4 kako se konstruišu diskretni intervalni varijacioni nizovi. Statistički sažetak i grupisanje

Primjer rješavanja testa iz matematičke statistike

Problem 1

Početni podaci : studenti određene grupe od 30 osoba položili su ispit iz predmeta „Informatika“. Ocjene koje dobiju učenici čine sljedeći niz brojeva:

I. Hajde da napravimo niz varijacija

	m x	w x	m x nak	w x nak
Ukupno:

II. Grafički prikaz statističkih informacija.

III. Numeričke karakteristike uzorka.

1. Aritmetička sredina

2. Geometrijska sredina

3. Moda

4. Medijan

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Varijanca uzorka

7. Koeficijent varijacije

8. Asimetrija

9. Koeficijent asimetrije

10. Višak

11. Kurtosis koeficijent

Problem 2

Početni podaci : Učenici neke grupe su napisali svoj završni test. Grupa se sastoji od 30 ljudi. Bodovi koje su učenici osvojili čine sljedeći niz brojeva

Rješenje

I. Pošto karakteristika poprima mnogo različitih vrijednosti, za nju ćemo konstruirati intervalnu varijantnu seriju. Da biste to učinili, prvo postavite vrijednost intervala h. Koristimo Stangerovu formulu

Napravimo intervalnu skalu. U ovom slučaju, za gornju granicu prvog intervala uzet ćemo vrijednost koja je određena formulom:

Određujemo gornje granice narednih intervala koristeći sljedeću ponavljajuću formulu:

, Onda

Završavamo konstruisanje intervalne skale, jer je gornja granica sledećeg intervala postala veća ili jednaka maksimalnoj vrednosti uzorka
.

II. Grafički prikaz intervalnih varijacionih serija

III. Numeričke karakteristike uzorka

Da bismo odredili numeričke karakteristike uzorka, sastavit ćemo pomoćnu tabelu

Sum:

1. Aritmetička sredina

2. Geometrijska sredina

3. Moda

4. Medijan

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Varijanca uzorka

6. Standardna devijacija uzorka

7. Koeficijent varijacije

8. Asimetrija

9. Koeficijent asimetrije

10. Višak

11. Kurtosis koeficijent

Problem 3

Stanje : vrijednost podjele skale ampermetra je 0,1 A. Očitavanja su zaokružena na najbliži cijeli podeljak. Nađite vjerovatnoću da će se tokom očitavanja napraviti greška koja prelazi 0,02 A.

Rješenje.

Greška zaokruživanja uzorka može se smatrati slučajnom varijablom X, koji je ravnomjerno raspoređen u intervalu između dva susjedna cjelobrojna podjela. Ujednačena gustina distribucije

Gdje
- dužina intervala koji sadrži moguće vrijednosti X; izvan ovog intervala
U ovom problemu, dužina intervala koji sadrži moguće vrijednosti je X, je jednako 0,1, dakle

Greška čitanja će premašiti 0,02 ako je u intervalu (0,02; 0,08). Onda

odgovor: r=0,6

Problem 4

Početni podaci: matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno distribuirane karakteristike X 10 i 2. Nađite vjerovatnoću da će kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (12, 14).

Rješenje.

Koristimo formulu

I teorijske frekvencije

Rješenje

Za X nju matematičko očekivanje M(X) i varijansa D(X). Rješenje. Nađimo funkciju distribucije F(x) slučajne varijable... greška uzorkovanja). Hajde da komponujemo varijacijski redŠirina intervala će biti: Za svaku vrijednost red Izračunajmo koliko...

Rješenje: odvojiva jednačina

Rješenje

U obliku Da se pronađe količnik rješenja nehomogena jednačina pomirimo se sistem Rešimo rezultujući sistem... ; +47; +61; +10; -8. Interval izgradnje varijacijski red. Daj statističke procjene prosjek...

Rješenje: Izračunajmo lančana i osnovna apsolutna povećanja, stope rasta, stope rasta. Dobijene vrijednosti sumiramo u tabeli 1

Rješenje

Obim proizvodnje. Rješenje: Aritmetička sredina intervala varijacijski red izračunava se na sljedeći način: za... Granična greška uzorkovanja sa vjerovatnoćom 0,954 (t=2) će biti: Δ w = t*μ = 2*0,0146 = 0,02927 Definirajmo granice...

