Poissonova distribucija diskretne slučajne varijable. Poissonova distribucija
Uvod
Da li su pojave koje su nasumične prirode podložne nekim zakonima? Da, ali ovi zakoni se razlikuju od fizičkih zakona na koje smo navikli. Vrijednosti SW se ne mogu predvidjeti čak ni pod poznatim eksperimentalnim uvjetima, možemo samo naznačiti vjerovatnoće da će SW poprimiti jednu ili drugu vrijednost. Ali znajući distribuciju vjerovatnoće SW, možemo izvući zaključke o događajima u kojima ove slučajne varijable učestvuju. Istina, ovi zaključci će biti i vjerovatnoće.
Neka je neki SW diskretan, tj. može uzeti samo fiksne vrijednosti Xi. U ovom slučaju, niz vjerovatnoća P(Xi) za sve (i=1…n) dozvoljene vrijednosti ove veličine naziva se njen zakon raspodjele.
Zakon distribucije SW je relacija koja uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti SW i vjerovatnoća s kojima su te vrijednosti prihvaćene. Zakon raspodjele u potpunosti karakterizira SW.
Prilikom izgradnje matematički model za provjeru statistička hipoteza potrebno je uvesti matematičku pretpostavku o zakonu raspodjele SW (parametarski način izgradnje modela).
Neparametarski pristup opisu matematičkog modela (SW nema parametarski zakon distribucije) je manje tačan, ali ima više široko područje aplikacije.
Na isti način kao i za vjerovatnoću slučajnog događaja, postoje samo dva načina da se ona pronađe za zakon raspodjele CV-a. Ili ćemo izgraditi shemu slučajnog događaja i pronaći analitički izraz (formulu) za izračunavanje vjerovatnoće (možda je neko to već uradio ili će to učiniti umjesto nas!), ili ćemo morati koristiti eksperiment i na osnovu frekvencije zapažanja, napraviti neke pretpostavke (iznijeti hipoteze) o distribuciji zakona.
Naravno, za svaku od "klasičnih" distribucija ovaj posao se radi već duže vrijeme - nadaleko poznate i vrlo često korištene u primijenjenoj statistici su binomne i polinomske raspodjele, geometrijske i hipergeometrijske raspodjele, Pascalove i Poissonove raspodjele, i mnogi drugi.
Za skoro sve klasične distribucije, odmah su konstruisane i objavljene posebne statističke tabele, unapređene kako se povećavala preciznost proračuna. Bez korištenja mnogih tomova ovih tabela, bez učenja kako ih koristiti u protekla dva stoljeća praktična upotreba statistika nije bila moguća.
Danas se situacija promijenila - nema potrebe pohranjivati podatke proračuna pomoću formula (bez obzira koliko su potonje složene!), vrijeme korištenja zakona o raspodjeli za praksu svedeno je na minute, pa čak i sekunde. Već sada postoji dovoljan broj raznih paketa primijenjenih kompjuterskih programa za ove namjene.
Među svim distribucijama vjerovatnoće, postoje one koje se najčešće koriste u praksi. Ove distribucije su detaljno proučavane i njihova svojstva su dobro poznata. Mnoge od ovih distribucija čine osnovu čitavih oblasti znanja, kao što su teorija čekanja, teorija pouzdanosti, kontrola kvaliteta, teorija igara, itd.
Među njima se ne može ne obratiti pažnja na radove Poissona (1781-1840), koji je dokazao opštiji oblik zakona velikih brojeva od Jacoba Bernoullija, a također je po prvi put primijenio teoriju vjerovatnoće na pucanje. probleme. Poissonovo ime je povezano s jednim od zakona distribucije, koji igra važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama.
Ovom zakonu o distribuciji posvećen je ovaj rad. rad na kursu. Govorićemo direktno o zakonu, o njegovim matematičkim karakteristikama, posebnim svojstvima, povezanosti sa binomnom distribucijom. Reći će se nekoliko riječi o praktičnoj primjeni i dati primjeri iz prakse.
Svrha našeg sažetka je razjasniti suštinu Bernoullijevih i Poissonovih teorema raspodjele.
Zadatak je proučiti i analizirati literaturu na temu eseja.
1. Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija)
Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija) - distribucija verovatnoće broja pojavljivanja nekog događaja sa ponovljenim nezavisni testovi, ako je vjerovatnoća pojave ovog događaja u svakom pokušaju jednaka p (0
Kaže se da je SV X distribuiran prema Bernoullijevom zakonu sa parametrom p ako uzima vrijednosti 0 i 1 sa vjerovatnoćama pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; p+q=1; x=0,1.
Binomna distribucija javlja se u onim slučajevima kada se postavlja pitanje: koliko puta se određeni događaj dogodi u nizu određenog broja nezavisnih opservacija (eksperimenata) izvedenih pod istim uslovima.
Radi praktičnosti i jasnoće, pretpostavićemo da znamo vrijednost p - vjerovatnoću da će posjetilac koji uđe u prodavnicu biti kupac i (1 - p) = q - vjerovatnoća da posjetilac koji uđe u radnju neće biti kupac.
Ako je X broj kupaca iz ukupan broj n posjetitelja, tada je vjerovatnoća da među n posjetitelja ima k kupaca
P(X= k) = , gdje je k=0,1,…n 1)
Formula (1) se zove Bernoullijeva formula. Uz veliki broj ispitivanja, binomna distribucija teži da bude normalna.
