Primjeri primjene izuzetnih granica tg. Prva izuzetna granica: teorija i primjeri

Sada, mirne duše, pređimo na razmatranje divne granice.
izgleda kao .

Umjesto varijable x mogu biti prisutne različite funkcije, glavna stvar je da teže 0.

Potrebno je izračunati granicu

Kao što vidite, ova granica je vrlo slična prvoj izuzetnoj, ali to nije sasvim tačno. Općenito, ako primijetite grijeh u granici, onda biste trebali odmah razmisliti o tome da li je moguće koristiti prvu izvanrednu granicu.

Prema našem pravilu br. 1, zamjenjujemo nulu umjesto x:

Dobijamo neizvjesnost.

Pokušajmo sada sami organizirati prvu divnu granicu. Da bismo to učinili, napravimo jednostavnu kombinaciju:

Tako organiziramo brojilac i imenilac da istaknemo 7x. Sada se već pojavila poznata divna granica. Preporučljivo je to istaknuti prilikom odlučivanja:

Zamijenimo rješenje s prvim izvanrednim primjerom i dobijemo:

Pojednostavljivanje razlomka:

Odgovor: 7/3.

Kao što vidite, sve je vrlo jednostavno.

izgleda , gdje je e = 2,718281828... iracionalan broj.

Umjesto varijable x mogu biti prisutne različite funkcije, glavna stvar je da teže .

Potrebno je izračunati granicu

Ovdje vidimo prisustvo stepena pod znakom granice, što znači da je moguće koristiti drugu izuzetnu granicu.

Kao i uvek, koristićemo pravilo br. 1 - zameni x umesto:

Može se vidjeti da je kod x osnova stepena , a eksponent 4x > , tj. dobijamo nesigurnost oblika:

Iskoristimo drugu divnu granicu da otkrijemo svoju neizvjesnost, ali prvo je moramo organizirati. Kao što vidite, potrebno je da postignemo prisustvo u indikatoru, za šta podižemo bazu na stepen 3x, a istovremeno i na stepen od 1/3x, kako se izraz ne bi promenio:

Ne zaboravite istaknuti naše divno ograničenje:

Takvi su zaista divne granice!
Ako još uvijek imate pitanja o prva i druga divna granica, onda ih slobodno pitajte u komentarima.
Svima ćemo odgovoriti koliko god je to moguće.

Takođe možete raditi sa nastavnikom na ovoj temi.
Sa zadovoljstvom Vam možemo ponuditi usluge odabira kvalifikovanog tutora u Vašem gradu. Naši partneri će brzo odabrati dobrog nastavnika za vas po povoljnim uslovima.

Nemate dovoljno informacija? - Možeš!

Možete pisati matematičke proračune u notes. Mnogo je prijatnije pisati pojedinačno u sveske sa logotipom (http://www.blocnot.ru).

Iz gornjeg članka možete saznati koja je granica i sa čime se jede - ovo je JAKO važno. Zašto? Možda ne razumete šta su determinante i da ih uspešno rešite, možda uopšte ne razumete šta je derivacija i nađete ih sa „A“. Ali ako ne razumijete što je granica, onda će rješavanje praktičnih zadataka biti teško. Također bi bilo dobro da se upoznate s primjerima rješenja i mojim preporukama za dizajn. Sve informacije su predstavljene u jednostavnom i pristupačnom obliku.

A za potrebe ove lekcije trebat će nam sljedeći nastavni materijali: Wonderful Limits I Trigonometrijske formule. Mogu se naći na stranici. Najbolje je odštampati priručnike - to je mnogo praktičnije, a osim toga, često ćete morati da ih koristite van mreže.

Šta je tako posebno u izuzetnim granicama? Izvanredna stvar u vezi s ovim granicama je to što su ih dokazali najveći umovi poznatih matematičara, a zahvalni potomci ne moraju patiti od strašnih granica s gomilom trigonometrijskih funkcija, logaritama, potencija. Odnosno, pri pronalaženju granica koristit ćemo gotove rezultate koji su teoretski dokazani.

Postoji nekoliko divnih granica, ali u praksi vanredni studenti u 95% slučajeva imaju dvije divne granice: Prva divna granica, Druga divna granica. Treba napomenuti da su to istorijski ustaljeni nazivi, a kada se, na primjer, govori o „prvoj izuzetnoj granici“, pod tim se misli na sasvim konkretnu stvar, a ne na neku nasumično uzetu granicu sa plafona.

