slučajne varijable. Poligon distribucije
Slučajne varijable: diskretne i kontinuirane.
Prilikom izvođenja stohastičkog eksperimenta formira se prostor elementarnih događaja – mogućih ishoda ovog eksperimenta. Smatra se da na ovom prostoru elementarnih događaja slučajna vrijednost X, ako je dat zakon (pravilo) prema kojem se svakom elementarnom događaju dodjeljuje broj. Dakle, slučajna varijabla X može se smatrati funkcijom definiranom na prostoru elementarnih događaja.
■ Slučajno- vrijednost koja tokom svakog testa poprima jednu ili drugu brojčanu vrijednost (ne zna se unaprijed koju), u zavisnosti od slučajnih uzroka koji se ne mogu unaprijed uzeti u obzir. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinice i mogućim vrijednostima slučajna varijabla- mali. Dakle, kada se baci kocka, dešava se događaj povezan sa brojem x, gde je x broj bačenih poena. Broj bodova je nasumična vrijednost, a brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6 su moguće vrijednosti ove vrijednosti. Udaljenost koju će projektil preletjeti kada je ispaljen iz pištolja također je slučajna varijabla (zavisi od ugradnje nišana, jačine i smjera vjetra, temperature i drugih faktora), te mogućih vrijednosti ove količine pripadaju određenom intervalu (a; b).
■ Diskretna slučajna varijabla- slučajna varijabla koja poprima odvojene, izolovane moguće vrijednosti sa određenim vjerovatnoćama. Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan.
■ Kontinuirana slučajna varijabla je slučajna varijabla koja može preuzeti sve vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.
Na primjer, broj bodova ispuštenih prilikom bacanja kocke, rezultat za kontrolni rad su diskretne slučajne varijable; udaljenost koju projektil leti pri ispaljivanju iz pištolja, greška mjerenja indikatora vremena asimilacije obrazovnog materijala, visina i težina osobe su kontinuirane slučajne varijable.
Zakon distribucije slučajne varijable– korespondencija između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća, tj. svaka moguća vrijednost x i povezana je s vjerovatnoćom p i sa kojom slučajna varijabla može uzeti ovu vrijednost. Zakon raspodjele slučajne varijable može se dati tabelarno (u obliku tabele), analitički (u obliku formule) i grafički.
Neka diskretna slučajna varijabla X ima vrijednosti x 1 , x 2 , …, x n sa vjerovatnoćama p 1 , p 2 , …, p n respektivno, tj. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . Uz tabelarnu dodjelu zakona raspodjele ove vrijednosti, prvi red tabele sadrži moguće vrijednosti x 1, x 2, ..., x n, a drugi - njihove vjerovatnoće
| X | x 1 | x2 | … | x n |
| str | p1 | p2 | … | p n |
Kao rezultat testa, diskretna slučajna varijabla X uzima jednu i samo jednu od mogućih vrijednosti, tako da događaji X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n čine kompletnu grupu parno nekompatibilnih događaja i , dakle, zbir vjerovatnoća ovih događaja jednak je jedan , tj. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1.
Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Distribucija poligona (poligona).
Kao što znate, slučajna varijabla je varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.
Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim vjerovatnoćama koje nisu nula.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.
1. Zakon raspodjele može se dati u tabeli:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .
c) korištenjem funkcije raspodjele F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).
 |
Svojstva funkcije F(x)
3. Zakon raspodjele se može specificirati grafički - poligonom distribucije (poligonom) (vidi zadatak 3).
Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.
Glavne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable:
- Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i .
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ - Disperzija diskretne slučajne varijable D(X)= M 2 ili D(X) = M(X 2)− 2 . Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ - Standardna devijacija ( standardna devijacija) σ(X)=√D(X).
Radi jasnoće prezentacije varijacione serije veliki značaj imaju njegovu grafiku. Grafički, varijacioni niz se može prikazati kao poligon, histogram i kumulat.
