Napišite proširenje vektora x u vektore. Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora

27.09.2019 | Jurisprudence

Osnova(starogrčki βασις, osnova) - skup takvih vektora u vektorskom prostoru da se bilo koji vektor ovog prostora može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz ovog skupa - baznih vektora

Baza u prostoru R n je bilo koji sistem iz n-linearno nezavisni vektori. Svaki vektor iz R n koji nije uključen u bazu može se predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora, tj. proširiti preko osnove.
Neka je baza prostora R n i . Tada postoje brojevi λ 1 , λ 2 , …, λ n takvi da .
Koeficijenti proširenja λ 1 , λ 2 , ..., λ n , nazivaju se koordinatama vektora u bazi B. Ako je baza data, tada su koeficijenti vektora jednoznačno određeni.

Komentar. U svakom n-dimenzionalni vektorski prostor, možete odabrati beskonačan broj različitih baza. U različitim bazama, isti vektor ima različite koordinate, ali jedine u odabranoj bazi. Primjer. Proširite vektor u smislu .
Rješenje. . Zamijenite koordinate svih vektora i izvršite radnje na njima:

Izjednačavanjem koordinata dobijamo sistem jednačina:

Hajde da to riješimo: .
Tako dobijamo ekspanziju: .
U osnovi vektor ima koordinate .

Kraj rada -

Ova tema pripada:

Koncept vektora. Linearne operacije na vektorima

Vektor je usmjereni segment koji ima određenu dužinu, odnosno segment određene dužine koji ima jednu od svojih graničnih tačaka.

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

L. 2-1 Osnovni pojmovi vektorske algebre. Linearne operacije na vektorima.

Dekompozicija vektora u smislu baze.

Osnovni pojmovi vektorske algebre

Vektor je skup svih usmjerenih segmenata iste dužine i smjera
.

Svojstva:

Linearne operacije preko vektora

Pravilo paralelograma:

WITH ummet dva vektora I zove vektor , koji izlazi iz njihovog zajedničkog porijekla i predstavlja dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima I kao sa strane.

Pravilo poligona:

Da biste konstruisali zbir bilo kojeg broja vektora, potrebno je da stavite početak 2. vektora na kraj 1. člana, početak 3. na kraj 2. i tako dalje. Vektor koji zatvara rezultujuću poliliniju je zbir. Njegov početak se poklapa s početkom prvog, a kraj s krajem posljednjeg.

Svojstva:

Vektorski proizvod po broju , naziva se vektor koji zadovoljava uslove:
.

Svojstva:

razlika vektori I vektor poziva jednak zbiru vektora i vektor suprotan vektoru , tj.
.

- zakon suprotnog elementa (vektora).

Dekompozicija vektora u smislu baze

Zbir vektora je određen na jedinstven način
(ali samo ). Obrnuta operacija, dekompozicija vektora na nekoliko komponenti, je dvosmislena: Da bi to bilo nedvosmisleno, potrebno je naznačiti smjerove u kojima dolazi do širenja razmatranog vektora, ili, kako kažu, potrebno je naznačiti osnovu.

Prilikom određivanja osnove, zahtjev nekoplanarnosti i nekolinearnosti vektora je bitan. Da bi se razumjelo značenje ovog zahtjeva, potrebno je razmotriti koncept linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti vektora.

Proizvoljni izraz oblika: , pozvan linearna kombinacija vektori
.

Linearna kombinacija nekoliko vektora naziva se trivijalan ako su svi njegovi koeficijenti jednaki nuli.

Vektori
pozvao linearno zavisna, ako postoji netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nuli:
(1), pod uslovom
. Ako jednakost (1) vrijedi samo za sve
istovremeno jednak nuli, a zatim različiti od nule vektori
će linearno nezavisna.

Lako je dokazati: bilo koja dva kolinearna vektora su linearno zavisna, a dva nekolinearna vektora su linearno nezavisna.

Dokaz počinjemo s prvom tvrdnjom.

Neka vektori I kolinearno. Pokažimo da su one linearno zavisne. Zaista, ako su kolinearni, onda se međusobno razlikuju samo po brojčanom faktoru, tj.
, dakle
. Pošto je rezultirajuća linearna kombinacija jasno netrivijalna i jednaka je "0", onda su vektori I linearno zavisna.