Rješenje. Potpiši

Rješenje

O čijem radnom iskustvu i našminkano uzorak. Uzorak prosječnog radnog iskustva... ovih zaposlenika i našminkano uzorak. Prosečno trajanje za uzorak... 1,16, nivo značajnosti α = 0,05. Rješenje. Varijacija red ovog uzorka izgleda ovako: 0,71 ...

Radni nastavni plan i program iz biologije za 10-11 razred Sastavila: Polikarpova S. V.

Radni nastavni plan i program

Najjednostavnije sheme ukrštanja" 5 L.r. " Rješenje elementarni genetski problemi" 6 L.r. " Rješenje elementarni genetski problemi" 7 L.r. "..., 110, 115, 112, 110. Compose varijacijski red, crtanje varijacijski krivulju, pronađite prosječnu vrijednost karakteristike...

Grupisanje- ovo je podjela populacije na grupe koje su homogene prema nekom svojstvu.

Svrha usluge. Koristeći online kalkulator možete:

• izgraditi seriju varijacija, izgraditi histogram i poligon;
• pronaći indikatore varijacije (prosjek, način (uključujući i grafički), medijan, raspon varijacije, kvartili, decili, kvartilni koeficijent diferencijacije, koeficijent varijacije i drugi indikatori);

Uputstva. Da biste grupisali niz, morate odabrati vrstu dobivene serije varijacija (diskretna ili intervalna) i navesti količinu podataka (broj redova). Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer grupiranja statističkih podataka).

Broj ulaznih podataka
",0);">

Ako je grupisanje već izvršeno i diskretne serije varijacija ili intervalne serije, tada trebate koristiti online kalkulator Indeksi varijacije. Testiranje hipoteze o vrsti distribucije vrši se korištenjem usluge Proučavanje obrasca distribucije.

Vrste statističkih grupa

Varijacijska serija. U slučaju posmatranja diskretne slučajne varijable, ista se vrijednost može naići nekoliko puta. Takve vrijednosti x i slučajne varijable se bilježe pokazujući n i koliko se puta pojavljuje u n opservacijama, ovo je učestalost ove vrijednosti.
U slučaju kontinuirane slučajne varijable, u praksi se koristi grupisanje.

1. Tipološko grupisanje– ovo je podjela kvalitativno heterogene populacije koja se proučava na klase, socio-ekonomske tipove, homogene grupe jedinica. Da biste izgradili ovo grupiranje, koristite parametar Diskretne serije varijacija.
2. Grupacija se naziva strukturalna, u kojem je homogena populacija podijeljena u grupe koje karakteriziraju njenu strukturu prema nekim varijabilnim karakteristikama. Da biste izgradili ovo grupiranje, koristite parametar serije Interval.
3. Grupiranje koje otkriva odnose između pojava koje se proučavaju i njihovih karakteristika naziva se analitička grupa(vidi analitičko grupisanje serija).

Principi za konstruisanje statističkih grupa

Niz zapažanja poredanih uzlaznim redom naziva se serija varijacija. Funkcija grupisanja je karakteristika po kojoj se populacija dijeli u posebne grupe. Zove se osnova grupe. Grupisanje se može zasnivati ​​i na kvantitativnim i na kvalitativnim karakteristikama.
Nakon utvrđivanja osnove grupisanja, treba odlučiti o broju grupa na koje treba podijeliti populaciju koja se proučava.

Prilikom korišćenja personalnih računara za obradu statističkih podataka, grupisanje objektnih jedinica vrši se standardnim procedurama.
Jedan takav postupak temelji se na korištenju Sturgessove formule za određivanje optimalnog broja grupa:

k = 1+3,322*log(N)

Gdje je k broj grupa, N je broj populacijskih jedinica.

Dužina parcijalnih intervala se izračunava kao h=(x max -x min)/k

Zatim se broji broj opservacija koje spadaju u ove intervale, koji se uzimaju kao frekvencije n i . Nekoliko frekvencija, čije su vrijednosti manje od 5 (n i< 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
Kao nove vrijednosti uzimaju se srednje vrijednosti intervala x i =(c i-1 +c i)/2.

Za diskretne karakteristike se konstruiše diskretna serija varijacija.

Da biste konstruisali diskretnu varijantnu seriju, potrebno je da izvršite sledeće korake: 1) rasporedite jedinice posmatranja u rastućem redosledu proučavane vrednosti karakteristike,

2) odrediti sve moguće vrijednosti karakteristike x i, poredati ih uzlaznim redoslijedom,

vrijednost atributa, i .

učestalost vrijednosti atributa i označiti f i . Zbir svih frekvencija serije jednak je broju elemenata u populaciji koja se proučava.

