". U prvom dijelu su navedene odredbe koje su minimalno neophodne za razumijevanje kemometrije, a drugi dio sadrži činjenice koje morate znati za dublje razumijevanje metoda multivarijantne analize. Prezentacija je ilustrovana primjerima napravljenim u Excel radnoj svesci Matrix.xls koji prati ovaj dokument.

Veze na primjere se postavljaju u tekst kao Excel objekti. Ovi primjeri su apstraktne prirode, ni na koji način nisu vezani za zadatke. analitička hemija. Pravi primjeri o upotrebi matrične algebre u hemometriji govori se u drugim tekstovima posvećenim različitim kemometrijskim aplikacijama.

Većina mjerenja u analitičkoj hemiji nisu direktna, ali indirektno. To znači da se u eksperimentu, umjesto vrijednosti željenog analita C (koncentracija), dobije druga vrijednost x(signal) povezan sa, ali nije jednak C, tj. x(C) ≠ C. Po pravilu, vrsta zavisnosti x(C) nije poznato, ali na sreću u analitičkoj hemiji većina mjerenja je proporcionalna. To znači da kao koncentracija C in a puta, signal X će se povećati za isti iznos, tj. x(a C) = sjekira(C). Osim toga, signali su i aditivni, tako da će signal iz uzorka koji sadrži dvije supstance sa koncentracijama C 1 i C 2 biti jednak zbiru signala svake komponente, tj. x(C1 + C2) = x(C1)+ x(C2). Proporcionalnost i aditivnost zajedno daju linearnost. Može se navesti mnogo primjera da se ilustruje princip linearnosti, ali dovoljno je spomenuti dva najupečatljivija primjera - hromatografiju i spektroskopiju. Druga karakteristika inherentna eksperimentu u analitičkoj hemiji je višekanalni. Moderna analitička oprema istovremeno mjeri signale za mnoge kanale. Na primjer, intenzitet propuštanja svjetlosti se mjeri za nekoliko talasnih dužina odjednom, tj. domet. Stoga, u eksperimentu imamo posla sa različitim signalima x 1 , x 2 ,...., x n karakterizira skup koncentracija C 1 ,C 2 , ..., C m supstanci prisutnih u sistemu koji se proučava.

Rice. 1 Spectra

Dakle, analitički eksperiment karakteriziraju linearnost i višedimenzionalnost. Stoga je zgodno eksperimentalne podatke posmatrati kao vektore i matrice i manipulirati njima pomoću aparata matrične algebre. Plodnost ovog pristupa ilustruje primjer prikazan u , koji prikazuje tri spektra snimljena za 200 valnih dužina od 4000 do 4796 cm–1. Prvi ( x 1) i drugi ( x 2) spektri su dobijeni za standardne uzorke u kojima su poznate koncentracije dvije supstance A i B: u prvom uzorku [A] = 0,5, [B] = 0,1, au drugom uzorku [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Šta reći o novom, nepoznatom uzorku, čiji je spektar naznačen x 3 ?

Razmotrimo tri eksperimentalna spektra x 1 , x 2 i x 3 kao tri vektora dimenzije 200. Koristeći linearnu algebru, to se lako može pokazati x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 , tako da treći uzorak očigledno sadrži samo supstance A i B u koncentracijama [A] = 0,5×0,1 + 0,2×0,3 = 0,11 i [B] = 0,1×0,1 + 0,6×0,3 = 0,19.

1. Osnovne informacije

1.1 Matrice

Matrix nazvana, na primjer, pravokutna tablica brojeva

Rice. 2 Matrix

Matrice su označene velikim podebljanim slovima ( A), a njihovi elementi - odgovarajućim malim slovima sa indeksima, tj. a ij . Prvi indeks numerira redove, a drugi broj stupaca. U kemometriji je uobičajeno da se maksimalna vrijednost indeksa označi istim slovom kao i sam indeks, ali velikim slovima. Dakle, matrica A može se napisati i kao ( a ij , i = 1,..., I; j = 1,..., J). Za primjer matrice I = 4, J= 3 i a 23 = −7.5.

Par brojeva I i J naziva se dimenzija matrice i označava se kao I× J. Primjer matrice u kemometriji je skup spektra dobivenih za I uzorci na J talasne dužine.

1.2. Najjednostavnije operacije sa matricama

Matrice mogu pomnožiti brojevima. U ovom slučaju, svaki element se množi ovim brojem. Na primjer -

Rice. 3 Množenje matrice brojem

Dvije matrice iste dimenzije mogu biti elementarne fold i oduzimati. Na primjer,

Rice. 4 Sabiranje matrice

Kao rezultat množenja brojem i sabiranja, dobiva se matrica iste dimenzije.

Nulta matrica je matrica koja se sastoji od nula. Određeno je O. Očigledno je da A+O = A, A−A = O i 0 A = O.

Matrica može transponovati. Tokom ove operacije, matrica se okreće, tj. redovi i kolone se zamjenjuju. Transpozicija je označena crticom, A" ili indeks A t . Dakle, ako A = {a ij , i = 1,..., I; j = 1,...,J), onda A t = ( a ji , j = 1,...,J; i = 1,..., I). Na primjer

Rice. 5 Matrična transpozicija

Očigledno je da ( A t) t = A, (A+B) t = A t+ B t .