Bernoullijev test je probabilistički eksperiment sa dva ishoda, koji se obično nazivaju "uspjeh" (obično se označava simbolom 1) i "neuspjeh" (respektivno, označava se sa 0). Verovatnoća uspeha se obično označava slovom p, neuspeh - slovom q; naravno q=1-p. Vrijednost p naziva se parametar Bernoullijevog testa.
Binomne, geometrijske, Pascal i negativne binomne slučajne varijable dobijaju se iz niza nezavisnih Bernoullijevih pokušaja ako se ovaj niz završi na ovaj ili onaj način, na primjer, nakon n-og pokušaja ili x-tog uspjeha. Uobičajeno je koristiti sljedeću terminologiju:
je parametar Bernoullijevog ispitivanja (vjerovatnoća uspjeha u jednom ispitivanju);
– broj testova;
– broj uspjeha;
- broj kvarova.
Binomna slučajna varijabla (m|n,p) je broj m uspjeha u n pokušaja.
Geometrijska slučajna varijabla G(m|p) je broj m pokušaja do prvog uspjeha (uključujući prvi uspjeh).
Pascal slučajna varijabla C(m|x,p) je broj m pokušaja do x-tog uspjeha (ne uključujući, naravno, sam x-ti uspjeh).
Negativna binomna slučajna varijabla Y(m|x,p) je broj m neuspjeha prije x-tog uspjeha (ne uključujući x-ti uspjeh).
Napomena: ponekad se negativna binomna distribucija naziva paskal i obrnuto.
Poissonova distribucija
2.1. Definicija Poissonovog zakona
U mnogim praktičnim problemima treba se baviti slučajnim varijablama raspoređenim prema posebnom zakonu, koji se zove Poissonov zakon.
Razmotrimo diskontinuiranu slučajnu varijablu X, koja može uzeti samo cijele, ne-negativne vrijednosti: 0, 1, 2, … , m, … ; a redoslijed ovih vrijednosti je teoretski neograničen. Kaže se da je slučajna varijabla X raspoređena prema Poissonovom zakonu ako je vjerovatnoća da ona poprimi određenu vrijednost m izražena formulom:
gdje je a neka pozitivna vrijednost, nazvana parametar Poissonovog zakona.
Raspon distribucije slučajna varijabla X, distribuiran prema Poissonovom zakonu, izgleda ovako:
| xm | … | m | … | |||
| pm | e-a | … | … |
2.2. Glavne karakteristike Poissonove distribucije
Prvo, uvjerimo se da niz vjerovatnoća može biti niz distribucije, tj. da je zbir svih vjerovatnoća Pm jednak jedan.
Koristimo proširenje funkcije ex u Maclaurinov niz:
Poznato je da ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost x, dakle, uzimajući x = a, dobijamo
dakle
Hajde da definišemo glavne karakteristike - matematičko očekivanje i varijansu - slučajne varijable X, raspoređene prema Poissonovom zakonu. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća. Po definiciji, kada diskretna slučajna varijabla poprimi prebrojiv skup vrijednosti:
Prvi član sume (koja odgovara m=0) jednak je nuli, stoga se zbrajanje može započeti od m=1:
Dakle, parametar a nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable X.
Disperzija slučajne varijable X naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
Međutim, prikladnije je izračunati ga pomoću formule:
Stoga prvo nalazimo drugi početni moment X:
Prema ranije dokazanom
osim toga,
2.3 Dodatne karakteristike Poissonove distribucije
I. Početni trenutak reda k slučajne varijable X je matematičko očekivanje vrijednosti Xk:
Konkretno, početni trenutak prvog reda jednak je matematičkom očekivanju:
II. Centralni moment reda k slučajne varijable X je matematičko očekivanje vrijednosti k:
Konkretno, centralni moment 1. reda je 0:
μ1=M=0,
centralni moment 2. reda jednak je disperziji:
μ2=M2=a.
III. Za slučajnu varijablu X distribuiranu prema Poissonovom zakonu, nalazimo vjerovatnoću da će poprimiti vrijednost ne manju od datog k. Ovu vjerovatnoću označavamo sa Rk:
Očigledno, vjerovatnoća Rk se može izračunati kao zbir
Međutim, mnogo je lakše odrediti to iz vjerovatnoće suprotnog događaja:
Konkretno, vjerovatnoća da će veličina X poprimiti pozitivnu vrijednost izražava se formulom
Kao što je već spomenuto, mnogi problemi u praksi dovode do Poissonove distribucije. Razmotrite jedan od tipičnih problema ove vrste.
|
Neka su tačke nasumično raspoređene na x-osi Ox (slika 2). Pretpostavimo to slučajna distribucija bodova ispunjava sljedeće uslove:
1) Verovatnoća da jedan ili drugi broj tačaka padne na segment l zavisi samo od dužine ovog segmenta, ali ne zavisi od njegovog položaja na x-osi. Drugim riječima, tačke su raspoređene na x-osi sa istom prosječnom gustinom. Označimo ovu gustinu, tj. matematičko očekivanje broja tačaka po jedinici dužine, kroz λ.
2) Tačke su raspoređene na x-osi nezavisno jedna od druge, tj. vjerovatnoća da određeni broj bodova padne na dati segment ne zavisi od toga koliko ih padne na bilo koji drugi segment koji se ne preklapa s njim.
3) Vjerovatnoća da dvije ili više tačaka pogode malu površinu Δh je zanemarljivo mala u poređenju sa vjerovatnoćom da pogode jednu tačku (ovaj uslov znači da je dvije ili više tačaka praktično nemoguće poklopiti).
Izdvojimo određeni segment dužine l na osi apscise i razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu X - broj tačaka koje padaju na ovaj segment. Moguće vrijednosti količine će biti 0,1,2,…,m,… ova serija se nastavlja u nedogled.
