaj dogoditi tačno 3 puta i, prema tome, neće se dogoditi 2 puta.

Problem se može riješiti korištenjem takozvane Bernoullijeve formule.

Derivacija Bernoullijeve formule. Vjerovatnoća jednog složenog događaja koji se sastoji u činjenici da je in P test događaj Aće doći k jednom i neće doći n - k puta, prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja je jednako p k q n - k . Takvih složenih događaja može biti onoliko koliko ima kombinacija P elementi po k elemenata, tj. C n k .

Od ovih kompleksnih događaja nekompatibilno, To prema teoremi sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja željena vjerovatnoća jednaka je zbiru vjerovatnoća svih mogućih složenih događaja. Pošto su vjerovatnoće svih ovih složenih događaja iste, željena vjerovatnoća (događanja k vremena događaja A V P testovi) jednak je vjerovatnoći jednog složenog događaja, pomnoženoj s njihovim brojem:

Rezultirajuća formula se zove Bernulijeva formula .

Primjer 1. Vjerovatnoća da potrošnja električne energije u toku jednog dana neće premašiti utvrđena norma, je jednako p = 0,75 . Pronađite vjerovatnoću da u sljedećih 6 dana potrošnja električne energije za 4 dana neće premašiti normu.

Rješenje. Vjerovatnoća normalne potrošnje električne energije tokom svakog od 6 dana je konstantna i jednaka p = 0,75 . Stoga je vjerovatnoća prekomjernog trošenja električne energije svakog dana također konstantna i jednaka q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.

Željena vjerovatnoća prema Bernoullijevoj formuli jednaka je:

Bernulijeva formula- formula u teoriji vjerovatnoće koja vam omogućava da pronađete vjerovatnoću događaja A (\displaystyle A) u nezavisnim testovima. Bernulijeva formula vam omogućava da se riješite velikog broja proračuna - sabiranja i množenja vjerovatnoća - uz dovoljno u velikom broju testovi. Ime je dobio po izvanrednom švajcarskom matematičaru Jakobu Bernuliju, koji je izveo ovu formulu.

Enciklopedijski YouTube

1 / 3

✪ Teorija vjerovatnoće. 22. Bernulijeva formula. Rješavanje problema

✪ Bernulijeva formula

✪ 20 Ponovite testove Bernulijeve formule

Titlovi

Formulacija

Teorema. Ako je vjerovatnoća p (\displaystyle p) događaj A (\displaystyle A) je konstantna u svakom pokušaju, onda vjerovatnoća P k, n (\displaystyle P_(k,n)) da događaj A (\displaystyle A) dolazi tačno k (\displaystyle k) jednom a n (\displaystyle n) nezavisni testovi je jednak: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Gdje q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

Dokaz

Neka se održi n (\displaystyle n) nezavisnih testova, a poznato je da se kao rezultat svakog testa javlja događaj A (\displaystyle A) dolazi sa vjerovatnoćom P (A) = p (\displaystyle P\lijevo(A\desno)=p) i stoga se ne dešava sa vjerovatnoćom P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\desno)=1-p=q). Neka, takođe, u toku testova verovatnoće p (\displaystyle p) I q (\displaystyle q) ostati nepromijenjen. Kolika je vjerovatnoća da kao rezultat n (\displaystyle n) nezavisni test, događaj A (\displaystyle A) dolazi tačno k (\displaystyle k) jednom?

Ispostavilo se da je moguće precizno izračunati broj "uspješnih" kombinacija ishoda testa za koje se događaj A (\displaystyle A) dolazi k (\displaystyle k) jednom a n (\displaystyle n) nezavisnih ispitivanja, je upravo broj kombinacija od n (\displaystyle n) By k (\displaystyle k) :

C n (k) = n! k! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

Istovremeno, budući da su sva ispitivanja nezavisna i njihovi ishodi su nekompatibilni (događaj A (\displaystyle A) ili se dogodi ili ne), tada je vjerovatnoća dobijanja "uspješne" kombinacije točno: .

Konačno, da bismo pronašli vjerovatnoću da n (\displaystyle n) nezavisni test događaj A (\displaystyle A) dolazi tačno k (\displaystyle k) puta, morate sabrati vjerovatnoće da dobijete sve "uspješne" kombinacije. Vjerojatnosti dobivanja svih "uspješnih" kombinacija su iste i jednake p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), broj "uspješnih" kombinacija je C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), pa konačno dobijamo:

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

Poslednji izraz nije ništa drugo do Bernulijeva formula. Takođe je korisno napomenuti da će, zbog kompletnosti grupe događaja, biti tačno:

∑ k = 0 n (P k, n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).