Hajde da razmotrimo problem. Osnova pravougaonika je 10 cm veća od njegove visine, a površina mu je 24 cm². Pronađite visinu pravougaonika. Neka X cm je visina pravougaonika, tada je njegova osnova jednaka ( X+10) cm Površina ovog pravougaonika je X(X+ 10) cm². Prema uslovima problema X(X+ 10) = 24. Otvarajući zagrade i pomerajući broj 24 sa suprotnim predznakom na lijevu stranu jednačine, dobijamo: X² + 10 X-24 = 0. Prilikom rješavanja ovog zadatka dobijena je jednačina koja se zove kvadratna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika

ax ²+ bx+c= 0

Gdje a, b, c- dati brojevi, i A≠ 0, i X- nepoznato.

Odds a, b, c Kvadratna jednačina se obično naziva: a- prvi ili najviši koeficijent, b- drugi koeficijent, c- besplatan član. Na primjer, u našem zadatku, vodeći koeficijent je 1, drugi koeficijent je 10, a slobodni član je -24. Rješenje mnogih problema iz matematike i fizike svodi se na rješavanje kvadratne jednačine.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Potpune kvadratne jednadžbe. Prvi korak je dovođenje date jednačine u standardni oblik ax²+ bx+ c = 0. Vratimo se našem problemu u kojem se jednačina može zapisati kao X(X+ 10) = 24 dovedemo ga u standardni oblik, otvorimo zagrade X² + 10 X- 24 = 0, ovu jednačinu rješavamo koristeći formulu za korijene opće kvadratne jednadžbe.

Izraz pod predznakom korijena u ovoj formuli naziva se diskriminant D = b² - 4 ac

Ako je D>0, tada kvadratna jednadžba ima dva različita korijena, koji se mogu pronaći pomoću formule za korijene kvadratne jednadžbe.

Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen.

Ako je D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Zamijenimo vrijednosti u našu formulu A= 1, b= 10, c= -24.

dobijamo D>0, dakle dobijamo dva korena.

Razmotrimo primjer gdje je D=0, pod ovim uvjetom bi trebao postojati jedan korijen.

25x² — 30 x+ 9 = 0

Razmotrimo primjer gdje je D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Broj pod predznakom korijena (diskriminanta) je negativan, odgovor pišemo na sljedeći način: jednačina nema pravi korijen;

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba ax² + bx+ c= 0 se naziva nepotpunim ako je barem jedan od koeficijenata b ili c jednaka nuli. Nepotpuna kvadratna jednadžba je jednadžba jednog od sljedećih tipova:

ax² = 0,

ax² + c= 0, c≠ 0,

ax² + bx= 0, b≠ 0.

Pogledajmo nekoliko primjera i riješimo jednačinu

Dijeljenje obje strane jednačine sa 5 daje jednačinu X² = 0, odgovor će imati jedan korijen X= 0.

Razmotrimo jednačinu oblika

3X² - 27 = 0

Podijelivši obje strane sa 3, dobijamo jednačinu X² - 9 = 0, ili se može napisati X² = 9, odgovor će imati dva korijena X= 3 i X= -3.

Razmotrimo jednačinu oblika

2X² + 7 = 0

Podijelivši obje strane sa 2, dobijamo jednačinu X² = -7/2. Ova jednadžba nema prave korijene, budući da X² ≥ 0 za bilo koji realan broj X.

Razmotrimo jednačinu oblika

3X² + 5 X= 0

Faktoringom leve strane jednačine dobijamo X(3X+ 5) = 0, odgovor će imati dva korijena X= 0, X=-5/3.

Najvažnije kod rješavanja kvadratnih jednadžbi je dovesti kvadratnu jednačinu u standardni oblik, zapamtiti formulu za korijene opće kvadratne jednadžbe i ne zabuniti se u predznacima.

“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo pogledati ono što se zove kvadratna jednačina i kako to riješiti.

Šta je kvadratna jednačina?

Važno!

Stepen jednačine je određen najvišim stepenom do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalna snaga u kojoj je nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Važno! Opšti oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” i “c” su dati brojevi.

• “a” je prvi ili najviši koeficijent;
• “b” je drugi koeficijent;
• “c” je slobodan termin.

Da biste pronašli “a”, “b” i “c” potrebno je da uporedite svoju jednačinu sa opštim oblikom kvadratne jednačine “ax 2 + bx + c = 0”.

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednačina	Odds
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearnih jednadžbi, za rješavanje kvadratnih jednadžbi koristi se posebna metoda. formula za pronalaženje korijena.

Zapamtite!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

• dovesti kvadratnu jednačinu u opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”.
• To jest, samo “0” treba da ostane na desnoj strani;

koristite formulu za korijenje:

Pogledajmo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.

X 2 − 3x − 4 = 0 Jednačina “x 2 − 3x − 4 = 0” je već svedena na opći oblik “ax 2 + bx + c = 0” i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti.

formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe

Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.
Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.
Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.
Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.

x 1;2 =

U formuli “x 1;2 =” radikalni izraz se često zamjenjuje
“b 2 − 4ac” za slovo “D” i naziva se diskriminantnim. Koncept diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji „Šta je diskriminant“.

Pogledajmo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente “a”, “b” i “c”. Hajde da prvo svedemo jednačinu na opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijene.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada kvadratne jednadžbe nemaju korijen. Ova situacija se događa kada formula sadrži negativan broj ispod korijena.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminantno. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Šta je kvadratna jednačina? kako to izgleda? U terminu kvadratna jednačina ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednačini Neophodno mora postojati x na kvadrat. Pored toga, jednadžba može (ili ne mora!) sadržavati samo X (na prvi stepen) i samo broj (besplatan član). I ne bi trebalo biti X na stepenu većem od dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednačina je jednačina oblika:

Evo a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koje, ali A– bilo šta osim nule. na primjer:

Evo A =1; b = 3; c = -4

Evo A =2; b = -0,5; c = 2,2

Evo A =-3; b = 6; c = -18

Pa razumes...

U ovim kvadratnim jednadžbama na lijevoj strani postoji full setčlanovi. X na kvadrat sa koeficijentom A, x na prvi stepen sa koeficijentom b I besplatni član s.

Takve kvadratne jednačine se nazivaju puna.

Šta ako b= 0, šta dobijamo? Imamo X će biti izgubljen na prvi stepen. To se događa kada se pomnoži sa nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. A ako oba koeficijenta b I c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Takve jednačine u kojima nešto nedostaje nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput, zašto A ne može biti jednako nuli? I umjesto toga zamijenite A nula.) Naš X na kvadrat će nestati! Jednačina će postati linearna. A rješenje je potpuno drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednačina. Potpuna i nepotpuna.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne jednačine je lako riješiti. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi potrebno je zadatu jednačinu dovesti u standardni oblik, tj. na obrazac:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, A, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, da bismo pronašli X, koristimo se samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c Računamo u ovoj formuli. Zamenimo sa svojim znakovima! Na primjer, u jednadžbi:

A =1; b = 3; c= -4. Evo mi to zapisujemo:

Primjer je skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Vrlo je jednostavno. I šta, mislite da je nemoguće pogrešiti? Pa da, kako...

Najčešće greške su zabuna sa vrijednostima znakova a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ono što ovdje pomaže je detaljno snimanje formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi sa proračunima, uradi to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da retko dobijate odgovore prvi put.

Pa, nemoj biti lijen. Trebat će oko 30 sekundi da se napiše dodatni red i broj grešaka će se naglo smanjiti. Zato pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se da je neverovatno teško pisati tako pažljivo. Ali tako se samo čini. Probaj. Pa, ili biraj. Šta je bolje, brzo ili ispravno?

Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo zapisujete. To će se riješiti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer sa gomilom minusa se može riješiti lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako: Da li ste ga prepoznali?) Da! Ovo.

nepotpune kvadratne jednadžbe

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi. a, b i c.

Oni se također mogu riješiti korištenjem opće formule. Samo treba ispravno shvatiti čemu su oni ovdje jednaki. Jeste li shvatili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; c A ? Uopšte ne postoji! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je to. Umjesto toga u formulu zamijenite nulu c, i uspjet ćemo. Isto je i sa drugim primjerom. Samo što ovdje nemamo nulu With b !

, A

Pa šta s ovim? I činjenica da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete mi? U redu, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? to je to...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. Ovo će biti korijeni naše jednadžbe. Oba su pogodna. Prilikom zamjene bilo koje od njih u originalnu jednačinu, dobijamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od korištenja opće formule. Dozvolite mi da primetim, uzgred, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Zgodno je pisati redom, x 1- šta je manje i x 2- ono što je veće.

Druga jednačina se također može jednostavno riješiti. Premjestiti 9 na desnu stranu. dobijamo:

Ostaje samo da izvučete korijen iz 9, i to je to. Ispostaviće se:

Takođe dva korena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem X izvan zagrada, ili jednostavnim pomicanjem broja udesno i zatim izdvajanjem korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema šta vaditi iz zagrada...

Diskriminantno. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminatorno ! Rijetko koji srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz „rješavamo putem diskriminanta“ ulijeva povjerenje i sigurnost. Jer nema potrebe očekivati ​​trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema za korištenje.) Podsjećam vas na najopštiju formulu za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

I šta je tako izvanredno u ovom izrazu? Zašto je zaslužio poseban naziv? sta značenje diskriminanta? Uostalom -b, ili 2a u ovoj formuli to ne zovu posebno... Slova i slova.

Evo u čemu je stvar. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, to je moguće samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da se korijen može izvući iz njega. Drugo je pitanje da li je korijen dobro ili loše izvađen. Bitno je šta se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Tada ćete imati jedno rješenje. Pošto dodavanje ili oduzimanje nule u brojiocu ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o tome jedno rešenje.

3. Diskriminant je negativan. Ne može se uzeti kvadratni korijen negativnog broja. Oh dobro. To znači da nema rješenja.

Da budem iskren, kada se jednostavno rješavaju kvadratne jednadžbe, koncept diskriminanta zapravo nije potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formulu i brojimo. Sve se tamo dešava samo od sebe, dva korena, jedan i nijedan. Međutim, kod rješavanja složenijih zadataka, bez znanja značenje i formula diskriminanta ne mogu proći. Posebno u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su akrobatika za Državni ispit i Jedinstveni državni ispit!)

dakle, kako se rješavaju kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili ste naučili, što takođe nije loše.) Znate kako pravilno odrediti a, b i c. Znate li kako? pažljivo zamijenite ih u korijen formulu i pažljivo prebrojati rezultat. Shvaćate da je ključna riječ ovdje pažljivo?

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka. Isti oni koji su zbog nepažnje... za koje kasnije postaje bolno i uvredljivo...

Prvi sastanak . Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe i dovedite je u standardni oblik. Šta ovo znači?
Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c. Konstruirajte primjer ispravno. Prvo, X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. ovako:

I opet, ne žurite! Minus ispred X na kvadrat može vas zaista uznemiriti. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što smo učili u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i završiti rješavanje primjera. Odlučite sami.

Sada bi trebali imati korijene 2 i -1. Prijem drugi. Provjerite korijene! Prema Vietinoj teoremi. Ne boj se, sve ću ti objasniti! Provjeravam zadnji jednačina. One. onaj koji smo koristili da zapišemo formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1 , provjera korijena je laka. Dovoljno ih je umnožiti. Rezultat bi trebao biti slobodan član, tj. u našem slučaju -2. Imajte na umu, ne 2, već -2! Besplatan član sa tvojim znakom

. Ako ne uspije, znači da su već negdje zeznuli. Potražite grešku. b Ako radi, morate dodati korijene. Poslednja i konačna provera. Koeficijent bi trebao biti With suprotno b poznato. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent
, koji je ispred X, jednako je -1. Dakle, sve je tačno! Šteta što je to tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom Ali barem provjerite takve jednadžbe! Biće sve manje i manje grešaka.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite jednačinu zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Transformacije identiteta." Kada radite sa razlomcima, greške se iz nekog razloga stalno uvlače...

Inače, obećao sam da ću pojednostaviti zao primjer s gomilom minusa. Molim te! Evo ga.

Da nas ne bi zbunili minusi, pomnožimo jednačinu sa -1. dobijamo:

To je to! Rešavanje je zadovoljstvo!

Dakle, da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik i gradimo je U redu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem cijele jednačine sa -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent je jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti korištenjem Vietine teoreme. Uradi to!

Sada možemo odlučiti.)

Riješite jednačine:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Da li sve odgovara? Odlično! Kvadratne jednačine nisu vaša glavobolja. Prva tri su uspjela, ali ostala nisu? Tada problem nije u kvadratnim jednačinama. Problem je u identičnim transformacijama jednačina. Pogledajte link, od pomoći je.

Ne ide baš? Ili uopšte ne ide? Tada vam Odjeljak 555 može pomoći. Prikazano main greške u rješenju. Naravno, govorimo i o korištenju identičnih transformacija u rješavanju različitih jednačina. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

U ovom članku ćemo se osvrnuti na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Ali prvo, hajde da ponovimo koje se jednačine nazivaju kvadratnim. Jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat. Kao što vidimo, koeficijent za x 2 nije jednak nuli, pa stoga koeficijenti za x ili slobodni član mogu biti jednaki nuli, u kom slučaju dobijamo nepotpunu kvadratnu jednačinu.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1) Ako je b = 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c = 0;

2) Ako je b ≠ 0, c = 0, tada je ax 2 + bx = 0;

3) Ako je b = 0, c = 0, onda je ax 2 = 0.

• Hajde da shvatimo kako to riješiti jednačine oblika ax 2 + c = 0.

Da bismo rešili jednačinu, pomerimo slobodni član c na desnu stranu jednačine, dobijamo

ax 2 = ‒s. Pošto je a ≠ 0, obje strane jednačine dijelimo sa a, tada je x 2 = ‒c/a.

Ako je ‒s/a > 0, tada jednačina ima dva korijena

x = ±√(–c/a) .

Ako je ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo na primjerima razumjeti kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednačinu 2x 2 ‒ 32 = 0.

Odgovor: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Primjer 2. Riješite jednačinu 2x 2 + 8 = 0.

Odgovor: jednačina nema rješenja.

• Hajde da shvatimo kako to riješiti jednačine oblika ax 2 + bx = 0.

Da bismo riješili jednačinu ax 2 + bx = 0, faktorizirajmo je, odnosno izvadimo x iz zagrada, dobićemo x(ax + b) = 0. Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak na nulu. Tada je ili x = 0, ili ax + b = 0. Rješavanjem jednačine ax + b = 0, dobijamo ax = - b, odakle je x = - b/a. Jednačina oblika ax 2 + bx = 0 uvijek ima dva korijena x 1 = 0 i x 2 = ‒ b/a. Pogledajte kako izgleda rješenje ovakvih jednačina na dijagramu.

Konsolidirajmo svoje znanje konkretnim primjerom.

Primjer 3. Riješite jednačinu 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ili 3x – 12 = 0

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Jednačine trećeg tipa ax 2 = 0 rješavaju se vrlo jednostavno.

Ako je ax 2 = 0, onda je x 2 = 0. Jednačina ima dva jednaka korijena x 1 = 0, x 2 = 0.