Dokažimo da je slučajna varijabla X distribuirana prema Poissonovom zakonu. Da bismo to učinili, moramo izračunati vjerovatnoću Pm da tačno m tačaka padne na segment.
Hajde da prvo riješimo više jednostavan zadatak. Uzmite u obzir mali dio Δx na osi Ox i izračunajte vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na ovu dionicu. Mi ćemo argumentirati na sljedeći način. Očekivana vrijednost broj tačaka koji padaju na ovu sekciju je očigledno jednak λ·Δh (jer u proseku λ tačaka pada na jediničnu dužinu). Prema uslovu 3, za mali segment Δh, mogućnost da dvije ili više tačaka padaju na njega može se zanemariti. Prema tome, matematičko očekivanje λ·Δh broja tačaka koje padaju na presek Δh biće približno jednako verovatnoći da se pogodi jedna tačka na njoj (ili, što je ekvivalentno pod ovim uslovima, najmanje jedna).
Dakle, do beskonačno malog višeg reda, pri Δh→0, možemo uzeti u obzir vjerovatnoću da će jedna (bar jedna) tačka pasti na mjesto Δh, jednaku λ·Δh, i vjerovatnoću da nijedna neće pasti, jednaku 1-c·Δh.
Iskoristimo ovo da izračunamo vjerovatnoću Pm da tačno m tačaka padne na segment l. Podijelimo segment l na n jednakih dijelova dužine. Dogovorimo se da elementarni segment Δx nazovemo "prazan" ako ne uključuje nijednu tačku, i "zauzet" ako barem jedna uđe u njega. Prema gore navedenom, vjerovatnoća da će segment Δh biti "zauzet" približno je jednaka λ·Δh= ; vjerovatnoća da će biti "prazna" jednaka je 1- . Pošto su, prema uslovu 2, pogoci tačaka u segmentima koji se ne preklapaju nezavisni, onda se naših n segmenata možemo smatrati kao n nezavisnih "eksperimenata", u svakom od kojih segment može biti "zauzet" sa verovatnoćom p= . Nađimo vjerovatnoću da će među n segmenata biti tačno m "zauzetih". Prema teoremi ponovljenih nezavisnih pokušaja, ova vjerovatnoća je jednaka
,
ili označimo λl=a:
.
Za dovoljno veliko n, ova vjerovatnoća je približno jednaka vjerovatnoći da tačno m tačaka padne na segment l, pošto pogoditi dvije ili više tačaka na segmentu Δx ima zanemarljivu vjerovatnoću. Da bismo pronašli tačnu vrijednost Pm, moramo ići na granicu kao n→∞:
S obzirom na to
,
dobijamo da je željena verovatnoća izražena formulom
gdje je a=λl, tj. veličina X je raspoređena prema Poissonovom zakonu sa parametrom a=λl.
Treba napomenuti da je vrijednost a po značenju prosječan broj bodova po segmentu l. Vrijednost R1 (vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti pozitivnu vrijednost) u ovom slučaju izražava vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na segment l: R1=1-e-a.
Tako smo se u to uvjerili Poissonova distribucija javlja se kada neke tačke (ili drugi elementi) zauzimaju nasumični položaj nezavisno jedna od druge, a broj tih tačaka koje spadaju u neko područje se računa. U našem slučaju, ovo područje je bio segment l na x-osi. Međutim, ovaj zaključak se lako može proširiti na slučaj raspodjele tačaka u ravni (slučajno ravno polje tačaka) iu prostoru (slučajno prostorno polje tačaka). Lako je dokazati da ako su ispunjeni sljedeći uslovi:
1) tačke su statistički ravnomerno raspoređene u polju sa prosečnom gustinom λ;
2) tačke padaju nezavisno u regione koji se ne preklapaju;
3) tačke se pojavljuju pojedinačno, a ne u parovima, trojkama itd.,
tada se broj tačaka X koje spadaju u bilo koje područje D (ravno ili prostorno) raspoređuje prema Poissonovom zakonu:
,
gdje je a prosječan broj bodova koji spadaju u područje D.
Za ravno kućište a=SD λ, gdje je SD površina područja D,
za prostorni a= VD λ, gde je VD zapremina regiona D.
Za Poissonovu distribuciju broja tačaka koje spadaju u segment ili oblast, uslov konstantne gustine (λ=const) nije bitan. Ako su druga dva uslova ispunjena, onda Poissonov zakon i dalje postoji, samo parametar a u njemu dobija drugačiji izraz: ne dobija se jednostavnim množenjem gustine λ dužinom, površinom ili zapreminom, već integracijom promenljive gustine preko segmenta, područja ili volumena.
Poissonova distribucija igra važnu ulogu u brojnim pitanjima u fizici, teoriji komunikacija, teoriji pouzdanosti, teoriji čekanja itd. Svugdje gdje se tokom određenog vremena može dogoditi nasumičan broj nekih događaja (radioaktivni raspadi, telefonski pozivi, kvarovi na opremi, nesreće itd.).
Razmotrimo najtipičniju situaciju u kojoj se javlja Poissonova distribucija. Neka se neki događaji (kupovine u prodavnici) događaju u nasumično vrijeme. Odredimo broj pojavljivanja takvih događaja u vremenskom intervalu od 0 do T.
Nasumični broj događaja koji su se desili tokom vremena od 0 do T distribuira se prema Poissonovom zakonu sa parametrom l=aT, gdje je a>0 parametar zadatka koji odražava prosječnu učestalost događaja. Vjerovatnoća k kupovina u velikom vremenskom intervalu (na primjer, dan) će biti
Zaključak
U zaključku, želio bih napomenuti da je Poissonova distribucija prilično česta i važna distribucija koja ima primjenu kako u teoriji vjerojatnosti i njenim primjenama, tako i u matematičkoj statistici.
Mnogi praktični problemi se na kraju svode na Poissonovu distribuciju. Njegovo posebno svojstvo, koje se sastoji u jednakosti matematičkog očekivanja i varijanse, često se koristi u praksi da se odluči da li je slučajna varijabla distribuirana prema Poissonovom zakonu ili ne.
Važna je i činjenica da Poissonov zakon omogućava da se pronađu vjerovatnoće događaja u ponovljenim nezavisnim ispitivanjima na u velikom broju ponavljanja iskustva i mala pojedinačna vjerovatnoća.
Međutim, Bernulijeva distribucija se izuzetno rijetko koristi u praksi ekonomskih proračuna, a posebno u analizi održivosti. To je zbog računskih poteškoća i činjenice da je Bernoullijeva raspodjela za diskretne količine, i s tim da uslovi klasične šeme (nezavisnost, prebrojiv broj pokušaja, invarijantnost uslova koji utiču na mogućnost događaja) nisu uvek ispunjeni u praktičnim situacijama. Dalja istraživanja u oblasti analize Bernoullijeve šeme, sprovedena u XVIII-XIX veku. Laplace, Moivre, Poisson i drugi imali su za cilj stvaranje mogućnosti korištenja Bernoullijeve sheme u slučaju velikog broja testova koji teže beskonačnosti.
Književnost
1. Wentzel E.S. Teorija vjerovatnoće. - M, "Viša škola" 1998
2. Gmurman V.E. Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerovatnoće i matematičke statistike. - M, "Viša škola" 1998
3. Zbirka zadataka iz matematike za visokoškolske ustanove. Ed. Efimova A.V. - M, Nauka 1990
Binomna distribucija se primjenjuje na slučajeve kada je uzet uzorak fiksne veličine. Poissonova distribucija se odnosi na slučajeve kada broj slučajnih događaja se javlja na određenoj dužini, površini, volumenu ili vremenu, dok je parametar koji određuje distribuciju prosječan broj događaja , a ne veličina uzorka P i stopu uspješnosti R. Na primjer, broj neusklađenosti u uzorku ili broj neusklađenosti po jedinici proizvoda.
Distribucija vjerovatnoće za broj uspjeha X ima sljedeći oblik:
Ili možemo reći da je diskretna slučajna varijabla X distribuira se prema Poissonovom zakonu ako su njegove moguće vrijednosti 0,1, 2, ...t, ...p, a vjerovatnoća pojave takvih vrijednosti određena je relacijom:
(14)
Gdje m ili λ je neka pozitivna vrijednost, nazvana parametar Poissonove distribucije.
Poissonov zakon se primjenjuje na događaje koji se "rijetko" dešavaju, dok je mogućnost drugog uspjeha (npr. neuspjeha) kontinuirana, konstantna i ne ovisi o broju prethodnih uspjeha ili neuspjeha (kada su u pitanju procesi koji se razvijaju tokom vremena, ova se naziva "nezavisnost od prošlosti"). Klasičan primjer u kojem se primjenjuje Poissonov zakon je broj telefonskih poziva na telefonskoj centrali u datom vremenskom intervalu. Drugi primjeri mogu biti broj mrlja mastila na stranici neurednog rukopisa ili broj mrlja na karoseriji automobila tokom farbanja. Poissonov zakon o distribuciji mjeri broj nedostataka, a ne broj neispravnih proizvoda.
Poissonova distribucija se pridržava broja slučajnih događaja koji se pojavljuju u fiksnim vremenskim intervalima ili u fiksnom području prostora, Za λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 vrijednost P(m) sa rastom T prolazi kroz maksimum blizu /
Karakteristika Poissonove distribucije je jednakost varijanse prema matematičkom očekivanju. Parametri Poissonove distribucije
M(x) = σ 2 = λ (15)
Ova karakteristika Poissonove distribucije omogućava nam u praksi da konstatujemo da je eksperimentalno dobijena distribucija slučajne varijable podložna Poissonovoj distribuciji ako su vrijednosti uzorka matematičkog očekivanja i varijanse približno jednake.
Zakon rijetkih događaja primjenjuje se u mašinstvu za uzorkovanje gotovih proizvoda kada je prema tehničkim uslovima dozvoljen određeni procenat nedostataka (obično mali) u prihvaćenoj seriji proizvoda q<<0.1.
Ako je vjerovatnoća q događaja A vrlo mala (q≤0,1), a broj pokušaja velik, tada će vjerovatnoća da se događaj A dogodi m puta u n pokušaja biti jednaka
,
gdje je λ = M(x) = nq
Da biste izračunali Poissonovu distribuciju, možete koristiti sljedeće rekurentne relacije
I 
(16)
Poissonova distribucija igra važnu ulogu u statističkim metodama osiguranja kvaliteta jer se može koristiti za aproksimaciju hipergeometrijskih i binomnih distribucija.
Takva aproksimacija je dopuštena kada , pod uvjetom da qn ima konačnu granicu i q<0.1. Когда n →∞, A p → 0, prosjek n p = t = konst.
