Nalazi široka primena u ekonometriji u obliku jasnog ekonomska interpretacija njegove parametre.

Linearna regresija se svodi na pronalaženje jednačine oblika

ili

Jednačina oblika dozvoljava na osnovu specificiranih vrijednosti parametara X imaju teorijske vrijednosti rezultantne karakteristike, zamjenjujući stvarne vrijednosti faktora u nju X.

Izgradnja linearna regresija svodi se na procjenu njegovih parametara - A I V. Procjene parametara linearne regresije mogu se pronaći korištenjem različitih metoda.

Klasičan pristup procjeni parametara linearne regresije temelji se na metoda najmanjih kvadrata (MNC).

Metoda najmanjih kvadrata nam omogućava da dobijemo takve procjene parametara A I V, pri čemu je zbir kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti rezultantne karakteristike (y) od izračunatog (teorijskog) minimum:

Da biste pronašli minimum funkcije, morate izračunati parcijalne izvode za svaki od parametara A I b i postavite ih jednakima nuli.

Označimo kroz S, onda:

Transformacijom formule dobijamo sledeći sistem normalnih jednačina za procenu parametara A I V:

Rješavanje sistema normalnih jednačina (3.5) bilo metodom sekvencijalna eliminacija varijabli, ili metodom determinanti nalazimo tražene procjene parametara A I V.

Parametar V naziva se koeficijent regresije. Njegova vrijednost pokazuje prosječnu promjenu rezultata sa promjenom faktora za jednu jedinicu.

Jednačina regresije je uvijek dopunjena indikatorom bliskosti veze. Kada se koristi linearna regresija, takav pokazatelj je koeficijent linearne korelacije. Postoje različite modifikacije formule linearni koeficijent korelacije. Neki od njih su dati u nastavku:

Kao što je poznato, koeficijent linearne korelacije je u granicama: -1 ≤ ≤ 1.

Za procjenu kvaliteta odabira linearne funkcije izračunava se kvadrat

Koeficijent linearne korelacije tzv koeficijent determinacije. Koeficijent determinacije karakterizira udio varijanse rezultirajuće karakteristike y, objašnjeno regresijom, u totalna varijansa rezultujući znak:

Shodno tome, vrijednost 1 karakterizira udio varijanse y, uzrokovane uticajem drugih faktora koji nisu uzeti u obzir u modelu.

Pitanja za samokontrolu

1. Suština metode najmanjih kvadrata?

2. Koliko varijabli pruža parna regresija?

3. Koji koeficijent određuje bliskost veze između promjena?

4. U kojim granicama se utvrđuje koeficijent determinacije?

5. Procjena parametra b u korelaciono-regresionoj analizi?

1. Christopher Dougherty. Uvod u ekonometriju. - M.: INFRA - M, 2001 - 402 str.

2. S.A. Borodich. Ekonometrija. Minsk DOO “Novo znanje” 2001.

3. R.U. Rakhmetova Kratki kurs u ekonometriji. Tutorial. Almaty. 2004. -78p.

4. I.I. Eliseeva Econometrics. - M.: “Finansije i statistika”, 2002

5. Mjesečni informativno-analitički časopis.

Nelinearni ekonomski modeli. Modeli nelinearne regresije. Transformacija varijabli.

Nelinearni ekonomski modeli..

Transformacija varijabli.

Koeficijent elastičnosti.

Ako postoje nelinearni odnosi između ekonomskih pojava, onda se oni izražavaju pomoću odgovarajućih nelinearnih funkcija: na primjer, jednakostranična hiperbola , parabole drugog stepena i sl.

Postoje dvije klase nelinearnih regresija:

1. Regresije koje su nelinearne u odnosu na objašnjavajuće varijable uključene u analizu, ali linearne u odnosu na procijenjene parametre, na primjer:

Polinomi različitih stepeni - , ;

Jednakostranična hiperbola - ;

Semilogaritamska funkcija - .

2. Regresije koje su nelinearne u parametrima koji se procjenjuju, na primjer:

Snaga - ;

Demonstrativna - ;

Eksponencijalno - .

Ukupan zbroj kvadrata odstupanja pojedinačnih vrijednosti rezultirajuće karakteristike at od prosječne vrijednosti uzrokovano je uticajem mnogih razloga. Uvjetno podijelimo cijeli niz razloga u dvije grupe: faktor koji se proučava x I drugi faktori.

Ako faktor ne utječe na rezultat, tada je linija regresije na grafu paralelna s osom Oh I

Tada je cijela varijansa rezultirajuće karakteristike posljedica utjecaja drugih faktora i ukupni zbir kvadrata odstupanja će se poklopiti sa ostatkom. Ako drugi faktori ne utiču na rezultat, onda y tied With X funkcionalno i rezidualni zbir kvadrata je nula. U ovom slučaju, zbir kvadrata odstupanja objašnjenih regresijom je isti kao i ukupni zbir kvadrata.

