Ekstrapolacija je metoda naučno istraživanje, koji se zasniva na distribuciji prošlih i sadašnjih trendova, obrazaca, odnosa prema budućem razvoju objekta predviđanja. Metode ekstrapolacije uključuju metoda pokretnog prosjeka, metoda eksponencijalno izglađivanje, metod najmanjih kvadrata.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja najefikasniji u razvoju srednjoročnih prognoza. Prihvatljivo je kada se predviđa samo jedan period unaprijed. Njegove glavne prednosti su jednostavnost postupka izračunavanja i mogućnost uzimanja u obzir težine početnih informacija. Radna formula metode eksponencijalnog izglađivanja je:

Postoje dva problema sa predviđanjem pomoću ove metode:

• izbor vrijednosti parametra glađenja α;
• određivanje početne vrijednosti Uo.

Vrijednost α zavisi koliko brzo se smanjuje težina uticaja prethodnih zapažanja. Što je veći α, manji je uticaj prethodnih godina. Ako je vrijednost α blizu jedinice, onda to dovodi do uzimanja u obzir u prognozi uglavnom utjecaja samo najnovijih zapažanja. Ako je vrijednost α blizu nuli, tada se ponderi kojima se ponderiraju nivoi vremenske serije polako smanjuju, tj. prognoza uzima u obzir sva (ili skoro sva) ranija zapažanja.

Stoga, ako postoji povjerenje da su početni uslovi na osnovu kojih se predviđa prognoza pouzdani, treba koristiti malu vrijednost parametra glađenja (α→0). Kada je parametar izglađivanja mali, funkcija koja se proučava ponaša se kao prosjek velikog broja prošlih nivoa. Ako nema dovoljno povjerenja u početne uslove prognoze, onda treba koristiti veliku vrijednost α, što će dovesti do toga da se u prognozi uzme u obzir uglavnom utjecaj nedavnih zapažanja.

Ne postoji tačna metoda za izbor optimalne vrijednosti parametra glađenja α. U nekim slučajevima, autor ove metode, profesor Brown, predložio je da se vrijednost α odredi na osnovu dužine intervala izglađivanja. U ovom slučaju, α se izračunava po formuli:

gdje je n broj opservacija uključenih u interval izglađivanja.

Uo problem izbora (eksponencijalno ponderisani početni prosjek) rješava se na sljedeće načine:

• ako postoje podaci o razvoju fenomena u prošlosti, onda možete koristiti aritmetičku sredinu i izjednačiti Uo s njom;
• ako takve informacije nema, tada se početna prva vrijednost baze prognoze Y1 koristi kao Uo.

Možete koristiti i mišljenja stručnjaka.

Imajte na umu da prilikom proučavanja ekonomskih vremenskih serija i predviđanja ekonomskih procesa, metoda eksponencijalnog izglađivanja ne “funkcioniše” uvijek. To je zbog činjenice da su ekonomske vremenske serije prekratke (15-20 opservacija), a u slučaju kada su stope rasta i rasta visoke, ovaj metod ne „uspije“ da odrazi sve promjene.

Primjer primjene metode eksponencijalnog izravnavanja za razvoj prognoze

Zadatak . Postoje podaci koji karakterišu nivo nezaposlenosti u regionu, %

• Izgradite prognozu stope nezaposlenosti u regionu za mjesece novembar, decembar, januar koristeći metode: pokretni prosjek, eksponencijalno izravnavanje, najmanji kvadrati.
• Izračunajte greške u rezultirajućim prognozama koristeći svaku metodu.
• Uporedite dobijene rezultate, izvucite zaključke.

Rješenje za eksponencijalno izglađivanje

1) Odredite vrijednost parametra za izravnavanje po formuli:

gdje je n broj opservacija uključenih u interval izglađivanja. α = 2/ (10+1) = 0,2

2) Početnu vrijednost Uo određujemo na dva načina:
Metoda I (aritmetička sredina) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/ 10 = 22,13/10 = 2,21
Metoda II (uzimamo prvu vrijednost baze prognoze) Uo = 2,99

3) Izračunajte eksponencijalno ponderisani prosjek za svaki period koristeći formulu

gdje je t period koji prethodi periodu predviđanja; t+1 – period prognoze; Ut+1 - predviđeni indikator; α - parametar izravnavanja; Ut je stvarna vrijednost proučavanog indikatora za period koji prethodi prognozi; Ut - eksponencijalno ponderisani prosjek za period koji prethodi periodu prognoze.

Na primjer:
Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,21 = 2,37 (I metoda)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,37 = 2,43 (I metoda) itd.

Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 = 2,99 (II metoda)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 = 2,92 (II metoda)
Uapr \u003d 2,63 * 0,2 + (1-0,2) * 2,92 = 2,86 (II metoda) itd.

4) Koristeći istu formulu, izračunavamo predviđenu vrijednost
Novembar \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,08 = 1,95 (I metoda)
Novembar \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,18 \u003d 2,03 (II metoda)
Rezultate stavljamo u tabelu.

5) Izračunajte prosječnu relativnu grešku koristeći formulu:

ε = 209,58/10 = 20,96% (metoda I)
ε = 255,63/10 = 25,56% (metoda II)

U svakom slučaju tačnost prognoze je zadovoljavajuća jer je prosječna relativna greška unutar 20-50%.

Odlučivanje ovaj zadatak metode pokretni prosek I najmanjih kvadrata Hajde da izvučemo zaključke.

Očigledno, u metodi ponderisanog pokretnog prosjeka, postoji mnogo načina da se ponderi podese tako da njihov zbir bude jednak 1. Jedna od ovih metoda se naziva eksponencijalno izglađivanje. U ovoj shemi metode ponderiranog prosjeka, za bilo koji t > 1, predviđena vrijednost u trenutku t+1 je ponderisani zbir stvarne prodaje, , u vremenskom periodu t, i prognozirane prodaje, , u vremenskom periodu t U drugim riječi,

Eksponencijalno izglađivanje ima računske prednosti u odnosu na pokretne proseke. Ovdje je za izračunavanje potrebno samo znati vrijednosti , i , (zajedno sa vrijednošću α). Na primjer, ako kompanija treba da predvidi potražnju za 5.000 artikala u svakom vremenskom periodu, tada bi trebala pohraniti 10.001 vrijednost podataka (5.000 vrijednosti , 5.000 vrijednosti i α vrijednost), dok bi napraviti prognozu zasnovanu na pokretnom prosjeku od 8 čvorova potrebnih 40.000 vrijednosti podataka. Ovisno o ponašanju podataka, možda će biti potrebno pohraniti različite vrijednosti α za svaki proizvod, ali čak i u ovom slučaju količina pohranjenih informacija je mnogo manja nego kada se koristi pokretni prosjek. Dobra stvar kod eksponencijalnog izglađivanja je da se zadržavanjem α i posljednjeg predviđanja implicitno čuvaju i sva prethodna predviđanja.

Razmotrimo neka svojstva modela eksponencijalnog izglađivanja. Za početak, napominjemo da ako je t > 2, tada se u formuli (1) t može zamijeniti sa t–1, tj. Zamjenom ovog izraza u originalnu formulu (1) dobijamo

Izvodeći sukcesivno slične zamjene, dobijamo sljedeći izraz za

Budući da iz nejednakosti 0< α < 1 следует, что 0 < 1 – α < 1, то Другими словами, наблюдение , имеет больший вес, чем наблюдение , которое, в свою очередь, имеет больший вес, чем . Это иллюстрирует основное свойство модели экспоненциального сглаживания - коэффициенты при убывают при уменьшении номера k. Также можно показать, что сумма всех коэффициентов (включая коэффициент при ), равна 1.

Iz formule (2) se može vidjeti da je vrijednost ponderisani zbir svih prethodnih zapažanja (uključujući i posljednju opservaciju). Posljednji član u zbiru (2) nije statistička opservacija, već "pretpostavka" (možemo pretpostaviti, na primjer, da ). Očigledno, povećanjem t utjecaj na prognozu opada, te se u određenom trenutku može zanemariti. Čak i ako je vrijednost α dovoljno mala (tako da je (1 - α) približno jednako 1), vrijednost će se brzo smanjiti.

Vrijednost parametra α uvelike utječe na performanse modela predviđanja, budući da je α težina posljednjeg opažanja. To znači da treba dodijeliti veću vrijednost α u slučaju kada je posljednje opažanje u modelu najpredvidljivije. Ako je α blizu 0, to znači skoro potpuno povjerenje u prethodnu prognozu i zanemarivanje posljednjeg zapažanja.

Viktor je imao problem: kako najbolje odabrati vrijednost α. Opet, alat Solver će vam pomoći u tome. Naći optimalna vrijednostα (odnosno onaj pri kojem će prediktivna kriva najmanje odstupati od krive vrijednosti vremenske serije), učinite sljedeće.

1. Odaberite naredbu Alati -> Traži rješenje.
2. U dijaloškom okviru Pronađi rješenje koji se otvori, postavite ciljnu ćeliju na G16 (pogledajte Expo list) i navedite da njena vrijednost treba biti minimalna.
3. Navedite da je ćelija koja se mijenja ćelija B1.
4. Unesite ograničenja B1 > 0 i B1< 1
5. Klikom na dugme Run dobićete rezultat prikazan na sl. 8.

Opet, kao iu metodi ponderisanog pokretnog prosjeka, najbolje predviđanje će se dobiti dodjeljivanjem pune težine posljednjem opažanju. Stoga je optimalna vrijednost α 1, sa srednjim apsolutnim odstupanjima 6,82 (ćelija G16). Viktor je dobio prognozu koju je već vidio.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja dobro funkcionira u situacijama kada se varijabla koja nas zanima ponaša stacionarno, a njena odstupanja od konstantne vrijednosti su uzrokovana slučajnim faktorima i nisu regularna. Ali: bez obzira na vrijednost parametra α, metoda eksponencijalnog izglađivanja neće moći predvidjeti monotono rastuće ili monotono opadajuće podatke (predviđene vrijednosti će uvijek biti manje, odnosno veće od posmatranih). Takođe se može pokazati da u modelu sa sezonskim varijacijama ovom metodom neće biti moguće dobiti zadovoljavajuće prognoze.

Ako se statistika mijenja monotono ili je podložna sezonskim promjenama, potrebne su posebne metode predviđanja, o čemu će biti riječi u nastavku.

Holt metoda (eksponencijalno izglađivanje sa trendom)

,

Holtova metoda omogućava predviđanje za k vremenskih perioda unaprijed. Metoda, kao što vidite, koristi dva parametra α i β. Vrijednosti ovih parametara su u rasponu od 0 do 1. Varijabla L, ukazuje na dugoročni nivo vrijednosti, ili osnovnu vrijednost podataka vremenske serije. Varijabla T označava moguće povećanje ili smanjenje vrijednosti u jednom periodu.

Razmotrimo rad ove metode na novom primjeru. Svetlana radi kao analitičar u velikoj brokerskoj firmi. Na osnovu kvartalnih izvještaja koje ima za Startup Airlines, ona želi prognozirati zaradu te kompanije za sljedeći kvartal. Dostupni podaci i dijagram izgrađen na njihovoj osnovi nalaze se u radnoj svesci Startup.xls (slika 9). Vidi se da podaci imaju jasan trend (skoro monotono rastu). Svetlana želi da koristi Holtovu metodu za predviđanje zarade po dionici za trinaesti kvartal. Da biste to učinili, morate postaviti početne vrijednosti za L i T. Postoji nekoliko izbora: 1) L je jednako vrijednosti zarade po dionici za prvi kvartal i T = 0; 2) L je jednako prosečnoj vrednosti zarade po akciji za 12 kvartala, a T je jednako prosečnoj promeni za svih 12 kvartala. Postoje i druge opcije za početne vrijednosti za L i T, ali Svetlana je odabrala prvu opciju.

Odlučila je da pomoću alata Find Solution pronađe optimalnu vrijednost parametara α i β, pri čemu je vrijednost srednje vrijednosti apsolutne greške postotak bi bio minimalan. Da biste to učinili, morate slijediti ove korake.

Odaberite naredbu Service -> Search for a solution.

U dijaloškom okviru Potraga za rješenjem koji se otvara, postavite ćeliju F18 kao ciljnu ćeliju i naznačite da njena vrijednost treba biti minimizirana.

U polje Promjena ćelija unesite raspon ćelija B1:B2. Dodajte ograničenja B1:B2 > 0 i B1:B2< 1.

Kliknite na dugme Izvrši.

Rezultirajuća prognoza je prikazana na sl. 10.

Kao što se može vidjeti, ispostavile su se da su optimalne vrijednosti α = 0,59 i β = 0,42, dok je prosječna apsolutna greška u procentima 38%.

Obračun sezonskih promjena

Sezonske promjene treba uzeti u obzir kada se predviđaju podaci iz vremenskih serija. Sezonske promjene su fluktuacije gore-dole sa konstantnim periodom vrijednosti varijable.

Na primjer, ako pogledate prodaju sladoleda po mjesecima, možete vidjeti u toplih mjeseci(od juna do avgusta na sjevernoj hemisferi). visoki nivo rasprodaje nego zimi, i tako svake godine. Ovdje sezonske fluktuacije imaju period od 12 mjeseci. Ako se koriste nedjeljni podaci, sezonski obrazac će se ponavljati svake 52 sedmice u noći na utorak, srijedu i četvrtak, najmanje kupaca će biti subotom i nedjeljom navečer, a prosječan broj gostiju očekuje se u petak i ponedjeljak navečer. Ova struktura podataka, koja prikazuje broj kupaca u različitim danima u sedmici, će se ponavljati svakih sedam dana.

Procedura izrade sezonski prilagođene prognoze sastoji se od sljedeća četiri koraka:

1) Na osnovu početnih podataka utvrđuje se struktura sezonskih fluktuacija i period ovih kolebanja.

3) Na osnovu podataka iz kojih je isključena sezonska komponenta, izrađuje se najbolja moguća prognoza.

4) Sezonska komponenta se dodaje primljenoj prognozi.

Ilustrujmo ovaj pristup podacima o prodaji uglja (izmjerenim u hiljadama tona) u Sjedinjenim Državama tokom devet godina kao menadžer u rudniku uglja Gillette, Frank treba da predvidi potražnju uglja za naredna dva kvartala. On je unio podatke za cijelu industriju uglja u radnu knjigu Coal.xls i ucrtao podatke (Slika 11). Grafikon pokazuje da je obim prodaje iznad prosjeka u prvom i četvrtom kvartalu (zimska sezona) i ispod prosjeka u drugom i trećem kvartalu (proljetno-ljetni mjeseci).

Isključenje sezonske komponente

Najprije treba izračunati prosjek svih odstupanja za jedan period sezonskih promjena. Za isključivanje sezonske komponente unutar jedne godine koriste se podaci za četiri perioda (kvartala). A da bi se isključila sezonska komponenta iz cijele vremenske serije, izračunava se niz pokretnih prosjeka preko T čvorova, gdje je T trajanje sezonskih fluktuacija. Za izvođenje potrebnih proračuna Frank je koristio kolone C i D, kao što je prikazano na sl. ispod. Kolona C sadrži pokretni prosek sa 4 čvora na osnovu podataka u koloni B.

Sada moramo dodijeliti rezultirajuće vrijednosti pokretnog prosjeka srednjim tačkama niza podataka iz kojih su ove vrijednosti izračunate. Ova operacija se zove centriranje vrijednosti. Ako je T neparan, onda je prva vrijednost pokretnog prosjeka (prosjek vrijednosti od prvog do T-tačka) treba dodijeliti (T + 1)/2 tački (na primjer, ako je T = 7, tada će prvi pokretni prosjek biti dodijeljen četvrtoj tački). Slično, prosjek vrijednosti od druge do (T + 1) tačke je centriran na (T + 3)/2 tački, itd. Centar n-tog intervala je u tački (T+ (2n-1))/2.

Ako je T paran, kao u slučaju koji se razmatra, onda problem postaje nešto složeniji, jer se ovdje središnje (srednje) tačke nalaze između tačaka za koje je izračunata vrijednost pokretnog prosjeka. Stoga se centrirana vrijednost za treću tačku izračunava kao prosjek prve i druge vrijednosti pokretnog prosjeka. Na primjer, prvi broj u koloni D centriranih znači na sl. 12, lijevo je (1613 + 1594)/2 = 1603. Na sl. 13 prikazuje grafikone neobrađenih podataka i centriranih prosjeka.

Zatim nalazimo omjere vrijednosti tačaka podataka prema odgovarajućim vrijednostima središta. Budući da tačke na početku i na kraju niza podataka nemaju odgovarajuće centrirane srednje vrijednosti (pogledajte prvu i posljednju vrijednost u koloni D), ove točke nisu pogođene. Ovi omjeri pokazuju u kojoj mjeri vrijednosti podataka odstupaju od tipičnog nivoa definisanog središtem. Imajte na umu da su vrijednosti omjera za treće tromjesečje manje od 1, a one za četvrto tromjesečje veće od 1.

Ovi odnosi su osnova za kreiranje sezonskih indeksa. Da bi se izračunali, izračunati omjeri su grupisani po četvrtinama, kao što je prikazano na Sl. 15 u kolonama G-O.

Zatim se pronađu prosječne vrijednosti omjera za svaki kvartal (kolona E na slici 15). Na primjer, prosjek svih koeficijenata za prvi kvartal je 1,108. Ova vrijednost je sezonski indeks za prvi kvartal, iz čega se može zaključiti da obim prodaje uglja za prvi kvartal u prosjeku iznosi oko 110,8% relativne prosječne godišnje prodaje.

Sezonski indeks je prosječan omjer podataka koji se odnose na jednu sezonu (u ovom slučaju sezona je četvrtina) prema svim podacima. Ako je sezonski indeks veći od 1, onda je učinak ove sezone iznad prosjeka za godinu, slično, ako je sezonski indeks ispod 1, onda je učinak sezone ispod prosjeka za godinu.

Konačno, da biste isključili sezonsku komponentu iz originalnih podataka, vrijednosti izvornih podataka treba podijeliti s odgovarajućim sezonskim indeksom. Rezultati ove operacije prikazani su u kolonama F i G (slika 16). Grafikon podataka koji više ne sadrži sezonsku komponentu prikazan je na Sl. 17.

Predviđanje

Na osnovu podataka iz kojih je isključena sezonska komponenta, gradi se prognoza. Za to se koristi odgovarajuća metoda koja uzima u obzir prirodu ponašanja podataka (na primjer, podaci imaju trend ili su relativno konstantni). U ovom primjeru, prognoza je napravljena korištenjem jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja. Optimalna vrijednost parametra α nalazi se pomoću alata Solver. Grafikon prognoze i stvarnih podataka sa isključenom sezonskom komponentom prikazan je na sl. 18.

Računovodstvo sezonske strukture

Sada moramo uzeti u obzir sezonsku komponentu u prognozi (1726,5). Da biste to učinili, pomnožite 1726 sa sezonskim indeksom prvog kvartala od 1,108, što rezultira vrijednošću od 1912. Slična operacija (množenje 1726 sa sezonskim indeksom od 0,784) dat će prognozu za drugi kvartal, jednaku 1353. Rezultat dodavanja sezonske strukture rezultujućoj prognozi prikazan je na Sl. 19.

Opcije zadatka:

Zadatak 1

Dati vremensku seriju

t
x

1. Nacrtajte zavisnost x = x(t).

1. Koristeći jednostavan pokretni prosjek preko 4 čvora, predvidite potražnju u 11. vremenskoj tački.
2. Je li ova metoda predviđanja prikladna za ove podatke ili ne? Zašto?
3. Prilagodite linearni najmanji kvadrat u skladu sa podacima.

Zadatak 2

Koristeći model predviđanja prihoda kompanije Startup Airlines (Startup.xls), učinite sljedeće:

Zadatak 3

Za vremenske serije

t
x

trci:

1. Koristeći ponderisani pokretni prosjek za 4 čvora i dodjeljivanje pondera 4/10, 3/10, 2/10, 1/10, predvidite potražnju u 11. vremenskoj tački. Veću težinu treba pripisati novijim zapažanjima.
2. Da li je ova aproksimacija bolja od jednostavnog pokretnog prosjeka preko 4 čvora? Zašto?
3. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
4. Koristite alat Solver da pronađete optimalne težine čvorova. Za koliko se smanjila greška aproksimacije?
5. Koristite eksponencijalno izglađivanje za predviđanje. Koja od korištenih metoda daje najbolje rezultate?

Zadatak 4

Analizirajte vremenske serije

Vrijeme

Potražnja

1. Koristite ponderisani pokretni prosek sa 4 čvora sa težinama 4/10, 3/10, 2/10, 1/10 da biste dobili prognozu u vremenima 5-13. Veću težinu treba pripisati novijim zapažanjima.
2. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
3. Mislite li da je ova aproksimacija bolja od modela jednostavnog pokretnog prosjeka sa 4 čvora? Zašto?
4. Koristite alat Solver da pronađete optimalne težine čvorova. Za koliko ste uspjeli smanjiti vrijednost greške?
5. Koristite eksponencijalno izglađivanje za predviđanje. Koja od korištenih metoda daje najbolji rezultat?

Zadatak 5

Dati vremensku seriju

Zadatak 7

Menadžer marketinga male, rastuće kompanije koja sadrži lanac prehrambenih prodavnica ima informacije o obimu prodaje za sve vreme postojanja najprofitabilnije prodavnice (vidi tabelu).

Koristeći jednostavan pokretni prosjek za 3 čvora, predvidite vrijednosti u čvorovima 4 do 11.

Koristeći ponderisani pokretni prosjek za 3 čvora, predvidite vrijednosti u čvorovima od 4 do 11. Koristite alat za rješavanje da odredite optimalne težine.

Koristite eksponencijalno izglađivanje da predvidite vrijednosti u čvorovima 2-11. Odredite optimalnu vrijednost parametra α pomoću alata Solver.

Koja je od dobijenih prognoza najtačnija i zašto?

Zadatak 8

Dati vremensku seriju

1. Zaplet ove vremenske serije. Povežite tačke pravim linijama.
2. Koristeći jednostavan pokretni prosjek za 4 čvora, predvidite potražnju za čvorovima 5-13.
3. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
4. Da li je razumno koristiti ovu metodu predviđanja za prikazane podatke?
5. Da li je ova aproksimacija bolja od jednostavnog pokretnog prosjeka preko 3 čvora? Zašto?
6. Nacrtajte linearni i kvadratni trend iz podataka.
7. Koristite eksponencijalno izglađivanje za predviđanje. Koja od korištenih metoda daje najbolje rezultate?

Zadatak 10

Business_Week.xls radna sveska prikazuje podatke iz Business Week-a za 43 mjeseca mjesečne prodaje automobila.

1. Uklonite sezonsku komponentu iz ovih podataka.
2. Odredite najbolja metoda predviđanje dostupnih podataka.
3. Kakva je prognoza za 44. period?

Zadatak 11

1. jednostavno kolo prognoziranje, kada se vrijednost za posljednju sedmicu uzima kao prognoza za narednu sedmicu.
2. Metoda pokretnog prosjeka (sa brojem čvorova po vašem izboru). Pokušajte koristiti nekoliko različita značenjačvorovi.

Zadatak 12

Bank.xls radna sveska prikazuje učinak banke. Razmotrite sljedeće metode za predviđanje vrijednosti ove vremenske serije.

Kao prognoza se koristi prosječna vrijednost indikatora za sve prethodne sedmice.

Metoda ponderisanog pokretnog prosjeka (sa brojem čvorova po vašem izboru). Pokušajte koristiti nekoliko različitih vrijednosti čvora. Koristite alat Solver da odredite optimalne težine.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja. Pronađite optimalnu vrijednost parametra α pomoću alata Solver.

Koju od gore predloženih metoda predviđanja biste preporučili za predviđanje vrijednosti ove vremenske serije?

Književnost

Slične informacije.

9 5. Metoda eksponencijalnog izglađivanja. Odabir konstante izravnavanja

Kada se koristi metoda najmanjih kvadrata za određivanje prediktivnog trenda (trenda), unaprijed se pretpostavlja da svi retrospektivni podaci (zapažanja) imaju isti sadržaj informacija. Očigledno bi bilo logičnije uzeti u obzir proces diskontiranja početnih informacija, odnosno nejednaku vrijednost ovih podataka za izradu prognoze. Ovo se postiže metodom eksponencijalnog izglađivanja tako što se posljednjim zapažanjima vremenske serije (odnosno vrijednostima koje neposredno prethode početnom periodu prognoze) daju značajnije "težine" u odnosu na početna zapažanja. Prednosti metode eksponencijalnog izglađivanja trebale bi uključiti i jednostavnost računskih operacija i fleksibilnost opisivanja različitih dinamika procesa. Metoda je našla najveću primjenu za implementaciju srednjoročnih prognoza.

5.1. Suština metode eksponencijalnog izglađivanja

Suština metode je da se vremenske serije izglađuju korištenjem ponderiranog "pokretnog prosjeka", u kojem se ponderi pridržavaju eksponencijalnog zakona. Drugim riječima, što je udaljenija od kraja vremenske serije tačka za koju se izračunava ponderisani pokretni prosek, to je manje „učešće potrebno“ u razvoju prognoze.

Neka se originalni dinamički niz sastoji od nivoa (komponenti niza) y t , t = 1 , 2 ,...,n . Za svaki m uzastopnih nivoa ove serije

(m

dinamički niz sa korakom jednakim jedan. Ako je m neparan broj, a poželjno je uzeti neparan broj nivoa, jer će u ovom slučaju izračunata vrijednost nivoa biti u središtu intervala izravnavanja i lako je zamijeniti stvarnu vrijednost njome, tada može se napisati sljedeća formula za određivanje pokretnog prosjeka:

			t+ ξ			t+ ξ
			∑ y i			∑ y i
			i= t−ξ			i= t−ξ
			2ξ + 1

gdje je y t vrijednost pokretnog prosjeka za trenutak t (t = 1 , 2 ,...,n ), y i je stvarna vrijednost nivoa u trenutku i ;

i je redni broj nivoa u intervalu izravnavanja.

Vrijednost ξ se određuje iz trajanja intervala izravnavanja.

Zbog

m =2 ξ +1

za neparan m, onda

ξ = m 2 − 1 .

Izračunavanje pokretnog prosjeka za veliki broj nivoa može se pojednostaviti rekurzivnim definiranjem uzastopnih vrijednosti pokretnog prosjeka:

y t= y t− 1 +	yt + ξ	− y t − (ξ + 1 )
		2ξ + 1

Ali s obzirom na činjenicu da najnovijim zapažanjima treba dati više "težine", pokretni prosek treba drugačije tumačiti. Ona leži u činjenici da vrijednost dobijena usrednjavanjem ne zamjenjuje središnji član intervala usrednjavanja, već njegov posljednji član. U skladu s tim, posljednji izraz se može prepisati kao

Mi = Mi + 1		y i− y i− m

Ovdje je pokretni prosjek, vezan za kraj intervala, označen novim simbolom M i . U suštini, M i je jednako y t pomaknutog ξ koraka udesno, odnosno M i = y t + ξ , gdje je i = t + ξ .

S obzirom da je M i − 1 procjena y i − m , izraz (5.1)

može se prepisati u formu

				y i+ 1				M i − 1 ,
	M i definisan izrazom (5.1).
gdje je M i procjena
Ako se proračuni (5.2) ponavljaju kako pristižu nove informacije
i prepišemo u drugačijem obliku, tada dobijamo izglađenu funkciju posmatranja:
	Q i= α y i+ (1 − α ) Q i− 1 ,
ili u ekvivalentnom obliku
	Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1

Proračuni koji se vrše pomoću izraza (5.3) sa svakim novim opažanjem nazivaju se eksponencijalno uglađivanje. U posljednjem izrazu, da bi se razlikovalo eksponencijalno izglađivanje od pokretnog prosjeka, uvedena je oznaka Q umjesto M. Vrijednost α , koja je

analog od m 1 naziva se konstanta glađenja. Vrijednosti α leže u

interval [ 0 , 1 ] . Ako je α predstavljen kao niz

α + α(1 − α) + α(1 − α) 2 + α(1 − α) 3 + ... + α(1 − α) n ,

lako je vidjeti da se "težine" eksponencijalno smanjuju tokom vremena. Na primjer, za α = 0 dobijamo 2

0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + …

Zbir niza teži jedinici, a članovi sume se s vremenom smanjuju.

Vrijednost Q t u izrazu (5.3) je eksponencijalni prosjek prvog reda, odnosno prosjek dobijen direktno iz

izglađivanje podataka posmatranja (primarno izglađivanje). Ponekad je pri razvoju statističkih modela korisno pribjeći izračunavanju eksponencijalnih prosjeka viših redova, odnosno prosjeka dobijenih ponovljenim eksponencijalnim izglađivanjem.

Opća notacija u rekurzivnom obliku eksponencijalne sredine reda k je

Q t (k)= α Q t (k− 1 )+ (1 − α ) Q t (− k1 ).

Vrijednost k varira unutar 1, 2, …, p ,p+1, gdje je p red prediktivnog polinoma (linearni, kvadratni, itd.).

Na osnovu ove formule, za eksponencijalni prosjek prvog, drugog i trećeg reda, dati su izrazi

Q t (1 )= α y t + (1 − α ) Q t (− 1 1 );

Q t (2 )= α Q t (1 )+ (1 − α ) Q t (− 2 1 ); Q t (3 )= α Q t (2 )+ (1 − α ) Q t (− 3 1 ).

5.2. Određivanje parametara prediktivnog modela korištenjem metode eksponencijalnog izglađivanja

Očigledno, da bi se razvile prediktivne vrijednosti bazirane na dinamičkom nizu korištenjem metode eksponencijalnog izglađivanja, potrebno je izračunati koeficijente jednadžbe trenda kroz eksponencijalne prosjeke. Procjene koeficijenata su određene temeljnom Brown-Meyerovom teoremom, koja povezuje koeficijente prediktivnog polinoma sa eksponencijalnim prosjekima odgovarajućih redova:

(− 1 )

aˆ str

α (1 − α )∞

−α )

j (p − 1 + j ) !

∑j

p=0

p! (k− 1 ) !j = 0

gdje su aˆ p procjene koeficijenata polinoma stepena p.

Koeficijenti se nalaze rješavanjem sistema (p + 1 ) jednadžbi sp + 1

nepoznato.

Dakle, za linearni model

aˆ 0 = 2 Q t (1 ) − Q t (2 ) ; aˆ 1 = 1 − α α (Q t (1 )− Q t (2 )) ;

za kvadratni model

aˆ 0 = 3 (Q t (1 )− Q t (2 )) + Q t (3 );

aˆ 1 =1 − α α [ (6 −5 α ) Q t (1 ) −2 (5 −4 α ) Q t (2 ) +(4 −3 α ) Q t (3 ) ] ;

aˆ 2 = (1 − α α ) 2 [ Q t (1 )− 2 Q t (2 )+ Q t (3 )] .

Prognoza se implementira prema odabranom polinomu, odnosno za linearni model

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ ;

za kvadratni model

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ + aˆ 2 2 τ 2 ,

gdje je τ korak predviđanja.

Treba napomenuti da se eksponencijalni proseci Q t (k ) mogu izračunati samo sa poznatim (izabranim) parametrom, znajući početne uslove Q 0 (k ) .

Procjene početnih uslova, posebno za linearni model

Q(1)=a			1 − α
Q(2 ) = a − 2 (1 − α ) a

za kvadratni model

Q(1)=a

1 − α

+ (1 − α )(2 − α ) a

2(1−α )

(1− α )(3− 2α )

Q 0(2 ) = a 0−

2α 2

Q(3)=a

3(1−α )

(1 − α )(4 − 3 α ) a

gdje su koeficijenti a 0 i a 1 izračunati metodom najmanjih kvadrata.

Vrijednost parametra izglađivanja α se približno izračunava po formuli

α ≈ m 2 + 1,

gdje je m broj zapažanja (vrijednosti) u intervalu izravnavanja. Redoslijed izračunavanja prediktivnih vrijednosti je prikazan u

	Izračunavanje koeficijenata niza metodom najmanjih kvadrata
	Određivanje intervala zaglađivanja
	Proračun konstante glađenja
	Proračun početnih uslova
	Izračunavanje eksponencijalnih prosjeka
	Izračunavanje procjena a 0 , a 1 itd.
	Izračunavanje prognostičkih vrijednosti serije
	Rice. 5.1. Redoslijed izračunavanja vrijednosti prognoze

Kao primjer, razmotrite proceduru za dobivanje prediktivne vrijednosti radnog vremena proizvoda, izraženu vremenom između kvarova.

Početni podaci su sažeti u tabeli. 5.1.

Biramo model linearnog predviđanja u obliku y t = a 0 + a 1 τ

Rješenje je izvodljivo sa sljedećim početnim vrijednostima:

a 0 , 0 = 64, 2; a 1 , 0 = 31,5; α = 0,305.

Tabela 5.1. Početni podaci

Broj zapažanja, t

Dužina koraka, predviđanje, τ

MTBF, y (sat)

Za ove vrijednosti, izračunati "izglađeni" koeficijenti za

y 2 vrijednosti će biti jednake

= α Q (1 )− Q (2 )= 97 , 9 ;

[ Q (1 ) − Q (2 )

31, 9 ,

1−α

pod početnim uslovima

1 − α

A 0 , 0 −

a 1, 0

= −7 , 6

1 − α

= −79 , 4

i eksponencijalni prosjeci

Q (1 )= α y + (1 − α ) Q (1 )

25, 2;

Q(2)

= α Q (1 )

+ (1 −α ) Q (2 ) = −47 , 5 .

“Izglađena” vrijednost y 2 se tada izračunava po formuli

Q i (1 )

Q i (2 )

a 0 ,i

a 1 ,i

ˆyt

Dakle (Tabela 5.2), linearni prediktivni model ima oblik

ˆy t + τ = 224,5+ 32τ .

Izračunajmo predviđene vrijednosti za olovne periode od 2 godine (τ = 1), 4 godine (τ = 2) i tako dalje, vrijeme između kvarova proizvoda (tabela 5.3).

Tabela 5.3. Vrijednosti prognozeˆy t

Jednačina	t+2	t+4	t+6		t+8		t+20
regresija	(τ = 1)	(τ=2)	(τ = 3)				(τ=5)
				τ =
ˆy t = 224,5+ 32τ

Treba napomenuti da se ukupna "težina" posljednjih m vrijednosti vremenske serije može izračunati po formuli

c = 1 − (m (− 1) m ) . m+ 1

Dakle, za posljednja dva opažanja serije (m = 2 ) vrijednost c = 1 − (2 2 − + 1 1 ) 2 = 0. 667 .

5.3. Izbor početnih uslova i određivanje konstante glađenja

Kao što slijedi iz izraza

Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1 ,

pri izvođenju eksponencijalnog izglađivanja potrebno je znati početnu (prethodnu) vrijednost izglađene funkcije. U nekim slučajevima, prvo opažanje se može uzeti kao početna vrijednost, češće se početni uvjeti određuju prema izrazima (5.4) i (5.5). U ovom slučaju, vrijednosti a 0 , 0 , a 1 , 0

i a 2 , 0 određuju se metodom najmanjih kvadrata.

Ako zaista ne vjerujemo odabranoj početnoj vrijednosti, tada ćemo uzimanjem velike vrijednosti konstante glađenja α kroz k opservacija donijeti

"težinu" početne vrijednosti do vrijednosti (1 − α ) k<< α , и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α может быть выбрано малым (близким к 0).

Dakle, izbor konstante glađenja (ili broja posmatranja u pokretnom proseku) uključuje kompromis. Obično, kao što praksa pokazuje, vrijednost konstante izglađivanja leži u rasponu od 0,01 do 0,3.

Poznato je nekoliko prelaza koji omogućavaju pronalaženje približne procjene α . Prvo slijedi iz uslova da su pokretni prosjek i eksponencijalni prosjek jednaki

α \u003d m 2 + 1,

gdje je m broj opservacija u intervalu glađenja. Drugi pristupi su povezani sa tačnošću prognoze.

Dakle, moguće je odrediti α na osnovu Meyerove relacije:

α ≈ S y ,

gdje je S y standardna greška modela;

S 1 je srednja kvadratna greška originalne serije.

Međutim, korištenje posljednjeg omjera je komplikovano činjenicom da je vrlo teško pouzdano odrediti S y i S 1 iz početnih informacija.

Često parametar izglađivanja, a istovremeno i koeficijenti a 0 , 0 i a 0 , 1

se biraju kao optimalne u zavisnosti od kriterijuma

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − ˆyij ] 2 → min

j=0

rješavanjem algebarskog sistema jednadžbi, koji se dobija izjednačavanjem izvoda sa nulom

∂S2		∂S2		∂S2
∂a0, 0		∂ a 1, 0		∂a2, 0

Dakle, za model linearnog predviđanja, početni kriterijum je jednak

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − a0 , 0 − a1 , 0 τ ] 2 → min.

j=0

Rješenje ovog sistema uz pomoć kompjutera ne predstavlja poteškoće.

Za razuman izbor α, možete koristiti i generaliziranu proceduru izglađivanja, koja vam omogućava da dobijete sljedeće odnose koji se odnose na varijansu prognoze i parametar izglađivanja za linearni model:

S p 2 ≈[ 1 + α β ] 2 [ 1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β ) τ +2 α 2 τ 3 ] S y 2

za kvadratni model

S p 2≈ [ 2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ ] S y 2,

gdje je β = 1 − α ;Sy– RMS aproksimacija početne dinamičke serije.

1. Osnovne metodološke odredbe.

Jednostavna metoda eksponencijalnog izglađivanja koristi ponderisani (eksponencijalno) pokretni prosjek svih prethodnih opservacija. Ovaj model se najčešće primjenjuje na podatke u kojima je potrebno ocijeniti postojanje veze između analiziranih indikatora (trend) ili ovisnost analiziranih podataka. Svrha eksponencijalnog izglađivanja je procjena trenutnog stanja, čiji će rezultati odrediti sva buduća predviđanja.

Eksponencijalno izglađivanje obezbeđuje stalno ažuriranje modela zbog najnovijih podataka. Ova metoda se zasniva na usrednjavanju (izglađivanju) vremenske serije prošlih opažanja u silaznom (eksponencijalnom) smjeru. To jest, kasnijim događajima se pridaje veća težina. Težina se dodjeljuje na sljedeći način: za posljednje opažanje težina će biti vrijednost α, za pretposljednje - (1-α), za ono koje je bilo prije njega - (1-α) 2, itd.

U izglađenom obliku, nova prognoza (za vremenski period t + 1) može se predstaviti kao ponderisani prosjek posljednjeg opažanja količine u trenutku t i njene prethodne prognoze za isti period t. Štaviše, težina α se dodeljuje posmatranoj vrednosti, a težina (1- α) se dodeljuje prognozi; pretpostavlja se da je 0< α<1. Это правило в общем виде можно записать следующим образом.

Nova prognoza = [α*(poslednje zapažanje)]+[(1- α)*poslednja prognoza]

gdje je predviđena vrijednost za naredni period;

α je konstanta zaglađivanja;

Y t je promatranje vrijednosti za tekući period t;

Prethodna izglađena prognoza ove vrijednosti za period t.

Eksponencijalno izglađivanje je postupak za kontinuiranu reviziju rezultata prognoze u svjetlu najnovijih dešavanja.

Konstanta izglađivanja α je ponderisani faktor. Njegova stvarna vrijednost je određena mjerom u kojoj bi trenutno posmatranje trebalo da utiče na predviđenu vrednost. Ako je α blizu 1, tada prognoza uzima u obzir vrijednost greške posljednje prognoze. Suprotno tome, za male vrijednosti α, predviđena vrijednost je najbliža prethodnoj prognozi. Može se smatrati ponderisanim prosjekom svih prošlih zapažanja s ponderima koji se eksponencijalno smanjuju sa "starošću" podataka.

Tabela 2.1

Poređenje uticaja različitih vrednosti konstanti glađenja

Konstanta α je ključ za analizu podataka. Ako je potrebno da predviđene vrijednosti budu stabilne i da se slučajna odstupanja izglade, potrebno je odabrati malu vrijednost α. Velika vrijednost konstante α ima smisla ako vam je potreban brzi odgovor na promjene u spektru posmatranja.

2. Praktični primjer eksponencijalnog izglađivanja.

Prikazani su podaci kompanije u smislu obima prodaje (hiljada jedinica) za sedam godina, konstanta glađenja je uzeta jednaka 0,1 i 0,6. Testni dio čine podaci za 7 godina; na njima je potrebno procijeniti efikasnost svakog od modela. Za eksponencijalno ujednačavanje serije, početna vrijednost se uzima jednaka 500 (prva vrijednost stvarnih podataka ili prosječna vrijednost za 3-5 perioda se upisuje u izglađenu vrijednost za 2. kvartal).

Tabela 2.2

Početni podaci

Vrijeme	Stvarna vrijednost (stvarna)	Izglađena vrijednost	Greška prognoze
godine	kvartal	0,1	0,1
excel	prema formuli
			#N / A		0,00
		500,00		-150,00
		485,00	485,00	-235,00
		461,50	461,50	-61,50
			455,35	455,35	-5,35
		454,82	454,82	-104,82
		444,33	444,33	-244,33
		419,90	419,90	-119,90
			407,91	407,91	-57,91
		402,12	402,12	-202,12
		381,91	381,91	-231,91
		358,72	358,72	41,28
			362,84	362,84	187,16
		381,56	381,56	-31,56
		378,40	378,40	-128,40
		365,56	365,56	184,44
			384,01	384,01	165,99
		400,61	400,61	-0,61
		400,55	400,55	-50,55
		395,49	395,49	204,51
			415,94	415,94	334,06
		449,35	449,35	50,65
		454,41	454,41	-54,41
		448,97	448,97	201,03
			469,07	469,07	380,93

Na sl. 2.1 prikazuje predviđanje zasnovano na eksponencijalnom izglađivanju sa konstantom izglađivanja od 0,1.

Rice. 2.1. Eksponencijalno izglađivanje

Rješenje u Excelu.

1. Odaberite meni "Alati" - "Analiza podataka". Sa liste Alati za analizu izaberite Eksponencijalno izglađivanje. Ako u meniju "Alati" nema analize podataka, potrebno je da instalirate "Paket analize". Da biste to učinili, pronađite stavku "Postavke" u "Parametri" i u dijaloškom okviru koji se pojavi označite polje za "Paket analize", kliknite na OK.

2. Okvir za dijalog prikazan na sl. 2.2.

3. U polje "input interval" unesite vrijednosti početnih podataka (plus jedna slobodna ćelija).

4. Označite polje za potvrdu "oznake" (ako raspon unosa sadrži nazive kolona).

5. Unesite vrijednost (1-α) u polje faktora prigušenja.

6. U polje "input interval" unesite vrijednost ćelije u kojoj želite da vidite primljene vrijednosti.

7. Označite okvir "Opcije" - "Izlaz grafikona" da ga automatski napravite.

Rice. 2.2. Dijaloški okvir za eksponencijalno izglađivanje

3. Zadatak laboratorijskog rada.

Postoje početni podaci o obimu proizvodnje preduzeća za proizvodnju nafte za 2 godine, prikazani u tabeli 2.3:

Tabela 2.3

Početni podaci

Izvršite eksponencijalno izravnavanje serije. Uzmite eksponencijalni koeficijent izglađivanja jednak 0,1; 0,2; 0.3. Komentirajte rezultate. Možete koristiti statistiku prikazanu u Dodatku 1.

Jednostavan i logički jasan model vremenske serije ima sljedeći oblik:

Gdje b je konstanta, i ε - slučajna greška. Konstantno b relativno stabilan u svakom vremenskom intervalu, ali se takođe može sporo mijenjati tokom vremena. Jedan od intuitivnih načina za izdvajanje vrijednosti b iz podataka je da se koristi izglađivanje pokretnog prosjeka, u kojem su najnovija zapažanja ponderisana više od pretposljednjih, pretposljednja su ponderirana od pretposljednjih, itd. Jednostavno eksponencijalno izglađivanje je upravo to. Ovdje se eksponencijalno opadajuće težine dodjeljuju starijim opservacijama, dok se, za razliku od pokretnog prosjeka, uzimaju u obzir sva prethodna opažanja serije, a ne samo ona koja su pala u određeni prozor. Tačna formula za jednostavno eksponencijalno izglađivanje je:

Kada se ova formula primenjuje rekurzivno, svaka nova izglađena vrednost (koja je takođe predviđanje) se izračunava kao ponderisani prosek trenutnog posmatranja i izglađene serije. Očigledno, rezultat izglađivanja zavisi od parametra α . Ako α je 1, prethodna zapažanja su potpuno zanemarena. Ako je a 0, tada se trenutna zapažanja zanemaruju. Vrijednosti α između 0 i 1 daju srednje rezultate. Empirijska istraživanja su pokazala da jednostavno eksponencijalno izglađivanje često daje prilično precizno predviđanje.

U praksi se obično preporučuje uzimanje α manje od 0,30. Međutim, odabir većeg od 0,30 ponekad daje preciznije predviđanje. To znači da je bolje procijeniti optimalnu vrijednost α na stvarnim podacima nego na općenitim preporukama.

U praksi, optimalni parametar uglađivanja se često traži pomoću procedure pretraživanja mreže. Mogući raspon vrijednosti parametara podijeljen je mrežom s određenim korakom. Na primjer, razmotrite mrežu vrijednosti od α =0,1 do α = 0,9 sa korakom od 0,1. Zatim se bira vrijednost α , za koji je zbroj kvadrata (ili srednjih kvadrata) reziduala (opažene vrijednosti minus predviđanja po koraku naprijed) minimalan.

Microsoft Excel pruža funkciju eksponencijalnog izglađivanja, koja se obično koristi za izglađivanje nivoa empirijske vremenske serije zasnovane na jednostavnoj metodi eksponencijalnog izglađivanja. Da biste pozvali ovu funkciju, izaberite Alati - Analiza podataka na traci menija. Na ekranu će se otvoriti prozor Data Analysis u kojem treba odabrati vrijednost eksponencijalnog izravnavanja. Kao rezultat, pojavit će se dijaloški okvir. Eksponencijalno izglađivanje prikazano na sl. 11.5.

U dijaloškom okviru za eksponencijalno izglađivanje, postavljaju se gotovo isti parametri kao u dijaloškom okviru Pokretni prosjek o kojem je gore raspravljano.

1. Opseg unosa (Ulazni podaci) - u ovo polje se unosi raspon ćelija koje sadrže vrijednosti parametra koji se proučava.

2. Labels (Labels) - ova opcija zastavica se postavlja ako prvi red (kolona) u opsegu unosa sadrži naslov. Ako zaglavlje nedostaje, potvrdni okvir treba poništiti. U ovom slučaju, standardni nazivi će se automatski generirati za podatke o opsegu izlaza.

3. Faktor prigušenja - u ovo polje unesite vrijednost odabranog faktora eksponencijalnog glađenja α . Zadana vrijednost je α = 0,3.

4. Izlazne opcije - u ovoj grupi, pored specificiranja raspona ćelija za izlazne podatke u polju Output Range, možete zahtijevati i automatsko iscrtavanje grafikona, za šta je potrebno provjeriti opciju Chart Output, i izračunati standard greške tako što ćete označiti opciju Standardne greške.

Koristimo funkciju Eksponencijalno izglađivanje kako bi se ponovo riješio gornji problem, ali koristeći metodu jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja. Odabrane vrijednosti parametara izglađivanja prikazane su na sl. 11.5. Na sl. 11.6 prikazuje izračunate indikatore, a na sl. 11.7 - ucrtani grafovi.