· Poligon distribucije (bukvalno, poligon distribucije) naziva se izlomljena linija, koja je izgrađena u pravougaonom koordinatnom sistemu. Vrijednost karakteristike je iscrtana na apscisi, a odgovarajuće frekvencije (ili relativne frekvencije) - duž ordinate. Tačke (ili ) se povezuju linijskim segmentima i dobija se poligon distribucije. Poligoni se najčešće koriste za prikaz diskretnih varijacionih serija, ali se mogu koristiti i za prikaz intervalne serije. U ovom slučaju, tačke koje odgovaraju sredinama ovih intervala su iscrtane na osi apscise.
Stranica 2
Grafički, zakon raspodjele diskretna količina je dat u obliku takozvanog poligona distribucije.
Grafički prikaz serije distribucije (vidi sliku 5) naziva se poligon distribucije.
Za karakterizaciju zakona distribucije diskontinuirane slučajne varijable često se koriste niz (tabela) i poligon distribucije.
Za njenu sliku u pravougaonom koordinatnom sistemu, izgrađene su tačke (Y Pi) (x - i Pa) i povezane linijskim segmentima. Poligon distribucije daje približan vizuelni prikaz prirode distribucije slučajne varijable.
Radi jasnoće, zakon distribucije diskretne slučajne varijable može se prikazati i grafički, za koje se tačke (x /, p) grade u pravougaoni koordinatni sistem, a zatim povezuju segmentima. poligon.
M (xn; pn) (ls - - moguće vrijednosti Xt pi - odgovarajuće vjerovatnoće) i povežite ih segmentima linija. Dobivena figura naziva se poligon distribucije.
Razmotrimo distribuciju vjerovatnoće zbira bodova na kocki. Slike ispod pokazuju poligone distribucije za slučaj jedne, dvije i tri kosti.
U ovom slučaju, umjesto poligona slučajne distribucije, konstruiše se funkcija gustoće distribucije, koja se naziva diferencijalna funkcija raspodjele i predstavlja diferencijalni zakon raspodjele. U teoriji vjerovatnoće, gustina distribucije slučajne varijable x (x Xr) se shvata kao granica omjera vjerovatnoće da x padne u interval (x, x - - Ax) prema Ax, kada je Al; teži nuli. Pored diferencijalne funkcije, za karakterizaciju distribucije slučajne varijable, koristi se i integralna funkcija distribucije, koja se često naziva jednostavno funkcija distribucije ili integralni zakon distribucije.
Sa takvom konstrukcijom, relativne frekvencije pada u intervale će biti jednake površinama odgovarajućih kolona histograma, kao što su vjerovatnoće jednake površinama odgovarajućih krivolinijskih trapeza. y Ponekad, radi jasnoće poređenja, izgrađen je distributivni poligon koji serijski povezuje sredine gornjih baza traka histograma.
Davanje t razna značenja od 0 do z, dobiti vjerovatnoće PQ, P RF - Pp, koje su ucrtane na graf. S obzirom na r; i11, konstruisati poligon distribucije verovatnoće.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je svaka korespondencija između njenih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća. Zakon se može specificirati tabelarno (distribucijski niz), grafički (distribucijski poligon, itd.) i analitički.
Pronalaženje krivulje distribucije, drugim riječima, uspostavljanje distribucije same slučajne varijable, omogućava dublje istraživanje fenomena, koji je daleko od toga da bude u potpunosti izražen ovim konkretnim nizom distribucije. Predstavljanjem na crtežu pronađene krivulje distribucije nivelacije i poligona distribucije konstruisanog na osnovu parcijalne populacije, istraživač može jasno uočiti karakteristične osobine inherentne fenomenu koji se proučava. Zbog toga statistička analiza zadržava pažnju istraživača na odstupanjima posmatranih podataka od neke redovne promjene u pojavi, a pred istraživačem je zadatak da otkrije uzroke ovih odstupanja.
Zatim se iz sredine intervala povlače apscise (na skali), koje odgovaraju broju mjeseci sa protokom u ovom intervalu. Krajevi ovih apscisa su povezani i tako se dobija poligon, odnosno poligon distribucije.
