Definicija četvrtog reda. Matrična determinanta
Prilikom rješavanja zadataka iz više matematike vrlo se često javlja potreba izračunati determinantu matrice. Determinanta matrice se pojavljuje u linearnoj algebri, analitička geometrija, matematička analiza i drugi dijelovi višu matematiku. Dakle, jednostavno je nemoguće bez vještine rješavanja determinanti. Takođe, za samotestiranje možete besplatno preuzeti determinantni kalkulator, neće vas naučiti kako da sami rješavate determinante, ali je vrlo zgodno, jer je uvijek korisno znati tačan odgovor unaprijed!
Neću davati striktnu matematičku definiciju determinante i, generalno, pokušaću da minimiziram matematičku terminologiju većini čitalaca; Svrha ovog članka je da vas nauči kako riješiti determinante drugog, trećeg i četvrtog reda. Sav materijal je predstavljen u jednostavnom i pristupačnom obliku, a čak i pun (prazan) čajnik iz više matematike, nakon pažljivog proučavanja gradiva, moći će ispravno riješiti determinante.
U praksi najčešće možete pronaći odrednicu drugog reda, na primjer: i determinantu trećeg reda, na primjer: 
.
Odrednica četvrtog reda 
Takođe nije antikvitet, a do njega ćemo doći na kraju lekcije.
Nadam se da svi razumeju sledeće: Brojevi unutar determinante žive sami od sebe i nema govora o bilo kakvom oduzimanju! Brojevi se ne mogu zamijeniti!
(Konkretno, moguće je izvršiti parno preuređivanje redova ili stupaca determinante s promjenom njenog predznaka, ali to često nije potrebno - pogledajte sljedeću lekciju Svojstva determinante i snižavanje njenog reda)
Dakle, ako je data bilo koja determinanta, onda Ne diramo ništa unutar njega!
Oznake: Ako je data matrica 
, tada je označena njegova determinanta. Također se vrlo često označava determinanta latinično pismo ili grčki.
1)Šta znači riješiti (pronaći, otkriti) odrednicu? Izračunati determinantu znači PRONAĆI BROJ. Znakovi pitanja u gornjim primjerima su potpuno obični brojevi.
2) Sada ostaje da shvatimo KAKO pronaći ovaj broj? Da biste to učinili, morate primijeniti određena pravila, formule i algoritme, o kojima će sada biti riječi.
Počnimo sa odrednicom "dva" sa "dva":
OVO TREBA ZAPAMTITI, barem dok studirate višu matematiku na fakultetu.
Pogledajmo odmah primjer:
Spreman. Najvažnije je DA SE NE ZBUNITE U ZNAKOVIMA.
Determinanta matrice tri po tri može se otvoriti na 8 načina, od kojih su 2 jednostavna i 6 normalna.
Počnimo sa dva jednostavne načine
Slično determinanti dva po dva, determinanta tri po tri može se proširiti pomoću formule:
Formula je duga i lako je pogriješiti zbog nepažnje. Kako izbjeći dosadne greške? U tu svrhu izmišljena je druga metoda izračunavanja determinante, koja se zapravo poklapa s prvom. Zove se Sarrus metoda ili metoda “paralelnih traka”.
Suština je da su prvi i drugi stupac dodijeljeni desno od determinante i da su linije pažljivo nacrtane olovkom:
Množitelji koji se nalaze na „crvenim“ dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom „plus“.
Množitelji koji se nalaze na "plavim" dijagonalama uključeni su u formulu sa znakom minus:
primjer:
Uporedite ta dva rješenja. Lako je uočiti da se radi o ISTOJ stvari, samo što su u drugom slučaju faktori formule malo preuređeni i, što je najvažnije, vjerovatnoća da se napravi greška je mnogo manja.
Pogledajmo sada šest normalnih načina za izračunavanje determinante
Zašto normalno? Jer u velikoj većini slučajeva kvalifikatori moraju biti otkriveni na ovaj način.
Kao što ste primijetili, determinanta tri po tri ima tri kolone i tri reda.
Odrednicu možete riješiti otvaranjem bilo kojim redom ili kolonom.
Dakle, postoji 6 metoda koje se koriste u svim slučajevima isti tip algoritam.
Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata reda (kolone) odgovarajućim algebarskim komplementama. Strašno? Sve je mnogo jednostavnije, koristićemo nenaučan, ali razumljiv pristup, dostupan čak i osobi koja je daleko od matematike.
U sljedećem primjeru ćemo proširiti determinantu na prvoj liniji.
Za ovo nam je potrebna matrica znakova: . Lako je primijetiti da su znakovi raspoređeni u šahovnici.
Pažnja! Matrica znakova je moj vlastiti izum. Ovaj koncept nije naučni, ne treba ga koristiti u konačnom dizajnu zadataka, on samo pomaže da razumete algoritam za izračunavanje determinante.
Prvo ću dati kompletno rješenje. Ponovo uzimamo našu eksperimentalnu determinantu i izvodimo proračune:
I glavno pitanje: KAKO to dobiti od determinante "tri po tri": 
?
Dakle, determinanta "tri po tri" se svodi na rješavanje tri male determinante, ili kako ih još zovu, MINOROV. Preporučujem da zapamtite pojam, pogotovo jer se pamti: minor – mali.
Jednom je odabrana metoda dekompozicije determinante na prvoj liniji, očigledno je da se sve vrti oko nje:
Elementi se obično gledaju s lijeva na desno (ili odozgo prema dolje ako je odabrana kolona)
Idemo, prvo se pozabavimo prvim elementom linije, odnosno jednim:
1) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak: 
2) Zatim pišemo sam element: 
3) MENTALNO precrtajte red i kolonu u kojima se pojavljuje prvi element: 
Preostala četiri broja čine odrednicu "dva po dva", koja se zove MINOR datog elementa (jedinice).
Pređimo na drugi element linije.
4) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak:
5) Zatim napišite drugi element: 
6) MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem se pojavljuje drugi element: 
Pa, treći element prvog reda. Bez originalnosti:
7) Iz matrice znakova ispisujemo odgovarajući znak: 
8) Zapišite treći element: 
9) MENTALNO precrtajte red i stupac koji sadrži treći element: 
Preostala četiri broja upisujemo u malu odrednicu.
Preostale radnje ne predstavljaju nikakve poteškoće, jer već znamo da računamo determinante dva po dva. NEMOJTE SE ZBUNITI U ZNAKOVIMA!
Slično, determinanta se može proširiti na bilo koji red ili u bilo koju kolonu. Naravno, u svih šest slučajeva odgovor je isti.
Odrednica četiri po četiri može se izračunati korištenjem istog algoritma.
U ovom slučaju, naša matrica znakova će se povećati:
U sljedećem primjeru proširio sam determinantu prema četvrtoj koloni:
Kako se to dogodilo, pokušajte sami shvatiti. Više informacija će doći kasnije. Ako neko želi riješiti odrednicu do kraja, tačan odgovor je: 18. Za vježbu je bolje determinantu riješiti po nekom drugom stupcu ili drugom redu.
Vježbanje, otkrivanje, računanje je jako dobro i korisno. Ali koliko ćete vremena potrošiti na velike kvalifikacije? Zar ne postoji brži i pouzdaniji način? Predlažem da se upoznate efikasne metode izračunavanje determinanti u drugom času - Svojstva determinante. Redukcija determinante.
BUDITE PAŽLJIVI!
Drugi red je broj jednak razlici između umnožaka brojeva koji čine glavnu dijagonalu i umnožaka brojeva na sekundarnoj dijagonali možete pronaći sljedeću notaciju za determinantu: ; ; ; detA(determinanta).
.
primjer: 
.
Determinanta matrice trećeg reda je broj ili matematički izraz izračunat prema sljedećem pravilu
Najjednostavniji način za izračunavanje determinante trećeg reda je dodavanje prva dva reda ispod determinante.
U rezultirajućoj tablici brojeva, elementi koji se nalaze na glavnoj dijagonali i na dijagonalama paralelnim s glavnom se množe, predznak rezultata proizvoda se ne mijenja. Sljedeća faza proračuna je slično množenje elemenata koji se nalaze na bočnoj dijagonali i onih koji su joj paralelni. Znakovi rezultata proizvoda su obrnuti. Zatim saberemo dobijenih šest članova.
primjer:
Dekompozicija determinante na elemente određenog reda (kolone).
Minor M ij element i ij kvadratna matrica A je determinanta sastavljena od matričnih elemenata A, preostalo nakon brisanja ja- oh linija i j th column.
Na primjer, minor elementu a 21 matrice trećeg reda 
postojaće odrednica 
.
Reći ćemo da je element i ij zauzima ravnomerno mesto ako i+j(zbir brojeva reda i kolone na čijem je presjeku ovaj element) - paran broj, neparno mjesto, ako i+j- neparan broj.
Algebarski komplement A ij element i ij kvadratna matrica A zove izraz 
(ili vrijednost odgovarajućeg minora, uzeta sa znakom “+” ako element matrice zauzima paran položaj, i sa znakom “-” ako element zauzima neparan položaj).
primjer: 
a 23= 4;
- algebarski komplement elementa a 22= 1.
Laplaceov teorem. Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata određenog reda (kolone) njihovim odgovarajućim algebarskim komplementama.
Ilustrirajmo na primjeru determinante trećeg reda. Možete izračunati determinantu trećeg reda proširenjem u prvom redu na sljedeći način:
Slično, možete izračunati determinantu trećeg reda tako što ćete proširiti bilo koji red ili kolonu. Pogodno je proširiti determinantu duž reda (ili stupca) koji sadrži više nula.
Primjer: 
Dakle, proračun determinante 3. reda se svodi na izračunavanje 3 determinante drugog reda. IN opšti slučaj možete izračunati determinantu kvadratne matrice n-ti red, svodeći ga na proračun n odrednice ( n-1)-ti red
Komentar. Ne postoje jednostavni načini za više izračunavanja determinanti high order, slično metodama izračunavanja determinanti 2. i 3. reda. Stoga se za izračunavanje determinanti iznad trećeg reda može koristiti samo metoda ekspanzije.
Primjer. Izračunajte determinantu četvrtog reda.
Proširimo determinantu na elemente trećeg reda
Svojstva determinanti:
1. Odrednica se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene stupcima i obrnuto.
2. Prilikom preuređivanja dva susedna reda (kolone), determinanta menja predznak u suprotan.
3. Determinanta sa dva identična reda (kolone) jednaka je 0.
4. Zajednički faktor svih elemenata određenog reda (kolone) determinante može se izvaditi iz predznaka determinante.
5. Odrednica se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi bilo koje druge kolone (reda) dodaju elementima jedne od njenih kolona (redova), pomnožene određenim brojem.
Neka postoji kvadratna matrica A veličine n x n.
Definicija. Determinanta je algebarski zbir svih mogućih proizvoda elemenata, uzetih po jedan iz svake kolone i svakog reda matrice A. Ako su u svakom takvom umnošku (terminu determinante) faktori poređani redoslijedom kolona (tj. drugi indeksi elemenata a ij u proizvodu su poređani rastućim redoslijedom), onda sa predznakom (+) oni uzimaju se proizvodi čija je permutacija prvih indeksa parna, a sa predznakom (-) – oni za koje je neparna.
.
Ovdje je broj inverzija u permutaciji indeksa i 1, i 2, …, i n.
Metode za pronalaženje determinanti
- Determinanta matrice proširenjem reda i stupca kroz minore.
- Determinanta metodom redukcije u trouglasti oblik (Gaussova metoda)
Svojstvo determinanti
- Kada se matrica transponira, njena determinanta se ne mijenja.
- Ako zamijenite dva reda ili dvije kolone determinante, determinanta će promijeniti predznak, ali se neće promijeniti u apsolutnoj vrijednosti.
- Neka je C = AB gdje su A i B kvadratne matrice. Tada je detC = detA ∙ detB.
