Gotovi odgovori na primjere homogenih diferencijalne jednadžbe Mnogi učenici traže prvi red (kontrolori 1. reda su najčešći u nastavi), onda ih možete detaljno analizirati. Ali prije nego što pređete na razmatranje primjera, preporučujemo da pažljivo pročitate kratak teorijski materijal.
Jednačine oblika P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, gdje su funkcije P(x,y) i Q(x,y) homogene funkcije istog reda nazivaju se homogena diferencijalna jednadžba(ODR).

Šema za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe

1. Prvo morate primijeniti zamjenu y=z*x, gdje je z=z(x) nova nepoznata funkcija (dakle, originalna jednačina se svodi na diferencijalnu jednačinu sa odvojivim varijablama.
2. Derivat proizvoda je jednak y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ili u diferencijalima dy=d(zx)=z*dx+ x*dz.
3. Zatim zamjenjujemo novu funkciju y i njen izvod y" (ili dy). DE sa odvojivim varijablama u odnosu na x i z.
4. Nakon što smo riješili diferencijalnu jednadžbu sa odvojivim varijablama, izvršimo obrnutu promjenu y=z*x, dakle z= y/x, i dobijemo zajednička odluka(opći integral) diferencijalne jednadžbe.
5. Ako je dat početni uslov y(x 0)=y 0, tada nalazimo posebno rješenje za Cauchyjev problem. U teoriji zvuči lako, ali u praksi, nisu svi toliko zabavni rješavajući diferencijalne jednadžbe. Stoga, da bismo produbili svoje znanje, pogledajmo uobičajene primjere. O lakim zadacima nema puno toga što bi vas moglo naučiti, pa pređimo na složenije.

Proračuni homogenih diferencijalnih jednadžbi prvog reda

Primjer 1.

Rješenje: Podijelite desnu stranu jednačine promjenljivom koja je faktor pored izvoda. Kao rezultat, dolazimo do homogena diferencijalna jednadžba 0. reda

I ovdje su se možda mnogi ljudi zainteresirali, kako odrediti red funkcije homogene jednadžbe?
Pitanje je prilično relevantno, a odgovor na njega je sljedeći:
na desnoj strani zamjenjujemo vrijednost t*x, t*y umjesto funkcije i argumenta. Prilikom pojednostavljenja, parametar “t” se dobija do određenog stepena k, koji se naziva redom jednačine. U našem slučaju, "t" će se smanjiti, što je ekvivalentno 0. stepenu ili nulti red homogene jednadžbe.
Zatim, na desnoj strani možemo preći na novu varijablu y=zx; z=y/x.
U isto vrijeme, ne zaboravite da izrazite derivaciju “y” kroz derivaciju nove varijable. Po pravilu delova nalazimo

Jednačine u diferencijalima poprimiće formu

Poništavamo uobičajene pojmove na desnoj i lijevoj strani i prelazimo na diferencijalna jednadžba sa odvojenim varijablama.

Hajde da integrišemo obe strane DE

Radi pogodnosti daljih transformacija, odmah unosimo konstantu ispod logaritma

Prema svojstvima logaritama, rezultirajuća logaritamska jednačina je ekvivalentna sljedećoj

Ovaj unos još nije rješenje (odgovor), potrebno je vratiti se na izvršenu zamjenu varijabli

Na taj način pronalaze opšte rešenje diferencijalnih jednačina. Ako ste pažljivo pročitali prethodne lekcije, rekli smo da biste trebali moći slobodno koristiti shemu za izračunavanje jednačina sa odvojenim varijablama, a takve jednačine će se morati izračunati za složenije tipove daljinskog upravljača.

Primjer 2. Naći integral diferencijalne jednadžbe

Rješenje: Šema za proračun homogenih i kombinovanih upravljačkih sistema vam je sada poznata. Promenljivu pomeramo na desnu stranu jednačine, a takođe uzimamo x 2 u brojiocu i nazivniku kao zajednički faktor

Tako dobijamo homogenu diferencijalnu jednačinu nultog reda.
Sljedeći korak je uvođenje zamjene varijabli z=y/x, y=z*x, na koju ćemo vas stalno podsjećati kako biste je zapamtili

Nakon toga upisujemo daljinski upravljač u diferencijale

Zatim transformiramo zavisnost u diferencijalna jednadžba sa odvojenim varijablama

a mi to rješavamo integracijom.

Integrali su jednostavni, preostale transformacije se izvode na osnovu svojstava logaritma. Posljednji korak uključuje izlaganje logaritma. Na kraju se vraćamo na originalnu zamjenu i upisujemo je u obrazac

Konstanta "C" može uzeti bilo koju vrijednost. Svi koji uče dopisno imaju problema sa ovakvim jednadžbama na ispitima, pa vas molimo da pažljivo pogledate i zapamtite računski dijagram.