Kako sve tačke korelacionog polja ne leže na regresijskoj liniji, njihovo rasipanje se uvek javlja kao rezultat uticaja faktora X, odnosno regresija at By X, i uzrokovane drugim uzrocima (neobjašnjive varijacije). Pogodnost linije regresije za predviđanje zavisi od toga koji deo ukupne varijacije osobine at objašnjava objašnjenu varijaciju

Očigledno, ako je zbir kvadrata odstupanja zbog regresije veći od preostalog zbira kvadrata, tada je jednadžba regresije statistički značajna i faktor X ima značajan uticaj na rezultat u.

, tj. sa brojem slobode nezavisne varijacije karakteristike. Broj stepeni slobode povezan je sa brojem jedinica populacije n i brojem konstanti koje se određuju iz njega. U odnosu na problem koji se proučava, broj stepeni slobode treba da pokaže koliko je nezavisnih odstupanja od n

Procjena značaja regresione jednačine u cjelini data je korištenjem F-Fišerov kriterijum. U ovom slučaju se postavlja nulta hipoteza da je koeficijent regresije jednak nuli, tj. b = 0, a samim tim i faktor X ne utiče na rezultat u.

Neposrednom izračunavanju F-testa prethodi analiza varijanse. Centralno mjesto u njemu zauzima dekompozicija ukupnog zbira kvadrata odstupanja varijable at od prosječne vrijednosti at na dva dijela - "objašnjeno" i "neobjašnjeno":

- ukupan zbir kvadrata odstupanja;

- zbir kvadrata odstupanja objašnjenih regresijom;

- rezidualni zbir kvadrata odstupanja.

Svaki zbir odstupanja na kvadrat povezan je sa brojem stepeni slobode , tj. sa brojem slobode nezavisne varijacije karakteristike. Broj stepena slobode povezan je sa brojem populacijskih jedinica n i sa brojem konstanti određenim iz njega. U odnosu na problem koji se proučava, broj stepeni slobode treba da pokaže koliko je nezavisnih odstupanja od n moguće potrebno za formiranje date sume kvadrata.

Disperzija po stepenu slobodeD.

F-odnosi (F-test):

Ako je nulta hipoteza tačna, tada se faktor i preostale varijanse ne razlikuju jedna od druge. Za H 0 potrebno je opovrgavanje kako bi disperzija faktora nekoliko puta premašila disperziju ostatka. Engleski statističar Snedekor razvio je tabele kritičnih vrednosti F-relacije na različitim nivoima značaja nulte hipoteze i različitog broja stepeni slobode. Vrijednost tabele F-kriterijum je maksimalna vrijednost omjera varijansi koja se može pojaviti u slučaju slučajne divergencije za ovom nivou vjerovatnoća nulte hipoteze. Izračunata vrijednost F-relacije se smatraju pouzdanim ako je o veće od tabele.

U ovom slučaju se odbacuje nulta hipoteza o nepostojanju veze između znakova i izvodi se zaključak o značaju ovog odnosa: F činjenica > F tabela H 0 je odbijen.

Ako je vrijednost manja od prikazane u tabeli F činjenica ‹, F tabela, tada je vjerovatnoća nulte hipoteze veća od datog nivoa i ne može se odbaciti bez ozbiljnog rizika od pogrešan zaključak o postojanju veze. U ovom slučaju, jednačina regresije se smatra statistički beznačajnom. Ali on ne odstupa.

Standardna greška koeficijenta regresije

Da bi se procijenila značajnost koeficijenta regresije, njegova vrijednost se upoređuje sa njegovom standardna greška, odnosno utvrđuje se stvarna vrijednost t-Učenički test: koji se zatim poredi sa tabelarnom vrednošću na određenom nivou značajnosti i broju stepeni slobode ( n- 2).

Standardna greška parametra A:

Značajnost koeficijenta linearne korelacije se provjerava na osnovu veličine greške koeficijent korelacije t r:

Ukupna varijansa osobina X:

Višestruka linearna regresija

Izgradnja modela

Višestruka regresija predstavlja regresiju efektivne karakteristike sa dva ili više faktora, odnosno model forme

Regresija može dati dobar rezultat pri modeliranju, ako se može zanemariti uticaj drugih faktora koji utiču na predmet proučavanja. Ponašanje pojedinih ekonomskih varijabli ne može se kontrolisati, odnosno nije moguće osigurati jednakost svih ostalih uslova za procjenu uticaja jednog faktora koji se proučava. U ovom slučaju treba pokušati identificirati utjecaj drugih faktora tako što ćete ih uvesti u model, tj. konstruirati jednačinu višestruka regresija: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .

Osnovni cilj višestruke regresije je da se izgradi model sa velikim brojem faktora, pri čemu se utvrđuje uticaj svakog od njih posebno, kao i njihov kombinovani uticaj na modelirani indikator. Specifikacija modela uključuje dva niza pitanja: izbor faktora i izbor vrste regresijske jednačine

Metoda najmanjih kvadrata (OLS) omogućava procjenu različitih veličina koristeći rezultate mnogih mjerenja koja sadrže slučajne greške.

Karakteristike MNE

Osnovna ideja ove metode je da se zbir grešaka na kvadrat smatra kriterijem za tačnost rješavanja problema, koji se nastoji minimizirati. Pri korištenju ove metode mogu se koristiti i numerički i analitički pristupi.

Konkretno, kao numerička implementacija, metoda najmanjih kvadrata podrazumijeva uzimanje što više mjerenja nepoznate slučajna varijabla. Štaviše, što je više proračuna, to će rješenje biti preciznije. Na osnovu ovog skupa proračuna (početnih podataka) dobija se još jedan set procenjenih rešenja iz kojih se zatim bira najbolje. Ako je skup rješenja parametriran, tada će se metoda najmanjih kvadrata svesti na pronalaženje optimalna vrijednost parametri.

Kao analitički pristup implementaciji LSM-a na skup početnih podataka (mjerenja) i očekivani skup rješenja, određuje se određeno (funkcionalno) koje se može izraziti formulom dobijenom kao određena hipoteza koja zahtijeva potvrdu. U ovom slučaju, metoda najmanjih kvadrata se svodi na pronalaženje minimuma ovog funkcionala na skupu kvadrata grešaka originalnih podataka.

Imajte na umu da to nisu same greške, već kvadrati grešaka. Zašto? Činjenica je da su često odstupanja mjerenja od tačne vrijednosti i pozitivna i negativna. Prilikom određivanja prosjeka, jednostavno zbrajanje može dovesti do pogrešnog zaključka o kvaliteti procjene, jer će poništavanje pozitivnih i negativnih vrijednosti smanjiti snagu uzorkovanja višestrukih mjerenja. I, shodno tome, tačnost procjene.

Da se to ne bi dogodilo, kvadratna odstupanja se zbrajaju. Štaviše, da bi se izjednačila dimenzija izmjerene vrijednosti i konačne procjene, izdvaja se zbir grešaka na kvadrat

Neke MNC aplikacije

MNC se široko koristi u raznim oblastima. Na primjer, u teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici, metoda se koristi za određivanje takve karakteristike slučajne varijable kao što je standardna devijacija, koja određuje širinu raspona vrijednosti slučajne varijable.

Programiranje

• Tutorial

Uvod

Ja sam matematičar i programer. Najveći skok koji sam napravio u karijeri je kada sam naučio da kažem: "Ništa ne razumem!" Sad se ne stidim da kažem svetioniku nauke da mi drži predavanje, da ne razumem šta mi on, svetilo, govori. I to je veoma teško. Da, priznati svoje neznanje je teško i sramotno. Ko voli da prizna da ne zna osnove nečega? Zbog moje profesije, moram prisustvovati velike količine prezentacije i predavanja, gdje, priznajem, u velikoj većini slučajeva želim spavati jer ništa ne razumijem. Ali ne razumijem jer veliki problem trenutne situacije u nauci leži u matematici. Pretpostavlja se da su svi slušaoci upoznati sa apsolutno svim oblastima matematike (što je apsurdno). Priznati da ne znate šta je derivat (o čemu ćemo govoriti malo kasnije) je sramotno.

Ali naučio sam da kažem da ne znam šta je množenje. Da, ne znam šta je podalgebra nad Lijevom algebrom. Da, ne znam zašto su potrebni u životu kvadratne jednačine. Inače, ako ste sigurni da znate, onda imamo o čemu da razgovaramo! Matematika je niz trikova. Matematičari pokušavaju da zbune i zastraše javnost; gdje nema zabune, nema ugleda, nema autoriteta. Da, prestižno je govoriti što apstraktnijim jezikom, što je potpuna glupost.