- Determinanta sa dva identična reda ili dva identična stupca jednaka je 0. Ako su svi elementi određenog reda ili stupca jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.
- Determinanta sa dva proporcionalna reda ili kolone je 0.
- Determinanta trokutaste matrice jednaka je proizvodu dijagonalnih elemenata. Determinanta dijagonalne matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.
- Ako se svi elementi reda (kolone) pomnože istim brojem, tada će se determinanta pomnožiti s tim brojem.
- Ako se svaki element određenog reda (kolone) determinante predstavi kao zbir dva člana, onda je determinanta jednaka zbroju dvije determinante, u kojoj su svi redovi (kolone) osim ovog isti, a u u ovom redu (koloni) prva odrednica je prvi, au drugom - drugi članovi.
- Jacobijev teorem: Ako elementima određenog stupca determinante dodamo odgovarajuće elemente drugog stupca, pomnožene proizvoljnim faktorom λ, tada se vrijednost determinante neće promijeniti.
- transponovana matrica;
- dodati bilo kojem nizu još jedan niz pomnožen bilo kojim brojem.
Zadatak 1. Izračunajte determinantu tako što ćete je proširiti po redu ili stupcu.
Rješenje :xml :xls
Primjer 1 :xml :xls
Zadatak 2. Izračunajte determinantu na dva načina: a) koristeći pravilo „trouglova“; b) širenje duž linije.
Rješenje.
a) Pojmovi uključeni u znak minus konstruisani su na isti način u odnosu na bočnu dijagonalu.
| = |
b) Zapisujemo matricu u obliku:
| A= |
|
Glavna odrednica:
∆ = 2 (0 0-2 4)-(-1 (2 0-2 1))+(-2 (2 4-0 1)) = -34
Zadatak 3. Navedite čemu je jednaka determinanta kvadratne matrice četvrtog reda A ako je njen rang r(A)=1.
Odgovor: det(A) = 0.
“Ako želiš naučiti plivati, onda hrabro uđi u vodu, a ako želiš naučiti riješiti probleme, To riješiti ih.»
D. Polya (1887-1985)
(Matematičar. Doprineo veliki doprinos u popularizaciji matematike.
Napisao je nekoliko knjiga o tome kako rješavati probleme i kako podučavati rješavanju problema.) Povezano sa svakom kvadratnom matricom broj . Ovaj broj se zove odrednica matrice. Determinanta se izračunava prema posebnim pravilima i označava se |A|, det A
, ΔA. Broj redova (kolona) determinante naziva se njegov.
po redu Odrednica prvog reda matrica je jednaka elementu
a 11: |A|=a 11
Nemojte brkati determinantu prvog reda sa modulom. Odrednica drugog reda
označeno simbolom i jednaka je
|A|=a 11 a 22 -a 12 a 21 Odrednica 3. reda
označeno simbolom Da biste zapamtili ovu formulu, koristite shematska pravila ()
trokut ili Sarrus pravilo
Sarusovo pravilo.
Pravilo trougla.
Pogledajmo primjer kako se ova pravila koriste.
PRIMJER:
Sarus vlada
Dodajmo prve dvije kolone odrednici.
Pravilo trougla
Ova metoda izračunavanja determinanti nije prikladna za determinante reda 4 i više. Prije specificiranja pravila koje vam omogućava da pronađete determinante bilo kojeg reda, razmotrite koncept algebarskog komplementa matričnog elementa. (A ij Algebarski komplement i ij) element A determinanta matrice
Pogledajmo primjer kako se ova pravila koriste.
je broj jednak umnošku (-1) i+j (na stepen broja reda plus broj kolone ovog elementa) i determinante koja se iz zadatog dobija precrtavanjem reda i kolone gdje je ovaj element se nalazi. Izračunajte algebarski komplement element a 21 .
A 21
Po definiciji algebarskog komplementa
Izračunavanje determinante proizvoljnog reda. Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg od njegovih reda (ili stupaca) odgovarajućim algebarskim komplementama.
, proširenje determinante 4. reda duž prvog reda je kako slijedi:
