Karakteristična jednačina drugog reda. Nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda

Ovdje ćemo primijeniti metodu varijacije Lagrangeovih konstanti za rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalne jednadžbe drugi red. Detaljan opis ova metoda za rješavanje jednačina proizvoljnog reda je opisana na stranici
Rješenje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi višeg reda Lagrangeovom metodom >>>.

Primjer 1

Riješite diferencijalnu jednadžbu drugog reda sa konstantnim koeficijentima koristeći metodu varijacije Lagrangeovih konstanti:
(1)

Rješenje

Prvo rješavamo homogenu diferencijalnu jednačinu:
(2)

Ovo je jednačina drugog reda.

Rješavanje kvadratne jednadžbe:
.
Višestruki korijeni: .
(3) .
Osnovni sistem rješenja jednačine (2) ima oblik: Odavde dobijamo opšte rešenje (2):
(4) .

homogena jednačina 1 Variranje konstanti C 2 i C
.
.
(5) .

Odnosno, konstante u (4) zamjenjujemo funkcijama:
.
Tražimo rješenje izvorne jednačine (1) u obliku:
(6) .
Pronalaženje derivata:
.

Povežimo funkcije i jednačinu:
.
Onda
(1) ;



.
Nalazimo drugi izvod:
(7) .
Zamijenite u originalnu jednačinu (1):

Pošto i zadovoljavaju homogenu jednačinu (2), zbir članova u svakoj koloni posljednja tri reda daje nulu i prethodna jednačina poprima oblik:
(6) :
(7) .

Evo.

Zajedno sa jednačinom (6) dobijamo sistem jednadžbi za određivanje funkcija i:
.
Rješavanje sistema jednačina
;
.

Rješavamo sistem jednačina (6-7). Napišimo izraze za funkcije i:

.
Pronalazimo njihove derivate:
;
.

Sistem jednačina (6-7) rješavamo Cramerovom metodom. Izračunavamo determinantu sistemske matrice:
;
.
Koristeći Cramerove formule nalazimo:
; ; ; .

.
.

;
.

Dakle, pronašli smo derivate funkcija:

Hajde da integrišemo (pogledajte Metode za integraciju korena). Pravljenje zamene

Odgovori
(8)

Rješenje

Primjer 2

Riješite diferencijalnu jednadžbu metodom varijacije Lagrangeovih konstanti:

(9)
Korak 1. Rješavanje homogene jednačine

Rješavamo homogenu diferencijalnu jednačinu:
.
Tražimo rješenje u formi .
(10) .
Sastavljamo karakterističnu jednačinu: Ova jednadžba ima kompleksne korijene:
(11) .

Osnovni sistem rješenja koji odgovara ovim korijenima ima oblik:

Opšte rješenje 1 Variranje konstanti C 2 homogena jednadžba (9):
.
Tražimo rješenje izvorne jednadžbe (8) u obliku:
(12) .

Nadalje, napredak rješenja je isti kao u primjeru 1. Dolazimo do sljedećeg sistema jednadžbi za određivanje funkcija i:
(13) :
(14) .
Zamijenite u originalnu jednačinu (1):

Evo.

Hajde da rešimo ovaj sistem. Zapišimo izraze za funkcije i :
.
Iz tabele derivata nalazimo:
;
.

Sistem jednačina (13-14) rješavamo Cramerovom metodom. Odrednica sistemske matrice:

.
Pronalazimo njihove derivate:
;
.

.
Budući da , znak modula pod znakom logaritma može biti izostavljen. Pomnožite brojilac i imenilac sa:
.
Pronalaženje derivata:
.

Opće rješenje originalne jednačine:


.

Obrazovna ustanova „Beloruska država

Poljoprivredna akademija"

Katedra za višu matematiku

Smjernice

izučavati temu „Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda“ studenata računovodstvenog fakulteta dopisnog obrazovanja (NISPO)

Gorki, 2013

Linearne diferencijalne jednadžbe

drugi red sa konstantamakoeficijenti

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe

Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima zove jednačina oblika

one. jednadžba koja sadrži željenu funkciju i njene derivate samo do prvog stepena i ne sadrži njihove proizvode. U ovoj jednačini I
- neki brojevi i funkcija
dati u određenom intervalu
.

Ako
na intervalu
, tada će jednačina (1) poprimiti oblik

, (2)

i zove se linearno homogeno . Inače, jednačina (1) se zove linearno nehomogeno .

Razmotrite složenu funkciju

, (3)

Gdje
I
- stvarne funkcije. Ako je funkcija (3) kompleksno rješenje jednadžbe (2), onda je realni dio
, i imaginarni dio
rješenja
odvojeno su rješenja iste homogene jednadžbe. Dakle, svako kompleksno rješenje jednačine (2) generiše dva realna rješenja ove jednačine.

Rješenja homogene linearne jednadžbe imaju sljedeća svojstva:

Ako je rješenje jednadžbe (2), zatim funkcija
, Gdje WITH– proizvoljna konstanta će također biti rješenje jednačine (2);

Ako I postoje rješenja jednadžbe (2), zatim funkcije
će također biti rješenje jednačine (2);

Ako I postoje rješenja jednadžbe (2), zatim njihova linearna kombinacija
također će biti rješenje jednačine (2), gdje je I
– proizvoljne konstante.

Funkcije
I
su pozvani linearno zavisna na intervalu
, ako takvi brojevi postoje I
, nije jednako nuli u isto vrijeme, da je na ovom intervalu jednakost

Ako se jednakost (4) javlja samo kada
I
, zatim funkcije
I
su pozvani linearno nezavisna na intervalu
.

Primjer 1 . Funkcije
I
su linearno zavisne, pošto
na cijeloj brojevnoj pravoj. U ovom primjeru
.

Primjer 2 . Funkcije
I
su linearno nezavisne od bilo kojeg intervala, budući da je jednakost
moguće je samo u slučaju kada
, And
.

Konstrukcija općeg rješenja linearne homogene

jednačine

Da biste pronašli opće rješenje jednačine (2), potrebno je pronaći dva njena linearno nezavisna rješenja I . Linearna kombinacija ovih rješenja
, Gdje I
su proizvoljne konstante, i daće opšte rešenje linearne homogene jednačine.

Tražit ćemo linearno nezavisna rješenja jednačine (2) u obliku

, (5)

Gdje – određeni broj. Onda
,
. Zamijenimo ove izraze u jednačinu (2):

ili
.

Jer
, To
. Dakle, funkcija
će biti rješenje jednačine (2) ako će zadovoljiti jednačinu

. (6)

Jednačina (6) se zove karakteristična jednačina za jednačinu (2). Ova jednačina je algebarska kvadratna jednačina.

Neka I postoje korijeni ove jednačine. Oni mogu biti ili stvarni i različiti, ili složeni, ili stvarni i jednaki. Hajde da razmotrimo ove slučajeve.

Pustite korijene I karakteristična jednačina validan i drugačiji. Tada će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije
I
. Ova rješenja su linearno nezavisna, budući da je jednakost
može se izvršiti samo kada
, And
. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik

,

Gdje I
- proizvoljne konstante.

Primjer 3
.

Rješenje . Karakteristična jednačina za ovaj diferencijal će biti
. Odlučivši ovo kvadratna jednačina, hajde da pronađemo njegove korene
I
. Funkcije
I
su rješenja diferencijalne jednadžbe. Opšte rješenje ove jednačine je
.

Kompleksni broj nazvan izrazom forme
, Gdje I su realni brojevi, i
nazvana imaginarna jedinica. Ako
, zatim broj
naziva se čisto imaginarnim. Ako
, zatim broj
identificira se sa stvarnim brojem .

Broj naziva se realni dio kompleksnog broja, i - imaginarni dio. Ako se dva kompleksna broja razlikuju jedan od drugog samo po predznaku imaginarnog dijela, onda se nazivaju konjugiranim:
,
.

Primjer 4 . Riješi kvadratnu jednačinu
.

Rješenje . Diskriminantna jednačina
. Onda. Isto tako,
. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima konjugirane kompleksne korijene.

Neka su korijeni karakteristične jednadžbe složeni, tj.
,
, Gdje
.
,
Rješenja jednačine (2) mogu se napisati u obliku
,
ili

,
.

.
I
Prema Ojlerovim formulama

Zatim,. Kao što je poznato, ako je kompleksna funkcija rješenje linearne homogene jednadžbe, tada su rješenja ove jednadžbe i stvarni i imaginarni dio ove funkcije. Dakle, rješenja jednačine (2) će biti funkcije
I
. Od jednakosti

Gdje I
- proizvoljne konstante.

može se izvršiti samo ako , tada su ova rješenja linearno nezavisna. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik
.