Znate li šta je derivat? Najvjerovatnije ćete mi reći o granici omjera razlike. Viktor Petrovič Havin mi je rekao na prvoj godini matematike i mehanike na Državnom univerzitetu u Sankt Peterburgu odlučan izvod kao koeficijent prvog člana Taylorovog reda funkcije u tački (ovo je bila posebna gimnastika za određivanje Taylorovog reda bez izvoda). Dugo sam se smijao ovoj definiciji dok konačno nisam shvatio o čemu se radi. Izvod nije ništa drugo nego jednostavna mjera koliko je funkcija koju razlikujemo slična funkciji y=x, y=x^2, y=x^3.

Sada imam čast da držim predavanja studentima koji uplašen matematike. Ako se bojite matematike, mi smo na istom putu. Čim pokušate da pročitate neki tekst i učini vam se da je previše komplikovan, znajte da je loše napisan. Tvrdim da ne postoji nijedna oblast matematike o kojoj se ne može raspravljati "na prste" a da se ne izgubi tačnost.

Zadatak za blisku budućnost: Zadao sam svojim učenicima da shvate šta je linearni kvadratni regulator. Ne stidite se, potrošite tri minuta svog života i pratite link. Ako ništa ne razumete, onda smo na istom putu. Ni ja (profesionalni matematičar-programer) nisam ništa razumio. I uvjeravam vas, ovo možete shvatiti „na prstima“. On trenutno Ne znam šta je to, ali uvjeravam vas da možemo to shvatiti.

Dakle, prvo predavanje koje ću održati svojim studentima nakon što mi dotrče užasnuto i kažu da je linearno-kvadratni regulator strašna stvar koju nikada nećete savladati u životu je metode najmanjih kvadrata. Možete li odlučiti linearne jednačine? Ako čitate ovaj tekst, onda najvjerovatnije ne.

Dakle, date dvije tačke (x0, y0), (x1, y1), na primjer, (1,1) i (3,2), zadatak je pronaći jednadžbu prave koja prolazi kroz ove dvije tačke:

ilustracija

Ova linija bi trebala imati jednačinu poput sljedeće:

Ovdje su nam alfa i beta nepoznate, ali su poznate dvije tačke ove linije:

Ovu jednačinu možemo napisati u matričnom obliku:

Ovdje bismo trebali napraviti lirsku digresiju: ​​šta je matrica? Matrica nije ništa drugo do dvodimenzionalni niz. Ovo je način pohranjivanja podataka. Od nas zavisi kako tačno interpretirati određenu matricu. Periodično ću ga tumačiti kao linearno preslikavanje, periodično kao kvadratni oblik, a ponekad jednostavno kao skup vektora. Ovo će sve biti razjašnjeno u kontekstu.

Zamijenimo konkretne matrice njihovim simboličkim prikazom:

Tada se (alfa, beta) može lako pronaći:

Konkretnije za naše prethodne podatke:

Što dovodi do sljedeće jednačine prave koja prolazi kroz tačke (1,1) i (3,2):

Dobro, ovde je sve jasno. Nađimo jednačinu prave koja prolazi tri tačke: (x0,y0), (x1,y1) i (x2,y2):

Oh-oh-oh, ali imamo tri jednadžbe za dvije nepoznanice! Standardni matematičar će reći da nema rješenja. Šta će reći programer? I prvo će prepisati prethodni sistem jednačina u sljedećem obliku:

U našem slučaju vektori i,j,b trodimenzionalno, dakle (in opšti slučaj) ne postoji rješenje za ovaj sistem. Bilo koji vektor (alpha\*i + beta\*j) leži u ravni koju pokrivaju vektori (i, j). Ako b ne pripada ovoj ravni, onda nema rješenja (jednakost se ne može postići u jednadžbi). sta da radim? Hajde da tražimo kompromis. Označimo sa e (alfa, beta) koliko tačno nismo postigli ravnopravnost:

I mi ćemo pokušati minimizirati ovu grešku:

Zašto kvadrat?

Ne tražimo samo minimum norme, već minimum kvadrata norme. Zašto? Minimalna tačka sama po sebi se poklapa, a kvadrat daje glatku funkciju (kvadratna funkcija argumenata (alfa, beta)), dok jednostavno dužina daje funkciju u obliku konusa, nediferencirajuću u minimalnoj tački. Brr. Kvadrat je pogodniji.

Očigledno, greška je minimizirana kada je vektor e ortogonalno na ravan koju pokrivaju vektori i I j.

Ilustracija

Drugim riječima: tražimo pravu takvu da je zbroj kvadrata dužina udaljenosti od svih tačaka do ove prave minimalan:

AŽURIRANJE: Ovdje imam problem, udaljenost do prave treba mjeriti vertikalno, a ne ortogonalnom projekcijom. Komentator je u pravu.

