Način distribucije slučajne varijable. Medijan i mod kontinuirane slučajne varijable

moda() kontinuirana slučajna varijabla je njena vrijednost, koja odgovara maksimalnoj vrijednosti njene gustine vjerovatnoće.

medijana() Kontinuirana slučajna varijabla je njena vrijednost, koja je određena jednakošću:

B15. binomni zakon distribucija i njene numeričke karakteristike. Binomna distribucija opisuje ponovljena nezavisna iskustva. Ovaj zakon određuje nastanak događaja jednom u nezavisni testovi, ako se vjerovatnoća pojave događaja u svakom od ovih iskustava ne mijenja od iskustva do iskustva. vjerovatnoća:

,

gdje je: poznata vjerovatnoća pojave događaja u eksperimentu, koji se ne mijenja od iskustva do iskustva;

je vjerovatnoća da se događaj neće pojaviti u eksperimentu;

je specificirani broj pojavljivanja događaja u eksperimentima;

je broj kombinacija elemenata po .

B15. Uniformni zakon raspodjele, grafovi funkcije raspodjele i gustine, numeričke karakteristike. Razmatra se kontinuirana slučajna varijabla ravnomerno raspoređeni, ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:

Očekivana vrijednost slučajna varijabla sa uniformnom distribucijom:

Disperzija može se izračunati na sljedeći način:

Standardna devijacija izgledat će ovako:

.

B17. Eksponencijalni zakon raspodjele, grafovi funkcije i gustine raspodjele, numeričke karakteristike. eksponencijalna distribucija Kontinuirana slučajna varijabla je distribucija koja je opisana sljedećim izrazom za gustinu vjerovatnoće:

,

gdje je konstantna pozitivna vrijednost.

Funkcija raspodjele vjerovatnoće u ovom slučaju ima oblik:

Matematičko očekivanje slučajne varijable sa eksponencijalnom distribucijom dobijeno je na osnovu opšta formula uzimajući u obzir činjenicu da kada:

.

Integrirajući ovaj izraz po dijelovima, nalazimo: .

Varijanca za eksponencijalnu distribuciju može se dobiti pomoću izraza:

.

Zamjenom izraza za gustinu vjerovatnoće nalazimo:

Računajući integral po dijelovima, dobijamo: .

B16. Zakon normalne raspodjele, grafovi funkcije i gustine raspodjele. Standardna normalna distribucija. Reflektirana funkcija normalna distribucija. normalno naziva se takva distribucija slučajne varijable, čija je gustina vjerovatnoće opisana Gaussovom funkcijom:

gdje je standardna devijacija;

je matematičko očekivanje slučajne varijable.

Grafikon gustine normalne distribucije naziva se normalna Gausova kriva.

B18. Markova nejednakost. Generalizirana Čebiševljeva nejednakost. Ako je za slučajnu varijablu X postoji, onda za bilo koje Markova nejednakost .

To proizilazi iz generalizovana nejednakost Čebiševa: Neka je funkcija monotono rastuća i nenegativna na . Ako je za slučajnu varijablu X postoji, onda za bilo koje nejednakost .

B19. Zakon velikih brojeva u obliku Čebiševa. Njegovo značenje. Posljedica zakona velikih brojeva u obliku Čebiševa. Zakon velikih brojeva u Bernoullijevom obliku. Ispod zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće razumije se niz teorema, u svakoj od kojih se utvrđuje činjenica asimptotske aproksimacije prosječne vrijednosti velikog broja eksperimentalnih podataka matematičkom očekivanju slučajne varijable. Dokazi ovih teorema zasnivaju se na Čebiševovoj nejednakosti. Ova nejednakost se može dobiti razmatranjem diskretne slučajne varijable s mogućim vrijednostima.

Teorema. Neka postoji konačan niz nezavisni slučajne varijable, sa istim matematičkim očekivanjima i varijacijama ograničenim istom konstantom:

Zatim, bez obzira na broj, vjerovatnoća događaja

teži jedinstvu na .

Čebiševljev teorem uspostavlja vezu između teorije vjerojatnosti, koja razmatra prosječne karakteristike čitavog skupa vrijednosti slučajne varijable, i matematičke statistike koja radi na ograničenom skupu vrijednosti ove varijable. Pokazuje da se za dovoljno veliki broj mjerenja određene slučajne varijable, aritmetička sredina vrijednosti ovih mjerenja približava matematičkom očekivanju.