Koristeći zakon rijetkih događaja, možete izračunati vjerovatnoću da će uzorak od n sadržavati: 0,1,2,3, itd. neispravne dijelove, tj. dato m puta. Također možete izračunati vjerovatnoću pojave u takvom uzorku od m komada neispravnih dijelova i više. Ova vjerovatnoća, zasnovana na pravilu sabiranja vjerovatnoća, bit će jednaka:
Primjer 1. Serija sadrži neispravne dijelove, čiji je udio 0,1. 10 delova se uzastopno uzima i pregleda, nakon čega se vraćaju u seriju, tj. testovi su nezavisni. Kolika je vjerovatnoća da će prilikom provjere 10 dijelova naići na jedan neispravan?
Rješenje Iz uslova zadatka q=0,1; n=10; m = 1. Očigledno, p=1-q=0,9.
Dobiveni rezultat može se pripisati i slučaju kada se 10 dijelova ukloni zaredom bez njihovog vraćanja u seriju. Uz dovoljno veliku seriju, na primjer, 1000 komada, vjerojatnost vađenja dijelova će se zanemariti promijeniti. Stoga, pod takvim uvjetima, uklanjanje neispravnog dijela može se smatrati događajem neovisnim o rezultatima prethodnih ispitivanja.
Primjer 2 Serija sadrži 1% neispravnih dijelova. Kolika je vjerovatnoća da ako se uzorak od 50 jedinica uzme iz serije, on sadrži 0, 1, 2, 3,4 neispravna dijela?
Rješenje. Ovdje q=0,01, nq=50*0,01=0,5
Dakle, da bi se efektivno primijenila Poissonova raspodjela kao aproksimacija binomske, potrebno je da vjerovatnoća uspjeha R bio znatno manji q . a n p = t bio reda veličine jedne (ili više jedinica).
Dakle, u statističkim metodama osiguranja kvaliteta
hipergeometrijski zakon primjenjivo za uzorke bilo koje veličine P i bilo koji nivo nedosljednosti q ,
binomni zakon i Poissonov zakon su njegovi posebni slučajevi, pod uslovom da n/N<0,1 и
Najopštiji slučaj različitih tipova distribucija vjerovatnoće je binomna distribucija. Iskoristimo njegovu univerzalnost da odredimo najčešće tipove distribucija koje se susreću u praksi.
Binomna distribucija
Neka bude neki događaj A. Vjerovatnoća pojave događaja A je jednaka str, vjerovatnoća da se događaj A neće dogoditi je 1 str, koji se ponekad naziva q. Neka n broj suđenja, m učestalost pojavljivanja događaja A u njima n testovi.
Poznato je da je ukupna vjerovatnoća svih mogućih kombinacija ishoda jednaka jedan, odnosno:
1 = str n + n · str n 1 (1 str) + C n n 2 · str n 2 (1 str) 2 + + C n m · str m(1 str) n m+ + (1 str) n .
|
str n vjerovatnoća da u nn jednom; n · str n 1 (1 str) vjerovatnoća da u nn 1) jednom i neće se desiti 1 put; C n n 2 · str n 2 (1 str) 2 vjerovatnoća da u n testova, dogodit će se događaj A ( n 2) puta i neće se desiti 2 puta; P m = C n m · str m(1 str) n m vjerovatnoća da u n desiće se događaj A m jednom i neće se desiti n m) jednom; (1 str) n vjerovatnoća da u n u suđenjima, događaj A se nikada neće dogoditi; broj kombinacija od n By m . |
Očekivana vrijednost M binomna distribucija je:
M = n · str ,
Gdje n broj suđenja, str vjerovatnoća pojave događaja A .
Standardna devijacija σ :
σ = sqrt( n · str(1 str)) .
Primjer 1. Izračunajte vjerovatnoću da će događaj biti sa vjerovatnoćom str= 0,5 , in n= Desiće se 10 suđenja m= 1 put. Imamo: C 10 1 = 10 , i dalje: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Kao što vidite, vjerovatnoća da se ovaj događaj dogodi je prilično mala. Ovo se objašnjava, prvo, činjenicom da apsolutno nije jasno da li će se događaj desiti ili ne, jer je verovatnoća 0,5, a šanse su ovde „50 prema 50“; i drugo, potrebno je izračunati da će se događaj desiti tačno jednom (ni više ni manje) od deset.
Primjer 2. Izračunajte vjerovatnoću da će događaj biti sa vjerovatnoćom str= 0,5 , in n= Desiće se 10 suđenja m= 2 puta. Imamo: C 10 2 \u003d 45 , i dalje: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Verovatnoća ovog događaja je povećana!
Primjer 3. Povećajmo vjerovatnoću nastanka samog događaja. Učinimo to vjerovatnijim. Izračunajte vjerovatnoću da će događaj biti sa vjerovatnoćom str= 0,8 , in n= Desiće se 10 suđenja m= 1 put. Imamo: C 10 1 = 10 , i dalje: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Vjerovatnoća je postala manja nego u prvom primjeru! Odgovor se na prvi pogled čini čudnim, ali budući da događaj ima dovoljno veliku vjerovatnoću, malo je vjerovatno da će se dogoditi samo jednom. Veća je vjerovatnoća da će se to dogoditi više puta, više puta. Zaista, brojim P 0 , P 1 , P 2 , P 3, ½, P 10 (vjerovatnoća da će neki događaj u n= 10 pokušaja će se desiti 0, 1, 2, 3, , 10 puta), videćemo:
C 10 0 = 1
,
C 10 1 = 10
,
C 10 2 = 45
,
C 10 3 = 120
,
C 10 4 = 210
,
C 10 5 = 252
,
C 10 6 = 210
,
C 10 7 = 120
,
C 10 8 = 45
,
C 10 9 = 10
,
C 10 10 = 1
;
P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 8 = 0,0000;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(najvjerovatnije!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074
Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
Normalna distribucija
Ako predstavimo količine P 0 , P 1 , P 2 , P 3, ½, P 10 , koji smo izračunali u primjeru 3, na grafu, ispada da njihova raspodjela ima oblik blizak zakonu normalne raspodjele (vidi sliku 27.1) (vidi predavanje 25. Modeliranje normalno raspoređenih slučajnih varijabli).
vjerovatnoće za različita m pri p = 0,8, n = 10
Binomni zakon postaje normalan ako su vjerovatnoće nastanka i nenastupanja događaja A približno iste, odnosno uslovno možemo napisati: str≈ (1 str) . Na primjer, uzmimo n= 10 i str= 0,5 (tj. str= 1 str = 0.5 ).
Do takvog problema doći ćemo na smislen način ako, na primjer, želimo teoretski izračunati koliko će dječaka, a koliko djevojčica biti od 10 djece rođene u porodilištu istog dana. Tačnije, nećemo uzeti u obzir dječake i djevojčice, već vjerovatnoću da će se roditi samo dječaci, da će se roditi 1 dječak i 9 djevojčica, da će se roditi 2 dječaka i 8 djevojčica, itd. Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da je vjerovatnoća da ćete imati dječaka i djevojčicu jednaka i jednaka 0,5 (ali u stvari, da budemo iskreni, to nije slučaj, pogledajte kurs “Modeliranje sistema umjetne inteligencije”).
Jasno je da će raspodjela biti simetrična, jer je vjerovatnoća da ćemo imati 3 dječaka i 7 djevojčica jednaka vjerovatnoći da će se imati 7 dječaka i 3 djevojčice. Najveća vjerovatnoća rođenja će biti kod 5 dječaka i 5 djevojčica. Ova vjerovatnoća je jednaka 0,25, inače nije tako velika po apsolutnoj vrijednosti. Nadalje, vjerovatnoća da će se odjednom roditi 10 ili 9 dječaka je mnogo manja od vjerovatnoće da će se roditi 5 ± 1 dječak od 10 djece. Samo binomna distribucija će nam pomoći da napravimo ovaj proračun. Dakle.
C 10 0 = 1
,
C 10 1 = 10
,
C 10 2 = 45
,
C 10 3 = 120
,
C 10 4 = 210
,
C 10 5 = 252
,
C 10 6 = 210
,
C 10 7 = 120
,
C 10 8 = 45
,
C 10 9 = 10
,
C 10 10 = 1
;
P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977
Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
Na grafikonu ćemo prikazati vrijednosti P 0 , P 1 , P 2 , P 3, ½, P 10 (vidi sliku 27.2).
p = 0,5 i n = 10, što ga približava normalnom zakonu
Dakle, pod uslovima m ≈ n/2 i str≈ 1 str ili str≈ 0,5 umjesto binomne distribucije, možete koristiti normalnu. Za velike vrijednosti n graf se pomiče udesno i postaje ravniji kako se srednja vrijednost i varijansa povećavaju s povećanjem n : M = n · str , D = n · str(1 str) .
Inače, binomski zakon teži normalnom i rastućem n, što je sasvim prirodno, prema središnjoj graničnoj teoremi (vidjeti predavanje 34. Fiksiranje i obrada statističkih rezultata).
Sada razmotrite kako se binomski zakon mijenja u slučaju kada str ≠ q, to je str> 0 . U ovom slučaju hipoteza normalnosti distribucije se ne može primijeniti, te se binomna raspodjela pretvara u Poissonovu distribuciju.
Poissonova distribucija
Poissonova raspodjela je poseban slučaj binomne distribucije (kada n>> 0 i at str> 0 (rijetki događaji)).
Iz matematike je poznata formula koja vam omogućava da grubo izračunate vrijednost bilo kojeg člana binomne distribucije:
Gdje a = n · str Poissonov parametar (matematičko očekivanje), a varijansa je jednaka matematičkom očekivanju. Predstavimo matematičke proračune koji objašnjavaju ovu tranziciju. Zakon binomne distribucije
P m = C n m · str m(1 str) n m
može se napisati ako stavimo str = a/n , as
Jer str veoma mali, samo brojke treba uzeti u obzir m, mali u odnosu na n. Posao
veoma blizu jedinstva. Isto vrijedi i za veličinu
Vrijednost
veoma blizu e a. Odavde dobijamo formulu:
Primjer. U kutiji je n= 100 delova, dobrih i neispravnih. Verovatnoća dobijanja neispravnog proizvoda je str= 0,01 . Recimo da izvadimo proizvod, utvrdimo da li je neispravan ili ne i vratimo ga nazad. Na taj način se ispostavilo da su se od 100 artikala koje smo sredili dva pokazala neispravna. Kolika je vjerovatnoća za ovo?
Prema binomnoj distribuciji dobijamo:
Prema Poissonovoj distribuciji dobijamo:
Kao što se može vidjeti, ispostavilo se da su vrijednosti bliske, stoga je u slučaju rijetkih događaja sasvim prihvatljivo primijeniti Poissonov zakon, pogotovo jer zahtijeva manje računskih napora.
Grafički prikazujemo oblik Poissonovog zakona. Uzmimo parametre kao primjer. str = 0.05 , n= 10 . onda:
C 10 0 = 1
,
C 10 1 = 10
,
C 10 2 = 45
,
C 10 3 = 120
,
C 10 4 = 210
,
C 10 5 = 252
,
C 10 6 = 210
,
C 10 7 = 120
,
C 10 8 = 45
,
C 10 9 = 10
,
C 10 10 = 1
;
P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000
Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
At n> ∞ Poissonova raspodjela postaje normalna prema središnjoj graničnoj teoremi (vidi
Razmotrite Poissonovu distribuciju, izračunajte njeno matematičko očekivanje, varijansu, mod. Koristeći MS EXCEL funkciju POISSON.DIST(), crtamo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Procijenimo parametar distribucije, njegovo matematičko očekivanje i standardnu devijaciju.
Prvo dajemo suvu formalnu definiciju distribucije, zatim dajemo primere situacija u kojima Poissonova distribucija(engleski) Poissondistribucija) je adekvatan model za opisivanje slučajne varijable.
Ako se slučajni događaji dogode u datom vremenskom periodu (ili u određenoj zapremini materije) sa prosječnom frekvencijom λ( lambda), zatim broj događaja x, dogodio u ovom vremenskom periodu će imati Poissonova distribucija.
Primjena Poissonove distribucije
Primjeri kada Poissonova distribucija je adekvatan model:
- broj poziva koje je telefonska centrala primila za određeni vremenski period;
- broj čestica koje su bile podvrgnute radioaktivnom raspadu u datom vremenskom periodu;
- broj nedostataka na komadu tkanine fiksne dužine.
Poissonova distribucija je adekvatan model ako su ispunjeni sljedeći uslovi:
- događaji se dešavaju nezavisno jedan od drugog, tj. vjerovatnoća narednog događaja ne zavisi od prethodnog;
- prosječna učestalost događaja je konstantna. Kao posljedica toga, vjerovatnoća događaja je proporcionalna dužini intervala posmatranja;
- dva događaja se ne mogu dogoditi u isto vrijeme;
- broj događaja mora imati vrijednost 0; 1; 2…
Bilješka: Dobar trag koji posmatrana slučajna varijabla ima distribucija otrova, je činjenica da je približno jednako (vidi dolje).
Slijede primjeri situacija u kojima Poissonova distribucija ne mogu primijeniti:
- broj studenata koji napuste univerzitet u roku od sat vremena (jer prosječan protok studenata nije konstantan: ima malo studenata tokom nastave, a broj studenata naglo raste između časova);
- broj potresa sa amplitudom od 5 bodova godišnje u Kaliforniji (jer jedan potres može izazvati ponovljene potrese slične amplitude - događaji nisu nezavisni);
- broj dana koje pacijenti provode u jedinici intenzivne njege (jer je broj dana koje pacijenti provode u jedinici intenzivne njege uvijek veći od 0).
Bilješka: Poissonova distribucija je aproksimacija tačnijeg diskretne distribucije: I .
Bilješka: O vezi Poissonova distribucija I Binomna distribucija može se pročitati u članku. O vezi Poissonova distribucija I Eksponencijalna distribucija možete pronaći u članku o .
Poissonova distribucija u MS EXCEL-u
U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za Distribucije Poisson postoji funkcija POISSON.DIST() , engleski naslov- POISSON.DIST(), koji vam omogućava da izračunate ne samo vjerovatnoću da će se to desiti tokom određenog vremenskog perioda X događaji (funkcija gustina vjerovatnoće p(x), vidi gornju formulu), ali takođe (vjerovatnoća da će barem u datom vremenskom periodu x događaji).
Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju POISSON(), koja vam također omogućava da izračunate funkcija distribucije I gustina vjerovatnoće p(x). POISSON() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.
Datoteka primjera sadrži grafikone gustina raspodjele vjerovatnoće I integralna funkcija distribucije.
Poissonova distribucija ima nakošen oblik (dugački rep na desnoj strani funkcije vjerovatnoće), ali kako se parametar λ povećava, postaje sve simetričniji.
Bilješka: Prosjek I disperzija(kvadrat) jednaki su parametru Poissonova distribucija– λ (vidi primjer lista datoteke Primjer).
Zadatak
Tipična primjena Poissonove distribucije u kontroli kvaliteta, predstavlja model broja nedostataka koji se mogu pojaviti u uređaju ili uređaju.
Na primjer, ako je prosječan broj defekata u čipu λ (lambda) 4, vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati 2 ili manje defekata jednaka je: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381
Treći parametar u funkciji je postavljen = TRUE, tako da će se funkcija vratiti integralna funkcija distribucije, odnosno vjerovatnoća da će broj slučajnih događaja biti u rasponu od 0 do 4 uključujući.
Izračuni se u ovom slučaju vrše prema formuli:
Vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati tačno 2 defekta je: POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465
Treći parametar u funkciji je postavljen = FALSE, tako da će funkcija vratiti gustoću vjerovatnoće.
Vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati više od 2 defekta jednaka je: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, TRUE) \u003d 0,8535
Bilješka: Ako x nije cijeli broj, onda kada se izračunava formula . Formule =POISSON.DIST( 2 ; 4; LAŽ) I =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; LAŽ)će vratiti isti rezultat.
Generisanje slučajnih brojeva i λ procjena
Za vrijednosti λ >15 , Poissonova distribucija dobro aproksimirano normalna distribucija sa sljedećim parametrima: μ =λ , σ 2 =λ .
Više o odnosu između ovih distribucija možete pročitati u članku. Navedeni su i primjeri aproksimacije, te su objašnjeni uslovi kada je to moguće i sa kojom tačnošću.
SAVJET: O ostalim distribucijama MS EXCEL-a možete pročitati u članku.
Gdje je λ jednako prosječnom broju pojavljivanja događaja u istim nezavisnim ispitivanjima, tj. λ = n × p, gdje je p vjerovatnoća događaja u jednom ispitivanju, e = 2,71828.