Razmotrimo sada dva nekolinearna vektora I . Dokažimo da su oni linearno nezavisni. Dokaz gradimo kontradikcijom.

Pretpostavljamo da su one linearno zavisne. Tada mora postojati netrivijalna linearna kombinacija
. Pretvarajmo se to
, Onda
. Rezultirajuća jednakost znači da su vektori I su kolinearni, suprotno našoj početnoj pretpostavci.

Slično, može se dokazati: bilo koja tri koplanarna vektora su linearno zavisna, a dva nekoplanarna vektora su linearno nezavisna.

Vraćajući se na koncept osnove i na problem proširenja vektora u određenoj bazi, možemo reći da osnova na ravni i u prostoru se formira iz skupa linearno nezavisnih vektora. Takav koncept osnove je opšti, jer primjenjiv je na prostor bilo kojeg broja dimenzija.

Izraz kao:
, naziva se dekompozicija vektora po vektorima ,…,.

Ako uzmemo u obzir bazu u trodimenzionalnom prostoru, onda je dekompozicija vektora osnovu
će
, Gdje
-vektorske koordinate.

U problemu proširenja proizvoljnog vektora u nekoj osnovi vrlo je važna sljedeća izjava: bilo koji vektormože se razložiti na jedinstven način u datoj osnovi
. Drugim riječima, koordinate
za bilo koji vektor u odnosu na osnovu
je nedvosmisleno definisan.

Uvođenje baze u prostor i na ravan omogućava pripisivanje svakom vektoru poredani trostruki (par) brojeva - njegove koordinate. Ovaj vrlo važan rezultat, koji omogućava uspostavljanje veze između geometrijskih objekata i brojeva, omogućava analitički opis i proučavanje položaja i kretanja fizičkih objekata.

Kombinacija tačke i osnove se zove koordinatni sistem.

Ako su vektori koji formiraju bazu jedinični i po paru okomiti, tada se zove koordinatni sistem pravougaona, i osnovu ortonormalno.

L. 2-2 Proizvod vektora

Dekompozicija vektora u smislu baze

Razmotrite vektor
, dat svojim koordinatama:
.

- vektorske komponente u pravcima baznih vektora
.

Izražavanje forme
naziva se dekompozicija vektora osnovu
.

Na sličan način se može razgraditi osnovu
vektor
:

Kosinusi uglova formiranih razmatranim vektorom sa baznim vektorima
pozvao kosinus smjera

;
;
.

Skalarni proizvod vektora.

Skalarni proizvod dva vektora I naziva se broj jednak proizvodu modula ovih vektora kosinusom ugla između njih

Skalarni proizvod dva vektora može se smatrati proizvodom modula jednog od ovih vektora i ortogonalne projekcije drugog vektora na smjer prvog vektora.
.

Svojstva:

Ako su koordinate vektora poznate
I
, zatim, proširivši vektore u smislu baze
:
I
, nađi

, jer
,
, To

Uslov okomitosti vektora:
.

Uslov kolinearnosti za rektore:
.

Unakrsni proizvod vektora

ili

vektorska umjetnost po vektoru takav vektor se zove
, koji zadovoljava uslove:

Svojstva:

Razmatrana algebarska svojstva nam omogućavaju da pronađemo analitički izraz za vektorski proizvod preko koordinata konstitutivnih vektora u ortonormalnoj bazi.

Dato:
I
.

jer ,
,
,
,
,
,
, To

. Ova formula se može napisati kraće, u obliku determinante trećeg reda:

Mješoviti proizvod vektora

Mješoviti proizvod tri vektora ,I naziva se broj jednak vektorskom proizvodu
, pomnoženo skalarno vektorom .

Tačna je sljedeća jednakost:
, pa je napisan mješoviti proizvod
.

Kao što slijedi iz definicije, rezultat mješovitog proizvoda tri vektora je broj. Ovaj broj ima jasno geometrijsko značenje:

Modul mješovitih proizvoda
jednak je volumenu paralelepipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište ,I .

Kombinovana svojstva proizvoda:

Ako vektori ,,date su u ortonormalnoj bazi
njihove koordinate, izračunavanje mješovitog proizvoda vrši se prema formuli

Zaista, ako
, To

;
;
, Onda
.