U 20. Predmet i zadaci matematičke statistike. Opća i uzorkovana populacija. Metoda odabira. Math statistics- nauka o matematičke metode sistematizacija i korišćenje statističkih podataka za naučne i praktične zaključke, zasnovane na teoriji verovatnoće.

Predmet proučavanja matematičke statistike su slučajni događaji, veličine i funkcije koje karakterišu razmatrani slučajni fenomen. Sljedeći događaji su nasumični: osvajanje jednog listića na gotovinskoj lutriji, usklađenost kontrolisanog proizvoda sa utvrđenim zahtjevima, nesmetan rad automobila tokom prvog mjeseca njegovog rada, ispunjavanje od strane izvođača dnevnog rasporeda rada.

set za uzorkovanje je kolekcija nasumično odabranih objekata.

Opća populacija imenovati skup objekata od kojih je napravljen uzorak.

U 21. Metode odabira.

Metode selekcije: 1 Selekcija koja ne zahtijeva podjelu opće populacije na dijelove. To uključuje a) jednostavan nasumični nerepetitivni odabir i b) jednostavan slučajni ponovni odabir. 2) Selekcija, u kojoj se opća populacija dijeli na dijelove. To uključuje a) odabir tipa, b) mehanički odabir i c) serijski odabir.

Simple random naziva se selekcija, u kojoj se objekti izdvajaju jedan po jedan iz opće populacije.

Tipično naziva se selekcija, u kojoj se objekti ne biraju iz cijele opće populacije, već iz svakog od njenih „tipičnih“ dijelova.

Mehanički naziva se selekcija, u kojoj se opća populacija mehanički dijeli na onoliko grupa koliko ima objekata koji se uključuju u uzorak, a iz svake grupe se bira jedan objekt.

Serial tzv. selekcija, u kojoj se objekti biraju iz opće populacije ne jedan po jedan, već "serija", koji se podvrgavaju kontinuiranom ispitivanju.

B22. Statistički i varijacioni nizovi. Empirijska funkcija distribucije i njena svojstva. Varijacijska serija za diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Neka se uzme uzorak iz opće populacije, a vrijednost ispitivanog parametra promatrana je jednom, jednom, itd. Međutim, veličina uzorka Uočene vrijednosti se nazivaju opcije, a niz je varijanta napisana uzlaznim redoslijedom - varijacione serije . Broj zapažanja se zove frekvencije, i njihov odnos prema veličini uzorka - relativne frekvencije.Varijacijska serija može se predstaviti kao tabela:

X			…..
n			….

Statistička distribucija uzorka pozovite listu opcija i njihove odgovarajuće relativne frekvencije. Statistička distribucija može se zamisliti kao:

X			…..
w			….

gdje su relativne frekvencije.

Empirijska funkcija distribucije pozvati funkciju koja za svaku vrijednost x određuje relativnu frekvenciju događaja X

Među numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli potrebno je prije svega istaći one koje karakteriziraju položaj slučajne varijable na brojevnoj osi, tj. označavaju neku prosječnu, približnu vrijednost, oko koje su grupisane sve moguće vrijednosti slučajne varijable.

Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj, koji je takoreći njen „predstavnik“ i zamjenjuje ga u grubim približnim proračunima. Kada kažemo: “prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati” ili “prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno”, time označavamo određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokacija na numeričkoj osi, tj. opis pozicije.

Od karakteristika pozicije u teoriji vjerovatnoće, najvažniju ulogu igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koje se ponekad naziva jednostavno prosječnom vrijednošću slučajne varijable.

Razmotrite diskretnu slučajnu varijablu koja ima moguće vrijednosti s vjerovatnoćom. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerovatnoće. U tu svrhu prirodno je koristiti tzv. "ponderisani prosek" vrednosti, a svaku vrednost treba uzeti u obzir prilikom usrednjavanja sa "težinom" proporcionalnom verovatnoći ove vrednosti. Stoga ćemo izračunati srednju vrijednost slučajne varijable koju ćemo označiti sa:

ili, s obzirom na to,

. (5.6.1)

Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Stoga smo u razmatranje uveli jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičko očekivanje.

Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.

Imajte na umu da je u gornjoj formulaciji definicija matematičkog očekivanja važeća, striktno govoreći, samo za diskretne slučajne varijable; U nastavku ćemo generalizirati ovaj koncept na slučaj kontinuiranih veličina.