Ilustracija

Potpuno drugačijim riječima (pažljivo, loše formalizirano, ali treba biti jasno): uzimamo sve moguće linije između svih parova tačaka i tražimo prosječnu liniju između svih:

Ilustracija

Drugo objašnjenje je jednostavno: spajamo oprugu između svih tačaka podataka (ovdje imamo tri) i prave linije koju tražimo, a ravna linija ravnotežnog stanja je upravo ono što tražimo.

Minimalni kvadratni oblik

Dakle, s obzirom na ovaj vektor b i ravan koja se proteže vektorima stupaca matrice A(u ovom slučaju (x0,x1,x2) i (1,1,1)), tražimo vektor e sa minimalnim kvadratom dužine. Očigledno, minimum je dostižan samo za vektor e, ortogonalno na ravan koju pokrivaju vektori stupaca matrice A:

Drugim riječima, tražimo vektor x=(alfa, beta) takav da:

Da vas podsjetim da je ovaj vektor x=(alfa, beta) minimum kvadratne funkcije ||e(alfa, beta)||^2:

Ovdje bi bilo korisno zapamtiti da se matrica može tumačiti i kao kvadratni oblik, na primjer, matrica identiteta ((1,0),(0,1)) se može interpretirati kao funkcija x^2 + y^ 2:

kvadratni oblik

Sva ova gimnastika poznata je pod nazivom linearna regresija.

Laplaceova jednadžba sa Dirichletovim graničnim uvjetom

Sada najjednostavniji stvarni zadatak: postoji određena triangulirana površina, potrebno je izgladiti. Na primjer, učitajmo model mog lica:

Originalno urezivanje je dostupno. Da smanjim spoljne zavisnosti, uzeo sam kod svog softverskog renderera, već na Habré-u. Za rješavanje linearni sistem Ja koristim OpenNL, odličan je rešavač, koji je, međutim, veoma težak za instaliranje: potrebno je da kopirate dva fajla (.h+.c) u fasciklu sa vašim projektom. Svo izglađivanje se radi sa sljedećim kodom:

Za (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = lica[i];<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

za (int j=0; j

Koordinate X, Y i Z su razdvojive, ja ih izglađujem zasebno. Odnosno, rješavam tri sistema linearnih jednačina, od kojih svaki ima broj varijabli jednak broju vrhova u mom modelu. Prvih n redova matrice A ima samo jednu 1 po redu, a prvih n redova vektora b imaju originalne koordinate modela. Odnosno, vezujem oprugu između nove pozicije temena i stare pozicije temena - novi se ne bi trebali previše udaljavati od starih.

Još jednom: svi vrhovi su varijable i ne mogu se udaljiti od svog prvobitnog položaja, ali u isto vrijeme pokušavaju postati slični jedni drugima.

Evo rezultata:

Sve bi bilo u redu, model je zaista izglađen, ali se udaljio od prvobitne ivice. Promenimo malo kod:

Za (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

U našoj matrici A, za vrhove koji se nalaze na ivici, ne dodajem red iz kategorije v_i = verts[i][d], već 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Kakva je to razlika? I ovo mijenja naš kvadratni oblik greške. Sada će jedno odstupanje od vrha na rubu koštati ne jednu jedinicu, kao prije, već 1000*1000 jedinica. Odnosno, okačili smo jaču oprugu na ekstremne vrhove, rješenje će radije istegnuti druge jače. Evo rezultata:

Udvostručimo snagu opruge između vrhova:
nlKoeficijent(lice[j], 2);

nlKoeficijent(lice[(j+1)%3], -2);

Logično je da je površina postala glatkija:

A sada čak sto puta jače:

sta je ovo Zamislite da smo umočili žičani prsten u vodu sa sapunom. Kao rezultat toga, rezultirajući film sapuna pokušat će imati najmanju moguću zakrivljenost, dodirujući granicu - naš žičani prsten. Upravo to smo dobili tako što smo popravili ivicu i tražili glatku površinu iznutra. Čestitamo, upravo smo riješili Laplaceovu jednačinu sa Dirichletovim graničnim uslovima. Zvuči cool? Ali u stvarnosti, trebate samo riješiti jedan sistem linearnih jednačina.

Poissonova jednadžba

Prisjetimo se još jednog cool imena.

Recimo da imam ovakvu sliku:

Svima izgleda dobro, ali meni se ne sviđa stolica.

Preseći ću sliku na pola:

I ja ću svojim rukama odabrati stolicu:

Za (int i=0; i

Evo rezultata:

Zatim ću sve što je bijelo na maski povući na lijevu stranu slike, a istovremeno ću kroz cijelu sliku reći da razlika između dva susjedna piksela treba biti jednaka razlici između dva susjedna piksela desnog slika:

Dostupni kod i slike

Ima mnogo aplikacija, jer omogućava približan prikaz date funkcije drugim jednostavnijim. LSM može biti izuzetno koristan u obradi zapažanja, a aktivno se koristi za procjenu nekih veličina na osnovu rezultata mjerenja drugih koji sadrže slučajne greške. U ovom članku ćete naučiti kako implementirati izračune najmanjih kvadrata u Excelu.