Ako vektori ,,su komplanarni, onda vektorski proizvod
okomito na vektor . I obrnuto, ako
, tada je volumen paralelepipeda nula, a to je moguće samo ako su vektori koplanarni (linearno zavisni).

Dakle, tri vektora su komplanarna ako i samo ako je njihov mješoviti proizvod nula.

Osnova prostora nazvati takav sistem vektora u kojem se svi ostali vektori prostora mogu predstaviti kao linearna kombinacija vektora uključenih u bazu.
U praksi je sve ovo prilično jednostavno. Osnova se po pravilu provjerava na ravni ili u prostoru, a za to je potrebno pronaći determinantu matrice drugog, trećeg reda, sastavljene od koordinata vektora. Šematski napisano ispod uslovi pod kojima vektori čine osnovu

To proširiti vektor b u terminima baznih vektora
e,e...,e[n] potrebno je pronaći koeficijente x, ..., x[n] za koje je linearna kombinacija vektora e,e...,e[n] jednaka vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Da biste to učinili, vektorsku jednačinu treba pretvoriti u sistem linearne jednačine i pronađite rješenja. Takođe je prilično lako implementirati.
Pronađeni koeficijenti x, ..., x[n] se pozivaju koordinate vektora b u bazi e,e...,e[n].
Pređimo na praktičnu stranu teme.

Dekompozicija vektora u bazne vektore

Zadatak 1. Provjerite da li vektori a1, a2 čine osnovu na ravni

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rješenje: Sastavite determinantu iz koordinata vektora i izračunajte je

Determinanta nije jednaka nuli, dakle vektori su linearno nezavisni, što znači da čine osnovu.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Rješenje: Izračunavamo determinantu sastavljenu od vektora

Determinanta je jednaka 13 (nije jednaka nuli) - iz ovoga slijedi da su vektori a1, a2 baza na ravni.

---=================---

Razmotrimo tipične primjere iz programa IAPM u disciplini "Viša matematika".

Zadatak 2. Pokažite da vektori a1, a2, a3 čine osnovu trodimenzionalnog vektorskog prostora i proširite vektor b u ovoj bazi (prilikom rješavanja sistema linearnih algebarske jednačine koristiti Cramerovu metodu).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rješenje: Prvo razmotrite sistem vektora a1, a2, a3 i provjerite determinantu matrice A

izgrađen na vektorima drugačijim od nule. Matrica sadrži jedan nulti element, pa je svrsishodnije izračunati determinantu kao raspored za prvu kolonu ili treći red.

Kao rezultat proračuna, ustanovili smo da je determinanta različita od nule vektori a1, a2, a3 su linearno nezavisni.
Po definiciji, vektori čine osnovu u R3. Zapišimo raspored vektora b u terminima baze

Vektori su jednaki kada su im odgovarajuće koordinate jednake.
Dakle, iz vektorske jednačine dobijamo sistem linearnih jednačina

Riješite SLAE Cramerova metoda. Da bismo to učinili, zapisujemo sistem jednačina u obliku

Glavna determinanta SLAE je uvijek jednaka determinanti sastavljenoj od baznih vektora

Stoga se u praksi ne računa dva puta. Da bismo pronašli pomoćne determinante, stavljamo kolonu slobodnih pojmova na mjesto svake kolone glavne determinante. Odrednice se računaju prema pravilu trouglova

Zamijenite pronađene determinante u Cramerovu formulu

Dakle, proširenje vektora b u smislu baze ima oblik b=-4a1+3a2-a3 . Koordinate vektora b u bazi a1, a2, a3 će biti (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rješenje: Provjeravamo vektore za osnovu - sastavljamo determinantu iz koordinata vektora i izračunavamo je

Dakle, determinanta nije jednaka nuli vektori čine osnovu u prostoru. Ostaje da se pronađe raspored vektora b u smislu date baze. Da bismo to učinili, pišemo vektorsku jednačinu

i transformisati u sistem linearnih jednačina

Zapisujemo matrična jednačina

Zatim, za Cramerove formule, nalazimo pomoćne determinante

Primjena Cramerovih formula

Dakle, dati vektor b ima raspored kroz dva bazna vektora b=-2a1+5a3, a njegove koordinate u bazi su jednake b(-2,0, 5).