Kako bismo koncept matematičkog očekivanja učinili ilustrativnijim, okrenimo se mehaničkom tumačenju distribucije diskretne slučajne varijable. Neka se točke s apscisama nalaze na osi apscisa, u kojoj su koncentrisane mase, respektivno, i . Tada, očigledno, matematičko očekivanje definisano formulom (5.6.1) nije ništa drugo do apscisa centra gravitacije datog sistema materijalnih tačaka.

Matematičko očekivanje slučajne varijable povezano je osebujnom ovisnošću s aritmetičkom sredinom promatranih vrijednosti slučajne varijable s velikim brojem eksperimenata. Ova zavisnost je istog tipa kao i zavisnost između učestalosti i verovatnoće, naime: kod velikog broja eksperimenata, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable približava se (konvergira u verovatnoći) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisustva veze između učestalosti i vjerovatnoće, može se zaključiti kao posljedica postojanja sličnog odnosa između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja.

Zaista, razmotrite diskretnu slučajnu varijablu koju karakterizira niz distribucije:

Gdje .

Neka se naprave nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih količina poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo da se vrijednost pojavila jednom, vrijednost se pojavila jednom, općenito se vrijednost pojavila jednom. Očigledno,

Izračunajmo aritmetičku sredinu posmatranih vrijednosti veličine koju ćemo, za razliku od matematičkog očekivanja, označiti:

Ali ne postoji ništa više od učestalosti (ili statističke vjerovatnoće) događaja; ova frekvencija se može nazvati . Onda

,

one. aritmetička sredina posmatranih vrijednosti slučajne varijable jednaka je zbroju proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i frekvencija ovih vrijednosti.

Sa povećanjem broja eksperimenata, frekvencije će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Posljedično, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable s povećanjem broja eksperimenata će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) njenom matematičkom očekivanju.

Veza između aritmetičke sredine i gore formulisanog matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva. Daćemo rigorozan dokaz ovog zakona u Poglavlju 13.

Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su određeni prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Ovdje je riječ o stabilnosti aritmetičke sredine iz niza opservacija iste vrijednosti. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo ne slučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.

Svojstvo stabilnosti prosjeka za veliki broj eksperimenata je lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, vaganje bilo kojeg tijela u laboratoriju na tačnim vagama, kao rezultat vaganja svaki put dobijamo novu vrijednost; da bismo smanjili grešku opažanja, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobijenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na to povećanje, a sa dovoljno velikim brojem eksperimenata praktički prestaje da se menja.

Formula (5.6.1) za matematičko očekivanje odgovara slučaju diskretne slučajne varijable. Za kontinuiranu vrijednost, matematičko očekivanje se, naravno, više ne izražava kao zbir, već kao integral:

, (5.6.2)

gdje je gustina raspodjele količine .

Formula (5.6.2) se dobija iz formule (5.6.1), ako pojedinačne vrednosti u njoj zamenimo parametrom x koji se neprekidno menja, odgovarajuće verovatnoće - elementom verovatnoće, a konačni zbir - integralom. U nastavku ćemo često koristiti ovu metodu proširenja formula izvedenih za diskontinuirane veličine na slučaj kontinuiranih veličina.

U mehaničkom tumačenju, matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable zadržava isto značenje - apscisu težišta u slučaju kada je masa raspoređena duž ose apscise kontinuirano, sa gustinom . Ovo tumačenje često omogućava pronalaženje matematičkog očekivanja bez izračunavanja integrala (5.6.2), iz jednostavnih mehaničkih razmatranja.

Iznad smo uveli notaciju za matematičko očekivanje veličine . U nekim slučajevima, kada je vrijednost uključena u formule kao određeni broj, pogodnije je označiti je jednim slovom. U ovim slučajevima, matematičko očekivanje vrijednosti ćemo označiti kroz:

Zapis i za matematičko očekivanje će se u budućnosti koristiti paralelno, u zavisnosti od pogodnosti jedne ili druge notacije formula. Složimo se, ako je potrebno, da riječi "matematičko očekivanje" skratimo slovima m.o.

Treba napomenuti da najvažnija karakteristika pozicije - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je sastaviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju.