1.3. Množenje matrice

Matrice mogu umnožiti, ali samo ako imaju odgovarajuće dimenzije. Zašto je to tako, biće jasno iz definicije. Matrični proizvod A, dimenzija I× K, i matrice B, dimenzija K× J, naziva se matrica C, dimenzija I× J, čiji su elementi brojevi

Dakle, za proizvod AB potrebno je da broj kolona u lijevoj matrici A bio jednak broju redova u desnoj matrici B. Primjer matričnog proizvoda -

Slika 6 Proizvod matrica

Pravilo množenja matrice može se formulirati na sljedeći način. Za pronalaženje elementa matrice C stoji na raskrsnici i-ti red i j-ta kolona ( c ij) mora se pomnožiti element po element i-ti red prve matrice A on j-ti stupac druge matrice B i zbrojite sve rezultate. Dakle, u prikazanom primjeru, element iz trećeg reda i drugog stupca dobija se kao zbroj proizvoda trećeg reda po elementima A i druga kolona B

Slika 7 Element proizvoda matrica

Proizvod matrica zavisi od redosleda, tj. AB ≠ BA, barem iz dimenzionalnih razloga. Kaže se da je nekomutativno. Međutim, proizvod matrica je asocijativan. To znači da ABC = (AB)C = A(BC). Štaviše, ona je i distributivna, tj. A(B+C) = AB+AC. Očigledno je da AO = O.

1.4. Kvadratne matrice

Ako je broj stupaca matrice jednak broju njenih redova ( I = J=N), tada se takva matrica naziva kvadratna. U ovom dijelu ćemo razmotriti samo takve matrice. Među ovim matricama mogu se izdvojiti matrice sa posebnim svojstvima.

Samica matrica (označeno I i ponekad E) je matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli, osim dijagonalnih, koji su jednaki 1, tj.

Očigledno AI = IA = A.

Matrica se zove dijagonala, ako su svi njegovi elementi, osim dijagonalnih ( a ii) jednaki su nuli. Na primjer

Rice. 8 Dijagonalna matrica

Matrix A zove vrh trouglasti, ako su svi njegovi elementi koji leže ispod dijagonale jednaki nuli, tj. a ij= 0, at i>j. Na primjer

Rice. 9 Gornja trokutasta matrica

Donja trokutasta matrica definirana je na sličan način.

Matrix A pozvao simetrično, ako A t = A. Drugim riječima a ij = a ji. Na primjer

Rice. 10 Simetrična matrica

Matrix A pozvao ortogonalno, ako

A t A = aa t = I.

Matrica se zove normalno ako

1.5. Trag i determinanta

Praćenje kvadratna matrica A(označeno Tr( A) ili Sp( A)) je zbir njegovih dijagonalnih elemenata,

Na primjer,

Rice. 11 Trag matrice

Očigledno je da

Sp(α A) = α Sp( A) i

Sp( A+B) = Sp( A)+ Sp( B).

To se može pokazati

Sp( A) = Sp( A t), Sp( I) = N,

a takođe i to

Sp( AB) = Sp( BA).

Još jedna važna karakteristika kvadratne matrice je njena odrednica(označeno sa det( A)). Definicija determinante u opšti slučaj prilično komplicirano, pa ćemo početi s najjednostavnijom opcijom - matricom A dimenzija (2×2). Onda

Za (3×3) matricu, determinanta će biti jednaka

U slučaju matrice ( N× N) determinanta se izračunava kao zbir 1 2 3 ... N= N! pojmova, od kojih je svaki jednak

Indeksi k 1 , k 2 ,..., k N definirani su kao sve moguće uređene permutacije r brojevi u skupu (1, 2, ... , N). Izračunavanje determinante matrice je složen postupak koji se u praksi izvodi pomoću posebnih programa. Na primjer,

Rice. 12 Matrična determinanta

Napominjemo samo očigledna svojstva:

det( I) = 1, det( A) = det( A t),

det( AB) = det( A)det( B).

1.6. Vektori

Ako matrica ima samo jedan stupac ( J= 1), onda se takav objekat naziva vektor. Tačnije, vektor kolone. Na primjer

Na primjer, mogu se uzeti u obzir i matrice koje se sastoje od jednog reda

Ovaj objekt je također vektor, ali vektor reda. Prilikom analize podataka važno je razumjeti s kojim vektorima imamo posla – stupcima ili redovima. Dakle, spektar uzet za jedan uzorak može se smatrati vektorom reda. Tada skup spektralnih intenziteta na nekoj talasnoj dužini za sve uzorke treba tretirati kao vektor kolone.

Dimenzija vektora je broj njegovih elemenata.

Jasno je da se bilo koji vektor kolone može transformisati u vektor reda transpozicijom, tj.

U onim slučajevima kada oblik vektora nije posebno određen, već se jednostavno kaže vektor, onda oni označavaju vektor stupac. I mi ćemo se pridržavati ovog pravila. Vektor se označava malim direktnim podebljanim slovom. Nulti vektor je vektor čiji su svi elementi jednaki nuli. To je označeno 0 .