Pretpostavimo da postoje dva indikatora X i Y. Štaviše, Y zavisi od X. Budući da nas OLS zanima sa stanovišta regresione analize (u Excelu se njegove metode implementiraju pomoću ugrađenih funkcija), treba odmah preći na razmatranje konkretan problem.

Dakle, neka je X maloprodajni prostor trgovine mješovitom robom, mjeren kvadratnim metrima, a Y godišnji promet, određen u milionima rubalja.

Potrebno je napraviti prognozu koliki će promet (Y) trgovina imati ako ima ovaj ili onaj maloprodajni prostor. Očigledno, funkcija Y = f (X) raste, jer hipermarket prodaje više robe od tezge.

Nekoliko riječi o ispravnosti početnih podataka korištenih za predviđanje

Recimo da imamo tabelu napravljenu koristeći podatke za n prodavnica.

Prema matematičkoj statistici, rezultati će biti manje-više tačni ako se ispitaju podaci o najmanje 5-6 objekata. Osim toga, "anomalni" rezultati se ne mogu koristiti. Konkretno, elitni mali butik može imati višestruko veći promet od prometa velikih maloprodajnih objekata klase „masmarket“.

Suština metode

Podaci tabele mogu se prikazati na kartezijanskoj ravni kao tačke M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n). Sada će se rješenje problema svesti na izbor aproksimirajuće funkcije y = f (x), koja ima graf koji prolazi što bliže tačkama M 1, M 2, .. M n.

Naravno, možete koristiti polinom visokog stupnja, ali ova opcija nije samo teška za implementaciju, već je i jednostavno netočna, jer neće odražavati glavni trend koji treba otkriti. Najrazumnije rješenje je traženje prave linije y = ax + b, koja najbolje aproksimira eksperimentalne podatke, tačnije, koeficijente a i b.

Procjena tačnosti

Uz bilo kakvu aproksimaciju, procjena njegove tačnosti je od posebne važnosti. Označimo sa e i razliku (odstupanje) između funkcionalne i eksperimentalne vrijednosti za tačku x i, tj. e i = y i - f (x i).

Očigledno, da biste procijenili tačnost aproksimacije, možete koristiti zbir odstupanja, odnosno, kada birate pravu liniju za približni prikaz zavisnosti X od Y, treba dati prednost onoj s najmanjom vrijednošću zbir e i u svim tačkama koje se razmatraju. Međutim, nije sve tako jednostavno, jer će uz pozitivne devijacije biti i negativnih.

Problem se može riješiti korištenjem modula odstupanja ili njihovih kvadrata. Posljednja metoda je najčešće korištena. Koristi se u mnogim oblastima, uključujući regresijsku analizu (implementirana u Excelu pomoću dvije ugrađene funkcije), i odavno je dokazala svoju učinkovitost.

Metoda najmanjih kvadrata

Excel, kao što znate, ima ugrađenu funkciju AutoSum koja vam omogućava da izračunate vrijednosti svih vrijednosti koje se nalaze u odabranom rasponu. Dakle, ništa nas neće spriječiti da izračunamo vrijednost izraza (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

U matematičkoj notaciji ovo izgleda ovako:

Pošto je prvobitno donesena odluka da se aproksimira pomoću prave linije, imamo:

Dakle, zadatak pronalaženja prave linije koja najbolje opisuje specifičnu zavisnost veličina X i Y svodi se na izračunavanje minimuma funkcije dvije varijable:

Da biste to učinili, morate parcijalne derivacije u odnosu na nove varijable a i b izjednačiti sa nulom, i riješiti primitivni sistem koji se sastoji od dvije jednadžbe sa 2 nepoznate forme:

Nakon nekoliko jednostavnih transformacija, uključujući dijeljenje sa 2 i manipulaciju suma, dobijamo:

Rješavajući ga, na primjer, koristeći Cramerovu metodu, dobijamo stacionarnu tačku sa određenim koeficijentima a * i b *. Ovo je minimum, tj. da se predvidi koliki će promet trgovina imati za određeno područje, prikladna je ravna linija y = a * x + b *, koja je regresijski model za predmetni primjer. Naravno, to vam neće omogućiti da pronađete točan rezultat, ali će vam pomoći da steknete ideju o tome hoće li se kupovina određenog područja na kredit u trgovini isplatiti.