Razmotrimo, na primjer, diskontinuiranu slučajnu varijablu s nizom distribucije:

Lako je provjeriti da, tj. serija distribucije ima smisla; međutim, zbir se u ovom slučaju razlikuje i, prema tome, matematičko očekivanje vrijednosti ne postoji. Međutim, za praksu takvi slučajevi nisu od većeg interesa. Obično slučajne varijable s kojima imamo posla imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju očekivanje.

Iznad smo dali formule (5.6.1) i (5.6.2) koje izražavaju matematičko očekivanje za diskontinuiranu i kontinuiranu slučajnu varijablu , respektivno.

Ako vrijednost pripada vrijednostima mješovitog tipa, tada se njeno matematičko očekivanje izražava formulom oblika:

, (5.6.3)

gdje se zbroj proteže na sve točke u kojima se funkcija distribucije prekida, a integral se proteže na sve dijelove na kojima je funkcija distribucije kontinuirana.

Pored najvažnijih karakteristika položaja - matematičkog očekivanja - u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike položaja, posebno mod i medijan slučajne varijable.

Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Termin "najvjerovatnija vrijednost", striktno govoreći, primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Slažemo se da način označimo slovom. Na sl. 5.6.1 i 5.6.2 prikazuju mod za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.

Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, distribucija se naziva "polimodalna" (slike 5.6.3 i 5.6.4).

Ponekad postoje distribucije koje u sredini imaju ne maksimum, već minimum (sl. 5.6.5 i 5.6.6). Takve distribucije se nazivaju "antimodalne". Primjer antimodalne distribucije je distribucija dobivena u primjeru 5, br. 5.1.

U opštem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ona poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.

Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se formalno može definirati i za diskontinuiranu varijablu.

Medijan slučajne varijable je njena vrijednost za koju

one. jednako je vjerovatno da će slučajna varijabla biti manja ili veća od . Geometrijski gledano, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom raspodjele podijeljeno na pola (slika 5.6.7).

Svrha časa: formirati razumijevanje učenika o medijani skupa brojeva i sposobnost da je izračunaju za jednostavne numeričke skupove, fiksirajući koncept aritmetičke srednje vrijednosti skupa brojeva.

Vrsta lekcije: objašnjenje novog materijala.

Oprema: tabla, udžbenik, ur. Yu.N Tyurina “Teorija vjerovatnoće i statistika”, kompjuter sa projektorom.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Informišite temu lekcije i formulišite njene ciljeve.

2. Aktuelizacija prethodnih znanja.

Pitanja za studente:

• Koja je aritmetička sredina skupa brojeva?
• Gdje se nalazi aritmetička sredina unutar skupa brojeva?
• Šta karakteriše aritmetičku sredinu skupa brojeva?
• Gdje se često koristi aritmetička sredina skupa brojeva?

Usmeni zadaci:

Pronađite aritmetičku sredinu skupa brojeva:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Provjera domaće zadaće projektorom ( Aneks 1):

Udžbenik:: br. 12 (b, d), br. 18 (c, d)

3. Učenje novog gradiva.

U prethodnoj lekciji smo se upoznali sa takvom statističkom karakteristikom kao što je aritmetička sredina skupa brojeva. Danas ćemo posvetiti lekciju još jednoj statističkoj karakteristici - medijani.

Ne samo da aritmetička sredina pokazuje gdje se na brojevnoj pravoj nalaze brojevi bilo kojeg skupa i gdje im je centar. Drugi indikator je medijana.

Medijan skupa brojeva je broj koji dijeli skup na dva jednaka dijela. Umjesto "medijana" moglo bi se reći "sredina".

Prvo ćemo, koristeći primjere, analizirati kako pronaći medijanu, a zatim ćemo dati striktnu definiciju.

Razmotrite sljedeći usmeni primjer koristeći projektor ( Dodatak 2)

Na kraju školske godine 11 učenika 7. razreda položilo je normu za trčanje na 100 metara. Zabilježeni su sljedeći rezultati:

Nakon što su momci pretrčali distancu, Petya je prišao učitelju i pitao kakav je njegov rezultat.

„Najviše prosečno: 16,9 sekundi“, odgovorio je učitelj

"Zašto?" Petya je bila iznenađena. - Uostalom, aritmetička sredina svih rezultata je oko 18,3 sekunde, a ja sam trčao sekundu ili više bolje. I općenito, Katin rezultat (18,4) je mnogo bliži prosjeku od mog.”

