Šta su sopstvene vrijednosti? Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrice

Kako ubaciti matematičke formule na web stranicu?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, onda je najlakši način da to učinite kao što je opisano u članku: matematičke formule se lako ubacuju na stranicu u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda će pomoći u poboljšanju vidljivosti stranice tražilice. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako redovno koristite matematičke formule na svom sajtu, onda preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičke zapise u web pretraživačima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML markup.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju web stranicu, koja će se automatski učitati sa udaljenog servera u pravo vrijeme (lista servera); (2) preuzmite MathJax skriptu sa udaljenog servera na vaš server i povežite ga sa svim stranicama vašeg sajta. Drugi metod - složeniji i dugotrajniji - ubrzaće učitavanje stranica vašeg sajta, a ako roditeljski MathJax server iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće uticati na vašu veb lokaciju. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvi metod jer je jednostavniji, brži i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve mogućnosti MathJaxa na svojoj web stranici.

Možete povezati skriptu biblioteke MathJax sa udaljenog servera koristeći dvije opcije koda preuzete sa glavne MathJax web stranice ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: na kontrolnoj ploči stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, u njega kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je to. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste da umetnete matematičke formule u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal se konstruiše prema određenom pravilu, koje se dosledno primenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruisanje Mengerovog sunđera je prilično jednostavan: originalna kocka sa stranom 1 podeljena je ravninama paralelnim sa njenim plohama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanja jedna središnja kocka i 6 susjednih kocki duž lica. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Učinivši isto sa svakom od ovih kockica, dobijamo set koji se sastoji od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo Menger sunđer.

www.site vam omogućava da pronađete. Stranica vrši proračun. Za nekoliko sekundi server će dati ispravno rješenje. Karakteristična jednadžba za matricu bit će algebarski izraz pronađen prema pravilu za izračunavanje determinante matrice, dok će glavna dijagonala biti razlika u vrijednostima dijagonalnih elemenata i varijable. Prilikom izračunavanja karakteristične jednadžbe za matricu online, svaki element matrice će se pomnožiti s odgovarajućim drugim elementima matrice. Možete ga pronaći na mreži samo za kvadratnu matricu. Operacija pronalaženja karakteristične jednadžbe za online matricu svodi se na izračunavanje algebarskog zbroja umnoška elemenata matrice kao rezultat pronalaženja determinante matrice, samo u svrhu određivanja karakteristične jednadžbe za online matrica. Ova operacija zauzima posebno mjesto u teoriji matrica, omogućava vam da pronađete svojstvene vrijednosti i vektore pomoću korijena. Zadatak pronalaženja karakteristične jednadžbe za matricu na mreži sastoji se od množenja elemenata matrice i zatim sabiranja ovih proizvoda prema određenom pravilu. www.site pronalazi karakterističnu jednačinu za matricu date dimenzije na mreži. Izračunavanje karakteristične jednadžbe za matricu online za datu dimenziju je pronalaženje polinoma sa numeričkim ili simboličkim koeficijentima, koji se nalaze prema pravilu za izračunavanje determinante matrice - kao zbir proizvoda odgovarajućih elemenata matrice, samo u svrhu određivanja karakteristične jednadžbe za matricu na mreži. Pronalaženje polinoma u odnosu na varijablu za kvadratnu matricu, kao definicija karakteristične jednadžbe za matricu, uobičajeno je u teoriji matrica. Vrijednost korijena polinoma karakteristične jednadžbe za online matricu se koristi za određivanje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti za matricu. Štaviše, ako je determinanta matrice jednaka nuli, tada će karakteristična jednadžba matrice i dalje postojati, za razliku od inverzna matrica. Da biste izračunali karakterističnu jednačinu za matricu ili pronašli karakteristične jednačine za nekoliko matrica odjednom, potrebno je uložiti mnogo vremena i truda, dok će naš server pronaći karakterističnu jednačinu za matricu online za nekoliko sekundi. U ovom slučaju, odgovor na pronalaženje karakteristične jednačine za online matricu će biti ispravan i sa dovoljnom preciznošću, čak i ako će brojevi prilikom pronalaženja karakteristične jednačine za online matricu biti iracionalni. Na web stranici www.site dozvoljeni su simbolični unosi u elemente matrice, odnosno karakteristična jednačina za online matricu može se prikazati u općenitom simboličkom obliku prilikom izračunavanja karakteristične jednačine online matrice. Korisno je provjeriti dobiveni odgovor prilikom rješavanja problema nalaženja karakteristične jednadžbe za matricu na mreži koristeći web stranicu www.site. Prilikom izvođenja operacije izračunavanja polinoma – karakteristične jednadžbe matrice, morate biti pažljivi i krajnje fokusirani prilikom rješavanja ovog problema. Zauzvrat, naša stranica će vam pomoći da provjerite svoje rješenje na temu karakteristične jednadžbe matrice na mreži. Ako nemate vremena za duge provjere riješenih problema, onda će www.site sigurno biti zgodan alat za provjeru prilikom pronalaženja i izračunavanja karakteristične jednadžbe za matricu na mreži.