Primjer 1 .

Spisak ocjena koje su studenti dobili na ispitima: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

Evo broja X - razredje diskretna slučajna varijabla, a rezultirajuća lista ocjena jestatistički (uočljivi) podaci .

rasporediti jedinice posmatranja uzlaznim redoslijedom prema vrijednosti proučavane karakteristike:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) odrediti sve moguće vrijednosti karakteristike x i, poredati ih uzlaznim redoslijedom:

U ovom primjeru, sve procjene se mogu podijeliti u četiri grupe sa sljedećim vrijednostima: 2; 3; 4; 5.

Poziva se vrijednost slučajne varijable koja odgovara određenoj grupi posmatranih podataka vrijednost atributa, opciju (opciju) i označiti x i .

Poziva se broj koji pokazuje koliko puta se odgovarajuća vrijednost neke karakteristike pojavljuje u određenom broju zapažanja učestalost vrijednosti atributa i označiti f i .

Za naš primjer

rezultat 2 se javlja - 8 puta,

rezultat 3 se javlja - 12 puta,

rezultat 4 se javlja - 23 puta,

ocjena 5 se javlja - 17 puta.

Ukupno ima 60 ocjena.

4) primljene podatke upisati u tabelu od dva reda (kolone) - x i i f i.

Na osnovu ovih podataka moguće je konstruisati diskretni varijacioni niz

Diskretne serije varijacija – ovo je tabela u kojoj su prisutne vrijednosti karakteristike koja se proučava prikazane kao pojedinačne vrijednosti u rastućem redoslijedu i njihove frekvencije

1. Konstrukcija intervalne varijacione serije

Pored diskretnih serija varijacija, često se susreće metoda grupisanja podataka kao što je intervalna serija varijacija.

Intervalni niz se konstruiše ako:

znak ima kontinuiranu prirodu promjene;

Bilo je puno diskretnih vrijednosti (više od 10)

frekvencije diskretnih vrijednosti su vrlo male (ne prelaze 1-3 sa relativno velikim brojem jedinica promatranja);

mnoge diskretne vrijednosti karakteristike sa istim frekvencijama.

Intervalna varijantna serija je način grupisanja podataka u obliku tablice koja ima dvije kolone (vrijednosti karakteristike u obliku intervala vrijednosti i učestalost svakog intervala).

Za razliku od diskretne serije, vrijednosti karakteristike intervalne serije nisu predstavljene pojedinačnim vrijednostima, već intervalom vrijednosti („od - do“).

Poziva se broj koji pokazuje koliko je jedinica posmatranja upalo u svaki odabrani interval učestalost vrijednosti atributa i označiti f i . Zbir svih frekvencija serije jednak je broju elemenata (jedinica posmatranja) u populaciji koja se proučava.

Ako jedinica ima karakterističnu vrijednost jednaku gornjoj granici intervala, onda je treba dodijeliti sljedećem intervalu.

Na primjer, dijete visine 100 cm će pasti u 2. interval, a ne u prvi; a dijete visine 130 cm će pasti u posljednji interval, a ne u treći.

Na osnovu ovih podataka može se konstruisati niz intervalnih varijacija.

Svaki interval ima donju granicu (xn), gornju granicu (xw) i širinu intervala ( i).

Granica intervala je vrijednost atributa koja se nalazi na granici dva intervala.

visina djece (cm)	visina djece (cm)			broj djece
više od 130

Ako interval ima gornju i donju granicu, onda se naziva zatvoreni interval. Ako interval ima samo donju ili samo gornju granicu, onda je - otvoreni interval. Samo prvi ili poslednji interval može biti otvoren. U gornjem primjeru, posljednji interval je otvoren.

Širina intervala (i) – razlika između gornje i donje granice.

i = x n - x in

Pretpostavlja se da je širina otvorenog intervala ista kao i širina susjednog zatvorenog intervala.

visina djece (cm)		broj djece	Širina intervala (i)
	za proračune 130+20=150		20 (jer je širina susjednog zatvorenog intervala 20)

Sve intervalne serije dijele se na intervalne serije sa jednakim intervalima i intervalne serije sa nejednakim intervalima . U razmaknutim redovima sa jednakim intervalima širina svih intervala je ista. U intervalnim serijama sa nejednakim intervalima širina intervala je različita.

