Diferencijalne jednadžbe drugog i višeg reda.
Linearni DE drugog reda sa konstantni koeficijenti.
Primjeri rješenja.

Prelazimo na razmatranje diferencijalnih jednadžbi drugog reda i diferencijalnih jednadžbi višeg reda. Ako imate nejasnu ideju o tome šta je diferencijalna jednadžba (ili ne razumijete šta je to uopće), onda preporučujem da počnete s lekcijom Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. Mnogi principi rješenja i osnovni koncepti difuzije prvog reda se automatski proširuju na diferencijalne jednadžbe višeg reda, tako da vrlo je važno prvo razumjeti jednačine prvog reda.

Mnogi čitaoci mogu imati predrasudu da je DE 2., 3. i drugih reda nešto vrlo teško i nedostupno za savladavanje. Ovo je pogrešno . Naučite rješavati difuzije višeg reda jedva komplikovanije od "običnih" DE-ova prvog reda. A na nekim mjestima je i lakše, jer se u odlukama aktivno koristi materijal školskog programa.

Najpopularniji diferencijalne jednadžbe drugog reda. U diferencijalnu jednačinu drugog reda Neophodno uključuje drugi izvod i nisu uključeni

Treba napomenuti da neke od beba (pa čak i sve odjednom) mogu nedostajati iz jednačine, važno je da je otac bio kod kuće. Najprimitivnija diferencijalna jednadžba drugog reda izgleda ovako:

Diferencijalne jednadžbe trećeg reda u praktičnim zadacima su mnogo rjeđe, prema mojim subjektivnim zapažanjima u Državnoj Dumi, one bi dobile oko 3-4% glasova.

U diferencijalnu jednačinu trećeg reda Neophodno uključuje treći derivat i nisu uključeni derivati ​​višeg reda:

Najjednostavnija diferencijalna jednadžba trećeg reda izgleda ovako: - tata je kod kuće, sva djeca su u šetnji.

Slično, mogu se definirati diferencijalne jednadžbe 4., 5. i višeg reda. U praktičnim problemima, takav DE izuzetno rijetko klizi, međutim, pokušat ću dati relevantne primjere.

Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje se predlažu u praktičnim problemima mogu se podijeliti u dvije glavne grupe.

1) Prva grupa - tzv jednačine nižeg reda. Uletite!

2) Druga grupa - linearne jednačine viših redova sa konstantnim koeficijentima. Koje ćemo početi razmatrati upravo sada.

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda
sa konstantnim koeficijentima

U teoriji i praksi razlikuju se dvije vrste takvih jednadžbi - homogena jednačina I nehomogena jednačina.

Homogeni DE drugog reda sa konstantnim koeficijentima ima sljedeći oblik:
, gdje su i konstante (brojevi), a na desnoj strani - strogo nula.

Kao što vidite, nema posebnih poteškoća s homogenim jednadžbama, glavna stvar je to odluči ispravno kvadratna jednačina .

Ponekad postoje nestandardne homogene jednadžbe, na primjer, jednadžba u obliku , gdje na drugom izvodu postoji neka konstanta , različita od jedinice (i, naravno, različita od nule). Algoritam rješenja se uopće ne mijenja, treba mirno sastaviti karakterističnu jednadžbu i pronaći njene korijene. Ako je karakteristična jednadžba će imati dva različita stvarna korijena, na primjer: , To zajednička odluka napisano na uobičajen način: .

U nekim slučajevima, zbog greške u kucanju u stanju, mogu ispasti "loši" korijeni, nešto slično . Šta učiniti, odgovor će morati biti napisan ovako:

Sa "lošim" konjugiranim složenim korijenima kao nema problema, generalno rješenje:

To je, opće rješenje postoji u svakom slučaju. Jer svaka kvadratna jednadžba ima dva korijena.

U poslednjem paragrafu, kao što sam obećao, ukratko ćemo razmotriti:

Linearne homogene jednadžbe višeg reda

Sve je vrlo, vrlo slično.

Linearna homogena jednadžba trećeg reda ima sljedeći oblik:
, gdje su konstante.
Za zadata jednačina također morate napraviti karakterističnu jednačinu i pronaći njene korijene. Karakteristična jednačina, kao što su mnogi pretpostavili, izgleda ovako:
, i to U svakom slučaju Ima tačno tri root.

Neka su, na primjer, svi korijeni stvarni i različiti: , onda se opće rješenje može napisati na sljedeći način:

Ako je jedan korijen realan, a druga dva su konjugirani kompleks, onda opće rješenje pišemo na sljedeći način:

Poseban slučaj je kada su sva tri korijena višestruka (isti). Razmotrimo najjednostavniji homogeni DE 3. reda sa usamljenim ocem: . Karakteristična jednadžba ima tri podudarna nulta korijena. Opće rješenje pišemo na sljedeći način:

Ako je karakteristična jednadžba ima, na primjer, tri višestruka korijena, tada je generalno rješenje:

Primjer 9

Riješiti homogenu diferencijalnu jednačinu trećeg reda

Rješenje: Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu:

, - dobije se jedan pravi korijen i dva konjugirana kompleksna korijena.

odgovor: zajednička odluka

Slično, možemo razmotriti linearnu homogenu jednačinu četvrtog reda sa konstantnim koeficijentima: , gdje su konstante.

U nekim problemima fizike ne može se uspostaviti direktna veza između veličina koje opisuju proces. Ali postoji mogućnost da se dobije jednakost koja sadrži derivate funkcija koje se proučavaju. Tako nastaju diferencijalne jednadžbe i potreba za njihovim rješavanjem kako bi se pronašla nepoznata funkcija.

Ovaj članak je namijenjen onima koji su suočeni sa zadatkom rješavanja diferencijalna jednadžba, u kojoj je nepoznata funkcija funkcija jedne varijable. Teorija je izgrađena na takav način da sa nultim razumijevanjem diferencijalnih jednadžbi možete raditi svoj posao.

Svaka vrsta diferencijalnih jednadžbi povezana je s metodom rješenja s detaljnim objašnjenjima i rješenjima tipičnih primjera i problema. Vi samo trebate odrediti vrstu diferencijalne jednadžbe vašeg problema, pronaći sličan analizirani primjer i izvršiti slične radnje.

Da biste uspješno riješili diferencijalne jednadžbe sa vaše strane, trebat će vam i sposobnost pronalaženja skupova antiderivata ( neodređeni integrali) različitih funkcija. Ako je potrebno, preporučujemo da pogledate odjeljak.

Prvo, razmotrimo vrste običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti s obzirom na derivaciju, zatim ćemo prijeći na ODE drugog reda, zatim ćemo se zadržati na jednadžbama višeg reda i završiti sa sistemima diferencijalnih jednadžbi.

Podsjetimo da ako je y funkcija argumenta x.

Diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika .

Napišimo nekoliko primjera takvog DE .

Diferencijalne jednadžbe može se riješiti u odnosu na izvod dijeljenjem obje strane jednakosti sa f(x) . U ovom slučaju dolazimo do jednačine , koja će biti ekvivalentna originalnoj za f(x) ≠ 0 . Primjeri takvih ODE-a su .

Ako postoje vrijednosti argumenta x za koje funkcije f(x) i g(x) istovremeno nestaju, tada se pojavljuju dodatna rješenja. Dodatna rješenja jednadžbe dati x su bilo koje funkcije definirane za te vrijednosti argumenata. Primjeri takvih diferencijalnih jednadžbi su .

Diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

LODE sa konstantnim koeficijentima je vrlo čest tip diferencijalnih jednačina. Njihovo rješenje nije posebno teško. Prvo se pronađu korijeni karakteristična jednačina . Za različite p i q moguća su tri slučaja: korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti realni i različiti, realni i podudarni ili kompleksni konjugat. Ovisno o vrijednostima korijena karakteristične jednadžbe, opće rješenje diferencijalne jednadžbe zapisuje se kao , ili , odnosno.

Na primjer, razmotrite linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Korijeni njegove karakteristične jednadžbe su k 1 = -3 i k 2 = 0. Korijeni su realni i različiti, stoga je generalno rješenje LDE sa konstantnim koeficijentima


Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje LIDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima y traži se kao zbir općeg rješenja odgovarajućeg LODE-a i posebno rješenje originala nehomogena jednačina, to je, . Prethodni paragraf je posvećen pronalaženju opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima. A određeno rješenje se određuje ili metodom neodređenih koeficijenata za određeni oblik funkcije f (x) , koja stoji na desnoj strani izvorne jednačine, ili metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

Kao primjere LIDE-a drugog reda sa konstantnim koeficijentima predstavljamo


Da biste razumjeli teoriju i upoznali se sa detaljnim rješenjima primjera, nudimo vam na stranici linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe (LODE) i linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda (LNDE).

Poseban slučaj diferencijalnih jednadžbi ovog tipa su LODE i LODE sa konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje LODE-a na određenom intervalu predstavljeno je linearnom kombinacijom dvaju linearno nezavisnih partikularnih rješenja y 1 i y 2 ove jednadžbe, tj. .

Glavna poteškoća leži upravo u pronalaženju linearno nezavisnih parcijalnih rješenja ove vrste diferencijalne jednadžbe. Obično se određena rješenja biraju iz sljedećih sistema linearno nezavisnih funkcija:


Međutim, određena rješenja nisu uvijek predstavljena u ovom obliku.

Primjer LODU je .

Opće rješenje LIDE se traži u obliku , gdje je opće rješenje odgovarajućeg LODE-a, a posebno rješenje originalne diferencijalne jednadžbe. Upravo smo govorili o pronalaženju, ali ono se može odrediti metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

Primjer LNDE-a je .

Diferencijalne jednadžbe višeg reda.

Diferencijalne jednadžbe koje dopuštaju redukciju reda.

Red diferencijalne jednadžbe , koji ne sadrži željenu funkciju i njene derivate do k-1 reda, može se svesti na n-k zamjenom .

U ovom slučaju , i originalna diferencijalna jednadžba se svodi na . Nakon pronalaženja njenog rješenja p(x), ostaje da se vratimo na zamjenu i odredimo nepoznatu funkciju y .

Na primjer, diferencijalna jednadžba nakon što zamjena postaje odvojiva jednadžba , a njen redoslijed se smanjuje sa treće na prvu.

Često samo pominjanje diferencijalne jednadžbečini studentima neprijatno. Zašto se ovo dešava? Najčešće, jer prilikom proučavanja osnova materijala nastaje jaz u znanju, zbog čega daljnje proučavanje difura postaje jednostavno mučenje. Ništa nije jasno šta učiniti, kako odlučiti odakle početi?

Međutim, pokušaćemo da vam pokažemo da difur nije tako težak kao što se čini.

Osnovni pojmovi teorije diferencijalnih jednadžbi

Još iz škole znamo najjednostavnije jednačine u kojima treba pronaći nepoznato x. Zapravo diferencijalne jednadžbe samo malo drugačiji od njih - umjesto varijable X moraju pronaći funkciju y(x) , što će jednadžbu pretvoriti u identitet.

D diferencijalne jednadžbe su od velike praktične važnosti. Ovo nije apstraktna matematika koja nema nikakve veze sa svijetom oko nas. Uz pomoć diferencijalnih jednadžbi opisuju se mnogi stvarni prirodni procesi. Na primjer, vibracije struna, kretanje harmonijskog oscilatora, pomoću diferencijalnih jednadžbi u problemima mehanike, pronalaze brzinu i ubrzanje tijela. Također DU naći široka primena u biologiji, hemiji, ekonomiji i mnogim drugim naukama.

Diferencijalna jednadžba (DU) je jednadžba koja sadrži izvode funkcije y(x), samu funkciju, nezavisne varijable i druge parametre u raznim kombinacijama.

Postoji mnogo tipova diferencijalnih jednadžbi: obične diferencijalne jednadžbe, linearne i nelinearne, homogene i nehomogene, diferencijalne jednadžbe prvog i višeg reda, parcijalne diferencijalne jednadžbe i tako dalje.

Rješenje diferencijalne jednadžbe je funkcija koja je pretvara u identitet. Postoje opća i posebna rješenja daljinskog upravljanja.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe je opći skup rješenja koji pretvaraju jednačinu u identitet. Konkretno rješenje diferencijalne jednadžbe je rješenje koje zadovoljava dodatni uslovi inicijalno postavljeno.

Redoslijed diferencijalne jednadžbe određen je najvišim redom izvedenica uključenih u nju.

Obične diferencijalne jednadžbe

Obične diferencijalne jednadžbe su jednadžbe koje sadrže jednu nezavisnu varijablu.

Razmotrimo najjednostavniju običnu diferencijalnu jednačinu prvog reda. Izgleda:

Ova jednačina se može riješiti jednostavnim integracijom njene desne strane.

Primjeri takvih jednadžbi:

Jednačine odvojive varijable

IN opšti pogled ova vrsta jednadžbe izgleda ovako:

Evo primjera:

Rješavajući takvu jednačinu, potrebno je odvojiti varijable, dovodeći ih u oblik:

Nakon toga ostaje integrirati oba dijela i dobiti rješenje.

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Takve jednadžbe imaju oblik:

Ovdje su p(x) i q(x) neke funkcije nezavisne varijable, a y=y(x) je željena funkcija. Evo primjera takve jednadžbe:

Rješavajući takvu jednačinu, najčešće koriste metodu varijacije proizvoljne konstante ili traženu funkciju predstavljaju kao proizvod dvije druge funkcije y(x)=u(x)v(x).

Za rješavanje ovakvih jednadžbi potrebna je određena priprema, a bit će ih prilično teško uzeti „na hir“.

Primjer rješavanja DE sa odvojivim varijablama

Dakle, razmotrili smo najjednostavnije vrste daljinskog upravljača. Pogledajmo sada jedan od njih. Neka je to jednadžba sa odvojivim varijablama.

Prvo, prepisujemo derivat u poznatijem obliku:

Zatim ćemo razdvojiti varijable, odnosno u jednom dijelu jednačine skupit ćemo sve "igre", au drugom - "xes":

Sada ostaje da se integrišu oba dela:

Integriramo i dobijemo opće rješenje ove jednačine:

Naravno, rješavanje diferencijalnih jednadžbi je vrsta umjetnosti. Morate biti u stanju razumjeti kojem tipu jednačina pripada, kao i naučiti koje transformacije trebate napraviti s njom da biste je doveli u ovaj ili onaj oblik, a da ne spominjemo samo sposobnost diferenciranja i integracije. I potrebna je praksa (kao i u svemu) da bi se uspjelo riješiti DE. I ako jesi ovog trenutka nema se vremena baviti kako se rješavaju diferencijalne jednadžbe ili je Cauchyjev problem narastao kao kost u grlu ili ne znate, obratite se našim autorima. U kratkom roku ćemo Vam dostaviti gotove i detaljno rješenje, da biste razumjeli detalje o kojima možete u bilo koje vrijeme koje vam odgovara. U međuvremenu, predlažemo da pogledate video na temu "Kako riješiti diferencijalne jednadžbe":

Jednadžba oblika: naziva se linearna diferencijalna jednadžba višeg reda, gdje su a 0, a 1, ... i n funkcije varijable x ili konstante, a 0, a 1, ... i n i f (x) se smatraju kontinuiranim.

Ako je a 0 =1 (ako
onda se može podijeliti)
jednačina će poprimiti oblik:

Ako
jednadžba je nehomogena.

jednačina je homogena.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n

Jednadžba oblika: zovu se linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n.

Za ove jednačine vrijede sljedeće teoreme:

Teorema 1: Ako
- rješenje , zatim zbroj
- takođe rešenje

Dokaz: Zamenite zbroj

Budući da je derivacija bilo kojeg reda zbira jednaka zbroju izvoda, možete se pregrupirati otvaranjem zagrada:

jer su y 1 i y 2 rješenje.

0=0 (tačno)
iznos je takođe odluka.

teorema je dokazana.

Teorema 2: Ako je y 0 -rješenje , To
- takođe rešenje .

Dokaz: Zamjena
u jednačinu

pošto je C izuzeto iz predznaka derivacije, onda

jer rješenje, 0=0 (tačno)
Cy 0 je također rješenje.

teorema je dokazana.

Posljedica iz T1 i T2: Ako
- rješenja (*)
linearna kombinacija je također rješenje (*).

Linearno nezavisni i linearno zavisni sistemi funkcija. Odrednica Vronskog i njena svojstva

definicija: Funkcijski sistem
- naziva se linearno nezavisnim ako je linearna kombinacija koeficijenata
.

definicija: funkcionalni sistem
- naziva se linearno zavisnim ako i postoje koeficijenti
.

Uzmite sistem od dvije linearno zavisne funkcije
jer
ili
- stanje linearnu nezavisnost dvije funkcije.

1)
linearno nezavisna

2)
linearno zavisna

3) linearno zavisna

definicija: Dat sistem funkcija
- funkcije varijable x.

Odrednica
-Odrednica Vronskog za sistem funkcija
.

Za sistem od dvije funkcije, determinanta Wronskyja izgleda ovako:

Svojstva determinante Vronskog:

Teorema: O opštem rješenju linearne homogene diferencijalne jednadžbe 2. reda.

Ako su y 1 i y 2 linearni nezavisna rješenja linearna homogena diferencijalna jednadžba 2. reda, dakle

generalno rješenje izgleda ovako:

dokaz:
- rješenje o posljedici iz T1 i T2.

Ako su dati početni uslovi I moraju biti jasno locirani.

- početni uslovi.

Napravimo sistem za pronalaženje I . Da bismo to učinili, zamjenjujemo početne uslove u opšte rješenje.

determinanta ovog sistema:
- Determinanta Vronskog, izračunata u tački x 0

jer I linearno nezavisna
(od 2 0)

pošto determinanta sistema nije jednaka 0, onda sistem ima jedinstveno rešenje i I nedvosmisleno su van sistema.

Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n

Može se pokazati da jednačina ima n linearno nezavisnih rješenja

definicija: n linearno nezavisna rješenja
naziva se linearna homogena diferencijalna jednadžba reda n osnovni sistem rješenja.

Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe reda n, tj. (*) je linearna kombinacija osnovnog sistema rješenja:

Gdje
- osnovni sistem rješenja.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe 2. reda sa konstantnim koeficijentima

Ovo su jednadžbe oblika:
, gdje su p i g brojevi (*)

definicija: Jednačina
- zvao karakteristična jednačina diferencijalna jednadžba (*) je obična kvadratna jednadžba čije rješenje ovisi o D, mogući su sljedeći slučajevi:

1)D>0
su dva stvarno različita rješenja.

2)D=0
- jedan pravi korijen višestrukosti 2.

3)D<0
su dva kompleksna konjugirana korijena.

Za svaki od ovih slučajeva navodimo osnovni sistem rješenja, sastavljen od 2 funkcije I .

Pokazaćemo da:

1) I - LNZ

2) I - rješenje (*)

Razmotrite 1 slučaj D>0
- 2 stvarno različita korijena.

X
karakteristična jednačina:

Uzmimo kao FSR:

a) pokazati LNZ

b) pokazati to - rastvor (*), zamena

+p
+g
=0

istinska jednakost

rješenje (*)

slično prikazano za y 2 .

zaključak:
- FSR (*)
zajednička odluka

Razmotrimo 2 slučaja: D=0
- 1 pravi korijen višestrukosti 2.

Uzmimo kao FSR:

LNZ:
LNZ je.

-rješenje jednačine (vidi slučaj 1). Pokažimo to
- rješenje.

zamjena u DU

-rešenje.

zaključak: FSR

primjer:

3 slučaj: D<0
- 2 kompleksna konjugirana korijena.

zamjena
u karakteru jednačina

Kompleksni broj je 0 kada su i realni i imaginarni dijelovi 0.

- koristićemo.

Hajde da to pokažemo
- formiraju FSR.

A) LNZ:

B)
- rješenje za daljinsko upravljanje

istinska jednakost
- odluka DU.

Slično, pokazano je da takođe rešenje.

zaključak: FSR:

Zajednička odluka:

Ako n.o.s.

-onda prvo pronađite opšte rešenje
, njegov derivat:
, a zatim se n.u. zamjenjuje u ovaj sistem i oni pronalaze I .

pa:

Teorija računarstva nehomogene diferencijalne jednadžbe(DU) nećemo davati u ovoj publikaciji, iz prethodnih lekcija možete pronaći dovoljno informacija da pronađete odgovor na pitanje "Kako riješiti nehomogenu diferencijalnu jednačinu?" Stupanj nehomogenog DE ovdje ne igra veliku ulogu, nema toliko načina koji omogućavaju izračunavanje rješenja takvog DE. Da bismo vam olakšali čitanje odgovora u primjerima, glavni naglasak je samo na tehnici proračuna i savjetima koji će olakšati izvođenje konačne funkcije.

Primjer 1 Riješite diferencijalnu jednačinu
Rješenje: Dato homogena diferencijalna jednadžba trećeg reda,štaviše, sadrži samo drugi i treći izvod i nema funkciju i njen prvi izvod. U takvim slučajevima koristiti metodu redukcije diferencijalna jednadžba. Za to se uvodi parametar - drugu derivaciju označavamo preko parametra p

onda je treći izvod funkcije

Originalni homogeni DE će biti pojednostavljen u formu

Onda to zapisujemo u diferencijalima svesti na jednu odvojenu varijablu i pronađite rješenje integracijom

Zapamtite da je parametar drugi izvod funkcije

stoga, da bismo pronašli formulu same funkcije, dvaput integriramo pronađenu diferencijalnu ovisnost

U funkciji su stare C 1 , C 2 , C 3 jednake proizvoljnim vrijednostima.
Ovako izgleda kolo naći opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe uvođenjem parametra. Sljedeći problemi su teži i iz njih ćete naučiti kako riješiti nehomogene diferencijalne jednadžbe trećeg reda. Postoji određena razlika između homogenog i nehomogenog DE u smislu proračuna, to ćete sada vidjeti.

Primjer 2 Nađi
Rješenje: Imamo treći red. Stoga njegovo rješenje treba tražiti u obliku zbira dva - rješenja homogenog i partikularnog rješenja nehomogene jednačine

Hajde da prvo odlučimo

Kao što vidite, sadrži samo drugi i treći izvod funkcije i ne sadrži samu funkciju. Ova vrsta diff. jednadžbe se rješavaju metodom uvođenja parametra, koji u zauzvrat smanjuje i pojednostavljuje pronalaženje rješenja jednadžbe. U praksi to izgleda ovako: neka je drugi izvod jednak određenoj funkciji, tada će treći izvod formalno imati zapis

Razmatrana homogena DE 3. reda transformira se u jednačinu prvog reda

odakle dijeljenjem varijabli nalazimo integral
x*dp-p*dx=0;

Preporučujemo numerisanje onih koji su se našli u takvim problemima, jer rješenje diferencijalne jednadžbe 3. reda ima 3 konstante, četvrte - 4, i dalje po analogiji. Sada se vraćamo na uvedeni parametar: budući da drugi izvod ima oblik, integrirajući ga kada imamo ovisnost za izvod funkcije

i ponovljenom integracijom nalazimo opšti pogled na homogenu funkciju

Parcijalno rješenje jednačine zapisati kao promenljivu pomnoženu logaritmom. Ovo proizilazi iz činjenice da je desni (nehomogeni) dio DE jednak -1/x i da bi se dobila ekvivalentna notacija

rješenje treba tražiti u formi

Nađite koeficijent A, za to izračunavamo derivate prvog i drugog reda

Pronađene izraze zamjenjujemo u originalnu diferencijalnu jednadžbu i izjednačavamo koeficijente na istim potencijama x:

Čelik je jednak -1/2 i ima oblik

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe zapisati kao zbir pronađenog

gdje su C 1 , C 2 , C 3 proizvoljne konstante koje se mogu precizirati iz Cauchyjevog problema.

Primjer 3 Pronađite DE integral trećeg reda
Rješenje: Traži se opći integral nehomogenog DE trećeg reda u obliku zbira rješenja homogene i parcijalne nehomogene jednačine. Prvo, za bilo koju vrstu jednadžbi, počinjemo analizirati homogenu diferencijalnu jednačinu

Sadrži samo drugi i treći izvod dosad nepoznate funkcije. Uvodimo promjenu varijabli (parametar): označavamo drugi izvod

Tada je treći izvod

Iste transformacije su izvršene u prethodnom zadatku. Ovo dozvoljava svesti diferencijalnu jednadžbu trećeg reda na jednadžbu prvog reda oblika

Integracijom nalazimo

Podsjetimo da je, prema promjeni varijabli, ovo tek drugi izvod

a da bi se pronašlo rješenje homogene diferencijalne jednadžbe trećeg reda, mora se dva puta integrirati

Na osnovu tipa desne strane (nehomogeni dio =x+1), parcijalno rješenje jednačine traži se u obliku

Kako znati u kojem obliku tražiti parcijalno rješenje Trebali ste biti poučeni u teorijskom dijelu kursa diferencijalnih jednačina. Ako ne, onda možemo samo predložiti kakvu funkciju je takav izraz odabran tako da prilikom zamjene u jednadžbu, pojam koji sadrži najviši izvod ili mlađi bude istog reda (sličnog) s nehomogenim dijelom jednačine

Mislim da vam je sada jasnije odakle dolazi forma određenog rješenja. Pronađite koeficijente A, B, za to izračunavamo drugi i treći izvod funkcije

i zamijeniti u diferencijalnu jednačinu. Nakon grupisanja sličnih pojmova, dobijamo linearnu jednačinu

od čega, za jednake snage varijable sastaviti sistem jednačina

i pronađite nepoznate čelike. Nakon njihove zamjene, izražava se zavisnošću

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe jednak je zbiru homogenog i parcijalnog i ima oblik

gdje su C 1 , C 2 , C 3 proizvoljne konstante.

Primjer 4. R jesti diferencijalnu jednačinu
Rješenje: Imamo rješenje koje ćemo pronaći kroz zbir . Znate shemu proračuna, pa idemo na razmatranje homogena diferencijalna jednadžba

Po standardnoj metodi unesite parametar
Originalna diferencijalna jednadžba će poprimiti oblik , iz kojeg, dijeleći varijable, nalazimo

Zapamtite da je parametar jednak drugom izvodu
Integracijom DE dobijamo prvi izvod funkcije

Reintegracija nalazimo opšti integral homogene diferencijalne jednadžbe

Parcijalno rješenje jednačine tražimo u obliku, budući da je desna strana jednaka
Nađimo koeficijent A - za ovo zamjenjujemo y* u diferencijalnu jednadžbu i izjednačavamo koeficijent na istim stepenima varijable

Nakon zamjene i grupisanja pojmova, dobijamo zavisnost

od čega je čelik jednak A=8/3.
Dakle, možemo pisati djelomično rješenje DE

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe jednak pronađenom zbiru

gdje su C 1 , C 2 , C 3 proizvoljne konstante. Ako je zadan Cauchyjev uslov, onda se oni mogu vrlo lako proširiti.

Vjerujem da će vam materijal biti od koristi prilikom priprema za praktične vježbe, module ili testove. Cauchyjev problem ovdje nije analiziran, ali iz prethodnih lekcija općenito znate kako se to radi.