Rješenje Primjer 5
je karakterističan za dati diferencijal. Hajde da to riješimo i dobijemo složene korijene
,
. Funkcije
I
su linearno nezavisna rješenja diferencijalne jednadžbe. Opšte rješenje ove jednačine je:

Neka su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki, tj.
. Tada su rješenja jednadžbe (2) funkcije
I
. Ova rješenja su linearno nezavisna, jer izraz može biti identično jednak nuli samo kada
I
. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik
.

Primjer 6 , tada su ova rješenja linearno nezavisna. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik
.

Rješenje . Karakteristična jednačina
ima jednake korene
. U ovom slučaju, linearno nezavisna rješenja diferencijalne jednadžbe su funkcije
I
. Opšte rješenje ima oblik
.

Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima

i posebna desna strana

Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe (1) jednako je zbroju općeg rješenja
odgovarajuću homogenu jednačinu i bilo koje posebno rješenje
nehomogena jednačina:
.

U nekim slučajevima, određeno rješenje nehomogene jednadžbe može se jednostavno pronaći u obliku desne strane
jednačina (1). Pogledajmo slučajeve u kojima je to moguće.

one. desna strana nehomogene jednadžbe je polinom stepena m. Ako
nije korijen karakteristične jednadžbe, onda bi određeno rješenje nehomogene jednadžbe trebalo tražiti u obliku polinoma stepena m, tj.

Odds
određuju se u procesu pronalaženja određenog rješenja.

Ako
je korijen karakteristične jednadžbe, onda se određeno rješenje nehomogene jednadžbe treba tražiti u obliku

Primjer 7 , tada su ova rješenja linearno nezavisna. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik
.

Rješenje . Odgovarajuća homogena jednačina za zadata jednačina je
. Njegova karakteristična jednačina
ima korene
I
. Opće rješenje homogene jednačine ima oblik
.

Jer
nije korijen karakteristične jednadžbe, tada ćemo tražiti određeno rješenje nehomogene jednadžbe u obliku funkcije
. Nađimo derivate ove funkcije
,
i zamijeni ih u ovu jednačinu:

ili . Izjednačimo koeficijente za i besplatni članovi:
Odlučivši ovaj sistem, dobijamo
,
. Tada određeno rješenje nehomogene jednadžbe ima oblik
, a opšte rješenje date nehomogene jednadžbe bit će zbir opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe i posebnog rješenja nehomogene jednadžbe:
.

Neka nehomogena jednadžba ima oblik

Ako
nije korijen karakteristične jednadžbe, onda posebno rješenje nehomogene jednačine treba tražiti u obliku. Ako
je korijen jednadžbe karakteristične višestrukosti k (k=1 ili k=2), tada će u ovom slučaju određeno rješenje nehomogene jednadžbe imati oblik .

Primjer 8 , tada su ova rješenja linearno nezavisna. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik
.

Rješenje . Karakteristična jednačina za odgovarajuću homogenu jednačinu ima oblik
. Njegovi koreni
,
. U ovom slučaju, opće rješenje odgovarajuće homogene jednačine se zapisuje u obliku
.

Budući da broj 3 nije korijen karakteristične jednadžbe, posebno rješenje nehomogene jednačine treba tražiti u obliku
. Nađimo derivate prvog i drugog reda:

Zamijenimo u diferencijalnu jednačinu:
+ +,
+,.

Izjednačimo koeficijente za i besplatni članovi:

Odavde
,
. Tada određeno rješenje ove jednačine ima oblik
, i opšte rješenje

.

Lagrangeova metoda varijacije proizvoljnih konstanti

Metoda variranja proizvoljnih konstanti može se primijeniti na bilo koju nehomogenu linearnu jednačinu sa konstantnim koeficijentima, bez obzira na tip desne strane. Ova metoda vam omogućava da uvijek pronađete opšte rješenje nehomogene jednačine ako je poznato opšte rješenje odgovarajuće homogene jednačine.

Neka
I
su linearno nezavisna rješenja jednadžbe (2). Tada je opšte rješenje ove jednačine
, Gdje I
- proizvoljne konstante. Suština metode variranja proizvoljnih konstanti je da se opšte rješenje jednačine (1) traži u obliku

Gdje
I
- nove nepoznate funkcije koje treba pronaći. Budući da postoje dvije nepoznate funkcije, da bi se one pronašle, potrebne su dvije jednadžbe koje sadrže ove funkcije. Ove dvije jednačine čine sistem

koji je linearni algebarski sistem jednačina u odnosu na
I
. Rješavajući ovaj sistem, nalazimo
I
. Integracijom obe strane dobijenih jednakosti nalazimo

I
.

Zamjenom ovih izraza u (9) dobijamo opće rješenje nehomogene linearne jednačine (1).

Primjer 9 , tada su ova rješenja linearno nezavisna. Stoga, opće rješenje jednačine (2) ima oblik
.

Rješenje. Karakteristična jednačina za homogenu jednačinu koja odgovara datoj diferencijalnoj jednačini je
. Njegovi korijeni su složeni
,
. Jer
I
, To
,
, a opšte rješenje homogene jednadžbe ima oblik. Zatim ćemo tražiti opšte rješenje ove nehomogene jednačine u obliku gdje
I
- nepoznate funkcije.

Sistem jednačina za pronalaženje ovih nepoznatih funkcija ima oblik

Nakon što smo riješili ovaj sistem, nalazimo
,
. Onda

,
. Zamijenimo rezultirajuće izraze u formulu za opće rješenje:

Ovo je opšte rješenje ove diferencijalne jednadžbe, dobiveno Lagrangeovom metodom.

Pitanja za samokontrolu znanja

Koja se diferencijalna jednadžba naziva linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima?

Koja linearna diferencijalna jednadžba se naziva homogena, a koja nehomogena?

Koja svojstva ima linearna homogena jednačina?

Koja se jednačina naziva karakterističnom za linearnu diferencijalnu jednačinu i kako se ona dobija?

U kom obliku je opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima zapisano u slučaju različitih korijena karakteristične jednadžbe?

U kom obliku je opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima zapisano u slučaju jednakih korijena karakteristične jednačine?

U kom obliku je opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe sa konstantnim koeficijentima zapisano u slučaju kompleksnih korijena karakteristične jednadžbe?

Kako se piše opšte rješenje linearne nehomogene jednadžbe?

U kom obliku se traži određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe ako su korijeni karakteristične jednadžbe različiti i nisu jednaki nuli, a desna strana jednačine je polinom stepena m?

U kom obliku se traži određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe ako postoji jedna nula među korijenima karakteristične jednačine, a desna strana jednačine je polinom stepena m?

Koja je suština Lagrangeove metode?

Jednačina

gdje su i kontinuirane funkcije u intervalu naziva se nehomogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, funkcije i su njeni koeficijenti. Ako je u ovom intervalu, onda jednačina poprima oblik:

i naziva se homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Ako jednačina (**) ima iste koeficijente kao i jednačina (*), onda se naziva homogena jednačina koja odgovara nehomogenoj jednačini (*).

Homogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda

Neka u linearnoj jednadžbi

I su konstantni realni brojevi.

Tražit ćemo određeno rješenje jednadžbe u obliku funkcije , gdje je realno ili kompleksni broj, da se utvrdi. Razlikovanje po , dobijamo:

Zamjenom u originalnu diferencijalnu jednačinu dobijamo:

Dakle, uzimajući u obzir da , imamo:

Ova jednačina se naziva karakteristična jednačina homogene linearne diferencijalne jednadžbe. Karakteristična jednačina omogućava pronalaženje. Ovo je jednadžba drugog stepena, tako da ima dva korijena. Označimo ih sa i . Moguća su tri slučaja:

1) Korijeni su stvarni i različiti. U ovom slučaju, opšte rješenje jednačine je:

Primjer 1

2) Korijeni su realni i jednaki. U ovom slučaju, opšte rješenje jednačine je:

Primjer2

Jeste li se našli na ovoj stranici pokušavajući riješiti problem za ispit ili test? Ako još uvijek niste uspjeli položiti ispit, sljedeći put zakažite termin unaprijed na web stranici o Online pomoći u višoj matematici.

Karakteristična jednačina ima oblik:

Rješenje karakteristične jednadžbe:

Opće rješenje originalne diferencijalne jednadžbe je:

3) Složeni korijeni. U ovom slučaju, opšte rješenje jednačine je:

Primjer 3

Karakteristična jednačina ima oblik:

Rješenje karakteristične jednadžbe:

Opće rješenje originalne diferencijalne jednadžbe je:

Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda

Razmotrimo sada rješenje nekih vrsta linearnih nehomogenih jednadžbi drugog reda sa konstantnim koeficijentima

gdje su i konstantni realni brojevi, je poznata kontinuirana funkcija u intervalu . Za pronalaženje općeg rješenja takve diferencijalne jednadžbe potrebno je poznavati opće rješenje odgovarajuće homogene diferencijalne jednadžbe i posebno rješenje. Pogledajmo neke slučajeve:

Također tražimo parcijalno rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku kvadratnog trinoma:

Ako je 0 jedan korijen karakteristične jednadžbe, onda

Ako je 0 dvostruki korijen karakteristične jednadžbe, onda

Slična je situacija ako je polinom proizvoljnog stepena

Primjer 4

Rešimo odgovarajuću homogenu jednačinu.

Karakteristična jednačina:

Opće rješenje homogene jednačine:

Nađimo posebno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe:

Zamjenom pronađenih izvoda u originalnu diferencijalnu jednačinu dobivamo:

Zahtevano posebno rešenje:

Opće rješenje originalne diferencijalne jednadžbe je:

Tražimo određeno rješenje u obliku , gdje je neodređeni koeficijent.

Zamjenom i u originalnu diferencijalnu jednačinu, dobijamo identičnost iz kojeg nalazimo koeficijent.

Ako je korijen karakteristične jednadžbe, tada tražimo određeno rješenje originalne diferencijalne jednadžbe u obliku , kada je jedan korijen i , kada je dvostruki korijen.

Primjer 5

Karakteristična jednačina:

Opće rješenje odgovarajuće homogene diferencijalne jednadžbe je:

Nađimo određeno rješenje odgovarajuće nehomogene diferencijalne jednadžbe:

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe:

U ovom slučaju tražimo određeno rješenje u obliku trigonometrijskog binoma:

gdje su i neodređeni koeficijenti

Zamjenom i u originalnu diferencijalnu jednačinu, dobijamo identitet iz kojeg nalazimo koeficijente.

Ove jednačine određuju koeficijente i osim u slučaju kada (ili kada - korijeni karakteristične jednačine). U potonjem slučaju tražimo posebno rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku:

Primjer6

Karakteristična jednačina:

Opće rješenje odgovarajuće homogene diferencijalne jednadžbe je:

Nađimo posebno rješenje nehomogene difuzijske jednačine

Zamjenom u originalnu diferencijalnu jednačinu dobijamo:

Opće rješenje originalne diferencijalne jednadžbe je:

Konvergencija brojevnih nizova
Data je definicija konvergencije niza i detaljno su razmotreni problemi za proučavanje konvergencije brojevnih redova - testovi poređenja, d'Alembertov test konvergencije, Cauchyjev test konvergencije i integralni Cauchyjev test konvergencije.

Apsolutna i uslovna konvergencija redova
Stranica ispituje naizmjenične serije znakova, njihovu uslovnu i apsolutnu konvergenciju, Leibnizov test konvergencije za naizmjenične nizove znakova - sadrži kratka teorija na temu i primjer rješavanja problema.

Osnove rješavanja linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda (LNDE-2) sa konstantnim koeficijentima (PC)

LDDE 2. reda sa konstantnim koeficijentima $p$ i $q$ ima oblik $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, gdje je $f\left(x \desno)$ je kontinuirana funkcija.

Što se tiče LNDU 2 sa PC-om, sljedeće dvije tvrdnje su tačne.

Pretpostavimo da je neka funkcija $U$ proizvoljno parcijalno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe. Pretpostavimo i da je neka funkcija $Y$ opće rješenje (GS) odgovarajuće linearne homogene diferencijalne jednadžbe (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Tada je GS od LHDE-2 je jednak zbiru navedenih privatnih i općih rješenja, odnosno $y=U+Y$.

Ako je desna strana LMDE 2. reda zbir funkcija, to jest, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \desno)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, onda prvo možemo pronaći PD-ove $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ koji odgovaraju. svakoj od funkcija $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a nakon toga napišite CR LNDU-2 u obliku $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Rješenje LPDE 2. reda sa PC-om

Očigledno je da tip jednog ili drugog PD $U$ datog LNDU-2 zavisi od specifičnog oblika njegove desne strane $f\left(x\right)$. Najjednostavniji slučajevi traženja PD LNDU-2 formulirani su u obliku sljedeća četiri pravila.

Pravilo #1.

Desna strana LNDU-2 ima oblik $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, gdje je $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, odnosno naziva se polinom stepena $ n$. Tada se njegov PD $U$ traži u obliku $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, gdje je $Q_(n) \left(x\right)$ drugi polinom istog stepena kao i $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ je broj korijena karakteristične jednadžbe odgovarajuće LODE-2 koji su jednaki nuli. Koeficijenti polinoma $Q_(n) \left(x\right)$ nalaze se metodom neodređenih koeficijenata (UK).

Pravilo br. 2.

Desna strana LNDU-2 ima oblik $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, gdje je $P_(n) \left( x\right)$ je polinom stepena $n$. Tada se njegov PD $U$ traži u obliku $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, gdje je $Q_(n ) \ left(x\right)$ je drugi polinom istog stepena kao $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ je broj korijena karakteristične jednadžbe odgovarajuće LODE-2 , jednako $\alpha $. Koeficijenti polinoma $Q_(n) \left(x\right)$ nalaze se NC metodom.

Pravilo br. 3.

Desna strana LNDU-2 ima oblik $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \desno) $, gdje su $a$, $b$ i $\beta$ poznati brojevi. Tada se njegov PD $U$ traži u obliku $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, gdje su $A$ i $B$ nepoznati koeficijenti, a $r$ je broj korijena karakteristične jednadžbe odgovarajuće LODE-2, jednak $i\cdot \beta $. Koeficijenti $A$ i $B$ su pronađeni nedestruktivnom metodom.

Pravilo br. 4.

Desna strana LNDU-2 ima oblik $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, gdje je $P_(n) \left(x\right)$ polinom stepena $n$, a $P_(m) \left(x\right)$ je polinom stepena $m$. Tada se njegov PD $U$ traži u obliku $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, gdje je $Q_(s) \left(x\right)$ i $ R_(s) \left(x\right)$ su polinomi stepena $s$, broj $s$ je maksimum od dva broja $n$ i $m$, a $r$ je broj korijena karakteristične jednačine odgovarajuće LODE-2, jednako $\alpha +i\cdot \beta $. Koeficijenti polinoma $Q_(s) \left(x\right)$ i $R_(s) \left(x\right)$ su pronađeni NC metodom.

NK metoda se sastoji od primjene sljedećeg pravila. Da bi se pronašli nepoznati koeficijenti polinoma koji su dio parcijalnog rješenja nehomogene diferencijalne jednadžbe LNDU-2, potrebno je:

• zamijenite PD $U$ upisanim opšti pogled, na lijevoj strani LNDU-2;
• na lijevoj strani LNDU-2, izvršiti pojednostavljenja i grupirati termine sa istim ovlastima $x$;
• u rezultirajućem identitetu izjednačiti koeficijente članova sa istim potencijama $x$ lijeve i desne strane;
• riješiti rezultirajući sistem linearne jednačine u odnosu na nepoznate koeficijente.

Primjer 1

Zadatak: pronađite ILI LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Nađite i PD , zadovoljavajući početne uslove $y=6$ za $x=0$ i $y"=1$ za $x=0$.

Zapisujemo odgovarajući LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Karakteristična jednačina: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Korijeni karakteristične jednadžbe: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ovi korijeni su valjani i različiti. Dakle, OR odgovarajućeg LODE-2 ima oblik: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Desna strana ovog LNDU-2 ima oblik $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Potrebno je uzeti u obzir koeficijent eksponenta $\alpha =3$. Ovaj koeficijent se ne poklapa ni sa jednim od korijena karakteristične jednadžbe. Stoga, PD ovog LNDU-2 ima oblik $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Koeficijente $A$, $B$ tražićemo NC metodom.