Red distribucije Poissonovog zakona ima oblik:
Servisni zadatak. Online kalkulator se koristi za izgradnju Poissonove distribucije i izračunavanje svih karakteristika serije: matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju. Izvještaj sa odlukom sastavlja se u Word formatu. U slučaju kada je n veliko, a λ = p n > 10, Poissonova formula daje vrlo grubu aproksimaciju i lokalne i integralne Moivre-Laplaceove teoreme se koriste za izračunavanje P n (m).
Numeričke karakteristike slučajne varijable X
Matematičko očekivanje Poissonove distribucijeM[X] = λ
Varijanca Poissonove distribucije
D[X] = λ
Primjer #1. Sjeme sadrži 0,1% korova. Kolika je vjerovatnoća da se nađe 5 sjemenki korova u slučajnom odabiru od 2000 sjemenki?
Rješenje.
Verovatnoća p je mala, a broj n je veliki. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Očekivana vrijednost: M[X] = λ = 2
Disperzija: D[X] = λ = 2
Primjer #2. Među sjemenkama raži ima 0,4% sjemena korova. Napraviti zakon raspodjele broja korova nasumičnim odabirom od 5000 sjemenki. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.
Rješenje. Očekivanje: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Varijanca: D[X] = λ = 20
Zakon o distribuciji:
| X | 0 | 1 | 2 | … | m | … |
| P | e-20 | 20e-20 | 200e-20 | … | 20 metara -20 / metara! | … |
Primjer #3. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 1/200. Pronađite vjerovatnoću da će među 200 veza biti:
a) tačno jedna pogrešna veza;
b) manje od tri neispravne veze;
c) više od dvije neispravne veze.
Rješenje. Prema uslovu zadatka, vjerovatnoća događaja je mala, pa koristimo Poissonovu formulu (15).
a) Dato je: n = 200, p = 1/200, k = 1. Naći P 200 (1).
Dobijamo: 
. Tada je P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Dato je: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Imamo: a = 1. 
c) Zadato je: n = 200, p = 1/200, k > 2. Naći P 200 (k > 2).
Ovaj problem se može riješiti jednostavnije: pronaći vjerovatnoću suprotnog događaja, jer u ovom slučaju morate izračunati manje pojmova. Uzimajući u obzir prethodni slučaj, imamo
Razmotrimo slučaj gdje je n dovoljno veliko, a p dovoljno malo; stavljamo np = a, gdje je a neki broj. U ovom slučaju, željena vjerovatnoća je određena Poissonovom formulom:
Vjerojatnost pojave k događaja u vremenu trajanja t također se može pronaći pomoću Poissonove formule:
gdje je λ intenzitet toka događaja, odnosno prosječan broj događaja koji se pojavljuju u jedinici vremena.
Primjer #4. Vjerovatnoća da je dio neispravan je 0,005. Provjereno je 400 dijelova. Navedite formulu za izračunavanje vjerovatnoće da su više od 3 dijela neispravna.
Primjer broj 5. Vjerovatnoća pojave neispravnih dijelova u njihovoj masovnoj proizvodnji jednaka je p. odrediti vjerovatnoću da serija od N dijelova sadrži a) tačno tri dijela; b) najviše tri neispravna dijela.
p=0,001; N=4500
Rješenje.
Verovatnoća p je mala, a broj n je veliki. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Slučajna varijabla X ima raspon (0,1,2,...,m). Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se naći po formuli:
Nađimo distribucijsku seriju X.
Ovdje λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999 
Tada je vjerovatnoća da serija od N dijelova sadrži tačno tri dijela jednaka: 
Tada je vjerovatnoća da serija od N dijelova ne sadrži više od tri neispravna dijela:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736
Primjer broj 6. Automatska telefonska centrala u prosjeku primi N poziva na sat. Odrediti vjerovatnoću da će u datom minutu primiti: a) tačno dva poziva; b) više od dva poziva.
N = 18
Rješenje.
U jednoj minuti, ATS prima u prosjeku λ = 18/60 min. = 0,3
Pod pretpostavkom da je slučajni broj X poziva primljenih na PBX u jednoj minuti,
poštuje Poissonov zakon, po formuli nalazimo željenu vjerovatnoću
Nađimo distribucijsku seriju X.
Ovdje λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222 
Verovatnoća da će primiti tačno dva poziva u datom minutu je:
P(2) = 0,03334
Verovatnoća da će primiti više od dva poziva u datom minutu je:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366
Primjer broj 7. Razmatramo dva elementa koji rade nezavisno jedan od drugog. Trajanje neprekidnog rada ima eksponencijalnu distribuciju sa parametrom λ1 = 0,02 za prvi element i λ2 = 0,05 za drugi element. Naći vjerovatnoću da će za 10 sati: a) oba elementa raditi besprijekorno; b) samo vjerovatnoća da element #1 neće otkazati za 10 sati:
Rješenje.
P 1 (0) = e -λ1 * t \u003d e -0,02 * 10 = 0,8187
Vjerovatnoća da element #2 neće otkazati za 10 sati je:
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0,05 * 10 = 0,6065
a) oba elementa će raditi besprijekorno;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) samo jedan element neće uspjeti.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321
Primjer broj 7. Proizvodnja daje 1% braka. Kolika je vjerovatnoća da od 1100 proizvoda uzetih za istraživanje, ne više od 17 bude odbijeno?
Bilješka: pošto je ovdje n*p =1100*0.01=11 > 10, potrebno je koristiti