Primjer 3. Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Kao što slijedi iz gornje metodologije, rješavaju se diferencijalne jednadžbe ovog tipa uvođenjem nove varijable. Prepišimo zavisnost tako da derivacija bude bez varijable

Nadalje, analizom desne strane vidimo da je fragment -ee prisutan svuda i označavamo ga kao novu nepoznanicu
z=y/x, y=z*x .
Pronalaženje derivacije od y

Uzimajući u obzir zamjenu, prepisujemo originalni DE u obrazac

Pojednostavljujemo identične pojmove, a sve rezultirajuće svedemo na DE sa odvojenim varijablama

Integracijom obje strane jednakosti

dolazimo do rješenja u obliku logaritama

Izlažući zavisnosti koje nalazimo opšte rešenje diferencijalne jednačine

koji nakon zamjene početne promjene varijabli u njega poprima oblik

Ovdje je C konstanta koja se dalje može odrediti iz Cauchyjevog uslova. Ako Cauchyjev problem nije specificiran, tada on poprima proizvoljnu realnu vrijednost.
To je sva mudrost u proračunu homogenih diferencijalnih jednačina.

Na primjer, funkcija
je homogena funkcija prve dimenzije, budući da

je homogena funkcija treće dimenzije, budući da

je homogena funkcija nulte dimenzije, budući da je

, tj.
.

Definicija 2. Diferencijalna jednadžba prvog reda y" = f(x, y) naziva se homogena ako je funkcija f(x, y) je homogena funkcija nulte dimenzije u odnosu na x I y, ili, kako kažu, f(x, y) je homogena funkcija stepena nula.

Može se predstaviti u obliku

što nam omogućava da definišemo homogenu jednačinu kao diferencijalnu jednačinu koja se može transformisati u oblik (3.3).

Zamjena
svodi homogenu jednačinu na jednačinu sa odvojivim varijablama. Zaista, nakon zamjene y =xz dobijamo
,
Odvajajući varijable i integrirajući, nalazimo:

,

Primjer 1. Riješite jednačinu.

Δ Pretpostavljamo y =zx,
Zamijenite ove izraze y I dy u ovu jednačinu:
ili
Odvajamo varijable:
i integrisati:
,

Zamjena z on , dobijamo
.

Primjer 2. Naći opće rješenje jednačine.

Δ U ovoj jednačini P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy su homogene funkcije druge dimenzije, dakle, ova jednadžba je homogena. Može se predstaviti u obliku
i riješi isto kao gore. Ali mi koristimo drugačiji oblik snimanja. Hajde da stavimo y = zx, gdje dy = zdx + xdz. Zamjenom ovih izraza u originalnu jednačinu, imaćemo

dx+2 zxdz = 0 .

Odvajamo varijable brojanjem

.

Integrirajmo ovu jednačinu pojam po član

, gdje

to je
. Povratak na prethodnu funkciju
pronaći opšte rešenje


Primjer 3 . Pronađite opšte rješenje jednačine
.

Δ Lanac transformacija: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Predavanje 8.

4. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik

Evo slobodnog člana, koji se još naziva i desna strana jednačine. U ovom obliku ćemo razmotriti linearna jednačina dalje.

Ako
0, tada se jednačina (4.1a) naziva linearno nehomogenom. Ako
0, tada jednačina poprima oblik

i naziva se linearno homogeno.

Naziv jednačine (4.1a) objašnjava se činjenicom da je nepoznata funkcija y i njen derivat unesite ga linearno, tj. na prvom stepenu.

U linearnoj homogenoj jednadžbi varijable su razdvojene. Prepisivanjem u formu
gdje
i integracijom dobijamo:
, one.

Kada se podijeli po gubimo odluku
. Međutim, može se uključiti u pronađenu porodicu rješenja (4.3), ako to pretpostavimo WITH takođe može uzeti vrijednost 0.

Postoji nekoliko metoda za rješavanje jednačine (4.1a). Prema Bernulijeva metoda, rješenje se traži u obliku proizvoda dvije funkcije od X:

Jedna od ovih funkcija može se odabrati proizvoljno, jer samo proizvod uv mora zadovoljiti prvobitnu jednačinu, druga se određuje na osnovu jednačine (4.1a).

Diferencirajući obje strane jednakosti (4.4), nalazimo
.

Zamjena rezultirajućeg izraza za izvod , kao i vrijednost at u jednačinu (4.1a), dobijamo
, ili

one. kao funkcija v Uzmimo rješenje homogene linearne jednadžbe (4.6):

(Ovdje C Potrebno je napisati, inače ćete dobiti ne opće, već konkretno rješenje).

Dakle, vidimo da se kao rezultat korištene zamjene (4.4), jednačina (4.1a) svodi na dvije jednačine sa odvojivim varijablama (4.6) i (4.7).

Zamena
I v(x) u formulu (4.4), konačno dobijamo

,

.

Primjer 1. Pronađite opšte rješenje jednačine

 Stavimo
, Onda
. Zamjenjivanje izraza I u originalnu jednačinu, dobijamo
ili
(*)

Postavimo koeficijent na nulu jednak :

Razdvajanjem varijabli u rezultirajućoj jednačini imamo


(proizvoljna konstanta C mi ne pišemo), odavde v= x. Pronađena vrijednost v zamijeniti u jednačinu (*):

,
,
.

dakle,
opšte rješenje izvorne jednačine.

Imajte na umu da se jednačina (*) može napisati u ekvivalentnom obliku:

.

Nasumično biranje funkcije u, ali ne v, mogli smo vjerovati
. Ovo rješenje se razlikuje od onog koji se razmatra samo zamjenom v on u(i zbog toga u on v), dakle konačna vrijednost at ispostavilo se da je isto.

Na osnovu navedenog dobijamo algoritam za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Zapazite dalje da ponekad jednačina prvog reda postaje linearna ako at smatra nezavisnom varijablom, i x– zavisna, tj. zamijenite uloge x I y. Ovo se može uraditi pod uslovom da x I dx unesite jednačinu linearno.

Primjer 2 . Riješite jednačinu
.

Po izgledu, ova jednadžba nije linearna u odnosu na funkciju at.

Međutim, ako uzmemo u obzir x kao funkcija at, onda, s obzirom na to
, može se dovesti u formu

(4.1 b)

Zamjena on ,dobijamo
ili
. Dijeljenje obje strane posljednje jednadžbe proizvodom ydy, hajde da ga dovedemo u formu

, ili
. (**)

Ovdje P(y)=,
. Ovo je linearna jednadžba u odnosu na x. Mi vjerujemo
,
. Zamjenom ovih izraza u (**) dobijamo

ili
.

Odaberimo v tako da
,
, gdje
;
. Sledeće imamo
,
,
.

Jer
, onda dolazimo do općeg rješenja ove jednačine u obliku

.

Imajte na umu da u jednačini (4.1a) P(x) I Q (x) može biti uključen ne samo u obliku funkcija iz x, ali i konstante: P= a,Q= b. Linearna jednadžba

također se može riješiti zamjenom y= uv i razdvajanje varijabli:

;
.

Odavde
;
;
; Gdje
. Oslobađajući se logaritma, dobijamo opšte rešenje jednačine

(Ovdje
).

At b= 0 dolazimo do rješenja jednačine

(vidjeti jednadžbu eksponencijalnog rasta (2.4) na
).

Prvo, integrišemo odgovarajuću homogenu jednačinu (4.2). Kao što je gore navedeno, njegovo rješenje ima oblik (4.3). Razmotrićemo faktor WITH u (4.3) kao funkcija od X, tj. u suštini praveći promjenu varijable

odakle, integrirajući, nalazimo

Imajte na umu da je prema (4.14) (vidi i (4.9)), opšte rješenje nehomogene linearne jednačine jednako zbiru opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine (4.3) i posebnog rješenja nehomogene jednačine definisane sa drugi član uključen u (4.14) (i u (4.9)).

Prilikom rješavanja specifičnih jednačina trebali biste ponoviti gornje proračune, umjesto da koristite glomaznu formulu (4.14).

Primijenimo Lagrangeovu metodu na jednačinu koja se razmatra u primjer 1 :

.

Integriramo odgovarajuću homogenu jednačinu
.

Odvajajući varijable, dobijamo
i dalje
. Rješavanje izraza formulom y = Cx. Tražimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku y = C(x)x. Zamjenom ovog izraza u datu jednačinu dobijamo
;
;
,
. Opće rješenje izvorne jednačine ima oblik

.

U zaključku, napominjemo da se Bernoullijeva jednačina svodi na linearnu jednačinu

, ( )

koji se može napisati u obliku

.

Zamjena
svodi se na linearnu jednačinu:

,
,
.

Bernoullijeve jednadžbe se također mogu riješiti korištenjem gore navedenih metoda.

Primjer 3 . Naći opće rješenje jednačine
.

 Lanac transformacija:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba oblika
, gdje je f funkcija.

Kako odrediti homogenu diferencijalnu jednačinu

Da biste utvrdili da li je diferencijalna jednačina prvog reda homogena, morate uvesti konstantu t i zamijeniti y sa ty i x sa tx: y → ty, x → tx. Ako t otkaže, onda ovo homogena diferencijalna jednadžba. Izvod y′ se ne mijenja ovom transformacijom.
.

Primjer

Odredite da li je data jednačina homogena

Rješenje

Napravimo zamjenu y → ty, x → tx.


Podijelite sa t 2 .

.
Jednačina ne sadrži t. Dakle, ovo je homogena jednačina.

Metoda za rješavanje homogene diferencijalne jednadžbe

Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda reducira se na jednadžbu s odvojivim varijablama korištenjem zamjene y = ux. Hajde da to pokažemo. Razmotrimo jednačinu:
(i)
Napravimo zamjenu:
y = ux,
gdje je u funkcija od x. Razlikovati u odnosu na x:
y′ =
Zamijenite u originalnu jednačinu (i).
,
,
(ii) .
Razdvojimo varijable. Pomnožite sa dx i podijelite sa x ( f(u) - u).

Kod f (u) - u ≠ 0 i x ≠ 0 dobijamo:

Hajde da integrišemo:

Tako smo dobili opšti integral jednačine (i) u kvadraturama:

Zamenimo konstantu integracije C sa U C, Onda

Izostavimo znak modula, jer je željeni znak određen izborom predznaka konstante C. Tada će opći integral poprimiti oblik:

Zatim treba razmotriti slučaj f (u) - u = 0.
Ako ova jednadžba ima korijene, onda su oni rješenje jednadžbe (ii). Pošto je jednadžba. (ii) ne poklapa se s originalnom jednadžbom, tada bi trebali biti sigurni da dodatna rješenja zadovoljavaju izvornu jednadžbu (i).

Kad god u procesu transformacije bilo koju jednačinu podijelimo nekom funkcijom, koju označavamo kao g (x, y), tada vrijede daljnje transformacije za g (x, y) ≠ 0. Stoga, slučaj g treba razmotriti odvojeno (x, y) = 0.

Primjer rješavanja homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda

Riješite jednačinu

Rješenje

Provjerimo da li je ova jednačina homogena. Napravimo zamjenu y → ty, x → tx. U ovom slučaju, y′ → y′.
,
,
.
Skraćujemo ga za t.

Konstanta t se smanjila. Stoga je jednadžba homogena.

Napravimo zamjenu y = ux, gdje je u funkcija od x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Zamijenite u originalnu jednačinu.
,
,
,
.
Kada je x ≥ 0 , |x| = x. Kada je x ≤ 0 , |x| = - x . Pišemo |x| = x što znači da se gornji znak odnosi na vrijednosti x ≥ 0 , a donji - na vrijednosti x ≤ 0 .
,
Pomnožite sa dx i podijelite sa .

Kada u 2 - 1 ≠ 0 imamo:

Hajde da integrišemo:

Tabelarni integrali,
.

Primijenimo formulu:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Stavimo a = u, .
.
Uzmimo obje strane po modulu i logaritmizirajmo,
.
Odavde
.

Tako imamo:
,
.
Izostavljamo predznak modula, jer se željeni predznak osigurava izborom predznaka konstante C.

Pomnožite sa x i zamenite ux = y.
,
.
Na kvadrat.
,
,
.

Sada razmotrite slučaj, u 2 - 1 = 0 .
Korijeni ove jednadžbe
.
Lako je provjeriti da funkcije y = x zadovoljavaju originalnu jednačinu.

Odgovori

,
,
.

Reference:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbirka zadataka na višu matematiku, "Lan", 2003.

Trenutno, prema osnovnom nivou izučavanja matematike, predviđeno je samo 4 časa za izučavanje matematike u srednjoj školi (2 časa algebre, 2 časa geometrije). U malim seoskim školama pokušavaju povećati broj sati zbog školske komponente. Ali ako je čas humanitarni, onda se dodaje školska komponenta za proučavanje humanističkih predmeta. U malom selu, školarac često nema izbora, on uči u tom razredu; koji je dostupan u školi. Ne namjerava postati pravnik, istoričar ili novinar (ima takvih slučajeva), ali želi postati inženjer ili ekonomista, pa mora položiti Jedinstveni državni ispit iz matematike sa visokim ocjenama. U takvim okolnostima nastavnik matematike mora sam pronaći izlaz iz postojeće situacije, štoviše, prema Kolmogorovljevom udžbeniku, nije predviđeno proučavanje teme „homogene jednačine“. Proteklih godina bile su mi potrebne dvije dvostruke lekcije da uvedem ovu temu i da je učvrstim. Nažalost, naša prosvjetna inspekcija je zabranila duple časove u školi, pa je broj vježbi morao biti smanjen na 45 minuta, te je shodno tome i stepen težine vježbi smanjen na srednji. Predstavljam vam plan časa na ovu temu u 10. razredu sa osnovni nivo studira matematiku u maloj seoskoj školi.

Vrsta lekcije: tradicionalno.

Target: naučiti rješavati tipične homogene jednadžbe.

Zadaci:

Kognitivni:

Razvojni:

Obrazovni:

• Podsticanje napornog rada kroz strpljivo izvršavanje zadataka, osećaj drugarstva kroz rad u parovima i grupama.

Tokom nastave

I. Organizacijski pozornici(3 min.)

II. Provjera znanja potrebnih za savladavanje novog gradiva (10 min.)

Identifikujte glavne poteškoće sa daljom analizom izvršenih zadataka. Momci biraju 3 opcije. Zadaci diferencirani po stepenu težine i stepenu pripremljenosti djece, nakon čega slijedi objašnjenje na tabli.

Nivo 1. Riješite jednačine:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Odgovori: 7;3

Nivo 2. Riješite najjednostavnije trigonometrijske jednačine i bikvadratna jednačina:

odgovori:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Odgovori: -2; 2; -3; 3

Nivo 3. Rješavanje jednadžbi promjenom varijabli:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Odgovori:

III. Komuniciranje teme, postavljanje ciljeva i zadataka.

Predmet: Homogene jednadžbe

Target: naučiti rješavati tipične homogene jednadžbe

Zadaci:

Kognitivni:

• upoznati se sa homogenim jednadžbama, naučiti rješavati najčešće tipove takvih jednačina.

Razvojni:

• Razvoj analitičkog mišljenja.
• Razvijanje matematičkih vještina: naučiti identificirati glavne karakteristike po kojima se homogene jednadžbe razlikuju od drugih jednačina, biti u stanju uspostaviti sličnosti homogene jednačine u njihovim raznim manifestacijama.

IV. Učenje novih znanja (15 min.)

1. Trenutak predavanja.

Definicija 1(Zapišite u svesku). Jednačina oblika P(x;y)=0 naziva se homogenom ako je P(x;y) homogen polinom.

Polinom u dvije varijable x i y naziva se homogenim ako je stepen svakog njegovog člana jednak istom broju k.

Definicija 2(Samo uvod). Jednačine oblika

naziva se homogena jednadžba stepena n u odnosu na u(x) i v(x). Dijeljenjem obje strane jednačine sa (v(x))n, možemo koristiti zamjenu da dobijemo jednadžbu

Što nam omogućava da pojednostavimo originalnu jednačinu. Slučaj v(x)=0 mora se razmatrati odvojeno, jer je nemoguće podijeliti sa 0.

2. Primjeri homogenih jednadžbi:

Objasnite: zašto su homogene, navedite svoje primjere takvih jednačina.

3. Zadatak za određivanje homogenih jednačina:

Među datim jednačinama identificirajte homogene jednadžbe i obrazložite svoj izbor:

Nakon što ste objasnili svoj izbor, upotrijebite jedan od primjera da pokažete kako riješiti homogenu jednačinu:

4. Odlučite sami:

odgovor:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Podijelimo obje strane jednačine sa cos x, dobićemo 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Pokažite rješenje primjera iz brošure“P.V. Chulkov. Jednačine i nejednačine u školskom predmetu matematike. Moskva Pedagoški univerzitet“Prvi septembar” 2006. str.22.” Kao jedan mogući primjer Nivo jedinstvenog državnog ispita WITH.

V. Riješite za konsolidaciju koristeći Bašmakovljev udžbenik

strana 183 br. 59 (1.5) ili prema udžbeniku koji je uredio Kolmogorov: strana 81 br. 169 (a, c)

odgovori:

VI. Test, samostalni rad (7 min.)

1 opcija	Opcija 2
Riješite jednačine:
a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 =0	b)

Odgovori na zadatke:

Opcija 1 a) Odgovor: arctan2+πn,n € Z; b) Odgovor: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Opcija 2 a) Odgovor: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Odgovor: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Zadaća

br. 169 prema Kolmogorovu, br. 59 prema Bašmakovu.

Osim toga, riješite sistem jednačina:

Odgovor: arktan(-1±√3) +πn,

Reference:

1. P.V. Chulkov. Jednačine i nejednačine u školskom predmetu matematike. – M.: Pedagoški univerzitet „Prvi septembar“, 2006. str.22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometrija. – M.: “AST-PRESS”, 1998, str.389
3. Algebra za 8. razred, urednik N.Ya. Vilenkina. – M.: „Prosvjeta“, 1997.
4. Algebra za 9. razred, urednik N.Ya. Vilenkina. Moskva "Prosvjeta", 2001.
5. M.I. Bashmakov. Algebra i počeci analize. Za 10-11 razred - M.: "Prosvjeta" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnicin. Algebra i počeci analize. Za 10-11 razred. – M.: „Prosvjeta“, 1990.
7. A.G. Mordkovich. Algebra i počeci analize. Prvi dio Udžbenik za 10-11 razred. – M.: “Mnemosyne”, 2004.

Homogene

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na tzv homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Zajedno sa odvojive jednačine I linearne nehomogene jednadžbe ova vrsta daljinskog upravljača nalazi se u gotovo svakom testni rad na temu difuzora. Ako ste došli na stranicu iz tražilice ili niste baš sigurni u razumijevanje diferencijalnih jednadžbi, onda prvo toplo preporučujem da prođete kroz uvodnu lekciju na temu - Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Činjenica je da će mnogi principi za rješavanje homogenih jednačina i korištene tehnike biti potpuno isti kao i za najjednostavnije jednadžbe s odvojivim varijablama.

Koja je razlika između homogenih diferencijalnih jednadžbi i drugih tipova diferencijalnih jednačina? Najlakši način da to odmah objasnite je konkretnim primjerom.

Primjer 1

Rješenje:
Šta Prvo treba analizirati prilikom odlučivanja bilo koji diferencijalna jednadžba prva narudžba? Prije svega, potrebno je provjeriti da li je moguće odmah odvojiti varijable pomoću „školskih“ radnji? Obično se ova analiza radi mentalno ili pokušajem odvajanja varijabli u nacrtu.

U ovom primjeru varijable se ne mogu odvojiti(možete pokušati izbaciti pojmove iz dijela u dio, podići faktore iz zagrada, itd.). Inače, u ovom primjeru činjenica da se varijable ne mogu podijeliti je sasvim očigledna zbog prisustva množitelja.

Postavlja se pitanje: kako riješiti ovaj difuzni problem?

Treba provjeriti i Nije li ova jednačina homogena?? Verifikacija je jednostavna, a sam algoritam verifikacije se može formulisati na sledeći način:

Na originalnu jednačinu:

umjesto zamjenjujemo, umjesto zamjenjujemo, ne diramo derivat:

Slovo lambda je uslovni parametar i ovdje igra sljedeću ulogu: ako je, kao rezultat transformacija, moguće "uništiti" SVE lambda i dobiti originalnu jednačinu, onda ova diferencijalna jednadžba je homogena.

Očigledno je da se lambda odmah smanjuju za eksponent:

Sada sa desne strane vadimo lambdu iz zagrada:

i podijeliti oba dijela sa istom lambdom:

Kao rezultat Sve Lambde su nestale kao san, kao jutarnja magla, i dobili smo originalnu jednačinu.

zaključak: Ova jednačina je homogena

Kako riješiti homogenu diferencijalnu jednačinu?

Imam veoma dobre vesti. Apsolutno sve homogene jednadžbe se mogu riješiti upotrebom jedne (!) standardne zamjene.

Funkcija “igra” bi trebala biti zamijeniti rad neka funkcija (takođe zavisi od “x”) i "x":

Gotovo uvijek kratko pišu:

Saznajemo u što će se derivat pretvoriti takvom zamjenom, koristimo pravilo diferencijacije proizvoda. Ako onda:

Zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

Šta će dati takva zamjena? Nakon ove zamjene i pojednostavljenja, mi garantovano dobijamo jednačinu sa odvojivim varijablama. ZAPAMTITE kao prva ljubav :) i, shodno tome, .

Nakon zamjene vršimo maksimalna pojednostavljenja:

Pošto je funkcija koja zavisi od “x”, njen izvod se može napisati kao standardni razlomak: .
ovako:

Odvajamo varijable, dok na lijevoj strani trebate prikupiti samo “te”, a na desnoj strani - samo “x”:

Varijable su razdvojene, integrirajmo:


Prema mom prvom tehničkom savjetu iz članka Diferencijalne jednadžbe prvog reda u mnogim slučajevima je preporučljivo „formulisati“ konstantu u obliku logaritma.

Nakon što je jednačina integrisana, moramo izvršiti obrnuta zamjena, također je standardan i jedinstven:
Ako onda
U ovom slučaju:

U 18-19 slučajeva od 20, rješenje homogene jednačine je zapisano kao opći integral.

odgovor: opšti integral:

Zašto je odgovor na homogenu jednačinu gotovo uvijek dat u obliku opšteg integrala?
U većini slučajeva nemoguće je eksplicitno izraziti "igru" (da se dobije opće rješenje), a ako je moguće, onda se najčešće opće rješenje ispostavlja glomazno i ​​nespretno.

Tako, na primjer, u razmatranom primjeru, opće rješenje se može dobiti vaganjem logaritama na obje strane općeg integrala:

- Pa, to je u redu. Mada, morate priznati, ipak je malo krivo.

Inače, u ovom primjeru nisam sasvim „pristojno“ zapisao opći integral. Nije greška, ali u "dobrom" stilu, podsjećam da se opći integral obično piše u obliku . Da biste to učinili, odmah nakon integracije jednačine, konstantu treba napisati bez ikakvog logaritma (ovdje je izuzetak od pravila!):

I nakon obrnute zamjene, dobiti opći integral u "klasičnom" obliku:

Dobijeni odgovor se može provjeriti. Da biste to učinili, morate razlikovati opći integral, odnosno pronaći derivat funkcije specificirane implicitno:

Riješimo se razlomaka množenjem svake strane jednadžbe sa:

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Preporučljivo je uvijek provjeriti. Ali homogene jednadžbe su neugodne po tome što je obično teško provjeriti njihove opće integrale - to zahtijeva vrlo, vrlo pristojnu tehniku ​​diferencijacije. U razmatranom primjeru, tokom verifikacije je već bilo potrebno pronaći ne najjednostavnije derivate (iako je sam primjer prilično jednostavan). Ako možete provjeriti, provjerite!

Primjer 2

Provjeriti homogenost jednačine i pronaći njen opći integral.

Odgovor upišite u formular

Ovo je primjer za vas da sami odlučite - tako da vam bude ugodno sa samim algoritmom radnji. Provjeru možete obaviti u slobodno vrijeme, jer... ovde je dosta komplikovano, a nisam se ni potrudio da to predstavim, inače nećete više doći kod takvog manijaka :)

A sada obećana važna tačka, pomenuta na samom početku teme,
Istaknut ću podebljanim crnim slovima:

Ako tokom transformacija „resetujemo” množilac (nije konstanta)u imenilac, onda RIZIKujemo da izgubimo rješenja!

I u stvari, naišli smo na to u prvom primjeru uvodna lekcija o diferencijalnim jednadžbama. U procesu rješavanja jednadžbe, pokazalo se da je "y" u nazivniku: , ali je, očito, rješenje za DE i kao rezultat nejednake transformacije (podjele) postoji svaka šansa da se izgubi! Druga stvar je da je ona uključena u opšte rješenje na nultu vrijednost konstante. Resetovanje „X“ u nazivniku se takođe može zanemariti, jer ne zadovoljava originalni difuzor.

Slična priča i sa trećom jednačinom iste lekcije, prilikom čijeg rješavanja smo “spustili” u nazivnik. Strogo govoreći, ovdje je trebalo provjeriti da li je ovaj difuzor rješenje? Na kraju krajeva, jeste! Ali čak i ovdje "sve je ispalo u redu", budući da je ova funkcija uključena u opći integral u .

A ako ovo često funkcionira s "razdvojivim" jednadžbama, onda s homogenim i nekim drugim difuzerima možda neće raditi. Vrlo vjerovatno.

Hajde da analiziramo probleme koji su već riješeni u ovoj lekciji: u Primjer 1 došlo je do “resetovanja” X, ali to ne može biti rješenje jednačine. Ali unutra Primjer 2 podijelili smo se na , ali se i „izvukao“: pošto , rješenja nisu mogla biti izgubljena, jednostavno ih nema. Ali, naravno, namjerno sam kreirao “sretne prilike” i nije činjenica da će se u praksi naići na sljedeće:

Primjer 3

Riješite diferencijalnu jednačinu

Nije li to jednostavan primjer? ;-)

Rješenje: homogenost ove jednačine je očigledna, ali ipak - na prvom koraku UVIJEK provjeravamo da li je moguće odvojiti varijable. Jer jednačina je takođe homogena, ali se varijable u njoj lako odvajaju. Da, ima ih!

Nakon provjere „odvojivosti“, vršimo zamjenu i pojednostavljujemo jednačinu što je više moguće:

Odvajamo varijable, skupljamo "te" na lijevoj strani i "x" na desnoj strani:

I ovdje STOP. Kada dijelimo po, rizikujemo da izgubimo dvije funkcije odjednom. Od , ovo su funkcije:

Prva funkcija je očito rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugi - također zamjenjujemo njegov derivat u naš difuzor:

– dobije se tačna jednakost, što znači da je funkcija rješenje.

I rizikujemo da izgubimo ove odluke.

Osim toga, pokazalo se da je imenilac "X", međutim, zamjena implicira da nije nula. Zapamtite ovu činjenicu. Ali! Obavezno provjerite, je rješenje ORIGINALNE diferencijalne jednadžbe. Ne nije.

Zabilježimo sve ovo i nastavimo:

Moram reći da sam imao sreće sa integralom lijeve strane, može biti mnogo gore.

Sakupljamo jedan logaritam na desnoj strani i odbacujemo okove:

A sada samo obrnuta zamjena:

Pomnožimo sve pojmove sa:

Sada bi trebao provjeriti - da li su “opasna” rješenja uključena u opći integral. Da, oba rješenja su uključena u opći integral na nultu vrijednost konstante: , tako da ih nije potrebno dodatno označavati u odgovori:

opšti integral:

Ispitivanje. Nije čak ni test, već čisto zadovoljstvo :)

Dobijena je originalna diferencijalna jednadžba, što znači da je rješenje pronađeno ispravno.

Da to sami riješite:

Primjer 4

Izvršite test homogenosti i riješite diferencijalnu jednačinu

Provjeriti opći integral diferencijacijom.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo nekoliko primjera kada se daje homogena jednadžba sa gotovim diferencijalima.

Primjer 5

Riješite diferencijalnu jednačinu

Ovo je vrlo zanimljiv primjer, cijeli triler!

Rješenje Naviknut ćemo se da ga dizajniramo kompaktnije. Prvo, mentalno ili na nacrtu, uvjeravamo se da se varijable ne mogu odvojiti ovdje, nakon čega provodimo test homogenosti - to se obično ne provodi na konačnom nacrtu. (osim ako nije posebno potrebno). Dakle, rješenje gotovo uvijek počinje unosom: “ Ova jednadžba je homogena, napravimo zamjenu: ...».

Ako homogena jednadžba sadrži gotove diferencijale, onda se može riješiti modificiranom zamjenom:

Ali ne preporučujem korištenje takve zamjene, jer će se ispostaviti da je to Veliki zid kineskih diferencijala, gdje vam treba oko i oko. Sa tehničke tačke gledišta, povoljnije je preći na "isprekidanu" oznaku derivacije; da bismo to učinili, podijelimo sve članove jednadžbe sa:

I tu smo već napravili „opasnu“ transformaciju! Nulti diferencijal odgovara porodici pravih linija paralelnih sa osom. Jesu li oni korijeni našeg DU? Zamijenimo u originalnu jednačinu:

Ova jednakost vrijedi ako, tj. pri dijeljenju s rizikujemo da izgubimo rješenje, i izgubili smo ga- od tada više ne zadovoljava rezultirajuća jednačina .

Treba napomenuti da ako smo inicijalno data je jednačina , onda ne bi bilo govora o korijenu. Ali imamo ga i na vrijeme smo ga uhvatili.

Nastavljamo rješenje standardnom zamjenom:
:

Nakon zamjene, pojednostavljujemo jednačinu što je više moguće:

Odvajamo varijable:

I ovdje opet STOP: pri dijeljenju s rizikujemo da izgubimo dvije funkcije. Od , ovo su funkcije:

Očigledno, prva funkcija je rješenje jednadžbe . Provjeravamo drugi - također zamjenjujemo njegovu izvedenicu:

– primljeno istinska jednakost, što znači da je funkcija također rješenje diferencijalne jednadžbe.

A prilikom dijeljenja s rizikujemo da izgubimo ova rješenja. Međutim, oni mogu ući u opšti integral. Ali možda neće ući

Uzmimo ovo u obzir i integrirajmo oba dijela:

Integral lijeve strane rješava se na standardni način korištenjem isticanje kompletnog kvadrata, ali je mnogo praktičniji za korištenje u difuzerima metoda nesigurnih koeficijenata:

Koristeći metodu neodređenih koeficijenata, proširujemo integrand u zbir elementarnih razlomaka:


ovako:

Pronalaženje integrala:

– pošto smo nacrtali samo logaritme, guramo i konstantu ispod logaritma.

Prije zamjene opet pojednostavljuje sve što se može pojednostaviti:

Resetiranje lanaca:

I obrnuta zamjena:

Sada se prisjetimo "izgubljenih stvari": rješenje je bilo uključeno u opći integral na , ali je "proletjelo pored kase", jer ispostavilo se da je imenilac. Stoga je u odgovoru dodijeljena posebna fraza, i da - ne zaboravite na izgubljeno rješenje, koje se, usput rečeno, također pokazalo ispod.

odgovor: opšti integral: . Više rješenja:

Ovdje nije tako teško izraziti generalno rješenje:
, ali ovo je već razmetanje.

Pogodno, međutim, za provjeru. Nađimo derivat:

i zamena na lijevu stranu jednačine:

– kao rezultat primljen desni deo jednačine, što je trebalo provjeriti.

Sljedeći difuzor radi samostalno:

Primjer 6

Riješite diferencijalnu jednačinu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Pokušajte da izrazite generalno rješenje ovdje u isto vrijeme za praksu.

U završnom dijelu lekcije razmotrit ćemo još nekoliko tipičnih zadataka na tu temu:

Primjer 7

Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Idemo utabanim putem. Ova jednadžba je homogena, napravimo zamjenu:

“X” je ovdje u redu, ali šta je sa kvadratnim trinomom? Pošto se ne može razložiti na faktore: , onda definitivno ne gubimo rješenja. Uvek bi bilo ovako! Odaberite cijeli kvadrat na lijevoj strani i integrirajte:

Ovdje se nema šta pojednostavljivati, pa stoga i obrnuta zamjena:

odgovor: opšti integral:

Primjer 8

Riješite diferencijalnu jednačinu

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Dakle:

Za nejednake konverzije UVIJEK provjerite (barem verbalno), Gubite li svoja rješenja? Koje su to transformacije? Obično skraćivanje ili dijeljenje nečega. Tako, na primjer, prilikom dijeljenja sa, trebate provjeriti jesu li funkcije rješenja diferencijalne jednadžbe. U isto vrijeme, prilikom dijeljenja sa, više nema potrebe za takvom provjerom - zbog činjenice da ovaj djelitelj ne ide na nulu.

Evo još jedne opasne situacije:

Ovdje, rješavajući se , trebali biste provjeriti da li je DE rješenje. Često se “x” i “y” koriste kao takvi množitelji, a njihovim smanjenjem gubimo funkcije koje se mogu pokazati kao rješenja.

S druge strane, ako je nešto POČETNO u nazivniku, onda nema razloga za takvu zabrinutost. Dakle, u homogenoj jednadžbi, ne morate da brinete o funkciji jer je „deklarisana“ u nazivniku.

Navedene suptilnosti ne gube na svojoj važnosti, čak i ako problem zahtijeva pronalaženje samo određenog rješenja. Postoji, iako mala, šansa da izgubimo upravo traženo konkretno rješenje. Da li je istina Cauchy problem u praktičnim zadacima sa homogenim jednačinama postavlja se prilično rijetko. Međutim, u članku ima takvih primjera Jednačine se svode na homogene, koju preporučujem da proučavate "vruće za petama" kako biste ojačali svoje vještine rješavanja.

Postoje i složenije homogene jednačine. Poteškoća nije u promjenljivim promjenama ili pojednostavljenjima, već u prilično teškim ili rijetkim integralima koji nastaju kao rezultat razdvajanja varijabli. Imam primjere rješenja takvih homogenih jednačina - strašne integrale i zastrašujuće odgovore. Ali o njima nećemo, jer u narednim lekcijama (vidi dolje) Još imam vremena da te mučim, želim da te vidim svježe i optimistične!

Sretna promocija!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Provjerimo homogenost jednačine, za tu svrhu u originalnoj jednačini umjesto zamenimo , i umjesto zamenimo:

Kao rezultat, dobija se originalna jednačina, što znači da je ovaj DE homogen.