“Vaš rezultat je prosječan jer je pet ljudi trčalo bolje od vas, a pet lošije. Dakle, vi ste tačno u sredini”, rekao je učitelj. [ 2 ]

Napišite algoritam za pronalaženje medijane skupa brojeva:

1. Naručite numerički skup (sastavite rangiranu seriju).
2. Istovremeno precrtavamo „najveći“ i „najmanji“ broj iz ovog skupa brojeva dok ne ostane jedan ili dva broja.
3. Ako postoji samo jedan broj, onda je to medijan.
4. Ako su preostala dva broja, onda će medijan biti aritmetička sredina dva preostala broja.

Pozovite učenike da samostalno formulišu definiciju medijane skupa brojeva, zatim pročitaju dvije definicije medijane u udžbeniku (str. 50), zatim analiziraju primjere 4 i 5 iz udžbenika (str. 50-52)

komentar:

Skrenuti pažnju učenika na važnu okolnost: medijana je praktično neosjetljiva na značajna odstupanja pojedinačnih ekstremnih vrijednosti skupova brojeva. U statistici se ovo svojstvo naziva stabilnost. Stabilnost statističkog indikatora je veoma važno svojstvo, osigurava nas od slučajnih grešaka i pojedinačnih nepouzdanih podataka.

4. Konsolidacija proučenog gradiva.

Odluka brojeva iz udžbenika na tačku 11 "Medijan".

Skup brojeva: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Skup brojeva: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Skup brojeva: 3,4,11,17,21

b) Skup brojeva: 17,18,19,25,28

c) Skup brojeva: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Zaključak: medijan skupa brojeva koji se sastoji od neparnog broja članova jednak je broju u sredini.

a) Skup brojeva: 2, 4, 8 , 9.

Ja = (4+8):2=12:2=6

b) Skup brojeva: 1,3, 5,7 ,8,9.

Ja = (5+7):2=12:2=6

Medijan skupa brojeva koji sadrži paran broj članova je polovina zbira dva broja u sredini.

Učenik je tokom tromesečja dobio sledeće ocene iz algebre:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Pronađite srednji rezultat i medijan ovog skupa. [ 3 ]

Naručimo niz brojeva: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Samo 10 brojeva, da biste pronašli medijanu potrebno je uzeti dva srednja broja i pronaći njihov polovični zbroj.

Ja = (5+5):2 = 5

Pitanje učenicima: Da ste nastavnik, koju biste ocjenu dali ovom učeniku za četvrtinu? Obrazložite odgovor.

Predsjednik kompanije prima platu od 300.000 rubalja. tri njegova zamenika dobijaju po 150.000 rubalja, četrdeset zaposlenih - po 50.000 rubalja. a plata čistačice je 10.000 rubalja. Pronađite aritmetičku sredinu i medijan plata u kompaniji. Koju od ovih karakteristika je predsjedniku isplativije koristiti u reklamne svrhe?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (rubalji)

Zadatak 3. (Pozvati učenike da sami riješe, projektorom projektorom)

Tabela prikazuje približnu količinu vode u najvećim jezerima i rezervoarima u Rusiji u kubnim metrima. km. (Dodatak 3) [ 4 ]

A) Odrediti prosječnu zapreminu vode u ovim rezervoarima (aritmetička sredina);

B) Pronađite zapreminu vode u prosječnoj veličini rezervoara (medijan podataka);

C) Po vašem mišljenju, koja od ovih karakteristika - aritmetička sredina ili medijana - najbolje opisuje zapreminu tipičnog velikog ruskog rezervoara? Objasnite odgovor.

a) 2459 cu. km

b) 60 cu. km

c) Medijan, jer podaci sadrže vrijednosti koje se jako razlikuju od svih ostalih.

Zadatak 4. Usmeno.

A) Koliko je brojeva u skupu ako mu je medijana deveti član?

B) Koliko je brojeva u skupu ako je njegova medijana aritmetička sredina 7. i 8. članova?

C) U setu od sedam brojeva najveći broj je povećan za 14. Hoće li to promijeniti i aritmetičku sredinu i medijanu?

D) Svaki od brojeva u skupu je povećan za 3. Šta će se dogoditi sa aritmetičkom sredinom i medijanom?

