Pravokutni trokut je trougao u kojem je jedan od uglova pravi, odnosno jednak 90 stepeni.

• Strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza. c ili AB)
• Strana koja se nalazi uz pravi ugao naziva se noga. Svaki pravougli trougao ima dve krake (označene kao a i b ili AC i BC)

Formule i svojstva pravokutnog trougla

Oznake formula:

(vidi sliku iznad)

a, b- katete pravouglog trougla

c- hipotenuza

α, β - oštri uglovi trougla

S- kvadrat

h- visina spuštena odozgo pravi ugao na hipotenuzu

m a a iz suprotnog ugla ( α )

m b- medijan povučen u stranu b iz suprotnog ugla ( β )

mc- medijan povučen u stranu c iz suprotnog ugla ( γ )

IN pravougaonog trougla bilo koji krak je manji od hipotenuze(Formule 1 i 2). Ovo svojstvo je posledica Pitagorine teoreme.

Kosinus bilo kojeg od oštrih uglova manje od jedan (Formule 3 i 4). Ovo svojstvo proizlazi iz prethodnog. Pošto je bilo koji katet manji od hipotenuze, omjer kateta i hipotenuze je uvijek manji od jedan.

Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta (Pitagorina teorema). (Formula 5). Ovo svojstvo se stalno koristi u rješavanju problema.

Površina pravouglog trougla jednako polovini umnožaka nogu (Formula 6)

Zbir medijana na kvadrat na katete jednako je pet kvadrata medijane hipotenuze i pet kvadrata hipotenuze podijeljeno sa četiri (Formula 7). Pored navedenog, postoji Još 5 formula, pa se preporučuje da se upoznate i sa lekcijom "Medijana pravouglog trougla", koja detaljnije opisuje svojstva medijane.

Visina pravokutnog trokuta jednak je umnošku kateta podijeljenih hipotenuzom (formula 8)

Kvadrati kateta su obrnuto proporcionalni kvadratu visine spuštene na hipotenuzu (Formula 9). Ovaj identitet je također jedna od posljedica Pitagorine teoreme.

Dužina hipotenuze jednak prečniku (dva poluprečnika) opisane kružnice (Formula 10). Hipotenuza pravouglog trougla je prečnik opisane kružnice. Ovo svojstvo se često koristi u rješavanju problema.

Upisani radijus V pravougaonog trougla krugovima može se naći kao polovina izraza, koji uključuje zbir krakova ovog trokuta minus dužinu hipotenuze. Ili kao proizvod kateta podijeljen zbirom svih strana (perimetra) datog trokuta. (Formula 11)
Sinus ugla suprotno ovaj kutak krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ovo svojstvo se koristi prilikom rješavanja problema. Znajući dimenzije stranica, možete pronaći ugao koji oni formiraju.

Kosinus ugla A (α, alpha) u pravokutnom trokutu bit će jednak odnos susjedni ovaj kutak krak do hipotenuze(po definiciji sinusa). (Formula 13)

Prosječan nivo

Pravokutni trokut. Kompletan ilustrovani vodič (2019.)

PRAVI TROUGAO. PRVI NIVO.

U problemima pravi ugao uopće nije neophodan - donji lijevi, tako da morate naučiti kako prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,

i u takvim

i u takvim

Šta je dobro kod pravouglog trougla? Pa... prije svega, postoje posebna lijepa imena za njegove zabave.

Pažnja na crtež!

Zapamtite i nemojte brkati: noge - dvije, a hipotenuza - samo jedna(jedini, jedinstveni i najduži)!

Pa, razgovarali smo o imenima, sada o najvažnijoj stvari: Pitagorinoj teoremi.

Pitagorina teorema.

Ova teorema je ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora još u davnim vremenima i od tada je donio mnoge koristi onima koji ga poznaju. A najbolja stvar kod nje je to što je jednostavna.

dakle, Pitagorina teorema:

Sjećate li se vica: “Pitagorine pantalone su jednake na sve strane!”?

Hajde da nacrtamo ove pitagorejske pantalone i pogledajmo ih.

Da li zaista izgleda kao šorc? Pa na kojim su stranama i gdje su jednaki? Zašto i odakle je došla šala? A ova šala je povezana upravo sa Pitagorinom teoremom, tačnije sa načinom na koji je sam Pitagora formulisao svoju teoremu. A on je to formulisao ovako:

"Suma površina kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina izgrađen na hipotenuzi.

Zar ne zvuči malo drugačije, zar ne? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svoje teoreme, ispala je upravo takva slika.