U primjeru koji se razmatra - intervalni niz sa nejednakim intervalima.

U mnogim slučajevima, kada statistička populacija uključuje veliki ili, još više, beskonačan broj varijanti, što se najčešće dešava uz kontinuirane varijacije, praktično je nemoguće i nepraktično formirati grupu jedinica za svaku varijantu. U takvim slučajevima, kombinovanje statističkih jedinica u grupe moguće je samo na osnovu intervala, tj. takva grupa koja ima određene granice za vrijednosti različite karakteristike. Ove granice su označene sa dva broja koja označavaju gornju i donju granicu svake grupe. Korištenje intervala dovodi do formiranja intervalne serije raspodjele.

Interval rad je varijacioni niz čije su varijante predstavljene u obliku intervala.

Intervalni niz se može formirati sa jednakim i nejednakim intervalima, dok izbor principa za konstruisanje ove serije zavisi uglavnom od stepena reprezentativnosti i pogodnosti statističke populacije. Ako je populacija dovoljno velika (reprezentativna) po broju jedinica i potpuno je homogena po svom sastavu, onda je preporučljivo formiranje intervalne serije bazirati na jednakosti intervala. Obično se, koristeći ovaj princip, formira intervalna serija za one populacije kod kojih je raspon varijacije relativno mali, tj. maksimalne i minimalne opcije se obično nekoliko puta razlikuju jedna od druge. U ovom slučaju, vrijednost jednakih intervala se izračunava omjerom raspona varijacije karakteristike prema datom broju formiranih intervala. Odrediti jednako I interval, može se koristiti Sturgessova formula (obično sa malim varijacijama karakteristika intervala i velikim brojem jedinica u statističkoj populaciji):

gdje je x i - magnitude jednak interval; X max, X min - maksimalne i minimalne opcije u statističkom agregatu; n . - broj jedinica u agregatu.

Primjer. Preporučljivo je izračunati veličinu jednakog intervala prema gustoći radioaktivne kontaminacije cezijem - 137 u 100 naselja Krasnopoljskog okruga Mogiljevske regije, ako je poznato da je početna (minimalna) opcija jednaka I km / km 2, finale ( maksimalno) - 65 ki/km 2. Koristeći formulu 5.1. dobijamo:

Shodno tome, da bi se formirao intervalni niz sa jednakim intervalima u smislu gustine kontaminacije cezijem - 137 naselja u Krasnopoljskom regionu, veličina jednakog intervala može biti 8 ki/km 2 .

U uslovima neravnomerne distribucije, tj. kada su maksimalne i minimalne opcije stotine puta, pri formiranju intervalne serije možete primijeniti princip nejednako intervalima. Nejednaki intervali se obično povećavaju kako prelazimo na veće vrijednosti karakteristike.

Oblik intervala može biti zatvoren ili otvoren. Zatvoreno Uobičajeno je da se pozivaju intervali koji imaju i donju i gornju granicu. Otvori intervali imaju samo jednu granicu: u prvom intervalu postoji gornja granica, u posljednjem je donja granica.

Evaluacija intervalne serije, posebno u nejednakim intervalima, preporučljivo je provoditi uzimajući u obzir gustina distribucije, najjednostavniji način da izračunate koji je omjer lokalne frekvencije (ili frekvencije) i veličine intervala.

Da biste praktično formirali intervalnu seriju, možete koristiti izgled tabele. 5.3.

Tabela 5.3. Postupak formiranja intervalne serije naselja Krasnopoljski okrug prema gustoći radioaktivne kontaminacije cezijem -137

Glavna prednost intervalne serije je njen maksimum kompaktnost. istovremeno, u nizu intervalne distribucije, pojedinačne varijante karakteristike su skrivene u odgovarajućim intervalima

Kada se grafički prikazuje intervalni niz u sistemu pravokutnih koordinata, gornje granice intervala se iscrtavaju na osi apscise, a lokalne frekvencije niza na osi ordinata. Grafička konstrukcija intervalne serije razlikuje se od konstrukcije poligona distribucije po tome što svaki interval ima donju i gornju granicu, a dvije apscise odgovaraju jednoj vrijednosti ordinate. Dakle, na grafu intervalnog niza nije označena tačka, kao u poligonu, već prava koja spaja dve tačke. Ove horizontalne linije su međusobno povezane vertikalnim linijama i dobija se lik stepenastog poligona, koji se obično naziva histogram distribucija (slika 5.3).

Kada se grafički konstruiše intervalna serija za dovoljno veliku statističku populaciju, histogram se približava simetrično oblik distribucije. U onim slučajevima kada je statistička populacija po pravilu mala, asimetrično histogram.

U nekim slučajevima je preporučljivo formirati niz akumuliranih frekvencija, tj. kumulativno red. Kumulativni niz može se formirati na osnovu diskretne ili intervalne serije raspodjele. Kada se grafički prikazuje kumulativni niz u sistemu pravokutnih koordinata, varijante se iscrtavaju na os apscisa, a akumulirane frekvencije (frekvencije) na osi ordinata. Rezultirajuća kriva linija se obično naziva kumulativno distribucija (slika 5.4).

Formiranje i grafički prikaz razne vrste Varijaciona serija doprinosi pojednostavljenom proračunu glavnih statističkih karakteristika, koje su detaljno obrađene u temi 6, pomaže da se bolje razume suština zakona distribucije statističke populacije. Analiza varijacionih serija dobija posebnu važnost u slučajevima kada je potrebno identifikovati i pratiti odnos između opcija i frekvencija (učestalosti). Ova zavisnost se manifestuje u činjenici da je broj predmeta po opciji na određeni način povezan sa veličinom ove opcije, tj. sa povećanjem vrijednosti promjenjive karakteristike, frekvencije (frekvencije) ovih vrijednosti doživljavaju određene, sistematske promjene. To znači da brojevi u stupcu frekvencije (frekvencije) ne fluktuiraju haotično, već se mijenjaju u određenom smjeru, određenim redoslijedom i redoslijedom.

Ako frekvencije pokazuju određenu sistematičnost u svojim promjenama, onda to znači da smo na putu da identifikujemo obrazac. Sistem, red, redosled u promenama frekvencija je odraz opštih uzroka, opštih stanja karakterističnih za celokupnu populaciju.

Ne treba pretpostaviti da je obrazac distribucije uvijek dat u gotovom obliku. Postoji dosta serija varijacija u kojima frekvencije bizarno skaču, ponekad rastu, ponekad opadaju. U takvim slučajevima, preporučljivo je saznati s kakvom se distribucijom istraživač bavi: ili ova distribucija uopće nema inherentne obrasce, ili njena priroda još nije otkrivena: prvi slučaj je rijedak, ali drugi slučaj je prilično česta i vrlo raširena pojava.

Dakle, prilikom formiranja intervalne serije ukupan broj statističke jedinice mogu biti male, a svaki interval sadrži mali broj opcija (na primjer, 1-3 jedinice). U takvim slučajevima ne može se računati na ispoljavanje bilo kakvog obrasca. Da bi se na osnovu slučajnih posmatranja dobio prirodni rezultat, mora stupiti na snagu zakon velikih brojeva, tj. tako da za svaki interval ne bi bilo nekoliko, već desetine i stotine statističkih jedinica. U tu svrhu moramo pokušati povećati broj zapažanja što je više moguće. Ovo je najsigurniji način otkrivanja obrazaca u masovnim procesima. Ako ne postoji stvarna prilika da se poveća broj opservacija, tada se identificiranje uzorka može postići smanjenjem broja intervala u seriji distribucije. Smanjenjem broja intervala u nizu varijacija, povećava se broj frekvencija u svakom intervalu. To znači da su nasumične fluktuacije svake statističke jedinice superponirane jedna na drugu, „izglađena“, pretvarajući se u obrazac.

Formiranje i konstrukcija varijacionih serija omogućava nam da dobijemo samo opštu, približnu sliku distribucije statističke populacije. Na primjer, histogram samo grubo izražava odnos između vrijednosti obilježja i njegovih frekvencija (frekvencija) Stoga varijantne serije u suštini, oni su samo osnova za dalje, dubinsko proučavanje unutrašnjih zakona statičke distribucije.

TEST PITANJA ZA TEMU 5

1. Šta je varijacija? Šta uzrokuje varijacije u osobini u statističkoj populaciji?

2. Koje vrste varirajućih karakteristika se mogu pojaviti u statistici?

3. Šta je varijacioni niz? Koje vrste varijacionih serija mogu postojati?

4. Šta je rangirana serija? Koje su njegove prednosti i mane?

5. Šta je diskretna serija i koje su njene prednosti i mane?