Svojstveni vektor kvadratne matrice je onaj koji, kada se pomnoži sa datom matricom, rezultira kolinearnim vektorom. Jednostavnim riječima, pri množenju matrice sa sopstvenim vektorom, ovaj drugi ostaje isti, ali pomnožen sa određenim brojem.

Definicija

Svojstveni vektor je vektor V različit od nule, koji, kada se pomnoži kvadratnom matricom M, sam postaje uvećan za neki broj λ. U algebarskoj notaciji to izgleda ovako:

M × V = λ × V,

gdje je λ vlastita vrijednost matrice M.

Pogledajmo brojčani primjer. Radi lakšeg snimanja, brojevi u matrici će biti odvojeni tačkom i zarezom. Hajde da imamo matricu:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pomnožimo ga vektorom stupca:

• V = -2;

Kada pomnožimo matricu sa vektorom kolone, dobijamo i vektor kolone. U strogom matematičkom jeziku, formula za množenje matrice 2 × 2 vektorom kolone će izgledati ovako:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 označava element matrice M koji se nalazi u prvom redu i prvoj koloni, a M22 označava element koji se nalazi u drugom redu i drugoj koloni. Za našu matricu ovi elementi su jednaki M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Za vektor stupac ove vrijednosti su jednake V11 = –2, V21 = 1. Prema ovoj formuli, dobijamo sledeći rezultat proizvoda kvadratne matrice vektorom:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Radi praktičnosti, zapišimo vektor kolone u red. Dakle, pomnožili smo kvadratnu matricu sa vektorom (-2; 1), što je rezultiralo vektorom (4; -2). Očigledno, ovo je isti vektor pomnožen sa λ = -2. Lambda u ovom slučaju označava svojstvenu vrijednost matrice.

Svojstveni vektor matrice je kolinearni vektor, odnosno objekt koji ne mijenja svoj položaj u prostoru kada se pomnoži sa matricom. Koncept kolinearnosti u vektorskoj algebri sličan je terminu paralelizma u geometriji. U geometrijskoj interpretaciji, kolinearni vektori su paralelno usmjereni segmenti različitih dužina. Još od Euklidovog vremena znamo da jedna linija ima beskonačan broj linija paralelnih sa njom, pa je logično pretpostaviti da svaka matrica ima beskonačan broj svojstvenih vektora.

Iz prethodnog primjera jasno je da svojstveni vektori mogu biti (-8; 4), i (16; -8) i (32, -16). Ovo su svi kolinearni vektori koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -2. Kada množimo originalnu matricu ovim vektorima, i dalje ćemo dobiti vektor koji se razlikuje od originala 2 puta. Zato je pri rješavanju problema nalaženja svojstvenog vektora potrebno pronaći samo linearno nezavisne vektorske objekte. Najčešće, za n × n matricu, postoji n broj svojstvenih vektora. Naš kalkulator je dizajniran za analizu kvadratnih matrica drugog reda, tako da će skoro uvijek rezultat naći dva svojstvena vektora, osim u slučajevima kada se poklapaju.