Na ovoj slici, zbir površina malih kvadrata jednak je površini velikog kvadrata. I kako bi djeca bolje zapamtila da je zbir kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze, neko je duhovit izmislio ovaj vic o pitagorejskim pantalonama.

Zašto sada formulišemo Pitagorinu teoremu

Da li je Pitagora patio i govorio o kvadratima?

Vidite, u davna vremena nije postojala ... algebra! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je bilo strašno za jadne drevne studente da sve napamet riječima??! I može nam biti drago da imamo jednostavnu formulaciju Pitagorine teoreme. Ponovimo to još jednom da bolje zapamtimo:

Sada bi trebalo biti lako:

Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

Pa, raspravljalo se o najvažnijoj teoremi o pravokutnom trokutu. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće nivoe teorije, a sada idemo dalje ... u mračnu šumu ... trigonometrije! Na strašne riječi sinus, kosinus, tangenta i kotangens.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu.

U stvari, sve uopšte nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali ti stvarno ne želiš, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Zašto je sve u uglu? Gdje je ugao? Da biste ovo razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledajte, shvatite i zapamtite!

1.
Zapravo zvuči ovako:

Šta je sa uglom? Da li postoji noga koja je nasuprot uglu, odnosno suprotna noga (za ugao)? Naravno! Ovo je katet!

Ali šta je sa uglom? Pogledaj izbliza. Koja noga je uz ugao? Naravno, mačka. Dakle, za ugao, noga je susjedna, i

A sada, pažnja! Pogledajte šta imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada pređimo na tangentu i kotangens.

Kako to sada pretočiti u riječi? Šta je noga u odnosu na ugao? Nasuprot, naravno - "leži" naspram ugla. A katet? U blizini ugla. Pa šta smo dobili?

Vidite kako su brojnik i imenilac obrnuti?

A sada opet uglovi i napravljena razmjena:

Sažetak

Hajde da ukratko zapišemo šta smo naučili.

Pitagorina teorema:

Glavna teorema pravouglog trougla je Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema

Usput, da li se dobro sjećate šta su katete i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorinu teoremu, ali da li ste se ikada zapitali zašto je takva teorema tačna. Kako biste to dokazali? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente dužina i!

Sada spojimo označene tačke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata? U redu, . Šta je sa manjom površinom? Svakako, . Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo uzeli dva od njih i naslonili se jedno na drugo hipotenuzama. Šta se desilo? Dva pravougaonika. Dakle, površina "reznica" je jednaka.

Hajde da sve to spojimo sada.

transformirajmo:

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka.

Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i suprotnog kraka.

I još jednom, sve ovo u obliku ploče:

Veoma je udobno!

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

I. Na dvije noge

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim uglom

IV. Duž noge i oštrog ugla

a)

b)

Pažnja! Ovdje je jako bitno da noge "odgovaraju". Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROUGLOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.

Treba u oba trougla noga je bila susedna, ili u oba - suprotna.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu „i obratite pažnju na to da je za jednakost „običnih“ trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih ili tri stranice. Ali za jednakost pravokutnih trouglova dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično je, zar ne?

Približno ista situacija sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trougla

I. Akutni ugao

II. Na dvije noge

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Zašto je tako?

Razmotrite ceo pravougaonik umesto pravougaonog trougla.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku - tačku presjeka dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?

I šta iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo

1. - medijana:

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.

Kakva korist se može dobiti od činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj izbliza. Imamo: , to jest, udaljenosti od tačke do sva tri vrha trougla su se pokazale jednake. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka, rastojanja od kojih su otprilike sva tri vrha trougla jednaka, a to je CENTAR opisane KRUŽNICE. Šta se desilo?

Pa počnimo sa ovim "osim...".

Pogledajmo i.

Ali u sličnim trouglovima svi uglovi su jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Kakva korist se može izvući iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trougla.

Zapisujemo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Dakle, primijenimo sličnost: .

Šta će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se dobro zapamtiti i ona koja je pogodnija za primjenu. Hajde da ih ponovo zapišemo.

Pitagorina teorema:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta:.

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

• na dvije noge:
• duž kraka i hipotenuze: ili
• duž kraka i susjednog oštrog ugla: ili
• duž kraka i suprotnog oštrog ugla: ili
• hipotenuzom i oštrim uglom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar ugao: ili
• iz proporcionalnosti dvije noge:
• iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne katete i hipotenuze:
• Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
• Tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotnog kraka i susjednog:
• Kotangens oštrog ugla pravouglog trokuta je omjer susednog kraka i suprotnog:.

Visina pravokutnog trougla: ili.