1.7. Najjednostavnije operacije sa vektorima

Vektori se mogu sabirati i množiti brojevima na isti način kao i matrice. Na primjer,

Rice. 13 Operacije s vektorima

Dva vektora x i y pozvao kolinearno, ako postoji broj α takav da

1.8. Proizvodi vektora

Dva vektora iste dimenzije N može se umnožiti. Neka postoje dva vektora x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t i y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t . Vođeni pravilom množenja "red po stupac", od njih možemo napraviti dva proizvoda: x t y i xy t . Prvi rad

pozvao skalar ili interni. Njegov rezultat je broj. Takođe koristi notaciju ( x,y)= x t y. Na primjer,

Rice. 14 Unutrašnji (skalarni) proizvod

Drugi rad

pozvao vanjski. Njegov rezultat je matrica dimenzija ( N× N). Na primjer,

Rice. 15 Spoljašnji proizvod

Pozivaju se vektori čiji je skalarni proizvod jednak nuli ortogonalno.

1.9. Vektorska norma

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom naziva se skalarni kvadrat. Ova vrijednost

definira kvadrat dužina vektor x. Za označavanje dužine (takođe se naziva norma vektor) koristi se notacija

Na primjer,

Rice. 16 Vektorska norma

Vektor jedinične dužine (|| x|| = 1) naziva se normalizovano. Nenulti vektor ( x ≠ 0 ) može se normalizirati dijeljenjem dužine, tj. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Evo e = x/||x|| je normalizovan vektor.

Vektori se nazivaju ortonormalni ako su svi normalizirani i po paru ortogonalni.

1.10. Ugao između vektora

Skalarni proizvod definira i ugaoφ između dva vektora x i y

Ako su vektori ortogonalni, onda je cosφ = 0 i φ = π/2, a ako su kolinearni, onda je cosφ = 1 i φ = 0.

1.11. Vektorska reprezentacija matrice

Svaka matrica A veličina I× J može se predstaviti kao skup vektora

Ovdje svaki vektor a j je j-ta kolona i vektor reda b i je i-ti red matrice A

1.12. Linearno zavisni vektori

Vektori iste dimenzije ( N) može se dodati i pomnožiti brojem, baš kao matrice. Rezultat je vektor iste dimenzije. Neka postoji nekoliko vektora iste dimenzije x 1 , x 2 ,...,x K i isti broj brojeva α α 1 , α 2 ,...,α K. Vector

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+α K x K

pozvao linearna kombinacija vektori x k .

Ako postoje takvi brojevi različiti od nule α k ≠ 0, k = 1,..., K, šta y = 0 , onda takav skup vektora x k pozvao linearno zavisna. Inače, vektori se nazivaju linearno nezavisni. Na primjer, vektori x 1 = (2, 2) t i x 2 = (−1, −1) t su linearno zavisne, jer x 1 +2x 2 = 0

1.13. Matrix rang

Razmotrite skup K vektori x 1 , x 2 ,...,x K dimenzije N. Rang ovog sistema vektora je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora. Na primjer u kompletu

postoje samo dva linearno nezavisna vektora, na primjer x 1 i x 2, pa je njegov rang 2.

Očigledno, ako postoji više vektora u skupu od njihove dimenzije ( K>N), onda su oni nužno linearno zavisni.

Matrix rang(označeno rangom ( A)) je rang sistema vektora od kojih se sastoji. Iako se bilo koja matrica može predstaviti na dva načina (vektori stupaca ili vektori reda), to ne utiče na vrijednost ranga, jer

1.14. inverzna matrica

kvadratna matrica A naziva se nedegenerisanim ako ima jedinstvenu obrnuto matrica A-1 , utvrđeno uslovima

aa −1 = A −1 A = I.

Inverzna matrica ne postoji za sve matrice. Neophodan i dovoljan uslov za nedegeneraciju je

det( A) ≠ 0 ili rang ( A) = N.

Inverzija matrice je složena procedura za koju postoje posebni programi. Na primjer,

Rice. 17 Inverzija matrice

Dajemo formule za najjednostavniji slučaj - matrice 2 × 2

Ako matrice A i B su nedegenerisani, dakle

(AB) −1 = B −1 A −1 .

1.15. Pseudo-inverzna matrica

Ako je matrica A je degenerisana i inverzna matrica ne postoji, onda se u nekim slučajevima može koristiti pseudo-inverzno matrica, koja je definisana kao takva matrica A+ to

aa + A = A.

Pseudo-inverzna matrica nije jedina i njen oblik zavisi od načina konstrukcije. Na primjer, za pravokutnu matricu možete koristiti Moore-Penroseov metod.

Ako je broj kolona manji od broja redova, onda

A + =(A t A) −1 A t

Na primjer,

Rice. 17a Inverzija pseudo matrice

Ako je broj kolona veći od broja redova, onda

A + =A t( aa t) −1

1.16. Množenje vektora matricom

Vector x može se pomnožiti matricom A odgovarajuća dimenzija. U ovom slučaju, vektor stupca se množi na desnoj strani Sjekira, a vektorski niz je na lijevoj strani x t A. Ako je dimenzija vektora J, i dimenziju matrice I× J onda je rezultat vektor dimenzija I. Na primjer,

Rice. 18 Vektorsko-matrično množenje

Ako je matrica A- kvadratni ( I× I), zatim vektor y = Sjekira ima istu dimenziju kao x. Očigledno je da

A(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Sjekira 1 + α 2 Sjekira 2 .

Stoga se matrice mogu posmatrati kao linearne transformacije vektora. Posebno x = x, Ox = 0 .

2. Dodatne informacije

2.1. Sistemi linearnih jednačina

Neka A- veličina matrice I× J, a b- vektor dimenzija J. Razmotrite jednačinu

Sjekira = b

u odnosu na vektor x, dimenzije I. U suštini, ovo je sistem I linearne jednačine With J nepoznato x 1 ,...,x J. Rješenje postoji ako i samo ako

rang ( A) = rang( B) = R,

gdje B je matrica proširene dimenzije I×( J+1) koji se sastoji od matrice A, podstavljena kolonom b, B = (A b). Inače, jednačine su nekonzistentne.

Ako R = I = J, onda je rješenje jedinstveno

x = A −1 b.

Ako R < I, tada postoji mnogo različitih rješenja koja se mogu izraziti u terminima linearne kombinacije J−R vektori. Sistem homogene jednačine Sjekira = 0 sa kvadratnom matricom A (N× N) ima netrivijalno rješenje ( x ≠ 0 ) ako i samo ako det( A) = 0. Ako R= rang( A)<N, onda postoje N−R linearno nezavisna rješenja.

2.2. Bilinearni i kvadratni oblici

Ako A je kvadratna matrica, i x i y- vektori odgovarajuće dimenzije, zatim skalarni proizvod forme x t Ay pozvao bilinearni oblik definisan matricom A. At x = y izraz x t Sjekira pozvao kvadratni formu.

2.3. Pozitivno određene matrice

kvadratna matrica A pozvao pozitivno definitivno, ako je za bilo koji vektor različit od nule x ≠ 0 ,

x t Sjekira > 0.

The negativan (x t Sjekira < 0), nenegativan (x t Sjekira≥ 0) i nepozitivna (x t Sjekira≤ 0) određene matrice.

2.4. Cholesky decomposition

Ako je simetrična matrica A je pozitivno određen, onda postoji jedinstvena trokutasta matrica U sa pozitivnim elementima, za koje

A = U t U.

Na primjer,

Rice. 19 Cholesky dekompozicija

2.5. polarna dekompozicija

Neka A je nedegenerirana kvadratna matrica dimenzija N× N. Zatim postoji jedinstvena polar reprezentacija

A = SR,

gdje S je nenegativna simetrična matrica, i R je ortogonalna matrica. matrice S i R može se eksplicitno definirati:

S 2 = aa t or S = (aa t) ½ i R = S −1 A = (aa t) −½ A.

Na primjer,

Rice. 20 Polarna dekompozicija

Ako je matrica A je degenerisan, onda dekompozicija nije jedinstvena - naime: S i dalje sam, ali R može biti mnogo. Polarna dekompozicija predstavlja matricu A kao kombinacija kompresije/rastezanja S i okretanje R.

2.6. Sopstveni vektori i sopstvene vrednosti

Neka A je kvadratna matrica. Vector v pozvao sopstveni vektor matrice A, ako

Av = λ v,

gdje se zove broj λ eigenvalue matrice A. Dakle, transformacija koju matrica izvodi A preko vektora v, se svodi na jednostavno rastezanje ili kompresiju s faktorom λ. Svojstveni vektor je određen do množenja konstantom α ≠ 0, tj. ako v je svojstveni vektor, onda je α v je takođe svojstveni vektor.

2.7. Svojstvene vrijednosti

Na matrici A, dimenzija ( N× N) ne može biti veći od N sopstvene vrijednosti. Oni zadovoljavaju karakteristična jednačina

det( A − λ I) = 0,

biće algebarska jednačina N-th red. Konkretno, za matricu 2×2, karakteristična jednačina ima oblik

Na primjer,

Rice. 21 Svojstvene vrijednosti

Skup svojstvenih vrijednosti λ 1 ,..., λ N matrice A pozvao spektra A.

Spektar ima različita svojstva. Posebno

det( A) = λ 1×...×λ N, Sp( A) = λ 1 +...+λ N.

Vlastite vrijednosti proizvoljne matrice mogu biti kompleksni brojevi, ali ako je matrica simetrična ( A t = A), tada su njegove vlastite vrijednosti realne.

2.8. Vlastiti vektori

Na matrici A, dimenzija ( N× N) ne može biti veći od N svojstvene vektore, od kojih svaki odgovara svojoj vrijednosti. Odrediti svojstveni vektor v n potrebno je da rešite sistem homogenih jednačina

(A − λ n I)v n = 0 .

Ima netrivijalno rješenje jer det( A-λ n I) = 0.

Na primjer,

Rice. 22 Sopstveni vektori

Svojstveni vektori simetrične matrice su ortogonalni.

Svojstveni vektor kvadratne matrice je onaj koji, kada se pomnoži sa datom matricom, rezultira kolinearnim vektorom. Jednostavnim riječima, kada se matrica pomnoži s vlastitim vektorom, potonji ostaje isti, ali pomnožen nekim brojem.

Definicija

Svojstveni vektor je vektor V koji nije nula, koji, kada se pomnoži kvadratnom matricom M, postaje sam, uvećan za neki broj λ. U algebarskoj notaciji ovo izgleda ovako:

M × V = λ × V,

gdje je λ vlastita vrijednost matrice M.

Razmotrimo numerički primjer. Radi lakšeg pisanja, brojevi u matrici će biti odvojeni tačkom i zarezom. Recimo da imamo matricu:

• M = 0; četiri;
• 6; 10.

Pomnožimo ga vektorom stupca:

• V = -2;

Kada množimo matricu vektorom kolone, dobijamo i vektor kolone. U strogom matematičkom jeziku, formula za množenje matrice 2 × 2 vektorom kolone bi izgledala ovako:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 označava element matrice M koji stoji u prvom redu i prvoj koloni, a M22 je element koji se nalazi u drugom redu i drugoj koloni. Za našu matricu ovi elementi su M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Za vektor stupac ove vrijednosti su V11 = –2, V21 = 1. Prema ovoj formuli dobijamo sljedeće rezultat proizvoda kvadratne matrice vektorom:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Radi praktičnosti, pišemo vektor kolone u red. Dakle, kvadratnu matricu smo pomnožili sa vektorom (-2; 1), što je rezultiralo vektorom (4; -2). Očigledno, ovo je isti vektor pomnožen sa λ = -2. Lambda u ovom slučaju označava sopstvenu vrijednost matrice.

Vlastiti vektor matrice je kolinearni vektor, odnosno objekt koji ne mijenja svoj položaj u prostoru kada se pomnoži sa matricom. Koncept kolinearnosti u vektorskoj algebri sličan je terminu paralelizma u geometriji. U geometrijskoj interpretaciji, kolinearni vektori su paralelno usmjereni segmenti različitih dužina. Još od Euklidovog vremena znamo da jedna linija ima beskonačan broj linija paralelnih sa njom, pa je logično pretpostaviti da svaka matrica ima beskonačan broj svojstvenih vektora.

Iz prethodnog primjera može se vidjeti da oba (-8; 4), i (16; -8), i (32, -16) mogu biti svojstveni vektori. Sve su to kolinearni vektori koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -2. Kada množimo originalnu matricu ovim vektorima, i dalje ćemo dobiti vektor kao rezultat, koji se razlikuje od originalne 2 puta. Zato je pri rješavanju zadataka za pronalaženje svojstvenog vektora potrebno pronaći samo linearno nezavisne vektorske objekte. Najčešće, za n × n matricu, postoji n-ti broj sopstvenih vektora. Naš kalkulator je dizajniran za analizu kvadratnih matrica drugog reda, tako da će se gotovo uvijek kao rezultat naći dva svojstvena vektora, osim kada se poklapaju.

U gornjem primjeru, unaprijed smo znali svojstveni vektor originalne matrice i vizualno odredili lambda broj. Međutim, u praksi se sve događa obrnuto: na početku su svojstvene vrijednosti pa tek onda svojstveni vektori.

Algoritam rješenja

Pogledajmo ponovo originalnu matricu M i pokušajmo pronaći oba njena svojstvena vektora. Dakle, matrica izgleda ovako:

• M = 0; četiri;
• 6; 10.

Za početak, moramo odrediti svojstvenu vrijednost λ, za koju trebamo izračunati determinantu sljedeće matrice:

• (0 − λ); četiri;
• 6; (10 − λ).

Ova matrica dobijeno oduzimanjem nepoznatog λ od elemenata na glavnoj dijagonali. Determinanta je određena standardnom formulom:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Pošto naš vektor ne smije biti nula, uzimamo rezultirajuću jednačinu kao linearno zavisnu i izjednačavamo našu determinantu detA sa nulom.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otvorimo zagrade i dobijemo karakterističnu jednačinu matrice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ovo je standardno kvadratna jednačina, koji se rješava u smislu diskriminanta.

D \u003d b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 \u003d 196

Koren diskriminante je sqrt(D) = 14, tako da je λ1 = -2, λ2 = 12. Sada za svaku lambda vrijednost, moramo pronaći svojstveni vektor. Izrazimo koeficijente sistema za λ = -2.

• M − λ × E = 2; četiri;
• 6; 12.

U ovoj formuli, E je matrica identiteta. Na osnovu dobijene matrice sastavljamo sistem linearnih jednadžbi:

2x + 4y = 6x + 12y

gdje su x i y elementi sopstvenog vektora.

Skupimo sve X na lijevoj i sve Y na desnoj strani. Očigledno - 4x = 8y. Podijelite izraz sa -4 i dobijete x = -2y. Sada možemo odrediti prvi svojstveni vektor matrice uzimanjem bilo koje vrijednosti nepoznatih (sjetite se beskonačnosti linearno zavisnih svojstvenih vektora). Uzmimo y = 1, a zatim x = -2. Dakle, prvi sopstveni vektor izgleda kao V1 = (–2; 1). Vratite se na početak članka. Upravo smo ovim vektorskim objektom pomnožili matricu da bismo demonstrirali koncept svojstvenog vektora.

Sada pronađimo svojstveni vektor za λ = 12.

• M - λ × E = -12; četiri
• 6; -2.

Sastavimo isti sistem linearnih jednačina;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Uzmimo sada x = 1, dakle y = 3. Dakle, drugi svojstveni vektor izgleda kao V2 = (1; 3). Prilikom množenja originalne matrice ovim vektorom, rezultat će uvijek biti isti vektor pomnožen sa 12. Ovim se završava algoritam rješenja. Sada znate kako ručno definirati svojstveni vektor matrice.

• determinanta;
• trag, odnosno zbir elemenata na glavnoj dijagonali;
• rang, tj. maksimalni broj linearno nezavisnih redova/kolona.

Program radi prema gore navedenom algoritmu, minimizirajući proces rješenja. Važno je istaći da se u programu lambda označava slovom "c". Pogledajmo brojčani primjer.

Primjer programa

Pokušajmo definirati svojstvene vektore za sljedeću matricu:

• M=5; 13;
• 4; 14.

Unesimo ove vrijednosti u ćelije kalkulatora i dobijemo odgovor u sljedećem obliku:

• Rang matrice: 2;
• Matrična determinanta: 18;
• Trag matrice: 19;
• Proračun sopstvenog vektora: c 2 − 19.00c + 18.00 (jednačina karakteristike);
• Izračun sopstvenog vektora: 18 (prva lambda vrijednost);
• Izračun sopstvenog vektora: 1 (druga lambda vrijednost);
• Sistem jednačina vektora 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistem jednadžbi vektora 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastiti vektor 1: (1; 1);
• Vlastiti vektor 2: (-3,25; 1).

Tako smo dobili dva linearno nezavisna svojstvena vektora.

Zaključak

Linearna algebra i analitička geometrija- standardni predmeti za svakog brucoša tehničke specijalnosti. Veliki broj vektori i matrice je zastrašujuća, i lako je pogriješiti u takvim glomaznim proračunima. Naš program će omogućiti studentima da provjere svoje proračune ili automatski riješe problem pronalaženja svojstvenog vektora. U našem katalogu postoje i drugi kalkulatori linearne algebre, koristite ih u svom učenju ili poslu.

Definicija 9.3. Vector X pozvao sopstveni vektor matrice I ako postoji takav broj λ, da vrijedi jednakost: I X= λ X, odnosno rezultat prijave na X linearnu transformaciju datu matricom I, je množenje ovog vektora brojem λ . Sam broj λ pozvao sopstveni broj matrice I.

Zamjena u formule (9.3) x` j = λx j , dobijamo sistem jednadžbi za određivanje koordinata sopstvenog vektora:

. (9.5)

Ovaj linearni homogeni sistem će imati netrivijalno rješenje samo ako mu je glavna determinanta 0 (Kramerovo pravilo). Pisanjem ovog uslova u obliku:

dobijamo jednačinu za određivanje sopstvenih vrednosti λ pozvao karakteristična jednačina. Ukratko, može se predstaviti na sljedeći način:

| A-λE | = 0, (9.6)

pošto je njegova lijeva strana determinanta matrice A-λE. Polinom u odnosu na λ | A-λE| pozvao karakteristični polinom matrice A.

Svojstva karakterističnog polinoma:

1) Karakteristični polinom linearne transformacije ne zavisi od izbora baze. Dokaz. (vidi (9.4)), ali Shodno tome, . Dakle, ne zavisi od izbora osnove. Dakle, i | A-λE| ne mijenja se pri prelasku na novu osnovu.

2) Ako je matrica I linearna transformacija je simetrično(oni. a ij = a ji), zatim svi korijeni karakteristična jednačina(9.6) su realni brojevi.

Svojstva sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora:

1) Ako odaberemo osnovu od sopstvenih vektora x 1, x 2, x 3 koji odgovaraju sopstvenim vrednostima λ 1 , λ 2 , λ 3 matrice I, tada u ovoj osnovi linearna transformacija A ima dijagonalnu matricu:

(9.7) Dokaz ovog svojstva slijedi iz definicije svojstvenih vektora.

2) Ako je transformacija svojstvene vrijednosti I su različiti, onda su svojstveni vektori koji im odgovaraju linearno nezavisni.

3) Ako je karakterističan polinom matrice I ima tri različita korijena, onda u nekoj osnovi matrica I ima dijagonalni oblik.

Nađimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice Napravimo karakterističnu jednačinu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Pronađite koordinate svojstvenih vektora koji odgovaraju svakoj pronađenoj vrijednosti λ. Iz (9.5) slijedi da ako X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) je svojstveni vektor koji odgovara λ 1 = -2, onda

je kolaborativni, ali neodređen sistem. Njegovo rješenje se može zapisati kao X (1) ={a,0,-a), gdje je a bilo koji broj. Posebno, ako to zahtijevate | x (1) |=1, X (1) =

Zamjena u sistem (9.5) λ 2 =3, dobijamo sistem za određivanje koordinata drugog sopstvenog vektora - x (2) ={y1,y2,y3}:

, gdje X (2) ={b,-b,b) ili, pod uslovom | x (2) |=1, x (2) =

Za λ 3 = 6 pronađite svojstveni vektor x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={c,2c,c) ili u normaliziranoj verziji

x (3) = To se vidi X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Dakle, svojstveni vektori ove matrice su po paru ortogonalni.

Predavanje 10

Kvadratni oblici i njihova povezanost sa simetričnim matricama. Svojstva svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti simetrične matrice. Redukcija kvadratnog oblika na kanonski oblik.

Definicija 10.1.kvadratni oblik realne varijable x 1, x 2,…, x n naziva se polinom drugog stepena u odnosu na ove varijable, koji ne sadrži slobodni član i članove prvog stepena.

Primjeri kvadratnih oblika:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Prisjetimo se definicije simetrične matrice date u prošlom predavanju:

Definicija 10.2. Kvadratna matrica se zove simetrično, ako , odnosno ako su elementi matrice simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu jednaki.

Svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora simetrične matrice:

1) Sve vlastite vrijednosti simetrične matrice su realne.

Dokaz (za n = 2).

Pustite matricu I izgleda kao: . Napravimo karakterističnu jednačinu:

(10.2) Pronađite diskriminanta:

Dakle, jednadžba ima samo realne korijene.

2) Vlastiti vektori simetrične matrice su ortogonalni.

Dokaz (za n= 2).

Koordinate sopstvenih vektora i moraju zadovoljiti jednačine.

Matrice dijagonalnog tipa su najjednostavnije uređene. Postavlja se pitanje da li je moguće pronaći bazu u kojoj bi matrica linearnog operatora imala dijagonalni oblik. Takva osnova postoji.
Neka su dati linearni prostor R n i linearni operator A koji u njemu djeluje; u ovom slučaju, operator A uzima R n u sebe, odnosno A:R n → R n .

Definicija. Vektor koji nije nula naziva se svojstvenim vektorom operatora A ako se operator A prevodi u vektor kolinearan njemu, to jest, . Broj λ se naziva svojstvena vrijednost ili svojstvena vrijednost operatora A koji odgovara svojstvenom vektoru.
Uočavamo neka svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora.
1. Bilo koja linearna kombinacija vlastitih vektora operatora A koji odgovara istoj svojstvenoj vrijednosti λ je svojstveni vektor sa istom svojstvenom vrijednošću.
2. Vlastiti vektori Operator A sa po parovima različitim sopstvenim vrednostima λ 1 , λ 2 , …, λ m su linearno nezavisni.
3. Ako su svojstvene vrijednosti λ 1 =λ 2 = λ m = λ, tada vlastita vrijednost λ odgovara ne više od m linearno nezavisnih svojstvenih vektora.

Dakle, ako postoji n linearno nezavisnih sopstvenih vektora koje odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima λ 1 , λ 2 , …, λ n , onda su linearno nezavisne, stoga se mogu uzeti kao osnova prostora R n . Nađimo oblik matrice linearnog operatora A u bazi njegovih vlastitih vektora, za koje djelujemo s operatorom A na baznim vektorima: onda .
Dakle, matrica linearnog operatora A u osnovi svojih svojstvenih vektora ima dijagonalni oblik, a svojstvene vrijednosti operatora A su na dijagonali.
Postoji li još jedna osnova u kojoj matrica ima dijagonalni oblik? Odgovor na ovo pitanje daje sljedeća teorema.

Teorema. Matrica linearnog operatora A u bazi (i = 1..n) ima dijagonalni oblik ako i samo ako su svi vektori baze svojstveni vektori operatora A.

Pravilo za pronalaženje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora

Neka vektor , gdje je x 1 , x 2 , …, x n - koordinate vektora u odnosu na bazu i je svojstveni vektor linearnog operatora A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ , tj. Ova relacija se može zapisati u matričnom obliku

. (*)

Jednačina (*) se može smatrati jednačinom za pronalaženje , i , odnosno zanima nas netrivijalna rješenja, budući da svojstveni vektor ne može biti null. Poznato je da su netrivijalna rješenja homogeni sistem linearne jednadžbe postoje ako i samo ako je det(A - λE) = 0. Dakle, da bi λ bila vlastita vrijednost operatora A neophodno je i dovoljno da je det(A - λE) = 0.
Ako je jednadžba (*) detaljno napisana u koordinatnom obliku, onda ćemo dobiti sistem linearnih homogenih jednačina:

(1)
gdje je matrica linearnog operatora.

Sistem (1) ima rješenje različito od nule ako je njegova determinanta D jednaka nuli

Dobili smo jednačinu za pronalaženje vlastitih vrijednosti.
Ova jednadžba se naziva karakteristična jednačina, a njena lijeva strana se naziva karakteristični polinom matrice (operator) A. Ako karakteristični polinom nema pravi korijen, onda matrica A nema svojstvene vektore i ne može se svesti na dijagonalni oblik.
Neka su λ 1 , λ 2 , …, λ n realni korijeni karakteristične jednadžbe, a među njima može biti višekratnik. Zamjenom ovih vrijednosti u sistem (1) nalazimo svojstvene vektore.

Primjer 12. Linearni operator A djeluje u R 3 prema zakonu , gdje su x 1 , x 2 , .., x n koordinate vektora u bazi , , . Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore ovog operatora.
Odluka. Gradimo matricu ovog operatora:
.
Sastavljamo sistem za određivanje koordinata sopstvenih vektora:

Sastavljamo karakterističnu jednačinu i rješavamo je:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Zamjenom λ = -1 u sistem imamo:
ili
As , tada postoje dvije zavisne varijable i jedna slobodna varijabla.
Neka je onda x 1 slobodna nepoznanica Rešavamo ovaj sistem na bilo koji način i nalazimo opšte rešenje ovog sistema: Osnovni sistem rešenja sastoji se od jednog rešenja, pošto je n - r = 3 - 2 = 1.
Skup svojstvenih vektora koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -1 ima oblik: , gdje je x 1 bilo koji broj osim nule. Odaberimo jedan vektor iz ovog skupa, na primjer, postavljanjem x 1 = 1: .
Slično argumentirajući, nalazimo svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 3: .
U prostoru R 3 baza se sastoji od tri linearno nezavisna vektora, ali smo dobili samo dva linearno nezavisna svojstvena vektora iz kojih se ne može formirati baza u R 3. Prema tome, matrica A linearnog operatora ne može se svesti na dijagonalni oblik.

Primjer 13 Zadana matrica .
1. Dokazati da je vektor je svojstveni vektor matrice A. Nađite svojstvenu vrijednost koja odgovara ovom svojstvenom vektoru.
2. Naći bazu u kojoj matrica A ima dijagonalni oblik.
Odluka.
1. Ako , Tada je svojstveni vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je svojstveni vektor. Svojstvena vrijednost λ = -1.
Matrica ima dijagonalni oblik u bazi koju čine svojstveni vektori. Jedan od njih je poznat. Hajde da nađemo ostalo.
Tražimo sopstvene vektore iz sistema:

Karakteristična jednačina: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Pronađite svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = -3:

Rang matrice ovog sistema je jednak dva i jednak je broju nepoznatih, stoga ovaj sistem ima samo nulto rešenje x 1 = x 3 = 0. x 2 ovde može biti bilo šta drugo osim nule, na primer, x 2 = 1. Dakle, vektor (0 ,1,0) je svojstveni vektor koji odgovara λ = -3. provjerimo:
.
Ako je λ = 1, onda dobijamo sistem
Rang matrice je dva. Precrtajte posljednju jednačinu.
Neka je x 3 slobodna nepoznanica. Tada je x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Uz pretpostavku da je x 3 = 1, imamo (-3,-9,1) - svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 1. Provjerite:

.
Budući da su svojstvene vrijednosti realne i različite, vektori koji im odgovaraju su linearno nezavisni, pa se mogu uzeti kao osnova u R 3 . Dakle, u osnovi , , matrica A ima oblik:
.
Ne može se svaka matrica linearnog operatora A:R n → R n svesti na dijagonalni oblik, jer za neke linearne operatore može postojati manje od n linearno nezavisnih sopstvenih vektora. Međutim, ako je matrica simetrična, tada točno m linearno neovisnih vektora odgovara korijenu karakteristične jednadžbe višestrukosti m.

Definicija. Simetrična matrica je kvadratna matrica u kojoj su elementi koji su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu jednaki, odnosno u kojoj su .
Napomene. 1. Sve vlastite vrijednosti simetrične matrice su realne.
2. Sopstveni vektori simetrične matrice koji odgovaraju različitim svojstvenim vrednostima u paru su ortogonalni.
Kao jednu od brojnih primjena proučavanog aparata razmatramo problem određivanja oblika krivulje drugog reda.

www.site omogućava vam da pronađete. Sajt vrši kalkulaciju. Za nekoliko sekundi server će dati ispravno rješenje. Karakteristična jednačina za matricuće biti algebarski izraz koji se nalazi po pravilu za izračunavanje determinante matrice matrice, dok će na glavnoj dijagonali biti razlike u vrijednostima dijagonalnih elemenata i varijable. Prilikom izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online, svaki element matriceće se pomnožiti sa odgovarajućim drugim elementima matrice. Pronađi u načinu rada online moguće samo za kvadrat matrice. Pronađi operaciju karakteristična jednačina za matricu online svodi na izračunavanje algebarskog zbroja proizvoda elemenata matrice kao rezultat nalaženja determinante matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Ova operacija zauzima posebno mjesto u teoriji matrice, omogućava vam da pronađete svojstvene vrijednosti i vektore koristeći korijene. Pronalaženje zadatka karakteristična jednačina za matricu online je množenje elemenata matrice uz naknadno zbrajanje ovih proizvoda prema određenom pravilu. www.site nalazi karakteristična jednačina za matricu datu dimenziju u modu online. proračun karakteristična jednačina za matricu online za datu dimenziju, ovo je pronalaženje polinoma sa numeričkim ili simboličkim koeficijentima koji se nalaze po pravilu za izračunavanje determinante matrice- kao zbir proizvoda odgovarajućih elemenata matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Pronalaženje polinoma u odnosu na varijablu za kvadrat matrice, kao definicija karakteristična jednačina za matricu, uobičajeno u teoriji matrice. Vrijednost korijena polinoma karakteristična jednačina za matricu online koristi se za definiranje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti za matrice. Međutim, ako je determinanta matrice onda će biti nula matrična karakteristična jednačinaće i dalje postojati, za razliku od obrnutog matrice. Da bi izračunali karakteristična jednačina za matricu ili tražite nekoliko odjednom matrice karakteristične jednadžbe, potrebno je uložiti puno vremena i truda, dok će naš server pronaći karakteristična jednačina za online matricu. U ovom slučaju, odgovor pronalaženjem karakteristična jednačina za matricu onlineće biti tačna i sa dovoljnom tačnošću, čak i ako su brojevi prilikom pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online biće iracionalno. Online www.site unosi znakova su dozvoljeni u elementima matrice, to je karakteristična jednačina za online matricu može se predstaviti u opštem simboličkom obliku prilikom izračunavanja matrica karakterističnih jednačina online. Korisno je provjeriti dobijeni odgovor prilikom rješavanja zadatka nalaženja karakteristična jednačina za matricu online korištenjem stranice www.site. Prilikom izvođenja operacije izračunavanja polinoma - karakteristična jednačina matrice, potrebno je biti pažljiv i izuzetno koncentrisan u rješavanju ovog problema. Zauzvrat, naša stranica će vam pomoći da provjerite svoju odluku o ovoj temi matrica karakterističnih jednačina online. Ako nemate vremena za duge provjere riješenih problema, onda www.siteće svakako biti zgodan alat za provjeru prilikom pronalaženja i izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online.