Tačke koje daju grafički prikaz zakona raspodjele diskretne slučajne varijable na koordinatna ravan vrijednosti veličine - vjerovatnoća vrijednosti, obično povezanih segmentima linija i nazvanih rezultirajućim geometrijska figura distributivni poligon. Na sl. 3 u tabeli 46 (kao i na slikama 4 i 5) samo pokazuje poligone distribucije.
Koncept slučajne varijable. Zakon distribucije slučajne varijable
Slučajne varijable (skraćeno: r. v.) se označavaju velikim latiničnim slovima slova X, Y, Z,...(ili mala grčka slova ξ (xi), η (ovo), θ (teta), ψ (psi), itd.), i vrijednosti koje su oni preuzeli, redom, malim slovima x 1 , x 2 ,…, 1 , u 2 , 3 …
Primjeri With. V. može poslužiti: 1) X- broj bodova koji se pojavljuju prilikom bacanja kocke; 2) Y - broj hitaca prije prvog pogotka u metu; 3) Z- vreme rada uređaja itd. (visina osobe, kurs dolara, broj neispravnih delova u seriji, temperatura vazduha, isplata igrača, koordinate tačke ako je nasumično odabrana od strane , profit kompanije, ...).
Slučajna varijabla XΏ w
X(w), tj. X= X(w), w O Ώ (ili X=f(w)) (31)
Primjer1. Iskustvo se sastoji u bacanju novčića 2 puta. Na PES-u Ώ=( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ), gdje je w 1 = GG, ž 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, možete uzeti u obzir. V. X- broj pojavljivanja grba. S. v. X je funkcija elementarnog događaja w i :X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. sa vrijednostima x 1 = 0,x2 =1 , x 3 = 2.
X(w) S P(A) = P(X< X).
X- d.s. V.,
x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…
p i , Gdje i = 1,2,3, ...,n,… .
zakon o distribuciji d.s. V. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,...,n,...,
With. V. X x i . :
| X | x 1 | x2 | …. | x n | … |
| P | p1 | p2 | …. | p n | … |
Od događaja (X= x 1 ), (X= x 2 ),…, (X= x n), tj. .
(x 1 , p1 ), (x 2 , p 2),..., (x n , p n) se nazivaju poligon(ili poligon) distribucija(vidi sliku 17).
Slučajna vrijednost X je diskretan, ako postoji konačan ili prebrojiv skup brojeva x 1 , x2 , ..., x n takav da P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) str 1 + p2 + p 3 +…= 1 (32)
suma d.s. V. X, koji uzima vrijednosti x i sa vjerovatnoćama p i = R(H = x i ), i = 1,2,3,...,n, i d.s. V. Y, uzimajući vrijednosti y j sa vjerovatnoćama p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, naziva se d.s. V. Z = X + Y , uzimajući vrijednosti z ij = x i + y j sa vjerovatnoćama p ij = R( H = x i ,Y = y j ), za sve navedene vrijednosti i i j. Ako se neki sumi x i + y j poklapaju, odgovarajuće vjerovatnoće se zbrajaju.
razlika d.s. V. X, koji uzima vrijednosti x i sa vjerovatnoćama p i = R(H = x i ), i = 1,2,3,...,n, i d.s. V. Y, uzimajući vrijednosti y j sa vjerovatnoćama p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, naziva se d.s. V. Z = X - Y, uzimajući vrijednosti z ij = x i – y j sa vjerovatnoćama p ij = R( H = x i ,Y = y j ), za sve navedene vrijednosti i i j. Ako se neke razlike x i – y j poklapaju, dodaju se odgovarajuće vjerovatnoće.
rad d.s. V. X, koji uzima vrijednosti x i sa vjerovatnoćama p i = R(H = x i ), i = 1,2,3,...,n, i d.s. V. Y, uzimajući vrijednosti y j sa vjerovatnoćama p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, naziva se d.s. V. Z = X × Y, uzimajući vrijednosti z ij = x i × y j sa vjerovatnoćama p ij = R( H = x i ,Y = y j ), za sve navedene vrijednosti i i j. Ako se neki produkti x i × y j poklapaju, dodaju se odgovarajuće vjerovatnoće.
d.s. V. sH, s x i r i = R(H = x i ).
X i Y događaji (X = x i ) = A i i (Y = y j ) = V j su nezavisni za bilo koje i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, tj.
P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)
Primjer 2 U urni se nalazi 8 kuglica, od kojih su 5 bijele, a ostale crne. Iz njega se nasumično izvlače 3 loptice. Pronađite zakon raspodjele za broj bijelih kuglica u uzorku.
Iskustvo je svaka implementacija određenih uslova i radnji pod kojima se posmatra proučavani slučajni fenomen. Eksperimenti se mogu okarakterisati i kvalitativno i kvantitativno. Slučajna vrijednost je veličina koja kao rezultat eksperimenta može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju.
Slučajne varijable se obično označavaju (X,Y,Z), a odgovarajuće vrijednosti (x,y,z)
Diskretne se nazivaju slučajne varijable koje uzimaju odvojene vrijednosti izolovane jedna od druge, koje se mogu precijeniti. Kontinuirane količinečije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni raspon. Zakon distribucije slučajne varijable je svaki odnos koji uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti slučajnih varijabli i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Distribucija serije i poligona. Najjednostavniji oblik zakona raspodjele diskretne veličine je red raspodjele. Grafička interpretacija serije distribucije je poligon distribucije.
Informacije od interesa možete pronaći i u naučnom pretraživaču Otvety.Online. Koristite formular za pretragu:
Više o temi 13. Diskretna slučajna varijabla. Poligon distribucije. Operacije sa slučajnim varijablama, na primjer:
- 13. Diskretna slučajna varijabla i zakon njene distribucije. Poligon distribucije. Operacije sa slučajnim varijablama. Primjer.
- Koncept "slučajne varijable" i njegov opis. Diskretna slučajna varijabla i njen zakon raspodjele (serija). Nezavisne slučajne varijable. Primjeri.
- 14. Slučajne varijable, njihovi tipovi. Zakon raspodjele vjerovatnoća diskretne slučajne varijable (DSV). Načini građenja slučajnih varijabli (RV).
- 16. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable: matematičko očekivanje, varijansa i standardna devijacija.
- Matematičke operacije nad diskretnim slučajnim varijablama i primjeri konstrukcije zakona raspodjele za KX, X"1, X + K, XV prema datim raspodjelama nezavisnih slučajnih varijabli X i Y.
- Koncept slučajne varijable. Zakon raspodjele diskretnog slučaja. količine. Matematičke operacije nad slučajevima. količine.
5.2. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. Poligon distribucije
Na prvi pogled može izgledati da je za specificiranje diskretne slučajne varijable dovoljno navesti sve njene moguće vrijednosti. U stvarnosti, to nije tako: slučajne varijable mogu imati iste liste mogućih vrijednosti, ali su njihove vjerovatnoće različite. Stoga, za postavljanje diskretne slučajne varijable nije dovoljno navesti sve njene moguće vrijednosti, već se moraju navesti i njihove vjerovatnoće.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable imenovati korespondenciju između mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća; može se specificirati tabelarno, analitički (u obliku formule) i grafički.
Definicija. Bilo koje pravilo (tabela, funkcija, grafikon) koje vam omogućava da pronađete vjerovatnoće proizvoljnih događaja A S (S- -algebra događaja u prostoru ), posebno, koja ukazuje na vjerovatnoće pojedinačnih vrijednosti slučajne varijable ili skupa ovih vrijednosti, naziva se zakon raspodjele slučajne varijable(ili jednostavno: distribucija). O r.v. kaže se da se "pokorava datom zakonu distribucije."
Neka X– d.r.v., koji preuzima vrijednosti X 1 , X 2 , …, x n,… (skup ovih vrijednosti je konačan ili prebrojiv) s određenom vjerovatnoćom str i, Gdje i = 1,2,…, n,… Zakon o distribuciji d.r.v. pogodno za postavljanje pomoću formule str i = P{X = x i)Gdje i = 1,2,…, n,…, koji određuje vjerovatnoću da će, kao rezultat eksperimenta, r.v. X poprimiće značenje x i. Za d.r.v. X zakon distribucije može se dati u obliku distributivni stolovi:
|
x n | |||||
|
R n |
Kada se tabelarno dodjeljuje zakon raspodjele diskretne slučajne varijable, prvi red tabele sadrži moguće vrijednosti, a drugi - njihove vjerovatnoće. takva tabela se zove blizu distribucije.
Uzimajući u obzir da u jednom testu slučajna varijabla poprima jednu i samo jednu moguću vrijednost, zaključujemo da događaji X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n formiraju kompletnu grupu; dakle, zbir vjerovatnoća ovih događaja, tj. zbir vjerovatnoća drugog reda tabele jednak je jedan, odnosno, .
Ako je skup mogućih vrijednosti X beskonačno (prebrojivo), zatim niz R 1 + R 2 + ... konvergira i njegov zbir je jednak jedan.
Primjer. U gotovini je izdato 100 tiketa. Igra se jedna pobeda od 50 rubalja. i deset dobitaka od 1 rub. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable X– trošak mogućeg dobitka za vlasnika jedne srećke.
Rješenje. Napišimo moguće vrijednosti X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Vjerovatnoće ovih mogućih vrijednosti su: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.
Napišimo željeni zakon distribucije:
Kontrola: 0,01 + 0,1 + 0,89 = 1.
Primjer. U urni se nalazi 8 kuglica, od kojih su 5 bijele, a ostale crne. Iz njega se nasumično izvlače 3 loptice. Pronađite zakon raspodjele za broj bijelih kuglica u uzorku.
Rješenje. Moguće vrijednosti r.v. X– broj bijelih kuglica u uzorku je X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Njihove vjerovatnoće će biti
;
;
.
Zapisujemo zakon raspodjele u obliku tabele.
|
|
|
|
|
Kontrola: 
.
Distribucijski zakon d.r.v. može se postaviti grafički, ako su moguće vrijednosti r.v. iscrtane na osi apscise, a vjerovatnoće ovih vrijednosti na osi ordinata. Poligonalna linija koja uzastopno povezuje tačke ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),… se zovu poligon(ili poligon) distribucija(vidi sliku 5.1).
Rice. 5.1. Poligon distribucije
Sada možemo dati precizniju definiciju d.r.v.
Definicija. Slučajna vrijednost X je diskretan ako postoji konačan ili prebrojiv skup brojeva X 1 , X 2 , … tako da P{X = x i } = str i > 0 (i= 1,2,…) i str 1 + str 2 + R 3 +… = 1.
Definirajmo matematičke operacije nad diskretnim r.v.
Definicija.suma (razlika, rad) d.r.v. X, koji uzima vrijednosti x i sa vjerovatnoćama str i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, i d.r.v. Y, koji uzima vrijednosti y j sa vjerovatnoćama str j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, naziva se d.r.v. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y) uzimanje vrijednosti z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j) sa vjerovatnoćama str ij = P{X = x i , Y = y j) za sve navedene vrijednosti i I j. Ako se neki iznosi poklapaju x i + y j (razlike x i – y j, radi x i y j) odgovarajuće vjerovatnoće se sabiraju.
Definicija.Posao d.r.v. on broj sa se zove d.r.v. cX, koji uzima vrijednosti Withx i sa vjerovatnoćama str i = P{X = x i }.
Definicija. Dva d.r.v. X I Y pozvao nezavisni, ako događaji ( X = x i } = A i i ( Y = y j } = B j nezavisno za bilo koje i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, to je
Inače, r.v. pozvao zavisan. Nekoliko r.v. nazivaju se međusobno nezavisnim ako zakon raspodjele bilo koje od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje su druge veličine preuzele.
Razmotrite neke od najčešće korištenih zakona o distribuciji.