U gornjem primjeru, unaprijed smo znali svojstveni vektor originalne matrice i jasno odredili lambda broj. Međutim, u praksi se sve događa obrnuto: prvo se pronađu svojstvene vrijednosti pa tek onda svojstveni vektori.

Algoritam rješenja

Pogledajmo ponovo originalnu matricu M i pokušajmo pronaći oba njena svojstvena vektora. Dakle, matrica izgleda ovako:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Prvo moramo odrediti svojstvenu vrijednost λ, što zahtijeva izračunavanje determinante sljedeće matrice:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ova matrica dobijeno oduzimanjem nepoznatog λ od elemenata na glavnoj dijagonali. Determinanta se određuje pomoću standardne formule:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Pošto naš vektor mora biti različit od nule, prihvatamo rezultirajuću jednačinu kao linearno zavisnu i izjednačavamo našu determinantu detA sa nulom.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otvorimo zagrade i dobijemo karakterističnu jednačinu matrice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ovo je standardno kvadratna jednačina, što treba riješiti kroz diskriminant.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Koren diskriminante je sqrt(D) = 14, dakle λ1 = -2, λ2 = 12. Sada za svaku lambda vrijednost trebamo pronaći svojstveni vektor. Izrazimo sistemske koeficijente za λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

U ovoj formuli, E je matrica identiteta. Na osnovu rezultirajuće matrice kreiramo sistem linearnih jednadžbi:

2x + 4y = 6x + 12y,

gdje su x i y elementi svojstvenog vektora.

Skupimo sve X na lijevoj i sve Y na desnoj strani. Očigledno - 4x = 8y. Podijelite izraz sa -4 i dobijete x = –2y. Sada možemo odrediti prvi svojstveni vektor matrice, uzimajući bilo koje vrijednosti nepoznatih (sjetite se beskonačnosti linearno zavisnih svojstvenih vektora). Uzmimo y = 1, a zatim x = –2. Dakle, prvi sopstveni vektor izgleda kao V1 = (–2; 1). Vratite se na početak članka. Upravo smo ovim vektorskim objektom pomnožili matricu da bismo demonstrirali koncept svojstvenog vektora.

Sada pronađimo svojstveni vektor za λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Napravimo isti sistem linearnih jednačina;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Sada uzimamo x = 1, dakle y = 3. Dakle, drugi sopstveni vektor izgleda kao V2 = (1; 3). Kada se originalna matrica množi datim vektorom, rezultat će uvijek biti isti vektor pomnožen sa 12. Ovdje se završava algoritam rješenja. Sada znate kako ručno odrediti svojstveni vektor matrice.

• determinanta;
• trag, odnosno zbir elemenata na glavnoj dijagonali;
• rang, odnosno maksimalni broj linearno nezavisnih redova/kolona.

Program radi prema gore navedenom algoritmu, skraćujući proces rješavanja što je više moguće. Važno je istaći da je u programu lambda označena slovom “c”. Pogledajmo brojčani primjer.

Primjer kako program radi

Pokušajmo odrediti svojstvene vektore za sljedeću matricu:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Unesimo ove vrijednosti u ćelije kalkulatora i dobijemo odgovor u sljedećem obliku:

• Rang matrice: 2;
• Matrična determinanta: 18;
• Trag matrice: 19;
• Izračunavanje svojstvenog vektora: c 2 − 19.00c + 18.00 (karakteristična jednačina);
• Izračun sopstvenog vektora: 18 (prva lambda vrijednost);
• Izračun sopstvenog vektora: 1 (druga lambda vrijednost);
• Sistem jednačina za vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistem jednačina za vektor 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastiti vektor 1: (1; 1);
• Vlastiti vektor 2: (-3,25; 1).

Tako smo dobili dva linearno nezavisna svojstvena vektora.

Zaključak

Linearna algebra i analitička geometrija- standardni predmeti za svakog brucoša tehničke specijalnosti. Velika količina vektori i matrice su zastrašujući, a u takvim glomaznim proračunima lako je pogriješiti. Naš program će omogućiti studentima da provjere svoje proračune ili automatski riješe problem pronalaženja svojstvenog vektora. U našem katalogu postoje i drugi kalkulatori linearne algebre.