U pravokutnom trokutu medijana povučena iz vrha pravog ugla jednaka je polovini hipotenuze: .

Površina pravouglog trougla:

• kroz katetere:

(ABC) i njegova svojstva, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu, stranu suprotnu od pravog ugla.

Savjet 1: Kako pronaći visinu u pravokutnom trokutu

Stranice koje formiraju pravi ugao nazivaju se noge. Bočni crtež AD, DC i BD, DC- noge i strane AC I SW- hipotenuza.

Teorema 1. U pravouglom trouglu sa uglom od 30°, krak suprotan ovom uglu će se pokidati na polovinu hipotenuze.

hC

AB- hipotenuza;

AD I DB

Trougao
Postoji teorema:
sistem komentarisanja CACKLE

Rješenje: 1) Dijagonale bilo kojeg pravougaonika su jednake Tačno 2) Ako u trouglu postoji jedan oštar ugao, onda je ovaj trougao oštrougli. Nije istina. Vrste trouglova. Trougao se naziva oštrouglim ako su mu sva tri ugla oštra, odnosno manja od 90° 3) Ako tačka leži na.

Ili, u drugom postu,

Prema Pitagorinoj teoremi

Kolika je visina u formuli pravokutnog trougla

Visina pravouglog trougla

Visina pravokutnog trokuta povučena do hipotenuze može se naći na ovaj ili onaj način, ovisno o podacima u iskazu problema.

Ili, u drugom postu,

Gdje su BK i KC projekcije kateta na hipotenuzu (segmenti na koje visina dijeli hipotenuzu).

Visina povučena do hipotenuze može se naći preko površine pravokutnog trokuta. Ako primijenimo formulu za pronalaženje površine trokuta

(pola proizvoda stranice i visine povučene na ovu stranu) na hipotenuzu i visinu povučenu na hipotenuzu, dobijamo:

Odavde možemo pronaći visinu kao omjer dvostruke površine trokuta i dužine hipotenuze:

Budući da je površina pravokutnog trokuta polovina proizvoda kateta:

To jest, dužina visine povučene do hipotenuze jednaka je omjeru proizvoda kateta i hipotenuze. Ako označimo dužine kateta kroz a i b, dužinu hipotenuze kroz c, formula se može prepisati kao

Budući da je polumjer kružnice opisane oko pravokutnog trokuta jednak polovini hipotenuze, dužina visine može se izraziti kroz katete i polumjer opisane kružnice:

Budući da visina povučena do hipotenuze čini još dva pravokutna trougla, njena dužina se može naći preko omjera u pravokutnom trokutu.

Iz pravouglog trougla ABK

Iz pravouglog trougla ACK

Dužina visine pravouglog trougla može se izraziti kroz dužine kateta. Jer

Prema Pitagorinoj teoremi

Ako kvadriramo obje strane jednadžbe:

Možete dobiti još jednu formulu za povezivanje visine pravokutnog trokuta s katetama:

Kolika je visina u formuli pravokutnog trougla

Pravokutni trokut. Prosječan nivo.

Želite li testirati svoju snagu i saznati rezultat koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili OGE?

Glavna teorema pravouglog trougla je Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema

Usput, da li se dobro sjećate šta su katete i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorinu teoremu, ali da li ste se ikada zapitali zašto je takva teorema tačna. Kako biste to dokazali? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente dužina i!

Sada spojimo označene tačke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata? U redu, . Šta je sa manjom površinom? Svakako, . Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo uzeli dva od njih i naslonili se jedno na drugo hipotenuzama. Šta se desilo? Dva pravougaonika. Dakle, površina "reznica" je jednaka.

Hajde da sve to spojimo sada.

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka.

Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i suprotnog kraka.

I još jednom, sve ovo u obliku ploče:

Da li ste primetili jednu veoma zgodnu stvar? Pažljivo pogledajte ploču.

Veoma je udobno!

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim uglom

IV. Duž noge i oštrog ugla

Pažnja! Ovdje je jako bitno da noge "odgovaraju". Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROUGLOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.

Treba U oba trougla noga je bila susjedna, ili u oba - suprotna.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu “Trokut” i obratite pažnju da je za jednakost “običnih” trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih, ili tri strane. Ali za jednakost pravokutnih trouglova dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično je, zar ne?

Približno ista situacija sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trougla

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Razmotrite ceo pravougaonik umesto pravougaonog trougla.

Nacrtajte dijagonalu i razmotrite tačku u kojoj se dijagonale seku. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?

Dijagonalna presječna tačka prepolovi Dijagonale su jednake

I šta iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.

Kakva korist se može dobiti od činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj izbliza. Imamo: , to jest, udaljenosti od tačke do sva tri vrha trougla su se pokazale jednake. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka, rastojanja od kojih su otprilike sva tri vrha trougla jednaka, a to je CENTAR opisane KRUŽNICE. Šta se desilo?

Pa počnimo s ovim "osim toga. ".

Ali u sličnim trouglovima svi uglovi su jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Oba imaju iste oštre uglove!

Kakva korist se može izvući iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - Dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapisujemo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo Prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Kako do drugog?

A sada primjenjujemo sličnost trokuta i.

Dakle, primijenimo sličnost: .

Šta će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu "Visina u pravokutnom trokutu":

Obje ove formule moraju se dobro zapamtiti i ona koja je pogodnija za primjenu. Hajde da ih ponovo zapišemo.

Pa, sada, primjenjujući i kombinujući ovo znanje s drugima, riješit ćete bilo koji problem s pravokutnim trouglom!

Komentari

Distribucija materijala bez odobrenja je dozvoljena ako postoji dofollow link do izvorne stranice.

Politika privatnosti

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, mi možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima. S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije. Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.

Svojstvo visine pravokutnog trokuta spušteno na hipotenuzu

Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa. U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Hvala na poruci!

Vaš komentar je prihvaćen, nakon moderacije biće objavljen na ovoj stranici.

Želite li znati šta se krije ispod rezanja i dobiti ekskluzivne materijale o pripremi za OGE i USE? Ostavite e-mail

Svojstva pravouglog trougla

Razmotrimo pravougli trougao (ABC) i njegova svojstva, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu, stranu suprotnu od pravog ugla. Stranice koje formiraju pravi ugao nazivaju se noge. Bočni crtež AD, DC i BD, DC- noge i strane AC I SW- hipotenuza.

Znakovi jednakosti pravokutnog trokuta:

Teorema 1. Ako su hipotenuza i krak pravouglog trougla slični hipotenuzi i kraku drugog trougla, onda su ti trouglovi jednaki.

Teorema 2. Ako su dva kraka pravouglog trougla jednaka dvama kracima drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Teorema 3. Ako su hipotenuza i oštar ugao pravouglog trougla slični hipotenuzi i oštrom uglu drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Teorema 4. Ako su krak i susjedni (suprotni) oštar ugao pravouglog trougla jednaki kateta i susjedni (suprotni) oštar ugao drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

Svojstva noge nasuprot ugla od 30°:

Teorema 1.

Visina u pravokutnom trokutu

U pravouglom trouglu sa uglom od 30°, krak suprotan ovom uglu će se pokidati na polovinu hipotenuze.

Teorema 2. Ako je u pravokutnom trokutu kateta jednaka polovini hipotenuze, onda je suprotni ugao 30°.

Ako se visina povuče od vrha pravog ugla do hipotenuze, onda se takav trokut dijeli na dva manja, slična izlaznom i slična jedan drugom. Iz ovoga proizilaze sljedeći zaključci:

1. Visina je geometrijska sredina (srednja proporcionalna) dva segmenta hipotenuze.
2. Svaki krak trougla je srednja vrijednost proporcionalna hipotenuzi i susjednim segmentima.

U pravokutnom trouglu noge djeluju kao visine. Ortocentar je tačka u kojoj se sijeku visine trougla. Poklapa se sa vrhom pravog ugla figure.

hC- visina koja izlazi iz pravog ugla trougla;

AB- hipotenuza;

AD I DB- segmenti koji su nastali dijeljenjem hipotenuze po visini.

Povratak na pregled referenci za disciplinu "Geometrija"

Trougao- Ovo geometrijska figura, koji se sastoji od tri tačke (vrhova) koje nisu na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji povezuju ove tačke. Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan od uglova od 90° (pravougao).
Postoji teorema: zbir oštrih uglova pravouglog trougla je 90°.
sistem komentarisanja CACKLE

Ključne riječi: trougao, pravougaonik, krak, hipotenuza, Pitagorina teorema, krug

Trougao je pozvan pravougaona ako ima pravi ugao.
Pravougli trokut ima dvije međusobno okomite stranice tzv noge; treća strana se zove hipotenuza.

• Prema svojstvima okomite i kose hipotenuze, svaki od krakova je duži (ali manji od njihovog zbira).
• Zbir dva oštra ugla pravouglog trougla jednak je pravom uglu.
• Dvije visine pravokutnog trougla poklapaju se s njegovim katetama. Dakle, jedna od četiri izuzetne tačke pada na vrhove pravog ugla trougla.
• Središte opisane kružnice pravokutnog trougla leži u sredini hipotenuze.
• Medijan pravouglog trougla povučen iz vrha pravog ugla do hipotenuze je poluprečnik kružnice opisane oko ovog trougla.

Razmotrimo proizvoljan pravougli trougao ABC i povučemo visinu CD = hc iz temena C njegovog pravog ugla.

On će podijeliti dati trougao na dva pravougla trougla ACD i BCD; svaki od ovih trouglova ima zajednički oštar ugao sa trouglom ABC i stoga je sličan trouglu ABC.

Sva tri trougla ABC, ACD i BCD slična su jedan drugom.

Iz sličnosti trokuta određuju se sljedeće relacije:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagorina teorema jedna od osnovnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja odnos između stranica pravouglog trougla.

Geometrijski tekst. U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbiru površina kvadrata izgrađenih na katetama.

Algebarska formulacija. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.
To jest, označavajući dužinu hipotenuze trokuta kroz c, i dužine kateta kroz a i b:
a2 + b2 = c2

Inverzna Pitagorina teorema.

Visina pravouglog trougla

Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c tako da
a2 + b2 = c2,
postoji pravougaoni trokut sa katetama a i b i hipotenuzom c.

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

• duž kraka i hipotenuze;
• na dvije noge;
• duž noge i oštri ugao;
• hipotenuzu i oštar ugao.

Vidi također:
Površina trokuta, jednakokraki trokut, jednakostranični trokut

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

AD : CD=CD : B.D. Stoga CD2 = AD ∙ B.D. Oni kazu:

AD : AC=AC : AB. Dakle, AC2 = AB ∙ AD. Oni kazu:

BD : BC=BC : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ B.D.

Riješiti probleme:

1.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Visina pravokutnog trougla povučena do hipotenuze dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36.

Odredite dužinu ove visine.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7.

8. Krak pravouglog trougla je 30.

Kako pronaći visinu u pravokutnom trokutu?

Pronađite udaljenost od vrha pravog ugla do hipotenuze ako je polumjer kružnice opisane oko ovog trokuta 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Provjerite odgovore!

G8.04.1. Proporcionalni segmenti u pravokutnom trokutu

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

U Δ ABC ∠ACV = 90°. AC i BC krakovi, AB hipotenuza.

CD je visina trougla povučena do hipotenuze.

AD projekcija AC noge na hipotenuzu,

BD projekcija BC kraka na hipotenuzu.

Visina CD trougao ABC dijeli na dva trougla slična njemu (i jedan drugom): Δ ADC i Δ CDB.

Iz proporcionalnosti strana sličnih Δ ADC i Δ CDB slijedi:

AD : CD=CD : B.D.

Svojstvo visine pravokutnog trokuta spušteno na hipotenuzu.

Stoga CD2 = AD ∙ B.D. Oni kazu: visina pravokutnog trokuta povučena do hipotenuze,je prosječna proporcionalna vrijednost između projekcija kateta na hipotenuzu.

Iz sličnosti Δ ADC i Δ ACB slijedi:

AD : AC=AC : AB. Dakle, AC2 = AB ∙ AD. Oni kazu: svaki krak je prosječna proporcionalna vrijednost između cijele hipotenuze i projekcije ovog kraka na hipotenuzu.

Slično, iz sličnosti Δ CDB i Δ ACB slijedi:

BD : BC=BC : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ B.D.

Riješiti probleme:

1. Nađite visinu pravokutnog trokuta povučenog prema hipotenuzi ako dijeli hipotenuzu na segmente 25 cm i 81 cm.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Visina pravouglog trougla povučena do hipotenuze dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36. Odredite dužinu ove visine.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Visina pravouglog trougla povučena do hipotenuze je 22, projekcija jedne od kateta je 16. Pronađite projekciju druge katete.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. Krak pravokutnog trougla je 18, a njegova projekcija na hipotenuzu je 12. Nađite hipotenuzu.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Hipotenuza je 32. Pronađite krak čija je projekcija na hipotenuzu 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Hipotenuza pravouglog trougla je 45. Nađite katet čija je projekcija na hipotenuzu 9.

8. Krak pravouglog trougla je 30. Nađite rastojanje od vrha pravog ugla do hipotenuze ako je poluprečnik kružnice opisane oko ovog trougla 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Hipotenuza pravouglog trougla je 41, a projekcija jedne od kateta je 16. Nađite dužinu visine povučene od vrha pravog ugla do hipotenuze.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Razlika u projekcijama kateta na hipotenuzu je 15, a udaljenost od vrha pravog ugla do hipotenuze je 4. Nađite poluprečnik opisane kružnice.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.