Kako implementirati najmanje kvadrate u Excelu

Excel ima funkciju za izračunavanje vrijednosti pomoću najmanjih kvadrata. Ima sljedeći oblik: “TREND” (poznate Y vrijednosti; poznate X vrijednosti; nove X vrijednosti; konstanta). Primijenimo formulu za izračunavanje OLS-a u Excelu na našu tablicu.

Da biste to učinili, unesite znak “=” u ćeliju u kojoj bi trebao biti prikazan rezultat izračuna primjenom metode najmanjih kvadrata u Excelu i odaberite funkciju “TREND”. U prozoru koji se otvori popunite odgovarajuća polja i označite:

• raspon poznatih vrijednosti za Y (u ovom slučaju podaci za trgovinski promet);
• raspon x 1 , …x n , odnosno veličina maloprodajnog prostora;
• i poznate i nepoznate vrijednosti x, za koje morate saznati veličinu prometa (za informacije o njihovoj lokaciji na radnom listu, pogledajte dolje).

Dodatno, formula sadrži logičku varijablu “Const”. Ako u odgovarajuće polje unesete 1, to će značiti da trebate izvršiti proračune, pod pretpostavkom da je b = 0.

Ako trebate saznati prognozu za više od jedne vrijednosti x, onda nakon unosa formule ne biste trebali pritisnuti "Enter", već morate upisati kombinaciju "Shift" + "Control" + "Enter" na tastaturi.

Neke karakteristike

Regresiona analiza može biti dostupna čak i lutkama. Excel formulu za predviđanje vrijednosti niza nepoznatih varijabli – TREND – mogu koristiti čak i oni koji nikada nisu čuli za najmanje kvadrate. Dovoljno je samo znati neke od karakteristika njegovog rada. posebno:

• Ako raspoređujete raspon poznatih vrijednosti varijable y u jednom redu ili stupcu, tada će svaki red (kolona) s poznatim vrijednostima x program percipirati kao zasebnu varijablu.
• Ako raspon s poznatim x nije naveden u prozoru TREND, tada će ga, kada se koristi funkcija u Excelu, program tretirati kao niz koji se sastoji od cijelih brojeva, čiji broj odgovara rasponu sa datim vrijednostima y varijabla.
• Za izlaz niza "predviđenih" vrijednosti, izraz za izračunavanje trenda se mora unijeti kao formula niza.
• Ako nove vrijednosti x nisu specificirane, funkcija TREND ih smatra jednakima poznatim. Ako nisu specificirani, tada se niz 1 uzima kao argument; 2; 3; 4;…, što je srazmerno opsegu sa već navedenim parametrima y.
• Raspon koji sadrži nove vrijednosti x mora imati iste ili više redova ili stupaca kao raspon koji sadrži date vrijednosti y. Drugim riječima, mora biti proporcionalan nezavisnim varijablama.
• Niz sa poznatim x vrijednostima može sadržavati više varijabli. Međutim, ako govorimo samo o jednom, onda je potrebno da opsezi sa datim vrijednostima x i y budu proporcionalni. U slučaju više varijabli, potrebno je da raspon sa datim y vrijednostima stane u jednu kolonu ili jedan red.

Funkcija PREDICTION

Implementirano korištenjem nekoliko funkcija. Jedna od njih se zove “PREDIKCIJA”. Sličan je "TREND", tj. daje rezultat proračuna metodom najmanjih kvadrata. Međutim, samo za jedan X, za koji je vrijednost Y nepoznata.

Sada znate formule u Excelu za lutke koje vam omogućavaju da predvidite buduću vrijednost određenog indikatora prema linearnom trendu.

Suština metode najmanjih kvadrata je u pronalaženju parametara modela trenda koji najbolje opisuje tendenciju razvoja bilo koje slučajne pojave u vremenu ili prostoru (trend je linija koja karakteriše tendenciju ovog razvoja). Zadatak metode najmanjih kvadrata (LSM) svodi se na pronalaženje ne samo nekog trend modela, već na pronalaženje najboljeg ili optimalnog modela. Ovaj model će biti optimalan ako je zbroj kvadratnih odstupanja između uočenih stvarnih vrijednosti i odgovarajućih izračunatih vrijednosti trenda minimalan (najmanji):

gdje je kvadratna devijacija između uočene stvarne vrijednosti

i odgovarajuću izračunatu vrijednost trenda,

Stvarna (uočena) vrijednost fenomena koji se proučava,

Izračunata vrijednost modela trenda,

Broj zapažanja fenomena koji se proučava.