Radi jasnoće, pogledajmo dijagram.

Uvjerimo se prilikom rješavanja primjera 4 da se jednadžbe ovog tipa mogu riješiti vrlo jednostavno.

Primjer 4. Riješite jednačinu 7x 2 = 0.

Odgovor: x 1, 2 = 0.

Nije uvijek odmah jasno koju vrstu nepotpune kvadratne jednačine moramo riješiti. Razmotrite sljedeći primjer.

Primjer 5. Riješite jednačinu

Pomnožimo obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom, odnosno sa 30

Hajde da ga smanjimo

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Hajde da otvorimo zagrade

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Dajmo slično

Pomaknimo 99 s lijeve strane jednačine na desnu, mijenjajući predznak u suprotan

Odgovor: nema korijena.

Pogledali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća sa ovakvim zadacima. Budite oprezni kada određujete vrstu nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja na ovu temu, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo rješavati probleme koji se pojave.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Nastavljamo da proučavamo temu “ rješavanje jednačina" Već smo se upoznali sa linearnim jednačinama i prelazimo na upoznavanje sa kvadratne jednačine.

Prvo ćemo pogledati šta je kvadratna jednačina i kako je napisana opšti pogled, i dati povezane definicije. Nakon toga ćemo na primjerima detaljno ispitati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Pređimo na rješenje potpune jednačine, dobićemo formulu korijena, upoznati se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmotriti rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Šta je kvadratna jednačina? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti šta je kvadratna jednačina. Stoga je logično započeti razgovor o kvadratnim jednačinama definicijom kvadratne jednačine, kao i srodnim definicijama. Nakon toga, možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: redukovane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a nije nula.

Recimo odmah da se kvadratne jednačine često nazivaju jednačinama drugog stepena. To je zbog činjenice da je kvadratna jednačina algebarska jednačina drugi stepen.

Navedena definicija nam omogućava da damo primjere kvadratnih jednadžbi. Dakle, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. Ovo su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a, b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednačine a·x 2 +b·x+c=0, a koeficijent a se naziva prvi, ili najveći, ili koeficijent od x 2, b je drugi koeficijent, ili koeficijent od x, a c je slobodni član .

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu oblika 5 x 2 −2 x −3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je jednak −2, a slobodni član je jednak −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo datom primjeru, onda kratka forma zapisivanje kvadratne jednačine oblika 5 x 2 −2 x−3=0, a ne 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u kvadratnoj jednadžbi, što je zbog specifičnosti pisanja takvih. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0 vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent za y jednak je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

U zavisnosti od vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se redukovane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Hajde da damo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 data kvadratna jednačina. Inače je kvadratna jednačina netaknut.

Prema ovu definiciju, kvadratne jednačine x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, itd. – dato, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. A 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem obje strane s vodećim koeficijentom, možete prijeći na redukovanu. Ova akcija je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobijena redukovana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao i originalna nereducirana kvadratna jednadžba, ili, poput nje, nema korijena.

Pogledajmo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe na redukovanu.

Primjer.

Iz jednačine 3 x 2 +12 x−7=0 idite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednačinu.

Rješenje.

Samo trebamo podijeliti obje strane originalne jednadžbe sa vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, tako da možemo izvesti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, a zatim (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odakle je . Tako smo dobili redukovanu kvadratnu jednačinu, koja je ekvivalentna originalnoj.

odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Definicija kvadratne jednadžbe sadrži uvjet a≠0. Ovaj uslov je neophodan da bi jednadžba a x 2 + b x + c = 0 bila kvadratna, jer kada je a = 0 zapravo postaje linearna jednačina oblika b x + c = 0.

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako pojedinačno tako i zajedno. U tim slučajevima, kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednačina a x 2 +b x+c=0 se zove nepotpuna, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Takva imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz narednih diskusija.

Ako je koeficijent b nula, tada kvadratna jednačina ima oblik a·x 2 +0·x+c=0, i ekvivalentna je jednačini a·x 2 +c=0. Ako je c=0, odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a·x 2 +b·x+0=0, onda se može prepisati kao a·x 2 +b·x=0. A sa b=0 i c=0 dobijamo kvadratnu jednačinu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe se razlikuju od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ili oboje. Otuda im i naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednačine x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednačina, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka iz prethodnog stava proizilazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a·x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 kada je b=0;
• i a·x 2 +b·x=0 kada je c=0.

Ispitajmo redom kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svakog od ovih tipova.

a x 2 =0

Počnimo sa rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno sa jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednačina a·x 2 =0 je ekvivalentna jednačini x 2 =0, koja se dobija iz originala dijeljenjem oba dijela brojem a koji nije nula. Očigledno, korijen jednačine x 2 =0 je nula, jer je 0 2 =0. Ova jednadžba nema druge korijene, što se objašnjava činjenicom da za bilo koji broj p različit od nule vrijedi nejednakost p 2 >0, što znači da za p≠0 jednakost p 2 =0 nikada nije postignuta.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a·x 2 =0 ima jedan korijen x=0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4 x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 =0, njen jedini korijen je x=0, dakle, originalna jednačina ima jedan korijen nula.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se napisati na sljedeći način:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b nula i c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da premještanje člana s jedne strane jednačine na drugu sa suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednačine brojem različitom od nule, daje ekvivalentnu jednačinu. Stoga možemo izvršiti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

• pomjeriti c na desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 =−c,
• i podijelimo obje strane s a, dobivamo .

Rezultirajuća jednačina nam omogućava da izvučemo zaključke o njenim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna (na primjer, ako je a=−2 i c=6, tada ), nije jednako nuli , jer po uslovu c≠0. Pogledajmo slučajeve odvojeno.

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava slijedi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se sjetimo o , tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan to je broj, budući da . Lako je pretpostaviti da je broj također korijen jednadžbe, zaista, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može prikazati, na primjer, kontradikcijom. Hajde da uradimo ovo.

Označimo korijene upravo najavljene jednadžbe sa x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednačina ima još jedan korijen x 2, različit od navedenih korijena x 1 i −x 1. Poznato je da zamjena njenih korijena u jednadžbu umjesto x pretvara jednačinu u ispravnu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva numeričkih jednakosti nam omogućavaju da izvodimo počlanu oduzimanje tačnih numeričkih jednakosti, tako da oduzimanjem odgovarajućih dijelova jednakosti dobijemo x 1 2 −x 2 2 =0. Svojstva operacija sa brojevima nam omogućavaju da prepišemo rezultujuću jednakost kao (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Znamo da je proizvod dva broja jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0, što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 =−x 1. Tako smo došli do kontradikcije, jer smo na početku rekli da je korijen jednačine x 2 različit od x 1 i −x 1. Ovo dokazuje da jednačina nema korijene osim i .

Hajde da sumiramo informacije u ovom paragrafu. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi koja

• nema korijena ako ,
• ima dva korijena i , ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0.

Počnimo s kvadratnom jednačinom 9 x 2 +7=0. Nakon pomjeranja slobodnog člana na desnu stranu jednačine, on će poprimiti oblik 9 x 2 =−7. Dijeljenjem obje strane rezultirajuće jednačine sa 9, dolazimo do . Budući da desna strana ima negativan broj, ova jednadžba nema korijena, prema tome, originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7 = 0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednačinu −x 2 +9=0. Pomeramo devetku na desnu stranu: −x 2 =−9. Sada podijelimo obje strane sa −1, dobićemo x 2 =9. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz kojeg zaključujemo da je ili . Zatim zapisujemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednačina −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje da se pozabavimo rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0. Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x = 0 omogućavaju vam da riješite metoda faktorizacije. Očigledno možemo, smješteni na lijevoj strani jednačine, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. Ovo nam omogućava da pređemo sa originalne nepotpune kvadratne jednačine na ekvivalentnu jednačinu oblika x·(a·x+b)=0. A ova jednačina je ekvivalentna skupu dvije jednačine x=0 i a·x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednačina a·x 2 +b·x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje na konkretnom primjeru.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Rješenje.

Uzimanje x iz zagrada daje jednačinu . To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Rešavanje onoga što imamo linearna jednačina: , i dijeljenjem mješovitog broja običnim razlomkom, nalazimo . Stoga su korijeni originalne jednadžbe x=0 i .

Nakon stjecanja potrebne prakse, rješenja ovakvih jednačina mogu se ukratko napisati:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Hajde da to zapišemo formula za korijene kvadratne jednadžbe: , Gdje D=b 2 −4 a c- tzv diskriminanta kvadratne jednačine. Unos u suštini znači da .

Korisno je znati kako je korijenska formula izvedena i kako se koristi u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajde da shvatimo ovo.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednačinu a·x 2 +b·x+c=0. Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

• Možemo podijeliti obje strane ove jednačine brojem različitom od nule, što rezultira sljedećom kvadratnom jednačinom.
• Sada odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednačina će poprimiti oblik.
• U ovoj fazi moguće je posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
• I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednačine koja je ekvivalentna originalnoj kvadratnoj jednačini a·x 2 +b·x+c=0.

Jednadžbe slične forme već smo rješavali u prethodnim paragrafima, kada smo ih ispitivali. To nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

• ako je , tada jednačina nema realnih rješenja;
• ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njen jedini korijen;
• ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisustvo ili odsustvo korena jednadžbe, a samim tim i originalne kvadratne jednačine, zavisi od predznaka izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza je određen predznakom brojioca, pošto je imenilac 4·a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznakom izraza b 2 −4·a·c. Ovaj izraz b 2 −4 a c je nazvan diskriminanta kvadratne jednačine i označeno pismom D. Odavde je suština diskriminanta jasna - na osnovu njegove vrijednosti i predznaka zaključuju da li kvadratna jednačina ima realne korijene, i ako ima, koji je njihov broj - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu i prepišimo je koristeći diskriminantnu notaciju: . I donosimo zaključke:

• ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako je D=0, onda ova jednadžba ima jedan korijen;
• konačno, ako je D>0, onda jednačina ima dva korijena ili, što se može prepisati u obliku ili, a nakon proširenja i dovođenja razlomaka na zajednički nazivnik dobijamo.

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4·a·c.

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminanta nula, obje formule daju istu vrijednost korijena, što odgovara jedinstvenom rješenju kvadratne jednadžbe. A s negativnim diskriminantom, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočeni smo s ekstrakcijom kvadratni korijen od negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog programa. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par kompleksni konjugat korijene, koji se mogu naći korištenjem istih korijenskih formula koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, kada rješavate kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena za izračunavanje njihovih vrijednosti. Ali ovo se više odnosi na pronalaženje složenih korijena.

Međutim, u školskom kursu algebre obično ne govorimo o kompleksnim, već o realnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju, preporučljivo je, prije upotrebe formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo pronaći diskriminanta, uvjeriti se da nije negativna (inače možemo zaključiti da jednačina nema realne korijene), i tek onda izračunati vrijednosti korijena.

Gornje rezonovanje nam omogućava da pišemo algoritam za rješavanje kvadratne jednačine. Da biste riješili kvadratnu jednačinu a x 2 +b x+c=0, trebate:

• koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4·a·c, izračunaj njegovu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravi korijen ako je diskriminanta negativna;
• izračunati jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0;
• pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminanta pozitivna.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminanta jednaka nuli, također možete koristiti formulu da će dati istu vrijednost;

Možete prijeći na primjere korištenja algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe sa pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantom. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, po analogiji će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednačinu. Počnimo.

Primjer.

Naći korijene jednačine x 2 +2·x−6=0.

Rješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednačine: a=1, b=2 i c=−6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminantu, da biste to učinili, zamijenimo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, koju imamo D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Pošto je 28>0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih koristeći korijensku formulu, dobijamo, ovdje možete pojednostaviti rezultirajuće izraze tako što ćete pomeranje množitelja izvan predznaka korijena nakon čega slijedi smanjenje razlomka:

odgovor:

Pređimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rješenje.

Počinjemo od pronalaženja diskriminanta: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

odgovor:

x=3.5.

Ostaje da razmotrimo rješavanje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednačinu 5·y 2 +6·y+2=0.

Rješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednačine: a=5, b=6 i c=2. Ove vrijednosti zamjenjujemo u diskriminantnu formulu, koju imamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema realne korijene.

Ako trebate naznačiti kompleksne korijene, tada primjenjujemo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije sa kompleksnim brojevima:

odgovor:

nema pravih korena, složeni koreni su: .

Napomenimo još jednom da ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe negativna, onda u školi obično odmah zapišu odgovor u kojem ukazuju da nema pravih korijena, a kompleksni korijeni nisu pronađeni.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje je D=b 2 −4·a·c omogućava vam da dobijete formulu kompaktnijeg oblika, što vam omogućava da rješavate kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom za x (ili jednostavno sa koeficijent oblika 2·n, na primjer, ili 14· ln5=2·7·ln5). Izvucimo je.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu oblika a x 2 +2 n x+c=0. Pronađimo njegove korijene koristeći formulu koju poznajemo. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminanta D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu korijena:

Označimo izraz n 2 −a c kao D 1 (ponekad se označava kao D"). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra sa drugim koeficijentom 2 n poprimiti oblik , gdje je D 1 =n 2 −a·c.

Lako je vidjeti da je D=4·D 1, ili D 1 =D/4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . Odnosno, znak D 1 je takođe pokazatelj prisustva ili odsustva korena kvadratne jednačine.

Dakle, da biste riješili kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom 2·n, trebate

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
• Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješavanje primjera pomoću formule korijena dobivene u ovom pasusu.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Rješenje.

Drugi koeficijent ove jednačine može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati originalnu kvadratnu jednačinu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ovdje a=5, n=−3 i c=−32, i izračunati četvrti dio diskriminatorno: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Pošto je njena vrijednost pozitivna, jednačina ima dva realna korijena. Pronađimo ih koristeći odgovarajuću formulu korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju trebalo obaviti više računskog rada.

odgovor:

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što počnete izračunavati korijene kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi da postavite pitanje: "Da li je moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe?" Slažemo se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednačinu 11 x 2 −4 x−6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0.

Obično se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane određenim brojem. Na primjer, u prethodnom pasusu bilo je moguće pojednostaviti jednačinu 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100.

Slična transformacija se provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, obje strane jednadžbe se obično dijele apsolutnim vrijednostima njenih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Dijeljenjem obje strane originalne kvadratne jednadžbe sa 6, dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednačine 2 x 2 −7 x+8=0.

A množenje obje strane kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se vrši nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se obje strane kvadratne jednadžbe pomnože sa LCM(6, 3, 1)=6, tada će ona poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4·x−18=0.

U zaključku ove tačke, napominjemo da se oni gotovo uvijek oslobađaju minusa na najvećem koeficijentu kvadratne jednačine promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) obje strane sa −1. Na primjer, obično se prelazi sa kvadratne jednadžbe −2 x 2 −3 x+7=0 na rješenje 2 x 2 +3 x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe kroz njene koeficijente. Na osnovu formule korijena, možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimenljivije formule iz Vietine teoreme su oblika i . Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0 možemo odmah reći da je zbir njenih korijena jednak 7/3, a proizvod korijena jednak 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe kroz njene koeficijente: .

Reference.

• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.