6. Kakav je postupak formiranja intervalnog niza, koje su njegove prednosti i nedostaci?

7. Šta je grafički prikaz rangiranih, diskretnih, intervalnih serija distribucije?

8. Šta je kumulat distribucije i šta ga karakteriše?

Imajući na raspolaganju statističke podatke posmatranja koji karakterišu određenu pojavu, prije svega ih je potrebno organizirati, tj. daju sistematski karakter

engleski statističar. UJReichman je o neuređenim zbirkama slikovito rekao da je susret s masom negeneraliziranih podataka ekvivalentan situaciji u kojoj je osoba bačena u gustiš bez kompasa. Kakva je sistematizacija statističkih podataka u obliku distributivnih serija?

Statističke serije distribucije su uređeni statistički agregati (tabela 17). Najjednostavniji tip statističke serije distribucije je rangirana serija, tj. niz brojeva u rastućem ili opadajućem redosledu, koji variraju karakteristike. Takav niz ne dozvoljava nam da sudimo o obrascima koji su inherentni distribuiranim podacima: koja vrednost ima grupisanu većinu indikatora, kakva su odstupanja od ove vrednosti; kao i opštu sliku distribucije. U tu svrhu, podaci se grupišu, pokazujući koliko se često pojedina zapažanja javljaju u ukupnom broju (Shema 1a 1).

. Tabela 17

. Opšti pogled statističke serije distribucije

. Šema 1. Statistička šema distribucijske serije

Raspodjela jedinica stanovništva prema karakteristikama koje nemaju kvantitativni izraz naziva se atributivne serije(na primjer, distribucija preduzeća prema njihovoj proizvodnoj oblasti)

Serije distribucije jedinica stanovništva prema karakteristikama, koje imaju kvantitativni izraz, nazivaju se varijantne serije. U takvim serijama vrijednosti karakteristike (opcije) su u rastućem ili opadajućem redoslijedu

U seriji varijacione distribucije razlikuju se dva elementa: varijante i učestalost . Opcija- ovo je posebno značenje karakteristika grupisanja frekvencija- broj koji pokazuje koliko puta se svaka opcija pojavljuje

U matematičkoj statistici izračunava se još jedan element serije varijacija - djelimično. Potonji se definiše kao omjer učestalosti slučajeva datog intervala prema ukupnom zbiru frekvencija koji je određen u dijelovima jedinice, postocima (%) u ppm (% o);

Dakle, serija distribucije varijacija je serija u kojoj su opcije raspoređene u rastućem ili opadajućem redoslijedu, a njihove frekvencije ili frekvencije su naznačene. Varijacijski nizovi su diskretni (intervali) i ostali intervali (kontinuirani).

. Diskretne serije varijacija- to su distributivni nizovi u kojima varijanta kao vrijednost kvantitativne karakteristike može poprimiti samo određenu vrijednost. Opcije se razlikuju jedna od druge za jednu ili više jedinica

Dakle, broj dijelova proizvedenih po smjeni od strane određenog radnika može se izraziti samo jednim određenim brojem (6, 10, 12, itd.). Primjer diskretne serije varijacija može biti raspodjela radnika prema broju proizvedenih dijelova (Tablica 18 18).

. Tabela 18

. Diskretna serija distribucija _

. Intervalna (kontinuirana) serija varijacija- takve distribucijske serije u kojima su vrijednosti opcija date u obliku intervala, tj. vrijednosti karakteristika mogu se razlikovati jedna od druge za proizvoljno mali iznos. Kada se konstruiše varijantni niz karakteristika NEP perivarijanta, nemoguće je navesti svaku vrednost varijante, pa je populacija raspoređena po intervalima. Potonji mogu biti jednaki ili nejednaki. Za svaku od njih su naznačene frekvencije ili frekvencije (Tabela 1 9 19).

U intervalnim serijama distribucije sa nejednakim intervalima, izračunavaju se matematičke karakteristike kao što su gustina distribucije i relativna gustina distribucije na datom intervalu. Prva karakteristika je određena omjerom frekvencije prema vrijednosti istog intervala, druga - odnosom frekvencije prema vrijednosti istog intervala. Za gornji primjer, gustina distribucije u prvom intervalu će biti 3: 5 = 0,6, a relativna gustina u ovom intervalu je 7,5: 5 = 1,55%.

. Tabela 19

. Intervalne distribucijske serije _