Prva divna granica

Uzmite u obzir sljedeće ograničenje: (umjesto izvornog slova "he" koristit ću grčko pismo“alfa”, ovo je pogodnije sa stanovišta prezentacije materijala).

Prema našem pravilu za pronalaženje granica (vidi članak Ograničenja. Primjeri rješenja) pokušavamo da zamenimo nulu u funkciju: u brojiocu dobijamo nulu (sinus nule je nula), au nazivniku, očigledno, takođe postoji nula. Dakle, suočeni smo s neizvjesnošću forme, koju, na sreću, ne treba otkrivati. U toku matematičke analize, dokazano je da:

Ova matematička činjenica se zove Prva divna granica. Neću davati analitički dokaz granice, ali ćemo pogledati njeno geometrijsko značenje u lekciji o infinitezimalne funkcije.

Često u praktični zadaci funkcije se mogu drugačije rasporediti, to ništa ne mijenja:

- ista prva divna granica.

Ali ne možete sami preurediti brojilac i imenilac! Ako je ograničenje dato u obliku , onda se mora riješiti u istom obliku, bez preuređivanja bilo čega.

U praksi, ne samo varijabla, već i elementarna funkcija može djelovati kao parametar, složena funkcija. Jedina važna stvar je da teži nuli.

primjeri:
, , ,

ovdje , , , , i sve je dobro - prva divna granica je primjenjiva.

Ali sljedeći unos je hereza:

Zašto? Pošto polinom ne teži nuli, teži petici.

Usput, kratko pitanje: koja je granica? ? Odgovor možete pronaći na kraju lekcije.

U praksi, nije sve tako glatko, studentu se gotovo nikada ne ponudi da riješi besplatni limit i dobije laku prolaznost. Hmmm... Pišem ove redove i pala mi je na pamet jedna vrlo važna misao - uostalom, bolje je pamtiti "besplatne" matematičke definicije i formule napamet, to može biti od neprocjenjive pomoći u testu, kada će pitanje bude odlučeno između „dva“ i „tri“, a nastavnik odlučuje da učeniku postavi neko jednostavno pitanje ili ponudi da reši jednostavan primer („možda on(i) još uvek zna šta?!“).

Idemo dalje na razmatranje praktični primjeri:

Primjer 1

Pronađite granicu

Ako primijetimo sinus u granici, to bi nas odmah trebalo navesti na razmišljanje o mogućnosti primjene prve izvanredne granice.

Prvo, pokušavamo zamijeniti 0 u izraz ispod znaka granice (to radimo mentalno ili na nacrtu):

Dakle, imamo nesigurnost forme obavezno naznačite u donošenju odluke. Izraz pod znakom granice je sličan prvoj divnoj granici, ali to nije baš to, nalazi se ispod sinusa, ali u nazivniku.

U takvim slučajevima moramo sami organizirati prvu izvanrednu granicu, koristeći umjetnu tehniku. Rezonovanje bi moglo biti sljedeće: “ispod sinusa imamo , što znači da i mi trebamo ući u nazivnik.”
A to se radi vrlo jednostavno:

To jest, nazivnik se u ovom slučaju umjetno množi sa 7 i dijeli sa istim sedam. Sada je naš snimak poprimio poznati oblik.
Kada se zadatak sastavlja rukom, preporučljivo je označiti prvu izvanrednu granicu jednostavnom olovkom:

sta se desilo? Zapravo, naš zaokruženi izraz se pretvorio u jedinicu i nestao u radu:

Sada ostaje samo da se riješimo trospratne frakcije:

Ko je zaboravio pojednostavljenje razlomaka na više nivoa, osvježite materijal u priručniku Vruće formule za školski kurs matematike .

Spreman. Konačan odgovor:

Ako ne želite koristiti oznake olovkom, rješenje se može napisati ovako:

“

Iskoristimo prvu divnu granicu

“

Primjer 2

Pronađite granicu

Opet vidimo razlomak i sinus u granici. Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:

Zaista, imamo neizvjesnost i stoga moramo pokušati organizirati prvu divnu granicu. U razredu Ograničenja. Primjeri rješenja uzeli smo u obzir pravilo da kada imamo nesigurnost, moramo rastaviti brojilac i imenilac. Ovdje je ista stvar, predstavit ćemo stupnjeve kao proizvod (množitelje):

Slično kao u prethodnom primjeru, crtamo olovkom oko izuzetnih granica (ovdje su dvije) i pokazujemo da teže jedinstvu:

Zapravo, odgovor je spreman:

U sljedećim primjerima neću raditi umjetnost u Paintu, razmišljam kako ispravno nacrtati rješenje u bilježnici - već razumijete.

Primjer 3

Pronađite granicu

Zamjenjujemo nulu u izraz ispod predznaka granice:

Dobivena je nesigurnost koju treba otkriti. Ako postoji tangenta u granici, onda se gotovo uvijek pretvara u sinus i kosinus koristeći dobro poznatu trigonometrijsku formulu (usput, oni rade približno istu stvar s kotangensom, pogledajte metodološki materijal Vruće trigonometrijske formule na stranici Matematičke formule, tabele i referentni materijali).

u ovom slučaju:

Kosinus nule jednak je jedan i lako ga se riješiti (ne zaboravite označiti da teži jedan):

Dakle, ako je u granici kosinus MNOŽITELJ, onda ga, grubo rečeno, treba pretvoriti u jedinicu, koja nestaje u proizvodu.

Ovdje je sve ispalo jednostavnije, bez ikakvih množenja i dijeljenja. Prva izuzetna granica se također pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Kao rezultat, dobija se beskonačnost i to se dešava.

Primjer 4

Pronađite granicu

Pokušajmo zamijeniti nulu u brojnik i imenilac:

Dobija se nesigurnost (kosinus nule, kao što se sjećamo, jednak je jedan)

Koristimo trigonometrijsku formulu. Imajte na umu! Iz nekog razloga, ograničenja koja koriste ovu formulu su vrlo česta.

Pomaknimo konstantne faktore izvan ikone ograničenja:

Organizirajmo prvi divan limit:

Ovdje imamo samo jedno izuzetno ograničenje koje se pretvara u jedno i nestaje u proizvodu:

Oslobodimo se trospratne strukture:

Granica je zapravo riješena, ukazujemo da preostali sinus teži nuli:

Primjer 5

Pronađite granicu

Ovaj primjer je komplikovaniji, pokušajte sami shvatiti:

Neka ograničenja se mogu svesti na 1. izuzetnu granicu promjenom varijable, o tome možete pročitati malo kasnije u članku Metode rješavanja granica.

Druga divna granica

U teoriji matematičke analize dokazano je da:

Ova činjenica se zove druga divna granica.

referenca: je iracionalan broj.

Parametar može biti ne samo varijabla, već i složena funkcija. Važno je samo da teži beskonačnosti.

Primjer 6

Pronađite granicu

Kada je izraz ispod graničnog znaka u stepenu, ovo je prvi znak da trebate pokušati primijeniti drugu divnu granicu.

Ali prvo, kao i uvijek, pokušavamo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz, princip po kojem se to radi govori se u lekciji Ograničenja. Primjeri rješenja.

Lako je primijetiti da kada baza stepena je , a eksponent je , odnosno postoji nesigurnost oblika:

Ova neizvjesnost se upravo otkriva uz pomoć druge izvanredne granice. Ali, kao što se često dešava, druga divna granica ne leži na srebrnom tacni, i treba je veštački organizovati. Možete rezonovati na sljedeći način: u ovom primjeru parametar je , što znači da također moramo organizirati u indikatoru. Da bismo to učinili, podižemo bazu na potenciju, a da se izraz ne promijeni, dižemo je na stepen:

Kada je zadatak završen rukom, olovkom označavamo:

Skoro sve je spremno, strašni stepen se pretvorio u lepo pismo:

U ovom slučaju premjestimo samu ikonu ograničenja na indikator:

Primjer 7

Pronađite granicu

Pažnja! Ova vrsta ograničenja se javlja vrlo često, molimo vas da pažljivo proučite ovaj primjer.

Pokušajmo zamijeniti beskonačno veliki broj u izraz ispod predznaka granice:

Rezultat je neizvjesnost. Ali druga izuzetna granica odnosi se na nesigurnost forme. sta da radim? Moramo da konvertujemo osnovu stepena. Mi razmišljamo ovako: u nazivniku imamo , što znači da u brojniku također trebamo organizirati .

Formula za drugu izuzetnu granicu je lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Drugi oblik pisanja izgleda ovako: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Kada govorimo o drugoj izuzetnoj granici, moramo se pozabaviti nesigurnošću oblika 1 ∞, tj. jedinicu do beskonačnog stepena.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razmotrimo probleme u kojima će biti korisna sposobnost izračunavanja druge izuzetne granice.

Primjer 1

Pronađite granični lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Rješenje

Zamijenimo traženu formulu i izvršimo proračune.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Ispostavilo se da je naš odgovor jedan na moć beskonačnosti. Za određivanje metode rješenja koristimo tablicu nesigurnosti. Odaberimo drugu izuzetnu granicu i izvršimo promjenu varijabli.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Ako je x → ∞, tada je t → - ∞.

Da vidimo šta smo dobili nakon zamjene:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

odgovor: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Primjer 2

Izračunajte granicu lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Rješenje

Zamenimo beskonačnost i dobijemo sledeće.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

U odgovoru smo opet dobili isto što i u prethodnom zadatku, dakle, opet možemo koristiti drugu divnu granicu. Zatim moramo odabrati na bazi funkcija snage cijeli dio:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Nakon toga, limit poprima sljedeći oblik:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Zamijenite varijable. Pretpostavimo da je t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ako je x → ∞, tada je t → ∞.

Nakon toga zapisujemo ono što smo dobili u originalnom limitu:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Da bismo izvršili ovu transformaciju, koristili smo osnovna svojstva granica i moći.

odgovor: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Primjer 3

Izračunajte granični lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Rješenje

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Nakon toga, moramo transformirati funkciju da primijenimo drugu veliku granicu. dobili smo sljedeće:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Budući da sada imamo iste eksponente u brojiocu i nazivniku razlomka (jednake šest), granica razlomka na beskonačnosti će biti jednaka omjeru ovih koeficijenata na višim potencijama.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Zamjenom t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 dobijamo drugu izuzetnu granicu. to znači da:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

odgovor: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

Zaključci

Nesigurnost 1 ∞, tj. jedinstvo na beskonačni stepen je nesigurnost po stepenu, stoga se može otkriti korištenjem pravila za pronalaženje granica eksponencijalnih funkcija stepena.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

dokaz:

Hajde da prvo dokažemo teoremu za slučaj niza

Prema Newtonovoj binomnoj formuli:

Pod pretpostavkom da dobijemo

Iz ove jednakosti (1) slijedi da kako n raste, broj pozitivnih članova na desnoj strani raste. Osim toga, kako n raste, broj se smanjuje, pa tako i vrijednosti se povećavaju. Stoga redoslijed raste, i (2)*Pokazujemo da je ograničen. Zamijenite svaku zagradu na desnoj strani jednakosti jednim, desnu stranu raste, dobijamo nejednakost

Pojačajmo rezultirajuću nejednakost, zamijenimo 3,4,5, ..., koje stoji u nazivnicima razlomaka, brojem 2: Zbir pronalazimo u zagradi koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije: Stoga (3)*

Dakle, niz je ograničen odozgo, a nejednakosti (2) i (3) su zadovoljene: Stoga, na osnovu Weierstrassove teoreme (kriterij za konvergenciju niza), niz monotono raste i ograničen je, što znači da ima granicu, označenu slovom e. One.

Znajući da je druga izuzetna granica istinita za prirodne vrijednosti x, dokazujemo drugu izuzetnu granicu za realno x, odnosno dokazujemo da . Razmotrimo dva slučaja:

1. Neka je svaka vrijednost x zatvorena između dva pozitivna cijela broja: ,gdje je cijeli broj x. => =>

Ako , onda Prema tome, prema granici Imamo

Na osnovu kriterija (o granici međufunkcije) postojanja granica

2. Neka . Onda napravimo zamjenu − x = t

Iz ova dva slučaja proizilazi da za pravi x.

Posljedice:

9 .) Poređenje infinitezimala. Teorema o zamjeni infinitezimala s ekvivalentnim u graničnom dijelu i teorema o glavnom dijelu infinitezimala.

Neka su funkcije a( x) i b( x) – b.m. at x ® x 0 .

DEFINICIJE.

1)a( x) pozvao beskonačno malo više high order kako b (x) Ako

Zapišite: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) I b( x)su pozvani infinitezimima istog reda, Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

Zapišite: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) I b( x) su pozvani ekvivalentno , Ako

Zapišite: a( x) ~ b( x).

4)a( x) naziva se infinitezimalnim reda k relativnom
apsolutno beskonačno mali b( x), ako je beskonačno mali a( x)I(b( x))k imaju isti red, tj. Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

TEOREMA 6 (o zamjeni infinitezimalnih s ekvivalentnim).

Neka a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. na x ® x 0 . Ako a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

To

Dokaz: Neka je a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Onda

TEOREMA 7 (o glavnom dijelu infinitezimalnog).

Neka a( x)I b( x)– b.m. na x ® x 0 , i b( x)– b.m. višeg reda od a( x).

= , a pošto b( x) – viši red od a( x), zatim, tj. od jasno je da ( x) + b( x) ~ a( x)

10) Kontinuitet funkcije u tački (na jeziku epsilon-delta, geometrijske granice) Jednostrani kontinuitet. Kontinuitet na intervalu, na segmentu. Svojstva kontinuiranih funkcija.

1. Osnovne definicije

Neka f(x) je definiran u nekom susjedstvu tačke x 0 .

DEFINICIJA 1. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 ako je jednakost tačna

Bilješke.

1) Na osnovu teoreme 5 §3, jednakost (1) se može napisati u obliku

Stanje (2) – definicija kontinuiteta funkcije u tački u jeziku jednostranih granica.

2) Jednakost (1) se može napisati i kao:

Kažu: „ako je funkcija kontinuirana u nekoj tački x 0, tada se predznak granice i funkcija mogu zamijeniti."

DEFINICIJA 2 (na e-d jeziku).

Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 Ako"e>0 $d>0 takav, sta

ako je x OU( x 0 , d) (tj. | x – x 0 | < d),

zatim f(x)ÎU( f(x 0), e) (tj. | f(x) – f(x 0) | < e).

Neka x, x 0 Î D(f) (x 0 – fiksno, x – proizvoljno)

Označimo: D x= x – x 0 – povećanje argumenta

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – povećanje funkcije u tačkix 0

DEFINICIJA 3 (geometrijska).

Funkcija f(x) na pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 ako u ovom trenutku beskonačno mali prirast u argumentu odgovara beskonačno malom prirastu funkcije, tj.

Neka funkcija f(x) je definiran na intervalu [ x 0 ; x 0 + d) (na intervalu ( x 0 – d; x 0 ]).

DEFINICIJA. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 u pravu (lijevo ), ako je jednakost tačna

Očigledno je da f(x) je kontinuiran u tački x 0 Û f(x) je kontinuiran u tački x 0 desno i lijevo.

DEFINICIJA. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u intervalu e ( a; b) ako je kontinuiran u svakoj tački ovog intervala.

Funkcija f(x) se naziva kontinuirano na segmentu [a; b] ako je kontinuirano na intervalu (a; b) i ima jednosmjerni kontinuitet na graničnim tačkama(tj. kontinuirano u tački a desno, u tački b- lijevo).

11) Prelomne tačke, njihova klasifikacija

DEFINICIJA. Ako je funkcija f(x) definisano u nekom okruženju tačke x 0 , ali u ovom trenutku nije kontinuirano f(x) naziva se diskontinuiranim u tački x 0 , i sama tačka x 0 nazvana tačka prekida funkcije f(x) .

Bilješke.

1) f(x) može se definirati u nekompletnom susjedstvu tačke x 0 .

Zatim razmotrite odgovarajući jednostrani kontinuitet funkcije.

2) Iz definicije Þ tačke x 0 je tačka prekida funkcije f(x) u dva slučaja:

a) U( x 0 , d)O D(f), ali za f(x) jednakost ne vrijedi

b) U * ( x 0 , d)O D(f) .

Za elementarne funkcije moguć je samo slučaj b).

Neka x 0 – tačka prekida funkcije f(x) .

DEFINICIJA. Tačka x 0 pozvao tačka prekida I nekako ako funkcija f(x)ima konačne granice na lijevoj i desnoj strani u ovoj tački.

Ako su ove granice jednake, tada je tačka x 0 pozvao uklonjiva tačka prekida , inače – jump point .

DEFINICIJA. Tačka x 0 pozvao tačka prekida II nekako ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije f(x)u ovom trenutku jednaka¥ ili ne postoji.

12) Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu (teoreme Weierstrassa (bez dokaza) i Cauchy

Weierstrassova teorema

Neka je funkcija f(x) neprekidna na intervalu, dakle

1)f(x) je ograničen na

2)f(x) uzima svoju najmanju vrijednost na intervalu i najveća vrijednost

Definicija: Vrijednost funkcije m=f naziva se najmanjom ako je m≤f(x) za bilo koje x€ D(f).

Za vrijednost funkcije m=f se kaže da je najveća ako je m≥f(x) za bilo koje x € D(f).

Funkcija može poprimiti najmanju/najveću vrijednost u nekoliko tačaka segmenta.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchyjev teorem.

Neka je funkcija f(x) neprekidna na segmentu i x je broj između f(a) i f(b), tada postoji barem jedna tačka x 0 € takva da je f(x 0)= g