Nalazimo prvi derivat Češke Republike:

$U"=\left(A\cdot x+B\desno)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\desno)\cdot \left( e^(3\cdot x) \desno)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\desno)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\desno)\cdot e^(3\cdot x) .$

Nalazimo drugu izvedenicu Češke Republike:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\desno)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\desno)\cdot \left(e^(3\cdot x) \desno)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\desno)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Zamjenjujemo funkcije $U""$, $U"$ i $U$ umjesto $y""$, $y"$ i $y$ u dati NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Štaviše, pošto je eksponent $e^(3\cdot x) $ uključen kao faktor u svim komponentama, onda se može izostaviti. Dobijamo:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\desno)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\desno)=36\cdot x+12.$

Izvodimo radnje na lijevoj strani rezultirajuće jednakosti:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Koristimo NDT metodu. Dobijamo sistem linearnih jednadžbi sa dvije nepoznate:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Rješenje za ovaj sistem je: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\desno)\cdot e^(3\cdot x) $ za naš problem izgleda ovako: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ za naš problem izgleda ovako: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ lijevo(-2\cdot x-1\desno)\cdot e^(3\cdot x) $.

Da bismo tražili PD koji zadovoljava date početne uslove, nalazimo derivaciju $y"$ OP-a:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Zamjenjujemo u $y$ i $y"$ početne uslove $y=6$ za $x=0$ i $y"=1$ za $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Dobili smo sistem jednačina:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Hajde da to rešimo. Pronalazimo $C_(1) $ koristeći Cramerovu formulu, a $C_(2) $ određujemo iz prve jednačine:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(niz)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Dakle, PD ove diferencijalne jednadžbe ima oblik: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \desno )\cdot e^(3\cdot x) $.

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu sa konstantnim koeficijentima:
(1) .
Njegovo rješenje se može dobiti slijedeći opštu metodu redukcije naloga.

Međutim, lakše je odmah dobiti osnovni sistem n linearno nezavisne odluke i na osnovu toga doneti opštu odluku. U ovom slučaju, cjelokupna procedura rješenja svodi se na sljedeće korake.

Tražimo rješenje jednačine (1) u obliku . Dobili smo:
(2) .
karakteristična jednačina
(3) .
Ima n korijena. Rješavamo jednačinu (2) i nalazimo njene korijene.
(4) .

Tada se karakteristična jednačina (2) može predstaviti u sljedećem obliku:

Svaki korijen odgovara jednom od linearno nezavisnih rješenja osnovnog sistema rješenja jednačine (1). Tada opće rješenje izvorne jednadžbe (1) ima oblik: Pravi koreni
.

Hajde da razmotrimo prave korene
. Neka je korijen jednostruk. Odnosno, faktor ulazi u karakterističnu jednačinu (3) samo jednom. Tada ovaj korijen odgovara rješenju
.
Neka je višestruki korijen višestrukosti p.
; ; ; ...; .

To je

.. Izrazimo složeni korijen u terminima realnih i imaginarnih dijelova:
.
Budući da su koeficijenti originala realni, tada pored korijena postoji kompleksni konjugirani korijen
.

Neka je kompleksni korijen višestruki. Tada par korijena odgovara dvama linearno nezavisnim rješenjima:
; .

Neka je višestruki kompleksni korijen višestrukosti p.
.
Tada je kompleksna konjugirana vrijednost također korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti p i množitelj ulazi p puta: Ovo 2p Ovo korijeni odgovaraju
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

linearno nezavisna rješenja: Poslije fundamentalni sistem

Pronađena su linearno nezavisna rješenja i dobili smo opće rješenje.

Primjer 1

Primjeri rješenja problema
.

Rješenje

.
Riješite jednačinu:
;
;
.

Hajde da ga transformišemo:
; .
Pogledajmo korijene ove jednadžbe. Dobili smo četiri kompleksna korijena višestrukosti 2:
; ; ; .

Oni odgovaraju četirima linearno nezavisnim rješenjima izvorne jednadžbe:
.
Također imamo tri stvarna korijena višestruke 3:
; ; .

Oni odgovaraju trima linearno nezavisnim rješenjima:
.

Dakle, pronašli smo derivate funkcija:

Hajde da integrišemo (pogledajte Metode za integraciju korena). Pravljenje zamene

Opće rješenje originalne jednačine ima oblik:

Rješenje

Riješite jednačinu
.
Tražimo rješenje u formi .
.

Sastavljamo karakterističnu jednačinu:
.
Rješavanje kvadratne jednadžbe.
.
Imamo dva kompleksna korijena:
.