Slatkiši u prodavnici se prodaju po težini. Da bi saznala koliko slatkiša sadrži jedan kilogram, Masha je odlučila pronaći težinu jednog slatkiša. Izvagala je nekoliko bombona i dobila sljedeće rezultate:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Obje karakteristike su pogodne za procjenu težine jednog slatkiša, jer ne razlikuju se mnogo jedni od drugih.

Dakle, za karakterizaciju statističkih informacija koriste se aritmetička sredina i medijan. U mnogim slučajevima neke od karakteristika možda nemaju nikakvo smisleno značenje (na primjer, imajući informaciju o vremenu saobraćajnih nezgoda, teško da ima smisla govoriti o aritmetičkoj sredini ovih podataka).

1. Domaći zadatak: 11. stav, br. 3,4,9,11.
2. Rezultati lekcije. Refleksija.

književnost:

1. Yu.N. Tjurin i drugi „Teorija verovatnoće i statistika“, Izdavačka kuća MCNMO, JSC „Moskovski udžbenici“, Moskva 2008.
2. E.A. Bunimović, V.A. Bulychev “Osnove statistike i vjerovatnoće”, DROFA, Moskva 2004.
3. List “Matematika” br. 23, 2007.
4. Demo verzija testa iz teorije vjerovatnoće i statistike za 7. razred računa 2007/2008. godine.

Moda- vrijednost u skupu zapažanja koja se najčešće javlja

Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

ovdje je X Mo lijeva granica modalnog intervala, h Mo je dužina modalnog intervala, f Mo-1 je frekvencija premodalnog intervala, f Mo je frekvencija modalnog intervala, f Mo+1 je učestalost postmodalnog intervala.

Način apsolutno kontinuirane distribucije je svaka tačka lokalnog maksimuma gustine raspodjele. Za diskretne distribucije, mod je svaka vrijednost a i čija je vjerovatnoća p i veća od vjerovatnoće susjednih vrijednosti

medijana kontinuirana slučajna varijabla X njegova vrijednost Me naziva se takva, za koju je jednako vjerojatno da li će slučajna varijabla biti manja ili veća Ja, tj.

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Ja) = P(X > Ja)

Ravnomjerno raspoređeno NOVO

Ravnomjerna distribucija. Kontinuirana slučajna varijabla naziva se ravnomjerno raspoređena na segmentu () ako je njena funkcija gustine distribucije (slika 1.6, A) izgleda kao:

Oznaka: - SW je ravnomjerno raspoređen na .

Shodno tome, funkcija distribucije na segmentu (slika 1.6, b):

Rice. 1.6. Funkcije slučajne varijable ravnomjerno raspoređene na [ a,b]: A– gustoće vjerovatnoće f(x); b– distribucije F(x)

Matematičko očekivanje i varijansa ovog RV-a određeni su izrazima:

Zbog simetrije funkcije gustoće, ona se poklapa sa medijanom. Moda nema uniformnu distribuciju

Primjer 4 Vrijeme čekanja za odgovor na telefonski poziv je slučajna varijabla koja poštuje uniformni zakon raspodjele u rasponu od 0 do 2 minute. Pronađite integralne i diferencijalne funkcije raspodjele ove slučajne varijable.

27. Normalni zakon distribucije vjerovatnoće

Kontinuirana slučajna varijabla x ima normalnu distribuciju sa parametrima: m,s > 0, ako gustina distribucije vjerovatnoće ima oblik:

gdje je: m matematičko očekivanje, s je standardna devijacija.

Normalna raspodjela se također naziva Gaussovom po njemačkom matematičaru Gausu. Činjenica da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju sa parametrima: m, , označava se na sljedeći način: N (m, s), gdje je: m=a=M[X];

Često se u formulama matematičko očekivanje označava sa A . Ako je slučajna varijabla distribuirana prema zakonu N(0,1), onda se naziva normalizirana ili standardizirana normalna vrijednost. Funkcija distribucije za to ima oblik:

Grafikon gustine normalne distribucije, koji se naziva normalna kriva ili Gausova kriva, prikazan je na slici 5.4.

Rice. 5.4. Normalna gustina distribucije

svojstva slučajna varijabla sa normalnim zakonom raspodjele.

1. Ako je , tada pronaći vjerovatnoću da ova vrijednost padne u dati interval ( x 1; x 2) koristi se formula:

2. Vjerovatnoća da odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja neće premašiti vrijednost (u apsolutnoj vrijednosti) jednaka je.