MNC se vrlo rijetko koristi samostalno. U pravilu se najčešće koristi samo kao neophodna tehnička tehnika u studijama korelacije. Treba imati na umu da informaciona osnova OLS-a može biti samo pouzdana statistička serija, a broj zapažanja ne bi trebao biti manji od 4, u suprotnom postupci izglađivanja OLS-a mogu izgubiti zdrav razum.

MNC komplet alata se svodi na sljedeće procedure:

Prva procedura. Ispostavlja se postoji li uopće tendencija promjene rezultantnog atributa kada se promijeni odabrani faktor-argument, ili drugim riječima, postoji li veza između “ at " i " X ».

Drugi postupak. Utvrđuje se koja linija (trajektorija) može najbolje opisati ili okarakterizirati ovaj trend.

Treći postupak.

Primjer. Recimo da imamo informacije o prosječnom prinosu suncokreta za farmu koja se proučava (Tabela 9.1).

Tabela 9.1

Broj zapažanja
Produktivnost, c/ha

Budući da je nivo tehnologije proizvodnje suncokreta u našoj zemlji ostao praktično nepromenjen u poslednjih 10 godina, to znači da su, očigledno, fluktuacije prinosa u analiziranom periodu u velikoj meri zavisile od fluktuacija vremenskih i klimatskih uslova. Da li je ovo zaista istina?

Prva OLS procedura. Ispituje se hipoteza o postojanju trenda promene prinosa suncokreta u zavisnosti od promena vremenskih i klimatskih uslova tokom analiziranih 10 godina.

U ovom primjeru, za " y " preporučljivo je uzeti prinos suncokreta, a za " x » – broj posmatrane godine u analiziranom periodu. Testiranje hipoteze o postojanju bilo kakvog odnosa između " x " i " y „može se uraditi na dva načina: ručno i korišćenjem kompjuterskih programa. Naravno, uz dostupnost kompjuterske tehnologije, ovaj problem se može riješiti sam od sebe. Ali da bismo bolje razumjeli MNC alate, preporučljivo je testirati hipotezu o postojanju veze između “ x " i " y » ručno, kada su pri ruci samo olovka i običan kalkulator. U takvim slučajevima hipotezu o postojanju trenda najbolje je vizualno provjeriti lokacijom grafičke slike analizirane serije dinamike – korelacijskog polja:

Korelacijsko polje u našem primjeru nalazi se oko linije koja se polako povećava. To samo po sebi ukazuje na postojanje određenog trenda promjene prinosa suncokreta. Nemoguće je govoriti o prisutnosti bilo kakve tendencije samo kada korelacijsko polje izgleda kao krug, krug, strogo vertikalni ili striktno horizontalni oblak, ili se sastoji od haotično raštrkanih tačaka. U svim ostalim slučajevima, hipoteza o postojanju veze između “ x " i " y “, i nastaviti istraživanje.

Druga OLS procedura. Utvrđuje se koja linija (trajektorija) najbolje može opisati ili okarakterizirati trend promjene prinosa suncokreta u analiziranom periodu.

Ako imate kompjutersku tehnologiju, odabir optimalnog trenda se dešava automatski. U "ručnoj" obradi odabir optimalne funkcije se po pravilu vrši vizualno - prema lokaciji korelacionog polja. Odnosno, na osnovu tipa grafa, bira se jednačina linije koja najbolje odgovara empirijskom trendu (stvarnoj putanji).

Kao što je poznato, u prirodi postoji ogromna raznolikost funkcionalnih ovisnosti, pa je vrlo teško vizualno analizirati čak i mali dio njih. Srećom, u realnoj ekonomskoj praksi većina odnosa može se prilično precizno opisati ili parabolom, ili hiperbolom, ili pravom linijom. S tim u vezi, uz “ručnu” opciju odabira najbolje funkcije, možete se ograničiti samo na ova tri modela.

		hiperbola:

Parabola drugog reda: :

Lako je uočiti da je u našem primjeru trend promjene prinosa suncokreta u analiziranih 10 godina najbolje okarakterisan ravnom linijom, pa će regresiona jednačina biti jednačina prave linije.

Treći postupak. Izračunavaju se parametri regresione jednačine koja karakteriše ovu liniju, odnosno određuje se analitička formula koja opisuje najbolji model trenda.

Pronalaženje vrijednosti parametara jednadžbe regresije, u našem slučaju parametara i , je srž OLS-a. Ovaj proces se svodi na rješavanje sistema normalnih jednačina.

(9.2)

Ovaj sistem jednačina može se prilično lako riješiti Gaussovom metodom. Podsjetimo da su kao rezultat rješenja, u našem primjeru, pronađene vrijednosti parametara i. Dakle, pronađena jednačina regresije će imati sljedeći oblik: