Zadaci koji se rješavaju LP metodama su veoma raznoliki po sadržaju. Ali njihovi matematički modeli su slični i uslovno su kombinovani u tri velike grupe problema:

• transportni zadaci;
• planiranje zadataka;

Razmotrimo primjere specifičnih ekonomskih problema svake vrste i detaljnije se zadržimo na izgradnji modela za svaki problem.

Transportni zadatak

Na dvije trgovačke baze I i AT Ima 30 kompleta namještaja, po 15 komada. Sav namještaj je potrebno dostaviti u dvije prodavnice namještaja, OD i D i u OD potrebno je da isporučite 10 slušalica i u D- 20. Poznato je da je isporuka jedne slušalice iz baze I u prodavnicu OD košta jednu novčanu jedinicu za prodavnicu D- u tri novčane jedinice. Prema bazi AT do prodavnica OD i D: dvije i pet novčanih jedinica. Napravite plan transporta tako da troškovi svih transporta budu najmanji.
Radi praktičnosti, ove zadatke označavamo u tabeli. Na preseku redova i kolona nalaze se brojevi koji karakterišu troškove dotičnog transporta (tabela 3.1).

Tabela 3.1

Hajde da napravimo matematički model problema.
Promjenljive se moraju unijeti. Formulacija pitanja kaže da je potrebno izraditi plan prevoza. Označiti sa X 1 , X 2 broja slušalica koje se transportuju iz baze I do prodavnica OD i D odnosno kroz at 1 , at 2 - broj slušalica koje se transportuju iz baze AT do prodavnica OD i D respektivno. Zatim količina namještaja uklonjena iz skladišta I, jednako ( X 1 + X 2) bunar sa zaliha AT - (at 1 + at 2). Potreba za radnjom OD je jednako 10 slušalica, a oni su ga donijeli ( X 1 + at 1) komada, tj. X 1 + at 1 = 10. Slično, za radnju D imamo X 2 + at 2 = 20. Imajte na umu da su potrebe prodavnica tačno jednake broju slušalica na lageru, tako da X 1 + at 2 = 15 i at 1 + at 2 = 15. Ako iz skladišta odnesete manje od 15 kompleta, onda prodavnice ne bi imale dovoljno namještaja da podmire svoje potrebe.
Dakle, varijable X 1 , X 2 , at 1 , at 2 su nenegativni u smislu problema i zadovoljavaju sistem ograničenja:
(3.1)
Označavanje kroz F troškovi dostave, hajde da ih prebrojimo. za prevoz jedne garniture nameštaja iz I in OD provesti jedan dan. jedinice, za transport x 1 set - x 1 dan jedinice Isto tako, za transport x 2 kompleta I in D košta 3 x 2 dana jedinice; od AT in OD - 2y 1 dan jedinice, od AT in D - 5y 2 dana jedinice
dakle,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3.2)
(želimo da ukupni troškovi dostave budu što niži).
Hajde da matematički formulišemo problem.
Na skupu rješenja sistema ograničenja (3.1) pronaći rješenje koje minimizira ciljnu funkciju F(3.2), ili pronaći optimalni plan ( x 1 , x 2, y 1 , y 2) određena sistemom ograničenja (3.1) i ciljnom funkcijom (3.2).
Problem koji smo razmatrali može se više predstaviti opšti pogled, sa bilo kojim brojem dobavljača i potrošača.
U problemu koji smo razmatrali raspoloživost tereta od dobavljača (15 + 15) jednaka je ukupnoj potrebi potrošača (10 + 20). Takav model se zove zatvoreno, a odgovarajući zadatak je balansirani transport zadatak.
U ekonomskim proračunima tzv otvoreni modeli, u kojem se navedena jednakost ne poštuje. Ili je ponuda dobavljača veća od potražnje potrošača, ili potražnja premašuje dostupnost robe. imajte na umu da će tada sistem ograničenja problema neuravnoteženog transporta, zajedno sa jednačinama, uključivati ​​i nejednakosti.

Razmotrimo primjer neuravnoteženog transportnog problema.
U bodovima I i AT nalaze se ciglane, a u OD i D- Kamenolomi koji ih snabdevaju peskom. potreba za peskom u fabrikama je manja od produktivnosti kamenoloma. Zna se koliko je pijeska potrebno svakoj od fabrika i koliko se iskopa u svakom kamenolomu. Poznata je i cijena transporta 1 tone pijeska iz svakog kamenoloma do tvornica (brojevi na strelicama). Neophodno je planirati snabdevanje fabrika peskom na način da troškovi transporta budu najniži. Podaci zadatka na dijagramu.

Konstruišemo matematički model problema.
Hajde da predstavimo varijable:
x 11 - broj tona peska prevezenih iz kamenoloma OD u fabriku I;
x 12 - iz kamenoloma OD u fabriku I;
x 21 - broj tona peska u I iz kamenoloma D;
x 22 - broj tona peska iz kamenoloma D u fabriku AT.
U fabriku I Iz oba površinska kopa mora biti dopremljeno 40 tona, što znači x 11 + x 21 = 40, fabrika AT 50 tona mora biti isporučeno, znači x 12 + x 22 = 50. Iz kamenoloma OD nije izvezeno više od 70 tona, tj. x 11 + x 12 ≤ 70, slično x 21 + x 22 ≤ 30. Imamo sistem ograničenja:
(3.3)
I ciljna funkcija F, koji izražava troškove transporta, ima oblik
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22→min. (3.4)

Zadatak izrade plana

Neka fabrika treba da napravi optimalan plan za proizvodnju dve vrste proizvoda koji se obrađuju na četiri vrste mašina. Određene hardverske mogućnosti i performanse su poznate; cijena proizvoda koja tvornici osigurava profit je 4 hiljade rubalja. za proizvod tipa I, 6 hiljada rubalja. - za proizvod II vrste. Napraviti plan proizvodnje ovih proizvoda kako bi pogon ostvario najveću dobit od njihove prodaje. U tabeli je prikazano vrijeme potrebno za obradu svake od dvije vrste proizvoda na opremi sva četiri tipa (tabela 3.2).

Tabela 3.2

Proizvodi	Tipovi mašina
	1	2	3	4
I	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Mogući mašinski sati	18	12	12	9

Hajde da napravimo matematički model.
U zadatku je potrebno odrediti plan proizvodnje proizvoda, označiti sa x broj proizvoda tipa I, za y- broj proizvoda tipa II. Zatim izračunavamo koliko će vremena prva mašina potrošiti na obradu svih proizvodnih proizvoda. Ona troši jednu jedinicu vremena na jedan predmet tipa I, što znači x komada proizvoda će potrošiti 1 x jedinice vreme za obradu y proizvodi tipa II koštaju 1 y jedinice vrijeme. Ukupno, rezerva vremena za rad prve mašine je 18 jedinica vremena. znači, x + y≤ 18. Slično razmišljanje sa drugom mašinom, trećom i četvrtom će dati sistem ograničenja:
(3.5)
Ukupna dobit će biti izražena u ciljna funkcija:
F = 4x + 6y → max. (3.6)
Problem je pronaći na skupu rješenja sistema (3.5) takvo rješenje za koje bi vrijednost ciljne funkcije (3.6) bila maksimalna.

Zadatak miješanja

Još jedan uobičajeni LP problem je problem sastava mješavine. Primjer takvih zadataka može biti zadatak sastavljanja takvih mješavina naftnih derivata koje bi zadovoljile određene tehnički zahtjevi i bili su najjeftiniji. Ili zadaci o prehrani, kada se zna potreba za određenim tvarima i sadržaj tih tvari u raznim proizvodima. Prehranu je potrebno sastaviti tako da zadovolji potrebe za potrebnim supstancama, a da bi u isto vrijeme korpa s hranom imala minimalan trošak pri datim cijenama hrane.
Gotovo slični zadaci postavljeni su, na primjer, na bilo kojoj stočnoj farmi i imaju vrlo širok spektar primjena.
Razmotrimo primjer. Za tov pilića na farmi peradi, njihova prehrana mora uključivati ​​najmanje 33 jedinice tvari I, 23 hranljive jedinice AT, 12 kom OD. Za tov se koriste tri vrste hrane. Podaci o sadržaju hranljivih materija u svakoj vrsti hrane dati su u tabeli. Poznata je i cijena hrane. Potrebno je napraviti najjeftiniju ishranu (tabela 3.3).

Tabela 3.3

Proizvodi za hranu	Supstance			Cijena 1 jedinice. stern
	I	AT	OD
I	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

Da biste razumjeli problem, možete zamisliti te supstance I, AT, OD- to su masti, proteini, ugljikohidrati, a proizvodi I, II, III su ono čime se pilići hrane, na primjer, proso, krmne smjese, vitaminski dodaci. Tada je u prvom redu tabele prikazan sadržaj u jednoj jedinici prosa: 4 jedinice. proteina, 3 jedinice. masti, jedna jedinica ugljikohidrati. Druga linija - sadržaj proteina, masti, ugljikohidrata u 1 jedinici. II proizvod itd.
Ako je formulacija problema jasna, prelazimo na konstrukciju matematičkog modela.
Kao odgovor na zadatak moramo ponuditi dijetu, odnosno naznačiti koliko i kakvu hranu uzimati kako bi se zadovoljila potrebna količina nutrijenata, a da pritom košta što manje.
Dakle, označimo x 1 količina hrane tipa I u ishrani, per x 2 - količina hrane tipa II i, shodno tome, x 3 - količina hrane III u ishrani. Zatim supstance I kada jedu ovu dijetu, pilići će dobiti 4 x 1 - prilikom konzumiranja proizvoda tipa I, 3 x 2 - prilikom konzumiranja proizvoda II, 2 x 3 - kada se konzumira III. Total Supstance I prema stanju problema potrebno je koristiti najmanje 33 jedinice, dakle 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Slično raspravljati i sa supstancama AT i OD, imamo:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 i x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
Tako dobijamo sistem ograničenja:
(3.7)
Varijable su nenegativne u smislu problema. U ovom slučaju, trošak dijete je izražen funkcijom:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → min, (3.8)
jer 20, 20, 10 - cijena jedne jedinice. proizvodi tipa I, II, III i njihova prehrana sadrži x 1 , x 2 , x 3 jedinice.
Sistem ograničenja (3.7) zajedno sa ciljnom funkcijom (3.8) čine matematički model originalnog problema. Rešiti to znači pronaći x 1 , x 2 , x 3 zadovoljavajući sistem ograničenja i invertujući vrijednost funkcije F na minimum.

Raspored tipova brodova duž linija

Izraditi takav plan za postavljanje dva tipa brodova duž tri linije, koji bi obezbijedio maksimalnu ukupnu nosivost flote, ali ne manji od obima saobraćaja koji je naveden na linijama.

Tip plovila	Produktivnost plovila, milion tona milja dnevno			Period rada, dani
	1. red	2. red	3rd line
1	str 11	str 12	str 13	s 1
2	p21	p22	str 23	s2
Ciljani obim transporta, milion tona-milja	V 1	V 2	V 3

Ekonomsko-matematički model problema.
Ograničenja u periodu rada:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Ograničenja isporuke:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

ciljna funkcija
p 11 x 1 +p 12 x 2 +p 13 x 3 +p 21 x 4 +p 22 x 5 +p 23 x 6 → max

Pitanja za samokontrolu
1. Iskaz transportnog problema. opisati konstrukciju matematičkog modela.
2. Šta je uravnotežen i neuravnotežen transportni problem?
3. Šta se računa u funkciji cilja transportnog zadatka?
4. Šta odražava svaka nejednakost sistema ograničenja planskog problema?
5. Šta odražava svaka nejednakost sistema ograničenja problema mješavine?
6. Šta znače varijable u problemu plana i problemu mješavine?

Matematičko modeliranje

1. Šta je matematičko modeliranje?

Od sredine XX veka. široko se koristi u raznim oblastima ljudske aktivnosti matematičke metode i kompjuter. Pojavile su se nove discipline kao što su "matematička ekonomija", "matematička hemija", "matematička lingvistika" itd. koje proučavaju matematičke modele odgovarajućih objekata i pojava, kao i metode za proučavanje ovih modela.

Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnom svijetu na jeziku matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje ovih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. Međutim, modeliranje je i metoda spoznaje okolnog svijeta, koja omogućava njegovu kontrolu.

Matematičko modeliranje i povezani kompjuterski eksperimenti su neophodni u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz ovog ili onog razloga. Na primjer, nemoguće je postaviti eksperiment punog opsega u historiji kako bi se provjerilo “šta bi se dogodilo ako...” Nemoguće je provjeriti ispravnost ove ili one kosmološke teorije. U principu, moguće je, ali teško razumno, eksperimentirati sa širenjem neke vrste bolesti, poput kuge, ili izvesti nuklearnu eksploziju kako bi se proučile njene posljedice. Međutim, sve se to može uraditi na računaru, nakon što su prethodno izgrađeni matematički modeli proučavanih pojava.

2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izgradnja modela. U ovoj fazi se precizira neki "nematematički" objekat - prirodni fenomen, konstrukcija, ekonomski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, po pravilu, jasan opis situacije je težak. Prvo se identifikuju glavne karakteristike fenomena i odnos između njih na kvalitativnom nivou. Zatim se pronađene kvalitativne zavisnosti formulišu jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteži dio modeliranja.

2) Rešenje matematički problem, do koje vodi model. U ovoj fazi se velika pažnja poklanja razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računaru, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći sa potrebnom tačnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobijenih posledica iz matematičkog modela. Posljedice izvedene iz modela na jeziku matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovoj oblasti.

4) Provjera adekvatnosti modela. U ovoj fazi se utvrđuje da li se rezultati eksperimenta slažu sa teorijskim posljedicama iz modela sa određenom preciznošću.

5) Modifikacija modela. U ovoj fazi model ili postaje složeniji kako bi bio adekvatniji stvarnosti, ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

3. Klasifikacija modela

Modeli se mogu klasifikovati prema različitim kriterijumima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturalne. U prvom slučaju, kvantitativno se izražavaju sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet. Istovremeno, neke od njih se smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama ovih veličina. Matematički model je obično sistem jednačina različitih tipova (diferencijalni, algebarski, itd.) koji uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta, koji se sastoji od zasebnih dijelova, između kojih postoje određene veze. Obično se ovi odnosi ne mogu kvantificirati. Za izgradnju takvih modela zgodno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekat, koji je skup tačaka (vrhova) na ravni ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (ivicama).

Prema prirodi početnih podataka i rezultata predviđanja, modeli se mogu podijeliti na determinističke i vjerovatno-statističke. Modeli prvog tipa daju definitivna, nedvosmislena predviđanja. Modeli drugog tipa zasnivaju se na statističkim informacijama, a predviđanja dobijena uz pomoć njih su vjerovatnoće prirode.

4. Primjeri matematičkih modela

1) Problemi oko kretanja projektila.

Razmotrimo sljedeći problem u mehanici.

Projektil ispaljen sa Zemlje početna brzina v 0 = 30 m/s pod uglom a = 45° prema njegovoj površini; potrebno je pronaći putanju njegovog kretanja i udaljenost S između početne i krajnje tačke ove putanje.

Tada se, kao što je poznato iz školskog predmeta fizike, gibanje projektila opisuje formulama:

gdje je t - vrijeme, g = 10 m/s 2 - ubrzanje slobodnog pada. Ove formule daju matematički model zadatka. Izrazivši t u terminima x iz prve jednačine i zamijenivši ga u drugu, dobijamo jednačinu za putanju projektila:

Ova kriva (parabola) siječe x-os u dvije tačke: x 1 = 0 (početak putanje) i (mesto gde je projektil pao). Zamjenom datih vrijednosti v0 i a u dobijene formule dobijamo

odgovor: y = x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Imajte na umu da su u konstrukciji ovog modela korištene brojne pretpostavke: na primjer, pretpostavlja se da je Zemlja ravna, a zrak i rotacija Zemlje ne utiču na kretanje projektila.

2) Problem rezervoara sa najmanjom površinom.

Potrebno je pronaći visinu h 0 i poluprečnik r 0 limenog rezervoara zapremine V = 30 m 3, koji ima oblik zatvorenog kružnog cilindra, pri čemu je njegova površina S minimalna (u ovom slučaju, najmanja količina kalaja će ići u njegovu proizvodnju).

Za volumen i površinu cilindra visine h i polumjera r pišemo sljedeće formule:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Izražavajući h u terminima r i V iz prve formule i zamjenjujući rezultirajući izraz u drugu, dobivamo:

Dakle, sa matematičke tačke gledišta, problem se svodi na određivanje vrijednosti r pri kojoj funkcija S(r) dostiže svoj minimum. Nađimo one vrijednosti r 0 za koje je izvod

ide na nulu: Možete provjeriti da li drugi izvod funkcije S(r) mijenja predznak iz minusa u plus kada argument r prolazi kroz tačku r 0 . Dakle, funkcija S(r) ima minimum u tački r0. Odgovarajuća vrijednost h 0 = 2r 0 . Zamjenom date vrijednosti V u izraz za r 0 i h 0, dobijamo željeni polumjer i visina

3) Transportni zadatak.

U gradu postoje dva magacina brašna i dvije pekare. Dnevno se iz prvog skladišta izvozi 50 tona brašna, a iz drugog u fabrike 70 tona, od čega 40 tona u prvo i 80 tona u drugo.

Označiti sa a ij trošak transporta 1 tone brašna od i-tog skladišta do j-ta biljka(i, j = 1,2). Neka

a 11 \u003d 1,2 str., a 12 \u003d 1,6 str., a 21 \u003d 0,8 str., a 22 = 1 str.

Kako planirati transport da bi njihov trošak bio minimalan?

Hajde da problemu damo matematičku formulaciju. Sa x 1 i x 2 označavamo količinu brašna koja se mora transportovati iz prvog skladišta do prve i druge fabrike, a preko x 3 i x 4 - od drugog magacina do prve i druge fabrike. onda:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Ukupni trošak cjelokupnog transporta određuje se formulom

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Sa matematičke tačke gledišta, zadatak je pronaći četiri broja x 1 , x 2 , x 3 i x 4 koji zadovoljavaju sve date uslove i daju minimum funkcije f. Rešimo sistem jednačina (1) u odnosu na xi (i = 1, 2, 3, 4) metodom eliminacije nepoznanica. Shvatili smo to

x 1 = x 4 - 30, x 2 = 80 - x 4, x 3 = 70 - x 4, (2)

i x 4 se ne može jednoznačno odrediti. Pošto je x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), iz jednačina (2) slijedi da je 30J x 4 J 70. Zamjenom izraza za x 1 , x 2 , x 3 u formulu za f dobijamo

f = 148 - 0,2x 4.

Lako je vidjeti da se minimum ove funkcije postiže pri maksimalnoj mogućoj vrijednosti od x 4, odnosno pri x 4 = 70. Odgovarajuće vrijednosti ostalih nepoznanica određene su formulama (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problem radioaktivnog raspada.

Neka je N(0) početni broj atoma radioaktivne supstance, a N(t) broj neraspadnutih atoma u trenutku t. Eksperimentalno je utvrđeno da je brzina promjene broja ovih atoma N "(t) proporcionalna N (t), odnosno N" (t) = -l N (t), l > 0 je konstanta radioaktivnosti date supstance. U školskom kursu matematičke analize pokazano je da rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima oblik N(t) = N(0)e –l t . Vrijeme T, tokom kojeg se broj početnih atoma prepolovio, naziva se poluživotom i važna je karakteristika radioaktivnosti tvari. Za određivanje T potrebno je unijeti formulu Onda Na primjer, za radon l = 2,084 10–6, a time i T = 3,15 dana.

5) Problem trgovačkog putnika.

Prodavac koji živi u gradu A 1 treba da posjeti gradove A 2 , A 3 i A 4 , svaki grad tačno jednom, a zatim se vrati nazad u A 1 . Poznato je da su svi gradovi povezani u parove putevima, a dužine puteva b ij između gradova A i i A j (i, j = 1, 2, 3, 4) su sljedeće:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Potrebno je odrediti redoslijed obilaska gradova, u kojima je dužina odgovarajućeg puta minimalna.

Opišimo svaki grad kao tačku na ravni i označimo ga odgovarajućom oznakom Ai (i = 1, 2, 3, 4). Povežimo ove tačke sa linijama: one će prikazivati ​​puteve između gradova. Za svaki „put“ označavamo njegovu dužinu u kilometrima (slika 2). Rezultat je graf - matematički objekat koji se sastoji od određenog skupa tačaka na ravni (koji se nazivaju vrhovi) i određenog skupa linija koje povezuju ove tačke (zvane ivice). Štaviše, ovaj graf je označen, jer su neke oznake dodijeljene njegovim vrhovima i rubovima - brojevima (ivicama) ili simbolima (verticima). Ciklus na grafu je niz vrhova V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 tako da su vrhovi V 1 , ..., V k različiti, a bilo koji par vrhova V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) i par V 1 , V k povezani su ivicom. Dakle, problem koji se razmatra je pronaći takav ciklus na grafu koji prolazi kroz sva četiri vrha za koji je zbir svih težina rubova minimalan. Pretražimo kroz sve različite cikluse koji prolaze kroz četiri vrha i počinju od A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Nađimo sada dužine ovih ciklusa (u km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Dakle, ruta najmanje dužine je prva.

Imajte na umu da ako u grafu ima n vrhova i svi vrhovi su povezani u parovima ivicama (takav graf se naziva kompletnim), tada je broj ciklusa koji prolaze kroz sve vrhove jednak. Dakle, u našem slučaju postoje tačno tri ciklusa .

6) Problem nalaženja veze između strukture i svojstava supstanci.

Razmotrite nekoliko hemijskih spojeva koji se nazivaju normalni alkani. Sastoje se od n atoma ugljika i n + 2 atoma vodika (n = 1, 2 ...), međusobno povezanih kao što je prikazano na slici 3 za n = 3. Neka su poznate eksperimentalne vrijednosti tačaka ključanja ovih jedinjenja:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Potrebno je pronaći približan odnos između tačke ključanja i broja n za ova jedinjenja. Pretpostavljamo da ova zavisnost ima oblik

y » a n+b

gdje a, b - konstante koje treba odrediti. Za pronalaženje a i b u ovu formulu sukcesivno zamjenjujemo n = 3, 4, 5, 6 i odgovarajuće vrijednosti tačaka ključanja. Imamo:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Da odredimo najbolje a i b postoji mnogo različitih metoda. Koristimo najjednostavniji od njih. Izražavamo b u terminima a iz ovih jednačina:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Uzmimo kao željeno b aritmetičku sredinu ovih vrijednosti, odnosno stavimo b » 16 - 4,5 a. Zamenimo ovu vrednost b u originalni sistem jednačina i, računajući a, dobijamo za a sljedeće vrijednosti: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a prosječnu vrijednost ovih brojeva, odnosno stavljamo a» 34. Dakle, željena jednačina ima oblik

y » 34n – 139.

Provjerimo tačnost modela na početna četiri spoja, za koje izračunavamo tačke ključanja koristeći dobijenu formulu:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Dakle, greška proračuna ove osobine za ova jedinjenja ne prelazi 5°. Dobivenu jednačinu koristimo za izračunavanje tačke ključanja jedinjenja sa n = 7, koje nije uključeno u početni skup, za koji u ovu jednačinu zamenjujemo n = 7: y r (7) = 99°. Rezultat se pokazao prilično tačnim: poznato je da je eksperimentalna vrijednost tačke ključanja y e (7) = 98°.

7) Problem određivanja pouzdanosti električnog kola.

Ovdje razmatramo primjer vjerovatnog modela. Prvo, dajmo neke informacije iz teorije vjerovatnoće - matematičke discipline koja proučava obrasce slučajnih pojava uočenih tokom višestrukog ponavljanja eksperimenta. Nazovimo slučajni događaj A mogućim ishodom nekog iskustva. Događaji A 1 , ..., A k čine kompletnu grupu ako se jedan od njih nužno javlja kao rezultat eksperimenta. Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu dogoditi istovremeno u istom iskustvu. Neka se događaj A dogodi m puta tokom n-strukog ponavljanja eksperimenta. Učestalost događaja A je broj W = . Očigledno, vrijednost W se ne može točno predvidjeti dok se ne izvede serija od n eksperimenata. Međutim, priroda slučajnih događaja je takva da se u praksi ponekad uočava sljedeći efekat: s povećanjem broja eksperimenata, vrijednost praktično prestaje biti slučajna i stabilizira se oko nekog neslučajnog broja P(A), koji se naziva vjerovatnoća događaja A. Za nemoguć događaj (koji se nikada ne događa u eksperimentu) P(A)=0, a za određeni događaj (koji se uvijek događa u eksperimentu) P(A)=1. Ako događaji A 1 , ..., A k čine kompletnu grupu nekompatibilnih događaja, tada je P(A 1)+...+P(A k)=1.

Neka se, na primjer, iskustvo sastoji u bacanju kocke i promatranju broja ispuštenih bodova X. Tada možemo uvesti sljedeće slučajne događaje A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Oni formiraju kompletna grupa nekompatibilnih jednako vjerovatnih događaja, dakle P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Zbir događaja A i B je događaj A + B, koji se sastoji u činjenici da se barem jedan od njih dogodi u eksperimentu. Proizvod događaja A i B je događaj AB, koji se sastoji u istovremenom nastanku ovih događaja. Za nezavisne događaje A i B, formule su tačne

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Razmotrite sada sljedeće zadatak. Pretpostavimo da su tri elementa povezana serijski u električni krug, koji rade nezavisno jedan od drugog. Vjerovatnoće kvara 1., 2. i 3. elementa su P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Krug ćemo smatrati pouzdanim ako je vjerovatnoća da neće biti struje u kolu nije veća od 0,4. Potrebno je utvrditi da li je dati lanac pouzdan.

Budući da su elementi povezani u seriju, neće biti struje u kolu (događaj A) ako barem jedan od elemenata pokvari. Neka A i bude događaj koji i-ti element radi (i = 1, 2, 3). Tada je P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Očigledno, A 1 A 2 A 3 je događaj da sva tri elementa rade istovremeno, i

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Tada je P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, pa je P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

U zaključku, napominjemo da su navedeni primjeri matematički modeli(među kojima postoje funkcionalni i strukturni, deterministički i probabilistički) su ilustrativni i, očigledno, ne iscrpljuju čitavu raznolikost matematičkih modela koji se javljaju u prirodnim i humanističkim naukama.

1. Matematičko modeliranje

i proces kreiranja matematičkog modela.

Matematičko modeliranje je metoda proučavanja objekata i procesa stvarnog svijeta koristeći njihove približne opise na jeziku matematike - matematički modeli.

Proces stvaranja matematičkog modela može se uslovno podijeliti u nekoliko glavnih faza:

1) izgradnja matematičkog modela;

2) formulisanje, istraživanje i rešavanje odgovarajućih računarskih problema;

3) provjera kvaliteta modela u praksi i modifikacija modela.

Razmotrite glavni sadržaj ovih faza.

Konstrukcija matematičkog modela. Matematički model je analitički izraz koji se nalazi kao rezultat analize određenog fizičkog sistema ili pojave, koji uključuje nekoliko nepoznatih parametara ovog sistema ili pojave, koji se utvrđuju na osnovu eksperimentalnih podataka. Uz pomoć zapažanja i eksperimenata, praksa otkriva glavne "karakteristike" fenomena, koje se uspoređuju s nekim količinama. Ove veličine po pravilu poprimaju numeričke vrijednosti, odnosno to su varijable, vektori, matrice, funkcije itd.

Uspostavljene unutrašnje veze između „karakteristika“ fenomena dobijaju se u obliku jednakosti, nejednakosti, jednačina i logičkih struktura koje povezuju veličine uključene u matematički model. Tako matematički model postaje zapis na jeziku matematike o zakonima prirode.

Naglašavamo da matematički model neizbježno predstavlja kompromis između beskonačne složenosti fenomena koji se proučava i željene jednostavnosti njegovog opisa.

Matematički modeli se često dijele na statičke i dinamičke. Statički model opisuje pojavu ili situaciju pod pretpostavkom njihove potpunosti, nepromjenjivosti (tj. u statici). Dynamic Model opisuje kako se fenomen odvija ili situacija mijenja iz jednog stanja u drugo (tj. u dinamici). Kada se koriste dinamički modeli, u pravilu se postavlja početno stanje sistema, a zatim se proučava promjena tog stanja tokom vremena. U dinamičkim modelima, željeno rješenje je često funkcija vremena y=y(t), varijabla t u takvim se modelima, u pravilu, izdvaja i igra posebnu ulogu.

Postavljanje, istraživanje i rješavanje računskih problema. Da bi se pronašle vrijednosti veličina koje su od interesa za istraživača ili da bi se saznala priroda ovisnosti o drugim veličinama uključenim u matematički model, postavljaju se i rješavaju matematički problemi.

Otkrijmo glavne vrste problema koje treba riješiti. Da bismo to učinili, sve količine uključene u matematički model uvjetno dijelimo u tri grupe:

1) početni (ulazni) podaci x,

2) parametri modelaa,

3) željeno rješenje (izlazni podaci) y.

1). Najčešće rješenje je tzv direktnim zadacima, čija je postavka sljedeća: datu vrijednost ulazni podaci X za fiksne vrijednosti parametara a potrebno je pronaći rješenje y. Proces rješavanja direktnog problema može se posmatrati kao matematičko modeliranje uzročno-posljedične veze svojstvene pojavi. Zatim unos X karakterizira "uzroke" fenomena koji se daju i mijenjaju u procesu istraživanja, te željeno rješenje y -"posljedica".

Da bi matematički opis bio primenljiv ne na jednu pojavu, već na širok spektar pojava bliskih prirodi, u stvarnosti se ne gradi jedan matematički model, već određena parametarska porodica modela. Odabir određenog modela iz ove porodice vrši se fiksiranjem vrijednosti parametara modela a. Na primjer, neki od koeficijenata uključenih u jednačine mogu djelovati kao takvi parametri.

2). Važnu ulogu igra i rješenje tzv inverzni problemi koji se sastoji u definiciji ulaznih podataka X za ovu vrijednost at(parametri modela a, kao iu direktnom problemu, popravljeni su). Rješenje inverznog problema je, u određenom smislu, pokušaj da se otkrije koji su "razlozi" x dovelo do dobro poznate "posljedice" y. obično, inverzni problemi teže se rješavaju od direktnih.

3). Pored dva razmatrana tipa zadataka, treba spomenuti još jednu vrstu - zadaci identifikacije. U širem smislu, zadatak identifikacije modela je zadatak odabira između mnogih mogućih modela onaj koji najbolje opisuje fenomen koji se proučava. U ovoj formulaciji ovaj problem izgleda kao praktično nerešiv problem. Češće se problem identifikacije shvata u užem smislu, kao problem izbora određenog matematičkog modela iz date parametarske porodice modela (odabirom njegovih parametara a) kako bi se posledice modela uskladile sa rezultatima posmatranja. na optimalan način u smislu određenog kriterijuma.

Ove tri vrste problema (direktni, inverzni i identifikacioni problemi) će se nazvati računarski zadaci. Radi lakšeg prikaza, u nastavku ćemo, bez obzira na vrstu problema koji se rješava, skup veličina koje treba odrediti zvati željeno rješenje i označeno sa y, i skup vrijednosti ulazni podaci i označeno sa X.

Rješenje računskog problema se po pravilu ne može izraziti u vidu ulaznih podataka u obliku konačne formule. Međutim, to uopće ne znači da se rješenje za takav problem ne može naći. Postoje posebne metode tzv numerički(ili računarstvo). Omogućuju vam da smanjite prijem numeričke vrijednosti rješenja na niz aritmetičkih operacija na numeričkim vrijednostima ulaznih podataka. Međutim, numeričke metode su rijetko korištene za rješavanje problema, jer njihova upotreba uključuje izvođenje gigantske količine proračuna. Stoga je u većini slučajeva, prije pojave računara, bilo potrebno izbjegavati korištenje složenih matematičkih modela i proučavati fenomene u najjednostavnijim situacijama, kada je moguće pronaći analitičko rješenje. Nesavršenost računarskog aparata postala je faktor koji je sputavao raširenu upotrebu matematičkih modela u nauci i tehnologiji.

Pojava kompjutera je dramatično promijenila situaciju. Klasa matematičkih modela koji se mogu detaljno proučavati dramatično se proširila. Rješenje mnogih, donedavno nedostupnih, računskih problema postalo je svakodnevna stvarnost.

Provjera kvaliteta modela u praksi i modifikacija modela. U ovoj fazi se razjašnjava prikladnost matematičkog modela za opisivanje fenomena koji se proučava. Teorijski zaključci i konkretni rezultati koji proizlaze iz hipotetičkog matematičkog modela uspoređuju se s eksperimentalnim podacima. Ako su jedni drugima u suprotnosti, tada je odabrani model neprikladan i treba ga revidirati, vraćajući se na prvu fazu. Ako se rezultati poklapaju sa tačnošću prihvatljivom za opisivanje ovog fenomena, tada se model može smatrati prikladnim. Naravno, potrebna su dodatna istraživanja kako bi se utvrdio stepen pouzdanosti modela i granice njegove primenljivosti.

Pitanja za pregled:

1. Šta je matematički model?

2. Koje su glavne faze izgradnje matematičkog modela?

3. Glavne vrste zadataka koje treba riješiti?

2. Glavne faze rješavanja inženjeringa

zadaci potpomognuti kompjuterom

Rješenje inženjerskog problema korištenjem računara može se podijeliti u nekoliko uzastopnih faza. Izdvajamo sljedeće faze:

1) iskaz problema;

2) izbor ili konstrukcija matematičkog modela;

3) iskaz računskog problema;

4) preliminarnu (predmašinsku) analizu svojstava računskog problema;

5) izbor ili konstrukcija numeričke metode;

6) algoritmizacija i programiranje;

7) otklanjanje grešaka u programu;

8) račun za program;

9) obradu i interpretaciju rezultata;

10) korišćenje rezultata i korekcija matematičkog modela.

inscenacija Problemi. U početku je primijenjeni problem formuliran u najopćenitijem obliku:

Istražite neki fenomen

Dizajnirajte uređaj sa datim svojstvima

Dajte prognozu ponašanja nekog objekta pod određenim uslovima itd.

U ovoj fazi dolazi do specifikacije iskaza problema. Pritom se primarna pažnja posvećuje razjašnjavanju svrhe studije.

Ova veoma važna i odgovorna faza završava se specifičnom formulacijom problema na jeziku koji je prihvaćen u ovoj oblasti. Poznavanje mogućnosti koje nudi upotreba računara može imati značajan uticaj na konačnu formulaciju problema.

Izbor ili konstrukcija matematičkog modela. Za kasniju analizu fenomena ili predmeta koji se proučava potrebno je dati njegov formalizovani opis na jeziku matematike, odnosno izgraditi matematički model. Često je moguće izabrati model među poznatim i prihvaćenim za opisivanje odgovarajućih procesa, ali često je potrebna i značajna modifikacija poznatog modela, a ponekad postaje neophodno izgraditi fundamentalno novi model.

Izjava računskog problema. Na osnovu prihvaćenog matematičkog modela formuliše se računski problem (ili više takvih problema). Analizirajući rezultate njegovog rješenja, istraživač očekuje da će dobiti odgovore na svoja pitanja.

Preliminarna analiza svojstava računskog problema. U ovoj fazi se vrši preliminarna (predmašinska) studija svojstava računskog problema, pojašnjenje postojanja i jedinstvenosti rješenja, kao i proučavanje stabilnosti rješenja problema na greške u ulaznim podacima. se sprovode.

Izbor ili konstrukcija numeričke metode. Za rješavanje računskog problema na računaru potrebna je upotreba numeričkih metoda.

Često se rješenje inženjerskog problema svodi na konzistentno rješenje standardni računski problemi za koje su razvijene efikasne numeričke metode. U ovoj situaciji postoji ili izbor između poznatih metoda, ili njihovo prilagođavanje karakteristikama problema koji se rješava. Međutim, ako je računski problem koji se pojavljuje nov, onda je moguće da ne postoje gotove metode za njegovo rješavanje.

Za rješavanje istog računskog problema obično se može koristiti nekoliko metoda. Neophodno je poznavati karakteristike ovih metoda, kriterijume po kojima se ocenjuje njihov kvalitet, da bi se izabrala metoda koja omogućava rešavanje problema na najefikasniji način. Ovdje je izbor daleko od jasnog. To značajno zavisi od zahteva za rešenjem, od raspoloživih resursa, od računarske tehnologije koja je dostupna za korišćenje itd.

Algoritamizacija i programiranje. U pravilu, numerički metod odabran u prethodnoj fazi sadrži samo dijagram strujnog kola rješavanje problema koji ne uključuje mnogo detalja, bez kojih je implementacija metode na računaru nemoguća. Detaljna specifikacija svih faza proračuna neophodna je da bi se dobio algoritam implementiran na računaru. Prevođenje programa svodi se na prevođenje ovog algoritma u odabrani programski jezik.

Postoje biblioteke iz kojih korisnici iz gotovih modula svoje programe, ili, u ekstremnim slučajevima, moraju pisati program od nule.

Otklanjanje grešaka programa. U ovoj fazi, uz pomoć računara, otkrivaju se i ispravljaju greške u programu.

Nakon otklanjanja programskih grešaka, potrebno je izvršiti temeljno testiranje programa – provjeru ispravnosti njegovog rada na posebno odabranim test problemima sa poznatim rješenjima.

Programski račun. U ovoj fazi, problem se rješava na računaru prema kompajliranom programu u automatskom načinu rada. Ovaj proces, tokom kojeg se ulazni podaci pretvaraju od strane računara u rezultat, naziva se računarski proces. U pravilu, proračun se ponavlja više puta s različitim ulaznim podacima kako bi se dobila prilično potpuna slika ovisnosti rješenja problema o njima.

obrada i interpretacija rezultata. Izlazni podaci dobijeni kao rezultat kompjuterskih proračuna, po pravilu su veliki nizovi brojeva, koji se zatim predstavljaju u obliku pogodnom za percepciju.

Korištenje rezultata i korekcija matematičkog modela. Završna faza je korištenje rezultata proračuna u praksi, drugim riječima, za implementaciju rezultata.

Vrlo često analiza rezultata provedena u fazi njihove obrade i interpretacije ukazuje na nesavršenost korištenog matematičkog modela i potrebu njegove korekcije. U ovom slučaju se modifikuje matematički model (u ovom slučaju, po pravilu, postaje sve komplikovaniji) i započinje novi ciklus rešavanja problema.

Pitanja za pregled:

1. Glavne faze rješavanja inženjerskog problema korištenjem računara?

3. Računski eksperiment

Kreiranje matematičkih modela i rješavanje inženjerskih problema korištenjem kompjutera zahtijeva veliki obim posla. Lako je vidjeti analogiju s odgovarajućim radom obavljenim u organizaciji eksperimenata u punoj mjeri: izrada programa eksperimenata, izrada eksperimentalne postavke, izvođenje kontrolnih eksperimenata, izvođenje serijskih eksperimenata) obrada eksperimentalnih podataka i njihova interpretacija itd. Međutim, računski eksperiment se ne izvodi na stvarnom objektu, već na njegovom matematičkom modelu, a ulogu eksperimentalne postavke igra računalo opremljeno posebno razvijenim programom. S tim u vezi, prirodno je razmotriti izvođenje velikih složenih proračuna u rješavanju inženjerskih i naučno-tehničkih problema kao računarski eksperiment, i redoslijed faza rješenja opisanog u prethodnom paragrafu kao jedan od njegovih ciklusa.

Napomenimo neke prednosti računskog eksperimenta u odnosu na prirodni:

1. Računski eksperiment je obično jeftiniji od fizičkog.

2. Ovaj eksperiment se može lako i sigurno mijenjati.

3. Može se ponoviti ponovo (ako je potrebno) i prekinuti u bilo kom trenutku.

4. Tokom ovog eksperimenta možete simulirati uslove koji se ne mogu stvoriti u laboratoriji.

Napominjemo da je u velikom broju slučajeva teško (a ponekad i nemoguće) provesti eksperiment punog opsega, budući da se proučavaju brzi procesi, istražuju se objekti koji su teško dostupni ili općenito nedostupni. Često je prirodni eksperiment punog opsega povezan sa katastrofalnim ili nepredvidivim posljedicama ( nuklearni rat, skretanje sibirskih rijeka) ili sa opasnošću po život ili zdravlje ljudi. Često je potrebno proučiti i predvidjeti rezultate katastrofalnih događaja (akcidenta nuklearnog reaktora u nuklearnoj elektrani, globalno zagrijavanje, potres). U tim slučajevima, kompjuterski eksperiment može postati glavno sredstvo istraživanja. Imajte na umu da je uz njegovu pomoć moguće predvidjeti svojstva novih, još nestvorenih struktura i materijala u fazi njihovog dizajna.

Značajan nedostatak računarskog eksperimenta je to što je primjenjivost njegovih rezultata ograničena prihvaćenim matematičkim modelom.

Stvaranje novog proizvoda ili tehnološkog procesa uključuje izbor između velikog broja alternativnih opcija, kao i optimizaciju za niz parametara. Stoga se u toku računskog eksperimenta proračuni izvode više puta sa različite vrijednosti ulazni parametri. Za postizanje željenih rezultata sa potrebnom preciznošću iu prihvatljivom vremenskom okviru, potrebno je minimalno vrijeme utrošiti na proračun svake opcije.

Razvoj softvera za računarski eksperiment u specifičnoj oblasti inženjerske delatnosti dovodi do stvaranja velikog softverskog paketa. Sastoji se od međusobno povezanih aplikativnih programa i sistemskih alata, uključujući alate koji se pružaju korisniku za upravljanje tokom računarskog eksperimenta, obradu i prezentaciju njegovih rezultata. Ovaj skup programa se ponekad naziva problemski orijentisani paket aplikacija.

Pitanja za pregled:

1. Prednosti kompjuterskog eksperimenta u odnosu na prirodni?

2. Nedostaci računarskog eksperimenta?

4. Najjednostavniji načini rješavanja problema

4.1. Pronalaženje korijena funkcije.

Metoda podjele segmenta po spolu(Willi metoda).

Dijelimo segment na pola ( AC=SW). Odaberite polovicu gdje funkcija siječe os 0x, zatim označite OD per AT, tj. C=B i ponovo ga podijelite na pola. Odabir polovice vrši proizvod ¦( I)´¦( AT). Ako je proizvod veći od 0, tada nema korijena.

Metoda akorda (sekanti).

(B-A)/2£ En³ log 2((B-A)/2)

(y-y 0)(x-x 1)=(y-y 1)(x-x 0)

y=0; y 0(x-x 1)=y 1(x-x 0)

Koncept matematičkog modela

Zamislite avion: krila, trup, rep, sve to zajedno - pravi ogroman, ogroman, cijeli avion. I možete napraviti model aviona, mali, ali sve je stvarno, ista krila itd., ali kompaktno. Takav je i matematički model. Postoji problem sa tekstom, glomazan, možete ga pogledati, pročitati, ali ga ne razumjeti sasvim, a još više nije jasno kako ga riješiti. Ali šta ako napravimo mali model od toga, matematički model, od velikog verbalnog problema? Šta znači matematički? Dakle, koristeći pravila i zakone matematička notacija, pretvoriti tekst u logički ispravan prikaz koristeći brojeve i aritmetičke znakove. dakle, Matematički model je prikaz realne situacije pomoću matematičkog jezika.

Počnimo jednostavno: broj je veći od broja za. Moramo to zapisati bez upotrebe riječi, samo jezikom matematike. Ako više za, onda se ispostavlja da ako oduzmemo od, onda će sama razlika ovih brojeva ostati jednaka. One. ili. Shvatili ste suštinu?

Sada je sve komplikovanije, sad će biti tekst koji bi trebalo da pokušate da predstavite u vidu matematičkog modela, dok ne pročitate kako ću ja to da uradim, pokušajte sami! Postoje četiri broja: , i. Proizvod i više proizvoda i dva puta.

Šta se desilo?

U obliku matematičkog modela, to će izgledati ovako:

One. proizvod se odnosi na dva prema jedan, ali ovo se može dodatno pojednostaviti:

Pa, sa jednostavnim primjerima, pretpostavljam da ste shvatili poentu. Prijeđimo na punopravne zadatke u kojima je potrebno riješiti i ove matematičke modele! Evo zadatka.

Matematički model u praksi

Zadatak 1

Nakon kiše nivo vode u bunaru može porasti. Dječak mjeri vrijeme pada sitnog kamenčića u bunar i izračunava udaljenost do vode koristeći formulu, gdje je udaljenost u metrima, a vrijeme pada u sekundama. Prije kiše vrijeme pada kamenčića bilo je s. Za koliko mora porasti nivo vode nakon kiše da bi se izmjereno vrijeme promijenilo u s? Izrazite svoj odgovor u metrima.

Moj bože! Koje formule, kakav bunar, šta se dešava, šta da se radi? Jesam li ti pročitao misli? Opustite se, u zadacima ovog tipa uslovi su još strašniji, važno je zapamtiti da vas u ovom zadatku zanimaju formule i odnosi između varijabli, a šta sve to znači u većini slučajeva nije mnogo bitno. Šta vidite ovdje korisnim? Ja lično vidim. Princip rješavanja ovih problema je sljedeći: uzimate sve poznate količine i zamjenjujete ih.Ali ponekad morate razmišljati!

Slijedeći moj prvi savjet i zamjenom svih poznatih u jednadžbu, dobivamo:

Ja sam zamenio vreme sekunde i pronašao visinu kojom je kamen poleteo pre kiše. A sada treba da prebrojimo posle kiše i pronađemo razliku!

Sada poslušajte drugi savjet i razmislite o njemu, pitanje precizira "koliko mora porasti nivo vode nakon kiše da bi se izmjereno vrijeme promijenilo za s". Treba to odmah shvatiti,aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaаааааааааа je jeoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooбo , nakon kiše nivo vode raste, što znači da je manje vremena da kamen padne na nivo vode, a tu traje kićena fraza "da se izmjereno vrijeme mijenja" na određeno značenje: vrijeme pada se ne povećava, već se smanjuje za naznačene sekunde. To znači da u slučaju bacanja nakon kiše treba samo da oduzmemo c od početnog vremena c i dobijemo jednačinu za visinu kojom će kamen doletjeti nakon kiše:

I na kraju, da biste pronašli koliko bi nivo vode trebao porasti nakon kiše, tako da se izmjereno vrijeme promijeni za s, samo trebate oduzeti drugu visinu od prve visine pada!

Dobijamo odgovor: po metru.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano, što je najvažnije, nemojte se previše zamarati otkud ovakva nerazumljiva i ponekad složena jednačina u uslovima i šta sve u njoj znači, vjerujte mi na riječ, većina ovih jednačina je preuzeto iz fizike, a tamo je džungla gora nego u algebri. Ponekad mi se čini da su ovi zadaci izmišljeni da bi studenta na ispitu zastrašili obiljem složenih formula i pojmova, a u većini slučajeva ne zahtijevaju gotovo nikakvo znanje. Samo pažljivo pročitajte uvjet i zamijenite poznate vrijednosti u formuli!

Evo još jednog problema, ne više iz fizike, već iz svijeta ekonomske teorije, iako ovdje opet nije potrebno poznavanje drugih nauka osim matematike.

Zadatak 2

Ovisnost obima potražnje (jedinica mjesečno) za proizvode monopolskog preduzeća od cijene (hiljadu rubalja) data je formulom

Mjesečni prihod kompanije (u hiljadama rubalja) izračunava se pomoću formule. Odredite najvišu cijenu po kojoj će mjesečni prihod iznositi najmanje hiljadu rubalja. Dajte odgovor u hiljadama rubalja.

Pogodi šta ću sada? Da, počet ću zamjenjivati ​​ono što znamo, ali, opet, morate još malo razmisliti. Idemo od kraja, moramo pronaći na kojem. Dakle, postoji, jednako nekome, nađemo čemu je još jednako, i jednako je, pa ćemo to zapisati. Kao što vidite, ne opterećujem se posebno značenjem svih ovih veličina, samo gledam iz uslova, šta je jednako čemu, to treba da uradite. Vratimo se zadatku, već ga imate, ali kao što se sjećate, iz jedne jednačine sa dvije varijable, nijedna se ne može naći, šta učiniti? Da, još uvijek imamo neiskorištenu česticu u stanju. Ovdje već postoje dvije jednačine i dvije varijable, što znači da se sada obje varijable mogu naći - odlično!

Možete li riješiti takav sistem?

Rješavamo zamjenom, već smo to izrazili, što znači da ćemo je zamijeniti u prvu jednačinu i pojednostaviti je.

Ispostavilo se da je ovdje takva kvadratna jednadžba: , rješavamo, korijeni su ovakvi, . U zadatku je potrebno pronaći najvišu cijenu po kojoj će biti ispunjeni svi uslovi koje smo uzeli u obzir pri sastavljanju sistema. Oh, ispostavilo se da je to bila cijena. Super, pa smo pronašli cijene: i. Najviša cijena, kažete? U redu, najveći od njih, očigledno, pišemo kao odgovor. Pa, je li teško? Mislim da nije, i ne morate se previše upuštati u to!

A evo vam zastrašujuća fizika, tačnije, još jedan problem:

Zadatak 3

Za određivanje efektivne temperature zvijezda koristi se Stefan-Boltzmann zakon, prema kojem je gdje je snaga zračenja zvijezde konstanta, površina zvijezde i temperatura. Poznato je da je površina određene zvijezde jednaka, a snaga njenog zračenja jednaka W. Pronađite temperaturu ove zvijezde u stepenima Kelvina.

Gdje je jasno? Da, uslov kaže šta je jednako čemu. Ranije sam preporučio da se sve nepoznate odmah zamene, ali ovde je bolje prvo izraziti traženo nepoznato. Pogledajte kako je sve jednostavno: postoji formula i oni su poznati u njoj, i (ovo je grčko slovo "sigma". Generalno, fizičari vole grčka slova, naviknuti se na nešto). Temperatura je nepoznata. Izrazimo to u obliku formule. Kako to uraditi, nadam se da znate? Takvi zadaci za GIA u 9. razredu obično daju:

Sada ostaje zamijeniti brojeve umjesto slova na desnoj strani i pojednostaviti:

Evo odgovora: stepeni Kelvina! I kakav je to užasan zadatak bio!

Nastavljamo da mučimo probleme u fizici.

Zadatak 4

Visina iznad tla bačene lopte mijenja se u skladu sa zakonom, gdje je visina u metrima, vrijeme u sekundama koje je proteklo od bacanja. Koliko sekundi će lopta biti na visini od najmanje tri metra?

To su bile sve jednadžbe, ali ovdje je potrebno odrediti kolika je lopta bila na visini od najmanje tri metra, što znači na visini. Šta ćemo napraviti? Nejednakost, da! Imamo funkciju koja opisuje kako lopta leti, gdje je potpuno ista visina u metrima, potrebna nam je visina. Sredstva

A sada samo rješavate nejednakost, što je najvažnije, ne zaboravite promijeniti znak nejednakosti iz većeg ili jednakog u manje ili jednako kada pomnožite sa oba dijela nejednakosti kako biste se riješili minusa ispred.

Evo korijena, gradimo intervale za nejednakost:

Zanima nas interval u kojem je predznak minus, pošto nejednakost tamo poprima negativne vrijednosti, ovo je od do oba uključivo. A sada uključujemo mozak i dobro razmislimo: za nejednakost smo koristili jednačinu koja opisuje let lopte, ona nekako leti po paraboli, tj. poleti, dostigne vrhunac i padne, kako shvatiti koliko će dugo biti na visini od najmanje metara? Pronašli smo 2 prekretnice, tj. onog trenutka kada se uzdigne iznad metara i kada padne dostigne istu oznaku, ove dvije tačke se u našem obliku izražavaju u obliku vremena, tj. znamo u kojoj sekundi leta je ušao u zonu od interesa za nas (iznad metara) i u koju ju je napustio (pao ispod metra). Koliko je sekundi bio u ovoj zoni? Logično je da uzmemo vrijeme izlaska iz zone i od njega oduzmemo vrijeme ulaska u ovu zonu. Prema tome: - toliko je bio u zoni iznad metara, ovo je odgovor.

Imaš tu sreću da se većina primjera na ovu temu može uzeti iz kategorije zadataka iz fizike, pa uhvati još jedan, konačni je, pa se guraj, ostalo je jako malo!

Zadatak 5

Za grijaći element određenog uređaja eksperimentalno je dobivena temperaturna ovisnost o vremenu rada:

Gdje je vrijeme u minutama. Poznato je da se na temperaturi grijaćeg elementa iznad uređaja može pokvariti, pa se mora isključiti. Pronađite maksimalno vrijeme nakon početka rada da isključite uređaj. Izrazite svoj odgovor za nekoliko minuta.

Ponašamo se prema dobro utvrđenoj shemi, sve što je dato prvo napišemo:

Sada uzimamo formulu i izjednačavamo je s temperaturom na koju se uređaj može zagrijati što je više moguće dok ne izgori, odnosno:

Sada zamjenjujemo brojeve umjesto slova tamo gdje su poznati:

Kao što vidite, opisana je temperatura tokom rada uređaja kvadratna jednačina, što znači da je raspoređena duž parabole, tj. uređaj se zagrijava do određene temperature, a zatim se hladi. Dobili smo odgovore i stoga je tokom i tokom minuta grijanja temperatura kritična, ali između i minuta je čak i viša od granice!

Dakle, morate isključiti uređaj nakon jednog minuta.

MATEMATIČKI MODELI. UKRATKO O GLAVNOM

Najčešće se u fizici koriste matematički modeli: na kraju krajeva, vjerojatno ste morali zapamtiti desetke fizičkih formula. A formula je matematički prikaz situacije.

U OGE i Jedinstvenom državnom ispitu postoje zadaci samo na ovu temu. U USE (profilu) ovo je zadatak broj 11 (ranije B12). U OGE - zadatak broj 20.

Shema rješenja je očigledna:

1) Iz teksta uvjeta potrebno je "izolirati" korisne informacije - ono što u zadacima iz fizike pišemo pod riječju "Dato". Ovo korisne informacije su:

• Formula
• Poznate fizičke veličine.

Odnosno, svakom slovu iz formule mora biti dodijeljen određeni broj.

2) Uzmite sve poznate količine i zamijenite ih u formulu. Nepoznata vrijednost ostaje kao slovo. Sada samo trebate riješiti jednačinu (obično prilično jednostavno) i odgovor je spreman.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan položen ispit, za upis na institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se mnogo toga otvara pred njima. više mogućnosti i život postaje svetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rešenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 499 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Slični dokumenti

Značaj matematike u našem životu. Istorija računa. Razvoj metoda računske matematike u današnje vrijeme. Upotreba matematike u drugim naukama, uloga matematičkog modeliranja. Stanje matematičkog obrazovanja u Rusiji.

članak, dodan 01.05.2010


Osnovni pojmovi matematičkog modeliranja, karakteristike faza kreiranja modela zadataka planiranja proizvodnje i zadataka transporta; analitički i programski pristupi njihovom rješavanju. Simpleksna metoda za rješavanje problema linearno programiranje.

seminarski rad, dodan 11.12.2011


Proces odabira ili izgradnje modela za istraživanje određenih svojstava originala pod određenim uvjetima. Faze procesa modeliranja. Matematički modeli i njihovi tipovi. Adekvatnost matematičkih modela. Neusklađenost između originala i modela.

test, dodano 09.10.2016


Suština matematičkog modeliranja. Analitički i simulacijski matematički modeli. Geometrijska, kinematička i energetska analiza mehanizama podizno-zglobnih uređaja. Proračun za stabilnost pokretne poljoprivredne jedinice.

seminarski rad, dodan 18.12.2015


Matematičko modeliranje problema komercijalne djelatnosti na primjeru modeliranja procesa izbora proizvoda. Metode i modeli linearnog programiranja (određivanje dnevnog plana proizvodnje proizvoda koji obezbjeđuju maksimalan prihod od prodaje).

test, dodano 16.02.2011


Matematika kao izuzetno moćan i fleksibilan alat u proučavanju svijeta. Uloga matematike u industrijskoj sferi, građevinarstvu, medicini i ljudskom životu. Mjesto matematičkog modeliranja u stvaranju različitih arhitektonskih modela.

prezentacija, dodano 31.03.2015


Glavne faze matematičkog modeliranja - približan opis klase pojava ili objekata stvarnog svijeta na jeziku matematike. Metode kodiranja informacija. Izrada uređaja koji vam omogućava da prevedete Morzeov kod u mašinski kod.

seminarski rad, dodan 28.06.2011


Primena MathCAD sistema u rešavanju primenjenih problema tehničke prirode. Osnovna sredstva matematičkog modeliranja. Odluka diferencijalne jednadžbe. Korišćenje MathCad sistema za implementaciju matematičkih modela električnih kola.

seminarski rad, dodan 17.11.2016